离散数学的定义精简版
离散数学
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
2019/3/2
离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
2019/3/2 离散数学 4
满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
考试必备离散数学概念总结
1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式2.1、若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2)2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,⋯,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j<k<i), 则称此序列是由S导出Cn的消解序列. 当Cn=λ时, 称此序列是S的一个否证.3.1、设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1∧A2∧…∧Ak为假，或当A1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.4.1、个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域(论域)——个体变项的取值范围4.2、谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：如, F(a)：a是人谓词变项：如, F(x)：x具有性质F一元谓词(n=1)——表示性质多元谓词(n≥2)——表示事物之间的关系0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项4.3、设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号：非逻辑符号（个体常项符号、函数符号、谓词符号）和逻辑符号（个体变项符号、量词符号、联结词符号、括号与逗号）4.4、设R(x1, x2, …, xn)是L的任意n元谓词，t1, t2, …, tn 是L的任意n个项，则称R(t1,t2, …, tn)是L的原子公式.4.5、在公式∀xA 和∃xA 中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.4.6、若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.6.1、A⊆B⇔∀x ( x∈A →x∈B )6.2、A = B⇔A⊆B∧B⊆A6.3、A⊂B⇔A⊆B∧A≠BA⊈B⇔∃x ( x∈A ∧x∉B )6.4、幂集：P(A)={ x | x ⊆A } （一定包含空集）6.5、并A⋃B = {x | x∈A∨x∈B}交A⋂B = {x | x∈A∧x∈B}相对补A-B = {x | x∈A∧x∉B}对称差A⊕B = (A-B)⋃(B-A)绝对补~A = E-A6.6、广义并⋃A = { x | ∃z ( z∈A∧x∈z )}广义交⋂A= { x | ∀z ( z∈A →x∈z )}7.1、设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A⨯B，且A⨯B = {<x,y>| x∈A∧y∈B}.7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.（计数：|A|=n, |A×A|=n^2, 所以A上有2^(n^2)个不同的二元关系。
离散数学1
离散数学离散数学是数学的一个分支，它研究离散结构和离散对象。
与连续数学不同，离散数学的对象是不连续的，例如整数、图、组合和逻辑等。
离散数学在计算机科学、信息理论、密码学等领域有着广泛的应用。
本文将对离散数学的基本概念和应用领域进行简要介绍。
基本概念集合论集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质和运算。
集合是由一些确定的、不同的元素所构成的整体。
集合论中的基本概念包括集合、元素、子集、并集、交集、差集和补集等。
数理逻辑数理逻辑是研究命题、谓词、推理和证明的形式化方法。
它主要包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑则进一步研究谓词和个体之间的关系。
代数结构代数结构是离散数学的一个重要组成部分，它研究集合上的元素之间的运算关系。
常见的代数结构有群、环、域等。
图论图论研究图的性质和应用。
图是由顶点和边组成的，它可以表示各种网络结构。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学组合数学研究有限或可数无限集合的组合性质。
它主要包括排列、组合、二项式系数、生成函数等内容。
应用领域计算机科学离散数学在计算机科学领域有着广泛的应用，如数据结构、算法分析、计算机网络等。
例如，图论可以用于解决网络路由问题，组合数学可以用于计算排列组合等。
信息理论离散数学在信息理论中也有重要应用，如编码理论、信息熵等。
编码理论是研究如何将信息有效地传输和存储的理论，信息熵则是衡量信息量的一种方法。
密码学离散数学在密码学中也有着重要的应用，如公钥密码体制、数字签名等。
公钥密码体制是一种非对称加密技术，它使用一对密钥进行加密和解密操作。
数字签名则是一种验证消息完整性和发送者身份的技术。
总结：离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学分支，它在计算机科学、信息理论和密码学等领域有着广泛的应用。
通过学习离散数学，我们可以更好地理解和应用这些领域的知识和技术。
离散数学定义列表
A.定义1.简单命题/原子命题、复合命题2.定义1.1：否定式、否定联结词3.定义1.2：合取式、合取联结词4.定义1.3：析取式、析取联结词定义1.4：蕴含式、前件、后件、蕴含联结词；规定19.4、20.45.定义1.5：等价式、等价联结词；规定6.联结词的定义（真值表）表1.1、优先级7.命题常项、命题变项（不是命题）、合式公式8.定义1.6：原子命题公式、公式、子公式9.定义1.7：公式层次10.定义1.8：赋值/解释、成真赋值、成假赋值11.定义1..9：真值表12.定义1..10：重言式/永真式、矛盾式/永假式、可满足式13.哑元************************重点：命题逻辑等值演算***************15.等值演算、置换规则4.116.定义2.2：文字、简单析取式、简单合取式17.定义2.3：析取范式、合取范式、范式18.定义2.4：极小项、极大项定义2.5：主析取范式、主合取范式********************************一阶逻辑**********************19.个体词、个体常项、个体变项、个体域/论域、全总个体域20.谓词、谓词常项、谓词变项、n元谓词、0元谓词量词、全称量词、存在量词全称蕴含、存在合取P71 5.3********************************集合代数**********************21.定义6.1：子集、包含22.定义6.2：相等23.定义6.3：真子集定义6.4：空集P139 124.n元集、m元子集、（单元集）25.定义6.5：幂集公式：26.定义6.6：全集27.