2020-2021学年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)及答案解析
最新2020-2021学年安徽省合肥市初三物理二模试卷及解析
2020-2021学年安徽省合肥市初三物理二模试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．如图是撑杆跳高时的情形，运动员还能继续，上升一定的高度，这时主要依靠（）A．运动员的动能B．运动员的重力势能C．杆的弹性势能D．运动员的升力2．下列各种情况中，物体的机械能变大的是（）A．跳伞运动员从空气中匀速下落B．人乘电梯匀速上楼C．列车在平直轨道上匀速行驶D．足球在水平面上滚动3．使用简单机械时（）A．一定省力B．可能省力，一定不能省功C．可能省力，也可能省功D．可能省功，一定不能省力4．抛出去的圆球在光滑水平面上做匀速直线运动，它的受力情况是 ........................... （）A．只受重力和支持力B．只受重力、支持力和抛力C．只受重力、支持力和摩擦力D．只受重力和摩擦力5．一人用200N的力沿水平方向推着重为600N的箱子在水平地板上恰好做匀速直线运动，若此人突然将推力增大到300N，则地板对箱子的摩擦力大小为（）A．100N B．200N C．300N D．600N6．一个物体同时受到大小相等、方向相反的两个力的作用，则这两个力 ................... （）A．一定是相互作用力B．一定是平衡力C．既是平衡力又是相互作用力D．以上说法都不对7．2010年5月1日，上海世博会开幕．如图所示是上海世博会门票，门票中有中国自主知识产权的芯片——“世博芯”，它记录着参观者的资料，并能以无线方式与遍布世博园区的传感器交换信息．在交换信息时，应用了大量的物理知识，下列知识得到应用的是 ..... （）A．回声B．电流的热效应C．电磁感应D．光的反射8．下列做法中符合安全用电原则的是（）9．如图所示电路，电源电压6 V保持不变，定值电阻的阻值为10 Ω，滑动变阻器的最大阻值为20Ω，当开关闭合，滑片由b端向a端移动的过程中，以下说法正确的是......... （）A．当滑片移到a端时，电流表示数为0.2 AB．当滑片移到中点时，电压表示数为2 VC．电压表示数与电流表示数的比值不变D．电压表的示数减少10．2010年1月2日起，我国北方大部地区遭遇大范围降雪天气袭击。
安徽省合肥市高考数学三年(2020-2022)模拟题知识点分类汇编-03数列
安徽省合肥市高考数学三年（2020-2022）模拟题知识点分类
汇编-03数列
一、单选题
A ．
518
B ．
29
6．（2021·安徽合肥·统考二模）设正项等比数列32342S a a a =++，则1a =（ ）
A ．1
2
B ．27．（2021·安徽合肥·统考一模）将方程
则该数表中，第n行第1个数是___________.
12．（2021·安徽合肥·统考一模）百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年1月1日(星期五)是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有___________个.
三、解答题
（2）求数列{}2
n
a n a +的前n 项和n
S
.
参考答案：。
2020年安徽省宣城市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
8.答案：D
解析：解：以 D 为原点，DA 为 x 轴， DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直 角坐标系， E（2，0，1），M（2，λ，2），N（2， ， ），D1（0，0，2），F（2，2， 1），
=（0，2，0）， =（-2，0，1），
=（0， ， ），
设平面 D1EF 的法向量 =（x，y，z），
3.答案：D
解析：解：由茎叶图知：
=
=90，
设被污损的数字为 a，
= （83+83+87+90+99+a）=88.4+ ，
∵甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，
∴88.4+ ≥90，解得 a≥8，∴a=8 或 a=9，
∴甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 ， 故选：D．
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根据茎叶图计算甲乙的平均数，利用古典概率的概率公式即可得到结论． 本题主要考查古典概率的计算，利用茎叶图求出 x 的值是解决本题的关键．
2.答案：B
解析：解：∵3x-a≥0， ∴x≥ ，
∴A=[ ，+∞），
∵log2（x-2）≤1=log22， ∴0＜x-2≤2， ∴2＜x≤4， ∴B=（2，4]， ∵B⊆A，
∴ ≤2，
∴a≤6， ∴实数 a 的取值范围是（-∞，6]． 故选：B． 解不等式简化集合 A、B，由 B⊆A 得等价不等式，从而可得实数 a 的取值范围． 本题主要考查了集合包含关系的应用及不等式的解法，属基础题．
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（2）如果对∀x∈R，不等式|g（x）|-c≥|x-l|恒成立，求实数 c 的取值范围．
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2020-2021学年安徽省合肥六中高三上学期期中(理科)数学试卷(解析版)
2020-2021学年安徽省合肥六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}，则（）A．A∩B＝（﹣2，3）B．A∪B＝（﹣2，3）C．A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．A∩B＝（﹣2，0）2．（5分）与角2021°终边相同的角是（）A．221°B．﹣2021°C．﹣221°D．139°3．（5分）已知m＝0.92020，n＝20200.9，p＝log0.92020，则m，n，p的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m4．（5分）已知平面向量＝（﹣1，2），＝（3，5），若（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）A．4B．5C．2D．36．（5分）函数f（x）＝ln（﹣kx）的图象不可能是（）A．B．C．D．7．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21B．﹣21C．441D．﹣4418．（5分）已知函数满足，则f（x）图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知三棱锥V﹣ABC，点P是VA的中点，且AC＝2，VB＝4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为（）A．12B．10C．8D．610．（5分）已知数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n，n∈N*．若4a5+3a6＝16，则a1+a2+…+a9＝（）A．16B．28C．32D．4811．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点．直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）二、填空题（共4小题）.13．（5分）（cos x+sin x）dx的值为．14．（5分）函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．15．（5分）已知锐角α、β满足，则的最小值为．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）已知sinθ+cosθ＝，θ∈（﹣，）．（1）求θ的值：（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a2n+1+b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，，且∠BCC1＝60°．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，求sinθ的值．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）＝．（Ⅰ）证明：A＝2C；（Ⅱ）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝cos x．（1）已知α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝3f（2x）+1，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3有解，求实数a的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1）．（1）讨论f（x）的极值；（2）若m为正整数，且f（x）＜2x+m恒成立，求m的最大值．（参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61）参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}，则（）A．A∩B＝（﹣2，3）B．A∪B＝（﹣2，3）C．A∪B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．A∩B＝（﹣2，0）解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|y＝lg（3x﹣x2）}＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{0＜x＜1}，A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，故A，C，D均错误，B正确，故选：B．2．（5分）与角2021°终边相同的角是（）A．221°B．﹣2021°C．﹣221°D．139°解：与角2021°终边相同的角是：k•360°+2021°，k∈Z，当k＝﹣5时，与角2021°终边相同的角是221°．故选：A．3．（5分）已知m＝0.92020，n＝20200.9，p＝log0.92020，则m，n，p的大小关系是（）A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m解：∵0＜0.92020＜0.90＝1，20200.9＞20200＝1，log0.92020＜log0.91＝0，∴p＜m＜n．故选：C．4．（5分）已知平面向量＝（﹣1，2），＝（3，5），若（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：∵，，且，∴，解得．故选：B．5．（5分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则g（x0）＝（）A．4B．5C．2D．3解：函数f（x）＝lnx+x﹣4是在x＞0时，函数是连续的增函数，∵f（e）＝1+e﹣4＜0，f（3）＝ln3﹣1＞0，∴函数的零点所在的区间为（e，3），g（x0）＝[x0]＝2．故选：C．6．（5分）函数f（x）＝ln（﹣kx）的图象不可能是（）A．B．C．D．解：∵A，B选项中，图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，即f（x）+f（﹣x）＝0，即，∴k＝±1，当k＝1时，f（x）的图象为选项A；当k＝﹣1时，f（x）的图象为选项B；而C，D选项中，图象关于y轴对称，所以f（x）为偶函数，即f（x）＝f（﹣x），即，∴k＝0，当k＝0时，f（x）≥0，故f（x）的图象为选项D，不可能为选项C．故选：C．7．（5分）在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，且a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为（）A．21B．﹣21C．441D．﹣441解：公差d大于0的等差数列{a n}中，2a7﹣a13＝1，可得2a1+12d﹣（a1+12d）＝1，即a1＝1，a1，a3﹣1，a6+5成等比数列，可得（a3﹣1）2＝a1（a6+5），即为（1+2d﹣1）2＝1+5d+5，解得d＝2（负值舍去）则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，数列{（﹣1）n﹣1a n}的前21项和为a1﹣a2+a3﹣a4+...+a19﹣a20+a21＝1﹣3+5﹣7+ (37)39+41＝﹣2×10+41＝21．故选：A．8．（5分）已知函数满足，则f（x）图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．解：函数满足，所以φ）＝0，由于，故φ＝．所以f（x）＝A sin（2x+），令（k∈Z），解得（k∈Z）．当k＝1时，解得．故选：D．9．（5分）如图，已知三棱锥V﹣ABC，点P是VA的中点，且AC＝2，VB＝4，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为（）A．12B．10C．8D．6解：如图所示，过点P作PF∥AC，交VC于点F，过点F作FE∥VB交BC于点E，过点E作EQ∥AC，交AB于点Q；由作图可知：EQ∥PF，所以四边形EFPQ是平行四边形；可得EF＝PQ＝VB＝2，EQ＝PF＝AC＝1；所以截面四边形EFPQ的周长为2×（2+1）＝6．故选：D．10．（5分）已知数列{a n}满足a n+2＝a n+1+a n，n∈N*．若4a5+3a6＝16，则a1+a2+…+a9＝（）A．16B．28C．32D．48解：∵a n+2＝a n+1+a n，∴a3＝a2+a1，a4＝a3+a2＝2a2+a1，a5＝a4+a3＝3a2+2a1，a6＝a5+a4＝5a2+3a1，a7＝a6+a5＝8a2+5a1，a8＝a7+a6＝13a2+8a1，a9＝a8+a7＝21a2+13a1，∴a1+a2+…+a9＝54a2+34a1＝2×（27a2+17a1），∵4a5+3a6＝16，∴4（3a2+2a1）+3（5a2+3a1）＝16，即27a2+17a1＝16，∴a1+a2+…+a9＝2×（27a2+17a1）＝2×16＝32，故选：C．11．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、A1D1的中点．直线DB1与平面EFC的交点O，则的值为（）A．B．C．D．解：交点O既在平面ECF上，又在平面D1DBB1上，∴O在面ECF与面D1DBB1的交线上，延展平面ECF，得到面ECHF，H在C1D1上，则K，M都即在面ECFH上，又在平面D1DBB1上，∴KM为面ECFH与面D1DBB1的交线，∴O在KM上，∵O在DB1上，∴DB1∩KM＝O，取出平面D1DBB1，∵△KOB1∽△MOD，∴＝．由△DMC∽△BME，得DM＝，设G为C1D1的中点，由三角形相似可得，再由题意可得A1G∥FH，则，则．∴＝＝．故选：A．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）解：不等式在（0，+∞）上恒成立，即不等式＞lnx在（0，+∞）上恒成立，则（eλx+1）λx＞（x+1）lnx＝（e lnx+1）lnx恒成立，设f（x）＝（e x+1）x（x＞0），则f（λx）＞f（lnx），∵f′（x）＝e x（x+1）+1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴λx＞lnx，∴λ＞，设g（x）＝（x＞0），∴g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝e，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（e）＝，∴λ＞．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（cos x+sin x）dx的值为2．解：（cos x+sin x）dx＝（sin x﹣cos x）＝（sin﹣cos）﹣（sin0﹣cos0）＝（1﹣0）﹣0+1＝2．故答案为：2．14．（5分）函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x+y ＝0．解：由，得f′（x）＝2f′（）+sin x，取x＝，得f′（）＝2f′（）+sin，解得f′（）＝﹣1，∴f′（x）＝﹣2+sin x，得f′（0）＝﹣2，又f（0）＝﹣cos0+1＝0，∴f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣2x，即2x+y＝0．故答案为：2x+y＝0．15．（5分）已知锐角α、β满足，则的最小值为18．解：∵，∴sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝sin＝，设x＝sinαcosβ，y＝cosαsinβ，则x+y＝，∵α、β均为锐角，∴x＞0，y＞0，∴＝+＝2（x+y）（+）＝2（1+4+）≥2×（5+2）＝18，当且仅当＝，即＝，即x＝，y＝时，等号成立．∴的最小值为18．故答案为：18．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M﹣A1CC1的外接球表面积为11π．解：如图：点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，∴点M为正方形CDD1C1对角线的交点，∴MCC1是等腰直角三角形，M是直角顶点，设E是CC1的中点，则E是△MCC1的外心，取F是BB1的中点，则EF∥BC，而BC⊥平面CDD1C1，∴EF⊥平面CDD1C1，∴三棱锥M﹣A1CC1的外接球的球心O在直线EF上，由已知可计算FC＝＝，A1F＝＝＞FC，∴点O在EF的延长线上，设OF＝x，则由OA1＝OC，可得（）2+x2＝（x+1）2+（）2，解得x＝，∴OC＝＝，∴外接球表面积是S＝4π×（）2＝11π，故答案为：11π．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知sinθ+cosθ＝，θ∈（﹣，）．（1）求θ的值：（2）设函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x+θ）x∈R，求函数f（x）的单调增区间．解：（1）因为sinθ+cosθ＝，所以（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+sin2θ＝（）2＝，即sin2θ＝，又θ∈（﹣，），所以2，所以2θ＝﹣，θ＝﹣．（2）由（1）可得θ＝﹣，则f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣），所以f（x）＝（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]＝cos2x﹣+cos（2x﹣）＝﹣cos2x+（cos2x+sin2x）＝sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则k≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数的单调增区间为[k，kπ+]，k∈Z．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a2n+1+b2n+1，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝3n2﹣n，当n＝1时，解得a1＝1，当n≥2时，，两式相减得：a n＝3n﹣2．数列{log3b n}是公差为﹣1的等差数列，b1＝1．所以log3b n＝1﹣n，所以．（2）c n＝a2n+1+b2n+1＝，所以＝19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，，且∠BCC1＝60°．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，求sinθ的值．解：（1）证明：在△ABC中，AB2+BC2＝20＝AC2，所以∠ABC＝90°，即AB⊥BC．因为BC＝BB1，AC＝AB1，AB＝AB，所以△ABC≌△ABB1．所以∠ABB1＝∠ABC＝90°，即AB⊥BB1．又BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面BCC1B1．又AB⊂平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面BCC1B1．（2）解：由题意知，四边形BCC1B1为菱形，且∠BCC1＝60°，则△BCC1为正三角形，取CC1的中点D，连接BD，则BD⊥CC1．以B为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系B﹣xyz，则B（0，0，0），B1（0，4，0），A（0，0，2），，．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），，．由，得取x＝1，得＝（1，0，）．由四边形BCC1B1为菱形，得BC1⊥B1C；又AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C；又AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1，所以平面ABC1的法向量为．所以cos＜＞＝＝＝．设二面角C﹣AC1﹣B的大小为θ，则sinθ＝＝．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，sin（B+C）＝．（Ⅰ）证明：A＝2C；（Ⅱ）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由，即，∴，sin A≠0，∴a2﹣c2＝bc，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴a2﹣c2＝b2﹣2bc cos A，∴b2﹣2bc cos A＝bc，∴b﹣2c cos A＝c，∴sin B﹣2sin C cos A＝sin C，∴sin（A+C）﹣2sin C cos A＝sin C，∴sin A cos C﹣cos A sin C＝sin C，∴sin（A﹣C）＝sin C，∵A，B，C∈（0，π），∴A＝2C．（Ⅱ）解：∵A＝2C，∴B＝π﹣3C，∴sin B＝sin3C．∵且b＝2，∴，∴＝＝，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴，∴，∵为增函数，∴．21．（12分）已知函数f（x）＝cos x．（1）已知α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝3f（2x）+1，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3有解，求实数a的最大值．解：（1）∵函数f（x）＝cos x，α，β为锐角，＝cos（α+β），∴sin（α+β）＝＝，∴tan（α+β）＝＝﹣2．∵，∴cos2α＝＝＝＝﹣．tan2α＝＝＝﹣，故2α为钝角．tan（β﹣α）＝tan[（α+β）﹣2α]＝＝＝．（2）∵函数g（x）＝3f（2x）+1＝3cos2x+1∈[﹣2，4]，若关于x的不等式g2（x）≥（a+1）g（x）+3a+3＝（a+1）[g（x）+3]有解，令t＝g（x）+3，则t∈[1，7]，且（t﹣3）2≥（a+1）t有解，即a+1≤t+﹣6能成立，即a+7≤（t+）能成立．由于函数h（t）＝t+在[1，3]上单调递减，在[3，9]上单调递增，h（1）＝10，h（9）＝10，故h（t）在[1，7]上的最大值为10，故有a+7≤10，即a≤3，故a的最大值为3．22．（12分）已知函数f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1）．（1）讨论f（x）的极值；（2）若m为正整数，且f（x）＜2x+m恒成立，求m的最大值．（参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61）解：（1）由f（x）＝mx﹣xlnx（x＞1），得f′（x）＝m﹣1﹣lnx．当m﹣1≤0，即m≤1时，f′（x）＞0对x＞1恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，f（x）无极值；当m﹣1＞0，即m＞1时，令f′（x）＝0，得x＝e m﹣1，由f′（x）＞0，得1＜x＜e m﹣1，由f′（x）＜0，得x＞e m﹣1，∴f（x）在x＝e m﹣1处取得极大值，且极大值为f（e m﹣1）＝me m﹣1﹣（m﹣1）e m﹣1＝e m﹣1．综上所述，当m≤1时，f（x）无极值；当m＞1时，f（x）的极大值为e m﹣1，无极小值．（2）∵当x＞1时，f（x）＜2x+m恒成立，∴当x＞1时，mx﹣xlnx＜2x+m，即m＜对x＞1恒成立，令h（x）＝，得h′（x）＝，令g（x）＝x﹣lnx﹣3，则g′（x）＝1﹣，∵x＞1，∴g′（x）＝1﹣＞0，得g（x）是增函数，由g（x1）＝x1﹣lnx1﹣3＝0，得lnx1＝x1﹣3，∵g（4）＝4﹣ln4﹣3＝1﹣ln4≈1﹣1.39＝﹣0.39＜0，g（5）＝5﹣ln5﹣3＝2﹣ln5≈2﹣1.61＝0.39＞0．∵g（x1）＝0，g（x）为增函数，∴4＜x1＜5，当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴x＝x1时，h（x）取得最小值为h（x1），∴m＜h（x1）＝，又m为正整数，∴m≤4，故m的最大值为4．。
高中数学教研压轴篇：导数(2)《导数与三角函数》
x, ) 《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料 ——压轴篇：导数（2）郑重声明:版权所有，未经允许，严禁商用2020 年《导数与三角函数》模拟试题选编1.【2020•湖北模拟】已知函数 f (x ) = x 2 + a cos x ．（1） 求函数 f (x ) 的奇偶性．并证明当| a | 2 时函数 f (x ) 只有一个极值点； （2） 当 a = π时，求 f (x ) 的最小值； 22.【2020•永州三模】已知函数 f (x ) = (x + 1)ln (x + 1) ， g (x ) = ax + - x cos x ．2（1） 当 x 0 时，总有 f (x ) x 2+ mx ，求 m 的最小值．（2） 对于[0 ，1] 中任意 x 恒有 f (x ) g (x ) ，求 a 的取值范围． 3.【2020 年福建省泉州市高考数学一模试卷（文科）】已知函数 f (x ) = e x + sin x - ax 2 - 2x ．（1） 当 a = 0 时，判断 f (x ) 在[0 ， +∞) 上的单调性并加以证明； （2） 若 x 0 ， f (x ) 1 ，求 a 的取值范围． 4.【2020•湖北模拟】已知函数 f (x ) = x 2 +πcos x ．（1）求函数 f (x ) 的最小值；（2）若函数 g (x ) = f (x ) - a 在(0, +∞) 上有两个零点 x 1 ， x 2 ，且 x 1 < x 2 ，求证： x 1 + x 2 <π． 5．【2020•山东模拟）已知函数 f (x ) = e x - x （其中 e = 271828⋯为自然对数的底数）（1） 证明：对任意的 x ∈ R 都有 f (x ) > 0 ； （2） 设 g (x ) = f (x ) cos x + x (cos x - sin x )(x ∈(0 ，π))(i) 若存在 x ∈ π，π) ，使得不等式 g (x ) m 成立，求实数 m 的取值范围；0 [ 2 0 (ii) 求函数 g (x ) 的零点个数．6.【2020•山东模拟）已知函数 f (x ) = e x - 2sin x ．（1） 若∀x ∈[0 ， +∞) ， f (x ) 1 - ax 恒成立，求正数 a 的取值范围； （2） 求证 f (x ) 在(-π+∞) 上有且仅有两个极值点．27.【2020 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）】已知函数 f (x ) = e x sin x ． (e 是自然对数的底数）（1） 求 f (x ) 的单调递减区间；π（2） 若函数 g (x ) = f (x ) - 2x ，证明 g (x ) 在(0,π) 上只有两个零点．（参考数据： e 2 ≈ 4.8) 8.【2020•湖南模拟】已知函数 f (x ) = ae x - cos x (a ∈ R , x > -π ．2《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 1页（共 12页）210．【2020•江西模拟】已知函数 f (x ) = lnx + sin x + 1 ，函数 g (x ) = ax -1 - blnx (a ， b ∈ R ， ab ≠ 0) ．（1）讨论 g (x ) 的单调性；（2）证明：当 a = b = 1 时， g (x ) 0 ． （3） 证明： f (x ) < (x 2 + 1)e sin x ． ————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有 8 个群（7 个高中群、1 个初中群），共 3000 多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群. 宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！ 特别说明：1. 本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关 话题；2. 由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁” 涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名m m sin x （1） 证明：当 a = 1 时， f (x ) 有最小值，无最大值；（2） 若在区间(-π,π) 上方程 f (x ) = 0 恰有一个实数根，求 a 的取值范围，29.【2020 年湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中高考数学模拟试卷（理科）（4 月份）】已知函数 f (x ) = e x (x 2 + 8x - 4) ．（1） 求函数 f (x ) 的单调区间；（2） 若关于 的不等式e x (x 2 + 8x - 4) + 在4， +∞) 上恒成立，且 m ≠ 0 ，求实数 m 的取值范围．欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 2页（共 12页）x [0( )π《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料 ——压轴篇：导数（2）郑重声明:版权所有，未经允许，严禁商用2020 年《导数与三角函数》模拟试题选编1．（2020•湖北模拟）已知函数 f (x ) = x 2 + a cos x ．（1） 求函数 f (x ) 的奇偶性．并证明当| a | 2 时函数 f (x ) 只有一个极值点； （2） 当 a = π时，求 f (x ) 的最小值；【分析】（1）由奇偶性定义容易判断函数的奇偶性；要说明函数只有一个极值点，即导函数只有一个零点，结合导函数的单调性即可解决；（2）讨论函数 f (x ) 的单调性，求出函数的极小值、端点处函数值比较即可求出最小值． 【解析】：（1）因为 f (-x ) = f (x ) ，故函数 f (x ) 时偶函数． f '(x ) = 2x - a sin x ， f '(0) = 0 ，故只需讨论 x > 0 时情况，x > 0 ，由三角函数的性质知，x > sin x ，2 | a | ，∴ f '(x ) > 0 ，∴ x > 0 时， f (x ) 是增函数， 又 f (x ) 是偶函数，所以 x < 0 时， f (x ) 单调递减． 故| a | 2 时，函数 f (x ) 只有一个极小值点 x = 0 ． （2）由（1）知，只需求 x 0 时 f (x ) 的最小值． f '( x ) = 2x -πsinx ,当x ∈⎛ 0,π⎫时，2 ⎪ ⎝ ⎭设 h (x ) = 2x - πsin x ， h '(x ) = 2 - πcos x ，因为 h '(0) < 0, h ' π> 0 ， 2 由零点存在性定理，存在唯一的 x ∈ π，使得 h '(x ) = 0 ．0 (0, 2 ) 0当 x ∈ (0, x ) ， h '(x ) < 0 ， h (x ) 递减； 当x ∈⎛ x ,π⎫, h '( x ) > 0, h ( x )递增．0 0 2 ⎪又因为 h (0) = πh ( ) 2 = 0 ，所以 x ∈ π(0, ) 2⎝ ⎭ 时， f '(x ) = h (x ) < 0 恒成立， f (x ) 在 (0, ) 上递减；2 当 x > π时， f '(x ) = 2x - πsin x > π- πsin x > 0 ， f (x ) 为增函数．2π π2所 以 f (x )min = f ( 2 ) = 4 ．x 2 2．（2020•永州三模）已知函数 f (x ) = (x + 1)ln (x + 1) ， g (x ) = ax +- x cos x ．2（1） 当 x 0 时，总有 f (x ) x 2+ mx ，求 m 的最小值．（2） 对于[0 ，1] 中任意 x 恒有 f (x ) g (x ) ，求 a 的取值范围．【分析】（1）由已知不等式先构造函数，然后结合导数与单调性的关系可求相应函数的单调性，进而可求．（2）构造函数 h (x ) = g (x ) - ( x 2+ x ) ，对其求导，然后结合导数与单调性的关系及不等式的恒成立与最值问题的相互转化可求．ϕ x 2【解析】：（1）令 (x ) = + mx - (x + 1)ln (x + 1) ， 2《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 3页（共 12页）22则ϕ'(x ) = x + m - ln (x + 1) -1 ，ϕ''(x ) = 1 -1x + 1> 0 ， ∴ϕ'(x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增，且ϕ'(0) = m -1 ，若 m 1 ，ϕ(x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增， ∴ϕ(x ) ϕ(0) = 0 ， 即 m 1 满足条件，若 m < 1，ϕ'(0) = m - 1 < 0 ，ϕ(x ) 存在单调递减区间[0 ， x 0 ] ，又 ϕ(0) = 0 所以存在 x 0 使得ϕ(x 0 ) < 0 与已知条件矛盾，所以 m 1 ， m 的最小值为 1．（2）由（1）知 f (x ) x 2 x2 + x ，如果 x 2 + x g (x ) ，则必有 f (x ) g (x ) 成立．令 h (x ) = g (x ) - ( 2 + x ) ，则 h (x ) = (a -1)x - x cos x = x (a -1 - cos x ) ，h (x ) = x (a -1 - cos x ) 0 ，则 a -1 - cos x 0 ， a 1 + cos x ， a 2 ． 若 h (x ) 0 ，必有 f (x ) g (x ) 恒成立，故当 a 2 时， f (x ) g (x ) 恒成立，下面证明 a < 2 时， f (x ) g (x ) 不恒成立．令 f 1 (x ) = f (x ) - x = (x + 1)ln (x + 1) - x ， f '1 (x ) = ln (x + 1) ， 当 x > 0 时， f '1 (x ) = ln (x + 1) > 0 ， f 1 (x ) 在区间[0 ，1] 上单调递增，故 1 (x ) f 1 (0) = 0 ，即 f 1 (x ) = f (x ) - x 0 ，故 x f (x ) ．x 2 xg () - f (x ) g (x ) - x = (a -1)x + - x cos x = x (a -1 + - cos x ) ，2 2令t x ) = a - 1 + x - cos x ， t '(x ) = 1+ sin x > 0 ，2 2所以t (x ) 在[0 ， 1] 上单调递增， t (0) = a - 2 < 0 ，则一定存在区间(0, m ) （其中0 m < 1) ， 当 x ∈(0, m ) 时， t (x ) < 0 ，则 (x ) - f (x ) xt (x ) < 0 ，故 f (x ) g (x ) 不恒成立． 综上所述：实数 a 取值范围是[2 ， +∞) ．3．（2020•泉州一模）已知函数 f (x ) = e x + sin x - ax 2 - 2x ．（1） 当 a = 0 时，判断 f (x ) 在[0 ， +∞) 上的单调性并加以证明； （2） 若 x 0 ， f (x ) 1 ，求 a 的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（）先对函数求导，先对 a 进行讨论，结合导数的符号确定函数的单调性，然后结合函数的性质可求．【解答】证：（1）当 a = 0 时， f (x ) 在在[0 ， +∞) 上的单调增，证明如下： f '(x ) = e x + cos x - 2 ，设 g (x ) = f '(x ) = e x + cos x - 2 ，则 g '(x ) = e x - sin x ， 当 x 0 时， e x 1 ， -1 sin x 1 ， ∴ g '(x ) = e x - sin x 0 ，故 g (x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增， g (x ) g (0) = 0 ， 即 f '(x ) 0 ，所以 f (x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增； （2）由题意得 f '(x ) = e x + cos x - 2ax - 2 ，《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 4页（共 12页）2 2, ](π (0, ) 令 g (x ) = f '(x ) ，则 g '(x ) = e x - sin x - 2a ， 令 h (x ) = g '(x ) ，则 h '(x ) = e x - cos x ，当 x 0 时， h '(x ) = e x - cos x 0 ，故 h (x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增，所以 g '(x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增， g '(x ) g '(0) = 1 - 2a ，①当1 - 2a 0 即 a 1时， g '(x ) 0 恒成立， g (x ) 单调递增，即 f '(x ) 单调递增，且 f '(0)= 0 2 所以 f '(x ) 0 ， f (x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增，②当 a > 1时， g '(0) = 1 - 2a < 0 ，令u (x ) = e x - x -1， x > 0 ，2 则u '(x ) = e x -1 > 0 恒成立，所以u (x ) 在(0, +∞) 上单调递增， u (x ) > u (0) = 0 即e x > x + 1， ∴ '(2a ) = e 2a - sin 2a - 2a > 2a + 1 - sin 2a - 2a = 1 - sin 2a 0 ，又 g '(x ) 在(0, +∞) 上单调递增，结合零点判定定理可得，存在唯一的实数 m ∈ (0, ) ，使得 g '(m ) = 0 ， 当 x ∈(0, m ) ， g '(x ) < 0 ， g (x ) 单调递减即 f '(x ) 单调递减， f '(x ) < f '(0) = 0 ， 此时 f (x ) 在(0, m ) 上递减， f (x ) < f (0) = 0 ，不合题意，舍去． 综上， a 的范围(-∞ 124．（2020•湖北模拟）已知函数 f (x ) = x 2 +πcos x ． （）求函数 f (x ) 的最小值；（）若函数 g (x ) = f (x ) - a 在(0, +∞) 上有两个零点 x 1 ， x 2 ，且 x 1 < x 2 ，求证： x 1 + x 2 < π． 【分析】（1）由于函数 f (x ) 为偶函数，故只需求 x ∈[0 ， +∞) 时 f (x ) 的最小值，利用 f '(x ) = 2x - πsin x ，对 x 分 x ∈ 小值； π (0, ) 2 及 x ∈ π， +∞) ，两类讨论，即可求得函数 (x ) 的最 2（2）只需证 x 1 + x 2 < π ，其中 x ∈ π ，x ∈ π，+∞) ，构造函数 F (x ) = f (x ) - f π- x ) ，2 2 1(0, 2 ) 2 ( 2 x ∈π，利用导数结合题意可证得 x + x < π． (0, ) 2 1 2【解析】：（1）由于函数 f (x ) = x 2 +πcos x 为偶函数，要求函数 f (x ) 的最小值，只需求 x ∈[0 ， +∞) 时 f (x ) 的最小值即可． 