转动参考系
球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法
球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法全球坐标系中速度与加速度的转动参考系是一种求解物体在三维空间中运动轨迹的几何方法。
具体而言，首先将物体处在全球坐标系(GCS)内，然后将物体相对于GCS连续旋转一定角度所产生的新参考系称为转动参考系(R)，再将物体在R中的速度(V)与加速度(A)从R转换到GCS的运算模型即为所求转动参考系求法。
首先，通过计算可以求出物体在R中的速度和加速度，分别用v_r和a_r表示：v_r=(v^r_x,v^r_y,v^r_z)a_r=(a^r_x,a^r_y,a^r_z)其中v^r_x=v_x·cosα+v_y·sinαv^r_y=-v_x·sinα+v_y·cosαv^r_z=v_za^r_x=a_x·cosα+a_y·sinαa^r_y=-a_x·sinα+a_y·cosαa^r_z=a_z其中α为物体从GCS轨迹向R坐标系引入时需要旋转的角度。
接着，可以用下面的公式从R参考系转换至GCS：v_x=v^r_x·cosα-v^r_y·sinαv_y=v^r_x·sinα+v^r_y·cosαv_z=v^r_za_x=a^r_x·cosα-a^r_y·sinαa_y=a^r_x·sinα+a^r_y·cosαa_z=a^r_z最后，我们可以得到物体在GCS中的速度和加速度，分别用v_x，v_y，v_z表示：v:(v_x,v_y,v_z)a:(a_x,a_y,a_z)通过以上步骤，我们就可以用全球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法来解决物体在三维空间中运动轨迹问题。
此法可有效求解物体在GCS中的三维运动轨迹，且操作简单、效率高。
第四章 转动参考系
第四章 转动参考系第四章思考题4.1为什么在以角速度ω转动的参照系中，一个矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d ？在什么情况下0=*dtd G？在什么情况下0=⨯G ω？又在什么情况下0=dtd G？ 4.2式（4.1.2）和式（4.2.3）都是求单位矢量i 、j 、k 对时间t 的微商，它们有何区别？你能否由式（4.2.3）推出式（4.1.2）？4.3在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？ 4.4惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？4.5圆盘以匀角速度ω绕竖直轴转动。
离盘心为r 的地方安装着一根竖直管，管中有一物体沿管下落，问此物体受到哪些惯性力的作用？4.6对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？4.7自赤道沿水平方向朝北或朝南射出的炮弹，落地是否发生东西偏差？如以仰角 40朝北射出，或垂直向上射出，则又如何？4.8在南半球，傅科摆的振动面，沿什么方向旋转？如把它安装在赤道上某处，它旋转的周期是多大？4.9在上一章刚体运动学中，我们也常采用动坐标系，但为什么不出现科里奥利加速度？第四章思考题解答4.1.答：矢量G 的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。
从静止参考系观察变矢量G 随转动系以角速度ω相对与静止系转动的同时G 本身又相对于动系运动，所以矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 。
其中dtd G *是G 相对于转动参考系的变化率即相对变化率；G ω⨯是G 随动系转动引起G 的变化率即牵连变化率。
若G 相对于参考系不变化，则有0=*dt d G ，此时牵连运动就是绝对运动，G ωG ⨯=dt d ；若0=ω即动系作动平动或瞬时平动，则有0=⨯G ω此时相对运动即为绝对运动 dtd dt d G G *=；另外，当某瞬时G ω//，则0=⨯G ω，此时瞬时转轴与G 平行，此时动系的转动不引起G 的改变。
匀速转动的参考系中电磁场的变换公式
英文回答：In the context of a uniformly rotating system, the electric and magnetic fields undergo precise transformations with respect to their reference frame. The conversion of the electric field E' from the stationary laboratory frame to the rotating frame is determined by the equation E' = E + (v x B). Here, E' represents the electric field within the rotating frame, E denotes the electric field in the laboratory frame, v stands for the velocity of the rotating frame, and B signifies the magnetic field in the laboratory frame. This equation serves to illustrate the impact of the frame's motion and the magnetic field in the laboratory frame on the electric field within the rotating frame.在一个统一旋转的系统中，电场和磁场的参照框架有精确的转换。