定义6.7:并集、交集、相对补集、不交28.定义6.8：对称差集29.定义6.9：绝对补集30.定义6.10：广义并31.定义6.11：广义交幂等律、结合律、交换律、分配律、同一律、零律、排中律、矛盾律、吸收律、德摩根律、双重否定律eg6.8,P108 36****************************重点：二元关系***********************32.定义7.1：有序对/序偶33.定义7.2：笛卡尔积性质P11134.定义7.3：二元关系/关系P139 735.定义7.4：从A到B的二元关系、A上的二元关系、空关系36.定义7.5：A上的全域关系（E）、恒等关系（I）、小于等于关系（L）、整除关系（D）、包含关系（R）37.关系矩阵（x行，y列）、关系图38.定义7.6：定义域、值域、域39.定义7.7：逆关系40.定义7.8：右复合（左复合）41.定义7.9：R在A上的限制、A在R下的像42.定义7.10：关系的n次幂定义7.11：自反、反自反定义7.12：对称、反对称定义7.13：传递43.定义7.15：等价关系（性质）P142 32(4)、4144.定义7.16：等价类45.定义7.17：商集46.定义7.18：划分、划分块 P134 eg7.1847.定义7.19：偏序关系（性质）48.定义7.20：小于、可比49.定义7.21：全序关系/线序关系50.定义7.22：偏序集P13551.定义7.23：偏序集中顶点的覆盖关系（为画哈斯图）P143 43（2）***************************函数*******************************53.定义8.1：函数54.定义8.2：函数相等55.定义8.3：从A到B的函数P171 6（8）（9）56.定义8.4：从A到B的函数的集合B A57.定义8.5：A1在ƒ下的像、函数的像、完全原像定义8.6：满射、单射、双射/一一映射P173 2558.定义8.7: 常函数、恒等函数、单调递增、单调递减、严格单调递减、特征函数、自然映射59.反函数（双射）*************************代数系统*****************************60.定义9.2：一元运算定义9.3：可交换/交换律定义9.4：可结合/结合律定义9.5：幂等律、幂等元61.定义9.6：可分配/分配律62.定义9.7：吸收律63.定义9.8：左单位元（右单位元）、单位元/幺元64.定义9.9：左零元（右零元）65.定义9.10:左逆元（右逆元）、逆元、可逆66.定义9.11：消去律、左消去律（右消去律）注意P183 eg9.667.定义9.12：代数系统/代数、特异元素/代数常数68.定义9.13：具有相同的构成成分/同类型69.定义9.14：子代数系统/子代数、平凡的子代数、真子代数（函数对子集封闭）70.定义9.15：积代数、因子代数************************************群与环***************************************半群与群都是具有一个二元运算的代数系统71.定义 10.1：半群（）、幺半群/独异点（）、群（）72.有理数加群、整数加群、实数加群、复数加群、四元群、子代数、语言73.定义 10.2：有限群、无限群、平凡群、交换群/Abel群74.定义 10.3：n次幂75.定义 10.4：（元素的）阶/周期、k阶元、无限阶元***********************************格与布尔代数**********************************格与布尔代数是具有两个二元运算的代数系统定义11.1：格（偏序集定义的）P22176.幂集格、子群格77.定义11.2：对偶命题、格的对偶原理78.定义11.3：格（代数系统定义的）79.定义11.4：子格80.定义11.5：分配格81.定义11.6：全上界、全下界82.定义11.7：有界格83.定义11.8：补元84.定义11.9：有补元定义11.10：布尔格/布尔代数（有补分配格）85.定义11.11：布尔代数（代数系统定义）86.定义11.12：原子**********************************14.图的基本概念********************************87.无序积A&B88.定义14.1：无向图、顶点集、顶点/结点、边集、无向边/边89.定义14.2：有向图、无向边/边90.（P294）图、阶、n阶图；零图、平凡图；空图；标定图、非标定图；基图；端点、关联、关联次数、环、相邻；始点、终点、孤立点；邻域、闭邻域、关联集、后继元集、先驱元集91.定义14.3：平行边、重数、多重图、简单图92.定义14.4：度数/度、出度、入度、最大度、最小度、悬挂顶点、悬挂边、偶度（奇度）顶点93.度数列、可图化的、可简单图化的，出度列、入度列94.定义14.6：n阶无向完全图/n阶完全图、n阶有向完全图、n阶竞赛图95.定义14.7：k-正则图96.定义14.8：母图、真子图、生成子图、导出的子图97.定义14.10：删除边e、删除E’、删除顶点v、删除V‘、边的收缩、新加边删点边不留，删边点还在98.定义14.11：通路、始点、终点、长度、回路、简单通路、简单回路、初级通路/路径、初级回路/圈、奇圈、偶圈、复杂通路、复杂回路99.定义14.12:连通、连通图、非连通图100.定义14.13：连通分支、连通分支数101.定义14.14：短程线、距离102.定义14.15：点割集、割点103.定义14.16：边割集/割集、割边/桥104.定义14.21：弱连通图/连通图、单向连通图、强连通图105.定义14.22：二部图/二分图/偶图，完全二部图定义14.23：无向图关联次数、关联矩阵定义14.24：有向图关联矩阵定义14.25：邻接矩阵定义14.26可达矩阵**********************************15.欧拉图与哈密顿图****************************106.定义15.1：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图107.定义15.2：哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密度图**********************************16.树*****************************************108.定义16.1：无向树/树、森林、平凡树、树叶、分支点109.定义16.2：生成树、树枝、弦、余树110.定义16.:5：权、最小生成树111.避圈法（Kruskal算法）B.定理1.定理2.1：简单析取式是重言式的充要条件；简单合取式是矛盾式的充要条件2.定理2.2：析取范式（矛盾式）、合取范式（重言式）3.定理2.3：范式存在定理4.定理2.4：极小项和极大项关系5.定理2.5：主析、主合存在并唯一6.定理6.1：子集是一切集合的子集推论：空集是唯一的7.定理7.1：逆关系性质8.定理7.2：复合结合律、逆9.定理7.3：关系与恒等关系复合10.定理7.4：复合分配律注意交11.定理7.5：限制和像的分配律注意像的交12.定理7.6：有穷集上只有又穷多个不同的二元关系13.定理7.7：关系的幂性质14.定理7.8：有穷集A上的关系R的幂序列R0，R1，R2等是一个呈现周期性变化的序列15.定理7.9：五大性质16.定理7.14：等价关系的性质17.定理8.1：函数的复合（关系的右复合）推论1：函数复合结合律推论2：ƒ：A→B，g：B→C，则ƒ。
离散的数学定义
离散的数学定义
