湖南省长沙市南雅中学2019年高二下学期入学考试卷数学
精品解析：2019年湖南省长沙市中雅中学、南雅中学中考数学二模试卷(解析版)
2019年湖南省长沙市中雅中学、南雅中学中考数学二模试卷一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1.下列实数为无理数的是（ ） A. 4 B. 32 C. 2π D. 0【答案】C【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A 、4＝2是整数，是有理数，故选项不符合题意；B 、32是分数，是有理数，故选项不符合题意； C 、2π是无理数，故选项符合题意； D 、0是整数，是有理数，故选项不符合题意．故选：C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（ ）A. 3.56×106人B. 35.6×105人C. 3.6×105人D. 0.356×107人 【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：356万＝56×106．故选：A．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.下列各式正确的是（）A. （a2）3＝a5B. 2a2+2a3＝2a5C.433a bababD. （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1【答案】D【解析】【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式＝a6，不符合题意；B、原式不能合并，不符合题意；C、原式＝a3，不符合题意；D、原式＝x2﹣1，符合题意，故选：D．【点睛】此题考查了平方差公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4.下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5.下列说法中不正确的是（）A. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形B. 两条对角线相等的菱形是正方形C. 两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形D. 两条对角线垂直且相等的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】根据既是矩形又是菱形的四边形是正方形进行判断.【详解】解：A、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；B、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；C、两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意；D、应是两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意．故选D【点睛】本题考查了正方形的判定，通过这道题可以掌握正方形和矩形，菱形的关系，熟练掌握性质是解题的关键.6.如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】主视图就是从正面看，看横和竖两个方向正方形的个数.【详解】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边2个小正方形，第三层右边2个小正方形，故选：D．【点睛】考核知识点：三视图.理解三视图的意义是关键.7.不等式组10114xx-<⎧⎪⎨≤⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示即可．【详解】解不等式组得：14xx<⎧⎨⎩…，∴在数轴上表示正确的是，故选：A．【点睛】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．8.已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（）A. a＜3B. a＞3C. a＜﹣3D. a＞﹣3．【答案】A【解析】【分析】根据题意一次函数y随自变量x的增大而增大，即可得出3﹣a＞0，从而求得a的取值范围.【详解】∵一次函数y＝（3﹣a）x+3，函数值y随自变量x的增大而增大∴3﹣a＞0解得a＜3故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图像增减性问题，解决此类问题只要牢固掌握一次函数k>0，函数图像递增，k<0函数图像递减，反过来亦适用.9.将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（）A. y＝5（x+3）2+2B. y＝5（x+3）2﹣2C. y＝5（x﹣3）2+2D. y＝5（x﹣3）2﹣2【答案】C【解析】【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的顶点坐标为（3，2），∴所得的抛物线的解析式为y＝5（x﹣3）2+2．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式求解更简便．10.如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（）A. 72°B. 68°C. 64°D. 62°【答案】D【解析】【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．详解】连接OA，OB，∵CA、CB切⊙O于点A、B，∴∠CAO＝∠CBO＝90°，∵∠C＝56°，∴∠AOB＝360°﹣∠CAO﹣∠CBO﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°．由圆周角定理知，∠D＝12∠AOB＝62°，故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度．熟练掌握：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等等知识是解题的关键．11.如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（）米．A. 25.5B. 26C. 28.5D. 20.5【答案】B【解析】【分析】作AE⊥BC，AF⊥BD，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，结合AD＝10，利用勾股定理可求得x的值，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，∵AD＝10，∴9x2+16x2＝100，解得：x＝2（负值舍去），则AF＝BE＝6，DF＝8，∴AE＝DF+BD＝8+12＝20，∵∠CAE＝45°，∴CE＝AE＝20，则BC＝CE+BE＝20+6＝26，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．12.如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C、B运动（任何一个点到达即停止），BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（）A. 512-B.512+C. 51- D. 51+【答案】A【解析】【分析】首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE＝∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA＝90°，可得∠CBF+∠BEA ＝90°，所以∠APB＝90°；然后根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值为多少．【详解】解：如图，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝CE，又∵CD＝BC，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，AB BC1ABE BCF90 BE CF ︒==⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△BCG中，CG＝222215 BC BG122⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，∵PG＝1122 AB=，∴CP＝CG﹣PG＝5151 222--=，即线段CP的最小值为512-，故选：A．【点睛】此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，解答此题的关键是判断出什么情况下，CP的长度最小．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13.分解因式：3a2﹣12=▲ ．【答案】3（a+2）（a﹣2）【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)试题(解析版)
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1.已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】解：，故，，，在第二象限，故选：B．将复数的分子分母同乘以，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．2.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即．故选：D．根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．3.曲线与直线及直线所围成的封闭图形的面积为A. B. C. D.【答案】D故曲线与直线及直线所围成的封闭图形的面积为，故选：D．求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线与直线及围成的封闭图形的面积，即可求得结论本题考查导数知识的运用，考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，属于中档题．4.若，则关于x、y的方程所表示的曲线是A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆C. 焦点在y轴上的双曲线D. 焦点在x轴上的双曲线【答案】C【解析】解：，可得，，关于x、y的方程所表示的曲线是：焦点在y轴上的双曲线．故选：C．利用K的范围，判断二次方程的形式，即可推出结果．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．5.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有y，，则，，是P，A，B，C四点共面的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：若P，A，B，C四点共面，则满足，则，，不一定成立，即必要性不成立．若，，，则满足，则P，A，B，C四点共面，即充分性成立，故，，是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间四点共面的等价条件是解决本题的关键．6.已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆和圆上的点，则的最小值为A. 5B. 7C. 13D. 15【答案】B【解析】解：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，所以根据椭圆的定义可得：，故选：B．由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆和的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案．本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．