电场E'从固定实验室帧转换为旋转帧由等式E'=E + （v x B）决定。
这里 E'代表旋转帧内的电场，E表示实验室帧内的电场，v代表旋转帧的速度，而B表示实验室帧内的磁场。
转动参考系
第四章转动参照系本章应掌握①转动参照系中的速度、加速度计算公式及有关概念；②转动参照系中的动力学方程；③惯性力的有关概念、计算公式；④地球自转产生的影响。
第一节平面转动参照系本节应掌握：①绝对运动、相对运动、牵连运动的有关概念及相互关系；特别是科里奥利加速度的产生原因；②平动转动参照系中的速度和加速度。
一、绝对运动、相对运动、牵连运动有定系οξηζ，另一平面以角速度ω绕轴旋转，平板上固定坐标系oxyz，oz轴与οζ轴重合。
运动质点P相对板运动。
由定系οξηζ看到的质点的运动叫绝对运动；动系oxyz看到的质点运动叫相对运动；定系上看到的因动系转动导致质点所在位置的运动叫牵连运动。
绝对速度、加速度记为；相对速度、加速度记为V',a'。
二、平动参照系中的速度、加速度1、v和a的计算公式速度：（为牵连速度）加速度：其中，牵连加速度a l为：（转动加速度+向心加速度）科里奥利加速度：2、科里奥利加速度a c①它产生条件是：动系对定系有转动；质点相对动系的运动速度不为零，而且运动方向与转轴方向不平行。
②它产生原因是：科氏加速度的产生在于牵连运动与相对运动的相互影响：从静止系看来，一方面牵连运动使相对速度发生改变，另一方面，相对运动也使牵连速度中的发生改变，两者各贡献，结果科氏加速度为。
三、平面转动参照系问题解答例关键是分清定系，动系和运动物体；然后适当选取坐标系，按公式计算。
[例1]P263 4.1题等腰直角三角形OAB，以匀角速ω绕点O转动，质点P以相对速度沿AB边运动。
三角形转一周时，P点走过AB。
求P质点在A 点之速度、加速度（已知AB=b）解：（1）相对动系（直角三角形）的速度v r=b/T=b/（2π/ω）=bω/2π（方向）A点的牵连速度（方向垂直）由V=V r+V e，利用矢量合成法则，得到（2）加速度，因匀速，所以相对加速度α'=0 又匀角速转动，所以角加速牵连加速度，大小，方向沿科氏加速度注意到，所以其大小方向与AB边垂直（见图4.1.1）由，利用矢量合成法则则得到：与斜边的夹角第二节空间转动参照系本节要求：①掌握空间转动参照系中绝对、相对、牵连变化率等概念；②掌握空间转动参照系中的速度V、加速度a的计算公式。
对转动参考系中加速度公式的思考
分 析 ，从 而 为初 学 者 提 供 参 考 。
［ 关键词 】理论 力学 ；转动参考系 ；加速度公式
［ 中图分类号］Ｏ １． ３１１
［ 文献标识码 ］Ａ
［ 文章编号］１ ８ １８ （０００ — Ｏ５ ０ ０ — ７Ｘ ２１）５ ０２ — ３ ０
研究 物 体 的运 动规 律总 是在 一定 的参 考 系 中进行 的 ， 一般 选取 静止 参 考 系 ［ 但 是 当物 体 的运 动情 况 比 ． 较 复杂 时 ， 采用 静止 参考 系不 能给 出一 个清 晰且 简单 的描 述 ， 时还 要借 助 于 一定 的非静 止 参考 系 ［ 转 动 仅 此 ．
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— 譬 ： （ 互＋， 。Ｙ． — ＋７ Ｙ＋ ＋７ Ｙ） 。‘ ・ ： ＋Ｊ ， ，
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（） ５
比较公式（） ５发现， ４和（） 由公式（） ３出发德 ９ 的加速度公式中 一项前没有系数２ 原则上， Ｘ ． 从公式（） ２
和公 式 （） ３ 出发所得 加速 度公式 应该是 一致 的 ， 这说 明 ， 以上 的推 导 中有不 妥 之处 ． 在 问题 出 现哪 里 呢？仔 细
１ 平 面转 动参 考 系中加 速度 公式
如图 １ 所示 ， 面转 动参 考系 以角 速度 ∞绕 垂直 于 自身 的轴转 动 ， 平 在此参 考 系上 固定 一 坐标 系 ０一ｘ ， ｙ 其
惯性力与转动参考系的运动规律
惯性力与转动参考系的运动规律在物理学中，惯性力与转动参考系是两个重要的概念，它们在研究物体的运动过程中起到了关键的作用。
本文将探讨惯性力与转动参考系的运动规律，并从动力学的角度进行解释。
惯性力是指一个非惯性参考系下，为了使牛顿的运动定律成立而引入的一种虚拟的力。
在一个非惯性参考系中，物体的运动并不服从牛顿的运动定律，因为惯性力的存在导致物体表现出与物理规律不符的行为。
一个常见的例子是在转动参考系中观察一个转盘上的小球。
对于一个静止的小球来说，在地面参考系下不受力，符合牛顿的运动定律。
但是，如果我们将地面参考系转换为与转盘同样的转动参考系，小球会出现一种假想的向外离心的力，这就是惯性力的作用。
那么，惯性力的物理原理是什么呢？惯性力的产生是因为我们选择了一个以加速度运动的非惯性参考系。
在转动参考系中，物体与转盘之间存在着摩擦力，这个摩擦力产生了一个向内的加速度。
根据牛顿第二定律，物体在非惯性参考系中会受到一个相等大小，方向相反的力，即惯性力。
具体来说，惯性力的大小与物体的质量、转动参考系的角速度以及距离转动中心的距离有关。
当物体距离转动中心较远时，惯性力的大小较大；而当物体质量较大或者角速度较大时，也可以导致惯性力的增大。
在转动参考系中观察物体的运动规律也具有一些特殊性。
由于惯性力的存在，物体在转动参考系中遵循与地面参考系不同的运动规律。
举个例子，在地面参考系中，我们发现两个物体相互作用力相等，反作用力相反。
但是在转动参考系中，由于惯性力的作用，两个物体之间并不一定满足这个条件。
此外，在转动参考系中，物体的加速度也不是与机械力成正比的关系，而是与惯性力成正比。