离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构之间的关系，重点关注离散的整数值、集合和图论等。
以下是离散数学的一些主要概念和定义：
1. 集合论：
- 集合是离散数学中最基本的概念之一，表示一组独立对象的总体。
集合论研究集合之间的关系、运算和性质。
2. 逻辑：
- 逻辑是研究命题和推理的学科，离散数学中的逻辑主要包括命题逻辑和谓词逻辑，用于研究命题的真假和推理规则。
3. 图论：
- 图论是离散数学的一个重要分支，研究图（vertices 和edges组成的结构）之间的关系和性质，包括图的遍历、连通性、最短路径等问题。
4. 离散结构：
- 离散结构指的是离散对象之间的关系和结构，如排列组合、树、图等。
离散数学研究这些结构的性质和应用。
5. 组合数学：
- 组合数学是离散数学的一个重要分支，研究离散对象的排列组合方式，包括排列、组合、二项式定理等。
6. 概率论：
- 离散概率论研究离散随机变量的概率分布和性质，包
括概率空间、随机变量、概率分布等。
7. 离散数学的应用：
- 离散数学在计算机科学、信息技术、密码学、通信等领域有着广泛的应用，如算法设计、数据结构、网络设计等。
总的来说，离散数学是研究离散对象和结构的数学分支，涉及集合论、逻辑、图论、组合数学等内容，在计算机科学和信息技术等领域具有重要的理论和实际应用。
离散数学部分概念和公式总结(精简版)
第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
离散数学 数学学科
离散数学数学学科
摘要：
一、离散数学的定义
二、离散数学与数学学科的关系
三、离散数学的主要内容
四、离散数学的应用领域
五、离散数学的重要性
正文：
离散数学是数学学科的一个重要分支，主要研究离散对象的数学理论和方法。
与连续数学相比，离散数学关注的是离散结构，如集合、图论、组合数学等。
离散数学在计算机科学、信息理论、优化理论等领域具有广泛的应用。
离散数学与数学学科的关系密切，为其他数学分支提供了理论基础。
例如，图论是离散数学的一个核心领域，为网络科学、运筹学等学科提供了理论支撑。
集合论则为数学的逻辑基础奠定了基石。
离散数学的主要内容包括集合论、图论、组合数学、逻辑与布尔代数等。
集合论研究集合的基本概念和性质，如集合的表示、运算和关系等。
图论则是研究图的性质及其应用，涉及图的基本概念、生成函数和最短路径等问题。
组合数学研究离散结构的组合与排列问题，如计数原理、抽屉原理等。
逻辑与布尔代数则研究逻辑运算和电路设计等问题。
离散数学的应用领域广泛，与计算机科学、信息理论、优化理论等学科密切相关。
例如，在计算机科学中，离散数学被用于研究算法、数据结构、计算
机网络等问题。
在信息理论中，离散数学有助于分析信号处理、数据压缩和通信系统等问题。
在优化理论中，离散数学为解决最优化问题提供了方法。
离散数学的重要性在于为解决实际问题提供了理论工具。
随着计算机科学、信息技术的飞速发展，离散数学在各个领域中的应用日益广泛。
大学数学离散数学
大学数学离散数学离散数学是一门研究离散对象及其结构、性质和关系的数学学科。
离散数学在计算机科学、信息科学、工程学以及许多其他领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍离散数学的基本概念、主要内容和应用领域。
一、概述离散数学是数学中的一个分支，研究的对象是离散的、离散化的数学结构。
它关注的是非连续、离散的数学概念和算法，与连续数学不同，离散数学是离散化的、离散性质的研究。
离散数学的主要内容包括集合论、逻辑、关系、图论、代数结构和组合数学等。
二、集合论集合论是离散数学中的基石，它研究的是集合这一基本概念及其性质。
集合是指具有确定特征的对象的整体，集合论主要研究集合的运算、集合的关系、集合的划分等基本问题。
集合论的基本公理包括空集公理、对偶公理、包含公理等。
三、逻辑逻辑是研究正确推理和证明的数学学科，也是离散数学的重要组成部分。
逻辑分为命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑等不同的分支。
离散数学中的逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑，它们用于描述命题的真值和命题之间的关系。
四、关系关系是数学中的一种基本概念，描述了事物之间的联系和相互作用。
离散数学中的关系论主要研究二元关系和等价关系。
二元关系是指一个集合上的二元对组成的集合，它描述了两个元素之间的某种联系。
等价关系是一种满足自反性、对称性和传递性的二元关系，它将集合划分为不同的等价类。
五、图论图论是离散数学中的一门重要学科，研究图及其性质和应用。
图是由顶点和边组成的数学对象，它是描述许多实际问题的有效工具。
图论主要研究图的连通性、图的着色、最短路径、最小生成树等基本问题，并在网络、电路设计、运筹学等领域有广泛的应用。
六、代数结构代数结构是离散数学中的一个重要分支，研究的是集合上的运算和结构。
常见的代数结构包括群、环、域等，它们用于描述抽象代数系统的性质。
代数结构在计算机科学中有广泛的应用，例如密码学中的置换群、编码理论中的线性空间等。
七、组合数学组合数学是离散数学中的一门重要学科，研究离散对象的组合与排列问题。
自学考试：离散数学复习(一)
自学考试：离散数学复习(一)自学考试是一种能够让没有条件参加全日制学习的人继续学习的方式。
与传统的大学学习相比，它更为灵活和自由。
在自学考试中，离散数学是一门必修的科目，也是考试难点之一。
本文将从离散数学的定义、内容、复习方法以及注意事项等方面进行讲解。
一、离散数学的定义离散数学是研究数量的离散性质的数学分支学科，主要研究对象是离散的集合、函数、算法、逻辑、图论等。
它的研究对象并不是连续的，而是由一些个别的、离散的数量组成的。
二、离散数学的内容离散数学主要包括以下几个方面：1. 逻辑与集合论：又称数理逻辑，是离散数学的重要组成部分。
它主要涉及命题逻辑、谓词逻辑、逻辑推理等内容。
2. 离散数学的代数结构：主要包括半群、群、环、域等内容。
3. 布尔代数与逻辑设计：主要涉及布尔运算、代数基本定理、逻辑电路设计等方面。
4. 图论：涉及图的定义、图的类型、基本概念和定理、图的遍历等方面。
5. 计算机科学中的重要应用：涉及图论和逻辑设计等方面。
三、离散数学的复习方法1. 系统地复习课本，强调对每个概念和定理的理解和记忆。
2. 刻意练习，做大量的练习题，以此巩固知识点。
3. 找到与离散数学相关的书籍，进行阅读和学习，补充知识点。
4. 制定学习计划并严格执行，不断检查自己的学习进度。
四、注意事项1. 离散数学比较抽象，需要认真思考并理解其概念和定理。
2. 多做题，不要死记硬背，应该结合题目进行思考，理解知识点。
3. 有时间限制的考试需要注重时间管理，做题的时候应该合理分配时间。
4. 总结每次考试的弱点，找到自己的不足之处，并及时进行复习和巩固。
总之，离散数学是一门重要的学科，它具有广泛的应用领域，并且在计算机科学领域中具有重要地位。
对于自学考试的学生而言，掌握好离散数学的知识点是非常重要的。
希望本文对自学考试的离散数学复习有所帮助。
离散数学定义(必须背)
命题逻辑▪令狐采学▪(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：•(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；•(2) 一个关于D的函数集合F；•(3)一个关于D的关系集合R。
