第四章 数字控制器的直接设计2014

i 1
u
(1 bi z 1 )]( 0 1 z 1 q v 1 z q v 1 )
式中，m为广义对象的瞬变滞后；bi 为G( z )在z平面单位 圆外或圆上的零点，u为G( z )在z平面单位圆外或圆上的 零点数；v为G( z )在z平面单位圆外或圆上的极点数。

U ( z ) b0 z m b1 z m 1 bm D( z ) E ( z ) a0 z n a1 z n 1 an 其中n m,a0 0

如果被控对象G(z) 含有纯滞后z-p，则
( z) z p (m1 z 1 m2 z 2 ml z l )
i 1
u
F2 ( z )是关于z -1的多项式，且不包含 G (z)中在 单位圆上和圆外的零点 b i。
则
F2 ( z ) D( z ) m z G1 ( z ) F1 ( z ) 1
综合考虑系统的准确性、快速型和稳定性要求：
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( z ) z m [
Ge ( z ) 1 ( z ) [

i 1
v
(1 ai z 1 )]F1 ( z )
F1 ( z )是关于z -1的多项式，且不包含G( z )中不稳定极点ai。
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2）设定 ( z ) 把G(z)单位圆上和圆外的零点作为自 己的零点
( z ) [ (1 bi z 1 )]F2 ( z )

两个稳定：
–输出量C在采样点上的稳定 –控制变量u收敛

两个条件：在确定闭环脉冲传递函数 ( z) 时
–1）G( z) 的不稳定零点应为 ( z) 零点 –2）G( z) 的不稳定极点应为 Ge ( z ) 零点
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最少拍快速有波纹系统设计的一般方 法
1 e G( z) Z s
P( z ) Q( z ) ( z )Q( z ) U ( z) R( z ) P( z ) ( z ) P( z ) A( z ) G( z )
设计要求：除满足最少拍有波 纹系统的设计要求外， ( z) 还 须包含G(z)所有的零点
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设计无波纹系统的必要条件

被控对象Gc(s)中必须含有无波纹系统所 必须的积分环节数。
m w
( z ) z [ (1 bi z 1 )]( 0 1 z 1 K q v 1 z q v 1 )
i 1
式中，m为广义对象的瞬变滞后；v为G(z)在z平面单位 圆外或圆上的极点数，这些极点为a1，a 2， L ，a v；b1， b 2， L b w 为G(z)的所有w个零点。
0.54z 1 0.316z 2 0.4 z 3 0.115z 4 0.25z 5
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最少拍控制系统的局限性

系统的适应性差
控制作用易超出限定范围 在采样点之间有波纹：系统在采样点之间输出 是有波动的。

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第四章 数字控制器的直接设计
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

直接设计法的基本原理和设计步骤 最少拍无差系统的设计 最少拍无波纹系统的设计 W变换法设计 纯滞后对象的控制算法——大林算法
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4.1 直接设计法的基本原理和设计步 骤 Φ(z)
G (z) R(z) C(z) H(s) G(s) Gp(s)
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最少拍控制系统设计的具体要求
准确性要求 快速性要求 稳定性要求

–数字控制器 D( z) 必须在物理上可以实现且 闭环系统必须是稳定的。
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典型输入下最少拍系统的设计方法
针对不同的输入信号和被控对象，设计出的控制 器的形式各不相同。 单位阶跃输入 单位速度输入
r(t) + e(t) E(z) ( z ) D(z)
( z )
U(z)
c(t)
1 Ge ( z ) 1 ( z ) D( z )G ( z ) D( z ) 1 D( z )G ( z ) G ( z ) 1 ( z ) G ( z )Ge ( z ) E( z) 1 Ge ( z ) 1 ( z ) R( z ) 1 D( z )G ( z )
显然，u=0，v=1，m=1,q=2.
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根据稳定性要求： G(z)中z=1的极点应包含在Ge(z)的零点 中； 另一方面，对于单位速度输入设计时， 由准确性条件知Ge(z)必须满足

Ge ( z ) (1 z ) 1
1 2
( z ) 1 Ge ( z ) z ( 0 1 z )
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2.稳定性要求
R( z )( z ) U ( z )G( z ) C ( z )
1 Ge ( z ) 1 ( z ) D( z ) G ( z ) 1 ( z ) G ( z )Ge ( z )
U ( z)
( z ) R( z ) G( z )
最少拍无差系统，是指在典型的控制输入信号 作用下能在最少几个采样周期内达到稳态无静 差的系统。 闭环z传递函数具有如下形式