也就是说，加速度与机械力和惯性力之间存在一种复杂的关系。
总结一下，惯性力与转动参考系的运动规律是一个相对复杂的问题。
在非惯性参考系中，物体的运动并不遵循牛顿的运动定律，而是受到一个虚拟的惯性力的影响。
这个惯性力是由于我们选择了一个以加速度运动的参考系所产生的。
旋转参考系
旋转参考系旋转参考系是一种常用的参考系，它用来解决物体在旋转中的运动参数问题。
它的使用可以追溯到古代的几何学家，这种参考系统的发展与古代几何的发展有着千丝万缕的联系。
由于旋转参考系的重要性，它经历了无数的改良和发展，成为一个深受人们尊敬的参考系统。
旋转参考系的发展可以追溯到古代几何学家和数学家们的研究。
古代几何学家们致力于研究物体旋转及其对物体形状和特征的影响，这就是旋转参考系的起源。
他们提出了一种旋转参考系，该参考系统可以将目标物体的旋转运动参数化，以便于更好地理解物体的运动行为。
例如，他们将旋转参考系分解为复合角度和固定角度，以便给出物体三个面及其四周圆柱体的旋转信息。
随着概念发展，旋转参考系也发生了很大的变化。
现代物理学家们研究了物体运动的一些基本原理，并将其应用到旋转参考系中。
他们提出了围绕某一点旋转的局部定义坐标系，可以用于研究物体的旋转变形行为。
这个参考系统允许人们以更加精确的方式研究物体的变形，从而更好地了解物体的运动行为。
更为重要的是，旋转参考系的使用也得到了机械和电子领域的广泛应用。
旋转参考系可以用于研究机械设备的运动行为、控制机械部件的旋转、分析传动系统和转动惯量等。
它还可以应用到电子领域，如控制角度传感器的旋转、以及分析激光器或振动传感器的运动行为。
可以看出，旋转参考系已经在物理、机械和电子领域得到了广泛的应用，它已经成为这些领域研究的重要参考系统。
它可以帮助我们更好地理解物体的运动和变形行为，从而促进物理、机械和电子技术的发展。
总之，旋转参考系是一种重要的参考系统，它的应用可以追溯到古代几何学家和数学家们研究旋转运动及其对物体形状和特征的影响。
由于它的发展，它已经成为物理、机械和电子领域研究的重要参考系统，为技术的发展做出了巨大的贡献。
第四章转动参考系
１第四章 转动参考系自学辅导习题（2012年使用）一、选择题(每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的)。
1.坐标系xyz o −以角速度i ˆω=ωK 绕x 轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt iˆd ω=；0dt jˆd =；i ˆdt k ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；k ˆdt jˆd ω=；j ˆdt kˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdt k ˆd ω=1.C2.坐标系xyz o −以角速度j ˆω=ωK 绕y 轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt iˆd ω=；i ˆdt jˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt iˆd ω−=；0dt jˆd =；i ˆdt k ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdt k ˆd ω=2.B3.坐标系xyz o −以角速度k ˆω=ωK 绕z 轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt i ˆd ω=；0dt j ˆd =；i ˆdt k ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt iˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdt k ˆd ω=3.A4.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=； B.k ˆdt i ˆdω=； C.i ˆdt iˆd ×ω=K ； D.i ˆdt iˆd ω=4.C5.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.i ˆdt j ˆd ω−=； B.0dt jˆd=；２ C.k ˆdt j ˆd ω=； D.j ˆdtj ˆd ×ω=K ； 5.D6.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.0dt k ˆd =； B.i ˆdtk ˆd ω=； C.j ˆdt k ˆd ω−=； D.k ˆdtk ˆd ×ω=K 6.D7.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=； B.k ˆdt i ˆd ω−=；0dtj ˆd =； C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=； D.i ˆdt i ˆd ×ω=K ；j ˆdtj ˆd ×ω=K ； 7.D8.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；0dt k ˆd =； B.k ˆdt i ˆd ω−=；i ˆdtk ˆd ω=； C.0dt i ˆd =；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ×ω=K ；k ˆdtk ˆd ×ω=K 8.D9.