▪（逻辑连接词）定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
•若n =0，则称为0元函数。
▪（命题合式公式）定义：•(1).常元0和1是合式公式；•(2).命题变元是合式公式；•(3).若Q,R是合式公式，则(Q)、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R)是合式公式；•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪（生成公式）定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：•⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1,…,An是由S生成的公式，则FA1…An是由S生成的公式。
▪（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC (P)=0。
•如果公式A=B，则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1 B2，或A=B1 B2，或A=B1B2，或A=B1 B2，或A=B1 B2，或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域：研究对象的集合。
•解释：用论域的对象对应变元。
•结构：论域和解释称为结构。
•语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪（合式公式语义）设S是联结词的集合是{，，，，，}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= Q1，则v(Q)= v(Q1)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1) v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：•⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。
离散数学中的基本概念和原理概述
离散数学中的基本概念和原理概述离散数学是数学中一个重要的分支学科，它主要研究离散对象及其结构、性质和关系。
在计算机科学、信息技术等领域，离散数学具有重要的应用价值。
本文将对离散数学的基本概念和原理进行概述，并介绍其在实际应用中的意义。
1. 集合论在离散数学中，集合论是最基础的概念之一。
集合是指由确定的元素组成的整体，而元素即集合中的个体。
集合间可以进行并、交、差等操作，而对于集合中的元素，可以通过包含关系、等于关系等进行描述。
在实际应用中，集合论常被用于数据库的设计和查询、逻辑推理等领域。
2. 关系和图论关系是研究离散数学中的另一个基本概念。
关系可以描述元素之间的某种联系或者特定的性质。
图论则是研究图的结构、性质和算法的学科，图由节点和边组成，节点表示元素，边表示元素之间的关系。
关系和图论在计算机网络、社交网络、电路设计等领域有广泛的应用。
3. 逻辑和命题逻辑是离散数学中的重要分支，研究命题之间的关系和推理规则。
命题是对某个陈述的真假进行判断的语句，可以用真或假来表示，通过逻辑运算符如与、或、非等进行连接。
逻辑在计算机科学中有广泛的应用，例如布尔代数、编程语言的设计等。
4. 组合数学组合数学是研究离散结构中的组合问题的学科，主要研究排列、组合和选择等问题。
排列是指对一组元素进行有序排列，组合是指从一组元素中选择出若干个元素的集合，选择是指对一组元素中进行有序或无序的选择。
组合数学在密码学、图像压缩、排课等领域有着广泛的应用。
5. 图的连通性和树图的连通性研究的是图中节点之间是否存在某种路径使得它们可以相互到达。
连通性在网络设计、电路设计等领域有着重要的应用。
树是一种特殊的图，它没有回路且任意两个节点之间存在唯一的路径。
树在数据结构、优化算法等方面有着广泛的应用。
综上所述，离散数学中的基本概念和原理涵盖了集合论、关系和图论、逻辑和命题、组合数学以及图的连通性和树等多个方面。
这些概念和原理在计算机科学、信息技术等领域有着广泛的应用，为解决实际问题提供了数学工具和方法。
离散数学 概念
离散数学概念离散数学是一门研究离散结构的学科，其中的离散结构可以表示为离散对象或离散事件。
它是计算机科学的基础学科之一，在算法设计和系统分析中有着广泛的应用和深远的影响。
离散数学中的概念包括集合、关系、函数、图论、计数等。
1.集合集合是离散数学中最基础、最重要的概念之一。
集合是指具有某种共同特征的事物的总体，用括号{}括起来表示。
例如，一个集合A包含了元素a、b、c，则A={a,b,c}。
集合的基本运算包括：并集、交集、补集和差集。
并集指的是包含两个集合中所有元素的一个新集合，交集指的是两个集合中共有的元素构成的一个集合，补集则是指一个集合相对于另一个集合的所有不包含的元素构成的集合，差集则是指一个集合中除去另一个集合中共有的元素后所剩余的元素所构成的集合。
2.关系关系是指任意两个元素之间的一种有序的二元关系，用箭头表示，例如(x,y)表示x与y之间有一种特定关系。
关系可以是等于（=）、大于（>）、小于（<）等。
根据关系的定义，关系可以分为反对称、对称、传递等几种类型。
其中反对称关系是指如果(x,y) 且(y,x)，则x=y；对称关系是指如果(x,y) ，则(y,x)；而传递关系则是指如果(x,y)且(y,z)，则(x,z)。
3.函数函数是指一个集合中的每一个元素都对应于另一个集合中的唯一元素的一种映射关系。
函数通常用f(x)来表示，其中f为函数名称，x为变量名称。
例如，用f(x)=x^2表示一个函数，当x为2时，f(x)的值为4。
函数的性质包括：单调性、奇偶性、周期性等。
其中单调性是指函数在定义域内的增减情况；奇偶性则是指函数与自身的中心对称关系；周期性则是指函数图像的重复性。
4.图论图论是离散数学中最为重要和实用的一部分，它用数学语言对各种问题进行分析和解决，例如网络连接问题、旅行商问题等。
图由点和边组成，点表示对象，边表示对象之间的关系。
常用的图有有向图和无向图，有向图是指图中的边有一个方向，无向图则是指图中的边没有方向。
离散数学基础概念汇总
离散数学基础概念汇总离散数学是数学的一个分支领域，它研究离散化的数学对象和离散化的数学结构。
它与连续数学形成鲜明对比，涉及的内容包括集合论、图论、逻辑、数字逻辑、关系代数等。
在计算机科学、信息技术和其他领域中有广泛的应用。
一、集合论集合论是离散数学的基石之一，它研究集合及其元素之间的关系和操作。
以下是集合论中常见的基本概念：1. 集合：集合是一组具有共同特征的对象的总体。
例如，{1, 2, 3}就是一个集合，其中包含了元素1、2和3。
2. 元素：集合中的个体被称为元素。
在上述例子中，1、2和3是集合的元素。
3. 包含关系：如果一个集合的所有元素都同时也是另一个集合的元素，则称前者包含于后者。
用符号表示为A ⊆ B，读作“A包含于B”。
4. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集是包含了A和B中所有元素的集合。
用符号表示为A ∪ B。
5. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集是同时属于A和B的所有元素构成的集合。
用符号表示为A ∩ B。
6. 补集：给定一个集合A和它所在的全集U，除去A中所有元素后剩下的元素构成的集合称为A的补集。
用符号表示为A'。
