数学分析 第二型曲线积分

其中 C 为圆周 x2 + y 2 = a2, 方向为逆时针方向.
例子
例1
计算第二型曲线积分
y
x
I = C x 2 + y 2 dx − x 2 + y 2 dy ,
其中 C 为圆周 x2 + y 2 = a2, 方向为逆时针方向.
解.
按给定的方向, C 的参数表示可取为 σ(t) = (a cos t, a sin t), t ∈ 0, 2π . 此时 dx = x (t) dt, dy = y (t) dt. 所求积分为
曲线的方向
第二型曲线积分和第一型曲线积分有一个重要的区别, 这个区别和曲线的方向 有关. 设 φ : [γ, δ] → [α, β] 为严格单调的可逆连续映射, 则复合映射 σ ◦ φ 也是参数曲 线, 它和 σ 的像完全相同, 只是选取了不同的参数而已. 如果 φ 严格单调递增, 则称这两个参数是同向的; 如果 φ 严格单调递减, 则称这 两个参数是反向的(不同向). 从 (1) 不难看出, 对于同向的两个参数, 第二曲线积分的值不变; 而对于反向的两 个参数,第二型曲线积分的值正好相差一个符号! 这和第一型曲线积分不同, 比如曲线的长度就不依赖于参数的选取.
2π 1
I=
0
a2 a sin t(a cos t) − a cos t(a sin t) dt = −2π.
例子
例2 考虑位于原点处的电荷 q 产生的静电场, 计算单位正电荷沿连续可微曲线 σ 从点 A = σ(α) 运动到点 B = σ(β) 时电场所作的功 W .
例子
例2
考虑位于原点处的电荷 q 产生的静电场, 计算单位正电荷沿连续可微曲线 σ 从点 A = σ(α) 运动到点 B = σ(β) 时电场所作的功 W .
曲线的方向
因此, 为了使第二型曲线积分有意义, 我们总是要给曲线指定一个方向, 这个方 向是由某个参数决定的. 给定了方向的曲线称为有向曲线.
其实, 一元函数的 Riemann 积分也可以看成是第二型曲线积分, 这里的曲线就 是给定了方向的区间.
如果 σ 为一条闭曲线(环路), 即 σ(α) = σ(β), 则选定了方向以后, 不论从曲线上 哪一点出发, 沿此闭曲线的第二型曲线积分的值不变, 这样的积分常记为
f1 dx1 + · · · + fn dxn.
σ
曲线的方向
因此, 为了使第二型曲线积分有意义, 我们总是要给曲线指定一个方向, 这个方 向是由某个参数决定的. 给定了方向的曲线称为有向曲线.
其实, 一元函数的 Riemann 积分也可以看成是第二型曲线积分, 这里的曲线就 是给定了方向的区间.
如果 σ 为一条闭曲线(环路), 即 σ(α) = σ(β), 则选定了方向以后, 不论从曲线上 哪一点出发, 沿此闭曲线的第二型曲线积分的值不变, 这样的积分常记为
第二型曲线积分
问题: 设质点在力场 F 中沿一条曲线 σ 运动, 求力场 F 对该质点所做的功.
我们可以将这个问题转化为曲线上的一个积分问题. 设 σ : [α, β] → Rn 为参数 曲线, f 是定义在 σ 上的取值在 Rn 中的一个向量值函数, 其分量记为 fi .
第二型曲线积分
问题: 设质点在力场 F 中沿一条曲线 σ 运动, 求力场 F 对该质点所做的功.
解. 根据库仑定律, (x, y , z) 处的单位正电荷在静电场中所受的力为
F
=
q
r r3
=
∇φ,
其中
φ
=
−
q r
.
因此 F
沿σ
所作的功为
qx
qy
qz
W = σ r 3 dx + r 3 dy + r 3 dz
β
β
= F (σ) · σ (t) dt = φ ◦ σ dt
α
α
q
q
= −.
r (α) r (β)
曲线的方向
第二型曲线积分和第一型曲线积分有一个重要的区别, 这个区别和曲线的方向 有关. 设 φ : [γ, δ] → [α, β] 为严格单调的可逆连续映射, 则复合映射 σ ◦ φ 也是参数曲 线, 它和 σ 的像完全相同, 只是选取了不同的参数而已. 如果 φ 严格单调递增, 则称这两个参数是同向的; 如果 φ 严格单调递减, 则称这 两个参数是反向的(不同向). 从 (1) 不难看出, 对于同向的两个参数, 第二曲线积分的值不变; 而对于反向的两 个参数,第二型曲线积分的值正好相差一个符号!