因为 f '(x ) = 2x - πsin x ，所以，当 x ∈ π(0, ) 2 时，设 h (x ) = 2x - πsin x ， h '(x ) = 2 - πcos x ，显然 h '(x ) 单调递增，而h '(0) < 0 ， h ' π > 0 ，由零点存在定理，存在唯一的 x ∈ π，使得 h '(x ) = 0 ，⋯2 分( 2 ) 0 (0, 2 ) 0 当 x ∈ (0, x ) ， h '(x ) < 0 ， h (x ) 单减，当 x ∈(x ， π ， h '(x ) > 0 ， h (x ) 单增，而 h (0) = 0 ， ) 0 0 2h ( ) = 0 ， x ∈ 2 ππ (0, ) 2 ， h (x ) < 0 ，即 x ∈ π ， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单减， ⋯4 分2π π2又当 x ∈( 2 ，+∞) ，2x > π> πsin x ， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单增，所以 f (x )min = f ( 2 ) =；⋯5 4《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 5页（共 12页）[ π分 （2）只需证 x 1 + x 2 < π，其中 x ∈π， x ∈ π， +∞) ， 2 2 1 (0, 2 ) 2( 2构造函数 F (x ) = f (x ) - f (π- x ) ， x ∈ (0, ) ，2F '(x ) = f '(x ) + f '(π- x ) = 2π- 2πsin x > 0 ，即 F (x ) 单增， 所以， F (x ) < π F ( ) 2 = 0 ，即当 x ∈ π(0, ) 2f (x ) < f (π- x ) ，而 x ∈ π ，1(0, 2) 所以， f (x 1 ) < f (π- x 1 ) ，又 f (x 1 ) = f (x 2 ) ，即 f (x 2 ) < f (π- x 1 ) ，此时 x ，π- x ∈ π ，+∞) ，由第（1）问可知， f (x ) 在 π ，+∞) 上单增，所以，x < π- x ，2 2 ( 2 ( 2 2 1x 1 + x 2 < π，即证⋯12 分5．（2020•山东模拟）已知函数 f (x ) = e x - x （其中 e = 271828⋯为自然对数的底数）（1） 证明：对任意的 x ∈ R 都有 f (x ) > 0 ； （2） 设 g (x ) = f (x ) cos x + x (cos x - sin x )(x ∈(0 ，π))(i) 若存在 x ∈ π，π) ，使得不等式 g (x ) m 成立，求实数 m 的取值范围； 0 [ 2 0 (ii) 求函数 g (x ) 的零点个数．【分析】（1）问题转化为求解 f (x ) 的取值范围，先对函数求导，结合导数可求函数的单调性，进而可证；（2）(i ) 由已知转化为求解函数的最值或范围，对函数求导，结合导数与单调性的关系可求； (ii ) 结合导数与单调性的关系判断函数的单调性，然后再由零点判定定理即可求解． 【解答】（1）证明： f '(x ) = e x -1 ，当 x < 0 时， f '(x ) < 0 ，函数单调递减，当 x > 0 时， f '(x ) > 0 ，函数单调递增， 故当 x = 0 时，函数取得最小值 f (0) = 1 > 0 ，所以 f (x ) > 0 恒成立； （2）解： (i ) 存在 x ∈ π，π) ，使得不等式 g (x ) m 成立等价于 m g (x ) ，0 [ 2 0max 因为 g (x ) = e x cos x - x sin x ， g '(x ) = e x (cos x - sin x ) - sin x - x cos x ， = (e x - x ) cos x - (e x + 1) sin x ，x ∈ π，π) ，且 e x > x 恒成立，2所以(e x - x ) cos x 0 ， (e x +1)sin x > 0 ，所以 g '(x ) < 0 即 g (x ) 在[ 1π,π) 上单调递减， g (x )2max= g ( 1π) = - 1π，2 2∴ m - 1π，2(ii )g (x ) = e x cos x - x sin x ， x ∈ (0,π) ，①当 x ∈[ 1π,π) 时，由(i ) 知， g (x ) 单调递减，且 g ( 1π) = - 1π< 0 ，2 2 2《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 6页（共 12页）时，(0, ] ( , π , )所以 g (x ) 在 x ∈[ 1π,π) 时没有零点，2 ②当 x ∈ π 时，由（1） e x> x > 0 ， cos x sin x > 0 ，4所以 e x cos x > x sin x 即 g (x ) > 0 ，没有零点；③当 x ∈ π 1π) 时， g '(x ) = e x (cos x - sin x ) - sin x - x cos x < 0 ，即 g (x ) 单调递减，4 2又 g ( ) > 0 ， g ( 4 1π) < 0 ，2 所以 g (x ) 有一个零点， 综上 g (x ) 的零点个数为 1．6．（2020•山东模拟）已知函数 f (x ) = e x - 2sin x ．（1） 若∀x ∈[0 ， +∞) ， f (x ) 1 - ax 恒成立，求正数 a 的取值范围； （2） 求证 f (x ) 在(-π+∞) 上有且仅有两个极值点．2【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对 a 进行分类讨论，确定导数的符号，从而可得函数的单调性，然后结合不等式的恒成立与最值的相互转化关系可求； （2）先对函数求导，然后结合函数的极值与导数的变号零点的关系，结合导数与函数的性 质及零点判定定理进行推理可证．【解析】：（1）令 g (x ) = e x - 2sin x + ax -1 ，则 g '(x ) = e x - 2cos x + a ， g '' (x ) = e x + 2sin x > 0 在 x 0 上恒成立，所以 g '(x ) 在 x ∈[0 ， +∞) 上单调递增，且 g '(0) = a - 1 ， ①当 a 1 时， g '(x ) a - 1 0 ，即 g (x ) 单调递增，且 g (0) = 0 ，所以 g (x ) g (0) = 0 ，满足题意；②当0 < a < 1 时， g '(ln 2) = a + 2 - 2 c os(ln 2) > 0 ，所以存在 x 0 ∈ (0, ln 2) 使得 g '(x ) = 0 ， 当 x ∈ (0, x 0 ) 时， g '(x ) < 0 ， g (x ) 单调递减，此时 g (x ) < g (0) = 0 ，不符合， 综上可得， a 1 ，证明：（2）令 F (x ) = f '(x ) = e x - 2cos x ， F '(x ) = e x + 2sin x ，① x π时， F '(x ) = e x + 2sin x > e π - 2 > 0 ，故此时 F (x ) 单调递增， F (x ) F (π) = e π + 2 > 0 ， 从而此时没有极值点，② 0 < x < π 时 ， F (π) = e π + 2 > 0 ，F '(x ) = e x+ 2sin x > 0 ， 故 此 时 F (x ) 单 调 递 增 ， F (, 0) = -1 < 0 ，所以存在 x 1 ∈ (0,π) 使得 F (x 1 ) = 0 ，此时 f (x ) 有一个极值点；③ - 1π< x < 0 时，F '' (x ) = e x + 2cos x > 0 ，此时 F '(x ) 单调递增，且 F '(-π < 0 ，F '(0) = 1 > 0 ， 2 4所以存在 x ∈ (-π, 0) 使得 F '(x ) = 0 即e x 2= -2sin x ，2 4 2 2故 F (x ) 在(- 1π, x ) 上单调递减，在(x ， 0) 上单调递增，2 2 又F (- 2- 1π π) = e 2> 0 ，2F (0) = -1 < 0 ，F (x ) = e x 2- 2 cos x = -2(sin x + cos x ) = -2 2 sin(x + π< 0 ，2 2 1 2 24 )《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 7页（共 12页）1) ) )( ,所以存在 x ∈ (- 1 π, x ) 使得 F (x ) = 0 ，故 f (x ) 在(- 1π, 0) 上有一个极大值．3 2 2 32综上， f (x ) 在(-π, +∞) 上有且仅有两个极值点． 27．（2020•合肥二模）已知函数 f (x ) = e x sin x ． (e 是自然对数的底数）（1） 求 f (x ) 的单调递减区间；π（2） 若函数 g (x ) = f (x ) - 2x ，证明 g (x ) 在(0,π) 上只有两个零点．（参考数据： e 2 ≈ 4.8)【分析】（1）由 f '(x ) < 0 得sin(x + π < 0 ，利用正弦函数的单调性质可得 f (x ) 的单调递减4区间；（2）依题意可得 g '(x ) = e x (sin x + cos x ) - 2 ，分析其单调情况并作出图象，利用零点存在性定理可得， g (x ) 在(x 1 ， x 2 ) 和(x 2 ，π) 内各有一个零点，从而可证得结论成立． 【解答】（本小题满分 12 分）解：（1） f (x ) = e x sin x ，定义域为 R . f '(x ) = e x (sin x + cos x ) = 2e x sin(x + π．4由 f '(x ) < 0 得sin(x + π < 0 ，解得2k π+ 3π < x < 7π+ 2k π(k ∈ Z ) ． 4 4 4∴ f (x ) 的单调递减区间为[3π + 2k π, 7π+ 2k π](k ∈ Z ) ．（5 分）4 4（2） g '(x ) = e x (sin x + cos x ) - 2 ，∴ g '(x ) = 2e x cos x ． x ∈ (0,π) ，∴当 x ∈ π (0, ) 2 时， g '(x ) > 0 ；当 x ∈ ππ) 时， g ''(x ) < 0 ． 2 ∴ g '(x ) 在 π 上单调递增，在 ππ) 上单调递减，(0, ) 2 又 ' = - <， ' π = ( ,2 π - > ， ' π = - π - < ，g (0) 1 2 0 g ( ) e 22 0 2g ( )e 2 0 ∴ g '(x ) 在(0,π) 上图象大致如右图．∴ π， xπ1(0, 2) 2 ( 2 , 1 2 且当 x ∈(0, x 1 ) 或 x ∈(x 2 ，π) 时， g '(x ) < 0 ；当 x ∈ (x 1 ， x 2 ) 时， g '(x ) > 0 ． ∴ g (x ) 在(0, x 1 ) 和(x 2 ，π) 上单调递减，在(x 1 ， x 2 ) 上单调递增． g (0) = 0 ，∴ g (x 1 ) < 0 ．π= - π> ，∴ > ， g () e 2 20 g (x 2 ) 0 又 g (π) = -2π< 0 ，由零点存在性定理得， g (x ) 在(x 1 ， x 2 ) 和(x 2 ，π) 内各有一个零点，∴函数 g (x ) 在(0,π) 上有两个零点．（12 分）《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 8页（共 12页）π) ) } [ πππ π8．（2020•湖南模拟）已知函数 f (x ) = ae x - cos x (a ∈ R , x > -π．2（1） 证明：当 a = 1 时， f (x ) 有最小值，无最大值；（2） 若在区间(-π,π) 上方程 f (x ) = 0 恰有一个实数根，求 a 的取值范围，2【分析】（1）求导，根据导数正负判断单调性，判断最值，（2）令 f (x ) = 0 ，则分离参数，转化为两个函数交点为一个，通过求导，判断单调性，判断最值和极值，也可画出图象，根据交点个数，求参数．【解析】：（1） a = 1 时， f (x ) = e x - cos x ， f '(x ) = e x + sin x ， f '(x ) = e x + cos x ， 当- < 2 x 0 ， e x ， > 0 ， cos x > 0 ，则 f '(x ) > 0 ；当0 < x ， e x ， > 1， cos x -1，则 f '(x ) > 0 ； 即当- < 2'x ， f '(x ) > 0 ；π ∴ f (x ) 在- < x 时单调递增，2' -π = -π - < ， ' = > ，f ( ) e 21 0 2f (0) 1 0存在 x ∈ (-π, 0) ，使得 f '(x ) = 0 ，则当- < 22 x < x 0 0 ， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减； 当 x 0 < x ， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增； 故 f (x ) 有最小值 f (x 0 ) ，无最大值；（2）若在区间(-π,π) 上方程 f (x ) = 0 恰有一个实数根，2则 a = cos x 在区间(-π,π) 上恰有一实根，e x 2则函数 y = a 与 g (x ) = cos x 在区间(-π,π) 上恰有一交点，e x 2 - 2 sin(x + ππ因为 g '(x ) = 4 e x ， x ∈ (- ,π) ，2令 g '(x ) = 0 ，解之得 x = -π，或 3π，4 4 当 x ∈ (-π， - π ， (3π ，π) 时， g '(x ) > 0 ；当 x ∈ (-π， 3π 时， g '(x ) < 0 ； ) )2 4 4 4 4 则 g (x ) 在(- π ， - π 上单调递增，在(- π ， 3π上单调递减，在(3π ，π) 上单调递增， 即极大值为 ) 2 4 -π =4 ，极小值 3π )4 2 ， -π = ，4 π = - 1，g ( ) e 44 2 g ( ) = - 4 3π2e 4g ( ) 0 2 g ( ) e π 因为函数 y = a 与 g (x ) = cos x 在区间(-π,π) 上恰有一交点，e x 2 ∴ a ∈{- 2 - 1 ， 0] { 2 e 4 } ． 3πe π22e 49．（2020•武汉模拟）已知函数 f (x ) = e x (x 2 + 8x - 4) ．《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 9页（共 12页）2 π21 m m sin x （2）令 ， （1） 求函数 f (x ) 的单调区间；（2） 若关于 的不等式e x (x 2 + 8x - 4) + 在4， +∞) 上恒成立，且 m ≠ 0 ，求实数 m 的取值范围．【分析】（1）先求导，求导函数的零点，判断每个被零点分开的区间导数的正负，可知单调性．（2）令 x = 0 时求出 m 1 ，然后求在m 1 时， m 的取值范围，分离参数求最值，求出 m ． 【解答】解（1）依题意， x ∈ R ， f '(x ) = e x (x 2 + 8x - 4 + 2x + 8) = e x (x 2 + 10x + 4) ，令 f '(x ) = 0 ，即 x 2 + 10x + 4 = 0 ，解得 x = -10 ± 2 84= -5 ± ，故当 x ∈(-∞, -5 - 21) 时， f '(x ) > 0 ， 当 x ∈ (-5 - 21, -5 + 21) 时， f '(x ) < 0 ， 当 x ∈(-5 + 21, +∞) 时， f '(x ) > 0 ， 故函数 f (x ) 的单调递增区间为 (-∞, -5 - 21) 和 (-5 + 21, +∞) ， 单调递减区间为(-5 - 21, -5 + 21) ．注： -5 - 21 ， -5 + 21 处写成闭区间也给分．e x (x 2 + 8x - 4)g (x ) =+ m - m sin x 4由题意得，当 x = 0 时， g (0) = m -1 0 ，则有 m 1． 下面证当 m 1 时，对任意 x 0 ，都有 g (x ) 0 ． 由于 x ∈ R 时，1 - sin x 0 ，当 m 1 时，则有 g (x )e x ( 14x 2 + 2x - 1) + 1 - sin x ． 故只需证明对任意 x 0 ，都有 e x (14x 2 + 2x - 1) + 1 - sin x 0 ．易知 h (x ) = x - sin x 在[0 ， +∞) 上单调递增，所以当 x 0 时， h (x ) h (0) = 0 ，即 x sin x ，所以1 - x 1 - sin x ，则 e x ( 1 x 2 + 2x - 1) + 1 - sin x e x (1x 2 + 2x - 1) + 1 - x ，4 4设 F (x ) = e x ( 1 x 2 + 2x - 1) + 1 - x ， x 0 ，则 F '(x ) = e x ( 1 x 2 + 5x + 1) - 1 ．4 4 2当 x 0 时， e x 1 ， 1 x 2 + 5x + 1 1，4 2所以 F '(x ) 0 ，所以 F (x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增， 所以当 x 0 时， F (x ) F (0) = 0 ，所以对任意 x 0 ，都有 e x (14x 2 + 2x - 1) + 1 - sin x 0 ．所以当 时，对任意 ，都有e x (x 2 + 8x - 4) + ，m 1 x 0m m sin x 4故实数 m 的取值范围为[1 ， +∞) ．10．（2020•江西模拟）已知函数 f (x ) = lnx + sin x + 1 ，函数 g (x ) = ax -1 - blnx (a ， b ∈ R ， ab ≠ 0) ．（1）讨论 g (x ) 的单调性；《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 10页（共 12页）x [0（2）证明：当a =b = 1 时，g(x) 0 ．（3）证明：f (x) < (x2 + 1)e sin x ．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性；（2）结合（1）中单调性可求函数的最值；（3）由（2）可得x2e sin x -1 -ln(x2e sin x ) 0 ，即x2e sin x 1 + 2lnx + sin x ，利用不等式的性质可证．【解析】：（1）函数g(x)的定义域(0,+∞)，g'(x)=ax-b，x当a > 0 ，b < 0 时，g'(x) > 0 ，则g (x) 在(0, +∞) 上单调递增；当a > 0 ，b > 0 时，由g'(x) > 0 可得x >b ，此时函数单调递增，令g'(x) < 0 可得0 <x <b ，a a此时函数单调递减，当a < 0 ，b > 0 时，g'(x) < 0 ，函数在(0, +∞) 单调递减，当a < 0 ，b < 0 时，由g'(x) > 0 可得0 <x <b ，此时函数单调递增，令g'(x) < 0 可得x >b ，a a此时函数单调递减，（2）当a =b = 1 时，g(x) =x -1 -lnx ，由（1）知，g(x)=g （1）= 0 ，所以g(x) 0 ，min（3）因为x > 0 ，所以x2e sin x > 0 ，由（2）可得x2e sin x -1 -ln(x2e sin x ) 0 ，即x2e sin x 1 + 2lnx + sin x ，又(x2 + 1)e sin x >x2e sin x ．∴(x2 + 1)e sin x > 2lnx + sin x + 1，即f (x) < (x2 + 1)e sin x ．————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有 8 个群（7 个高中群、1 个初中群），共 3000 多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 11页（共 12页）《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 12页（共 12页）。
安徽省黄山市2021届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
2021年安徽省黄山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限”是“a＜﹣1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】：计算题．【分析】：复数的在与分母同乘分母的共轭复数化简为a+bi的形式，通过对应的点位于其次象限在其次象限，求出a的范围，即可推断它与a＜﹣1的充要条件关系．【解析】：解：复数==，由于复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限，所以，解得a，所以“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限”是“a＜﹣1”的必要而不充分条件．故选B．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查充要条件的应用，考查计算力量．2．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的标准方程；抛物线的简洁性质；双曲线的简洁性质．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：先依据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，依据离心率进而求得长半轴，最终依据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解析】：解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D 【点评】：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了对圆锥曲线基础学问的综合运用．3．（5分）已知是其次象限角，则=（）A．B．C．D．【考点】：两角和与差的正切函数．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由诱导公式化简可得，由平方关系和条件求出sinα，由商的关系求出tanα，利用两角和的正切函数求出的值．【解析】：解：由得，，由于α是其次象限角，所以sinα==，则=，所以====，故选：A．【点评】：本题考查两角和的正切函数，诱导公式，以及同角三角函数的基本关系的应用，留意三角函数值的符号，属于中档题．4．（5分）已知向量与的夹角为若，则实数m=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】：平面对量数量积的运算．【专题】：平面对量及应用．【分析】：求出=3×=3，化简开放（3）•（m）=0，代入||=3，||=2，即可得出42m=87，求出m即可．【解析】：解：∵向量与的夹角为，||=3，||=2，∴=3×=3，∵=3，=m ，⊥，∴（3）•（m）=0即3m||2+（5m﹣9）﹣15||2=0，42m=87m=．故选：A【点评】：本题考查了平面对量的运算，娴熟运用公式，计算精确，难度不大，关键是依据数量积运算，结合运算法则，运用好向量运算的特殊性．5．（5分）已知Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，A是由直线y=0，x=a（0＜a≤1）和曲线y=x3围成的曲边三角形的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A 内的概率是，则a的值为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【分析】：依据题意，易得区域Ω的面积，由定积分公式，计算可得区域A的面积，又由题意，结合几何概型公式，可得=，解可得答案．【解析】：解：依据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1=1，区域A即曲边三角形的面积为∫0a x3dx=x4|0a =a4，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A 内的概率是，则有=，解可得，a=，故选D．【点评】：本题考查几何概型的计算，涉及定积分的计算，关键是用a表示出区域A的面积．6．（5分）下列四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ听从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）=﹣p；④在回归直线方程y=0．lx+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，其中正确的命题个数是（）A．．1个B．2个C．．3个D．．4个【考点】：命题的真假推断与应用．【专题】：概率与统计；简易规律．【分析】：①这样的抽样是系统抽样，即可推断正误；②利用方差的计算公式及其性质，即可推断正误；③利用正态分布的对称性可得：P（﹣l＜ξ＜0）=，即可推断正误；④利用斜率的意义，即可推断正误．【解析】：解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，因此不正确；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，正确；③设随机变量ξ听从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）==﹣p，正确；④在回归直线方程y=0.1x+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，正确．其中正确的命题个数是3．故选：C．【点评】：本题考查了概率统计的有关学问、简易规律的判定方法，考查了推理力量，属于中档题．7．（5分）在平面直角坐标系内，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，直线l 的参数方程是为参数）．若M，N分别为曲线C与直线l上的动点，则|MN|的最小值为（）A．+1 B．3﹣1 C．﹣1 D．3﹣2【考点】：参数方程化成一般方程．【专题】：直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】：将ρ=2cosθ转化为一般方程，将直线l的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线l的距离，由直线与圆的位置关系求出|MN|的最小值．【解析】：解：由ρ=2cosθ得，ρ2=2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程x2+y2=2x，即x2+y2﹣2x=0，则曲线C是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，由得，x﹣y+5=0，所以直线l的直角坐标方程是x﹣y+5=0，则圆心（2，0）到直线l的距离d==＞1，由于M，N分别为曲线C与直线l上的动点，所以|MN|的最小值为﹣1，故选：B．【点评】：本题考查圆的极坐标方程，直线的参数方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，考查运算求解力量，化归与转化思想，属于中档题．8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四周体ABCD的顶点坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）（0，0，0），则该四周体的正视图的面积不行能为（）A．B．C．D．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中的点的坐标．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题意画出几何体的直观图，可知直观图为连接棱长是1的正方体的四个顶点组成的正四周体，其最大正投影面为边长是1的正方形，由此断定其正视图的面积不会超过1，则答案可求．【解析】：解：一个四周体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是：（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四周体，其正视图的最大投影面是在x﹣O﹣y或x﹣O﹣z或y﹣O﹣z面上，投影面是边长为1的正方形，∴正视图的最大面积为1，∴不行能为，故选：D．【点评】：本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图等学问，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象力量、推理论证力量和运算求解力量，是中档题．9．（5分）某人设计一项单人玩耍，规章如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，假如掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，始终循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的全部不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．36种【考点】：排列、组合的实际应用．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共有4种组合，前四种组合又可以排列出A33种结果，得到结果．【解析】：解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A33=6种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．依据分类计数原理知共有24+1=25种结果，故选C．【点评】：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的挨次则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有肯定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．10．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【考点】：根的存在性及根的个数推断．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：由题意可推断函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，令g（x）=log a（x+1），画出f （x）与g（x）在时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）与g（x）在[0，+∞）的部分图象如下图y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点，g（x）在（0，+∞）上单调递减，则，解得：0＜a ＜，故选A．【点评】：本题考查了数形结合的思想，同时考查了同学的作图力量与转化力量，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上）11．（5分）已知（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N，n＞4）若2a2+a n一3=0，则n=8．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：由二项开放式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r，可得a n=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣3=0，由此可解得自然数n的值．【解析】：解：由题意得，该二项开放式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r，∴其系数a n=（﹣1）r•，∵2a2+a n﹣3=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣3=0，∴2×﹣=0，∴n﹣2=6．∴n=8．故答案为：8【点评】：本体考察二项式定理的应用，着重考察二项式系数的概念与应用，由二项开放式的通项公式得到系数a n=（﹣1）r•是关键，属于中档题．12．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2．【考点】：简洁线性规划的应用．【专题】：计算题；数形结合．【分析】：本题考查的学问点是简洁线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．【解析】：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．【点评】：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．13．（5分）某调查机构对本市学校生课业负担状况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x分钟．有1000名学校生参与了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的频率是0.32．【考点】：循环结构；分布的意义和作用．【专题】：图表型．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是统计1000名中同学中，平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的人数．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是统计1000名中同学中，平均每天做作业的时间不在0～60分钟内的同学的人数．由输出结果为680则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的人数为1000﹣680=320故平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的频率P==0.32故答案为：0.32【点评】：本题考查的学问点是程序框图和分层抽样，依据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．14．（5分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N*，若数列{a n}是单调递增数列，则的取值范围是．【考点】：数列的函数特性．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】：函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N *，若数列{a n}是单调递增数列，可得，解得2≤a ＜3．=a+1++1，令a+1=t∈[3，4），f（t）=t++1，利用导数争辩其单调性即可得出．【解析】：解：∵函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n ∈N*，若数列{a n}是单调递增数列，∴，解得2≤a ＜3．∴=a+1++1，令a+1=t∈[3，4），f（t）=t++1，f′（t）=1﹣=＞0，∴f（t）在t∈[3，4）单调递增；∴f（3）≤f（t）＜f（4），可得．∴的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了数列的函数性质、利用导数争辩函数的单调性、一次函数与指数函数的单调性，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．15．（5分）已知集合A={a1，a2，…，a n}中的元素都是正整数，且a l＜a2＜…＜a n，集合A具有性质P：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥．给出下列命题：①集合{1，2，3，4}不具有性质P；②；③不等式i（n﹣i）＜25对于i=1，2，…，n﹣1均成立；④A中最多可以有10个元素．其中正确命题的序号是②③（将全部正确命题的序号都填上）【考点】：命题的真假推断与应用；元素与集合关系的推断．【专题】：压轴题．【分析】：①利用性质对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，代入即可推断；②依题意有|a i﹣a i+1|≥（i=1，2，n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此a i+1﹣a i≥（i=1，2，n﹣1）．由此能够证明；③由＞，a≥1可得1＞，因此n＜26．同理，由a i≥i即可得推断；④由③，结合不等式可推导出n≤9．【解析】：解：①由于|1﹣2|，|1﹣3|，|1﹣4|，|2﹣3|，|2﹣4|，|3﹣4|，∴集合{1，2，3，4}具有性质P，故不正确；②依题意有|a i﹣a i+1|≥（i=1，2，n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此a i+1﹣a i ≥（i=1，2，n﹣1）．所以（i=1，2，n﹣1）；所以++…+，即，故正确；③由＞，a≥1可得1＞，因此n＜26．同理，可知，又a i≥i ，可得，所以不等式i（n﹣i）＜25对于i=1，2，…，n﹣1均成立，故正确；④由③，当n≥10时，取i=5，则i（n﹣i）=5（n﹣5）≥25，从而n＜10，而又当n≤9时，i（n﹣i）≤=＜25，所以n≤9，故不正确；故答案为：②③．【点评】：本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，留意公式的合理运用，合理地进行等价转化．三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内．）16．（12分）已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．【考点】：余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：计算题；解三角形．【分析】：（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．【解析】：解：（1）∵sin2C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）①又a2+b2=6abcosC=3c2cosC②由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（2）=sin（ωx ﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴∴ω=2∴f（x）=sin（2x ﹣）∴f（A）=sin（2A ﹣）∵＜A ＜，∴0＜2A ﹣＜∴0＜sin（2A ﹣）≤1∴0＜f（A）≤．【点评】：本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查同学的计算力量，属于中档题．17．（12分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C l中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1C=CA=AB=a，AA1=a，AB⊥AC，D为AA1的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A l（Ⅱ）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E﹣A1C1一A 的大小为．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】：（Ⅰ）通过线面垂直的判定定理及等腰三角形的性质可得结论；（Ⅱ）以点C为原点，以CA、CA1分别为x、z轴建立坐标系，则平面A1C1A的一个法向量与平面EA1C1的一个法向量的夹角的余弦值的确定值为，计算即可．【解析】：（Ⅰ）证明：侧面A1ACC1⊥底面ABC，AB⊥AC，平面A1ACC1∩底面ABC=AC，∴AB⊥平面A1ACC1，又CD⊂平面A1ACC1，∴CD⊥AB，又∵AC=A1C，D为AA1的中点，∴CD⊥AA1，∴CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）解：已知A1C⊥平面ABC，如图所示，以点C为原点，以CA、CA1分别为x、z轴建立坐标系，则有A（a，0，0），B（a，a，0），A1（0，0，a），B1（0，a，a），C1（﹣a，0，a），设=λ（0≤λ≤1），则点E的坐标为（（1﹣λ）a，a，λa）．由题意得平面A1C1A 的一个法向量为=（0，1，0），设平面EA1C1的一个法向量为=（x，y，z），=（﹣a，0，0），=（（1﹣λ）a，a，（λ﹣1）a），由，得，令y=1，则有=（0，1，），∴==，解得λ=1﹣，∴当=（1﹣）时，二面角E﹣A1C1一A 的大小为．【点评】：本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象力量，留意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）深圳市某校中同学篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求其次次训练时恰好取到一个新球的概率．【考点】：离散型随机变量的期望与方差．【分析】：（1）ξ的全部可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为大事A i（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为大事B，则“其次次训练时恰好取到一个新球”就是大事A0B+A1B+A2B．而大事A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论．【解析】：解：（1）ξ的全部可能取值为0，1，2设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为大事A i（i=0，1，2）．