7.给出下列命题：已知，则；、B、M、N为空间四点，若不构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面；已知，则与任何向量不构成空间的一个基底；已知是空间的一个基底，则基向量可以与向量构成空间另一个基底．正确命题个数是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：若，则，故，故正确．若不构成空间的一个基底，则这3个向量共面，故A、B、M、N共面，故正确．当时，若与这3个向量不共面，则构成空间的一个基底，故不正确．若是空间的一个基底，设，则与这3个向量不共面，故构成空间的另一个基底，故正确．综上，正确，不正确．故选：C．对于，由条件可得，把等式的左边展开化简可得它和灯饰的右边相等，故正确．对于，由条件可得这3个向量共面，故A、B、M、N共面，故正确．对于，若与这3个向量不共面，则构成空间的一个基底，故不正确．对于，由条件可得与这3个向量不共面，能构成空间的另一个基底，故正确．本题主要考查空间向量基本定理及其意义，三个向量能构成空间的基底的条件是，这三个向量不共面．8.已知命题p：，，命题q：，，则下列命题中为真命题的是A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢【答案】C【解析】解：命题p：，，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由，化为：，解得，，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是￢，故选：C．命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由，化为：，解得，，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．本题考查了函数的性质、方程的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.命题“数列前n项和是的形式，则数列为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】C【解析】解：命题“数列前n项和是的形式，则数列为等差数列”是真命题，故逆否命题也是真命题；逆命题“若数列为等差数列，则数列前n项和是的形式”为真命题，故否命题也是真命题，故选：C．根据等差数列的前n项和是的形式，逐一分析原命题的逆命题，否命题，逆否命题的真假，可得答案．本题以命题的真假判断应用为载体，考查了四种命题，等差数列的性质等知识点，难度中档．10.某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图，社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域随机用一种颜色的花卉，且相邻区域用公共边的所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有A. 96B. 114C. 168D. 240【答案】C【解析】解：根据题意，分4步进行分析：对于e区域，有4种花卉可选，即有4种情况，对于c区域，与e区域相邻，有3种情况，对于d区域，与e、c区域相邻，有2种情况，对于a、b区域，分2种情况讨论：若其与d区域种植的相同，则b区域有3种花卉可选，即有3种情况，此时a、b区域有种情况，若a区域与d区域种植的步相同，则a区域有2种情况，b区域有2种情况，此时a、b区域有种情况，则a、b区域共有种情况，则不同种植方法的种数共有种；故选：C．根据题意，依次分析e、c、d以及a、b区域的选择情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意分析图形中区域相邻的情况．11. 已知函数若关于x 的函数 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是A.B.C.D.【答案】D 【解析】解： 函数， 作出 的简图，如图所示：由图象可得当 在 上任意取一个值时，都有四个不同的x 与 的值对应．再结合题中函数 有8个不同的零点， 可得关于k 的方程 有两个不同的实数根 、 ，且 ， ．应有，解得， 故选：D ．方程 有8个不同实数解，即要求对应于 等于某个常数k ，有2个不同的k ，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x 与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出 的简图：由图可知，只有满足条件的k 在开区间 时符合题意 再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案． 本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解 数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）12. 如图，圆O ： 内的正弦曲线 与x 轴围成的区域记为 图中阴影部分 ，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______． 【答案】【解析】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线 与x 轴围成的区域记为M ，面积为由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率故答案为：先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线与x轴围成的区域记为M 的面积为，代入几何概率的计算公式可求本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，几何概率的计算公式的运用，属于中档试题，具有一定的综合性，但难度不大．13.有3名男生，4名女生，全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变，则共有______种不同的排列方法．【答案】840【解析】解：根据题意，设出甲乙丙之外的4人为A、B、C、D，由于甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变，先将三人的顺序确定，三人排好后，包括两端有4个空位，对于A，可以在4个空位中任选1个，有4种情况，4人排好后，包括两端有5个空位，对于B、可以在5个空位中任选1个，有5种情况，5人排好后，包括两端有6个空位，对于C、可以在6个空位中任选1个，有6种情况，6人排好后，包括两端有7个空位，对于D、可以在7个空位中任选1个，有7种情况；则一共有种不同的排法；故答案为：840．根据题意，设出甲乙丙之外的4人为A、B、C、D，先排好甲乙丙三人，依次分析A、B、C、D四人的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合及简单计数原理的应用，注意甲、乙、丙三人从左至右的顺序一定，但三人可以相邻也可以不相邻．14.已知，，，其中，，为单位正交基底，若，，共同作用在一个物体上，使物体从点移到点1，，则合力所作的功为______．【答案】14【解析】解：，，，其中，，为单位正交基底，若，，共同作用在一个物体上，和向量1，又在合力作用下物体从点移到点1，，3，则合力所作的功为14故答案为14由题设条件，欲求合力所做的功，要求出合力对应的向量，以及在合力作用下物体运动的位移，再利用数量积公式求出数量积的值即可求出合力所作的功，本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，解题的关键是求出合力对应的向量以及在合力作用下物体移动的位移，然后利用数量积公式求出数量积，注意本题中物理与数学结合的方式，近几年高考题中跨学科的题分量逐年加重，注意总结此类题的作题经验与切入点．15.已知双曲线的左右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为，则的最小值为______．【答案】由双曲线，得，，，则，则，，，则，连接交双曲线右支于P，则此时最小等于，的坐标为，，，的最小值为．故答案为：．由双曲线方程求出a及c的值，利用双曲线定义把转化为，连接交双曲线右支于P，则此时最小等于，由两点间的距离公式求出，则的最小值可求．本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．16.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．【答案】【解析】解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，得再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而得出．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题17.已知函数，，如果存在，使得对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：求导函数，可得，，，，，在上单调递增，，如果存在，使得对任意的，都有成立，，故答案为求导函数，分别求出函数的最小值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）18.某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩均为整数分成六组，，后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：Ⅰ求成绩落在上的频率，并补全这个频率分布直方图；Ⅱ估计这次考试的及格率分及以上为及格和平均分；Ⅲ为调查某项指标，从成绩在～分这两分数段组学生中按分层抽样的方法抽6人，再从这6人中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段组的概率．【答案】解Ⅰ成绩落在上的频率是，频率分布直方图如下图．Ⅱ估计这次考试的及格率分及以上为及格为平均分：，Ⅲ成绩是～分A组有人，成绩在～分B组有人，按分层抽样A组抽2人记为a，b，B组抽4人记为1，2，3，从这6人中抽2人有a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34，ab共15种选法．两人来自同一组有12，13，14，23，24，34，ab有7种选法．所以两人来自同一组的概率为【解析】Ⅰ根据频率分布直方图，用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在上的频率，从而补全频率分步直方图．Ⅱ先根据频率分布直方图，用1减去成绩落在，上的频率，即可得到这次考试的及格率，并求出平均分．Ⅲ分别求得成绩落在区间、上的人数，即可求得他们在同一分数段的概率．本题主要考查频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，属于中档题．19.已知p：，；q：函数有两个零点．若为假命题，求实数m的取值范围；若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：若p为真，令，问题转化为求函数的最小值，，令，解得，函数在上单调递减，在上单调递增，故，故，若q为真，则，或．若为假命题，则p，q均为假命题，实数m的取值范围为．若为真命题，为假命题，则p，q一真一假．若p真q假，则实数m满足，即；若p假q真，则实数m满足或，即．综上所述，实数m的取值范围为，．【解析】分别求出p，q为真时的m的范围，再判断出为假命题时的m的范围即可；通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可．本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．20.如图，在直三棱柱中，，，，点D是BC的中点．求证：面；求直线与平面所成角的余弦值．【答案】证明：如图，以为单位正交基底建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，0，，1，，0，，2，，，，设平面的法向量为，由取，得，，平面的法向量为由此可得，，又平面，面．