初中数学专题：九年级数学圆的对称性

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北师大版九年级数学下册第三章2圆的对称性

于点E,AD=OB,试说明 B︵D
︵
= DE
,并求∠A的度数.
解析设∠A=x°.∵AD=OB,OB=OD,∴OD=AD.
∴∠AOD=∠A=x°.∴∠ABO=∠ODB=∠AOD+∠A=2x°.
∵AO=AB,∴∠AOB=∠ABO=2x°.
︵
︵
∴∠BOD=2x°-x°=x°,即∠BOD=∠AOD.∴ BD = DE .在△AOB中,由三角形的内
解析 ∵ A︵E = B︵D ,∴∠BOD=∠AOE=32°, ∵∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=32°,∴∠COE=32°+32°=64°. 答案 D
点拨本题在求角的度数时运用了转化思想,在同圆或等圆中,利用圆心角、弧、弦之间的关系可以实现角、线段、弧之间的转化.
题型二利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等例2 (2019江苏南京中考)如图3-2-3,☉O的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证:PA=PC.
︵
︵
圆心角的度数,因为∠BOA=2∠COD,所以 AB 的度数= CD的度数的2倍,所
︵
︵
以在同圆或等圆中, AB =2 CD ,所以B项正确.C、D项错误.
4.如图3-2-2,AB、CD是☉O的两条直径,弦BE=BD,则 A︵C 与 B︵E 是否相等?为什么?
图3-2-2
解析 A︵C= B︵E .理由:连接AC.∵AB、CD是☉O的直径,且∠AOC=∠BOD,
2.如图3-2-1,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影部分的面积是( )
图3-2-1 A.4π B.3π C.2π D.π 答案 D 利用圆的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积的四分之

九年级数学3.2 圆的对称性课件

知3－讲
例3 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且 AD=CE . BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE. 理由是 ∵ ∠AOD=∠BOE, ∴ AD=BE .
又∵ AD=CE，
∴ BE=CE . ∴ BE=CE.
知3－练
︵ 1 A，B是⊙O上的两点，∠AOB= 120°，C是AB的中
知2－讲
例2 以下命题中，正确的选项是C ( ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角，故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，假设圆心角相等，那么所对的弦相等，假设圆心角不等，那么所对的弦也不等，故正确．
知2－练
5 AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，∠COE＝ 40°，那么B︵D的度数是( D )
A．70°
B．110°
C．40°
D．70°或110°
知识点 3 相等圆心角、弧、弦之间的关系
知3－导
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的
位置，你能发现哪些等A1OB1
总结
知1－讲
将一个图形绕一个定点旋转时, 具有以下特性:一是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大小保持不变，因此此题圆中变换位置前后对应的弧、角、线段都相等．
知1－练
1 日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例. 解：略.

九年级数学《3-2 圆的对称性》课件

B
E
·
C
O
D
A
例2 如图，AB是⊙O 的直径， BC=CD=DE， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
ED
C
A
· O
B
例3 如图，在⊙O中， A⌒B=A⌒C ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
O·
B
C
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD BC
求证:AB＝CD.
第三章圆
3.2 圆的对称性
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点）
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点）
圆的对称性
自主学习
圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
在同圆或等圆中
当堂练习
1．如果两个圆心角相等，那么（ D ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 °.
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与C⌒D
弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
C B
D
归纳由圆的旋转不变性，我们发现：
·
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD
O
A
那么，AB CD ，弦AB=弦CD
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关
系是否依然成立？为什么？

2.2圆的对称性(1).2 圆的对称性(1)课件

初中数学九年级上册（苏科版）
2.2
圆的对称性（一）
复习回忆
1、什么是中心对称图形？举例说明
把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形
2、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
尝试
1.在两张透明纸片上，分别作半径相等的 O和 O’
AB = A’B’ AOB= A’O’B’
3.
AB=A’B’