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B.0dt j ˆd =；i ˆdtk ˆd ω=； C.k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.j ˆdt j ˆd ×ω=K ；k ˆdtk ˆd ×ω=K 9.D10.坐标系xyz o −以角速度ωK 绕某轴转动，x,y,z 轴的单位矢量用i ˆ，j ˆ和k ˆ表示，则：[ ] A.j ˆdt i ˆd ω=；i ˆdt j ˆd ω−=；0dt k ˆd =； B. i ˆdt i ˆd ×ω=K ；j ˆdtj ˆd ×ω=K ；k ˆdt k ˆd ×ω=K ；３ C.0dt i ˆd =；k ˆdt j ˆd ω=；j ˆdt k ˆd ω−=； D.i ˆdt i ˆd ω=；j ˆdt j ˆd ω=；k ˆdtk ˆd ω= 10.B11.在匀加速直线运动的车厢内，自由下落小球的相对轨迹是：[ ]A.沿铅垂直线；B.沿向后倾斜的直线；C.抛物线；D.双曲线。
Fluent理论手册(2)—旋转坐标系
2.3 多旋转参考系流动
许多涉及到多运动部分以及包含了一些静止非旋转表面（无法使用 SRF 模 型） 。在这些问题中，必须将模型分成多个流体/固体区域，使用分界面边界将其
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分隔开。包含运动部分的区域可以采用运动参考系方程进行求解，而静止区域可 以通过静止参考系方程求解。Fluent 支持两种方法对这些问题进行处理。 多旋转参考系 多参考系模型（MRF） 混合平面模型（MPM）
中相同。能量方程采用相对内能
=ℎ− + ( = 2、绝对速度表达式 +
在绝对速度表达式中，稳定旋转系中流体流动控制方程可以写成以下形式： 质量守恒方程： + ⋅ =0 （2.2.9）
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动量守恒方程： + ⋅( )+ ( × )=− + ⋅ ̿+ （2.2.10）
能量守恒方程： + ⋅( + )= ⋅( + ̿⋅ )+ （2.2.11）
CFD 问题 题关于旋转系 系的计算域 域中任意点位 位置通过位 位置向量 及 及旋转域的原 原点 进行 行确定。 能使用以下关系将速 速度从静止 止系转化为旋 旋转系。 = 式中 = × (2.2.3)
18
−
（2.2.2）
上式中， 为相对速度（旋转系中观察的速度） ， 为绝对速度（静止系中观 察的速度） ， 为牵连速度（由于旋转系所导致的速度） 。
2.3.2 混合面模型
混合面模型是 ANSYS FLUENT 提供的一种解决一个或多个相对运动区域 替代 MRF 模型和滑移网格模型的方法。 本节提供此模型的简单描述及使用限制。 2.3.2.1 概述 正如 2.3.1 节所述， MRF 模型主要用于相邻运动区域间流动为几乎一致的情 况。如果分界面上流动不一致，则 MRF 模型可能给出不真实的物理解。在这种 情况下，使用滑移网格模型可能是最适合的，但是在许多情况下，使用滑移网格 式不实际的。例如，在多级透平机械中，如果每级叶片数量不相同，则为了获得 周向上周期性，则必须使用大量的叶片，此外，滑移网格计算必须采用非稳态， 因此需要非常多的计算时间以达到最终时间周期解。 对于一些不适合采用滑移网 格模型的地方，采用混合面模型可能是一个比较节省的方法。 在混合模型方法中，每一个流体域均当做稳态问题求解。相邻区域的流场数
转动参考系加速度公式
转动参考系加速度公式
圆o上任一点在t时刻的弧坐标S(t)=Rωt=(2rcosωt)ωt(1) 该点的切向速度v(t)=S(t)'=2rω(tcosωt)'=2rω(cosωt-ωtsinωt)(2)
该点的切向加速度at=v(t)'=2rω(-ωsinωt-tω^2cosωt)(3) 该点的法（向心)向加速度an=v(t)^2/R=v(t)^2/(2rcosωt)(4) 合成加速度大小a=√(at^2+an^2)
由几何关系可见，P点的ωt=π/6代入（2）、（3）、（4）式P点的速度就是切向速度vp=2rω(√3)/2-π/12)
P点的切向加速度atp=2rω^2(1/2-√3π/12)
P点的法向（向心)向加速度anp=v(t)^2/R=(2rω(√3)/2-π
/12))^2/(√3r)
回复空迹破灭：是思路、方法错了，还是代入P点的值后数值错了，如果是后者，我还真是没底。
对前者你有什么看法，愿意和你讨论。
我看了你对其他回答的追问，如果我没审错题的话，这是一道刚体定轴转动的题没有动参考系，是刚体上特定的点的运动，不是点的复合运动，谈不上相对运动、牵连运动。
就是一个对静止坐标的绝对运动。
那个固定的圆，只是相当于确定P点在某时刻的位置的几何图形，对点的运动不起任何作用。
转动参考系
b．轨道磨损和河岸冲刷 当物体在地面运动时, 在北半球 (sin＞0) 科里奥利 力的水平分量指向运动的右侧, 这样长年累月的作用, 使得北半球河岸右侧冲刷比左侧厉害, 因为比较陡峭. 而在南半球 (sin＜0) 情况与此相反, 是左侧磨损或者 冲刷比较厉害. 双轨单行列车也是同样的问题.
c．落体偏东问题 假定质点由高度h自由下落,认为重力不变,且不受其他 外力, 显然有
如果质点固定在转动系中, v ' 0, 故a ' 0, ac 0, 则
2 F mat F m r ' r r 0
即当质点在非惯性系中处于平衡时, 主动力、约束反作 用力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零. 我 们通常把这种平衡叫做相对平衡.
相对加速度 P相对平板
向心加速度 平板转动
切向加速度 平板变速转动
科里奥利加速度 牵连和相对纠缠
也可以简写为
a a'
相对加速度
at
牵连加速度
ac
科里奥利加速度
科里奥利加速度, 简称科氏加速度.
