全国名校高中数学题库--主干知识点

1 ，且 2
1 1 f ( ) = 0 ， 当 x > 时 ， f ( x ) > 0 ．（ 1 ） 求 f (1) ； （ 2 ） 求 和 2 2 f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (n )(n ∈ N i ) ； （3）判断函数 f ( x ) 的单调性并证明．
例 4 ． 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 ， 且 对 于 任 意 a, b ∈ R 的 都 满 足 ： （1）求 f (0), f (1) 的值； （2）判断 f ( x ) 的奇偶性，并证明你的 f (a ⋅ b) = af (b) + bf (a) 。 −n 结论； （3）若 f (2) = 2, µ n = f (2 ) (n ∈ N * ) ，求数列 {µ n }的前 n 项和 S n 。 n
绝对值函数的图像
例 2．已知函数 f ( x) = lg( x + 1), g ( x) = 2 lg( 2 x + t )(t ∈ R ) （1）如果 x ∈ [0,1] 时， f ( x) ≤ g ( x ) 恒成立，求参数 t 的取值范围 （2）对任意 x1 , x 2 ∈ [0,1] ，使得 f ( x1 ) ≤ g ( x 2 ) 恒成立，求参数 t 的取值范围 （3）对任意 x1 ∈ [ 0,1] ，存在 x 2 ∈ [0,1] ，使得 f ( x1 ) ≤ g ( x 2 ) 恒成立，求参数 t 的取值范围
1 2
1 2
2 + a ) 是奇函数，则使 f ( x ) < 0的x 取值范围是 ； 1− x 10 x − 10− x 5．已知 f(x)= x （1）判断函数的奇偶性； （2）证明：f(x)是定义域内是增函数； 10 + 10− x
4．设 ຫໍສະໝຸດ Baidu ( x) = lg( （3）求 f(x)的值域。
1
b 的取值 a
3
例 3．已知函数 f ( x) = ax 2 + bx 满足条件 f ( − x + 5) = f ( x − 3) ，方程 f ( x) = x 有等根。 是否存在 m, n( m < n) 使得定义域和值域分别为 [ m, n] 和 [3m,3n] ，说明理由。
例 5．对于函数 f ( x) ，若存在 x 0 ∈ R ，使 f ( x 0 ) = x0 成立，则称 x 0 为 f ( x ) 的不动点， 已知函数 f ( x) = ax 2 + (b + 1) x + (b − 1), ( a ≠ 0) （1）当 a = 1, b = −2 时，求函数 f ( x) 的不动点； （2）若对任意实数 b ，函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若 y = f ( x ) 的图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的不动点， 且 A、B 两点关于直线 y = kx +
⎧ 1 ,x ≠1 1 ⎪ 2 练习：1，函数 f ( x) = ⎨ x − 1 ，若关于 x 的函数 h( x) = [ f ( x) ] + bf ( x ) + 有 5 个 2 ⎪1, x = 1 ⎩
2 2 2 2 不同的零点 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ，则 x12 + x 2 =_________． + x3 + x4 + x5
1 1 < x 0 < ；(3)是否存在实数 m ，使得当 f (m) = −a 成立时， f (m + 3) 2 4
练习 1，若方程 4 x + m ⋅ 2 x + m + 1 = 0 有实数解，则 m ∈ _____________．, 2，函数 f ( x ) = x 2 + 2(m + 3) x + 2m + 14 有两个零点，且一个大于 1，一个小于 1，则实数 m 的范围为 ． 4．已知方程 x 2 + (1 + a) x + 1 + a + b = 0 的两根为 x1 , x2 ，并且 0 < x1 < 1 < x2 ，则 范围是 ．
称； （2）当 x>0 时，f(x)是增函数；当 x<0 时，f(x)是减函数； （3）函数 f(x)的最小值是 lg2； （4）f(x)无最大值，也无最小值。判断正确的是 ______________
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抽象函数： 例 3 已知函数 f ( x ) 的定义域为 R，对任意实数 m, n 都有 f ( m + n) = f ( m) + f ( n) +
1 + 2x + 4x a ，其中 a∈R，当 x∈(-∞，1]时，f(x)有意义，则 a ∈ ______ 3 37 =0在 x
例 1．已知 f ( x) 是二次函数，不等式 f ( x ) < 0 的解集是 (0,5) ，且 f ( x) 在区间 [− 1, 4]上的 最大值是 12.（1）求 f ( x) 的解析式； （2）是否存在自然数 m ，使得方程 f ( x ) +
a ( x 2 − 1) 。 （1）求 f ( x ) 的表达式，并判断函数 f ( x ) 的奇偶性； (a 2 − 1) x （ 2 ）试证明函数 f ( x ) 的图象上任意两点的连线的斜率恒大于 0 ； （ 3 ）对于 f ( x ) ，当 2 x ∈ (−1,1) 时，恒有 f (1 − m ) + f (1 − m ) < 0, 求 m 的取值范围。
区间 ( m, m + 1) 内有两个不等的实数根？若存在，求出所有 m 的值；若不存在，说明理由．
例 2，设 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a > b > c) ， f (1) = 0 （1）证明：函数 f ( x ) 的图像与 x 轴有两个不同的交点；(2)若函数 y = f ( x) 在 x = x 0 处取 得极值， 求证： − 为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由.