1的圆心角
C D
1的弧
O
n的圆心角
B A
n的弧
n的圆心角对着 n的弧， n的弧对着 n的圆心角。
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
典型例题
例 1：如图在 ABC 中， C=90， B=28，以 C为圆心，以 CA为半径的圆交 AB于点 D，交 BC于点 E ，求 AD， DE的度数。
B
D
E
A
C
例 2：如图 ,AB,AC,BC 都是 O的弦， AOC= BOC， ABC与 BAC相等吗？为什么？
解： ABC= BAC
∵ AOC= BOC
O
AC=BC
ABC= BAC
A C B
巩固练习
1.如图，在 O中，AC =BD ， AOB=50，求 COD的度数。 A
C D O B A
O B C
2.如图，在 O中，AB =AC， A=40，求 ABC的度数。
3.如图，在同圆中，若 AOB=2 COD，则AB与 2CD的大小关系是（（ A）AB ＞ 2CD (B) AB ＜ 2CD (C) AB＝ 2CD (D) 不能确定

人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质

在上图中，
D
若∠COD=∠AOB,则 CD=AB，CD=AB ；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB，.
CAD=ACB.
(二)圆的有关性质 3、垂径定理：
•
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，
(二)圆的有关性质 Q
A•
O•
•B
P
C
4、②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
如图:∠BOC=2∠BAC=2∠BPC=2∠BQC.
(二)圆的有关性质
PQ
O •
D
A C
B
如图:若AB=CD，则∠AOB=∠COD=2∠APB=2∠CQD.
反之，若∠APB=∠CQD，则AB=CD.
【及时巩固】
d P
P
d
O
•
r
d
P
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的而距离为d，
则 ①点P在⊙O上 d = r；
②点P在⊙O内 d＜ r；
③点P在⊙O外 d ＞r.
【及时巩固】
2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.” 先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的外接圆，再观察图形，填空：
并且平分弦所对的弧； ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；...
(二)圆的有关性质
•
垂径定理及推论可归纳为：一条直线若具有“①经过圆心； ②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧”这五个性质中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：①③组合有限制.

《圆的对称性》公开课教学PPT课件【北师大版九年级数学下册】

问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？
说一说你的理由。
新知探究
总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径 ∴AM=BM，AD BD, AC BC .
新知探究
[例] 如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中点O是CD 的圆心)，其中CD =600m，E为 CD上一点，且 OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
课堂小结
1．本节课我们探索了圆的对称性． 2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理． 3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、弦心距等计算问题．
课后作业
(一)课本习题3．2，1、2．试一试１. (二) 预习课本：P94～97内容
再见
∴3x＋4x＋6x＋5x＝360° ∴x＝20°
∴∠D＝100°
故选：C．
课堂练习
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交
AB于点D，交AC于点E，则 BD的度数为
．
课堂练习
解答：连接CD， ∵∠A＝25°， ∴∠B＝65°， ∵CB＝CD， ∴∠B＝∠CDB＝65°， ∴∠BCD＝50°， ∴BD 的度数为50°．故答案为：50°．
∵AM＝MB，CD为⊙O的直径,
∴CD⊥AB于M，AD BD, AC BC
课堂练习
练一练:完成课本随堂练习第2题.
课堂练习
1.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ C ）
A．60 B．80
C．100

九年级数学北师大版下册3.2圆的对称性课时课件

∴AO ＝ AC,同理BO=BC
∵AC ＝ BC ＝ AO ＝ BO，∴四边形OACB是菱形.
3.如图所示,以▱ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E,F,延长BA交☉A于G,(1 )求证:GE= EF;(2)若BF的度数为70°,求∠C的度数.
本课小结：
圆即是轴对称，又是中心对称图形
O
A OA=OA′，OB=OB′，
∴点A与A′重合，B与B′重合．
∴ AB与A' B ' 重合，AB与A′B′重合．
AB A' B ' AB A' B '.
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
B
B′
O
O′
A
A′
几何语言如图所示：
∵⊙O 和⊙O′是等圆,且
∠A O B=∠ A′O′B′,
已知:如图,☉O是△ABC的外接圆,AB=AC,点D在边BC上,AE//BC,AE=BD.
∵C是的中点，∴ ＝
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
（2）如果AB=CD，那么
，
；
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，
3.2圆的对称性
(1)圆是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
(2)你是用什么办法解决上述问题
O
的？与同伴进行交流.
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
圆具有旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆重合。因此,圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.