二、图论图论是离散数学中的又一个重要分支，它研究图及其性质和应用。
以下是图论中常见的概念：1. 图：图由节点（顶点）和边组成。
节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
2. 顶点度：有向图中，顶点的度是指与该顶点相关联的边的数量。
无向图中，顶点的度是指与该顶点相连的边的数量。
3. 路径：路径是指图中一系列顶点和边的序列。
路径的长度是指路径中边的数量。
4. 连通图：在无向图中，若从任意一个顶点出发，都能到达图中的其他任意顶点，则称该图为连通图。
5. 强连通图：在有向图中，若从任意一个顶点出发，都能到达图中的其他任意顶点，并且逆向也成立，则称该图为强连通图。
三、逻辑逻辑是离散数学中研究命题、推理和证明的科学。
以下是逻辑中常见的概念：1. 命题：命题是陈述某个事实的句子，每个命题要么是真的，要么是假的。
离散数学教程——的基本概念
离散数学教程——的基本概念离散数学是一门研究离散的、不连续的数学结构和对象的学科。
它涉及了数理逻辑、集合论、图论、代数、组合数学等多个领域，其基本概念构成了离散数学的基础，下面将介绍其中的几个重要概念。
1.集合：集合是离散数学中最基本的概念之一、集合是由一些对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用大写字母表示，元素用小写字母表示，并用花括号括起来。
例如，{1,2,3}是一个包含了元素1、2和3的集合。
2.二元关系：二元关系是一种描述两个对象之间关系的数学概念。
通常用有序对来表示。
例如，对于集合A={1,2,3}和B={4,5,6}，我们可以定义一个二元关系R，其中每个有序对(x,y)表示x属于A，y属于B。
例如，(1,4)表示1和4之间存在这个关系。
3.图论：图论是研究图及其性质的数学分支。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的连接关系。
图可以分为有向图和无向图，有向图中边有方向，无向图中边没有方向。
图的顶点数和边数分别用，V，和，E，表示。
图的最短路径、连通性、最大流等是图论中常见的问题。
4.排列与组合：排列和组合是组合数学中的两个重要分支。
排列是指从n个元素中取出k个，按照一定顺序排列的方式。
组合是指从n个元素中取出k个，不考虑排列顺序的方式。
排列数和组合数可以用公式来计算，例如排列数的计算公式是P(n,k)=n!/(n-k)!，组合数的计算公式是C(n,k)=n!/((n-k)!*k!)。
5.布尔代数：布尔代数是对逻辑运算进行抽象和推广后所形成的一种代数系统。
它由逻辑与、或、非等运算符以及逻辑变量组成，可以表示和操作命题逻辑中的各种逻辑关系。
布尔代数在计算机科学中有广泛的应用，可以用于逻辑电路设计、布尔函数的表示与化简等。
以上是离散数学中的一些基本概念，这些概念在离散数学的理论研究和实际应用中起着重要作用。
离散数学的研究方法和思维方式与连续数学不同，强调离散结构的分析和推理，对于计算机科学、信息技术等领域的学习和研究都具有重要意义。
离散数学——精选推荐
离散数学第一章命题逻辑定义1。
设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作¬P。
若P为T，¬P为F；若P为F，¬P为T。
联结词“¬”表示命题的否定。
否定联结词有时亦可记作“¯”。
（P3）定义2。
两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。
当且仅当P,Q同时为T时，P∧Q为T，在其他情况下，P∧Q的真值都是F。
（P4）定义3。
两个命题P和Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。
当且仅当P，Q同时为F时，P∨Q的真值为F，否则P∨Q的真值为T。
（P5）定义4。
给定两个命题P和Q，其条件命题是一个复合命题，记作P→Q，读作“如果P，那么Q”或者“若P则Q”。
当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，否则P→Q的真值为T。
我们称P为前件，Q为后件。
（P6）定义5。
给定两个命题P和Q，其复合命题P⇆Q的真值为F。
（P7）定义6。
命题演算的合式公式（wff），规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么¬A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∧B），（A∨B），（A→B）和（A⇆B）都是合式公式。
（4）当且仅当能够有限次地应用（1），（2），（3）所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。
（P9）定义7。
在命题公式中，对于分量指派真值得各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。
（P12）定义8。
给定两个命题公式A和B，设P1，P2，…，P n为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2，…，P n任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。
记作A⇔B。
（P15）定义9。
如果X是合式公式的A的一部分，且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A 的字公式。
（P16）定理1。
设X是合式公式A的字公式，若X⇔Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B 与公式A等价，即A⇔B。
离散数学的定义精简版
图1.每个无向图所有结点度总和等于边数的2倍.2每个无向图中,奇数度的结点必为偶数个.3G=<V ,E>是有向图, 则G 的所有结点的出度之和等于入度之和.4无向完全图Kn, 有边数 5有n 个结点的有向简单完全图有边数为n(n-1).6有n 个结点的有向完全图, 有边数 n2.12 两个图同构的必要条件:1.结点个数相等. 2.边数相等.3.度数相同的结点数相等. 4. 对应的结点的度数相等.17 在一个有n 个结点的图中,如果从结点vi 到vj 存在一条路,则从vi 到vj 必存在一条长度不多于n-1的路.19 连通分支:令G=<V ,E>是无向图, R 是V 上连通关系, 设R 对V 的商集中有等价类V1,V2,V3,…, Vn ,这n 个等价类构成的n 个子图分别记作G(V1),G(V2),G(V3),…, G(Vn),并称它们为G 的连通分支. 并用W(G)表示G 中连通分支数.28 如果从u 到v 不可达,则d<u,v>=∞29 图的直径: G 是个有向图, 定义D=max{d<u,v>} u,v ∈V 为图G 的直径.30强连通、单侧连通和弱连通：在简单有向图G 中,如果任何两个结点间相互可达, 则称G 是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G 是单侧连通. 如果将G 看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G 是弱连通.31一个有向图G 是强连通的,当且仅当G 中有一个回路, 此回路至少包含每个结点一次. 32一. 邻接矩阵这是以结点与结点之间的邻接关系确定的矩阵.1.定义:设G=<V ,E>是个简单图,V={v1,v2,v3,…,vn }, 一个n ×n 阶矩阵A=(aij)称为G 的邻接矩阵. 