解：，设直线与平面所成角为，则，又为锐角，直线与平面所成角的余弦值为．【解析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明，即可证明面；求出：，利用向量的夹角公式，即可求直线与平面所成角的余弦值．本题考查线面平行，考查直线与平面所成角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，正确运用向量法是关键，属于中档题．21.已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆上．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若，求直线l的方程．【答案】解：Ⅰ由题意，设所求椭圆方程为．又点在椭圆上，可得．则所求椭圆方程为；Ⅱ由Ⅰ知，，所以，椭圆右焦点为．则直线AB的方程为由可得由于直线AB过椭圆右焦点，可知．设，，则，，．所以．由，即，可得，即．所以直线l的方程为【解析】Ⅰ由题意，设所求椭圆方程为，代入已知点，即可得到b，进而得到椭圆方程；Ⅱ设出直线AB的方程为，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和向量的数量积坐标公式，化简整理，解方程，即可得到k，进而得到所求直线方程．本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理，以及平面向量的数量积的坐标公式，考查化简整理和运算能力，属于中档题．22.设a为实数，函数，．求的单调区间与极值；求证：当且时，．【答案】解：解：由，，知，，，令，得，于是，当x变化时，和的变化情况如下表：故的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值，极小值为．证明：设，，于是，．由知，对任意，都有，所以在R内单调递增．于是，当时，对任意，都有，而，从而对任意，都有，即，故．【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．23.设函数．求f的单调区间；若，k为整数，且当时，，求k的最大值．【答案】解：的定义域为R，，若，则，在R上单调递增；若，则解得．当x变化时，，变化如下表：减极小值增所以，的单调减区间是：，增区间是：．由于，所以．故当时，等价于，令，则，而函数在上单调递增，，，所以在存在唯一的零点．故在存在唯一的零点．设此零点为a，则．当时，；当时，．所以在的最小值为．又由，可得，所以．由于式等价于，故整数k的最大值为2．【解析】分类讨论，利用导数的正负，可求的单调区间；当时，等价于，令，求最值，即可求k的最大值．本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确求导、确定函数的单调性是关键．。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期入学考试数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期入学考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知复数421izi+=+（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D利用复数的除法运算化简出3322z i=-，即可得出对应点，便可得所在象限.解：解：∵41i=，∴复数()()()31213311122iz ii i i-+===-++-，即3322z i=-，则对应点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭，位于第四象限.故选：D.点评：本题考查复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A．B．C．D．答案：C试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n是基本事件的总数，m是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．3．函数3()2f x x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,3) B ．(,3)-∞ C ．(0,)+∞D ．答案：D试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a ＞0时，3x 2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a ＜．a=0时，3x 2-3a=0两根相等，均为0，f （x ）在（0，1）内无极小值．a ＜0时，3x 2-3a=0无根，f （x ）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a ＜． 【考点】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法． 4．已知2:0p x x -<，那么命题p 的一个必要不充分条件是（ ）A ．01x <<B ．11x -<<C ．1223x << D ．122x << 答案：B 解：解 : p ：x 2－x <0的充要条件为0<x<1,则比该集合大的集合都是符合题意的，所以选择B5．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( ) A ．512个 B ．192个 C ．240个 D ．108个 答案：D试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D ．【考点】排列组合．6．已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择. 解：()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥Q因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；故选：A 点评：本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7．已知双曲线M 的焦点12,F F 在x 730x y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，如果抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12||||PF PF ⋅=u u u r u u u u r（ ） A ．21 B ．14 C ．7 D ．0 答案：B试题分析：因为双曲线M 的焦点12,F F 在x 轴上，所以设双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，因为抛物线x y 162=的准线4-=x 过双曲线的焦点，且一730x y +=，所以⎪⎩⎪⎨⎧==374ab c ，解得4,7,3===c b a ；因为点P在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以⎩⎨⎧=+±=-64||||6||||222121PF PF PF PF ，解得14||||21=⋅PF PF ；故选B ．【考点】1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．8．有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（ ）号同学. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4，5，6号中的一个 答案：C因为只有一人猜对，而C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论. 解：解：因为C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，则B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，则获得特等奖的是：3号同学. 故选：C. 点评：本题考查合情推理的应用，同时考查推理能力、分析和解决问题的能力，属于基础题.9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：C分析：利用面积公式12ABC S absinC =V 和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。
湖南省长沙市2019版高二下学期开学数学试卷(理科)D卷
湖南省长沙市2019版高二下学期开学数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在复平面上，复数对应的点的坐标为（）A . (1,3)B . (3,1)C . (-1,3)D . (3,-1)2. （2分） (2018高一下·双鸭山期末) 对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（）A . 1 个B . 2个C . 3个D . 4个3. （2分）已知cos（x﹣）=m，则cosx+cos（x﹣）=（）A . 2mB . ±2mC . mD . ±m4. （2分）(2017·枣庄模拟) 下列命题中，是真命题的是（）A . ∃x0∈R，ex0≤0B . ∀x∈R，2x＞x2C . 已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是 =﹣1D . 已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件5. （2分） (2017高一下·荥经期中) 已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A . S1B . S2C . S3D . S46. （2分）(2017·广西模拟) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B=（）A . 15B . 29C . 31D . 637. （2分） (2016高一下·河源期中) 若x，y满足约束条件，且向量 =（3，2）， =（x，y），则• 的取值范围（）A . [ ，5]B . [ ，5]C . [ ，4]D . [ ，4]8. （2分） (2016高二上·黄石期中) 已知向量 =（1，2，3）， =（﹣2，﹣4，﹣6），| |= ，若（ + ）• =7，则与的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°9. （2分）一个几何体的三视图如下图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（）A .B .C .D .10. （2分）（）A . 0B . πC . －πD . 2π11. （2分）过点P（0，﹣1）且和圆C：x2+y2﹣2x+4y+4=0相切的直线方程为（）A . y+1=0或x=0B . x+1=0或y=0C . y﹣1=0或x=0D . x﹣1=0或y=012. （2分） (2016高三上·德州期中) 不等式x2﹣2|x|﹣3＜0的解集是（）A . （﹣3，3）B . （﹣3，1）C . （﹣3，0）∪（0，3）D . （﹣1，0）∪（0，1）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知=（2，1），=（λ，1），λ∈R，与的夹角为θ．若θ为锐角，则λ的取值范围是________14. （1分） (2018高三上·张家口期末) 将正整数对作如下分组，第组为，第组为，第组为，第组为则第组第个数对为________．15. （1分） (2019高三上·郑州期中) 在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，其中，则该三棱锥外接球的表面积为________．