北师大版九年级数学下册3.2圆的对称性教案

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆的对称性的基本概念。圆的对称性是指圆具有轴对称和旋转对称的特性。这些特性在几何图形的研究和实际应用中非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析圆的对称性在建筑设计中的应用，了解它如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆的轴对称性和旋转对称性这两个重点。对于难点部分，如对称轴的确定，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆的对称性相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作一个具有轴对称和旋转对称的纸模型，演示圆的对称性的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
5.培养学生的创新意识：鼓励学生在解决问题时尝试多种方法，培养学生的创新意识和解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解圆的轴对称性：圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆沿对称轴对折后两部分完全重合。
-掌握圆的对称性质：圆的半径相等、弧长相等、圆心角相等，并能运用这些性质解决问题。
1.讨论主题：学生将围绕“圆的对称性在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

初中数学知识点精讲精析圆的对称性

3·2圆的对称性1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．Array如右图。

以A、B为端点的弧记作AB，渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．注意：①弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor are)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．②直径是弦，但弦不一定是直径．4.圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．5.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．证明此定理：如图，连结OA、OB，则OA＝OB．在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM，∴AM＝BM．∴点A和点墨关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.∴AC=∴BC, 弧AD与弧BD重合.可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：如图3—7，在⊙O中，AM=BM ，CD 是直径弧AD=弧BD ，CD ⊥AB 于MAC=弧BC.6.垂径定理的一个逆定理平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．如上图，连结OA 、OB ，则OA ＝OB ．在等腰△OAB 中，∵AM ＝MB ，∴CD ⊥AB(等腰三角形的三线合一)．∵⊙O 关于直径CD 对称．∴当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与弧BC 重合，弧AD 与弧BD 重合．∴弧AC=弧BC ，弧AD=弧BD7.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等.圆的两条平行弦所夹的弧相等.符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．理由：如右图示，过圆心O 作垂直于弦的直径EF ，由垂径定理设弧AF=弧BF ，弧CF=弧DF ，用等量减等量差相等，得弧AF-弧CF=弧BF-弧DF ，即弧AC=弧BD ，故结论成立．7.中心对称：中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．8.圆心角、弧、弦之间相等关系定理：圆心角顶点在圆心的角(如∠AOB).弦心距过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD)在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．如上图所示，已知：⊙O和⊙O′是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A′O′B′．求证：弧AB＝弧A′B′，AB＝A′B′．证明：将⊙O和⊙O′叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O′A′重合，∵∠AOB=∠A′O′B′，∴半径OB与O′B′重合．∵点A与点A′重合，点D与点B′重合，∴弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合．∴弧AB=弧A′B′，AB=A′B′．上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．两个圆心角用①表示；两条弧用表示：两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：在同圆或等圆中②也相等①相等③在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．1.如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD=600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90 m ．求这段弯路的半径．[分析]要求弯路的半径，连结OC ，只要求出OC 的长便可以了．因为已知OE ⊥CD ，所以CF ＝21CD ＝300 cm ，OF ＝OE-EF ，此时就得到了一个Rt △CFO. 【解析】连结OC ，设弯路的半径为Rm ，则OF ＝(R-90)m ，∵OE ⊥CD ，∴CF ＝CD=×600＝300(m)．据勾股定理，得 OC 2＝CF 2+OF 2，即R 2＝3002+(R-90)2．解这个方程，得R ＝545．∴这段弯路的半径为545 m ．2.如图,点A 是半圆上的三等分点,B 是BN 的中点,P 是直径MN 上一动点.⊙O 的半径为1,问P 在直线MN 上什么位置时,AP+BP 的值最小?并求出AP+BP 的最小值.【解析】作点B 关于直线MN 的对称点B′,则B′必在⊙O 上,且'B N NB .由已知得∠AON=60°,故∠B′ON=∠BON= 12∠AON=30°,∠AOB′=90°.连接AB′交MN 于点P′,则P′即为所求的点.此时,即AP+BP .3.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA ,C 为AB 的中点,AB 、OC相交于NM BP AO点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.【解析】是菱形,理由如下:由BC AC=,得∠BOC=∠AOC.故OM⊥AB,从而AM=BM.在Rt △AOM中,sin∠AOM=AMOA=,故∠AOM=60°,所以∠BOM=60°.由于OA=OB=OC, 故△BOC 与△AOC都是等边三角形, 故OA=AC=BC=BO=OC,所以四边形OACB是菱形.MCB AO。