(1)
j =1
如果分割的模趋于零时上式极限存在且与 {ξj } 的选取无关, 则称此极限为 fi dxi 沿曲线 σ 的第二型曲线积分, 记为 σ fi dxi .
第二型曲线积分
问题: 设质点在力场 F 中沿一条曲线 σ 运动, 求力场 F 对该质点所做的功.
我们可以将这个问题转化为曲线上的一个积分问题. 设 σ : [α, β] → Rn 为参数 曲线, f 是定义在 σ 上的取值在 Rn 中的一个向量值函数, 其分量记为 fi .
曲线的方向
因此, 为了使第二型曲线积分有意义, 我们总是要给曲线指定一个方向, 这个方 向是由某个参数决定的. 给定了方向的曲线称为有向曲线.
曲线的方向
因此, 为了使第二型曲线积分有意义, 我们总是要给曲线指定一个方向, 这个方 向是由某个参数决定的. 给定了方向的曲线称为有向曲线.
其实, 一元函数的 Riemann 积分也可以看成是第二型曲线积分, 这里的曲线就 是给定了方向的区间.
数学分析(二): 多元微积分
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
4.2 第二型曲线积分
4.2 第二型曲线积分
内容提要: 第二型曲线积分;
4.2 第二型曲线积分
内容提要: 第二型曲线积分; 曲线的方向.
第二型曲线积分
问题: 设质点在力场 F 中沿一条曲线 σ 运动, 求力场 F 对该质点所做的功.
我们可以将这个问题转化为曲线上的一个积分问题. 设 σ : [α, β] → Rn 为参数 曲线, f 是定义在 σ 上的取值在 Rn 中的一个向量值函数, 其分量记为 fi .
任取 [αห้องสมุดไป่ตู้ β] 的一个分割 π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β, 考虑和
m
fi (σ(ξj ))(xi (tj ) − xi (tj−1)), (ξj ∈ [tj−1, tj ])
如果每一个 fi dxi 沿 σ 的第二型曲线积分都存在, 则记
f1 dx1 + · · · + fn dxn = f1 dx1 + · · · + fn dxn,
σ
σ
σ
称为 f 沿 σ 的第二型曲线积分.
曲线的方向
第二型曲线积分和第一型曲线积分有一个重要的区别, 这个区别和曲线的方向 有关.
曲线的方向
这说明, 静电场所作的功只与电荷的起始位置和终点位置有关, 与运动路径无关.
任取 [α, β] 的一个分割 π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β, 考虑和
m
fi (σ(ξj ))(xi (tj ) − xi (tj−1)), (ξj ∈ [tj−1, tj ])
(1)
j =1
如果分割的模趋于零时上式极限存在且与 {ξj } 的选取无关, 则称此极限为 fi dxi 沿曲线 σ 的第二型曲线积分, 记为 σ fi dxi .
第二型曲线积分和第一型曲线积分有一个重要的区别, 这个区别和曲线的方向 有关. 设 φ : [γ, δ] → [α, β] 为严格单调的可逆连续映射, 则复合映射 σ ◦ φ 也是参数曲 线, 它和 σ 的像完全相同, 只是选取了不同的参数而已.
曲线的方向
第二型曲线积分和第一型曲线积分有一个重要的区别, 这个区别和曲线的方向 有关. 设 φ : [γ, δ] → [α, β] 为严格单调的可逆连续映射, 则复合映射 σ ◦ φ 也是参数曲 线, 它和 σ 的像完全相同, 只是选取了不同的参数而已. 如果 φ 严格单调递增, 则称这两个参数是同向的; 如果 φ 严格单调递减, 则称这 两个参数是反向的(不同向).
f1 dx1 + · · · + fn dxn.
σ
单位圆周 S1 就是平面上的一条闭曲线, 如果用参数方程
σ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] 表示, 则 S1 的方向就是所谓逆时针方向.
例子
例1
计算第二型曲线积分
y
x
I = C x 2 + y 2 dx − x 2 + y 2 dy ,