相对速度 v '发生改变, 而相对运动 ( 即 v ' ) 又同时使 r r 牵连速度 中的 发生改变 , 即科里奥利加速度 2 v '是由牵连运动与相对运动相互影响所产生的. 其方向垂直于 及 v '所决定的平面并且依右手螺
2 ma ' F m R 2m v '
R 表示质点到转动轴的距离矢量.
a0 , 则 O的加速度为
如果转动系的原点O′不和静止系原点O重合, 且O′对
第四章 转动参考系
第四章 转动参考系第四章思考题4.1为什么在以角速度ω转动的参照系中，一个矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d ？在什么情况下0=*dtd G ？在什么情况下0=⨯G ω？又在什么情况下0=dtd G ？ 4.2式（4.1.2）和式（4.2.3）都是求单位矢量i 、j 、k 对时间t 的微商，它们有何区别？你能否由式（4.2.3）推出式（4.1.2）？4.3在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？4.4惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？4.5圆盘以匀角速度ω绕竖直轴转动。
离盘心为r 的地方安装着一根竖直管，管中有一物体沿管下落，问此物体受到哪些惯性力的作用？4.6对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？4.7自赤道沿水平方向朝北或朝南射出的炮弹，落地是否发生东西偏差？如以仰角ο40朝北射出，或垂直向上射出，则又如何？4.8在南半球，傅科摆的振动面，沿什么方向旋转？如把它安装在赤道上某处，它旋转的周期是多大？4.9在上一章刚体运动学中，我们也常采用动坐标系，但为什么不出现科里奥利加速度？第四章思考题解答4.1.答：矢量G 的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。
从静止参考系观察变矢量G 随转动系以角速度ω相对与静止系转动的同时G 本身又相对于动系运动，所以矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 。
其中dtd G *是G 相对于转动参考系的变化率即相对变化率；G ω⨯是G 随动系转动引起G 的变化率即牵连变化率。
若G 相对于参考系不变化，则有0=*dtd G ，此时牵连运动就是绝对运动，G ωG ⨯=dt d ；若0=ω即动系作动平动或瞬时平动，则有0=⨯G ω此时相对运动即为绝对运动 dtd dt d G G *=；另外，当某瞬时G ω//，则0=⨯G ω，此时瞬时转轴与G 平行，此时动系的转动不引起G 的改变。
平面转动参考系
第一节 平面转动参考系
设平面参考系 S′ 以角速度 ω 转动， 在平面参考系上建立坐标系 O-xy ， 原点与静止坐标系 S 原点 O 重合。 则转动矢量 ω = ωk 沿 z 轴方向。 设该平面参考系为一平板，P 为平板 上运动着的一点，则其位矢为
r = xi + yj ( 4.1.1)
2
这一项叫做科里奥利加速度，简称科氏加速度。是牵连运动 与相对运动相互影响所产生。方向垂直角速度和相对速度， 但角速度恒沿 k 方向，所以科氏加速度在 xy 平面内。
3
根据上述分析可以将加速度简写成
& a = a ′ + ω × r − ω 2 r + 2ω × v ′
( 4 .1 .6 )
若令
& at = ω × r − ω 2 r a c = 2ω × v ′
考虑到 (4.1.2) 式，求 (4.1.1) 式对时间的微商后得质点 P 对 静止坐标系的速度
v= dj dk di dr & & & = xi + yj + z k + x + y + z dt dt dt dt & & = ( x − ωy ) i + ( y + ωx ) j
现在求 P 点对静止坐标系的加速度 dv & & & & a= = ( && − 2ωy − ω 2 x ) i + ( && + 2ωx − ω 2 y ) j − ωyi + ωxj x y dt 对 (4.1.5) 的讨论 相对加速度 向心加速度 切向加速度 另外还有
第四章转动参考系
ac 2 v ——科里奥利加速度
是由于质点P对转动的 S 系有一相对速度，从而 与 v 相互 影响所产生的，若两者平行或有一为零，此项加速度为零。 对转动参照系来讲，绝对加速度等于相对加速度、牵连加 速度与科里奥利加速度三者的矢量和。 注意：绝对速度与绝对加速度都是从静止参照系来观测一 个在转动参照系中质点P的速度与加速度的，如果从转动参照 系中来看，只能看到相对速度与相对加速度。
x y 1）. 为质点P对转动参照系的轴向加速度分量，它的合成：
2）
a ———相对加速度 xi yj y i x j k ( xi yj ) ω r
是由于平板作变角速度转动所引起的切向加速度，如平 板以匀角速度转动，则此项加速度为零。
3）
2 2 xi yj r
2
沿矢径指向O点，它是由于平板以角速度 转动所引起 的向心加速度。 2）、3）两项加速度都是由于平板转动所引起的，所以为牵连 加速度。
4） 2 y i 2 x j 2ω ( xi yj ) 2ω v
dv di dj a ( y y )i ( x x ) j ( x y ) ( y x ) x y dt dt dt 2 2 ( y x 2 y )i ( x y 2 x ) j x y
2 a a ω r r 2ω v a a ω r 2 r 2ω v
于是：