由于集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P（A0）=P（ξ=0）==；P（A1）=P（ξ=1）==；P（A2）=P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为大事B，则“其次次训练时恰好取到一个新球”就是大事A0B+A1B+A2B，而大事A0B、A1B、A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=++==．【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键．19．（12分）己知椭圆的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=一1上，且椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点直线AM交直线，于点C，N为线段BC 的中点，求的值．【考点】：椭圆的简洁性质；平面对量数量积的运算．【专题】：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）通过点B在直线l：y=一1上，得b=1，再依据=及a、c与b之间的关系，易得a2=4，从而可得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），x0≠0，则点P满足椭圆方程，依据题意，易得M （，y0）、N （，﹣1），计算即可•【解析】：解：（Ⅰ）∵且点B在直线l：y=一1上，∴b=1，又∵=，a2﹣c2=b2=1∴a2=4，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设P（x0，y0），x0≠0，则Q（0，y0），且，∵M为线段PQ的中点，∴M （，y0），∵A（0，1），∴直线AM 的方程为：，令y=﹣1，得C （，﹣1），∵B（0，﹣1），N为线段BC的中点，∴N （，﹣1），∵=（﹣，y0+1），=（，y0），∴=（﹣）+y0（y0+1）==﹣+y0=1﹣（1+y0）+y0=0•【点评】：本题考查椭圆方程，中点坐标公式，向量数量积的运算，留意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=lnx﹣p（x﹣1），p∈R．（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=xf（x）+P（2x2﹣x﹣1），对任意x≥1都有g（x）≤0成立，求P的取值范围．【考点】：利用导数争辩函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间；（2）对于任意实数x≥1，g（x）≤0恒成立，等价于xlnx+p（x2﹣1）≤0，设g（x）=xlnx+p（x2﹣1），由于g （1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x2﹣1）在x≥1时是减函数，再分别参数p，问题转化为求函数的最小值．【解析】：解：（1）当p=1时，f（x）=ln x﹣（x﹣1），f′（x）=﹣1，令f′（x）＞0，∴x∈（0，1），故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；令f′（x）＜0，得x∈（1，+∞），故函数f（x）的单调减区间为（1，+∞）；（2）由题意函数g（x）=xf（x）+p（2x2﹣x﹣1）=xlnx+p（x2﹣1），则xlnx+p（x2﹣1）≤0，设g（x）=xlnx+p（x2﹣1），由于g（1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x2﹣1）在x≥1时是减函数即可，又由于g′（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+1≤0在x≥1时恒成立，即p在x≥1时恒成立，由于时，x=1，得当x=1时，取最小值﹣，∴p≤﹣．【点评】：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，同时考查了函数最值的运用，有肯定的综合性．21．（14分）己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n =是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出全部的m，n的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）令c n =，记数列{c n}的前n项和为S n，其中n∈N*，求S n的取值范围．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由a n+12=2a n2+a n a n+1，可得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，由于各项均为正数的数列{a n}，可得a n+1=2a n，再利用a2+a4=2a3+4，及等比数列的通项公式即可得出．（II）b n ==，假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n 成等比数列，则，化为=，由＞0，解出m的范围，再依据正整数m，n（1＜m＜n）即可得出．（III）c n ==，利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”方法可得S n，再利用数列的单调性即可得出．【解析】：解：（I）由a n+12=2a n2+a n a n+1，可得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，∵各项均为正数的数列{a n}，∴a n+1=2a n，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a2+a4=2a3+4，∴=+4，解得a1=2．∴．（II）b n ==，假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列，则，化为=，由＞0，解得，又正整数m，n（1＜m＜n），∴m=2，此时n=12．因此当且仅当m=2，n=12时，使得b1，b m，b n成等比数列．（III）c n ====，∴S n =++…+=+=，∵数列即单调递减，∴0＜≤=．∴≤＜．∴S n 的取值范围是．【点评】：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了变形力量，考查了推理力量与计算力量，属于难题．。
2025届安徽江南十校高考数学二模试卷含解析
2025届安徽江南十校高考数学二模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．982．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦ 4．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．125．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） AB ．3CD ．26．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥7．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x-=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=8．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<9．函数()sin 2sin 3f x x m x x =++在[,]63ππ上单调递减的充要条件是（ ）A ．3m ≤-B ．4m ≤-C ．33m ≤-D ．4m ≤10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432B ．576C ．696D ．96011．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的值域是[]0,1B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数12．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33-B ．3C ．332- D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥市2021届高三一模数学试题及答案(理科)
合肥市2021年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）（解析版） （考试时间：120 分钟满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数2i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A.33i 22+ B.33i 22-C.13i 22+ D.13i 22- 【答案】C 【详解】()()()()=-+--=+-=i i i i i i z 111212i 2321-，所以i z 2321+=， 故选：C.2.已知集合{}2xA y y ==，{B x y ==，则A B ⋂=（ ）A.∅B.[]0,1C.()0,1D.(]0,1【答案】D 【详解】{}x y y A 2==()∞+=，0，{}(]1,1∞-=-==x y x B ，所以(]1,0=B A ， 故选;D.3.某商场2020年部分月份销售金额如下表：若用最小二乘法求得回归直线方程为6.171.38ˆ-=x y，则a =（ ） A.198.2 B.205 C.211 D.213.5 【答案】B 【详解】 由题意知，5108642++++=x 6=，5850536828613264aa y +=++++=， 因为样本中心点()y x ,在回归直线方程6.171.38ˆ-=x y上， 所以6.1761.385850-⨯=+a，解得205=a ， 故选：B.4.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足321n n S a =-，则5a =（ ）A.32B.321C.116- D.16- 【答案】D 【详解】当1=n 时，12311-=a a ，11-=a ，当2≥n 时，12311--=-n n a S ，又123-=n n a S ，两式相减，得1-223n n n a a a -=， 即1-2n n a a -=()2≥n ，所以数列{}n a 为以1-为首项，以2-为公比的等比数列， 所以()()162145-=-⨯-=a ，故选：D.5.已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，椭圆E 上一点()2,1P 关于原点的对称点为Q ，若PQF △的周长为则a b -=（ ）B.2【答案】A 【详解】取椭圆E 的右焦点F '，连接F P '，F Q '，则四边形F QFP '为平行四边形，则QF F P ='，因为PQF ∆的周长为5224+，所以5224+=++PQ QF PF ，所以52242+=+'+PO F P PF ，由椭圆定义知，a F P PF 2='+，因为()1,2P ，所以51222=+=PO ，所以5224522+=+a ，解得22=a ， 又点()1,2P 在椭圆E 上，所以11422=+ba ， 解得2=b ，所以2222=-=-b a ，故选：A.6.自2019年1月1日起，我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个人所得税税额=应纳税所得额⨯税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.部分税率与速算扣除数见下表：若某人全年综合所得收入额为249600元，专项扣除占综合所得收入额的20%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，则他全年应缴纳的个人所得税应该是（）A.5712元B.8232元 C.11712元 D.33000元【答案】A 【详解】由题意知，应纳税所得额为()-%20-12496008232060000456052800=--， (]144000,3600082320∈，所以税率为%10，则此人全年应缴纳个人所得税应该为57122520%1082320=-⨯， 故选：A.7.在ABC △中，2AB =，3AC =，2BD DC =，AE EB =，则AD CE ⋅=（ ）A.76-B.76C.163- D.163【答案】C 【详解】+=+=AB BD AB AD ()AC AB AB AC AB BC 32313232+=-+=+，AC AB AC AE CE -=-=21， 所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅AC AB AC AB CE AD 21323131633226132612222-=⨯-⨯=-AC AB ，故选：C. 【点睛】关键点睛：⑴用向量AB ，AC 作基底表示向量AD ，CE ；⑵用平面向量的数量积运算公式计算CE AD ⋅的值.8.设函数()21log 20,0x x f x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩.若14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()1f x k +=有唯一解，则实数k 的取值范围为（ ）A.(B.⎡⎣C.()0,2D.[)1,2【答案】B 【详解】因为⎪⎩⎪⎨⎧≤->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0,0,21log )(2x x x x x f ，所以()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-->⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+1,11,23log )1(2x x x x x f ， 方程k x f =+)1(在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一解，即函数)1(+=x f y 与函数k y =的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一交点，画出)1(+=x f y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4的图象，如图所示，由图象可知31<≤k ，故选：B.【点睛】关键点睛：⑴准确画出函数)1(+=x f y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4的图象；⑵方程k x f =+)1(在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一解，即函数)1(+=x f y 与函数k y =的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,4上有唯一交点.9.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”P ABCD -，PA AB AD ==，E ，F 分别为棱PB ，PD 的中点.以下四个结论：①PB ⊥平面AEF ；②EF ⊥平面PAC ；③平面PBD ⊥平面AEF ：④平面AEF ⊥平面PCD .其中正确的是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】D 【详解】因为AD AB =，四边形ABCD 为矩形，所以四边形ABCD 为正方形， 因为四棱锥ABCD P -有一条侧棱与底面垂直，且AB PA =AD =， 所以⊥PA 平面ABCD ，所以AP AD AB ,,两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系xyz A -，则()0,0,0A ，()0,0,2B ，()0,2,2C ，()0,2,0D ，()2,0,0P ，()1,0,1E ，()1,1,0F ，对①：因为()2,0,2-=PB ，()1,1,0=AF ，()0212-1002≠-=⨯+⨯+⨯=⋅AF PB ， 所以PB 和AF 不垂直，所以PB 与平面AEF 不垂直，故①错误； 对②：()0,1,1-=EF ，()2,0,0=AP ，()0,2,2=AC ，因为()200101⨯+⨯+⨯-=⋅AP EF 0=，()0002121=⨯+⨯+⨯-=⋅AC EF ， 所以AP EF ⊥，AC EF ⊥，A AC AP = ，所以⊥EF 平面PAC ，故②正确； 对③：()2,0,2-=PB ，()0,2,2-=BD ，()1,1,0=AF ，()0,1,1-=EF ，设平面PBD 的法向量为()z y x m ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BD m PB m ，得⎩⎨⎧=+-=-022022y x z x ，令1=x ，则()1,1,1=m，设平面AEF 的法向量为()z y x n ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0EF n AF n ，得⎩⎨⎧=+-=+00y x z y ，令1=x ，则()1,1,1-=n，因为01≠=⋅n m，所以平面PBD 与平面AEF 不垂直，故③错误；对④：()2,2,0-=PD ，()0,0,2-=CD ，设平面PCD 的法向量为()z y x a ,,=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0CD a PD a ，得⎩⎨⎧=-=-02022x z y ，令1=y ，则()1,1,0=a ， 又平面AEF 的法向量为()1,1,1-=n，且()0111110=-⨯+⨯+⨯=⋅n a，所以平面⊥AEF 平面PCD ，故④正确； 故②④正确， 故选：D.10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin 2sin 2sin cos a A c C b C A +=，则角A 的最大值为（ ）A.6π B.4π C.3πD.23π 【答案】A【详解】由正弦定理和余弦定理得R a A 2sin =，R b B 2sin =，RcC 2sin =，bc a c b A 2cos 222-+=，由A C b C c A a cos sin 2sin 2sin =+，得⋅⋅=⋅+⋅R c b R c c R a a 22222bc a c b 2222-+， 化简得2222b c a =+，即2222c b a -=，代入bca cb A 2cos 222-+=，得bcc b c b A 22cos 2222--+=234324322=⋅⋅≥+=bc c b bc c b ，当且仅当c b 3=时等号成立，所以⎥⎦⎤⎝⎛∈30π，A ，所以A 的最大值为3π， 故选：A.11.设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，曲线C 上一点P到x 轴的距离为2a ，12120F PF ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）B.1+C.2+D.4【答案】C 【详解】因为双曲线C 上一点P 到x 轴的距离为a 2， 由等面积法得，212121sin 21221PF F PF PF a F F ∠⋅⋅⋅=⋅⋅， 即︒⋅⋅⋅=⋅⋅120sin 21222121PF PF a c ，所以ac PF PF 3821=， 由余弦定理得，+=21221PF F F ︒-120cos 22122PF PF PF ，即()()22122PF PF c -=213PF PF +，即()2122122212PF PF PF PF PF PF +-=+，即()()2222a c =ac 383⨯+，整理得-+ac c 232032=a ， 两边同时除以2a ，得03232=-+e e ，解得23+=e 或23-=e （舍），故选：C.12.若两个正四面体的顶点都是一个棱长为1的正方体的顶点，则这两个正四面体公共部分的体积为（ ） A.516 B.14 C.524D.16【答案】D 【详解】如图，在正方体中作出两个四面体，结合立体图形可知，两个四面体的公共部分是以正方体六个面的中心为顶点的正八面体， 将该正八面体分为上、下两个完全相同的正四棱锥，且每个正四棱锥的棱长均为22，高为21，所以该正八面体的体积21223122⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=V61=，故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查空间几何体的特征、多面体体积的求解.解题关键是：⑴在正方体中作出两个正四面体；⑵结合立体图形知，两个四面体的公共部分是以正方体六个面的中心为顶点的正八面体.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.若实数x，y满足条件10,10,220,x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则32x y-的最小值为 .【答案】2-【详解】由线性约束条件画出可行域，如图中阴影部分，设yxz23-=，则223zxy-=，画出直线23xy=，平移直线，当直线经过()1,0A时，直线的纵截距最大，则yxz23-=取得最小值，所以()2120323min -=⨯-⨯=-y x . 故答案为：2-. 14.若函数()ln a xf x x=的图象在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=垂直，则a 的值等于 . 【答案】 4 【详解】2ln )(x x a a x f -='，因为直线014=-+y x 的斜率为41-， 所以4)1(='f ，即4=a . 故答案为：4.15.在521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的偶次项系数之和是 .【答案】16- 【详解】521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的第1+r 项为()rr r rr r r x C x x C T 355255111--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，所以当5,3,1=r 时，对应的项为偶次项，所以x 的偶次项系数之和为16553515-=---C C C .故答案为：16-.16. 百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事渐高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年1月1日（星期五）是他们约定的“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】27【详解】 2021年共有365天，记2021年1月1日为第一天，大张三天休息一天，小张每周一或周五休息，他俩同时在2021年1月1日休息， 记集合{}3651,,14≤≤∈+==x Z k k x x A ，{}3651,4717≤≤∈+=+==y Z k k y k y y B ，或，则集合B A 中的元素的个数即为他们约定的“家庭日”的个数.①当171421+=+k k ，则2174k k =()Z k k ∈21,，所以()Z k k k ∈=3317， 因为3651411≤+≤k ，所以9101≤≤k ，则91703≤≤k ，即()Z k k ∈≤≤33130， 所以符合条件的3k 有14个；②当471421+=+k k ，则37421+=k k ()Z k k ∈21,，所以()()134221+=-k k k ， 所以()132+k 是4的倍数，所以()Z k k k ∈=+33241，所以()Z k k k ∈-=33214，因为3654712≤+≤k ，所以7361732≤≤-k ，则736114733≤-≤-k ，即()Z k k ∈≤≤3379271，所以符合条件的3k 有13个. 综上，2021年“家庭日”的个数为271314=+. 故答案为：27【点睛】本题考查等差数列的通项、集合的运算.关键点睛：⑴将大张和小张的休息日用等差数列的通项公式表示并用集合的形式表示；⑵集合B A 中的元素的个数即为他们约定的“家庭日”的个数；⑶利用3651411≤+≤k 和3654712≤+≤k ，得到3k 的范围.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A 、B 、C 三道工序，三道工序相互独立.工序A 的加工成本为70元/件，合格率为78，合格品进入工序B ；工序B 的加工成本为60元/件，合格率为67，合格品进入工序C ：工序C 的加工成本为30元/件，合格率为56.每道工序后产生的不合格品均为废品.（1）求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；（2）已知坯件加工成本为A 、B 、C 三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的期望.【答案】（1）83；（2）答案见解析 【详解】⑴ 每道工序生产的都是合格品的概率为85657687=⨯⨯， 则一个坯件在加工过程中成为废品的概率83851=-=P ； ⑵设每个坯件的加工成本为ξ元，则ξ的可能取值为70，130，160()8187170=-==ξP ；()8176187130=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==ξP ；()437687160=⨯==ξPξ∴的分布列为14543160811308170=⨯+⨯+⨯=∴ξE ,所以每个坯件加工成本的期望为145. 18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角ϕ的终边与单位圆的交点为A ，圆C ：223x y +=与x 轴正半轴的交点是0P .若圆C 上一动点从0P 开始，以rad /s π的角速度逆时针做圆周运动，t 秒后到达点P .设()2f t AP =.（1）若3πϕ=且()0,2t ∈，求函数()f t 的单调递增区间；（2）若123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，536ππϕ<<，求56f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,31；（2）22-4【详解】由已知条件和三角函数的定义得，()ϕϕsin ,cos A ，()t t Pππsin 3,cos 3，则()()222sin 3sin cos 3cos )(t tAP t f πϕπϕ-+-==t t πϕπϕsin sin 32cos cos 324--=()ϕπ--=t cos 324⑴若3πϕ=，则⎪⎭⎫⎝⎛--=3cos 324)(ππt t f 令()Z k k t k ∈+≤-≤πππππ232，解得()Z k k t k ∈+≤≤+234231 又()2,0∈t ，)(t f ∴的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,31. ⑵由2)31(=f ，653πϕπ<<，得23cos 324=⎪⎭⎫ ⎝⎛--ϕπ 即333cos =⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ， 032<-<-ϕππ ， 所以 363sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ 2243sin 32465cos 324)65(-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ϕπϕπf . 19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB BC ==AD =E ，F 分别是线段AD ，CD 的中点.以EF 为折痕把DEF △折起，使点D 到达点P 的位置，G 为线段PB 的中点.（I ）证明：平面//GAC 平面PEF ；（2）若平面PEF ⊥平面ABCFE ，求直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（I ）答案见解析；（2）105【详解】⑴连接BE 交AC 于点M ，连接GM ，CE由已知可得，四边形ABCE 是正方形，M ∴是线段BE 的中点，G 为线段PB 的中点，GM PE ∥∴⊂GM 平面GAC ，⊄PE 平面GAC ，∥PE ∴平面GAC ，F E , 分别为线段CD AD ,的中点，AC EF ∥∴,⊂AC 平面GAC ，⊄EF 平面GAC ，∥EF ∴平面GAC ，又E EF PE = ，⊂EF PE ,平面PEF ，∴平面∥GAC 平面PEF .⑵ 平面⊥PEF 平面ABCFE ，平面 PEF 平面EF ABCFE =，EF PF ⊥，⊥∴PF 平面ABCFE ，FP FC FE ,,∴两两垂直.以点F 为原点，FP FC FE ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0P ，()0,1,0C ，()0,2,1B ，()0,1,2A ，⎪⎭⎫⎝⎛21,1,21G ， ⎪⎭⎫⎝⎛-=∴21,0,23AG ，()1,1,0-=CP ，()0,0,2=CA设平面PAC 的法向量()z y x n ,,=由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CA n CP n ，得⎩⎨⎧==+-020x z y ，令1=y ， 则()1,1,0=n， 设直线AG 与平面PAC 所成角为θ，则10522521cos sin =⨯===nθ 所以直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值为105. 20.（本小题满分12分）已知F 是抛物线E ：()220y px p =>的焦点，直线l ：()()0y k x m m =->与抛物线E 交于A ，B 两点，与抛物线E 的准线交于点N .（1）若1k =时，AB =求抛物线E 的方程；（2）是否存在常数k ，对于任意的正数m ，都有2FA FB FN =⋅？若存在，求出k 的值：若不存在，说明理由.【答案】（1）x y 42=；（2）1±=k 【详解】⑴设()11,y x A ，()22,y x B由()⎩⎨⎧-==m x k y px y 22，消去y 得，()0222222=++-m k x p m k x k ， l 与抛物线E 交于两点，0≠∴k ，又0,0>>p m ，04822>+=∆∴p mp k 恒成立，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∴22122122m x x k p m x x ，当1=k 时，22122421p mp x x k AB +=-+=， 因为224+=m AB ，所以2242422+=+m p mp ， 整理得，()()0222=-++p m p ，0,0>>p m ，2=∴p ，所以抛物线E 的方程为x y 42=； ⑵假设存在常数k 满足题意.抛物线E 的方程为px y 22=，其焦点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，准线方程为2p x -=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∴2,2p m k p N ，从而22222⎪⎭⎫ ⎝⎛++=p m k p FN 由抛物线的定义得，21p x FA +=，22px FB += ， ()222221212124222k p p m p x x p x x p x p x FB FA +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴由2FN FB FA =得，22222222⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+p m k p k p p m ，即()0212222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k p p m k因为022>⎪⎭⎫ ⎝⎛+p m ，022>k p ，012=-∴k ，即1±=k .所以存在1±=k ，使得2FN FB FA =对于任意的正数m 都成立. 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln 1af x x x=++有两个零点. （1）求实数a 的取值范围；（2）记()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，求证：1241e x x <（e为自然对数的底数）. 【答案】（1）20-<<e a ；（2）答案见解析 【详解】⑴)(x f 的定义域为()∞+，0，2)(xax x f -=' ①当0≤a 时，0)(>'x f 恒成立，)(x f 在()∞+，0上单调递增，)(x f 至多有一个零点，不符合题意；②当0>a 时，0)(='a f ，且当()a x ,0∈时，0)(<'x f ；当()+∞∈,a x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在()a ，0上单调递减，在()+∞,a 上单调递增，从而)(x f 的最小值为2ln )(+=a a f .（i ）若0)(≥a f ，即2-≥e a ，此时)(x f 至多有一个零点，不符合题意；（ii ）（ii ）若0)(<a f ，即20-<<e a ，)(x f 在()+∞,a 上单调递增，0)(<a f ，01)1(>+=a f ，根据零点存在性定理得，)(x f 在()+∞,a 内有且只有一个零点.又 )(x f 在()a ，0上单调递减，且0)(<a f ，考虑11ln 2)(2++=a a a f 的正负. 令11ln 2)(++=xx x g ，()2,0-∈e x ， 则012)(2<-='xx x g ，)(x g ∴在()2,0-e 上单调递减， 03)()(22>-=>∴-e e g x g ，即011ln 2)(2>++=aa a f ， a a <<20 ，0)(2>∴a f ，0)(<a f ，根据零点存在性定理得，)(x f 在()a ，0内有且只有一个零点.所以，当20-<<e a 时，)(x f 恰有两个零点，符合题意.综上得，20-<<e a .⑵由条件得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++01ln 01ln 2211x a x x a x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∴2121212111ln ln 211ln ln x x a x x x x a x x()2ln 112ln ln 21111ln ln ln ln 12121212212121121221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=---+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 要证421-<e x x ，即证4ln ln 21-<+x x ，即证42ln 11121212-<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+x x x x x x ， 即证2ln 11121212-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+x x x x x x ，即证2ln 11121212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+x x x x x x ①，设12x x t =，不妨设21x x <，由2210x e x <<<-知，1>t 证①式，即转化为证明：当1>t 时，2ln 11>-+t t t ， 设112ln )(+-⋅-=t t t t h ，则()()()22211141)(+-=+-='t t t t t t h ， ∴当1>t 时，0)(>'t h 恒成立，即)(t h 在()+∞,1上单调递增， ∴当1>t 时，0)1()(=>h t h ，所以4211e x x <成立. 解法二：不妨设21x x <，由⑴可知，()2,0-∈ea ，()a x ,01∈，()+∞∈,2a x ，)(x f 在()+∞,a 上单调递增，要证4211e x x <，即证4121e x x <，即证()⎪⎪⎭⎫⎝⎛<4121e x f x f ， 即证03ln 141>+--x ae x ，即证0-3ln 141<+x ae x由01ln )(111=++=x ax x f ，得()1ln 11+-=x x a ， ∴只需证()01ln 3ln 12141<+++x x e x ①，令()1ln 3ln )(24+++=x x e x x h ，则()3ln 21)(4++='x x e xx h ， 令()3ln 21)(4++=x x e x x ϕ，则()()5ln 215ln 21)(42442++-=++-='x e xe x e x x ϕ， 由20-<<e x ，得2ln -<x ，241xe <，0)(<'∴x ϕ，)(x ϕ∴在(]2,0-e 上单调递减，且0)(2=-e ϕ， (]2,0-∈∴e x ，0)(>x ϕ，即0)(>'x h ，)(x h ∴在(]2,0-e 上单调递增，且0)(2=-e h ，而21-<<e a x ， 0)()(2=<∴-e h x h ，即①式得证，所以4211ex x <成立. 【点睛】方法点睛：⑴研究函数)(x f 零点问题，方法一：令0)(=x f ，参变分离，得到)(x g a =的形式，借助数形结合（几何法）求解；方法二：整体含参通过求导讨论)(x f 的单调性、极值的符号，由数形结合可知函数)(x f 的图象与x 轴的交点情况即函数)(x f 的零点情况. ⑵处理极值点偏移问题的基本策略是利用极值点满足的等式构建不等式，再利用导数讨论不等式对应的函数的单调性即可.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2tan 1tan x y βββ=⎧⎪⎨=⎪+⎩（β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程：（2）若点M ，N 为曲线C 上两点，且满足3MON π∠=，求2211OMON-的最大值.【答案】（1）()Z k k ∈+≠+=,2sin 31122ππθθρ；（2）233 【详解】⑴化简曲线C 的参数方程得，⎪⎩⎪⎨⎧==ββ2sin 212cos y x （β为参数，且ππβk +≠2，Z k ∈） 消去参数β得曲线C 的普通方程()11422-≠=+x y x .化成极坐标方程为()()()Z k k p ∈+≠=+,21sin 4cos 22ππθθθρ，θρ22sin 311+=∴()Z k k ∈+≠,2ππθ.⑵ 不妨设()θρ，1M ，⎪⎭⎫⎝⎛+32πθρ，N ，则1ρ=OM ，2ρ=ON , - ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+∴3sin 31sin 31112222πθθON OM⎪⎭⎫⎝⎛+-=--=32sin 2332cos 492sin 433πθθθ 当且仅当()Z k k ∈+=ππθ127时，2211ONOM +取得最大值为233. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()22f x x a x a =--+. （1）若()11f ≥，求实数a 的取值范围；（2）若对任意x R ∈，()20f x ≤恒成立，求a 的最小值.【答案】⑴⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,；（2）0【详解】⑴由1)1(≥f ，得11212≥+--a a ，()⎩⎨⎧≥++--≤∴112211a a a 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≤<-11221211a a a 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->1121221a a a 解得1-≤a 或211-≤<-a ， a ∴的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,.⑵ 设t x =2()0≥t ，由已知得，对任意0≥t ，使得0)(≤t f 成立，0)(≤t f ，则a t a t +≤-22，即()()2242a t a t +≤-，即01232≥+at t ，当0=t ，R a ∈；当0>t ，04≥+a t 恒成立，即0≥a ，0≥∴a ，即a 的最小值为0.。
