湖南省长沙市南雅中学2019年高二下学期入学考试卷数学

长沙市南雅中学2019年下学期入学考试

高二 数学

注意：本试卷共三大题，22小题，时量120分钟，总分150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合{}0A x x =<，{}

2log 0B x x =<，则（ ）

A. {}0A

B x x =<

B. A B R =

C. {}1A B x x =<

D. A

B =∅

2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则（ ） A. 123p p p =<

B. 231p p p =<

C. 132p p p =<

D.

123p p p ==

3. 【暑假作业】已知向量()1,1a =，()2,b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ） A. 2

B. 0

C. 1

D. 2-

4. 【暑假作业】为把函数cos y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移

4

π

个单位，这是对应于这个图象的解析式为（ ） A. cos 2y x = B. sin 2y x =-

C. sin 24y x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

D.

sin 24y x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭

5. 已知2log 7a =，3log 8b =，0.2

0.3

c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）

A. b c a <<

B. a b c <<

C. c b a <<

D.

c a b <<

6. 函数22tan 1tan x

y x

=

-是（ ）

A. 最小正周期为π的奇函数

B. 最小正周期为π的偶函数

C. 最小正周期为

2π

的奇函数

D. 最小正周期为

2

π

的偶函数 7. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1、2、…、1000，从这些新生中用系统抽样的方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生被抽到的是（ ） A. 815号学生

B. 616号学生

C. 200号学生

D. 8号

学生

8. 【暑假作业】在ABC ∆中，a 、b 、c 为角A 、B 、C 的对边，则B 的取值范围是（ ）

A. 0,

3π⎛⎤

⎥⎝

⎦

B. ,3π

π⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

C. 0,

6π⎛⎤

⎥⎝

⎦

D.

,6ππ⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

9. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为

）

A. 8

B.

C.

D.

10. 【暑假作业】已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点1,2⎛- ⎝⎭

，且[)20,2a απ∈，则tan α=（ ）

A.

B.

C.

D.

11. 【暑假作业】设A 、B 、C 是圆2

2

1x y +=上不同的三个点，O 为圆心，且0OA OB ⋅=，存在实数λ、μ使得OC OA OB λμ=+，则2λμ-的最大值为（ ）

A. 1

B. 3

C.

D. 5

12. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在半径为3的球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，则三棱锥S ABC -的体积为（ ） A. 9

B.

C. 18

D. 27

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若变量x 、y 满足约束条件4y x y y k ≤

⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，且2z x y =+的最小值为6-，则k =；

14. 已知函数()2

1f x x mx =+-，若对于任意[],1x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实

数m 的取值范围是；

15. 函数()f x 的图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称，则()f x =；

16. 如图，在ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AD 上任意一点，且BE BA BC λμ=+，则

1

2

λ

μ

+

的最小值为.

三、解答题：本大题共6小题，满分75分.

17. 【暑假作业】（本小题10分）已知函数()2

2sin cos 2cos 1f x x x x =-+，x R ∈.

（1）求()f x 的最小正周期； （2）解不等式：()1f x ≥.

18. （本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面

ABCD ，1

2

AB BC AD ==

，90BAD ABC ∠=∠=︒. （1）证明：直线//BC 平面PAD ；