F mω r m 2 r 2mω v ma
G ——牵连变化率，转动参照系绕着O点以角速度 转动
转动参考系下的惯性力
问讨题论转动参考系下的惯性力王磊1,张天浩"1. 盘锦市高级中学，辽宁盘锦1240002. 南开大学物理科学学院，天津300071摘 要：惯性力是由于参考系本身相对于惯性参考系做加速运动所引起的力，惯性力因无施力物体而实际上并不存在，所以可以用是否存在惯性力来区别非惯性参考系和惯性参考系'在非惯性参考系中牛顿运动定律是不成立的，但在 引入惯性力后，对非惯性参考系来讲，牛顿运动定律在形式上就“仍然”可以成立+在平面转动参考系中，质点可能受到了三种惯性力'将这三种惯性力引入平面转动非惯性系中，我们可以在平面转动参考系下应用牛顿运动定律来处理相关问题'关键词：惯性力；平面转动参考系；离心力；惯性切向力；科氏力中图分类号:G633.7 文献标识码:A 文章编号：1003-6148(2020)11-0055-41 惯性力的由来惯性是物理学中最基本的概念之一，也是学 习物理学最早遇到的概念之一"由于牛顿运动定律只在惯性参考系中成立，因此在经典物理学课 程中都对惯性系与非惯性系、牛顿力与惯性力加以区分。
惯性力实际上并不存在，因为惯性力实 际上是非惯性系下物体具有惯性而产生的力，这种力虽然能被测量和感知，但因惯性力找不到施力物体，并且当转换惯性系研究时，物体的惯性 力消失，所以普遍认为惯性力是假想力、虚拟力、不存在的力"我们亦可以用惯性力的存在来判断 参考系是非惯性系"该概念的提出是因为非惯性系中，牛顿运动定律并不适用"但是为了思维上的方便，可以假想在这个非惯性系中，除了相互 作用所引起的力之外还受到一种由于非惯性系而引起的力一惯性力叫本文对转动参考系中 的惯性力做一些讨论。
2 转动参考系下三种惯性力的理论推导设平面！"(图1)以变化角速度！绕垂直于自身的轴#转动，在这个平面上取坐标系0-!",它 的原点和静止坐标系0-"#的原点o 重合，&、j分别为！轴和"轴上的单位矢量，％为#轴上的单位矢量，则P 点为！"平面上一运动质点，设P 点在0-!"坐标系下的位置坐标为%!，")， 则P 点相对坐标系0-!"的位置向量为r =!i +"j 。
第4章 转动参考系
⎧ x = −4ω 2 y sin λ ⎡ x sin λ + ( z − h ) cos λ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ y = 2 gtω cos λ − 4ω 2 y ⎨ ⎪ z = − g − 4ω 2 cos λ ⎡ x sin λ + ( z − h ) cos λ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩
青岛科技大学数理学院
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14
§4.4 地球自转所产生的影响
一 惯性离心力
考虑地球自转时，可以认为其角速度是沿着地轴的一个恒 矢量，即 ω = 0. 因此，只需考虑惯性离心力和科里奥利力 即可；若质点相对于地球静止，则只需考虑惯性离心力 . 惯性离心力产生的影响： a) 重力与引力大小不相等（两极除外）. b) 重力与引力方向不一致（两极除外）. 注 惯性离心力所产生的影响一般都比较小，当研究 质点相对于地球的运动时，惯性离心力的效应只要用重 力来代替引力即可 .
a ωt x = ( e + e −ωt ) = achωt 2
管对小球的竖直反作用力和水平反作用力分别为
Ry = mg
a ωt −ωt Rz = 2mω x = 2mω ( e − e ) = 2maω 2shωt 2
2
惯性系
⎧m r − rθ 2 = Fr = 0 ⎪ ⎨ ⎪m rθ + 2rθ = Rθ ⎩
所以质点 P 的绝对加速度可简写为
dω ⎧ at = × r + ω (ω ⋅ r ) − ω 2 r ⎪ ⎪ dt ⎨ d *r ⎪a = 2ω × = 2ω × v′ c ⎪ dt ⎩
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a = a′ + at + ac
8
若 S ′系以匀角速度转动，则
4.1 平面转动参考系
z y)ex ( y z x)e y (x
6
4.1 平面转动参考系
相对变化率与牵连变化率 绝对速度
dr d *r ωr dt dt
一般情况下，如果矢量G的方向以角速度 ω 转 动，同时其大小也在变化，则
dG d *G ωG dt dt
d *G dt
称相对变化率；ω G 称为牵连变化率。
a'at ac
r r at ω (牵连加速度)
ac 2ω v' (科氏加速度)
8
4.1 平面转动参考系
平板做平面平行运动的情况 小物体P的速度：
v v'vt
d *r ' v' dt
a a'at ac
d *v ' d *2 r ' a' dt dt 2
7
4.1 平面转动参考系
加速度
dv d dv ' dω dr a ( v ' ω r ) r ω dt dt dt dt dt
d *v ' dω d *r ω v ' r ω( ω r) dt dt dt
d *v ' dω ω v ' r ω v ' ω ( ω r ) dt dt d *v ' e x e y a' x y * d v' dt r 2 r 2ω v ' ω (相对加速度) dt 2
4.1 平面转动参考系
什么是转动参考系？
描述质点的运动，根据方便需要，所选择的 参考系不一定是静止的。在第一章，我们学 习了平动参考系，是以做平动的物体作为参 考系。 以转动的物体作为参考系，称为转动参考系。