16. （1分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），直线l为圆O：x2+y2=b2的一条切线，若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆的右顶点，则椭圆离心率为________三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2017·绵阳模拟) 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．（1）若c= a，求角A；（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC的周长；若不存在，请说明理由．18. （10分） (2017高二下·正定期末) 已知函数 .（1）求的单调区间；（2）求函数的极大值和极小值.19. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，PA⊥AD，CD⊥AD，PA=AD=CD=2AB，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面BEF；（Ⅱ）求锐二面角E﹣BD﹣C的余弦值．20. （15分） (2016高一下·溧水期中) 设m个正数a1 ， a2 ，…，am（m≥4，m∈N*）依次围成一个圆圈．其中a1 ， a2 ， a3 ，…ak﹣1 ， ak（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，而a1 ， am ， am﹣1 ，…，ak+1 ，ak是公比为2的等比数列．（1）若a1=d=2，k=8，求数列a1，a2，…，am的所有项的和Sm；（2）若a1=d=2，m＜2015，求m的最大值；（3）是否存在正整数k，满足a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．21. （10分）(2018·徐州模拟) 在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线：于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线 .（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点， .当线段的长度最小时，求的值.22. （15分）(2017·青浦模拟) 对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，其中m＜n，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”，区间[m，n]称为“保值区间”．（1）求证：函数g（x）=x2﹣2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”．（2）若函数f（x）=2+ ﹣（a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．（3）对（2）中函数f（x），若不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期入学考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．若222x y +>，则1x >或1y >的否命题是（ ） A ．若222x y +<，则1x ≤或1y ≤ B ．若222x y +<，则1x ≤且1y ≤ C ．若222x y +<，则1x <或1y < D ．若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤【答案】D【解析】将原命题的条件和结论都否定可得出其否命题，进而可得出结论. 【详解】由题意可知，命题“若222x y +>，则1x >或1y >”的否命题是“若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤”.故选：D. 【点睛】本题考查原命题的否命题的改写，但需注意“p q ∨”的否定为“()()p q ⌝∧⌝”，属于基础题.2．在复平面内，复数(1)(1)z a a i =-++（a R ∈，i 为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（ ） A ．1a ≥- B ．1a >-C ．1a ≤-D ．1a <-【答案】D【解析】试题分析：依题意可得101{,{,1010a a a a ->>+<+<即解得1a <-，故选D.【考点】复数的概念.3．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ） A ．23B ．32C ．23-D ．32-【答案】A【解析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列方程组求解即得. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .101010,70a S ==Q ，1191010910702a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩解得23d =. 故选：A . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 4．设函数()sin (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．13B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】试题分析：由题意可得：2·,,6,3k k Z k ππωω=∈∴=又0ω>，所以当1k =时，ω的最小值是6，故选C. 【考点】正弦函数的性质.5．已知x y 、满足2213xy +=，则2432u x y x y =+-+--的取值范围为（ ）A ．[]112， B ．[]06，C ．[]012， D ．[]113， 【答案】D【解析】由题意，令,sin x y αα==，所以2sin )4x y αααθ+=+=+<， 所以2442x y x y +-=--，因为22sin )3x y αααβ+=+=+<，所以3232x y x y --=--所以243242373()u x y x y x y x y x y =+-+--=----+=-+07sin )76sin(60)ααα=-+=-+ 所以113u ≤≤，故选D.6．已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，则OM u u u u r 的取值范围是（ ） A ．[)0,3 B ．()0,22C ．)22,3⎡⎣D ．(]0,4 【答案】B【解析】采用数形结合，通过延长1F M 结合角平分线以及10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，利用中位线定理以及椭圆的定义，得到2212242OM a PF PF =-=-u u u u r u u u u r u u u u r，然后根据2PF 的范围，可得结果. 【详解】 如图，延长1F M 交2PF 的延长线于点G ，∵10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，∴1FM MP ⊥u u u u r u u u r . 又MP 为12F PF ∠的平分线，∴1PF PG =u u u r u u u r ，且M 为1F G 的中点.∵O 为12F F 的中点，∴212OM F G =u u u u r u u u u r.∵2212F G PG PF PF PF =-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， ∴2212242OM a PF PF =-=-u u u u r u u u u r u u u u r ，∵2422422PF -<<+u u u u r ，且24PF ≠u u u u r，∴(0,22OM ∈u u u u r.故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的应用，属中档题.7．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2670，则判断框中的条件可以为（ ）A ．5?i <B ．6?i <C ．7?i <D ．8?i <【答案】B【解析】阅读流程图，程序运行如下：第一次循环：1,2,12S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第二次循环：4,6,13S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第三次循环：18,21,14S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第四次循环：84,88,15S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第五次循环：440,445,16S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第六次循环：2670S S i =⨯=；由题意可知，此时程序应跳出循环，则判断框中的条件可以为6?i < 本题选择B 选项.点睛：一是利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；二是注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．8．已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( )A ．35 B ．925 C ．1625D ．25【答案】B【解析】PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π-16π925π25=,故选B.9．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．203C ．263D ．8【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥， 则12111202242223323V V V =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选B. 【考点】三视图，几何体的体积10．已知函数224log ,02(){1512,22x x f x x x x <<=-+≥，若存在实数a b c d 、、、，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ）A ．(16,21)B ．(16,24)C ．(17,21)D ．(18,24)【答案】B【解析】试题分析：如下图，由1,10ab c d =+=，得(10)(16,24)abcd cd c c ==-∈．【考点】函数与方程及函数图象的应用.11．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r，则三角形ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是【答案】B【解析】取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r代入计算，再利用向量的线性运算求解． 【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<， 由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形． 故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r．12．设函数2()ln 2f x x x x =-+，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[(2),(2)]k a k b ++，则k 的取值范围是（ ）A．92ln2[1,]4+B．92ln2(1,)4+C．92ln2[1,]10+D．92ln2(1,]10+【答案】D【解析】判断f（x）的单调性得出f（x）＝k（x+2）在[12，+∞）上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范围．