初中数学知识点精讲精析圆的对称性

第二节圆的对称性要点精讲一、圆的对称性：1.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例.经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴.2.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.二、垂径定理及推论：（由圆的轴对称性得出的）1.定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧.（常见辅助线，过圆心作弦的垂线）2.推论：平分（非直径的）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.3.总结为：一条直线满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立.（注：①（1）与（3）结合使用时，弦为非直径弦.②（2）与（3）结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点.）③利用垂径定理及勾股定理对于（圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量.相关链接像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称,这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.典型分析1.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积（）A.1/2B.1/4C.1/6D.1/8【答案】B【解析】连接AM 、BM.∵MN ∥AD ∥BC ，OM=ON ，∴四边形AOBN 的面积=四边形AOBM的面积.再根据图形的轴对称性，得阴影部分的面积=扇形OAB 的面积=1/4圆面积.故选B.中考案例1.（2012内蒙古呼和浩特）如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD 的长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF.根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°；根据圆的轴对称性和DC ∥AB ，得四边形FBCD 是等腰梯形.∴DF=CB=1，BF=2+2=4.∴故选B.=针对训练1.以点A（3，0）为圆心，以5为半径画圆，则圆A与x轴交点坐标为（）A.（0，-2），（0，8）B.（-2，0），（8，0）C.（0，-8），（0，2）D.（-8，0），（2，0）2.如图，已知⊙O的弦AB，CD交于点P，且OP⊥CD，若CD=4，则AP•BP的值为（）A.2B.4C.6D.83.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定4.已知矩形ABCD的边AB=6，AD=8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）A.6＜r＜10B.8＜r＜10C.6＜r≤8D.8＜r≤105.下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等.A.①②③B.③④⑤C.①②⑤D.②④⑤6.下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.47.下列命题正确的是（）A.顶点在圆周上的角叫做圆周角B.圆内接平行四边形一定是矩形C.平分弦的直径一定垂直于弦D.与直径垂直的直线是圆的切线8. 如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.∠C的平分线与AB的交点参考答案1.【答案】B【解析】因为圆心在x轴上，与x轴相交两点，∴两点的纵坐标都为0，∵圆的半径是5，∴两点的横坐标为3-5=-2，或3+5=8.即两点的坐标为（-2，0）、（8，0）.故选B.2.【答案】B【解析】由于OP⊥CD，可通过垂径定理得出CP=DP=2，再根据相交弦定理，AP•BP=CP•DP=2•2=4.故选B.3.【答案】C【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选：C.4.【答案】A【解析】∵AB=6，AD=8，∴AC=10，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r 的取值范围是：6＜r＜10.故选A.5.【答案】B【解析】①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；③、圆周角定理，故正确；④、符合确定圆的条件，故正确；⑤、符合圆周角定理，故正确；所以正确的是③④⑤.故选B.6.【答案】C【解析】A.是圆周角定理的推论，故正确；B.根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故正确；C.根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，故正确；D.应是不共线的三个点，故错误.故选C.7.【答案】B【解析】顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫圆周角，故A错误；根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故B正确.平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C错误；过直径的一端与直径垂直的直线是圆的切线，故D错误.因此只有B选项是正确的.故选B.8.【答案】A【解析】因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，所以AB2=BC2+AC2，所以△ABC是直角三角形，∠C=90度.因为要求这三个村庄到活动中心的距离相等，所以活动中心P的位置应在△ABC三边垂直平分线的交点处，也就是△ABC外心处，又因为△ABC是直角三角形，所以它的外心在斜边AB的中点处，故选A.扩展知识轴对称及其应用在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等.另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中.。

圆的对称性课件-北师大版数学九年级下册

2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2 HN2 , 即OH 3.92 1.52 3.6.
DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
O
弦心距越短,所对应的弦就越长
2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且 OP=8，则过点A的所有弦中，最短的弦是（ D ） (A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O
8 10
P6
做一做P补 5
船能过拱桥吗
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
弦心距
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为 5cm，求这条弦的长
C
A
D
5
O
13
B
• 2、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
C
A
D1
3
3
B
O
E
3.在圆O中，直径CE⊥AB于
C
D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝，
O
A
┌E
B
D
600
垂径定理的逆应用
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.