(完整word)2016年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•霍+21. 若集合二_二一「丨、：1）.-匸为自然数集，则下列选项正确的是（）A . M?{x|x》}B . M?{x|x >—2}C . MA N= {0}D . M U N=N2. 若i是虚数单位，复数z满足（1 - i）z=1，则|2z-3|=（）A. . ■:B.「C. EQD. . ■-3. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n, a9=1, S18=0,当S n取最大值时n的值为（）A . 7B . 8C . 9D . 104.若a, b都是正数，则(1+^-) (1+的最小值为（)A . 7B . 8C . 9D . 105 •已知抛物线y2=2px （p> 0）上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为（）A .土乎B .土咎C . ±1D . 土晅6 •点G ABC 的重心，设S , 「，则二=（）3 一1T* 1 T-——L—A . —g-^bB . 一目巧bC . b-2$D . 2a4b7.由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）&执行下面的程序框图，则输出的n的值为（)A . 10 B. 11 C. 1024 D . 20489.在三棱锥P - ABC 中，PA 丄平面ABC , _|■- - ■ '：J_'，则三棱锥P- ABC12. 定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f '(x ),若对任意的实数 x ，都有2f (x ) +xf '(x )v 2恒成 立，则使x 2f ( x )- f (1)v x 2- 1成立的实数x 的取值范围为()A . {x|x 工±}B . ( - s,- 1) U ( 1, + s)C . (- 1, 1)D . (- 1, 0) U (0, 1) 二、填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13. ________________________________________ 命题灯咒＞0,冥％＞1”的否定是 .214. 双曲线M: 的左，右焦点分别为 F 1, F 2，记|F 1F 2|=2C ,以坐标原点 O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线 M 在第一象限的交点为 P ,若|PF 1|=C +2 ,贝V P 点的横坐标为 __________ .2 o15. ______________________________________________________________________________________ 已知各项均为正数的数列｛a n ｝前n 项和为S n ,若S ］二2・3片 一泊就1片二弘+1，则a n = _________________ 16. ____________________________________________________________________ 若函数f (x ) =x 2 (x - 2) 2- a|x -1|+a 有4个零点，贝V a 的取值范围为 ______________________________________ . 三、解答题(本大题共 5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 •) 17.在厶ABC 中，三个内角A, B , C 所对的边分别为 a, b,c,已知函数• ■ i - _ / - ■为偶函数，2F ( +) (1 )求 b ;(2 )若a=3，求△ ABC 的面积S.18. 某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间( 占有率(y% )的几组相关对应数据;的外接球的表面积为（）A . 20 nB . 24 nC . 28 nD . 32 nfx- y+l>010.已知实数x , y 满足{掘一3¥-1恋0,L<i若z=kx - y 的最小值为- 5，则实数k 的值为(A . - 3B . 3 或-5C . - 3 或-5D . ±311.某校组织由5名学生参加的演讲比赛， 采用抽签法决定演讲顺序, B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为(在学生A 和B 都不是第一个出场, )B .C .20x 个月)和市场(2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过 0.5% (精确到月)0.020.050.1(1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出0.15 0.18y 关于x 的线性回归方程; 附:19. 如图，六面体ABCDHEFG 中，四边形ABCD为菱形，AE , BF , CG, DH都垂直于平面ABCD，若DA=DH=DB=4 , AE=CG=3(1)求证：EG丄DF;(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值.20. 已知椭圆Ei ~+~^l(a>b>0)经过点(2),且离心率为芈，F i, F2是椭圆E的左，右焦点(1)求椭圆E的方程；(2)若点A , B是椭圆E上关于y轴对称两点(A , B不是长轴的端点)，点P是椭圆E上异于A , B的一点，且直线PA, PB分别交y轴于点M, N，求证：直线MF i与直线NF2的交点G在定圆上.21 .已知函数g (x) =ax3+x2+x (a为实数)(1)试讨论函数g (x)的单调性；(2)若对？x € (0, +x)恒有二’•「：心,「-“；一^，求实数a的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P, AC与BD相交于点M , PA// BD(1)求证：/ ACB= / ACD ；23.在直角坐标系xOy 中,曲线(a为参数)，在以0为极点, x轴的非负半轴为(2 )若PA=3, PC=6, AM=1，求AB 的长.24.已知函数f (x) =|x - 4|+|x-a| (a€ R)的最小值为a极轴的极坐标系中，直线I: p sin+p cos 0 =m(1 )若m=0，判断直线l与曲线C的位置关系；(2)若曲线C上存在点P到直线I的距离为-求实数m的取值范围.1)求实数a 的值；(2)解不等式f (x)有.2016年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题1.若集合二丄匚「丨、：'匸为自然数集，则下列选项正确的是（）A . M?{x|x 羽}B . M?{x|x >— 2}C . MA N={0}D . M U N=N解：J'『J I"'：=[ - 2,1), N 为自然数集，故 M?{x|x > 1错误;M?{x|x >- 2}错误;Mn N={0}正确；M U N=N 错误；选C 2•若i 是虚数单位，复数 z 满足（1 - i ） z=1，则|2z -3|=（ A •二 B . 「 C. .， D . . 7z= (1 - i ) (a+bi ) =1, + (b - a ) i=1 , a - b=0, ，则 |2z - 3|=|2 (丄+〒i )- 3|=| -2+i|= _ ：选3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n , a 9=1, S 18=0,当S n 取最大值时n 的值为（）A . 7B . 8C . 9D . 10解：设等差数列{a n }的公差为d , T a 9=1, S 18=0 ,118X17…a 1+8d=1 , 18a 1+ d=0 ,可得：a 1=17 , d= - 2.•- a n =17 - 2 （n - 1） =19 - 2n , 出/111由a n >0解得:―二当S n 取最大值时n 的值为9 .选C4.若a , b 都是正数，则 ）的最小值为（ ）A . 7B . 8C . 9D . 10解：T a , b 都是正数，则寸牛）=5+号+辛》5+^^严，当且仅当b=2a >0时取等号 选C 5 .已知抛物线y 2=2px （ p > 0） 上一点M 到焦点F 的距离等于2p ,则直线MF 的斜率为（ ）A .土晳B . 土号C . ±1D . - V3解：设 z=a+bi , 则(1 - i ) ••• (a+b) ••• a+b=1, • a =b =-解：抛物线的焦点为 F (二-, T 点M 到焦点F 的距离等于y M = ± '；p .6 •点GABC 的重心，设 BG =刃,GC =卫，则忑=()A . 2苏B .C . b -萬D . 2且十b解：由题意知， F3+ -=「匚， 即丄—+7•由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(T \ I t A1A . 14C . 22 D.-解：由三视图可知：该几何体的体积0),准线方程为 2p , ••• M 到准线2p .1:.选 DV 〒—■ 二•： ■疋=14 .选 A不满足条件S <2016,退出循环，输出 n 的值为1024.选C 9.在三棱锥 P -ABC 中，PA 丄平面ABC, - »'■ ' = - ■：J ：,则三棱锥 P - ABC的外接球的表面积为（）A . 20 nB . 24 nC . 28 nD . 32 n解：•/ AB=AC=2 :, / BAC=60 , •••由余弦定理可得BC=2 .二,273 设厶ABC 外接圆的半径为r ,则2r= 一 =4 ,• r =2,设球心到平面 ABC 的距离为d ,则由勾股定理可得 R 2=d 2+22=22+ （ 2 -d ） 2 , •- d=1, R 2=5 ,•三棱锥P - ABC 的外接球的表面积为 4 nR =20 n 选ACx- y+l>010 .已知实数x , y 满足■:-厂% 'n=1， S=1满足条件S W 2016 n=2, 满足条件S W 2016 n=4, 满足条件S W 2016 n=8, 满足条件S W 2016 n=16, 满足条件S W 2016 n=32, 满足条件 S W 2016 n=64 , 满足条件 S W 2016 n=128 满足条件 S W 2016 n=256 满足条件 S W 2016 n=512S=1+2=3 S=3+4=7 S=7+8=15 S=15+16=31 S=31+32=63 S=63+64=127 ,S=127+128=255 ,S=255+256=511 ,S=511+512=1023满足条件S W 2016 n=1024, S=1023+1024=2047 若z=kx - y 的最小值为- 5,贝U 实数k 的值为（&执行下面的程序框图，则输出的 n 的值为（ )解：模拟执行程序框图，可得L<iA . - 3 B. 3 或-5 C. - 3 或-5D. ±3联立「孙“解得B 2,7, 化 z=kx - y 为 y=kx - z ,由图可知，当k v 0时，直线过A 时在y 轴上的截距最大，z 有最小值为k - 2= - 5,即k= - 3； 当k >0时，直线过B 时在y 轴上的截距最大，z 有最小值-2k+仁-5，即k=3. 综上，实数k 的值为±3 •选D11. 某校组织由5名学生参加的演讲比赛， 采用抽签法决定演讲顺序,B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为（ 1I 3g D. -20解：方法一： 学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类.第一类：A 最后一个出场，从除了 B 之外的3人选1人安排第一个，其它的任意排，故有 AjA 33=18种, 第二类：A 不是最后一个出场，从除了 A , B 之外的3人选2人安排在，第一个或最后一个，其余 3人 任意排，故有A 32A 33=36种，故学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场的种数 18+36=54种，学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生 C 第一个出场的”的出场顺序为: 分为两类 第一类：学生C 第一个出场，A 最后一个出场，故有 A 33=6种，第二类：学生C 第一个出场，A 不是最后一个出场，从除了 A , B 之外的2人选1人安排在最后一个， 其余3人任意排，故有 A 21A 33=12种，故在 学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场 种，方法二： 先排B ，有A 31 （非第一与最后），再排A 有A 31 （非第一）种方法，其余三个自由排，共有A 31A 31A 33=54这是总结果；18 154 ：=3故学生C 第一个出场的概率为在学生A 和B 都不是第一个出场, ）C . 的前提下，学生C 第一个出场的种数 6+12=18学生C 第一个出场，先排 B ,有A 31 (非第一与最后)，再排A 有A 31, C 第一个出场，剩余 2人自由排， 故有 A 31A 31A 22=18 种，故学生C 第一个出场的概率为上二=丄，选A54 312. 定义在R 上的偶函数f ( x )的导函数为f '(x ),若对任意的实数 x ，都有2f (x ) +xf '(x )v 2恒成 立，则使x 2f ( x )- f (1)v x 2- 1成立的实数x 的取值范围为() A . {x|x 工土}B . ( - s,-1) U (1 ,+〜C . (- 1 ,1)D . (- 1 ,0) U (0, 1)解：当x ＞ 0时，由2f (x ) +xf ' (x )- 2v 0可知：两边同乘以 x 得： 2xf (x )- x 2f ( x )- 2x v 0 设：g (x ) =x 2f (x )- x 2则 g' (x ) =2xf (x ) +X 2f'(x )- 2x v 0,恒成立： ••• g (x )在(0, +s)单调递减， 由 x 2f (x )- f (1) v x 2- 1• x 2f (x )- x 2v f ( 1 )- 1 即 g (x )v g (1)即 x ＞ 1 ；当x v 0时，函数是偶函数，同理得：x v- 1综上可知：实数x 的取值范围为(-s,- 1) U (1, +s),选B 二、填空题 13.命题 灯艾＞0, _________________________ 買召■乂＞1”的否定是 .解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 W 工＞0, /匕＞ 1”的否定是：F 1, F 2，记|F 1F 2|=2C ,以坐标原点 O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线 M 在第一象限的交点为P ,若|PF 1|=C +2 ,贝V P 点的横坐标为 ________ 解：坐标原点O 为圆心，C 为半径的圆的方程为 X 2+y 2=c 2,2,22丘-c--■，解得由 |PF 1|=C +2 ,由双曲线的定义可得|PF 2|=|PF 1|- 2a=c+2 - 2=C ,在直角三角形PF 1F 2中，可得C 2+ ( C +2) 2=4C 2, 解得c=1+ .二x 2=cW b 2-Kl14.双曲线的左，右焦点分别为由c2=a2+b2=1+b2,可得b2=3+2 二可得P的横坐标为」「•答案:5 g15. 已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n,若厂,■.，则a n= 解：由S i=2，得a i=S i=2,由3叮- 2且血片二曰田勺得恋/二的口+齢1)2,又a n> 0,--2S n=S n+a n+1，即S n=a n+1 ,当n》2时，S n- i=a n,两式作差得：a n=a n+1 - a n,即卩----- Z又由3S n - ^a rrt-l S n=a n+l，求得a2=2，•••当n》2时，务二尹7.验证n=1时不成立，辽，iTl[产1. n>216. ______________________________________________________________________________ 若函数f (x) =x2(x - 2) 2- a|x- 1|+a有4个零点，贝V a的取值范围为_____________________________________ .解：函数 f (x) =x2(x- 2) 2- a|x- 1|+a 有 4 个零点，转化为：x2(x - 2) 2- a|x- 1|+a=0 由 4 个根,I »自宣問乞直二即y=x2(x - 2) 2; y=a|x- 1| - a= '..两个函数的图象有4个交点，[a(.x — 2 J ? 1/1在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如图：当a v0时，如图中蓝色的折线，函数有4个零点，可得-1 v a v 0；当a>0时，如图中的红色折线，此时函数有4个零点•满足题意.综上：a€ (- 1, 0) U (0, +〜4/• A= 当A= —或一：:或兀 时，则C=n - 兀兀兀 362,△ ABC 的面积 S= ■ _ 一■= 一，.=,△△ ABC 的面积 S= ： •-'：=三、解答题17.在△ ABC 中，三个内角A,B ,C 所对的边分别为 a, b,c,已知函数，■ i -_ - ■为偶函数， （1 ）求 b ；（2 ）若a=3，求△ ABC 的面积S.解：（1）在厶ABC 中,7T 7C所以 f Ci)=2cos2s : b 二F ：—片五…asinBb2二由正弦定理得sinA=兀兀由f （X ）为偶函数可知■ ■，所以k 兀 » k £ Z又0 v B v n,故 当时，贝U C=n-(2) 根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该 款旗舰机型市场占有率能超过0.5% (精确到月)b 二斗;----------- ，a=y _ bxEL =1X (0.02+0.05+0.1+0.15+0.18 ) =0.1;i A i 1X0. 02+2X0. 05+3X0. 1+4X0.15+5X 0. 13- 5X3X0.=0.1 - 0.042 X = - 0.026,所以线性回归方程为I -・「：；…(2 )由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关， 即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点;m I. -: 7：-- I.:-，解得 X 》13预计上市13个月时，市场占有率能超过0.5%.-18•某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型， 占有率(y% )的几组相关对应数据；x 1 y0.02(1) 根据上表中的数据，用最小二乘法求出并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间( 2 3 4 0.05 0.10.15y 关于x 的线性回归方程； 5 0.18x 个月)和市场附: 解：(1)根据表中数据，计算4X (1+2+3+4+5)=3,12+22+32+4^52 YX 护=0.042,19. 如图，六面体ABCDHEFG 中，四边形ABCD为菱形，AE , BF , CG, DH都垂直于平面ABCD，若DA=DH=DB=4 , AE=CG=3(1) 求证：EG丄DF ；(2) 求BE与平面EFGH所成角的正弦值.解：（1）连接AC ,•••四边形ABCD 为菱形，••• AC 丄BD , •/ BF 丄平面 ABCD , AC?平面 ABCD , • AC 丄BF ,又 BD?平面 BDF , BF?平面 BDF , BD A BF=B , • AC 丄平面BDF , •/ AE // CG , AE=CG , •四边形AEGC 是平行四边形， • EG // AC ,• EG 丄平面BDF ,又DF?平面BDF , • EG 丄DF .(2)设 AS BD=O , EGH HF=P ,•/四边形ABCD 为菱形，AE 丄平面ABCD ，BF 丄平面ABCD , • AD // BC , AE // BF , •平面ADHE //平面BCGF ,• EH // FG , 同理可得：EH // HG ,•四边形EFGH 为平行四边形, 又 O 为 AC 的中点，• OP // AE , AE=OP ,• OP 丄平面ABCD ,又OA 丄OB ,所以OA , OB , OP 两两垂直,(BF+DH ) , • BF=2 .以O 为原点建立空间直角坐标系 O - xyz ,•••△ ABD 是等边三角形，AB=4 , • OA=2 :';.• E (2, 0 , 3), P ( 0 , 0 , 3), F ( 0 , 2 , 2), B( 0 , 2 , 0).•屈=(2 .「；, - 2 ,3),二 £= (2. ； , 0 , 0),平=(0 ,2 , - 1).,令 y=i ,得1 -二设BE 与平面EFGH 所成角为• P 为EG 的中点, 设平面EFGH 的一个法向量为4^520.已知椭圆B ： （&>b> 0）经过点（2近，2）,且离心率为- 右焦点 （1） 求椭圆E 的方程；（2）若点A , B 是椭圆E 上关于y 轴对称两点（A , B 不是长轴的端点），点P 是椭圆E 上异于A , B 的 一点，且直线PA , PB 分别交y 轴于点M , N ，求证：直线 MF i 与直线NF 2的交点G 在定圆上.2 2解: (1) T 椭圆 B J2=1 (r>b> Q)经过点(2^21 2),且离心率为a £亠解得 a=4, b=c=272, 2 2•椭圆C 的方程訂K 证明：(2)设 B (x o , y o ), P ( x i , y i )，则 A (- x o , y o )故灿Xiy n *卞仍同理可得J "■' ,Ki）-（-2^xi^x o2 2,F i , F 2是椭圆E 的左,直线PA 的方程为V y（乂 -垃］），令x=0，得尸K l +xO话（逅沁尹5硏（■碍迪亠,1 *0- 2 2 _ 2 2 工1厲 矶厂—_ L?4 X 1 y O•••由条件=巧坎呻-沽）r职欧卅肯〉--g-------------------------- ---------------- ------------- 空一=-E+8=0x i ~ K o•- F i M丄F2N，•直线F i M与直线F2N交于点G在以F1F2为直径的圆上.21 .已知函数g (x ) =ax 3+x 2+x (a 为实数)(1) 试讨论函数g (x )的单调性；(2) 若对？x €( 0, +〜 恒有百3£皿乜，求实数a 的取值范围.解：(1) g' (x ) =3ax 2+2x+1(i) 当 a=0时，g (x )在 (-0 —寺)单调减和(一 * 8 单调增;(ii) 当 a ^0寸，△ =4 - 12a , g (x )在R 单调增;当 Q<a<—时，由 g' (x ) =3ax 2+2x+ 仁0 得,J - 1 ■ 3a-[+寸1 - 3a 十3a ? - 3a g (乂)在(X1, X2)单调减，在(-汽X1)和(X2, +8)单调增；当a v 0时，g (乂)在(X2, X1)单调增，在(-8, X2)和(X1, +8)单调减；(2)令 f Cx)=lnx+-^，则 F 【工〕二：—■—J"K s x因此，f (X )在(0, 1)单调减，在(1 , +8)单调增fmin (X ) =f ( 1) =1当 a >- 1 时，g (1) =a+2> 仁f (1),显然，对？ x € (0, +8)不恒有 f (x ) >g (x )； 当a<- 1时，由(1)知，g (乂)在(0,禺)单调增，在(X1, +8)单调减，二1壬(衣]十1)尸⑹ 1]1 ? 1所以気做⑺十D ,即满足对?x € (0, +8)恒有f (X ) >g (x )综上，实数a € (- 8,- 1].22.如图，PA 为四边形ABCD 外接圆的切线，CB 的延长线交PA 于点P , AC 与BD 相交于点M , PA // BD(1)求证：/ ACB= / ACD ；(2 )若 PA=3, PC=6, AM=1，求 AB 的长.3日就[2-F2K 2+1=0，即所以，在(0, +8) 上, g' (x ) =3ax 2+2x+1亘成立，此时(1)证明：•/ PA 为切线，•••/PAB= / ACB .•/ PA / BD , PAB= / ABD= / ACD ,•••/ ACB= / ACD ・(2 )解：已知 PA=3, PC=6, AM=1，由切割线定理 PA 2=PB?PC 得：BC =—, •/ PA // BD ，得AB ACAM "AB所以 AB 2=AM?AC=4，所以 AB=2极轴的极坐标系中，直线（1 ）若m=0，判断直线 I : p sin+B p cos 0 =m I 与曲线C 的位置关系;解：（1）曲线匚 宴二寸©8岂口+1y=-/2sin CC +1|1+1 - TO |由已知可得：圆心 C 到直线Ix+y=m 的距离d — 解得-K m<524.已知函数f (x ) =|x - 4|+|x - a| (a € R )的最小值为 a(1)求实数a 的值；(2 )解不等式f (x )有.解：(1) f (x ) =|x - 4|+|x - a| 羽 | a|=a ,从而解得a=2…(2 )由(1)知，f ( x ) =|x - 4|+|x - 2|= .「 ,综合函数y=f (x )的图象知，解集为{訂寺©<*}23•在直角坐标系xOy 中，曲线C- （a 为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为（2）若曲线C 上存在点 P 到直线I 的距离为，求实数m 的取值范围. 曲线 直线 C 的直角坐标方程为：（x - 1） I : p sin 0 + p cos,0可得直线I 的直角坐标方程为: 2+ (y - 1) 2=2,是 「个圆；圆心（1, 1）,半径为：V2 x+y=0圆心 C 到直线I 的距离\ '，所以直线I 与圆C 相切 又知△ AMB 〜△ ABC ，所以 （a 为参数）， (2)。
高中高考数学二模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．23．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或05．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．56．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=17．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．3010．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值X围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．212．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为_______．14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为_______．15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为_______．16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若=a n•b n，求数列{}的前n项和S n．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 520．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，某某数a的取值X围．2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，求出A的补集，再计算（∁U A）∩B．【解答】解：全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁U A={x|x＜﹣1或x＞1}，∴（∁U A）∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：C．2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先求出+z，再求出其模即可．【解答】解：∵z=1+i，∴+z=+1+i===1﹣i+1+i=2，故|+z|=2，故选：A．3．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）【考点】绝对值三角不等式．【分析】选择题，对x+2进行分类讨论，可直接利用绝对值不等式公式解决：|x|＞a等价于x＞a或x＜﹣a，最后求并集即可．【解答】解：当x+2＞0时，不等式可化为2x﹣1＞x+2或2x﹣1＜﹣（x+2），∴x＞3或2x﹣1＜﹣x﹣2，∴x＞3或﹣2＜x＜﹣，当x+2≤0时，即x≤﹣2，显然成立，故x的X围为x＞3或x＜﹣故选：B．4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（+x）=f（﹣x），可得x=是函数f（x）的对称轴，利用三角函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），∴x=是函数f（x）的对称轴，即此时函数f（x）取得最值，即f（）=±2，故选：B5．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解．【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，∵y=，∴sin（）=∴=2kπ+，k∈Z，即可解得x=12k+1，k∈Z．∴当k=0时，有x=1．故选：C．6．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c﹣a=1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，可得c﹣a=1，由双曲线的渐近线方程为y=x，则焦点（c，0）到渐近线的距离为d==b=，又c2﹣a2=b2=3，解得a=1，c=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1．故选：A．7．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；故选：D．8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．【考点】几何概型．【分析】若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积，即可求出概率．【解答】解：这是一个几何概率模型．若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，面积为2[﹣（﹣）]= +，故|OM|≤2的概率为．故选：D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9，而s17=17a9，故本题可解．【解答】解：∵a1+a17=2a9，∴s17==17a9=170，∴a9=10，∴a7+a9+a11=3a9=30；故选D．10．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值X围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知根据三角形内角和定理得3α＞π，从而解得α＞，妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），利用余弦定理可得cosα=2﹣＞﹣1，结合三角形内角的X围即可得解．【解答】解：∵α为△ABC最大内角，∴3α＞π，即α＞，由题意，不妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），则由余弦定理可得，cosα===2﹣=2﹣，又∵三角形两边之和大于第三边，可得a﹣d+a＞a+d，可得a＞2d，即，∴cosα=2﹣＞﹣1，又α为三角形内角，α∈（0，π），可得：α∈（，π）．故选：B．11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据分段函数，分别讨论x的X围，求出函数的最小值，根据题意得出不等式a2＜a+2，求解即可．【解答】解：∵f（x）=，当x≤0时，f（x）的最小值为a2，当x＞0时，f（x）的最小值为2+a，∵在x=0处取得最小值，∴a2＜a+2，∴﹣1≤a≤2，故选D．12．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用基本不等式和参数分离可得a≤在x＞0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．【解答】解：当x=0时，不等式即为0≤e y﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；当x＞0时，设f（x）=e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，即为不等式4ax≤f（x）恒成立．即有f（x）=e x﹣2（e y+e﹣y）+2≥e x﹣2•2+2=2+2e x﹣2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax≤2+2e x﹣2，即有a≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即有（x﹣1）e x﹣2=1，令h（x）=（x﹣1）e x﹣2，h′（x）=xe x﹣2，当x＞0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x﹣1）e x﹣2=1的根为2，当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为，则有a≤．当x=2，y=0时，a取得最大值．故选：D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为存在x0≤0，都有．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为：存在x0≤0，都有；故答案为：存在x0≤0，都有；14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为 1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x3项的系数为20，得到ab的值．【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•a6﹣r•b r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a3•b3=20，∴ab=1．故答案为：1．15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．【考点】三角形的形状判断；函数的值．【分析】不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c，则可得ab＞M2，结合题意可得，结合a2+b2≥2ab可求c的X围，进而可求M的X围，即可求解【解答】解：不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c∴ab＞M2由题意可得，∴∵a2+b2≥2ab＞2c∴c2＞2c即c＞2∴ab＞2∴M2≥2∴故答案为：16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于 3 ．【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．【分析】先根据=0，可得⊥，又因为===|OC|×1×cos30°==1×，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又根据=m+n=n+m，可得答案．【解答】解：∵||=1，||=， =0，⊥===|OC|×1×cos30°==1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵=m+n=n+m∴，两式相比可得： =3．故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若=a n•b n，求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），可得a1=5，a2=3，a3=1．利用等差数列的通项公式即可得出．由点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，可得b n=a•2n．利用b1=1，解得a，即可得出．（II）=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），∴a1=5，a2=3，a3=1．∴d=3﹣5=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n．∵点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，∴b n=a•2n．∵b1=1，∴1=a×21，解得a=．∴b n=2n﹣1．（II）=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．∴数列{}的前n项和S n=5×1+3×2+1×22+…+（7﹣2n）•2n﹣1．∴2S n=5×2+3×22+…+（9﹣2n）•2n﹣1+（7﹣2n）•2n，∴﹣S n=5﹣2（2+22+…+2n﹣1）﹣（7﹣2n）•2n=5﹣﹣（7﹣2n）•2n=9﹣（9﹣2n）•2n，∴S n=（9﹣2n）•2n﹣9．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．（2）利用四点共面， =x+y，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，2，4），则=（2，0，2），=（0，2，4），设平面AEF的法向量为=（x，y，z）则令z=1．则x=﹣1，y=﹣2，即=（﹣1，﹣2，1），平面ABC的法向量为=（0，0，1），则cos＜，＞===即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，则G（1，1，0），∵=，∴==λ（1，1，﹣6）=（λ，λ，﹣6λ），=+=（λ，λ，6﹣6λ）∵A，E，F，H四点共面，∴设=x+y，即（λ，λ，6﹣6λ）=x（2，0，2）+y（0，2，4），则，得λ=，x=y=，故λ的值为．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 5【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得；（2）由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A，则，而随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，由题意可以分析出该随机变量ξ～B（3，），再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得．【解答】解：（1）依题意，解x=4，由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定．（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A，则，随机变ξ的可能取值为0、1、2、3，ξ～B（3，），，其k=0、1、2、3．所以变ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P20．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得，整理可得切线E 的方程（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0，由韦达定理得，，若使得点（，）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有=为定值【解答】解：（1）设P（x，y），圆方程x2﹣7x+y2+4=0化为标准式：则有∴（x﹣2）2=x2﹣7x+y2+4，整理可得y2=3x∴曲线E的方程为y2=3x．（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tc osα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0由韦达定理得，，==═令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0得n=0，，此时为定值故存在．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）根据所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，得到函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a值进行讨论．（Ⅲ）求出函数g（x）在[0，a]上的极值、端点值，比较其中最小者即为h（a），再利用奇函数性质及基本不等式求出f（x）的最小值，对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，等价于f（x）min＞h（a），在上只要找到一a值满足该不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，得，∴，∴，得，令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，经检验x=±1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）因为，∴，令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，单调递增区间为，②当a＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ）因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：x （0，x0）x0（x0，a）g'（x）+ 0 ﹣g（x）↗↘∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．又g（0）=0，，∴h（a）=g（a），∴，b=0时，由函数是奇函数，且，∴x＞0时，，当x=1时取得最大值；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，，∴函数f（x）的最小值为，要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分．【解答】证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵PE⊥AB∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，∴∠FGA+∠DAB=90°，∴∠FGA=∠DBA．∵∠FGA=∠DGP，∴∠DGP=∠PDA，∴∠DGP=∠PDG，∴PG=PD；（2）连接AE，则∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，∴AE=AC=BD，∴∠EDA=∠DAB，∵∠DEA=∠DBA，∴△BDA≌△EAD，∴DE=AB，∴DE为圆的一条直径，∴线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C 在直角坐标系下的普通方程．将其化为极坐标方程为，分别代入和，可得|OA|，|OB|，，利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x﹣y﹣2=0，与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，分别代入和，得，∵，故△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程，得x﹣y﹣2=0，联立方程，解得x=2，y=0，或，∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）若a=﹣1，不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，去掉绝对值解不等式f（x）≤5；（2）分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即可某某数a的取值X围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|3x﹣1|+3﹣x，所以不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，讨论：当时，3x﹣1﹣x+3≤5，解之得；当时，﹣3x+1﹣x+3≤5，解之得，综上，原不等式的解集为…（2），分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3…。