圆周运动 参考系-概述说明以及解释
圆周运动参考系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在圆周运动中，物体围绕固定轴或点以特定的路径进行运动。
圆周运动是物体运动的一种普遍形式，广泛应用于日常生活、自然界和科学研究中。
圆周运动的基本特点是物体在运动过程中不断改变方向，但保持距离固定。
在圆周运动中，物体会沿着一个圆形轨道或弧线进行运动，同时遵循特定的速度和加速度规律。
圆周运动可以以直观、美学和实用的方式展示出来，例如地球围绕太阳的公转、行星围绕恒星的运动，或者钟表上指针的转动等。
在物理学中，圆周运动可以通过数学方法进行描述。
通过引入角度的概念，我们可以用角度来表示物体在圆周运动中所处的位置。
同时，线速度和角速度的概念也被引入，用于描述物体在圆周运动中的速度和旋转快慢。
而参考系则是指观察和描述物体运动时所选择的参考框架。
在圆周运动中，选择不同的参考系会对我们对运动的观察和描述产生影响。
不同的参考系可能导致不同的运动轨迹、速度和加速度的测量结果。
因此，对于准确理解和描述圆周运动，必须明确所选择的参考系。
本文旨在探讨圆周运动及其数学描述，并重点研究参考系对圆周运动的影响。
通过分析不同参考系下的运动特点和描述方法，旨在揭示圆周运动中的规律和规则，并深入探讨参考系对圆周运动的影响以及其在科学研究和实际应用中的重要性。
总之，圆周运动是一种常见且重要的物体运动形式，它在日常生活和科学研究中都具有重要的应用价值。
通过研究圆周运动的定义、基本概念、数学描述以及参考系对其影响的现象，我们可以更好地理解和应用圆周运动的规律，并为未来的研究提供新的思路和方向。
1.2文章结构文章结构（Article Structure）是指文章的整体组织和布局，它决定了文章的逻辑序列和篇章框架，使读者能够清晰地理解和吸收文章中的内容。
本文的文章结构主要分为引言、正文、参考系对圆周运动的影响、结论四个部分。
引言（Introduction）部分主要是对文章的研究对象进行概述，并说明文章的目的和意义。
转动参考系与思政
转动参考系与思政
转动参考系与思政是必不可少的，它能够让我们站在一个新的高度，从客观的角度进行观察，深入剖析其理论价值，从而满足学习、科学研究、分析预测等需求。
中国是一个传统文化与现代文明交织的多元发展国度，将转动参考系与思政巧妙地糅合成有机体，形成显著的理论系统。
建立和构建转动参考系与思政有助于将传统文化和思维融入到当代政治和社会实践，引领我们在传统文化的基础上，推动现代社会进步发展。
转动参考系涉及到历史文化、主流思想以及社会政治等多个方面，需要结合这些有机的综合性内容进行研究，从而形成一个完整的参考系，以此作为根基，形成中国特色思想。
转动参考系与思政竭尽全力去探求一个确定的文明路径，它结合中国特色社会主义，把传统文化、科学技术、西方现代文明思想，以及中国自身的优秀历史文化的精深，加以统一的心理思维凝结成一个不可分割的体系，以此服务于中国特色社会主义建设。
总结来说，转动参考系与思政以人的本质为准则，让我们在古今中外的文化资源中找到参照系，深入学习，审视思考，发掘真理，创造更美好的未来，确保中国特色社会主义永葆新鲜活力。
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在高度不大时, 2项的值很小, 计算发现比科里奥利 加速度小100倍, 所以可以忽略. 这样上式就简化为
0, 2 gt cos , g x y z
两次积分, 并考虑初始条件, 得
1 3 1 2 x 0, y gt cos , z h gt 3 2
y z 0, x y 0, z h t 0, x
Fx 2my sin m x Fy 2m z sin cos x m y cos Fz mg 2my m z
所以对
积分, 得
b．轨道磨损和河岸冲刷 当物体在地面运动时, 在北半球 (sin＞0) 科里奥利 力的水平分量指向运动的右侧, 这样长年累月的作用, 使得北半球河岸右侧冲刷比左侧厉害, 因为比较陡峭. 而在南半球 (sin＜0) 情况与此相反, 是左侧磨损或者 冲刷比较厉害. 双轨单行列车也是同样的问题.
c．落体偏东问题 假定质点由高度h自由下落,认为重力不变,且不受其他 外力, 显然有
dr dt
*
d r dt r d *r r 2 dt
*
相对加速度 切向加速度
向心加速度
科里奥利加速度
也可以简写为
a a'
相对加速度
at
牵连加速度
消去时间, 得到轨道方程
惯性力有三项:
d m r m r dt
*
参考系做变角速运动引起的
2 m r m r
dr 2 m 2 m v ' dt
*
参考系转动引起的惯性离心力
科里奥利力
如转动坐标系角速度 恒定
地球既有自转又有公转, 所以是非惯性参考系. 公转的角速度很小, 常可忽略不计. 自转的角速度 约为7.3l0-5rad/s, 虽然也比较小, 但却产生了一些 可以观察到的现象.
1 惯性离心力 地球绕地轴自转角速度是沿地轴的一个常矢量, 所以
2 F离心 m r m r
ac
科里奥利加速度
d r a' 2 dt * * d d 2 r r r r r at dt dt * 角速度 转动 dr 2 v ' ac 2 变化 本身 dt
相对加速度 P相对平板
向心加速度 平板转动
切向加速度 平板变速转动
科里奥利加速度 牵连和相对纠缠
也可以简写为
a a'
相对加速度
at
牵连加速度
ac
科里奥利加速度
科里奥利加速度, 简称科氏加速度.
