人教版八年级上册数学讲义

八年级数学讲义

第11章三角形

一、三角形的概念

1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2．三角形的表示

△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．

顶点：A，B，C ．

内角：∠A ，∠B ，∠C．．

二、三角形的边

1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）

(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a

(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c

1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.

当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.

1.2 确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和.

2.三角形的主要线段

2.1三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.

①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；

②直角三角形三条高线交于直角顶点；

③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点

2.2三角形的角平分线

三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点.

2.3三角形的中线

连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。

A

D

B C

C

B

A

D

三角形的三条中线交于三角形内部一点.

三、三角形的角

1 三角形内角和定理

结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角

结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角

注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角

如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）

②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．

如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数

2三角形外角和定理

2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．

2.2性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补

2.3外角个数：

过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），

可见一个三角形共有6个外角

四、三角形的分类

(1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形

(2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形

五多边形及其内角

1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

3、多边形的对角线

(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。

4、n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360°

※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.

※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；

※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角.

5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状

8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。

9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。

10、若△ABC 的三边为a 、b 、c （a 与b 不相等），且满足a 3-a 2b+ab 2-ac 2+bc 2-b 3=0，试判断△ABC 的形状。

二、三角形角有关计算

1.如图△ABC 中AD 是高,AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O,∠A= 50°,∠C = 70°求∠DAC,∠AOB 解∵AD 是△ABC 的高,∠C = 70° ∴ ∠DAC =180°-90°-70°=20° ∵ ∠BAC =50°

∴ ∠ABC =180°-50°-70°=60° ∵ AE 和BF 是角平分线

∴ ∠BAO =25°, ∠ABO =30°

∴ ∠AOB =180°-25°-30°=125°

2.如图, △ABC 中, D 是BC 边上一点，∠1= ∠2, ∠3=∠4，∠BAC= 63°,求∠DAC 的度数

3. 已知：P 是△ABC 内任意一点. 求证：∠BPC ＞∠A

4.如图，∠1=∠2， ∠3=∠4，∠A= 100°，求x 的值

:000

000

000112,2312234

422418026318039633924x x x x BAC x x x DAC ∠=∠=∠∴∠=∴∠=∠+∠=∠=∠∴∠=∠+∠+∠=∴++=∴=∴∠=-=解设又

又

5.已知△ABC的∠B、∠C的平分线交于点O。求证：∠BOC=90°+ ∠A (角平分线模型)

6.已知：BP、CP是△ABC的外角的平分线，交于点P。求证：∠P=90°- ∠A (角平分线模型)

7.△ABC中，∠ABC的平分线BD和△ABC的外角平分线CD交于D，求证：∠A=2∠D (角平分线模型)