【详解】f′（x）＝2x﹣lnx+1，f″（x）＝21x -，∴当x12≥时，f″（x）≥0，∴f′（x）在[12，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（12）＝2﹣ln12＞0，∴f（x）在[12，+∞）上单调递增，∵[a，b]⊆[12，+∞），∴f（x）在[a，b]上单调递增，∵f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，∴()() ()()22f a k af b k b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，∴方程f（x）＝k（x+2）在[12，+∞）上有两解a，b．作出y＝f（x）与直线y＝k（x+2）的函数图象，则两图象有两交点．若直线y＝k（x+2）过点（12，9142+ln2），则k92210ln+=，若直线y＝k（x+2）与y＝f（x）的图象相切，设切点为（x0，y0），则002000000(2)221y k x y x x lnx x lnx k=+⎧⎪=-+⎨⎪--=⎩，解得01x =，k ＝1． ∴1＜k 92210ln +≤， 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.二、填空题13．设{}1,0,1,3a ∈-，{}2,4b ∈-，则以(),a b 为坐标的点落在第四象限的概率为___________. 【答案】14【解析】根据分步计数原理求出以(),a b 为坐标的点的总个数，再求出落在第四象限的点的个数，根据古典概型的概率计算公式求出概率. 【详解】由题意{}1,0,1,3a ∈-,{}2,4b ∈-,则以(),a b 为坐标的点共有428⨯=个， 其中落在第四象限的点为()()1,2,3,2--，有2个， 所以落在第四象限的点的概率为2184P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题考查分步计数原理和古典概型，属于基础题.14．已知向量,a b rr 满足：13a =r ,1b =r ,512a b -≤r r ，则b r 在a r 上的投影的取值范围是 ． 【答案】5[,1]13【解析】试题分析：由13,1,512a b a b ==-≤r r r r，可得2(5)1692510144a b a b -=+-⋅≤r r r r ，整理得5a b ⋅≥rr ，根据则b r 在a r 上的投影长度为a b a⋅rr r513≥，而其投影肯定会不大于1b =r ，所以其范围为5[,1]13． 【考点】向量在另一个向量的方向上的投影的范围问题． 【考点】15．曲线sin y x =与直线,32x x ππ=-=及x 轴所围成的图形的面积是________．【答案】32【解析】试题分析：()()03223200033sin sin sin sin cos |cos |.2S xdx xdx xdx xdx x x ππππππ---=+=+=-+-=⎰⎰⎰⎰【考点】微积分基本定理的应用.【易错点晴】本题主要考查了利用微积分求平面图形的面积问题，属于基础题.解答本题的关键是结合正弦曲线准确表示出所求的面积，由于sin y x =在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象位于x 的下方，积分为负数，而在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象位于x 的上方，积分为正数，如果直接求,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的积分，会出现正负相消的情况，导致出错，所以应该分成两段来求解.16．如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(11)-，处标数字2，点(01)-，处标数字3，点(11)，--处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(01)，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =， ．【答案】()2211n m n ++--【解析】试题分析：从横轴上的点开始点开始计数，从1开始计数第一周共9个格点，除了四个顶点外每一行第一列各有一个格点，外加一个延伸点，第二周从10开始计，除了四个顶点的四个格点外，每一行每一列有三个格点，外加一个延伸点共17个，拐弯向下到达横轴前的格点补开始点的上面以补足起始点所在列的个数，设周数为t ，由此其规律是后一周是前一周的格点数加上8(1)t ⨯-，各周的点数和为()98181t S t t =+-=+，每一行（或列）除了端点外的点数与周数的关系是21b t =-，由于12349172533S S S S ====，，，，22(10)1(21)3f f ==，，，，2(32)5f =，，()2(1)21f n n n ⋯+=+，，．1n m n m >∴≥-Q ，，∴当n m >时，()2()211f m n n m n =++--，．故答案为()2211n m n ++--．【考点】归纳推理．【思路点睛】本题考查归纳推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，求解本题的关键是从特殊数据下手，找出规律，总结出所要的表达式；本题在解答时，由图形，格点的连线呈周期性过横轴，研究每一周的格点数及每一行每一列格点数的变化，得出规律即可．三、解答题17．通过市场调查,得到某种产品的资金投入x (单位:万元)与获得的利润y (单位:万元)的数据,如表所示: 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y 23569(1)画出数据对应的散点图;(2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$; (3)现投入资金10万元,求获得利润的估计值为多少万元?参考公式：1122211ˆ()ˆ)(()nni i i ii i n ni ii i x x y y x y nxyax x xnx b y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【答案】（1）见解析；（2）$1.7 1.8y x =-；（3）15.2万元【解析】试题分析：(1)依次画出图中所对应的五个点，（2）根据上表提供数据，先求平均数和，然后根据所给的第二个公式，计算，和，代入公式求出以后，再根据回归直线过点，代入直线方程求，得到回归直线方程；（3）当时，代入回归直线方程，得到利润的预报值.试题解析：（1）（2）2345645x ++++==，2356955y ++++==122123334556695451.749162536516ni ii nii x y nxyb xnx ==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===++++-⨯-∑∑∴ 1.8a y bx =-=-，∴ 1.7.8ˆ1yx =- （3）当10x =（万元），ˆ15.2y=（万元） 【考点】1.散点图；2.回归直线方程.18．在数列{}n a 中，11a =，()1121n n n a ca c n ++=++()n *∈N ，其中实数0c ≠．(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式； (2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．【答案】(1) 21(1)n n n a n c c -=-+()n *∈N (2)见解析【解析】试题分析：（1）()2101111a c c ==-+，()22221a c c =-+，()232331a c c =-+可归纳猜测()211n n n a n c c-=-+；（2）根据数学归纳法证明原理，01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立．02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c -=-+只需证明当1n k =+时，()21111k k k a k cc ++⎡⎤=+-+⎣⎦即可..试题解析：(1) 由11a =，及()1121n n n a ca c n ++=++ ()*n N ∈得()22221321a ca c c c =+⋅=-+，()332221a ca c =+⨯+= ()()22321221c c c c ⎡⎤-++⨯+⎣⎦()23231c c =-+ 于是猜测: ()211n n n a n c c-=-+ ()*n N∈(2)下面用数学归纳法予以证明:01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立． 02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c -=-+那么，当1n k =+时， 由()1121k k k a ca ck ++=++ ()211k k c k c c -⎡⎤=-+⎣⎦()121k c k +++ ()212k k k k c c +=++ ()2111k k k c c +⎡⎤=+-+⎣⎦显然结论成立．由01、02知，对任何*n N ∈都有()211n n n a n c c-=-+ ()*n N∈19．已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-v v，且m n ⊥u v v． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角A,B,C 的对边，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．.【答案】（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3 ． 【解析】（1）由向量的数量积为0可得函数的解析式，然后根据正弦函数的单调区间可得所求．（2）由（1）及题意可得3A π=，然后由余弦定理和4b c +=可求得4bc =，最后根据三角形的面积公式可得所求． 【详解】 （1）∵，∴，，由，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴函数的递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由（1）得，∴，，，∴．在中，由余弦定理得，，∴，∴．【点睛】将三角函数的内容和解三角形的知识结合在一起考查是常见的题型，此类问题难度一般不大，属于中档题，解题时根据条件及要求逐步求解即可．对于解三角形和三角形面积结合的问题，一般要注意公式的变形和整体思想的运用，如利用()2222a b a b ab +=+-，将a b +和ab 作为整体求解，可提高解题的效率．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值； （2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值． 【答案】（1）1010；（2）3. 【解析】【详解】试题分析：（1）依题意，可以以G 点为原点，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，由向量的夹角公式即可求得两异面直线所成角的余弦值；（2）可设(0,,)F y z ，由和共线得到点F 坐标，求出其长度即可. 试题解析：（1）以G 点为原点，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(0,2,0),(0,0,4)C P ，故()()1,1,0,1,1,0,(0,2,4),E GE PC ==-u u u r u u u r∵，∴GE 与PC 所成角的余弦值为1010． （2）解：设(0,,)F y z ，则，∵，∴，即33(,,)(0,2,0)23022y z y -⋅=-=，∴32y =， 又，即3(0,,4)(0,2,4)2z λ-=-，∴1z=，故3 (0,,1)2F，，∴352352PFFC==【考点】空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.21．已知抛物线C的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c>到直线的距离为322．