2021年安徽省马鞍山市高考数学第二次教学(二模)质量监测试卷(理科)(解析版)
2021年安徽省马鞍山市高考数学第二次教学质量监测试卷（理科）（二模）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合M＝{y|y＝﹣x2，x∈R}，N＝{x|﹣1＜x≤2}，则M∩N＝（）A．（﹣1，2]B．[0，2]C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）2．已知复数z1与z2在复平面内对应的点关于原点对称，且（2﹣i）z1＝|4﹣3i|，则z2＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i3．设a，b为两条直线，则a∥b的充要条件是（）A．a，b垂直于同一条直线B．a，b垂直于同一个平面C．a，b平行于同一个平面D．a，b与同一个平面所成角相等4．函数f（x）＝x cos x﹣在（﹣π，π）上的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知sin（﹣α）＝，则cos（+2α）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣6．若（x+）n的展开式中存在常数项，则n可以是（）A．8B．7C．6D．57．2020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、早涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y＝拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据：x2023252730z2 2.433 4.6由上表可得线性回归方程＝0.2x+a，则c1＝（）A．﹣2B．e﹣2 C．3D．e38．小明去文具店购买中性笔，现有黑色、红色、蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元．小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有（）A．10种B．15种C．21种D．28种9．我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效．蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成．经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为4mm，菱形边长约为4.242mm，则该菱形较小角的余弦值约为（）（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．0.333B．0.4C．0.5D．0.66710．已知△ABC中，∠ACB＝，，AC⊥CD，则sin A的值为（）A．B．C．D．11．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AF，BF的中点在y轴上的射影分别为点M，N，若△AFM与△BFN的面积之比为4，则直线AB的斜率为（）A．±1B．±C．±2D．±212．已知a＞0，b＞0，下列说法错误的是（）A．若0＜a＜b＜1，则B．若2ae a＝3be b，则a＞bC．a b+b a＞1恒成立D．∃a∈（0，1），使得ae﹣a＝二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量＝（1，），＝（3，λ），若∥（﹣），则实数λ的值为．14．设变量x，y满足，则目标函数z＝3x+2y的最小值为．15．曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为R＝a2b2．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为．16．球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式V＝，其中R为球的半径，h为球缺的高．若一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝5，且a n+1a n＝4S n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为T n.若∀n∈N*，T n＜﹣m2+2m（m为奇数），求m 的值．18．如图，六面体ABCDEFG中，BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG，DG∥EF，ED＝DG＝GF ＝1，AB＝BC＝CA＝EF＝2．（1）求证：DF⊥平面ABED；（2）若二面角A﹣DG﹣E的余弦值为﹣，求点C到面BDF的距离．19．为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》．某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点、汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业．政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人．若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训．假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第i天选择汽修培训的概率是p i（i＝1，2，3，…，7）．（1）求p3；（2）证明：{p i﹣0.5}（i＝1，2，3，…，7）为等比数列；（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望（0.27近似看作0）．20．已知双曲线＝1（b≠1）的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，直线AP与双曲线的左支交于点B．（1）设O为坐标原点，求线段OP的长度；（2）求证：PF平分∠BFA．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x+a，其中a为常数．（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a≥时，求证：对∀x1＜x2，且x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，α∈[0，π）），且直线C2与曲线C1交于A，B两点．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）当|AB|最小时，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+4|+|x|．（1）解不等式f（2x﹣1）≤6；（2）记函数f（x）的最小值为a，且m2+n2＝，其中m，n均为正实数，求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{y|y＝﹣x2，x∈R}，N＝{x|﹣1＜x≤2}，则M∩N＝（）A．（﹣1，2]B．[0，2]C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）解：∵M＝{y|y≤0}，N＝{x|﹣1＜x≤2}，∴M∩N＝（﹣1，0]．故选：C．2．已知复数z1与z2在复平面内对应的点关于原点对称，且（2﹣i）z1＝|4﹣3i|，则z2＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i解：因为（2﹣i）z1＝|4﹣3i|，所以，因为复数z1与z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z2＝﹣2﹣i．故选：A．3．设a，b为两条直线，则a∥b的充要条件是（）A．a，b垂直于同一条直线B．a，b垂直于同一个平面C．a，b平行于同一个平面D．a，b与同一个平面所成角相等解：A：若a，b都垂直同一直线，则a，b可能相交，平行，异面，故A错误，B：由a∥b，得a，b垂直于同一个平面，是充分条件，若a，b垂直于同一个平面，则a∥b，是必要条件，∴正B确，C：若a，b平行于同一平面，则a，b可能相交，平行，异面，故C错误，D：若a，b与同一平面所成角相等，则a，b可能相交，故D错误，故选：B．4．函数f（x）＝x cos x﹣在（﹣π，π）上的图象大致为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝x cos x﹣，所以f（﹣x）＝﹣x cos x+＝﹣（x cos x﹣）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故选项A，B错误；当x→0时，x cos x→0，﹣→﹣∞，故选项C错误，选项D正确．故选：D．5．已知sin（﹣α）＝，则cos（+2α）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣解：∵sin（﹣α）＝，∴sin[﹣（+α）]＝cos（+α）＝，∴cos（+2α）＝2﹣1＝2×﹣1＝．故选：C．6．若（x+）n的展开式中存在常数项，则n可以是（）A．8B．7C．6D．5解：∵（x+）n的通项公式为T r+1＝•2r•，若展开式中存在常数项，则n﹣＝0能成立，即3n＝4r，r＝0，1，2，…n，∴n＝4，8，12，16，…，故选：A．7．2020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、早涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y＝拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据：x2023252730z2 2.433 4.6由上表可得线性回归方程＝0.2x+a，则c1＝（）A．﹣2B．e﹣2 C．3D．e3解：由已知可得，，，代入＝0.2x+a，得a＝3﹣0.2×25＝﹣2，∴z＝lny＝ln（）＝c2x+lnc1，则lnc1＝﹣2，即．故选：B．8．小明去文具店购买中性笔，现有黑色、红色、蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元．小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有（）A．10种B．15种C．21种D．28种解：根据题意，小明只有6元钱且要求全部花完，则小明需要买6支中性笔，将6支中性笔看成6个相同的小球，原问题可以转化为将6个小球用2个相同的挡板分成3组，每组对应一种颜色的中性笔，6个小球、2个挡板共8个位置，在其中任选6个安排小球，剩下2个安排挡板，有C86＝28种；故选：D．9．我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效．蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成．经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为4mm，菱形边长约为4.242mm，则该菱形较小角的余弦值约为（）（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．0.333B．0.4C．0.5D．0.667解：如图所示：EF∥AC且EF＝AC，在△EGF中，∠EGF＝120°，EG＝EF＝4，∴EF＝4，∵AB＝BC＝4.242，在△ABC中，cos∠ABC＝≈﹣0.333，所以菱形较小角的余弦值为0.333．故选：A．10．已知△ABC中，∠ACB＝，，AC⊥CD，则sin A的值为（）A．B．C．D．解：因为，所以D为AB的一个三等分点，且靠近B点，所以AD＝2BD，因为∠ACB＝，AC⊥CD，所以∠ACD＝，∠BCD＝，在△ACD中，由正弦定理可得＝，在△BCD中，由正弦定理可得＝，所以＝＝，即sin B＝sin A，又在△ABC中，A+B＝π﹣∠ACB＝，所以sin B＝sin（﹣A）＝cos A﹣sin A＝sin A，整理可得cos A＝sin A，即cos A＝3sin A，又sin2A+cos2A＝1，所以10sin2A＝1，解得sin A＝±，因为0＜A＜，所以sin A＝．故选：B．11．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AF，BF的中点在y轴上的射影分别为点M，N，若△AFM与△BFN的面积之比为4，则直线AB的斜率为（）A．±1B．±C．±2D．±2解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为（，0），由于直线AB过点F，设直线AB的方程为y＝k（x﹣），∵△AFM∽△BFN，且＝4，∴|AF|＝2|BF|，由抛物线的性质可得，设直线AB的倾斜角为θ，则k AB＝tanθ，由抛物线的焦点弦推论可得：AF＝，所以，故cos，所以sin，则tanθ＝，当|AF|＞|BF|时，tan，故选：D．12．已知a＞0，b＞0，下列说法错误的是（）A．若0＜a＜b＜1，则B．若2ae a＝3be b，则a＞bC．a b+b a＞1恒成立D．∃a∈（0，1），使得ae﹣a＝解：对于A：0＜a＜b＜1，所以1﹣a＞1﹣b，因为b＞a，所以b1﹣a＞a1﹣b，所以，故A正确；对于B：设f（x）＝x•e x，则f′（x）＝（x+1）•e x，所以x∈（0，+∞）上单调递增，因为2ae a＝3be b，所以，所以ae a＞be b，所以a＞b，故B正确；对于C：已知a＞0，b＞0，所以，当且仅当a＝b时，等号成立，当0＜a＜1时，成立，故C正确；对于D：令y＝x•e﹣x，则y′＝e﹣x﹣x•e﹣x＝（1﹣x）•e﹣x，因为x∈（0，1），所以y＝x•e﹣x单调递增，则不存在ae﹣a＝，故D错误．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量＝（1，），＝（3，λ），若∥（﹣），则实数λ的值为．解：根据题意，向量＝（1，），＝（3，λ），则﹣＝（﹣2，﹣λ），若∥（﹣），则有﹣2＝﹣λ，解可得λ＝，故答案为：．14．设变量x，y满足，则目标函数z＝3x+2y的最小值为8．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），由z＝3x+2y，得y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为8．故答案为：8．15．曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为R＝a2b2．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为．解：因为点P在椭圆上，则，即y，所以＝＝＝，因为x]，所以，则（），所以R，因为曲率半径最大值是最小值的8倍，所以，即a3＝8b3，所以a＝2b，则椭圆的离心率为e＝，故答案为：．16．球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式V＝，其中R为球的半径，h为球缺的高．若一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为．解：如图，取BC的中点E，AC的中点F，ABCD的中心为O，连接OP，OE，OF，一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，可得OP＝OC＝OA＝OB＝OD＝3，OE＝OF＝3，所以P﹣ABCD的球O的半径为3，△PBC是正三角形，边长为6，中心为G，连接PE，PG＝，EG＝＝，OG＝＝，所以球缺的高为：3，该球与该正四棱锥的公共部分的体积为：＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝5，且a n+1a n＝4S n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为T n.若∀n∈N*，T n＜﹣m2+2m（m为奇数），求m 的值．解：（1）设数列{a n}的公差为d，令n＝2，则a2a3＝4S2﹣1，由a3＝5，得5（5﹣d）＝4（10﹣3d）﹣1，解得d＝2，所以a n＝2n﹣1．（2），可知恒成立，．又m是奇数，所以m＝1．18．如图，六面体ABCDEFG中，BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG，DG∥EF，ED＝DG＝GF ＝1，AB＝BC＝CA＝EF＝2．（1）求证：DF⊥平面ABED；（2）若二面角A﹣DG﹣E的余弦值为﹣，求点C到面BDF的距离．解：（1）证明：因为BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG，所以DE⊥BE且AB⊥BE，于是，在面ABDE中，DE∥AB，同理，EF∥BC，所以∠DEF＝∠ABC＝60°，又EF＝2DE，所以DF⊥DE，由BE⊥面DEFG，知DF⊥BE，又因为ED∩BE＝E，所以DF⊥面ABED．（2）取AB中点O，由题可知，DE∥OB且DE＝OB，所以四边形OBED为平行四边形，所以OD∥BE，于是OD⊥面ABC，又△ABC为正三角形，所以OC，OA，OD两两垂直．以O为坐标原点，OC，OA，OD分别为x，y，z正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设BE＝a（a＞0），则O（0，0，0），A（0，1，0），B（0，﹣1，0），C（，0，0），D（0，0，a），G（，a），F（，0，t），设面ADG的法向量为，则有，不妨设，得．又BE与面DEFG垂直，故面DEFG的法向量不妨设为，由，解得a＝2．设面BDF的法向量为，则有，不妨设y＝2，得．于是，点C到面BDF的距离．19．为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》．某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点、汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业．政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人．若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训．假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第i天选择汽修培训的概率是p i（i＝1，2，3，…，7）．（1）求p3；（2）证明：{p i﹣0.5}（i＝1，2，3，…，7）为等比数列；（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望（0.27近似看作0）．解：（1）因为当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训，所以p1＝1，p2＝0.6，p3＝0.6×0.6+0.4×0.4＝0.52；（2）当第i﹣1天选择汽修培训时，第i天选择汽修培训的概率为0.6p i﹣1，当第i﹣1天选择面点培训时，第i天选择汽修培训的概率为0.4（1﹣p i﹣1），则p i＝0.6p i﹣1+0.4（1﹣p i﹣1）＝0.2p i﹣1+0.4，而p i﹣0.5＝0.2（p i﹣1﹣0.5），所以{p i﹣0.5}是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列；（3）设第i天政府的补贴费为a i，则a i＝300p i+200（1﹣p i）＝100p i+200，而，所以，故一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为a1+a2+…+a7＝≈1812.5元．20．已知双曲线＝1（b≠1）的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，直线AP与双曲线的左支交于点B．（1）设O为坐标原点，求线段OP的长度；（2）求证：PF平分∠BFA．【解答】（1）解：不妨设P在第二象限，则渐近线OP的方程为y＝﹣bx，于是直线PF 的方程为，联立得，于是，；（2）证明：设直线PF的倾斜角为θ，则，，又A（1，0），所以直线AP的斜率为，直线AP的方程为，与双曲线联立得：（c2+2c）x2+2x﹣（c2+2c+2）＝0，于是，，又F（﹣c，0），因此直线BF的斜率为，故PF平分∠BFA．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x+a，其中a为常数．（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a≥时，求证：对∀x1＜x2，且x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立．【解答】（1）解：当a＝0时，f（x）＝xlnx﹣x，f'（x）＝lnx，∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，即f（x）在（0，1）上单调减；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，即f（x）在（1，+∞）上单调增．∴f（x）的极小值为f（1）＝﹣1，无极大值．（2）证明：根据题意，要证明对∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，等价于证明．设，由单调性的定义得要证明原不等式等价于证明在（0，+∞）上单调递减．即证在（0，+∞）上恒成立，即证，∵，∴，∴只需证明等价于证明．设，令，则t＞1，，只需证当t＞1时，g（t）≤0．因为，所以g（t）单调递减，所以g（t）＜g（1）＝0，故原不等式成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，α∈[0，π）），且直线C2与曲线C1交于A，B两点．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）当|AB|最小时，求α的值．解：（1）由题，，故（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，即x2+y2﹣2x﹣2y ﹣2＝0，则ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2＝0，即．（2）法一：设A（ρ1，α），B（ρ2，α），由（1），，ρ1⋅ρ2＝﹣2则，当且仅当时，|AB|最小，此时，（k∈Z）因为α∈[0，π），故．法二：设圆心C1到直线C2的距离为d，则，又，当且仅当OC1与直线C2垂直时等号成立，此时|AB|最小，因为，α∈[0，π），故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+4|+|x|．（1）解不等式f（2x﹣1）≤6；（2）记函数f（x）的最小值为a，且m2+n2＝，其中m，n均为正实数，求证：．【解答】（1）解：令g（x）＝f（2x﹣1）＝|2x+3|+|2x﹣1|，①当时，g（x）＝﹣（2x+3）﹣（2x﹣1）＝﹣4x﹣2≤6⇒x≥﹣2，则，②当时，g（x）＝（2x+3）﹣（2x﹣1）＝4≤6，则，③当时，g（x）＝（2x+3）+（2x﹣1）＝4x+2≤6⇒x≤1，则，综上：不等式的解集为[﹣2，1]．（2）证明：因为f（x）＝|x+4|+|x|≥|x+4﹣x|＝4，则a＝4，m2+n2＝1，则，又1＝m2+n2≥2mn（当且仅当时取等号），则，则，故得证．。
河北省衡水中学2020-2021学年第二次联考数学(理科)试卷(全国Ⅱ) (解析版)
2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5} 2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．14．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．138．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．101112．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b二、填空题（共4小题）.13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC ＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5}解：由题意得∁U B＝{1，3，5}，所以A∩∁U B＝{5}．故选：A．2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．解：由sinα＞0，cosα＜0，可得α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z，对于A，可得sin2α＝2sinαcosα＜0，错误；对于B，当α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z时，cosα∈（﹣1，0），此时cos2α＝2cos2α﹣1∈（﹣1，1），错误；对于C，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，可得，正确；对于D，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，当k为偶数时，可得sin＞0，错误；故选：C．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．1解：因为z＝a+（a﹣1）i，所以，所以|z|的最小值为，故选：B．4．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或解：过点（0，1）和（2，1），半径为的圆的圆心（1，﹣1）或（1，3）．过点（0，1），（2，1）且半径为的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5或（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，则圆心到直线y＝2x﹣1的距离为或，则弦长＝．故选：B．5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．解：设该四棱锥为P﹣ABCD，则由题意可知四棱锥P﹣ABCD满足底面ABCD为矩形，则：平面PDC⊥平面ABCD，且PC＝PD＝3，AB＝4，AD＝2．如图，过点P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD 所成的角，则，，所以．故选：C．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：双曲线的焦点F（c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离为，解得，所以．又c2＝a2+b2，所以b2＝3a2．因为点在双曲线上，所以，所以a2＝3，b2＝9，所以双曲线的方程为．故选：D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．13解：由12∧m＝1100∧n＝0001，可得n＝1101，表示成十进制为13，所以m＝13．故选：D．8．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为f（2+x）＝f（2﹣x），所以f（4+x）＝f（﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x），所以f（8+x）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以8为f（x）的一个周期，故②正确；由f（8+x）＝f（x）可得f（8﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（8﹣x）+f（x）＝0，故①正确；为奇函数满足f（x）+f（﹣x）＝0，且一条对称轴为直线x＝2，故③正确；由f（x）为奇函数且定义域为R知，f（0）＝0，又f（x）为周期函数，所以f（x）有无数个零点，故④正确．故选：D．9．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．解：设球O的半径为R，由球的体积为可得，，解得R＝2．因为三棱锥P﹣ABC的高h为1，所以球心O在三棱锥外．如图，设点O1为△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC．在Rt△AO1O中，由，且OO1＝R﹣h＝1，得．因为△ABC为等边三角形，所以，所以．故选：C．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．解：抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第n﹣1由甲掷，第n次由甲掷，概率为，二是第n﹣1次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种情况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故选：A．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．1011解：由题意得a1＝﹣1，a2＝0，a3＝3，a4＝﹣2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝﹣2，a9＝﹣7，a10＝0，a11＝﹣1，a12＝0，…∴数列{a n}为周期数列，且周期为10，因为S10＝5，所以S2021＝5×202+（﹣1）＝1009，故选：C．12．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b解：因为，所以a＜b．因为函数f（x）＝e x ln|x|在区间（0，+∞）上单调递增，所以b，c，d中b最小．构造函数g（x）＝x﹣elnx，则，当x≥e时，g'（x）≥0，所以g（x）在区间[e，+∞）上单调递增，所以g（3）＝3﹣eln3＞g（e）＝0，所以3＞eln3．所以e3＞3e，所以d＞c，所以d＞c＞b＞a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为[0，4]．解：，，设与的夹角为α，则：，∵α∈[0，π]，∴0≤8﹣8cosα≤16，∴，∴的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为48．解：按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有A21A22＝4种，乙第三个到达有A21A21A22＝8种，乙第四个到达有A32A22＝12种，乙最后到达有A44＝24种，所以不同的情况种数为4+8+12+24＝48．故答案为：48．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为3n或（3n2+3n）．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，可得a1+d＝3，①由a3是a1与a9的等比中项，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为da1＝d2，②由①②可得a1＝d＝或a1＝3，d＝0，当a1＝3，d＝0时，＝a2+a4+…+a2n＝3+3+…+3＝3n；当a1＝d＝时，＝a2+a4+…+a2n＝3+6+…+3n＝（3n2+3n）．故答案为：3n或（3n2+3n）．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为②③④．解：对于①，当长方体为正方体时，BD1⊥AC，故①错误；对于②，如图，设AD＝x，则AA1＝2﹣x（0＜x＜2），所以，当x＝1时，BD1的最小值为，即长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为3π，故②正确；对于③，设点E到平面A1B1D的距离为h，如图，由，可得，所以由②可知，，其中，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，所以，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为S＝2x+2x（2﹣x）+2（2﹣x）＝4+4x﹣2x2＝﹣2（x﹣1）2+6，当x＝1时，S的最大值为6，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．解：（1）在△ABC中，，由余弦定理得．因为0＜∠ABC＜π，所以，所以．（2）由知，BC∥AD，所以△BCE∽△DAE，所以，所以DE＝2BE．因为BD＝2，所以．所以．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．解：用A i表示第i位同学选择A组合，用B i表示第i位同学选择B组合，用∁i表示第i 位同学选择C组合，i＝1，2，3．由题意可知，A i，B i，∁i互相独立，且．（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率为：．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η~B(3,)，所以，，，，所以η的分布列为η0123P所以．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BF的中点Q，连接PQ，AQ．因为P，Q为CF，BF的中点，所以PQ∥BC，且．又因为AD∥BC，BC＝2AD，所以PQ∥AD，且PQ＝AD，所以四边形ADPQ为平行四边形，所以DP∥AQ．又AQ⊂平面ABFE，DP⊄平面ABFE，所以DP∥平面ABFE．（2）解：因为平面ABCD⊥平面BAEF，平面ABCD∩平面BAEF＝AB，FB⊥AB，FB⊂平面BAEF，所以FB⊥平面ABCD．又BC⊂平面ABCD，所以FB⊥BC．又AB⊥FB，AB⊥BC，所以以B为坐标原点，分别以BA，BC，BF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2，则．设平面DEF的一个法向量为，则，令z＝1，得．易知平面BCF的一个法向量为，所以．所以平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．【解答】（1）解：由可知，点（x，y）到点（﹣1，0），（1，0）的距离之和为4，且4＞2，根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则2a＝4，2c＝2，所以曲线C的离心率为．（2）证明：设椭圆的短轴长为2b，由（1）可得b2＝a2﹣c2＝3，所以曲线C的方程为，则F（1，0）．由题意可知，动直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由,得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，所以．设AB的中点为Q（x0，y0），则，．当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为，令y＝0，得，所以，＝＝，所以．当k＝0时，l的方程为y＝0，此时，．综上，为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝x+alnx，a∈R，所以，①当a≥0时，f'（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当a＜0时，令f'（x）＞0，得x＞﹣a，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣a，所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；综上：当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；（2）方程g（x）＝mf（x）有两个实根，即关于x的方程x2e x﹣m（x+2lnx）＝0有两个实根，即函数h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）有两个零点，又h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）＝e x+2lnx﹣m（x+2lnx），令t＝x+2lnx，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且t∈R，所以只需函数u（t）＝e t﹣mt有两个零点，令u（t）＝0，得，令，则，易知当t∈（﹣∞，1）时，φ（t）单调递增，当t∈（1，+∞）时，φ（t）单调递减，所以当t＝1时，φ（t）取得最大值，又因为当t＜0时，φ（t）＜0，当t＞0时，φ（t）＞0，φ（0）＝0，则函数的图象如图所示：所以当，即m∈（e，+∞）时，函数h（x）有两个零点，所以实数m的取值范围为（e，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．解：（1）由（α为参数），消去参数α，得曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4,由，得，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x﹣y＝b，所以曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣b＝0．（2）设P（1+2cosα，1﹣2sinα），因为点P到直线x﹣y﹣b＝0的距离为1，所以，化简得①．若关于α的方程①有解，则曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，所以②，或③由②得，由③得，所以b的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．【解答】（1）解：由题意得f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，当x≥2时，原不等式可化为3x﹣3≤9，解得x≤4，故2≤x≤4；（1分）当﹣1≤x＜2时，原不等式可化为5﹣x≤9，解得x≥﹣4，故﹣1≤x＜2；当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x+3≤9，解得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1．综上，不等式f（x）≤9的解集为[﹣2，4]．（2）证明：因为≥＝，且ab＞0，高中数学资料群734924357所以，当且仅当或时等号成立，高中数学资料群734924357。
2020-2021学年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)及答案解析