( z ) m1 z 1 m2 z 2 L mn z n

在这里，n是可能情况下的最小正整数。 闭环系统的脉冲响应在n个采样周期后变为零， 即系统在n拍后到达稳态。
单位阶跃输入时 m=1， Ge ( z ) 1 z 1
单位速度输入时 m 2， Ge ( z) (1 z 1 )2
单位加速度输入时 m 3， Ge ( z ) (1 z 1 )3
E( z) 1
E ( z ) Tz 1
T 2 1 T 2 2 E( z) z z 2 2
Ts
Gc ( s )
z
m
(1 b z
i 1 i i
u
1
) G1 ( z )
(1 a z
i 1
v
1
)
其中Gc ( s )不含有延迟环节时，m 1；否则，m 1. ai 1， bi 1。G1 ( z )为稳定环节。
1）设定 Ge ( z ) 把G(z)单位圆上和圆外的极点作为自 己的零点
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补充例4-1 被控对象的传递函数
解:
1 e Ts 10 G( z ) Z [ ] s s( s 1)
Gc ( s )
10 s( s 1)
来自百度文库
采样周期T＝1s，试设计一在单位速度输入时的最 少拍数字控制器。
3.68 z 1 (1 0.718 z 1 ) (1 z 1 )(1 0.368 z 1 )
1 ( z) 0.382(1 0.368z 1 )(1 0.587 z 1 ) D( z ) G( z ) Ge ( z ) (1 z 1 )(1 0.592 z 1 )
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4.2 最少拍无差系统的设计
最少拍无差系统定义 最少拍控制系统设计的具体要求 典型输入下最少拍系统的设计方法 最少拍控制器的可实现性和稳定性要求 最少拍快速有波纹系统设计的一般方法 最少拍控制系统的局限性

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最少拍无差系统定义
解得
0 1.407, 1 0.826, 1 0.592
( z ) z 1 (1 0.718z 1 )(1.407 0.826z 1 ) Ge ( z ) (1 z 1 ) 2 (1 0.592z 1 )
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解得数字控制器的脉冲传递函数
解:
G( z ) 3.68z 1 (1 0.718z 1 ) (1 z 1 )(1 0.368z 1 )
显然，v=1，m=1,速度输入q=2.
( z ) z 1 (1 0.718z 1 )( 0 1 z 1 )
Ge ( z ) (1 z 1 ) 2 (1 1 z 1 )
1 R(t ) u (t )，R( z ) 1 z 1
Tz 1 R(t ) t，R( z) (1 z 1 ) 2
（T 为采样周期） 单位加速度输入
1 2 T 2 z 1 (1 z 1 ) R(t ) t ，R( z ) 2 2(1 z 1 ) 3
它们具有共同的 z 变换形式
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1 Ge ( z ) 1 ( z ) D( z ) G ( z ) 1 ( z ) G ( z )Ge ( z )
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最少拍控制器的可实现性和稳定性要 求
1.物理上的可实现性要求 是指控制器当前的输出信号，只能与当前 时刻的输入信号，以前的输入信号和输出信 号有关。这要求的D（z）不能有z的正幂项。
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(1) 1 '(1) M d q 1 ( z ) (1) z 1 0 q 1 dz (ai ) 1(i 1, 2, K v)
q 1
d ( z ) dz
z 1
0
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补充例4-1 设计无波纹系统
张秦艳
1
1
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(1) 0 1 1 ' (1) 0 21 0
解得
0 2, 1 1
( z) 2 z 1 z 2
C ( z ) ( z ) R ( z )
1 Tz (2 z 1 z 2 ) (1 z 1 )2
当典型输入分别是阶跃、单位速度、单位加速度输入时， q=1，2，3。式中q+v个待定系数可由下列方程确定：
(1) 1 d ( z ) '(1) dz M
q 1
z 1
0
d q 1 ( z ) (1) z 1 0 dz q 1 (ai ) 1(i 1, 2, K v)
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设计步骤 –1）求得带零阶保持器的被控对象的广义脉 冲传递函数 G ( z ) 。 –2）根据系统的性能指标要求以及实现的约 束条件构造闭环传递函数 ( z) 。 1 Ge ( z ) 1 ( z ) D ( z ) –3）依据 G ( z ) 1 ( z ) G ( z )Ge ( z ) 确定数字控制器的传递函数 D( z) 。 –4）由 D( z)确定控制算法并编制程序。
4.3

无纹波系统的设计
纹波产生的原因及设计要求 设计无波纹系统的必要条件 最少拍无波纹系统 ( z) 的一般确定方 法
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纹波产生的原因及设计要求


原因：控制量的z变换有非零的极点，即数字控制器 的输出序列u(k)经过若干拍后，不为常值或零，而是 震荡收敛的。 要使系统输出为最少拍无波纹，就必须在有限拍内 使U(z)达到稳态。
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R( z )
A( z ) (1 z 1 ) m
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A( z ) E ( z ) R( z )Ge ( z ) Ge ( z ) 1 m (1 z )
为使稳态误差等于零：
Ge ( z) (1 z 1 ) m F ( z)
如取F(z)=1,调节时间最短。误差传递函数为：
2Tz 2 3Tz 3 4Tz 4 5Tz 5 L
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1 1 C( z) Tz 1 3 . 68 z ( 1 0 . 718 z ) 2 U ( z) (2 z z ) / 1 2 G( z ) (1 z ) (1 z 1 )(1 0.368z 1 )