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线,PA PB，其中,A B为切点．(1) 求抛物线C的方程；(2) 当点()00,P x y为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3) 当点P在直线l上移动时，求AF BF⋅的最小值．【答案】(Ⅰ)24x y=(Ⅱ)00220x x y y--=(Ⅲ)92【解析】试题分析：（1）设拋物线C的方程为24x cy=，利用点到直线的距离,求出1c=,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线,PA PB的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线AB的方程；（3）由拋物线定义可知121,1AF y BF y=+=+，联立直线与抛物线方程,消去x,得到一个关于y的一元二次方程,由韦达定理求得1212,y y y y+的值,还有002x y=+,将AF BF⋅表示成y的二次函数的形式,再求出最值.试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线C 的方程为24x cy =2=结合0c >，解得1c =，所以拋物线C 的方程为24x y =.（2）拋物线C 的方程为24x y =，即214y x =，求导得12y x '=， 设()()1122,,,A x y B x y (其中221212,44x x y y ==)则切线,PA PB 的斜率分别为1211,22x x ， 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即211122x x y x y =-+，即11220x x y y --=，同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=， 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解， 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.（3）由拋物线定义可知121,1AF y BF y =+=+， 联立方程002220{4x x y y x y--==，消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=.由一元二次方程根与系数的关系可得2212001202,y y x y y y y +=-=，所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上，所以002x y =+，所以2222000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭， 所以当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值,且取得最小值为92. 【考点】1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于0的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线,PA PB 的方程,得出直线AB 的方程;第三问先用抛物线定义把,AF BF 的值表示出来,联立直线AB 与抛物线方程,得到1212,y y y y +的值, 将AF BF ⋅表示成0y 的二次函数的形式,再求出最值.22．已知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈. （1）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值 【答案】（1）()1,+∞；（2）2 【解析】试题分析：（1）由()10f =可求得2a =，求导后令()0f x '<解不等式可得单调递减区间．（2）构造函数()()()()211ln 112g x f x ax x ax a x =--=-+-+，则问题等价于()0g x <在()0,+∞上恒成立．当0a ≤时，求导可得()g x 在()0,+∞上单调递增，又()31202g a =-+>，故不满足题意．当0a >时，可得()g x 的最大值为11ln 2g a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()1ln 2h a a a =-单调递减，且()1102h =>，()12ln204h =-<，所以当2a ≥时，()0h a <，从而可得整数a 的最小值为2． 试题解析： （1）因为()1102af =-=， 所以2a =，故()2ln ,0f x x x x x =-+>，所以()2121(1)(21)21x x x x f x x x x x-++-+=-+==-'(0)x >， 由()0f x '<，解得1x >，所以()f x 的单调减区间为()1,+∞．（2）令()()()()211ln 112g x f x ax x ax a x =--=-+-+，0x >， 由题意可得()0g x <在()0,+∞上恒成立．又()()()21111ax a x g x ax a x x-+-+=-+-='．①当0a ≤时，则()0g x '>． 所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 又因为()()2131ln11112022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立．②当0a >时，()()()21111a x x ax a x a g x x x⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭==-'， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减． 故当1x a=时，函数()g x 取得极大值，也为最大值，且最大值为()2111111ln 11ln 22g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()1ln ,02h a a a a=->， 则()h a 在()0,+∞上单调递减， 因为()1102h =>，()12ln204h =-<． 所以当2a ≥时，()0h a <， 所以整数a 的最小值为2．。
湖南高二下学期入学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则=（ ）{}12A x x =-≤{}2|60B x x x =∈--≤N A B ⋂A ． B ． []1,3-{2,1,0,1,2,3}--C ． D ．{0,1,2,3}{1,2,3}【答案】C【分析】解一元二次不等式求出集合，根据交集运算求解. ,A B 【详解】解：因为， {}{}[]122121,3A x x x x =-≤=-≤-≤=-解得，且，所以，260x x --≤23x -≤≤x N ∈0,1,2,3x =所以，所以=. {}0,1,2,3B =A B ⋂{0,1,2,3}故选：C.2．已知复数满足（是虚数单位），则（ ） z ()1i sin i cos z αα+=+i z =A ．BCD ．112【答案】B【分析】利用复数的除法运算求得z ，再求模. 【详解】因为，()1i sin i cos z αα+=+所以，()()()()sin i cos 1i sin i cos sin cos sin cos i 1i 1i 1i 22z αααααααα+-++-+===+++-解得z ==故选：B3．“”是“方程表示双曲线”的（ ）m>222121x y m m -=--A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】方程表示双曲线等价于，求解判断即可22121x y m m -=--()()210m m --<【详解】方程表示双曲线等价于，即或，22121x y m m -=--()()210m m --<1m <m>2故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.m>222121x y m m -=--故选：A4．已知 ，直线 ，若l 与⊙O 相离，则（ ） 222:O x y r +=A 223l x y r +=：A ．点 在l 上 B ．点在上 (2,3)P (2,3)P O A C ．点在 内 D ．点在外(2,3)P O A (2,3)P O A 【答案】C【分析】根据l 与相离,，即可推出O A r >，即可得答案.||r OP >【详解】由已知l 与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，O A不妨设为， r 222:O x y r +=A r =>故，由于，所以, r >(2,3)P ||r OP >则点在内， (2,3)P O A 故选：C ．5．已知三角形中三边长为，，，若，，成等差数列，则直线与直线a b c lg a lg b lg c ax by a +=的位置关系为（ ）bx cy b +=A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．重合【答案】D【分析】根据等差中项的性质及对数的运算可得，再根据两直线的位置关系判断即可. 2ac b =【详解】解：因为，，成等差数列，所以，即， lg a lg b lg c lg lg 2lg a c b +=2ac b =对于直线与直线，满足， ax by a +=bx cy b +=a b a b c b==所以直线与直线重合. ax by a +=bx cy b +=故选：D6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个0R 感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传0R 染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个0 3.8R =初始感染者增加到1000人大约需要（ ）轮传染？(初始感染者传染个人为第一轮传染，这0R 0R 个人每人再传染个人为第二轮传染……) 0R A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】根据题意列出方程，利用指数运算性质求解即可.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染, 则每轮新增感染人数为， 0nR 经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=- 即，解得，11 3.8=10001 3.8n +-- 4.94n ≈所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染， 故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．7．用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的α容积最大时，扇形的圆心角为（ ） αA ．BCD2π3【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，求出，表示出体积表达式r h V 222r h R +=（），利用导数求出函数的最大值，得到结果．223111333V r h R h h πππ==-0h R <<【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么r h V 222r h R +=因此，（）223111333V r h R h h πππ==-0h R<<2213V R h ππ'∴=-令得 0V '=hR =当时， 0h <<0V'>时， h R <<0V '<时，取得极大值，并且这个极大值是最大值． h ∴=V 把代入，得 h =222rh R +=r =由，得 2R r απ=α=即圆心角弧度时，漏斗容积最大 α故选：D.8．，，，则的大小关系为（ ）. 1sin 0.1a =+0.1e b =1716c =,,a b c A ． B ． b c a >>b a c >>C ． D ．