安徽省高考数学三模试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A．2015 B．2016 C．﹣2015 D．﹣20164．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．857．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1B．a9•a10＞0C．S2＞S17D．S19≥08．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．24210．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125πC．（41+7）πD．（73+7）π11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞）二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t=______．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是______．16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+=______．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．18．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下： 组别[30，40][40，50] [50，60] [60，70] [70，80] [80，90] [90，100] 频数 3101215622（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N （μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P （Z ＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX ．附：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ＜+σ）=0.6826，P （μ﹣2＜Z ＜μ+2σ）=0.9544．19．如图，直角三角形ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E 为线段BC 上一点，且BE=BC ，沿AC 边上的中线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置． （1）求证：PE ⊥BD ；（2）当平面PBD ⊥平面BCD 时，求二面角C ﹣PB ﹣D 的余弦值．20．已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C ：x 2+y 2=r 2（0＜r＜b ）上任意一点作圆C 的切线与椭圆E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）当r 为何值时，OA ⊥OB ；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}=（0，4），集合N={0，4}，则M∪N=[0，4]，故选：A．2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A．2015 B．2016 C．﹣2015 D．﹣2016【考点】等比数列的通项公式．【分析】由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=lg（a1a2•…•a2015•a2016）==﹣2016．故选：D．4．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，可得a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，又a2+b2=25，解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：A．5．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，代入比较即可得出．【解答】解：在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，∴﹣x+（2﹣2a）（﹣y）﹣1=0，化为x+（2﹣2a）y+1=0，与x+（a2﹣1）y+1=0比较，可得：a2﹣1=2﹣2a，解得a=﹣3或a=1．则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的充分不必要条件．故选：A．6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．85【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，根据输入的m、n的值即可求出输出的值．【解答】解：执行如图的程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，当输入m=204，n=85时，输出的m=17．故选：B．7．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1B．a9•a10＞0C．S2＞S17D．S19≥0【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】由∀n∈N*，都有S n≤S10，a10≥0，a11≤0，再根据等差数列的性质即可判断．【解答】解：∵∀n∈N*，都有S n≤S10，∴a10≥0，a11≤0，∴a9+a11≥0，∴S2≥S17，S19≥0，故选：D．8．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出k的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（2，0），显然y=k（x﹣1）恒过（1，0），k=0时，直线是AB，k＞0时，k→+∞，k＜0时，k的最大值是直线AC的斜率﹣2，故k∈（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），故选：D．9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．242【考点】二项式系数的性质．【分析】（2+）6的展开式中，T r+1==26﹣r．分别令=1，=3，进而得出．【解答】解：（2+）6的展开式中，T r+1==26﹣r．分别令=1，=3，解得r=2或r=6．∴（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是×1﹣2×=238．故选；C．10．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125πC．（41+7）πD．（73+7）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．利用表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．该饮料瓶的表面积=++π×32=π．故选：C．11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数，由此能求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则基本事件总数n=4×4=16，甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数：m=1×3+2×2=7，∴甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率p=．故选：D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】根据极限的思想=1，分离参数，即可得到a≥2×，即可求出答案．【解答】解：由于=1，∵x2+2x+2≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），∴a≥2×≥2，∴实数a的取值范围为[2，+∞），故选：B．二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t= ±2 ．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程即可求出结果．【解答】解：∵=（1，t），=（t，4），且∥，∴1×4﹣t2=0，解得t=±2．故答案为：±2．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，）代入解析式，结合，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：由图可得：函数函数y=Asin（ωx+ϕ）的最小值﹣|A|=﹣，令A＞0，则A=又∵，ω＞0∴T=π，ω=2∴y=sin（2x+ϕ）将（，）代入y=sin（2x+ϕ）得sin（+ϕ）=﹣1即+ϕ=+2kπ，k∈Z即ϕ=+2kπ，k∈Z∵∴∴故答案为：15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x≥1和x＜1，进行求解即可．【解答】解：若x≥1，由f（x）＞2得log2（x+1）＞2，得x+1＞4，即x＞3．若x＜1，则﹣x＞﹣1，2﹣x＞1，则由f（x）＞2得f（2﹣x）＞2，即log2（2﹣x+1）＞2，得log2（3﹣x）＞2，得3﹣x＞4，即x＜﹣1．综上不等式的解为x＞3或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+= （3n﹣1）﹣2n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】化简可得[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，从而可得16+﹣=0，即+2=3（+2），从而求得数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而求和即可．【解答】解：∵（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，∴[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，∴16（a n+1﹣1）（a n﹣1）+12（a n+1﹣1）﹣4（a n﹣1）=0，∴16+﹣=0，∴+2=3（+2），又∵+2=3，∴数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴+2=3n，故=3n﹣2；故+++…+=3﹣2+9﹣2+…+3n﹣2=﹣2n=（3n﹣1）﹣2n；故答案为：（3n﹣1）﹣2n．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断．【分析】（1）根据正弦定理来求边AB、BC的长度；（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，结合和差化积公式得到θ的值，由此可以判定△ABC的形状为钝角三角形．【解答】解：（1）由正弦定理得：=，即=，所以BC=4sinθ．又∵∠C=π﹣﹣θ，∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ）．∴=即=，∴AB=4sin（+θ）．（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，所以，8sin（+θ）×=6，整理，得sin（+θ）=．∵0＜+θ＜π，∴+θ=或+θ=，∴θ=，或θ=．∴△ABC是直角三角形．18．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：组别[30，40][40，50][50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]频数 3 10 12 15 6 2 2（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P（Z＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜+σ）=0.6826，P（μ﹣2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，即可求这50名同学成绩的样本平均数；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，即可得出结论；②设依题意知X～B（20，0.1587），即可求得EX．【解答】解：（Ⅰ）由所得数据列成的频数分布表，得：样本平均数=×（35×3+45×10+55×12+65×15+75×6+85×2+95×2）=60；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，∴P（Z＞74）=（1﹣0.6826）=0.1587，②由①知，成绩超过74分的概率为0.1587，依题意知X～B（20，0.1587），∴EX=20×0.1587=3.174．19．如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．（1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BD中点O，连结OE，PO，推导出OE⊥BD，PO⊥BD，从而BD⊥平面POE，由此能证明PE⊥BD．（2）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，∴DC=PD=PB=BD=2，BC=2，取BD中点O，连结OE，PO，∵OB=1，BE=，∴OE=，∴OE⊥BD，∵PB=PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又PO∩OE=O，∴BD⊥平面POE，∴PE⊥BD．解：（2）∵平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，如图，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），P（0，0，），C（），=（0，﹣1，），=（），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），平面图PBD的法向量=（1，0，0），cos＜＞==，由图形知二面角C﹣PB﹣D的平面角是锐角，∴二面角C﹣PB﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2（0＜r ＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当r为何值时，OA⊥OB；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，列出方程组，求出a，b，从而求出椭圆E的方程，当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，得到当r=时，OA⊥OB；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、直线与圆相切，结合已知条件能求出r的值．（2）OP⊥OM，OP⊥ON，OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得|MN|=2OM=4，同理，|OP|=，由此能求出△PMN面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆E的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，即x1=x2=±r，代入椭圆方程，得，=x1x2+y1y2==r2﹣（1﹣）=，∵0＜r＜1．∴当r=时，，即OA⊥OB，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，则，，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+n）（kx2+n）=（1+k2）x1x2+kn（x1+x2）+n2==，∵直线l与圆C相切，∴=r，即n2=r2（1+k2），∴=，∵0＜r＜1，∴当r=时，=0，即OA⊥OB，综上，r=．（2）由（1）知OP⊥OM，OP⊥ON，∴OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得，，∴|MN|=2OM=2=4，同理，|OP|=2=2，∴S△PMN=|OP|•|MN|=4=4∈[，2），当MN与坐标轴垂直时，S△PMN=2，∴△PMN面积的取值范围是[，2]．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，令h（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性得到f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，从而f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，结合函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）=+alnx，f′（x）=，若函数f（x）=+alnx有极值点，则ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，（a＞0），则m′（x）=ae x﹣2x，m″（x）=ae x﹣2，令m″（x）＞0，解得：x＞ln，令m″（x）＜0，解得：x＜ln，∴m′（x）在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，∴m′（x）min=m′（ln）=2﹣2ln＜0，解得：a＜，故0＜a＜；（2）f（x）=+alnx，f′（x）=，令h（x）=ae x﹣x2，则h′（x）=ae x﹣2x，0＜x≤1时，h′（x）≤ae﹣2＜0，由于h（a）=a（e a﹣a）＞0，h（1）=ae﹣1≤0，∴f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，当a=时，f（x）有极大值点x=1，∴x∈（0，2]时，f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，f（x0）=（a＜x0＜1），令ω（x）=，（a＜x＜1），则ω′（x）=﹣e﹣x（x﹣2）xlnx＜0，∴ω（x）＜ω（a）=＜，又f（1）=，∴max{f（1），f（x0）}＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论；（2）设圆的半径为r，由△PDF∽△POC，可得半径为5，由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•解得CD=2，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD的弦心距．【解答】解：（1）证明：连接OC、OE，则∠COE=2∠CDE，∵=，∴∠AOC=∠AOE，∴∠AOC=∠CDE，∴∠COP=∠PDF，∵∠P=∠P，∴△PDF∽△POC∴=，∴PF•PO=PD•PC，由割线定理可得PC•PD=PA•PB，∴PF•PO=PA•PB．（2）设圆的半径为r，PD=4，PB=2，DF=，由△PDF∽△POC，可得=，即有PD•OC=PO•DF，即4r=（2+r），解得r=5．由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•即为4（4+CD）=2（2+2r），即有CD=r﹣3=5﹣3=2，则弦CD的弦心距为OH===2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，．利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）利用点到直线的距离公式圆心C（0，2）到直线l的距离d．可得A，B两点间距离|AB|的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y﹣3=0．（2）圆心C（0，2）到直线l的距离d==．∴A，B两点间距离|AB|的最小值为﹣2．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论解不等式f（x）≤3；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．【解答】解：（1）当m=﹣1时，不等式f（x）≤3，可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3，x时，﹣x+1﹣2x﹣1≤3，∴x≥﹣1，∴﹣1≤x；﹣时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴﹣；x≥1时，x﹣1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；综上所述，﹣1≤x≤1；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．图象最低点的坐标是（﹣，），f（x）=1时，x=0或﹣，f（x）=3时，x=﹣或，∴函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为=．。
2021年高考数学二模试卷(含解析)
2021年高考数学二模试卷（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知i为虚数单位，则复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若a为实数，=﹣i，则a等于（）A．B．﹣ C． 2 D．﹣23．（5分）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是（）A．1B． 2 C． 3 D．44．（5分）某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N*，数列的前n项之积n2，则当n≥2时，有（）A．a n=2n﹣1 B．a n=n2C．a n= D．an=5．（5分）若集合A={x|lg（x﹣2）＜1}，集合B={x|＜2x＜8}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，12）C．（2，12）D．（2，3）6．（5分）设a=log3π，b=log2，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a7．（5分）设f（x）是R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+），则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）等于（）A．x（1+）B．﹣x（1+）C．﹣x（1﹣）D．x（1﹣）8．（5分）设x、y是满足2x+y=20的正数，则lgx+lgy的最大值是（）A．50 B．2 C．1+lg5 D．19．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+ln n B．2+（n﹣1）ln n C．2+n ln n D．1+n+ln n10．（5分）函数y=g（x）的图象与函数f（x）=a x﹣1的图象关于y=x对称，并且g（4）=2，则g（2）的值是（）A．B．C．2 D．411．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2] D．[﹣2，﹣1]12．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3|x|的零点个数是（）A．多于4个B．4个C．3个D．2个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）设函数为奇函数，则a=．14．（5分）已知复数z0=3+2i，复数z满足z•z0=3z+z0，则复数z的共轭复数是．15．（5分）在复数范围内解方程x2+2x+5=0，解为．16．（5分）设f（x）以（x﹣1）除之，余式为8，以（x+1）除之的余式为1，求（x2﹣1）除之的余式为．17．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是．18．（5分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最大值为．三、解答题（共4小题，满分60分）19．（15分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．20．（15分）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．21．（15分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），其中λ＞0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．22．（15分）已知a1=2，点（a n，a n+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…（1）证明数列{lg（1+a n）}是等比数列；（2）设T n=（1+a1）（1+a2）…（1+a n），求T n及数列{a n}的通项；（3）记，求数列{b n}的前n项S n，并证明．广东省深圳东方英文书院港台校xx届高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知i为虚数单位，则复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简可得z=﹣i，由复数的几何意义可得．解答：解：化简可得z=====﹣i，∴复数对应的点为（，），在第三象限，故选：C点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的几何意义，属基础题．2．（5分）若a为实数，=﹣i，则a等于（）A．B．﹣C．2 D．﹣2考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，进行复数的乘法运算，化成最简形式，根据复数相等的充要条件写出关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵=﹣i，∴∴∴2+=0，∴a=﹣故选B．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数相等的充要条件，是一个基础题，这种题目经常出现在xx届高考题目的前三个题目中．3．（5分）满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：交集及其运算；子集与真子集．专题：计算题．分析：首先根据M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}可知a1，a2是M中的元素，a3不是M中的元素，由子集的定义即可得出答案．解答：解：∵M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}∴a1，a2是M中的元素，a3不是M中的元素∵M⊆{a1，a2，a3，a4}∴M={a1，a2}或M={a1，a2，a4}，故选B点评：此题考查了交集的运算，属于基础题．4．（5分）某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N*，数列的前n项之积n2，则当n≥2时，有（）A．a n=2n﹣1 B．a n=n2C．a n= D．an=考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由题意得，进一步得到，两式作比得答案．解答：解：由题意知，a1=1；当n≥2时，，，两式作比得（n≥2）．∴当n≥2，．故选：C．点评：本题考查了数列递推式，考查了作商法求数列的通项公式，是基础题．5．（5分）若集合A={x|lg（x﹣2）＜1}，集合B={x|＜2x＜8}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，12）C．（2，12）D．（2，3）考点：对数函数的定义域；交集及其运算；指数函数单调性的应用．专题：计算题．分析：根据对数的运算性质和指数的运算性质化简集合A和集合B，然后根据交集的定义可求出所求．解答：解：A={x|lg（x﹣2）＜1}={x|lg（x﹣2）＜lg10}={x|2＜x＜12}，B={x|＜2x＜8}={x|2﹣1＜2x＜23}={x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}故选D．点评：本题主要考查了集合的运算，注意指数函数性质的灵活运用，同时考查了计算能力，属于基础题．6．（5分）设a=log3π，b=log2，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较．分析：利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．解答：解：∵∵，故选A点评：本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．7．（5分）设f（x）是R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+），则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）等于（）A．x（1+）B．﹣x（1+）C．﹣x（1﹣）D．x（1﹣）考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：令x＜0，则﹣x＞0，运用偶函数的定义和已知解析式，即可得到所求的解析式．解答：解：令x＜0，则﹣x＞0，由于f（x）是R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+），则f（﹣x）=﹣x（1﹣）=f（x），即有f（x）=﹣x（1﹣）（x＜0）故选C．点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求解析式，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）设x、y是满足2x+y=20的正数，则lgx+lgy的最大值是（）A．50 B．2 C．1+lg5 D．1考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用基本不等式先求出xy的范围，再根据对数的运算性质进行化简即可求得最大值．解答：解：∵x，y是满足2x+y=20的正数，∴2x+y=20≥2，即xy≤50．当且仅当2x=y，即x=5，y=10时，取等号．∴lgx+lgy=lgxy≤lg50=1+lg5，即最大值为1+lg5．故选C．点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，最值问题是函数常考的知识点，属于基础题．9．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+ln n B．2+（n﹣1）ln n C．2+n ln n D．1+n+ln n考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a n+1﹣a n=ln（1+）=ln，由此利用累加法能求出a n．解答：解：∵在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），∴a n+1﹣a n=ln（1+）=ln，∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=2+ln2+ln+…+ln=2+ln（）=2+lnn．故选：A．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．10．（5分）函数y=g（x）的图象与函数f（x）=a x﹣1的图象关于y=x对称，并且g（4）=2，则g（2）的值是（）A．B．C．2 D．4考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由函数y=g（x）的图象与函数f（x）=a x﹣1的图象关于y=x对称，说明g（x）是f （x）的反函数，进一步说明f（x）的图象过（2，4），代入求出a的值后再由函数f（x）的函数值为2求得x的值得答案．解答：解：∵函数y=g（x）的图象与函数f（x）=a x﹣1的图象关于y=x对称，∴g（x）是f（x）的反函数，由g（4）=2，得f（2）=4，∴a2﹣1=4，即a=4．∴f（x）=4x﹣1，由4x﹣1=2，解得：x=．∴g（2）=．故选：B．点评：本题考查了函数的反函数，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础题．11．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2] D．[﹣2，﹣1]考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），的解析式，并画出f （x）的图象，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．解答：解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1）=，由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选B．点评：本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．12．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3|x|的零点个数是（）A．多于4个B．4个C．3个D．2个考点：对数函数的图像与性质；函数的周期性．专题：压轴题；数形结合．分析：根据定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们易画出函数f（x）的图象，然后根据函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数，即为对应方程的根的个数，即为函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象交点的个数，利用图象法得到答案．解答：解：若函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则函数是以2为周期的周期函数，又由函数是定义在R上的偶函数，结合当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们可以在同一坐标系中画出函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下图所示：由图可知函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象共有4个交点，即函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是4个，故选B点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，利用转化思想，将函数的零点个数问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）设函数为奇函数，则a=﹣1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：一般由奇函数的定义应得出f（x）+f（﹣x）=0，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为f（x）+f（﹣x）=0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a的值．解答：解：∵函数为奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0，∴f（1）+f（﹣1）=0，即2（1+a）+0=0，∴a=﹣1．故应填﹣1．点评：本题考查函数奇偶性的运用，其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数，在本题中为了减少运算量，没有用通用的等式来求a而是取了其一个特值，这在恒成立的等式中，是一个常用的技巧．14．（5分）已知复数z0=3+2i，复数z满足z•z0=3z+z0，则复数z的共轭复数是1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：变形并化简可得z=﹣1﹣i，由共轭复数的定义可得．解答：解：∵复数z0=3+2i，复数z满足z•z0=3z+z0，∴z=====1﹣i，∴复数z的共轭复数=1+i故答案为：1+i点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及共轭复数的求解，属基础题．15．（5分）在复数范围内解方程x2+2x+5=0，解为﹣1±2i．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用求根公式即可得出．解答：解：=﹣1±2i，故答案为：﹣1±2i．点评：本题实系数一元二次的求根公式，属于基础题．16．（5分）设f（x）以（x﹣1）除之，余式为8，以（x+1）除之的余式为1，求（x2﹣1）除之的余式为﹣7x﹣9．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：首先根据题意列出函数关系式f（x）=g（x）（x﹣1）+8①，f（x）=h（x）（x+1）+1②，②×（x﹣1）﹣①×（x+1）化简即可确定余式．解答：解：根据题意得：∵f（x）=g（x）（x﹣1）+8①，f（x）=h（x）（x+1）+1②，∴②×（x﹣1）﹣①×（x+1）得：[（x﹣1）﹣（x+1）]f（x）=[h（x）﹣g（x）]（x2﹣1）+（x﹣1）﹣8（x+1）=[h（x）﹣g（x）]（x2﹣1）﹣7x﹣9∴f（x）除以（x2﹣1）的余式为﹣7x﹣9．故答案为：﹣7x﹣9．点评：本题考查了函数的性质，解题的关键是正确的变形，难度不大．17．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（3，+∞）．考点：对数函数的值域与最值；对数的运算性质．专题：计算题．分析：画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b 化为关于a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可解答：解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）∵y=a+在（0，1）上为减函数，∴y＞1+=3∴a+2b的取值范围是（3，+∞）故答案为（3，+∞）点评：本题主要考查了对数函数的图象和性质，利用“对勾”函数求函数值域的方法，数形结合的思想方法，转化化归的思想方法，属基础题18．（5分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最大值为．考点：基本不等式；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：由于二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，把转化为只含一个变量的代数式利用均值不等式进而求解．解答：解：因为二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以⇒ac=4⇒c=，所以===1+由于a+≥12（当且仅当a=6时取等号）所以1+≤1+=．故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式的应用，以及二次函数的性质，同时考查了计算能力，属于中档题．三、解答题（共4小题，满分60分）19．（15分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．考点：绝对值不等式．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）当a=﹣1，原不等式变为：|x﹣1|+|x+1|≥3，下面利用对值几何意义求解，利用数轴上表示实数﹣左侧的点与表示实数右侧的点与表示实数﹣1与1的点距离之和不小3，从而得到不等式解集．（2）欲求当x∈R，f（x）≥2，a的取值范围，先对a进行分类讨论：a=1；a＜1；a＞1．对后两种情形，只须求出f（x）的最小值，最后“x∈R，f（x）≥2”的充要条件是|a﹣1|≥2即可求得结果．解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|x﹣1|+|x+1|，由f（x）≥3有|x﹣1|+|x+1|≥3据绝对值几何意义求解，|x﹣1|+|x+1|≥3几何意义，是数轴上表示实数x的点距离实数1，﹣1表示的点距离之和不小3，由于数轴上数﹣左侧的点与数右侧的点与数﹣1与1的距离之和不小3，所以所求不等式解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）（2）由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）点评：本小题主要考查绝对值不等式、不等式的解法、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．20．（15分）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．考点：等差数列与等比数列的综合；数列递推式；数学归纳法．专题：综合题；压轴题．分析：（1）根据等差中项和等比中项的性质求得a n和b n的关系式，分别求得a2，a3，a4及b2，b3，b4，推测出它们的通项公式．先看当n=1时，等式明显成立；进而假设当n=k时，结论成立，推断出a k和b k的表达式，进而看当n=k+1时看结论是否成立即可．（2）先n=1时，不等式成立，进而看n≥2时利用（1）中的{a n}，{b n}的通项公式，以及裂项法进行求和，证明题设．解答：解：（1）由条件得2b n=a n+a n+1，a n+12=b n b n+1由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25．猜测a n=n（n+1），b n=（n+1）2．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即a k=k（k+1），b k=（k+1）2，那么当n=k+1时，a k+1=2b k﹣a k=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+1）（k+2），b k+1==（k+2）2．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知a n=n（n+1），b n=（n+1）2对一切正整数都成立．（2）证明：．n≥2时，由（1）知a n+b n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．故==综上，原不等式成立．点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．21．（15分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），其中λ＞0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）根据条件构造等差数列，利用等差数列的通项公式即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{a n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），λ＞0，可得=+1，所以[]﹣[]=1，故{}是以为首项，公差d=1的等差数列，故=n﹣1，则a n=（n﹣1）λn+2n．故数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣1）λn+2n．（Ⅱ）设T n=λ2+2λ3+3λ4+…+（n﹣2）λn﹣1+（n﹣1）λn①λT n=λ3+2λ4+3λ5+…+（n﹣2）λn+（n﹣1）λn+1．②当λ≠1时，①式减去②式，得（1﹣λ）T n=λ2+λ3+…+λn﹣（n﹣1）λn+1=，则T n==，则数列{a n}的前n项和S n=+2n+1﹣2，当λ=1时，T n=．则数列{a n}的前n项和S n=．+2n+1﹣2．点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和，要求熟练掌握构造法以及错位相减法在求解数列中的应用．22．（15分）已知a1=2，点（a n，a n+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…（1）证明数列{lg（1+a n）}是等比数列；（2）设T n=（1+a1）（1+a2）…（1+a n），求T n及数列{a n}的通项；（3）记，求数列{b n}的前n项S n，并证明．考点：等比关系的确定；数列的求和；数列递推式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）把点（a n，a n+1）代入函数式，整理得a n+1+1=（a n+1）2，两边取对数整理得，进而判断{lg（1+a n）}是公比为2的等比数列．（2）根据等比数列的通项公式求的数列{lg（1+a n）}的通项公式，进而求的a n代入到T n=（1+a1）（1+a2）（1+a n）求的T n．（3）把（2）求的a n代入到，用裂项法求和求得项，又，原式得证．解答：解：（Ⅰ）由已知a n+1=a n2+2a n，∴a n+1+1=（a n+1）2∵a1=2∴a n+1＞1，两边取对数得lg（1+a n+1）=2lg（1+a n），即∴{lg（1+a n）}是公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg（1+a n）=2n﹣1•lg（1+a1）=∴∴∴T n=（1+a1）（1+a2）（1+a n）==31+2+22+…+2n﹣1=（Ⅲ）∵a n+1=a n2+2a n∴a n+1=a n（a n+2）∴∴又∴∴S n=b1+b2+…+b n==∵∴又∴．点评：本题主要考查了等比关系的确定和数列的求和问题．考查了学生对数列知识的综合掌握．26780 689C 梜22762 58EA 壪•-<28120 6DD8 淘537943 9437 鐷n33478 82C6 苆25887 651F 攟t 38836 97B4 鞴37858 93E2 鏢。