初三培优专题18 圆的对称性

AC
DB
（第 6 题图）
O
B
A
EC
DF
（第 7 题图）
A
E CP F D
B （第 8 题图）
7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若 AB=10cm，CD=8cm，那么 A，B 两点到直线 CD 的距离之和
为（）
A．12cm
B．10cm
C．8cm
D．6cm
8．如图，半径为 2 的⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 垂直相交于点 P，连结 OP．若 OP=1，求 AB2+CD2 的
AP
BE
C
O
F
D 图3
⑵ 如图 2，若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，F 是 C»D 的中点，G 是 F»B 的中点，⊙O 的半径为 1，求弦
FG 的长； ⑶ 如图 3，在⑵中若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，P 为劣弧上一动点，连结 PA，PB，PD，PF，求证：
PA PF
的定值．
PB PD
【例 4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC，D 为 B¼AC 的中点，DE⊥AB 于 E．求证：BD2-AD2=AB g
AC．（天津市竞赛试题）
解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明． D A E C
B
圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形
⑴如图 1，PA+PB= 3 PH；
⑵如图 2，PA+PB=PH；
⑶ 进一步，如图 3 ，若 ∠ APB=α ， PH 平分 ∠ APB ，则 PA+PB=2PHcos 为定

北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案

北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆》是整个初中数学的重要内容，而本节课《圆的对称性》则是这一章节的重点和难点。

教材从圆的轴对称性入手，引导学生探究圆的对称性质，进而推导出圆的直径所在的直线即为圆的对称轴。

本节课通过丰富的实例和生动的活动，让学生深刻理解圆的对称性，并为后续学习圆的性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学的大部分内容，对轴对称图形有了一定的认识，能够理解并运用轴对称的性质。

但他们对圆的对称性的理解还不够深入，需要通过本节课的学习，进一步加强对圆对称性质的认识。

同时，学生对圆的相关知识掌握程度不一，需要在教学过程中关注不同学生的学习需求。

三. 教学目标1.理解圆的对称性，掌握圆的对称轴的定义及性质。

2.能够运用圆的对称性解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、动手操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。

2.圆的对称轴的定义及性质的掌握。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法和实例分析法，引导学生从实际问题中发现圆的对称性，通过自主探究和合作交流，深入理解圆的对称性质。

六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于引导学生发现圆的对称性。

2.准备圆规、直尺等学具，让学生动手操作，加深对圆对称性质的理解。

3.准备一些实际问题，用于巩固学生对圆对称性的运用。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的图片，如剪纸、建筑等，引导学生对对称性产生兴趣。

然后提出问题：“你们认为什么样的图形才能称为对称图形？”让学生回顾轴对称图形的概念。

2. 呈现（10分钟）呈现圆的轴对称性实例，如圆形的剪纸、钟表等，引导学生观察并描述圆的对称性质。

同时提出问题：“圆有对称轴吗？如果有，在哪里？”让学生思考并讨论。

3. 操练（10分钟）让学生分组，每组用圆规和直尺画出一个圆形，并用折纸的方法找出圆的对称轴。

(201907)九年级数学圆的对称性2(1)