例 3，设 f (log a x) =
例 4，设 y = log a
x−3 的定义域 [ s , t ) ，值域为 (log a ( at − a ), log a ( as − a )] ，求证： x+3
s > 3 (2)求 a 的取值范围。
1 2 2.，函数 y = log 1 ( x 2 − 3x + 2) 的递减区间是
2.，若曲线 y = 2 x + 1 与直线 y = b 没有公共点，则 b 的取值范围是_________ 3．关于 x 的方程|x2-4x+3|=m 有三个不等实根，则 m= 4．关于函数 f(x)=lg
x2 + 1 （1）函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对 ( x ≠ 0, x ∈ R) ，有下列命题： |x|
2
2
2
．
4，已知函数 f ( x ) = x − 2ax + 5( a > 1) ， （1）若 f ( x) 的定义域和值域均是 [1, a ] ，求实数 （ 2 ）若 f ( x) 在区间 (− ∞, 2] 上是减函数，且对任意的 x1 , x 2 ∈ [1, a + 1] ，总有 a 的值；
f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≤ 4 ，求实数 a 的取值范围．
1
练习：.1．若 a+a-1=3，则 a 2 − a
−
1 2
3
=_________， a 2 − a
−
3 2
=_________。
2．y= −( ) 2 x + 4( ) x + 5 的值域为__________，单调减区间为___________. 3． 关于 x 的方程|ax-1|=2a （a>0 且 a≠1） 有两个不同的实数解， 则 a 的取值范围为____________
2x 4x + 1 （1） 求 f(x)在[-1， 1]上的解析式。 （2） 证明： f(x)在 （0， 1） 上是减函数。 （3） 方程 f ( x) = 2a − 1 有解，求 a 的取值范围。
例 1，已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期为 2，且当 x∈（0，1）时，f(x)=
例 2，已知 f ( x) 满足 f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ) ，当 x > 1 时， f ( x ) > 0 ，且 f ( 2) = 1 ，(1)判 断 f ( x ) 的单调性与奇偶性。 （2）解不等式 f ( x) + f ( x − 3) < 16
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练习：1．函数 y= ( )|x + 2| 的值域为__________，单调增区间为_____________
3．已知 log 2 3 = a, log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 = _______ .
1 ] （1）若 x ∈ R, 则 m ∈ ________ 4 （2）若 y ∈ R, 则 m ∈ _________ 5.已知函数 f ( x) = log a ( x + 1)( a > 1), 若函数 y = g ( x) 图象上任意一点 P 关于原点对称点 Q 的轨迹恰好是函数 f ( x ) 的图象。 （1）写出函数 g ( x ) 的解析式； （2）当 x ∈ [0,1) 时总有 f ( x) + g ( x ) ≥ m 成立，求 m 的取值范围。
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函数图象 复习练习： 1．已知二次函数满足 f ( −3) = f (5), f ′( 2) > 0, 若f ( m) ≥ f ( −1) ，若，则 实数 m 的取值范围是 ．. 2，已知函数 f ( x ) = 4 x + m ⋅ 2 x + 1 仅有一个零点，则 m 的值为
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．
3 已知 f ( x) = ax − 4 x + 1( x ∈ [− 1,1]) （1）若函数的图象在 x 轴上方，且与 x 轴无交点， 求实数 a 的取值范围； （2）如果对函数图象上任意两点 A、B，直线 AB 都不与 x 轴平行， 求实数 a 的取值范围 4．函数 f ( x) = 2 x − 1 + 1在区间 [0,3] 的值域为 ________ 例 1，求函数 f ( x) = 2 sin x − t − 1 的最大值。
练习 1．已知 f ( x ) 的定义域是 N*，对任意的 x, y ∈ N * ，都有 f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) ，且 f (1) = 2 ， 则 f (2) + f (3) + f ( 4) + ⋯ + f ( 2009) = ；若 f ( x) + f ( y ) = f ( x) f ( y ) ，且 f (1) f (2) f (3) f (2008) f (2) f (3) f ( 4) f ( 2009) = f (1) = 2 ，则 + + + ⋯+ f (1) f (2) f (3) f (2008) 2 ．设 f ( x) 是 ( −∞, +∞ ) 上的奇函数， f ( x + 2) = − f ( x ) ，当 0 ≤ x ≤ 1 时， f ( x ) = x ，则 ． f (7.5) = 3 ． 定 义 在 R 上 的 单 调 函 数 f ( x ) 满 足 f (3) = log 2 3 ， 且 对 任 意 x, y ∈ R 都 有
指数函数、对数函数
运算法则：
1，2 (lg 2) 2 + lg 2 ⋅ lg 5 + (lg 2) 2 − lg 2 + 1 = __________ 2，已知 3a=5b=A，且
1 1 + = 2 ，则 A 的值是__________, a b
3，已知 loga2=m，loga3=n，则 a2m+n=___________。 4．已知 m,n 是方程 lg2x+lg151gx+lg31g5=0 的两根，则 mn=
4，已知函数 f ( x) = log a [ mx 2 + ( m − 1) x +
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二次函数 复习练习： 1，(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=___________。 2，当 x ∈ (1,2) 时，不等式 ( x − 1) 2 < log a x 恒成立，则 a ∈ _________ 3．若 0≤x≤2，则函数 y=4x-2x+1+5 的值域为_______________ 4.设 f(x)=lg
1 2a + 1
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对称，求 b 的最小值．
练习，1．不等式 ax + bx + c > 0 的解集为 ( 2,3) ，则 cx + bx + a < 0 的解集为 ______ 2 已知 f ( x ) 是定义在 ( −∞，+∞ ) 上的减函数，若 f ( m 2 − sin x ) ≤ f ( m + 1 + cos 2 x ) 对 x ∈ R 恒成立，求实数 m 的取值范围 3 函数 f ( x ) = ax + b (a ≠ 0) 有一个零点为 2，则 g ( x ) = bx 2 + ax 的零点是