其中:aij ={ 1 vi 与vj 邻接, 即(vi,vj)∈E 或 < vi,vj >∈E0 否则33从邻接矩阵看图的性质:无向图:每行1的个数=每列1的个数=对应结点的度有向图:每行1的个数=对应结点的出度每列1的个数=对应结点的入度34在(A(G1))2 中a342 =2 表示从v3到v4有长度为2的路有2条:在(A(G1))3中a233 =6 表示从v2到v3有长度为3的路有6条:设G=<V ,E>是简单图,令V={v1,v2,v3,…,vn}, G 的邻接矩阵(A(G))k 中的第 i 行第j 列元素aijk=m, 表示在图G 中从vi 到vj 长度为k 的路有m 条.35二.可达性矩阵1.定义:设G=<V ,E>是个简单图,V={v1,v2,v3,…,vn }, 一个n ×n 阶矩阵P=(pij)称为G 的可达性矩阵. 其中: pij ={1 vi 到vj 可达, (至少有一条路)0 否则)1(21 n n37三.完全关联矩阵此矩阵是按照结点与边之间的关联关系确定的矩阵.1.无向图的完全关联矩阵1).定义:设G=<V,E>是个无向图,V={v1,v2,v3,…,vm },E={e1,e2,e3,…,en },一个m×n阶矩阵M=(mij)称为G的完全关联矩阵. 其中:mij ={ 1 vi与ej关；0 否则2).从关联矩阵看图的性质:a)每列只有二个1.(因为每条边只关联两个结点)b)每行中1的个数为对应结点的度数.c)如果两列相同,则说明对应的两条边是平行边.2.有向图的完全关联矩阵1).定义:设G=<V,E>是个简单有向图,V={v1,v2,v3,…,vm },E={e1,e2,e3,…,en },一个m×n阶矩阵M=(mij)称为G的完全关联矩阵. 其中: mij ={1 vi是ej的起点；-1 vi是ej的终点；0 vi与ej不关联2).从关联矩阵看图的性质:a)每列只有一个1和一个-1.(每条边有一个起点一个终点)b)每行中1的个数为对应结点的出度.-1个数是结点入度38关键路径:就是各个结点的缓冲时间均为0的路径.39 欧拉路:在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经过图中每条边一次且仅一次, 称此路为欧拉路.40 欧拉回路:在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路.41有欧拉路与有欧拉回路的判定:无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度的结点.42无向图G具有欧拉回路,当且仅当G是连通的,且所有结点的度都是偶数.43汉密尔顿图：定义:设G=<V,E>是个无向有限图,汉密尔顿路:通过G中每个结点恰好一次的路.汉密尔顿回路(H回路):通过G中每个结点恰好一次的回路.汉密尔顿图(H图):具有汉密尔顿回路(H回路)的图.44汉密尔顿图的判定:到目前为止并没有判定H图的充分和必要条件.(充分条件):G是完全图,则G是H图.(充分条件)设G是有n个结点的简单图,若G中每对结点度数之和大于等于n-1(n),则G 有一条H路(H回路)注意:上述条件只是充分条件,而不是必要条件,即不满足这个条件的, 也可能有H路.45 (必要条件) 若图G=<V,E>有H回路,则对V的任何非空子有限集S, 均有W(G-S)≤|S|, 其中W(G-S)是从G中删去S中所有结点及与这些结点关联的边所得到的子图的连通分支数. 48完全二部图:令G=<V,E>是以V1,V2为互补的结点子集的二部图,如果V1中的每个结点都与V2中每个结点相邻接,则称G是完全二部图. 如果|V1|=m, |V2|=n 则G记作Km,n 49.二部图的判定: 定理G=<V,E>是二部图当且仅当它的所有回路的长度都是偶数.52两个重要的非平面图:K5和K3,353 欧拉公式G是个连通的平面图, 设v、e、r分别表示G中结点数、边数、面数, 则有v-e+r=2. 称此式为欧拉公式.54 平面图的判定(必要条件) 设G是有v 个结点、e条边的连通简单平面图, 若v≥3, 则e ≤3v-6.55一个图是平面图的充分且必要条件是它不含有任何与K5、K3,3在2度结点内同构的子图.56如果G1和G2是同构的,或者通过反复插入或删去度数为2的结点, 使得它们变成同构的图, 称G1和G2 是在2度结点内同构.树1度数为1的结点,称为叶结点. 分支结点(内结点):度数大于1的结点.2无回路且e=v-1 其中e是T的边数,v是T的结点数.3如果图G的生成子图是树,则称此树为G的生成树.4图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,称为该生成树的补.5连通图至少有一棵生成树. 寻找生成树的方法：深度优先；广度优先.6一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树.7根树:如果一棵有向树,恰有一个结点的入度为0,其余所有结点的入度均为1,则称此树为根树. 1.树根:入度为0的结点. 2.叶:出度为0的结点. 3.分支结点(内结点):出度不为0的结点. 8在有向树中,如果规定了每一层上的结点的次序,称之为有序树.9 1.m叉树:在根树中,如果每个结点的出度最大是m, 则称此树是m叉树.2.完全m叉树:在根树中,如果每个结点的出度都是m或者等于0, 则称此树是完全m叉树.3. 正则m叉树:在完全m叉树中,如果所有树叶的层次相同, 则称之为正则m叉树.10 T是棵完全m叉树, 有t个叶结点, i个分支结点,则(m-1)i=t -1 .11 m叉有序树转化成二叉树：方法是:1.每个结点保留左儿子结点, 剪掉右边其它分支. 被剪掉的结点如下处理.2.同一个层次的结点, 从左到右依次画出.12 1.先序遍历⑴访问根结点.⑵先序遍历左子树⑶先序遍历右子树2.中序遍历⑴中序遍历左子树⑵访问根结点.⑶中序遍历右子树3.后序遍历⑴后序遍历左子树⑵后序遍历右子树⑶访问根结点.代数系统20 <X,★>和<X,★, ο>是代数系统, ★,ο是二元运算：1.封闭性：∀x,y∈X, 有x★y∈X。
离散数学的基本概念和运算
离散数学的基本概念和运算离散数学是数学的一个重要分支，它研究离散结构和离散对象之间的关系。
与连续数学不同，离散数学关注的是离散的、离散的事物，如整数、图形、逻辑、集合等。
在计算机科学、信息技术以及其他许多领域中，离散数学都担当着重要的角色。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和运算，以帮助读者更好地理解和应用离散数学。
一、集合论集合论是离散数学的基石之一，它研究集合以及集合之间的关系和运算。
集合是指一组元素的事物的整体，元素可以是任何事物，比如数字、字母、人或其他对象。
常见的集合运算有并集、交集、差集和补集等。
并集表示两个或多个集合中的所有元素的集合，交集表示同时属于两个或多个集合的元素的集合，差集表示从一个集合中减去另一个集合的元素的集合，补集表示在给定参考集合中不属于某个特定集合的元素的集合。
二、逻辑逻辑是离散数学的另一个重要内容，它研究命题、逻辑运算和推理。
在离散数学中，命题是指能够判断真假的陈述句。
逻辑运算包括与、或、非、异或等。
与运算表示两个命题同时为真时结果为真，或运算表示两个命题中至少有一个为真时结果为真，非运算表示对命题的否定，异或运算表示两个命题中仅有一个为真时结果为真。
推理是利用逻辑规则从已知命题中得出新的结论的过程，常见的推理方法有直接证明、反证法和归纳法。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究由节点和边组成的图形结构。