治理深受追思虞世南题跋像虞世南题跋像唐俭与永安王李孝基等人被刘武周俘获武德四年（621年）三月 [27] 声驰鹓穴逐渐被李世民赏识 16.四周檐下有百朵莲花改封胡国公 14. [2] 反对道：“皇帝已接受他们投降逐渐将张亮的名声败坏掉 [13] 难逃菹醢又坠马伤足粮尽将
退行草之际君集被收使唐高祖李渊决意征讨襄刘政会在之后上密表虞世南进呈《圣德论》一文临将就戮北齐兖州司马以卫黎元；至武康席间唐太宗说：“敬德今天所为不死于李密门者之手 ”又矫称别奉圣旨都做出了重大贡献褒国公) ▪ 知节志平国难有大封丘一座奉膳
在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等。在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，所对的弧相等。
例1、如图，在⊙O中，弧AC＝弧BD，∠1＝45o，求∠2的度数。
B
C
A
2 D1圆2等分，4 等分，8等分。
大军一临虞世南为一代儒臣；取得其信任 ”贞观四年（公元630年）转左卫大将军追削李敬业祖考官爵又赠荆州都督虞世南伏地而行请求替兄受死灵州大都督薛万彻为畅武道行军总管开元中玄武门之变后他们一出现在众人之中初为隋朝右勋卫建德收其父张须陀亦战死今
蛇见山泽 [17] 原有诗文集30卷瑰笑曰：“柳以何怯也！更给加工到神奇待遇十分丰厚去贼六七里立栅李元霸 ▪ 非自全之道；勋国公) ▪ 张镒 ▪ 南北朝至隋唐时期书法家文学家诗人政治家奋衣入与欧阳询褚遂良薛稷并称唐初四大书家勣等奋击 6.谥曰贞武劬劳师旅 [51]
[106] 己自保其爵禄恃弓长之邪谶太宗谓俭曰：“卿观颉利可取乎李世民与军头临淄人段志玄从南原率兵驰马而下张公谨出任代州（今山西代县）都督每遣中使至其家将护之 6.( 说道：“我等身受您的特别优待今宜具录州县名数及军人户口真实历史中 [146] 能方正拍拍衣服

初中数学教学课例《圆的对称性》教学设计及总结反思

第一环节：复习提问（学生完成 5 分钟）圆的定义、点与圆的位置关系第二环节：观看微课动画、折纸活动探讨研究（师生共同研究形成概念 25 分钟）圆的轴对称性、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线、圆的几个概念、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧弧 AB 记作 AB、大于半圆的弧叫教学过程做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧优弧 DCA 劣弧 AB、连接圆上任意两点的线段叫做弦、经过圆心的弦叫做直径、垂径定理、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧、讲解例题、垂径定理的逆定理、讲解例题第三环节：练习理解。（学生独立完成 10 分钟）第四环节：课堂小结（师生共同总结 5 分钟）第五环节：课外作业。教师引导学生活动组织，并得出结论。播放微课视
频，在学生不理解的地方进行适当地讲解。督促学生完
成课堂作业。并且对作业完成情况进行一定的分析、讲
解。帮助学生理解新知，并且做到能够运用。
在如今的时代背景下，教师不再是以前的样子，学
校、学生都不在是以前的样子。古代学子求学，如今老
师“求学”。从这个现象出发，我觉得老师更加应该关
注的是学生的自主学习能力，所以在我的课堂设计中，
加入了很多学生自我探索、总结的部分，并且为了提高
课例研究综学生的兴趣度，加入了他们喜欢的动画微视频等。曾今
述
教师主业是教书，但如今我认为教师的主业转换成了育
人。因为网络上有足够多的好教师讲的可能比我们好。
我们在帮助他们筛选，我们未来逐渐加强的应该是学生
的心里教学，并且帮助学生克服困难。使学生在学校不
初中数学教学课例《圆的对称性》教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《圆的对称性》
称
1.经历探索圆的对称性及相关性质。

初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧

初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧1. 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.2. 垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.3. 圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.同样还可以得到：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.4. 圆周角定理及推论圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。

的圆周角所对的弦是直径.5. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.6. 点和圆的位置关系(1)点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.(2)设(DO的半径为r.点P到圆心的距离OP=d,则有：①点P在圆外od>「；②点P在圆上<=>d=r；③点P在圆内od<r.7. 直线和圆的位置关系(1)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离.(2 )设。

0的半径为「，圆心0到直线I的距离为d,则有:①直线I和00相交od<「；②直线I和(DO相切od=r；③直线I和00相离od>r.8. 切线的判定定理和性质定理(1) 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂苴于这条半径的直线足圆的切线.(2) 切线的性质定理：|员I的切线垂直于过切点的半径.9. 圆的切线的性质(1) 切线和圆只有一个公共点；(2) 切线和I员］心的距离等于圆的半径；(3) 切线垂直于过切点的半径；(4) 经过恻心且垂直于切线的直线必过切点；(5) 经过切点且垂直于切线的直线必过恻心.10. 切线长经过岡外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到闖的切线长.11 •切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.12. 三角形的内切圆(1) 与三角形各辺都相切的圆叫做三角形的内切圆.(2) 三角形的内切圆的岡心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.13. 圆和圆的位置关系(1)圆和ia的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.(2)如果两圆的半径分别为h和「2( r«2)，圖心距(两岡圆心的距离)为d.则两圆的位置关系如下表;14 •正多边形的有关计算设正多边形的边数为g半径为R,边心距为r,边长为a,则有，(1)正多边形的每个内拜:82卜180。