相对速度 v '发生改变, 而相对运动 ( 即 v ' ) 又同时使 r r 牵连速度 中的 发生改变 , 即科里奥利加速度 2 v '是由牵连运动与相对运动相互影响所产生的. 其方向垂直于 及 v '所决定的平面并且依右手螺
例一质点在北半球的某点 P 上以 速度 v ' 相对于地球运动, P点的纬 度为. 图中SN是地轴, 地球自转 的角速度 就沿着该轴. 单位矢量 i , j , k 固着在地球表面上. 且 i 水 平向南, j 水平向东, k 竖直向上. 则在地球上看
N
k
所以质点P运动微分方程的分量形式为
Fx 2my sin m x Fy 2m z sin cos x m y cos Fz mg 2my m z
利用科里奥利力可以解释一些地球上发生的基本现象 a．贸易风 在地球上, 热带的空气 因热上升, 并在高 空向两极推进, 而两极空气因冷下降, 在地面附近向赤 道附近推进,形成了一种对流, 故称为贸易风. 但由于 受到科里奥利力的作用, 南北向的气流, 就会发生东西 向的偏转. 如果气流自北向南推进, 则所受到科里奥利 力沿东西方向. 故北半球(sin ＞0)地面附近自北向南 的气流 , 有朝西的偏向 , 成为 东北贸易风 . 而在 南半球 (sin＜0)地面附近自南向北的气流, 也有朝西的偏向, 而成为东南贸易风. 大气上层的反贸易风在北半球为 西南贸易风, 在南半球为西北贸易风.
小结
惯性力
d m r m r dt
*
参照系做变角速运动引起的. 参照系转动引起的惯性离心力 科里奥利力
2 m r m r
*
dr 2 m 2 m v ' dt
§4.4 地球自转所产生的影响
2y sin x 2 ( z h) cos x sin y gt 2y cos z
所以
4 2 sin x sin ( z h) cos x 2 gt cos 4 2 y y g 4 2 cos x sin ( z h) cos z
y
j
Hale Waihona Puke S
O k
P r i
x
则P 点相对静止坐标系的速度
dr di dj dk i y j z k x y z x v dt dt dt dt y i y x j x
转动参考系以角速度 相对于静止参照系转动, 因 此转动参照系是非惯性参照系, 牛顿运动定律对这种参 照系来讲, 是不成立的. 在非惯性系质点m动力学方程为
* * dr d 2 ma ' F m r m r m r 2m dt dt
G Gx i G y j Gz k
单位矢量以角速度 运动, d i d j dk i , j, k dt dt dt
在静止坐标系，G的变化率
d G d G x d G y dG z di dj dk G y Gz i j k Gx dt dt dt dt dt dt dt * dG G dt d *G 上式中 dt 为坐标系不动时 G的变化率, 即相对变化率. 而 G 是坐标系转动所引起的, 故应为牵连变化率.
2 r
科里奥利加速度 牵连和相对纠缠
向心加速度 平板转动
切向加速度 平板变速转动
§4.2 空间转动参考系
转动参考系以角速度 转动, 角速度的大小和方向都 随时间改变. 在转动参考系上取坐标系O-xyz, 它的原 点和静止坐标系原点O重合. 令单位矢量 i , j , k 固着 在转动刚体的x轴、y轴和z轴上. 任一个矢量可以表 述为
惯性离心力的作用使重力常小于引力. 重力随着纬度发生变化, 在纬度越低的地方重力 越小. 只有在两极的地方, 重力和引力才相等. 另外, 重力的方向也不与引力的方向一致. 引力的作用线通 过地球的球心，而重力的作用线一般并不通过地球的 球心.
2 科里奥利力 当物体 (质点) 相对地球运动时, 应同时考虑惯性 离心力和科里奥利力的作用. 由于质点离地轴的距离 的变化不太大, 惯性离心力可以用重力代替. 研究质点 运动只要考虑科里奥利力.
如果质点固定在转动系中, v ' 0, 故a ' 0, ac 0, 则
2 F mat F m r ' r r 0
即当质点在非惯性系中处于平衡时, 主动力、约束反作 用力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零. 我 们通常把这种平衡叫做相对平衡.
和 y 为P对转动参考系(平板)诸轴的分速度, 合 上式中 x 成应为相对速度v′. 而y和x，是由于平板转动而带 r ，因此 动P一同转动所引起的，故应为牵连速度
v v' r
相对速度 牵连速度
P的加速度为
dv 2 2 yi xj 2y x i 2x y j a x y dt 2 2 yi xj 2y i j xi yj i 2x j x y 2 r a' r 2 r
第四章 转动参考系
§4.1 平面转动参考系
在平板参考系上取坐标系O-xy, 它的原点和静止坐 标系原点O重合, O-xy绕着通过O点并垂宜于平板的直 线(即z轴)以角速度转动.令单位矢量 i , j 固着在平板 上的x轴和y轴上. P为平板上一质点
r xi yj
因 P 和坐标轴都以角速度 运动, dj di j , i dt dt
如转动坐标系的原点与固定坐标系的原点 O 重合，并 以角速度 绕着O转动，则对静止系来说, 一个在转动 系中运动的质点P的绝对速度为
* dr d r v dt dt 相对速度 r
牵连速度
* dv d v v a dt dt 2* * d r d 2 r dt dt 2* * d r d 2 r dt dt
ma ' F mgk 2m v '
S
P i
j
因为 与 i , k 共面 i j k v ' cos 0 sin x y z sin i z sin j y cos k cos x y