2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析
2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。
2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。
4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
2020-2021学年安徽省九年级(上)月考数学试卷(二)(附答案详解)
2020-2021学年安徽省九年级（上）月考数学试卷（二）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知2a=3b，则a−bb的值为()A. 12B. −12C. 13D. −132.若反比例函数y=2−kx的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是()A. k<−2B. k<2C. k>−2D. k>23.如图，点D在△ABC的边AB上，DE//BC，DE交AC于点E，EF//AB交BC于点F，下列比例式不成立的是()A. ADDB =BFFCB. ADAB =BFBCC. DEBC =EFABD. DBAB =CFBC4.把二次函数y=−2x2+4x−1配方成顶点形式y=−2(x+ℎ)2+k，则h，k的值分别为()A. ℎ=−1，k=1B. ℎ=−1，k=−2C. ℎ=1，k=1D. ℎ=1，k=−35.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是()A. ∠CBA=2∠AB. 点B是DE的中点C. CE⋅CD=CA⋅CBD. CECA =BEAD6.肚脐眼是人上下身的分界点，已知某人的肚脐眼恰好是他的身高的黄金分割点，且他的上身比下身长，若该人的身高约为1.8米，则他的上身长度约为()(精确到0.1米)A. 0.9米B. 1.0米C. 1.1米D. 1.2米7.如图，在矩形ABCD中，AB=24，AD=10，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A与点C重合，折痕与AB交于点M，与CD交于点N，则线段MN的长是()A. 5B. 12C. 6512D. 6568.已知抛物线y=−x2−4x+5，下列说法正确的是()A. 抛物线与y轴的交点位于y轴的负半轴上B. 当x>−2时，函数值y随x的增大而减小C. 若2≤x≤5，则函数一定有最大值是9D. 抛物线与x轴的交点坐标是(−1,0)和(5,0)9.如图，△ABC中，CA=CB=5cm，AB=8cm，直线l经过点A且垂直于AB，现将直线l以1cm/s的速度向右匀速移动，直至经过点B时停止移动，直线l与边AB交于点M，与边AC(或CB)交于点N.若直线l移动的时间是x(s)、△AMN的面积为y(cm2)，则y与x之间函数关系的图象是()A. B.C. D.10.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3√2，点D、E分别在边AB，BC上，且∠CDE=45°，下列结论中：①△CAD∽△DBE；②若点D是AB的中点，则点E也是BC的中点；③若点D是AB的三等分点，则BE的长是4√2，其中正确的结3论有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知a=3，b=6，则a，b的比例中项是______．12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，则a+b+c______0(填“>”或“=”或“<”)．13.如图，点A(2,4)在第一象限，点B(b,3)在第二象限，且OA⊥OB，反比例函数y=(k≠0)的图象经过点B，则k的值为______．−kx14.如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上一点，连接BE，过点C作CG⊥BE于G，CG的延长线交AD于F，连接DG并延长交BC于H，且点H恰好是BC的中点．(1)若∠CBE=35°，则∠CDH=______°.(2)若CE=6，DE=2，则DF的长是______．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）15.已知a：b：c=2：3：4，求a−3b−c的值．b16.如图，抛物线y=2x2+bx−2过点A(−1,m)和B(5,m)．(1)求b和m的值；(2)若抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积．17.如图，小明为了测量大树AB的高度，在离B点21米的N处放了一个平面镜，小明沿BN方向后退1.4米到D点，此时从镜子中恰好看到树顶的A点，已知小明的眼睛(点C)到地面的高度CD是1.6米，求大树AB的高度．18.如图，在10×10网格中，点O是格点，△ABC是格点三角形(顶点在网格线交点上)，且点A1是点A以点O为位似中心的对应点．(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1；(2)△A1B1C1与△ABC的位似比是______．19.已知△ABC的面积为S，点D，E分别在边AB，AC上，且DE//BC．【填空】(1)如图1，若AD：DB=1：1，则四边形DECB的面积a1=______(用含S的式子表示，下同)；(2)如图2，若AD：DB=1：2，则四边形DECB的面积a2=______；(3)如图3，若AD：DB=1：3，则四边形DECB的面积a3=______；以此类推，…【猜想】根据上述规律猜想，若AD ：DB =1：n ，则四边形DECB 的面积a n =______；【应用】计算a 1⋅a 2⋅a 3…a 10．20. 喷洒酒精能有效杀灭“新型冠状肺炎”病毒．根据实验知道喷洒酒精在教室内空气中的浓度y(单位：mg/m 3)与时间x(单位：ℎ)的函数表达式为y ={2x(0<x <m)−x 2+6x −4(x ≥m).其大致图象如图所示．请根据以上信息解答下列问题： (1)试确定点A 的坐标；(2)根据经验，当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m 3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，请通过计算说明单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为多少小时？(mk≠0)的图象相交于点A(1,6)和点21.已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=mxB(n,−2)．(1)试确定一次函数与反比例函数的表达式；(2)若点P在x轴上，且△PAB的面积为12，求点P的坐标；(3)结合图象直接写出不等式kx+b>m的解集．x22.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x−2与x轴、y轴分别交于点A和点B，抛物线y=x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为C(6,n)(1)求n的值和抛物线的解析式；(2)已知点P是抛物线上位于点B、C之间的一动点(不与点B，C重合)，设点P的横坐标为a.当a为何值时，△APC的面积最大，并求出其最大值；(3)在y轴上是否存在点M，使△BMC与△BAO相似？若存在，直接写出点M的坐标(不用说理)；若不存在，请说明理由．23.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，E，F三点在一条直线上，连接FA并延长交边CB的延长线于点H．(1)求证：△HCA∽△HFC；(2)求CF的值；BE(3)若HC=6，HB=2，求正方形AEFG的边长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵2a=3b，∴ab =32，∴a−bb =ab−1=32−1=12；故选：A．根据已知条件得出ab =32，再把要求的式子化成ab−1，再代值计算即可得出答案．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：∵反比例函数y=2−kx的图象分布在第二、四象限，∴2−k<0，解得k>2，故选：D．根据反比例函数的图象和性质，由2−k<0即可解得答案．本题考查了反比例函数的图象和性质：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．3.【答案】C【解析】解：∵DE//BC，∴ADBD =AECE，∵EF//AB，∴AECE =BFCF，∴ADBD =BFCF，故A正确，不符合题意；∵DE//BC，∴ADAB =AEAC，∵EF//AB，∴AEAC =BFBC，∴ADAB =BFBC，故B正确，不符合题意；∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB =CEAC，∴C错误，符合题意；∵DE//BC，∴DBAB =CEAC，∵EF//AB，∴CEAC =CFBC，∴DBAB =CFBC，故D正确，不符合题意；故选：C．利用平行线分线段成比例和相似三角形的判定与性质，逐一进行判断即可．本题主要考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定与性质，熟记平行线分线段成比例是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵二次函数y=−2x2+4x−1=−2(x−1)2+1，∴ℎ=−1，k=1，故选：A．将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到h、k的值，本题得以解决．本题考查二次函数的性质、二次函数的三种形式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5.【答案】D【解析】解：∵CE⊥CD，∴∠EDC=90°，∵∠BCA=90°，∴∠BCE=∠DCA=90°−∠BCD，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴DC=DB=DA，∴∠DAC=∠A，∴∠BCE=∠DCA=∠A，∵∠CBA=2∠A，∠CBA+∠A=90°，∴∠A=∠BCE=∠DCA=30°，∠CBA=60°，∴∠E=∠CBA−∠BCE=30°，∴∠BCE=∠DCA=∠E=∠A，∴△CEB∽△CAD，∴A不符合题意，∵点B是DE的中点，∴BE=BC，∴∠BCE=∠E，∴∠BCE=∠E=∠DCA=∠A，∴△CEB∽△CAD，∴B不符合题意，∵CE⋅CD=CA⋅CB，∴CECA =CBCD，∵∠BCE=∠DCA，∴△CEB∽△CAD，∴C不符合题意．由CECA =BEAD，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似，∴D符合题意，故选：D．根据相似三角形的判定方法一一判断即可．本题考查相似三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30度角的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．6.【答案】C【解析】解：∵某人的肚脐眼恰好是他的身高的黄金分割点，且他的上身比下身长，该人的身高约为1.8米，∴他的上身长度约为√5−12×1.8≈0.618×1.8≈1.1(米)，故选：C．直接根据黄金分割的定义求解即可．本题主要考查了黄金分割以及近似数．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比值．7.【答案】D【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=24，AD=BC=10，∠B=90°，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26，由折叠可得，MN垂直平分AC，∴AO=CO=13，又∵CD//AB，∴∠NCO=∠MAO，∠CNO=∠AMO，∴△CON≌△AOM(AAS)，∴MO=NO，∵∠AOM=∠B=90°，∠MAO=∠BAC，∴△ABC∽△AOM，∴OMBC =AOAB，即OM10=1324，解得OM=6512，∴MN=2OM=656．故选：D．先判定△CON≌△AOM，即可得到MO=NO，再根据△ABC∽△AOM，即可得到OM=6512，进而得出MN=2OM=656．本题主要考查了折叠问题、相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．8.【答案】B【解析】解：A、由于c=5>0，所以抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴上，故本选项不符合题意．B、由于y=−x2−4x+5=−(x+2)2+9的开口方向向下，对称轴是直线x=−2，所以当x>−2时，函数值y随x的增大而减小，故本选项符合题意．C、由于y=−x2−4x+5=−(x+2)2+9的顶点坐标是(−2,9)，且开口方向向下，所以当x=−2时，函数一定有最大值是9，故本选项不符合题意．D、由于y=−x2−4x+5=−(x+5)(x−1)，所以抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(−5,0)，故本选项不符合题意．故选：B．根据二次函数解析式化为顶点式，判断抛物线的开口方向，计算出对称轴顶点坐标以及增减性判断得出答案即可．此题考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，正确判定开口方向，求得对称轴与顶点坐标是解决问题的关键．9.【答案】C【解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在等腰△ABC中，AC=5，AD=12AB=4，则CD=3，在Rt△ACD中，tanA=CDAD =34=tanB，(1)当0≤x≤4，如图1，∵tan∠A=MNAM =34=MNx，即MN=34x，y=12×AM⋅MN=12x×34x=38x2，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y轴，位于y轴的右侧抛物线的一部分；(2)当4<x≤8时，同理：y=12x×34(8−x)=−38x2+3x，该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为x=4，故选：C．用面积公式，分段求出△AMN的面积即可求解．本题考查的是动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．10.【答案】D【解析】解：∵∠ACB=90°，CA=CB=3√2，∴∠A=∠B=45°．∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE，∠CDE=45°，∴∠ACD=∠BDE，∴△CAD∽△DBE，故①正确；∵CA=CB=3√2，∴AB=√CA2+CB2=6，当点D是AB的中点时，BD=AD=12AB=3，由①结论可得：CADB =ADBE，即3√23=3BE，解得：BE=3√22=12BC，故点E为BC的中点，故②正确；若点D是AB的三等分点，则AD=2或4，由①中结论可得：CADB =ADBE，∴3√24=2BE或3√22=4BE，解得：BE=4√23．故③正确．综上，正确的共有3个．故选：D．根据外角定理结合已知条件可得∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE，从而可得∠ACD=∠BDE，又∠A=∠B=45°，故可判定△CAD∽△DBE，则①正确；根据勾股定理可得AB=6，当D为AB中点时，由由①结论可得：CADB =ADBE，可得BE=3√22=12BC，则可判断②正确；若点D是AB的三等分点，则AD=2或4，由①结论可得：CADB =ADBE，进而可得到BE=4√23.故③正确．本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，推出△CAD∽△DBE是解本题的关键．11.【答案】±3√2【解析】解：设c是a，b的比例中项，则c2=ab，∵a=3，b=6，∴c2=18，解得c=±3√2．故答案为：±3√2．首先设c是a，b的比例中项，根据比例中项的定义，即可得c2=ab，又由a=3，b=6，即可求得a，b的比例中项的值．此题考查了比例中项的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例中项的定义．12.【答案】<【解析】解：∵抛物线对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在−2、−3之间，∴另一个交点在0、1之间，∴当x=1时，y<0，则a+b+c<0，故答案为<．根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点在0、1之间，即可判断当x=1时，y<0，即a+b+c<0．本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13.【答案】18【解析】解：如图，作BD⊥x轴，AC⊥x轴．∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠OAC+∠AOC=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∴∠OAC=∠BOD，∴△ACO∽△ODB，∴ODAC =BDOC，∵A(2,4)，B(b,3)，∴OC=2，AC=4，OD=−b，BD=3，∴−b4=32，∴b=−6，∴B(−6,3)，∵设反比例函数y=−kx(k≠0)的图象经过点B，∴−k=−6×3=−18，∴k=18，故答案为18．作AC⊥x轴，BD⊥x轴．易得△ACO∽△ODB，根据比例式求出OD，可得出点B的坐标，代入y=−kx(k≠0)即可求出k的值．本题主要考查了相似三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．14.【答案】20 4【解析】解：(1)∵CG⊥BE，H是BC的中点，∴HB=HC=HG=12BC，∴∠CBE=∠HGB，∵∠CBE=35°，∴∠HGB=35°，∴∠CHD=∠CBE+∠HGB=70°，在矩形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠CDH=90°−∠CHD=20°，故答案为：20；(2)由(1)得∠HBG=∠HGB，∵∠HGB=∠DGE，∴∠HBG=∠DGE，∵∠BCE=90°，∴∠DCG+∠BCG=90°，∵CG⊥BE于G，∴∠HBG+∠BCG=90°，∴∠DCG=∠HBG，∴∠DGE=∠DCG，∵∠D=∠D，∴△DGE∽△DCG，∴DGDC =DEDG，∴DG2=DE⋅DC，∵HC=HG，∴∠HCG=∠HGC，∵AD//BC，∴∠HCG=∠GFD，∵∠HGC=∠DGF，∴∠GFD=∠DGF，∴DG=DF，∴DF2=DE⋅DC=2×(2+6)=2×8=16，∴DF=4，故答案为：4．(1)根据直角三角形斜边上的中线性质得出∠CBE=∠HGB=35°，再根据三角形外角性质得出∠CHD=70°，最后根据直角三角形两锐角互余即可得解；(2)由(1)得∠HBG=∠HGB，再根据直角三角形的两锐角互余可求得∠DGE=∠DCG，即可判定△DGE∽△DCG，可得出DG2=DE⋅DC，再根据矩形的性质及对顶角相等可求得DG=DF，即可得解．此题考查了矩形的性质，根据矩形的性质得出∠CBE=∠HGB及DG=DF是解题的关键．15.【答案】解：由a：b：c=2：3：4可设a=2k，b=3k，c=4k，则原式=2k−9k−4k3k =−113．【解析】根据比例设a=2k，b=3k，c=4k，然后代入比例式进行计算即可得解．本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出a、b、c求解更简便．16.【答案】解：(1)∵点A(−1,m)和B(5,m)是抛物线y=2x2+bx−2上的两点，∴−b2×2=−1+52，解得，b=−8，∴抛物线解析式为y=2x2−8x−2，把A(−1,m)代入得，m=2+8−2=8；(2)由y=2x2−8x−2可知，抛物线与y轴交点C的坐标为(0,−2)，∴OC=2，∵A(−1,8)和B(5,8)，∴AB=6，∴S△ABC=12×6×(2+8)=30．【解析】(1)根据点A(−1,m)和B(5,m)是抛物线y=2x2+bx−2上的两点，可以得到b 的值，即可得到函数解析式，把A(−1,m)代入解析式即可求得m的值；(2)求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17.【答案】解：∵AB⊥DB，DC⊥DB，∴∠CDN=∠ABN=90°，∵∠CND=∠ANB，∴△CDN∽△ABN．∴CDDN =ABBN，即1.61.4=AB21，∴AB=1.6×21÷1.4=24(m)，答：大树AB的高度为24m．【解析】由图不难得出，△CDN∽△ABN，再利用相似三角形对应边成比例，进而可求解线段的长．此题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得出△CDN∽△ABN是解题关键．18.【答案】3【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)△A1B1C1与△ABC的位似比=OA1OA=3，故答案为：3．(1)连接OB、OC，分别延长OB、OC到点B1、C1，使OB1OB =OC1OC=OA1OA，再首尾连接即可；(2)由位似比=OA1OA可得答案．本题主要考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．19.【答案】34S89S1516S n(n+2)(n+1)2【解析】解：(1)∵AD：DB=1：1，∴ADAB =12，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =14，∴S△ADES =14，∴S△ADE=14S，∴a1=S−S△ADE=34S，故答案为：34S；(2)∵AD：DB=1：2，∴ADAB =13，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =19，∴S△ADES =19，∴S△ADE=19S，∴a2=S−S△ADE=89S，故答案为：89S；(3)∵AD：DB=1：3，∴ADAB =14，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =116，∴S△ADES =116，∴S△ADE=116S，∴a3=S−S△ADE=1516S，故答案为：1516S；【猜想】∵AD：DB=1：n，∴ADAB =1n+1，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =1(n+1)2，∴S△ADES =1(n+1)2，∴S△ADE=1(n+1)2S，∴a n=S−S△ADE=[1−1(n+1)2]S=(n+1)2−1(n+1)2S=n(n+2)(n+1)2S，故答案为：n(n+2)(n+1)2S；【应用】由【猜想】知，a n=n(n+2)(n+1)2S，∴a1⋅a2⋅a3…a10=1×322⋅2×432⋅3×542⋅4×652⋅5×762…⋅10×12112=12×12112=6121．(1)先算出ADAB =12，再判断出△ADE∽△ABC，得出S△ADES△ABC=14，进而得出S△ADE=14S，即可得出结论；(2)同(1)的方法，即可得出结论；(3)同(1)的方法，即可得出结论；【猜想】同(1)的方法，即可得出结论；【应用】先得出a1⋅a2⋅a3…a10=1×322⋅2×432⋅3×542⋅4×652⋅5×762…⋅10×12112，即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，得出a n=n(n+2)(n+1)2S是解本题的关键．20.【答案】解：(1)由题意可得A为函数y=2x与y=−x2+6x−4的交点，所以2x=−x2+6x−4，解得x1=x2=2，代入y=2x得y=4，可得A(2,4)．(2)当教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3时，杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果最佳，由(1)得m=2，当0<x<2时，令y=1，2x=1，x=12；当x≥2时，令y=1，−x2+6x−4=1整理得x2−6x+5=0解得x1=1(不合题意，舍去)，x2=5，所以x=5，所以单次喷洒酒精杀灭“新型冠状肺炎”病毒的效果处于最佳状态的时间为(5−12)= 4.5小时．【解析】(1)点A是一次函数与二次函数的交点，令函数值相等即可求解；(2)教室空气中的药物浓度不低于1mg/m3，分别令一次函数与二次函数等于1，求得相应的X值，再根据取值范围确定解，进而算出处于最佳状态的时间．本题考查了二次函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立函数模型．注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．也考查了一次函数．21.【答案】解：(1)把A(1,6)代入y =mx 得m =1×6=6；∴反比例函数解析式为y =6x ，把B(n,−2)代入y =6x 得−2=6n ，解得n =−3， ∴B(−3,−2)，把A(1,6)，B(−3,−2)分别代入y =kx +b 得{k +b =6−3k +b =−2， 解得{k =2b =4，∴一次函数解析式为y =2x +4；(2)y =2x +4中，令y =0，则2x +4=0， 解得x =−2，∴一次函数y =2x +4的图象与x 轴的交点C 的坐标为(−2,0)． ∵S △PAB =12，∴12PC ×6+12PC ×2=12． ∴PC =3，∴点P 的坐标为(−5,0)、(1,0)．(3)由图象可知不等式kx +b >mx 的解集为：−3<x <0或x >1．【解析】(1)把A 点坐标代入y =mx 得m =6，则反比例函数解析式为y =6x ，再利用反比例函数解析式确定B 点坐标；进而利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)首先求得AB 与x 轴的交点，设交点是C ，然后根据S △ABP =S △ACP +S △BCP 即可列方程求得P 的坐标；(3)结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．22.【答案】解：(1)对于y =x −2，令x =0，则y =−2，令y =x −2=0，解得x =2，当x =6时，y =x −2=4=n ，故点A 、B 、C 的坐标分别为(2,0)、(0,−2)、(6,4)；将点B 、C 的坐标代入抛物线的表达式得{c =−24=36+6b +c ，解得{b =−5c =−2，故抛物线的表达式为y =x 2−5x −2；(2)如图，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点P 的坐标为(a,a 2−5a −2)，则点H(a,a −2)，则△APC 的面积=S △PHA +S △PHC =12×PH ×(x C −x A )=12×(a −2−a 2+5a +2)×(6−2)=−2a 2+12a ，∵−2<0，故△APC 的面积存在最大值，当a =3时，△APC 的面积的最大值为18；(3)存在，理由：由点A 、B 的坐标知，△ABO 为等腰直角三角形，当△BMC 与△BAO 相似时，则△BMC 为等腰直角三角形， ①当∠BM′C 为直角时，则点M′的纵坐标与点C 的纵坐标相同，故点M′(0,4)；②当∠BCM为直角时，则点M′是BM的中点，故点M(0,10)；故点M的坐标为(0,4)或(0,10)．【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)由△APC的面积=S△PHA+S△PHC，即可求解；(3)分∠BM′C为直角、∠BCM为直角两种情况，利用数形几何即可求解．本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴∠BCA=∠AFE=45°，即∠HCA=∠HFC=45°，又∠CHA=∠FHC，∴△HCA∽△HFC；(2)解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴∠ABC=90°，由勾股定理可得AC=√2AB，同理可得：AF=√2AE，又∠FAE=∠BAC，∴∠FAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC，即∠FAC=∠BAE，∴AFAE =ACAB=√2，∴△FAC∽△EAB，∴CFBE =ACAB=√2．(3)解：∵HC=6，HB=2，∴BC=6−2=4．由勾股定理得：AH=√AB2+HB2=2√5，由(1)得△HCA∽△HFC，∴HCHF =HAHC，即6HF =2√56，解得：HF=18√55，∴AF=HF−AH=18√55−2√5=8√55．设正方形AEFG的边长为x，在直角三角形AEF中，由勾股定理有：2x2=(8√55)2，解得：x=4√105．即正方形AEFG的边长为4√105．【解析】(1)由四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，所以∠BCA=∠AFE=45°，即∠HCA=∠HFC=45°，又∠CHA=∠FHC，所以△HCA∽△HFC；(2)由四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，所以AC=√2AB，AF=√2AE，可证明∠FAC=∠BAE，结合AFAE =ACAB=√2，可判定△FAC∽△EAB，所以CFBE=ACAB=√2；(3)因为BC=6−2=4，由勾股定理可得AH=2√5，由(1)得△HCA∽△HFC，所以HCHF=HA HC ，可得HF=18√55，所以AF=HF−AH=8√55.设正方形AEFG的边长为x，在直角三角形AEF中，由勾股定理得方程2x2=(8√55)2，解出x即可得答案．本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是要学会综合运用这些知识．。
2021届安徽省安庆市高考数学模拟试卷(理科)(二模)(解析版)
2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|﹣a＜x≤a+3}，若A∩B＝A，则a取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（2，+∞）2．设复数z＝1+i（i是虚数单位），则|z2+|＝（）A．1 B．C．D．23．从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A．8 B．12 C．16 D．204．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+x3，则使得不等式f（2x﹣1）+f（3）＜0成立的实数x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，+∞）D．（2，+∞）5．已知实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．36．已知sin（）＝sinαtan﹣1，则tanα＝（）A．﹣2 B．2 C．D．7．设{a n}是等比数列，前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．C．D．8．已知函数y＝cos（ωx+φ）的图象如图所示，其中ω为正整数，|φ|＜2，则（）A．ω＝1，φ＝π﹣2 B．ω＝1，φ＝2﹣πC．ω＝2，φ＝π﹣4D．ω＝2，φ＝4﹣π9．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于点A，B（点A位于x轴上方），O是坐标原点，记△AOF和△BOF的面积分别为S1，S2，则＝（）A．9 B．4 C．3 D．210．《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”．沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”．现记截面之间几何体体积为V1，“刍甍”的体积为V2，若＝，台体的体公式为V＝（S++S′），其中S、S′分别为台体的上、下底面的面积．则“方亭”的上、下底面边长之比为（）A．B．C．D．11．已知||＝||＝2，且，的夹角为60°，若向量||≤1，则的取值范围是（）A．[﹣4，4] B．[﹣2] C．[0，2] D．[0，4]12．对任意x∈[，e2]，使得不等式（lnx﹣k）x＞3lnx成立的最大整数k为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题（共4小题）.13．已知函数，则曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为．14．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市n名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为．15．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为G．连接F1G，设直线F1G，F2G的斜率分别为k1，k2，2若k1k2＝，则双曲线C的离心率为．16．钝角△ABC的面积是，AC＝2，BC＝3，角A的平分线交BC于点D，则AD ＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}满足a1＝，n（n+1）a n a n﹣1+（n+1）a n﹣na n﹣1＝0，n≥2，n∈N．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；（Ⅱ）设数列{（2n+1）a n2}的前n项和S n.证明：≤S n＜1．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，O1是其中心，侧面BCC1B1是正方形，O2是其中心．（Ⅰ）判断直线O1O2与直线AA1的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若四面体A1ABC是正四面体，求平面BCC1B1与平面ABC所成锐二面角的余弦值．19．某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的A、B、C、D四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题A、B、C、D顺序作答；每位同学初始得分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求小强同学前三道题都答对的概率；（Ⅱ）用X表示小强同学答题结束时的得分，求X的分布列；（Ⅲ）求小强同学能通过比赛的概率．20．设F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，已知△PF1F2的面积为，cos∠F1PF2＝﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与PF2平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝x2+x﹣ln（ax+b），a∈R，a≠0．（Ⅰ）当a＝1，b＝0时，求证：f（x）＞；（Ⅱ）若f（x）≥x2恒成立，求ab的最大值．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数，常数r＞0）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15＝0．（Ⅰ）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；（Ⅱ）若r＝1，过曲线C1上任意一点P作曲线C2的切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|3x+1|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式：f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥x2+m在[0，3]上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|﹣a＜x≤a+3}，若A∩B＝A，则a取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（2，+∞）解：由A∩B＝A知A⊆B，故，解得a≥1．