图形是由节点（或顶点）和边组成的抽象化模型，节点表示某个对象，边表示节点之间的关系。
图论研究图形的性质、特征和算法。
常见的图形类型有无向图和有向图，无向图的边没有方向，有向图的边有方向。
图形的表示方法有邻接矩阵和邻接表等。
在计算机科学中，图论广泛应用于网络、路径规划、数据结构等领域。
四、代数系统代数系统是离散数学中的另一个重要概念，它研究运算规则和运算对象之间的关系。
代数系统包括集合、运算和运算规则。
常见的代数系统有代数结构、半群、群、环、域等。
代数结构是指由一组元素和一组运算构成的系统，运算可以是加法、乘法或其他操作。
离散数学课本定义和定理
第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。
4. 定义（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A的幂集，记为或1.2 集合的运算定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为.定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为.定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。
定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为.定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为.定义（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为1.3 包含排斥原理定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，则重要例题P11 例第2章二元关系2.1 关系定义（序偶）：若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。
※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为定义（有序元组）：若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。
定义（直接积）：和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义（直接积）：设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为.定义（二元关系）若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。
数学的离散数学分支
数学的离散数学分支数学作为一门学科，包含了许多不同的分支，其中离散数学是一种重要的分支。
离散数学主要研究非连续、离散的数学结构和对象。
在现代计算机科学、密码学、网络通信等领域，离散数学扮演着重要的角色。
本文将介绍离散数学的定义、内容及其在实际应用中的重要性。
一、离散数学的定义离散数学是数学的一个分支，它研究离散的对象，如整数、有限集合以及离散的数学结构，而不是连续的对象。
离散数学注重于离散问题的求解和分析，以及逻辑推理和集合论等数学工具的应用。
二、离散数学的内容离散数学包含了多个重要的内容，下面将介绍其中的几个主要方面：1. 集合论：离散数学中的一个重要组成部分是集合论。
集合论是研究集合、元素和包含关系的学科，它为离散数学提供了基础。
2. 逻辑和证明：逻辑是离散数学中另一个重要的内容。
逻辑关注于正确推理和证明的方法，它为解决离散问题提供了基础。
3. 图论：图论是离散数学中研究图和网络的学科。
图是由节点和边组成的离散结构，图论主要研究图的性质、算法和应用。
4. 组合数学：组合数学是研究离散结构中的组合和排列的学科。
它涉及排列组合、图论、概率论等内容，是离散数学的一个重要分支。
5. 离散数学的应用：离散数学的应用非常广泛，特别是在计算机科学和信息技术领域。
它在网络通信、密码学、算法设计等方面发挥着重要的作用。
三、离散数学在实际应用中的重要性离散数学在多个领域中发挥着重要的作用，下面将介绍其中的几个方面：1. 计算机科学：离散数学是计算机科学的基础，它提供了计算机算法、数据结构和计算模型的理论基础。
离散数学的概念和方法在计算机科学中被广泛应用，帮助解决了很多复杂的计算问题。
2. 密码学：密码学是研究保护信息安全的学科，离散数学在密码学中起着重要的作用。
离散数学的知识可以帮助我们理解和设计密码系统，保护敏感信息的安全。
3. 网络通信：在网络通信中，离散数学的概念和方法可以帮助我们理解和分析网络的拓扑结构、通信协议和网络安全等问题。
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图1.每个无向图所有结点度总和等于边数的2倍.2每个无向图中,奇数度的结点必为偶数个.3G=<V ,E>是有向图, 则G 的所有结点的出度之和等于入度之和.4无向完全图Kn, 有边数 5有n 个结点的有向简单完全图有边数为n(n-1).6有n 个结点的有向完全图, 有边数 n2.12 两个图同构的必要条件:1.结点个数相等. 2.边数相等.3.度数相同的结点数相等. 4. 对应的结点的度数相等.17 在一个有n 个结点的图中,如果从结点vi 到vj 存在一条路,则从vi 到vj 必存在一条长度不多于n-1的路.19 连通分支:令G=<V ,E>是无向图, R 是V 上连通关系, 设R 对V 的商集中有等价类V1,V2,V3,…, Vn ,这n 个等价类构成的n 个子图分别记作G(V1),G(V2),G(V3),…, G(Vn),并称它们为G 的连通分支. 并用W(G)表示G 中连通分支数.28 如果从u 到v 不可达,则d<u,v>=∞29 图的直径: G 是个有向图, 定义D=max{d<u,v>} u,v ∈V 为图G 的直径.30强连通、单侧连通和弱连通：在简单有向图G 中,如果任何两个结点间相互可达, 则称G 是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G 是单侧连通. 如果将G 看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G 是弱连通.31一个有向图G 是强连通的,当且仅当G 中有一个回路, 此回路至少包含每个结点一次. 32一. 邻接矩阵这是以结点与结点之间的邻接关系确定的矩阵.1.定义:设G=<V ,E>是个简单图,V={v1,v2,v3,…,vn }, 一个n ×n 阶矩阵A=(aij)称为G 的邻接矩阵. 其中:aij ={ 1 vi 与vj 邻接, 即(vi,vj)∈E 或 < vi,vj >∈E0 否则33从邻接矩阵看图的性质:无向图:每行1的个数=每列1的个数=对应结点的度有向图:每行1的个数=对应结点的出度每列1的个数=对应结点的入度34在(A(G1))2 中a342 =2 表示从v3到v4有长度为2的路有2条:在(A(G1))3中a233 =6 表示从v2到v3有长度为3的路有6条:设G=<V ,E>是简单图,令V={v1,v2,v3,…,vn}, G 的邻接矩阵(A(G))k 中的第 i 行第j 列元素aijk=m, 表示在图G 中从vi 到vj 长度为k 的路有m 条.35二.可达性矩阵1.定义:设G=<V ,E>是个简单图,V={v1,v2,v3,…,vn }, 一个n ×n 阶矩阵P=(pij)称为G 的可达性矩阵. 