a b c >>c b a >>【答案】B【分析】分别构造函数证明与，利用这两个不等式可判断；构造e 1,(0)x x x >+>sin ,(0)x x x >>b a >函数，可证得，即可判断，从而得出答案.()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭5sin 8x x >a c >【详解】令，则，()e 1),(0)(x f x x x +-=>e ()10x f x '=->则在上单调递增，故，则． ()f x (0,)+∞()(0)0f x f >=e 1,(0)x x x >+>令，则，()sin ,(0)g x x x x =->()1cos 0g x x '=-≥则在上单调递增，故，则． ()g x (0,)+∞()(0)0g x g >=sin ,(0)x x x >>所以，即；0.1e 10.11sin 0.1>+>+b a >令，则，()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()5cos 8h x x '=-因为，则，故， π06x <<cos 1x <<5cos 8x >>()0h x '>所以在上单调递增，则，即，()h x π0,6⎛⎫⎪⎝⎭()()00h x h >=5sin 8x x >易知，所以，则，即；π0.10,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭51sin 0.10.1816>⨯=1171sin 0.111616+>+=a c >综上：. b a c >>故选：B.二、多选题9．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）()y f x =A ．在上是增函数()f x ()2,1--B ．在上是减函数 ()f x ()2,4C ．当时，取得极小值 =1x -()f xD ．当时，取得极大值 1x =()f x 【答案】BC【分析】根据导数与原函数关系解决.【详解】从导函数图像可以看出函数在上为单调减函数；()f x ()()2,1,2,4--在上为增函数，故A 错B 对，C 对D 错. ()f x ()()1,2,4,5-故选：BC10．已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，1111ABCD A B C D -a M 1CC 则（ ）A ．任意，0a >1A M BD ⊥B ．存在，直线与直线相交 0a >11A C BMC ．平面与底面 1A BM 1111D C B A D ．当时，三棱锥外接球表面积为 2a =11B A BM -3π【答案】AC【分析】对于A ，由题意可得平面，从而可得，即可判断； BD ⊥11ACC A 1BD A M ⊥对于B ，根据异面直线的定义可得；对于C ，根据题意找出交线，然后求出交线长即可；对于D ，根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积. 【详解】解：对于A ，，，，，平面， BD AC ⊥1BD AA ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂11ACC A平面，平面，，故正确； BD ∴⊥11ACC A 1A M ⊂11ACC A 1BD A M ⊥对于B ，因为平面，平面，B ∈11A BC M ∉11A BC所以平面，BM ⊄11A BC 与异面，故不相交，故错误；BM ∴11A C 对于C ，延长，交于点，连接交于，为中点，BM 11B C N 1A N 11D C P M 1CC， 1()NC M BCM ASA ≅A A 所以, 1NC CB =所以, 1112,1NB A B ==所以，1NA =平面平面， 1A BM 11111A B C D A N =平面与底面交线为， 1A BM 1111D C B A 1A P其中为中点，所以 P 11C D 1A P =对于D ，，是直角三角形，外接圆是以为直径的圆，2a =11A B B △1A B圆心设为，半径P '12=A B 取中点，则平面，， 1BB Q MQ ⊥11ABB A 12P Q '=所以，2222541(1)4P O R P O R⎧+=⎪⎪⎨''⎪-+=⎪⎩所以， 254R =，故错误.24π5π3πR =≠故选：．AC 11．已知数列的前项和为，且，则（ ） {}n a n n S 11a =12n n a a n ++=A ．B ．618S =,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数C ．数列为等差数列 D ．为奇数时，{}n a n ()212nn S n -=+【答案】ABD【分析】利用并项求和法可判断AD 选项；利用等差数列的定义可判断BC 选项. 【详解】对于A 选项，，A 对； ()()()()6123456213518S a a a a a a =+++++=⨯++=对于B 选项，因为，则，122a a +=2121a a =-=对任意的，由可得， N n *∈12n n a a n ++=()2121n n a a n +++=+上述两个等式作差可得，22n n a a +-=所以，数列中的奇数项成以为首项，公差为的等差数列， {}n a 12数列中的偶数项成以为首项，公差为的等差数列，{}n a 12当为奇数时，设，则，n ()21N n k k *=-∈()2112121n k a a a k k n -==+-=-=当为偶数时，设，则，n ()2N n k k *=∈()221211n a a k k n =+-=-=-综上所述，，B 对；,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数对于C 选项，，故数列不是等差数列，C 错；32211a a a a -=≠-{}n a 对于D 选项，当为奇数时，设，则， n ()21N n k k *=-∈12n k +=则()()()2212342122n k k k k k S S a a a a a a a a -=-=++++++-()()()()221212132121212212k k k k k k k +-=+++---=--=-+⎡⎤⎣⎦ ，D 对. ()()2221112112222n n n n n -+⎛⎫=⨯-++=+=+ ⎪⎝⎭故选：ABD.12．设O 为坐标原点， F 为抛物线C ：的焦点，过焦点F 且倾斜角为的直线与22(0)x py p =>θl 抛物线C 交于M ，N 两点（点M 在第二象限），当时，，则下列说法正确的是30θ= ||2MF =（ ） A ．3p =B ．△MON 的面积的最小值为92C ．存在直线，使得l 90OMF ONF ∠∠> ＋D ．分别过点M ，N 且与抛物线相切的两条直线互相垂直 【答案】ABD【分析】根据抛物线定义结合三角函数可求，通过设直线的方程为，与抛物线联3p =l 32y kx =+立则得到韦达定理式，而面积表达式，韦达定理式代入上式即可求出面积最121322MON S x x =⨯-A 值，求出则可判断C ，利用导数的几何意义即可得到两切线斜率之积为，则0OM ON ⋅< 12119x x =-可判断D.【详解】作出如图所示图形：对A ，由抛物线定义及题意得，222sin 302M M p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即，解得，故A 正确；2212M M p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3p =对B ，，则，当直线的斜率不存在时，显然不合题意，3p =30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭l设()()1122,,,M x y N x y 设直线的方程为，联立抛物线得l 32y kx =+22x py =，则，2690x kx --=12126,9x x k x x +==-， 1139222MON S x =⨯≥A 当且仅当时等号成立，故B 正确；0k =对C ，121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()()221212393927191624244k x x k x x k k k =++++=-++⋅+=-故为钝角，则不存在直线，使得，故C 错误； MON ∠l 90OMF ONF ︒∠+∠>对D ，，即，故， 26x y =216y x =13y x '=故在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为,M 113x N 213x 故斜率之积为，故相切的两条直线互相垂直，故D 正确.12119x x =-故选：ABD.三、填空题13．已知，，若，则m 的值为______. ()1,5,2a =- (),2,2b m m =+ a b ⊥【答案】6【分析】根据向量垂直于向量数量积之间的关系解方程即可.【详解】解：∵，a b ⊥∴，即，0a b ⋅=()()1,5,2,2,20m m -⋅+=∴，解得. 10240m m +--=6m =故答案为：6.14．记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，，则___________. 12103a a a =≠，105S S =【答案】4.【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 1a d 【详解】因，所以，即，213a a =113a d a +=12a d =所以． 105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．15．若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B ，直22221x y a b+=x 1222+=1x y 线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ______________AB 【答案】22154x y +=【详解】∵点(1，)在圆外，过点(1，)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的1212右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB12上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是＋＝1． 25x 24y16．如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，xOy ABCD AB AD ⊥CB CD ⊥，若点，分别为椭圆：（）的上､下顶点，点在椭圆20BA BC DA DC ⋅+⋅= AC E 22218x y b+=0b >B 上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为___________.E D E E【答案】4【分析】先由，判断出，，，四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆AB AD ⊥CB CD ⊥A B C D 的方程，将代入椭圆及圆的方程，可求出，即可求得焦距. ()0,b 2b 【详解】由题意得，，设，.连接，()0,A b ()0,C b -()11,B x y ()22,D x y BD 由，，可知，，，在以为直径的圆上，且， AB AD ⊥CB CD ⊥A B C D BD M πABC ADC ∠+∠=又原点为圆的弦的中点，O M AC 所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又，AC x 120y y +=20BA BC DA DC ⋅+⋅=所以， cos 2cos 0BA BC ABC DA DC ADC ∠+∠=因为，所以，πABC ADC ∠+∠=cos cos 0ABC ADC ∠+∠=所以， ()2cos 0BA BC DA DC ADC -∠⋅= 当时，则0，cos 0ADC ∠≠2BA BC DA DC -=若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾， cos 0ADC ∠=ABCD D E D E 所以，所以，故圆的圆心坐标为， 2ABCADC S S =A A 122x x =-M 1,04x ⎛⎫⎪⎝⎭所以圆的方程为，将代入可得，又，M 22221119416x x y x y ⎛⎫-+=+⎪⎝⎭()0,b 2221112b x y =+2211218x y b +=所以，故椭圆的焦距为. 