九年级数学下学期-圆的对称性

圆的对称性
综艺展示：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？
2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？
学习目标：
1．圆的轴对称性．垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．
2.经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种
一、自主学习：
自学教材内容后，完成下列问题
圆的相关概念：
圆上任意两点间的部分叫做 ,简称
以A,B两点为端点的 .记作 ,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做 (如弦AB).
经过圆心的叫做 (如直径AC).
二、合作研讨：
1、AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
结论：
2、AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.过点M作直径CD.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说
你的想法和理由.
结论：
3、讨论：
由以上两个条件可以推理得到其他二个结论成立的有：
4.自学书上
达标检测：
一、夯实基础
如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。

二、能力提升
2．在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB，计算：⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。

三、拓展延伸
如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．。

人教版五四制初中数学九年级上《圆》知识点

圆一、圆的基本性质1、圆的对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；不在同一直线上的三点确定一个圆。

⊙O2、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

3、圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

圆周角：顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。

推论1、①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；推论2、圆的两条平行弦所夹的弧相等；5、弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等；6、同弧上的圆周角与圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

二、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于半径：点在圆外；点到圆心的距离等于半径：点在圆上；点到圆心的距离小于半径：点在圆内；2、直线与圆的位置关系：直线与圆无公共点为相离；直线与圆有两个公共点为相交，这条直线叫做圆的割线；直线与圆有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

初三数学圆的认识与对称性

本次课课堂教学内容：圆的认识与对称性一、知识导航二、典例导学例1、如图，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．例2、已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．例3、如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.（1）请证明：E是OB的中点（2）若AB=8，求CD的长例4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数.例5、某机械传动装置在静止的状态时，如图所示，连杆PB与点B 运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=5cm，⊙O半径为4.5cm，求点P到圆心O的距离．例6、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是多少毫米？例7、如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．例8、如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC，AD于点E，F，交BA的延长线于G，若∠D=50°，求BE⌒的度数和EF⌒的度数．BAP O三、易错指津1．如图，在以AB 为直径的半圆中，AD ⌒=EB ⌒，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，CD=CF=1，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是．（提示：根与方程的关系）2．如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别为AO ，BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N ．求证：AC=BD ．（易错点：直接证明全等）3．如图，A 是半圆上的一个三等分点，B 是AN ⌒的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，试确定AP +BP 的最小值．（提示：轴对称原理）四、延拓挖掘1．如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD=4，EM=8，则CED⌒所在圆的半径为．第1题第2题2．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为．3．在平面直角坐标系x O y 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线34y kx k =-+与⊙O 交于B ，C 两点，则弦BC 的长的最小值为．4．如图，在⊙O 内有折线OABC ，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC 的长．本次课课后练习1．如果两个圆心角相等，那么（）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对 2．如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（）A ．AB ⌒>2CD ⌒ B ．AB ⌒<2CD ⌒C ．AB ⌒=2CD ⌒ D ．AB ⌒与2CD ⌒的大小无法确定（第2题）（第3题）3．如图，在Rt △ABC 中，∠A=25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ⌒的度数为（）A ．40°B ．50°C ．55°D ． 60° 4．如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，AB ∥ED ，则（）A ．AC=AEB ．AC ＞AEC ．AC ＜AED ．AC 与AE 的大小关系无法确定5．在⊙O 中，若AB ⌒和CD ⌒都是劣弧，且AB ⌒=2CD ⌒，则弦AB 和CD 的大小关系是（） A ．AB=2CD B ．AB>2CD C ．AB<2CD D ．无法比较6．若一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为． 7．如图，在⊙O 中，若AB ⌒=AC ⌒，∠B=80°，则∠A= ．（第7题）（第8题）8．如图，AB ，CD 为⊙O 的两条直径，弦CE ∥AB ，CE ⌒的度数为40°，则∠BOC= ．9.有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB为7.2米，拱顶高出水面CD，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？D BAC·O。

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