其中: pij ={1 vi 到vj 可达, (至少有一条路)0 否则)1(21 n n37三.完全关联矩阵此矩阵是按照结点与边之间的关联关系确定的矩阵.1.无向图的完全关联矩阵1).定义:设G=<V,E>是个无向图,V={v1,v2,v3,…,vm },E={e1,e2,e3,…,en },一个m×n阶矩阵M=(mij)称为G的完全关联矩阵. 其中:mij ={ 1 vi与ej关；0 否则2).从关联矩阵看图的性质:a)每列只有二个1.(因为每条边只关联两个结点)b)每行中1的个数为对应结点的度数.c)如果两列相同,则说明对应的两条边是平行边.2.有向图的完全关联矩阵1).定义:设G=<V,E>是个简单有向图,V={v1,v2,v3,…,vm },E={e1,e2,e3,…,en },一个m×n阶矩阵M=(mij)称为G的完全关联矩阵. 其中: mij ={1 vi是ej的起点；-1 vi是ej的终点；0 vi与ej不关联2).从关联矩阵看图的性质:a)每列只有一个1和一个-1.(每条边有一个起点一个终点)b)每行中1的个数为对应结点的出度.-1个数是结点入度38关键路径:就是各个结点的缓冲时间均为0的路径.39 欧拉路:在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经过图中每条边一次且仅一次, 称此路为欧拉路.40 欧拉回路:在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路.41有欧拉路与有欧拉回路的判定:无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度的结点.42无向图G具有欧拉回路,当且仅当G是连通的,且所有结点的度都是偶数.43汉密尔顿图：定义:设G=<V,E>是个无向有限图,汉密尔顿路:通过G中每个结点恰好一次的路.汉密尔顿回路(H回路):通过G中每个结点恰好一次的回路.汉密尔顿图(H图):具有汉密尔顿回路(H回路)的图.44汉密尔顿图的判定:到目前为止并没有判定H图的充分和必要条件.(充分条件):G是完全图,则G是H图.(充分条件)设G是有n个结点的简单图,若G中每对结点度数之和大于等于n-1(n),则G 有一条H路(H回路)注意:上述条件只是充分条件,而不是必要条件,即不满足这个条件的, 也可能有H路.45 (必要条件) 若图G=<V,E>有H回路,则对V的任何非空子有限集S, 均有W(G-S)≤|S|, 其中W(G-S)是从G中删去S中所有结点及与这些结点关联的边所得到的子图的连通分支数. 48完全二部图:令G=<V,E>是以V1,V2为互补的结点子集的二部图,如果V1中的每个结点都与V2中每个结点相邻接,则称G是完全二部图. 如果|V1|=m, |V2|=n 则G记作Km,n 49.二部图的判定: 定理G=<V,E>是二部图当且仅当它的所有回路的长度都是偶数.52两个重要的非平面图:K5和K3,353 欧拉公式G是个连通的平面图, 设v、e、r分别表示G中结点数、边数、面数, 则有v-e+r=2. 称此式为欧拉公式.54 平面图的判定(必要条件) 设G是有v 个结点、e条边的连通简单平面图, 若v≥3, 则e ≤3v-6.55一个图是平面图的充分且必要条件是它不含有任何与K5、K3,3在2度结点内同构的子图.56如果G1和G2是同构的,或者通过反复插入或删去度数为2的结点, 使得它们变成同构的图, 称G1和G2 是在2度结点内同构.树1度数为1的结点,称为叶结点. 分支结点(内结点):度数大于1的结点.2无回路且e=v-1 其中e是T的边数,v是T的结点数.3如果图G的生成子图是树,则称此树为G的生成树.4图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,称为该生成树的补.5连通图至少有一棵生成树. 寻找生成树的方法：深度优先；广度优先.6一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树.7根树:如果一棵有向树,恰有一个结点的入度为0,其余所有结点的入度均为1,则称此树为根树. 1.树根:入度为0的结点. 2.叶:出度为0的结点. 3.分支结点(内结点):出度不为0的结点. 8在有向树中,如果规定了每一层上的结点的次序,称之为有序树.9 1.m叉树:在根树中,如果每个结点的出度最大是m, 则称此树是m叉树.2.完全m叉树:在根树中,如果每个结点的出度都是m或者等于0, 则称此树是完全m叉树.3. 正则m叉树:在完全m叉树中,如果所有树叶的层次相同, 则称之为正则m叉树.10 T是棵完全m叉树, 有t个叶结点, i个分支结点,则(m-1)i=t -1 .11 m叉有序树转化成二叉树：方法是:1.每个结点保留左儿子结点, 剪掉右边其它分支. 被剪掉的结点如下处理.2.同一个层次的结点, 从左到右依次画出.12 1.先序遍历⑴访问根结点.⑵先序遍历左子树⑶先序遍历右子树2.中序遍历⑴中序遍历左子树⑵访问根结点.⑶中序遍历右子树3.后序遍历⑴后序遍历左子树⑵后序遍历右子树⑶访问根结点.代数系统20 <X,★>和<X,★, ο>是代数系统, ★,ο是二元运算：1.封闭性：∀x,y∈X, 有x★y∈X。
2.可交换性：∀x,y∈X, 有x★y=y★ x。
3.幂等性：∀x∈X, 有x★x=x。
4. 有幺元：e∈X, ∀x∈X，有e★x=x★e=x.5.有零元: θ∈x,∀x∈X，有θ★x=x★θ=θ.6.可结合性：∀x,y,z∈X, 有(x★y)★z =x★(y★z)。
7.有逆元：x∈X, 有x-1∈X，使得x-1★x=x★x-1=e8.可消去性：a∈X，∀x, y∈X,有(a★x=a★y)∨(x★a=y★a) ⇒ x=y.9.分配律：★对ο可分配：∀x,y,z∈X，有x★(yοz)=(x★y)ο(x★z) 或(xοy)★z =(x★z)ο(y★z)10.吸收律：∀x,y∈X，有x★(xοy)=x 和xο(x★y)=x代数系统3从运算表看交换性：是个以主对角线为对称的表。
4三.幂等元、幂等性：设★是X上的二元运算，如果有a∈X，a★a=a, 则称a是幂等元，如果对任何x∈X,都有x★x=x,则称★有幂等性。
5从运算表看幂等元、幂等性：看主对角线的元素与上表头(或左表头)元素相同。
6幺元(单位元、恒等元)：设★是X上的二元运算，如果有eL∈X，使得对任何x∈X，有eL★x=x，则称eL是相对★的左幺元。
如果有eR∈X，使得对任何x∈X，有x★eR=x ，则称eR是相对★的右幺元。
如果eL= eR =e，对任何x∈X，有e★x=x★e=x, 称e是相对★的幺元。
对加法+，幺元是0，对乘法×，幺元是1，对并运算∪，幺元是Φ，对交运算∩，幺元是全集E，7 从运算表找左幺元eL ：eL所在行的各元素均与上表头元素相同。
如S行，所以S是eL 。
8 从运算表找右幺元eR ：eR所在列的各元素均与左表头元素相同。
如S列，所以S是eR9 零元：设★是X上的二元运算，如果有θL∈X，使得对任何x∈X，有θL★x=θL，则称θL 是相对★的左零元。
如果有θR∈X，使得对任何x∈X，有x★θR=θR ，则称θR是相对★的右零元。
如果θL=θR=θ，对任何x∈X，有θ★x=x★θ=θ, 称θ是相对★的零元。
例如：对乘法×，零元是0，对并运算∪，零元是全集E ，对交运算∩，零元是Φ10从运算表找左零元θL ：θL所在行的各元素均与左表头元素相同。
如Φ行，所以Φ是θL 。
11从运算表找右零元θR：θR所在列的各元素均与上表头元素相同。
如Φ列，所以Φ是θR 。
所以θ=Φ12可结合性：设★是X上的二元运算，如果对任何x,y,z∈X,有(x★y)★z =x★(y★z),则称★是可结合的。