故选：C．2．设复数z＝1+i（i是虚数单位），则|z2+|＝（）A．1 B．C．D．2解：因为，所以，故选：B．3．从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A．8 B．12 C．16 D．20解：由题设知不同的选法可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有＝12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有种，根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种，故选：C．4．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+x3，则使得不等式f（2x﹣1）+f（3）＜0成立的实数x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，+∞）D．（2，+∞）解：由函数解析式知函数f（x）是定义在R上的奇函数和单调递增函数，原不等式可化为f（2x﹣1）＜f（﹣3），∴2x﹣1＜﹣3，解得x＜﹣1，∴x的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：A．5．已知实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．3解：画出线性约束区域，所以当直线经过b（3.0）点时，目标函数z＝x﹣2y有最大值，最大值为3．故选：D．6．已知sin（）＝sinαtan﹣1，则tanα＝（）A．﹣2 B．2 C．D．解：因为，所以．因为，所以sinα+cosα＝﹣cosα，即sinα＝﹣2cosα，所以tanα＝﹣2，故选：A．7．设{a n}是等比数列，前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．C．D．解：设等比数列{a n}的公比为q，由可得：S4＝4S2，整理得：a3+a4＝3（a1+a2），即，解得：q2＝3，∴，故选：B．8．已知函数y＝cos（ωx+φ）的图象如图所示，其中ω为正整数，|φ|＜2，则（）A．ω＝1，φ＝π﹣2 B．ω＝1，φ＝2﹣πC．ω＝2，φ＝π﹣4D．ω＝2，φ＝4﹣π解：由图象知＜2＜，∴＜2＜，∴＜ω＜，∵ω为正整数，∴ω＝2，∴y＝cos（2x+φ），把点（2，﹣1）代入y＝cos（2x+φ）得，cos（4+φ）＝﹣1，则 4+φ＝2kπ+π，所以φ＝2kπ+π﹣4，k∈Z，∵|φ|＜2，∴φ＝π﹣4．故选：C．9．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于点A，B（点A位于x轴上方），O是坐标原点，记△AOF和△BOF的面积分别为S1，S2，则＝（）A．9 B．4 C．3 D．2解：由题意可知，直线AB的方程为，代入y2＝2px，整理得．设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），因为点A位于x轴上方，所以，，所以，故选：C．10．《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”．沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”．现记截面之间几何体体积为V1，“刍甍”的体积为V2，若＝，台体的体公式为V＝（S++S′），其中S、S′分别为台体的上、下底面的面积．则“方亭”的上、下底面边长之比为（）A．B．C．D．解：设“方亭”的上底面边长为a，下底面边长为b，高为h，则，，，∴．故选：A．11．已知||＝||＝2，且，的夹角为60°，若向量||≤1，则的取值范围是（）A．[﹣4，4] B．[﹣2] C．[0，2] D．[0，4]解：解法1：取，则点C在以A为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），设向量的夹角为θ，由图可知，θ取值范围为；，由于为向量在向量上的投影，且．故的取值范围是[0，4]．解法2：不妨设，，．因为，所以（x﹣2）2+y2≤1，设x＝2+r cosα，y＝r sinα，0≤r≤1，α∈R，所以，由于，故．故选：D．12．对任意x∈[，e2]，使得不等式（lnx﹣k）x＞3lnx成立的最大整数k为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1解：由题意知（lnx﹣k）x＞3lnx，有k＜，，令，则，令ϕ（x）＝3lnx+x﹣3，易知其单调递增，因为φ（2）＝3ln2﹣1＞0，φ（）＝3ln﹣＝3ln＜0，所以存在，使得ϕ（x0）＝3lnx0+x0﹣3＝0，因此在单调递减，在单调递增，＝，所以最大整数k为﹣1，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，则曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝x．解：∵，∴，则f'（0）＝＝1，∴曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝x．故答案为：y＝x．14．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市n名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为0.35n．解：由题意，μ＝40，则X～N（40，σ2），由P（30≤X≤50）＝0.3，可得P（X＞50）＝＝0.35，故累计时长超过50小时的人数大约有0.35n人．故答案为：0.35n．15．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为G．连接F1G，设直线F1G，F2G的斜率分别为k1，k2，2若k1k2＝，则双曲线C的离心率为．解：已知焦点F1，F2的坐标分别为（﹣c，0），（c，0），其中．根据对称性，不妨设点G在渐近线上，则直线F2G的方程为，与联立，得，所以，由，得，化简得c2＝2a2，故．故答案为：．16．钝角△ABC的面积是，AC＝2，BC＝3，角A的平分线交BC于点D，则AD＝．解：由，得，若角C为锐角，则，此时AB2＝AC2+BC2﹣2AC⋅BC cos C＝10，即，由于AB＞BC＞AC，则△ABC为锐角三角形，不符合题意．故C为钝角，此时，AB2＝AC2+BC2﹣2AC⋅BC cos C＝16，故AB＝4．在△ACD中，由正弦定理得，同理，在△ABD中，，而在△ABC中，，由于∠CAD＝∠BAD，故，由于BC＝3，故CD＝1，所以AD2＝AC2+CD2﹣2AC⋅CD cos C＝6，所以．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}满足a1＝，n（n+1）a n a n﹣1+（n+1）a n﹣na n﹣1＝0，n≥2，n∈N．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；（Ⅱ）设数列{（2n+1）a n2}的前n项和S n.证明：≤S n＜1．【解答】证明：（Ⅰ）∵，，∴，∴，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列；……………（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴，，∴．所以．……………18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，O1是其中心，侧面BCC1B1是正方形，O2是其中心．（Ⅰ）判断直线O1O2与直线AA1的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若四面体A1ABC是正四面体，求平面BCC1B1与平面ABC所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图1，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接AD，A1D1，DD1，根据棱柱的性质可得，，，所以，所以四边形ADD1A1是平行四边形，所以O1O2⊂平面ADD1A1．因为O1O2与DD1相交，所以O1O2与AA1相交．……………（Ⅱ）解：因为四面体A1ABC是正四面体，O1是△ABC的中心，所以A1O1⊥平面ABC，AO⊥BC．1所以以O1为坐标原点，，方向分别为x轴，z轴正方向，|AB|为单位长度，建立空间直角坐标系O1﹣xyz．易得，B，C，A1，B，C1，O2．1所以，，，所以，，故是平面BCC1B1的法向量．又是平面ABC的法向量，，设平面BCC1B1与平面ABC所成的锐二面角为θ，则．……………19．某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的A、B、C、D四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题A、B、C、D顺序作答；每位同学初始得分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求小强同学前三道题都答对的概率；（Ⅱ）用X表示小强同学答题结束时的得分，求X的分布列；（Ⅲ）求小强同学能通过比赛的概率．解：（Ⅰ）小强同学前三道题都答对的概率．（Ⅱ）X可能取6，7，9，10，11，14，16，17，18，19．答题得分情况如下：初始分A B C D累计得分能否通过比赛对错得分（1分）对错得分对错得分对错得分10√11√13√1616能10√11√13×11√1717能10√11√13×11×99否10√11×9√12√1818能10√11×9√12×1010否10√11×9×77否10×8√10√13√1919能10×8√10√13×1111否10×8√10×8√1414能10×8√10×8×66否10×8×66否∴随机变量X的分布列为：X67910111416171819P（Ⅲ）小强同学能通过比赛的概率为：．20．设F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，已知△PF1F2的面积为，cos∠F1PF2＝﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与PF2平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设|F1F2|＝2c，则△PF1F2的面积等于，所以．①由cos2∠OPF2＝，即，得．因为在直角△OPF2中，|OP|＝b，|OF2|＝c，，所以，所以．②由①②及a2＝b2+c2，得，b＝1，，所以椭圆C的标准方程为．……………（Ⅱ）因为直线PF2的斜率为，所以可设直线l的方程为，代入，整理得．由△＝，得m2．设，，则，．若以线段MN为直径的圆经过坐标原点O，则，即，得，所以，得．因为＜，所以．所以存在满足条件的直线l，方程为或．…………21．已知函数f（x）＝x2+x﹣ln（ax+b），a∈R，a≠0．（Ⅰ）当a＝1，b＝0时，求证：f（x）＞；（Ⅱ）若f（x）≥x2恒成立，求ab的最大值．解：（Ⅰ）证明：当a＝1，b＝0时，f（x）＝x2+x﹣lnx，所以，x＞0，所以当x＞时，f′（x）＞0；当0＜x＜时，f′（x）＜0，所以当且仅当时，f（x）有最小值，因为，f（）﹣＝﹣+ln2＝（ln4﹣1）＞0，所以f（x）＞；（Ⅱ）f（x）≥x2恒成立，即x﹣ln（ax+b）≥0，且要求ax+b＞0，所以e x﹣ax≥b，①若a＜0，对任意的实数b，当x＜0且时，由于0＜e x＜1，ax+b＞1，故不等式e x﹣ax≥b不成立．②若a＞0，设g（x）＝e x﹣ax，则g'（x）＝e x﹣a．当x∈（﹣∞，lna），g′（x）＜0，当x∈（lna，+∞），g′（x）＞0，从而g（x）＝e x﹣ax在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）单调递增，故g（x）＝e x﹣ax有最小值g（lna）＝a﹣alna，因此b≤a﹣alna，所以ab≤a2﹣a2lna，设h（a）＝a2﹣a2lna（a＞0），则h′（a）＝a（1﹣2lna），所以h（a）＝a2﹣a2lna在上单调递增，在上单调递减，从而h（a）＝a2﹣a2lna的最大值为，当，时，取等号，故ab的最大值为．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数，常数r＞0）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15＝0．（Ⅰ）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；（Ⅱ）若r＝1，过曲线C1上任意一点P作曲线C2的切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为x2+y2＝r2（r＞0），曲线C2的普通方程为x2+（y﹣4）2＝1若C1与C2有公共点，则，所以3≤r≤5．（Ⅱ）设P（cosα，sinα），由，得|PQ|2＝cos2α+（sinα﹣4）2﹣1＝16﹣8sinα≥16﹣8＝8．当且仅当sinα＝1时取最大值，故|PQ|的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|3x+1|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式：f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥x2+m在[0，3]上恒成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）由|3x+1|+|x﹣2|＞5得，或或，解得x＜﹣1或1＜x＜2或x≥2，故不等式f（x）＞5的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）由题意知，当x∈[0，3]时，|3x+1|+|x﹣2|≥x2+m恒成立．若0≤x＜2，则3x+1+2﹣x≥x2+m，可得m≤（﹣x2+2x+3）min＝3；若2≤x≤3，则3x+1+x﹣2≥x2+m，m≤（﹣x2+4x﹣1）min＝2．综上可知，实数f（x）的取值范围是（﹣∞，2]．。
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
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综上可得若输出的结果为 1，则输入 x 的值为 3 或﹣2， 故选：A． 7．（5 分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5：00﹣6：00 之间送货上门，
已知小李下班到家的时间为下午 5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家， 则快递员会电话联系小李．若小李能在 10 分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则， 就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ）
求 m 的取值范围．
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2018 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知复数 z 满足 z（• 1﹣2i）＝（i i 是虚数），则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）
到的绵是（ ）
A．174 斤
B．184 斤
C．191 斤
D．201 斤
6．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 1，则输入 x 的值为（ ）
第 1 页（共 23 页）
A．3 或﹣2
B．2 或﹣2
C．3 或﹣1
D．﹣2 或﹣1 或 3
7．（5 分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5：00﹣6：00 之间送货上门，
对称
12．（5 分）已知点 I 在△ABC 内部，AI 平分∠BAC， 述条件的所有△ABC，下列说法正确的是（ ）
，对满足上
A．△ABC 的三边长一定成等差数列 B．△ABC 的三边长一定成等比数列 C．△ABI，△ACI，△CBI 的面积一定成等差数列 D．△ABI，△ACI，△CBI 的面积一定成等比数列 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
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安徽省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合为自然数集，则下列选项正确的是（）A．M⊆{x|x≥1} B．M⊆{x|x＞﹣2} C．M∩N={0} D．M∪N=N2．若i是虚数单位，复数z满足（1﹣i）z=1，则|2z﹣3|=（）A．B．C．D．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a9=1，S18=0，当S n取最大值时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．104．若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B． C．±1 D．6．点G为△ABC的重心，设=，=，则=（）A．﹣B．C．﹣2D．27．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．14 B．C．22 D．8．执行下面的程序框图，则输出的n的值为（）A．10 B．11 C．1024 D．20489．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥P ﹣ABC的外接球的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π10．已知实数x，y满足，若z=kx﹣y的最小值为﹣5，则实数k的值为（）A．﹣3 B．3或﹣5 C．﹣3或﹣5 D．±311．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（）A．{x|x≠±1} B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．命题“”的否定是______．14．双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|=2c，以坐标原点O为圆心，c 为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|=c+2，则P点的横坐标为______．15．已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n，若，则a n=______．16．若函数f（x）=x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a有4个零点，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数为偶函数，（1）求b；（2）若a=3，求△ABC的面积S．18．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个月）和市场占有率（y%）的几组相关对应数据；x 1 2 3 4 5y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）附：．19．如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD，若DA=DH=DB=4，AE=CG=3（1）求证：EG⊥DF；（2）求BE与平面EFGH所成角的正弦值．20．已知椭圆经过点，且离心率为，F1，F2是椭圆E的左，右焦点（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B是椭圆E上关于y轴对称两点（A，B不是长轴的端点），点P是椭圆E上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别交y轴于点M，N，求证：直线MF1与直线NF2的交点G在定圆上．21．已知函数g（x）=ax3+x2+x（a为实数）（1）试讨论函数g（x）的单调性；（2）若对∀x∈（0，+∞）恒有，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PA∥BD（1）求证：∠ACB=∠ACD；（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长．23．在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ+ρcosθ=m（1）若m=0，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a∈R）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）≤5．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合为自然数集，则下列选项正确的是（）A．M⊆{x|x≥1} B．M⊆{x|x＞﹣2} C．M∩N={0} D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解分式不等式求出集合M，进而逐一分析四个答案的正误，可得结论．【解答】解：∵=[﹣2，1），N为自然数集，故M⊆{x|x≥1}错误；M⊆{x|x＞﹣2}错误；M∩N={0}正确；M∪N=N错误；故选：C．2．若i是虚数单位，复数z满足（1﹣i）z=1，则|2z﹣3|=（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】设z=a+bi，得到（a+b）+（b﹣a）i=1，根据对应的系数相等得到a+b=1，a﹣b=0，求出a，b的值，求出复数的模即可．【解答】解：设z=a+bi，则（1﹣i）z=（1﹣i）（a+bi）=1，∴（a+b）+（b﹣a）i=1，∴a+b=1，a﹣b=0，∴a=b=，则|2z﹣3|=|2（+i）﹣3|=|﹣2+i|=，故选：B．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a9=1，S18=0，当S n取最大值时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a9=1，S18=0，∴a1+8d=1，18a1+d=0，可得：a1=17，d=﹣2．∴a n=17﹣2（n﹣1）=19﹣2n，由a n≥0，解得，∴当S n取最大值时n的值为9．故选：C．4．若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b都是正数，则=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a ＞0时取等号．故选：C．5．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B． C．±1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质可求出M的横坐标，带诶抛物线方程解出M的纵坐标，代入斜率公式计算斜率．【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．∵点M到焦点F的距离等于2p，∴M到准线x=﹣的距离等于2p．∴x M=，代入抛物线方程解得y M=±p．∴k MF==．故选：D．6．点G为△ABC的重心，设=，=，则=（）A．﹣B．C．﹣2D．2【考点】向量的三角形法则．【分析】由题意作图辅助，从而利用线性运算求解即可．【解答】解：由题意知，+=，即+=，故=﹣2=﹣2，故选C．7．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．14 B．C．22 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体的体积V=4+×2=14．故选：A．8．执行下面的程序框图，则输出的n的值为（）A．10 B．11 C．1024 D．2048【考点】程序框图．【分析】先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1满足条件S≤2016，n=2，S=1+2=3满足条件S≤2016，n=4，S=3+4=7满足条件S≤2016，n=8，S=7+8=15满足条件S≤2016，n=16，S=15+16=31满足条件S≤2016，n=32，S=31+32=63满足条件S≤2016，n=64，S=63+64=127满足条件S≤2016，n=128，S=127+128=255满足条件S≤2016，n=256，S=255+256=511满足条件S≤2016，n=512，S=511+512=1023满足条件S≤2016，n=1024，S=1023+1024=2047不满足条件S≤2016，退出循环，输出n的值为1024．故选：C．9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥P ﹣ABC的外接球的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【考点】球的体积和表面积．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：∵AB=AC=2，∠BAC=60°，∴由余弦定理可得BC=2，设△ABC外接圆的半径为r，则2r==4，∴r=2，设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R2=d2+22=22+（2﹣d）2，∴d=1，R2=5，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=20π．故选：A．10．已知实数x，y满足，若z=kx﹣y的最小值为﹣5，则实数k的值为（）A．﹣3 B．3或﹣5 C．﹣3或﹣5 D．±3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分k＞0和k＜0讨论得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（﹣2，﹣1），化z=kx﹣y为y=kx﹣z，由图可知，当k＜0时，直线过A时在y轴上的截距最大，z有最小值为k﹣2=﹣5，即k=﹣3；当k＞0时，直线过B时在y轴上的截距最大，z有最小值﹣2k+1=﹣5，即k=3．综上，实数k的值为±3．故选：D．11．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】方法一：由题意，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类，求取种数，再满足其前提下，学生C第一个出场顺序也为两类，再根据概率公式计算即可，方法二：直接根据分步计数原理，可得，再根据概率公式计算即可．【解答】解：方法一：“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类．第一类：A最后一个出场，从除了B之外的3人选1人安排第一个，其它的任意排，故有A31A33=18种，第二类：A不是最后一个出场，从除了A，B之外的3人选2人安排在，第一个或最后一个，其余3人任意排，故有A32A33=36种，故学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场的种数18+36=54种，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的”的出场顺序为：分为两类第一类：学生C第一个出场，A最后一个出场，故有A33=6种，第二类：学生C第一个出场，A不是最后一个出场，从除了A，B之外的2人选1人安排在最后一个，其余3人任意排，故有A21A33=12种，故在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的种数6+12=18种，故学生C第一个出场的概率为=，方法二：先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31（非第一）种方法，其余三个自由排，共有A31A31A33=54这是总结果；学生C第一个出场，先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31，C第一个出场，剩余2人自由排，故有A31A31A22=18种，故学生C第一个出场的概率为=，故选：A．12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（）A．{x|x≠±1} B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x＜0的取值范围．【解答】解：当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0设：g（x）=x2f（x）﹣x2则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1即g（x）＜g（1）即x＞1；当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．命题“”的否定是．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“”的否定是：．故答案为：．14．双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|=2c，以坐标原点O为圆心，c 为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|=c+2，则P点的横坐标为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得圆O的方程，联立双曲线的方程，求得P的横坐标，再由双曲线的定义，和直角三角形的勾股定理，可得c，b，化简整理可得所求横坐标的值．【解答】解：坐标原点O为圆心，c为半径的圆的方程为x2+y2=c2，由，解得x2=，由|PF1|=c+2，由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a=c+2﹣2=c，在直角三角形PF1F2中，可得c2+（c+2）2=4c2，解得c=1+，由c2=a2+b2=1+b2，可得b2=3+2，可得P的横坐标为=．故答案为：．15．已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n，若，则a n= ．【考点】数列递推式．【分析】把已知数列递推式变形，可得（n≥2），即数列{a n}从第二项起构成以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求得答案．【解答】解：由S1=2，得a1=S1=2，由，得，又a n＞0，∴2S n=S n+a n+1，即S n=a n+1，当n≥2时，S n﹣1=a n，两式作差得：a n=a n+1﹣a n，即，又由，求得a2=2，∴当n≥2时，．验证n=1时不成立，∴，故答案为：．16．若函数f（x）=x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a有4个零点，则a的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【分析】利用函数的零点与方程的根的关系，转化为两个函数的交点问题，画出函数的图象，然后求解a的范围即可．【解答】解：函数f（x）=x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a有4个零点，转化为：x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a=0由4个根，即y=x2（x﹣2）2；y=a|x﹣1|﹣a=两个函数的图象有4个交点，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如图：当a＜0时，如图中蓝色的折线，函数有4个零点，可得﹣1＜a＜0；当a＞0时，如图中的红色折线，此时函数有4个零点．满足题意．综上：a∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数为偶函数，（1）求b；（2）若a=3，求△ABC的面积S．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角函数的辅助角公式进行化简，结合三角函数是偶函数，建立方程关系进行求解即可．（2）根据正弦定理先求出A，然后根据三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（1）在△ABC中，由f（x）为偶函数可知，所以又0＜B＜π，故所以…（2）∵，b=，∴由正弦定理得sinA==，∴A=或，当A=时，则C=π﹣﹣=，△ABC的面积S==当时，则C=π﹣﹣==，△△ABC的面积S===…18．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个月）和市场占有率（y%）的几组相关对应数据；x 1 2 3 4 5y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）附：．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据表中数据，计算、，求出和，写出线性回归方程；（2）根据回归方程得出上市时间与市场占有率的关系，列出不等式求出解集即可预测结果．【解答】解：（1）根据表中数据，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）=0.1；∴==0.042，∴=0.1﹣0.042×3=﹣0.026，所以线性回归方程为；…（2）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点；由，解得x≥13；预计上市13个月时，市场占有率能超过0.5%．…19．如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD，若DA=DH=DB=4，AE=CG=3（1）求证：EG⊥DF；（2）求BE与平面EFGH所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结AC，则可证AC⊥平面BDF，由四边形AEGC为平行四边形得出EG∥AC，故而EG⊥平面BDF，于是EG⊥DF；（2）设AC，BD交点为O，以O为原点建立空间坐标系，求出和平面EFGH的法向量，则|cos ＜＞|即为所求角的正弦值．【解答】解：（1）连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BF，又BD⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，BD∩BF=B，∴AC⊥平面BDF，∵AE∥CG，AE=CG，∴四边形AEGC是平行四边形，∴EG∥AC，∴EG⊥平面BDF，又DF⊆平面BDF，∴EG⊥DF．（2）设AC∩BD=O，EG∩HF=P，∵四边形ABCD为菱形，AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，∴AD∥BC，AE∥BF，∴平面ADHE∥平面BCGF，∴EH∥FG，同理可得：EH∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴P为EG的中点，又O为AC的中点，∴OP∥AE，AE=OP，∴OP⊥平面ABCD，又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，∵OP=（BF+DH），∴BF=2．以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵△ABD是等边三角形，AB=4，∴OA=2．∴E（2，0，3），P（0，0，3），F（0，2，2），B（0，2，0）．∴=（2，﹣2，3），=（2，0，0），=（0，2，﹣1）．设平面EFGH的一个法向量为，则，∴，令y=1，得．设BE与平面EFGH所成角为θ，则．20．已知椭圆经过点，且离心率为，F1，F2是椭圆E 的左，右焦点（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B是椭圆E上关于y轴对称两点（A，B不是长轴的端点），点P是椭圆E上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别交y轴于点M，N，求证：直线MF1与直线NF2的交点G在定圆上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆经过点，且离心率为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0），直线PA的方程为，从而，同理得，由此能证明直线F1M与直线F2N 交于点G在以F1F2为直径的圆上．【解答】解：（1）∵椭圆经过点，且离心率为，∴由条件得，解得，∴椭圆C的方程．…证明：（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0）直线PA的方程为，令x=0，得故，同理可得，，∴=∴F1M⊥F2N，∴直线F1M与直线F2N交于点G在以F1F2为直径的圆上．…21．已知函数g（x）=ax3+x2+x（a为实数）（1）试讨论函数g（x）的单调性；（2）若对∀x∈（0，+∞）恒有，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令，求出函数f（x）的最小值，通过讨论a的范围，得到g（x）的单调性，求出g（x）的最大值小于f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）g'（x）=3ax2+2x+1（i）当a=0时，g（x）在单调减和单调增；（ii）当a≠0时，△=4﹣12a，当时，g'（x）=3ax2+2x+1≥0恒成立，此时g（x）在R单调增；当时，由g'（x）=3ax2+2x+1=0得，，g（x）在（x1，x2）单调减，在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）单调增；当a＜0时，g（x）在（x2，x1）单调增，在（﹣∞，x2）和（x1，+∞）单调减；（2）令，则因此，f（x）在（0，1）单调减，在（1，+∞）单调增∴f min（x）=f（1）=1当a＞﹣1时，g（1）=a+2＞1=f（1），显然，对∀x∈（0，+∞）不恒有f（x）≥g（x）；当a≤﹣1时，由（1）知，g（x）在（0，x1）单调增，在（x1，+∞）单调减，，即所以，在（0，+∞）上，，又所以，即满足对∀x∈（0，+∞）恒有f（x）≥g（x）综上，实数a∈（﹣∞，﹣1]．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PA∥BD（1）求证：∠ACB=∠ACD；（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用弦切角定理及平行线的性质，证明：∠ACB=∠ACD；（2）由切割线定理及△AMB～△ABC，求AB的长．【解答】（1）证明：∵PA为切线，∴∠PAB=∠ACB．∵PA∥BD，∴∠PAB=∠ABD=∠ACD，∴∠ACB=∠ACD…（2）解：已知PA=3，PC=6，AM=1，由切割线定理PA2=PB•PC得：，∵PA∥BD，得又知△AMB～△ABC，所以所以AB2=AM•AC=4，所以AB=2…23．在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ+ρcosθ=m（1）若m=0，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．【考点】摆线在刻画行星运动轨道中的作用；参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出曲线C的普通方程，直线的普通方程，利用圆的到直线的距离距离与半径比较，即可得到结果．（2）利用圆心到直线的距离与已知条件列出关系式，即可得到结果．【解答】解：（1）曲线（α为参数），曲线C的直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，是一个圆；圆心（1，1），半径为：．直线l：ρsinθ+ρcosθ=0，可得直线l的直角坐标方程为：x+y=0圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相切…（2）由已知可得：圆心C到直线lx+y=m的距离，解得﹣1≤m≤5…24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a∈R）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）≤5．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据绝对值的几何意义求出f（x）的最小值，从而求出a的值即可；（2）求出f（x）的分段函数形式，从而求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|≥|4﹣a|=a，从而解得a=2…（2）由（1）知，f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=，综合函数y=f（x）的图象知，解集为…。