24b =E 4=故答案为：4.【点睛】关键点点睛：“，，”的化简､转化，由此得到，AB AD ⊥CB CD ⊥20BA BC DA DC ⋅+⋅=A ，，在以为直径的圆上以及该圆的方程.B C D BD M四、解答题17．已知数列的首项，且满足. {}n a 123a =121n n n a a a +=+(1)求证：数列为等比数列；11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若，求满足条件的最大整数. 121112023na a a +++< n 【答案】(1)证明见解析 (2)2022【分析】（1）先取倒数，然后通过构造法可证；（2）由（1）求数列的通项，然后可得的通项，最后分组求和可得.11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】（1）由题设可得， 111111222n n n na a a a ++==+⨯所以. 1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭又1111,2a -=所以是以首项，为公比的等比数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1212（2）由（1）可得，即， 111()2n n a -=1112n n a =+所以212111111112222n n n n n a a a ⎛⎫+++=++++=+- ⎪⎝⎭显然右边是递增数列， 112nn +-易知，当时，，2022n =202212022120232+-<时，不满足题意，2023n =202312023120232+->所以满足条件的最大整数是2022.18．已知曲线（，为常数）在处的切线方程为. 3y ax b =+a b 2x =440x y --=（1）求，的值；a b （2）求曲线过点的切线方程.()2,4P 【答案】（1），；（2）或.13a =43b =44y x =-2y x =+【分析】（1）求出导函数，由，解出，再由在切线上可求.22324x y a ==⨯='a ()2,4b （2）设切点，求出在切点处的导数值，根据切点既在切线上，也在曲线上，代入曲()00,x y ()00,x y 线方程与切线方程，联立求切点，代入切线方程即可求解. 【详解】（1），依题意可得，∴，23y ax '=22324x y a ==⨯='13a =当，代入直线方程得，将点代入曲线方程，求得； 2x =4y =()2,443b =（2）设切点，则，切线方程为，()00,x y 020x x k y x =='=()2042y x x -=-切点既在切线上，也在曲线上， ()00,x y 从而有，①()200042y x x -=-，② 3001433y x =+联立①②消去，整理可得，0y 3200340x x -+=，()()()()()23222000000000240222210x x x x x x x x x --+=⇒--+-=-+=解得或，切点为或，0024x y =⎧⎨=⎩0011x y =-⎧⎨=⎩()2,4()1,1-从而切线方程为或.44y x =-2y x =+19．在中，角、、所对的边分别为、、，. ABC A A B C a b c cos cos b C c B c -=(1)证明：.2B C =(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. ABC A 1c =a 【答案】(1)证明见解析； (2) ()1,2【分析】(1)由已知可得出，利用正弦定理化简得出，求出cos cos b C c B c -=()sin sin B C C -=的取值范围，讨论与的关系，可证得结论成立；B C -B C -C (2)由为锐角三角形求出的取值范围，利用正弦定理化简得出关于的函数关系式，结合ABC A C a C 余弦函数的基本性质可求得的取值范围.a 【详解】（1）因为，由正弦定理可得： cos cosb Cc B c -=，则.sin cos sin cos sin B C C B C -=()sin sin B C C -=因为，，所以，， 0πB <<0πC <<ππB C -<-<因为，则. ()sin sin 0B C C -=>0πB C <-<所以，或（舍去），即.B C C -=πB C C -+=2B C =（2）由为锐角三角形，可得，即， ABC A π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩解得，所以，，则， ππ64C <<ππ232C <<10cos 22C <<由正弦定理可得， sin sin a cA C=则 ()sin sin sin cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin sin sin sin B C A B C B C C C C Ca C C C C+++====.()222sin cos cos 2sin 2cos cos 22cos 211,2sin C C C C C C C C +==+=+∈故的取值范围是.a ()1,220．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，，D 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且4AC BC ==.将沿着DE 折起，形成四棱锥，其中点A 对应的点为点P ，如图2.DE AB ⊥ADE V -P BCDE(1)在图2中，在线段PB 上是否存在一点F ，使得∥平面PDE ？若存在，请求出的值，并说CF PFPB明理由；若不存在，请说明理由；(2)在图2中，平面PBE 与平面PCD 所成的锐二面角的大小为，求四棱锥的体积.3π-P BCDE 【答案】(1)当时，∥平面PDE ，理由见解析 13PF PB =CF (2) 289【分析】（1）利用线线平行即可证得平行.（2）利用向量法求得四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）当时，∥平面PDE . 13PF PB =CF理由如下：过点作，垂足为H ，C CH ED ⊥在PE 上取一点M ，使得，连接HM ，FM ，13PM PE =因为，，所以∥，且13PM PE =13PF PB =FM EB FM =13EB 因为D 是AC 的中点，且，所以∥，且 DE AB ⊥CH EB CH =13EB 所以∥且，CFMH 是平行四边形，即∥，CH FM CH =FM CF HM又因为平面PDE ，平面PDE ，所以∥平面PDE ； CF ⊄HM ⊂CF （2）易知，，且，DE PE ⊥DE BE⊥PE DE ==作平面，以向量为x ，y ，z 轴的正方向，EN ⊥EBCD ,,DE EB EN建立空间直角坐标系，设，PEB θ∠=则，，，()D()C-()P θθ则，，()DC =)DP θθ=设平面的法向量为， PCD (),,m x y z =则0,0,m DC m DP y z θθ⎧⋅==⎪⎨⋅=⋅+⋅=⎪⎩ 取，则，，sin x θ=sin y θ=cos 1z θ=--所以，()sin ,sin ,cos 1m θθθ=--易知平面的法向量，设平面PBE 与平面PCD 所成锐二面角为， PBE ()1,0,0n =rα由题意可知，， 1cos 2m n m n α⋅===⋅ 整理得，解得或（舍去）.23cos 2cos 10θθ+-=1cos 3θ=cos 1θ=-所以sin θ所以四棱锥的高， -P BCDE 43h θ==又四边形的面积，BCDE 22114722S =⨯-⨯=所以四棱锥的体积. -P BCDE 14287339V =⨯⨯=21．已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为2222:1x y C a b-=0a >0b >y =(1)求双曲线的方程；C(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB 的垂直平分线交AB 于，点的横坐标为A B C l M M 2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若P l P P 不存在，请说明理由.【答案】(1)；2213y x -=(2)存在，定圆： P 22(8)1x y -+=【分析】（1）设双曲线的右焦点，利用焦点到渐近线的距离求出，再根据渐近线方程及()2,0F c c ，求出，，即可得解；222c a b =+b a （2）先利用“点差法”写出直线的方程，再写出的中垂线的方程，求出所过的定点即为圆AB AB l l 的圆心，然后写出圆的方程即可.P 【详解】（1）设双曲线的右焦点，则点()2,0F c ()2,0F c 0y +=即，又渐近线方程为，即，d ==2c =y =b a =222c a b =+解得，，所以双曲线方程为.b 1a =2213y x -=（2）设，AB 的中点为，1122(,),(,)A x y B x y 00(,)M x y 由中点的横坐标为2可得，AB 120120222x x x y y y +⎧==⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩因为，是双曲线上不同的两点，所以 ， A B C 221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②得，①-②()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=当存在时，， AB k 12121212003()3462ABy y x x k x x y y y y -+⨯====-+因为AB 的中垂线为直线l ，所以，即，00(2)6y y y x -=--0:(8)6yl y x =--所以过定点，l (8,0)T 当不存在时，，关于轴对称，的中垂线为轴，此时也过， AB k A B x AB l x l (8,0)T 所以存在定圆：，使得被圆截得的弦长为定值.P 22(8)1x y -+=l P 2【点睛】方法点睛：点差法是解决弦的中点问题的常用方法，设而不求法是解决直线与椭圆相交时交点坐标相关问题的常用方法22．已知函数．()e -=x kf x x(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；()f x ()0,∞+k (2)若存在极小值，且极小值等于，求证：．()()ln g x f x k x =-()2ln k -ln 2e k k +>【答案】(1)； 1k ≥(2)证明见解析.【分析】（1）由条件可得在上恒成立，然后可得，然后()()2e e 0x x x kf x x --'=≥()0,∞+()e 1xk x ≥-利用导数求出的最大值即可；()()=e 1xx x ϕ-（2）求出，分、、、四种情况讨论的单调性，然后可得()g x '1k ≤1k e <<e =k e k >()g x ，令、，然后利用ln ln e e e tt t t t t ==()()ln 1x h x x x =>()()()()2e ln ln 2e 1e G x x x x x x =---<<()h x 、的单调性可证明.()G x 【详解】（1）因为在上单调递增，()e -=x kf x x ()0,∞+所以在上恒成立，且不恒等于，()()2e e 0x x x kf x x--'=≥()0,∞+()f x '0由可得，()()2e e 0x x x kf x x --'=≥()e 1xk x ≥-令，则，()()=e 1x x x ϕ-()()=e 1e =e 0x x xx x x ϕ'---<所以在上单调递减，()()=e 1xx x ϕ-()0,∞+所以；()01k ϕ≥=（2）因为，其定义域为，()()ln g x f x k x =-()0,∞+所以， ()()()()2e 1x k x k g xf x x x--''=-=①当时，，所以当时，单调递减，1k ≤e 0x k -≥()0,1x ∈()0g x '<()g x当时，单调递增，()1,x ∈+∞()0g x '>()g x 所以的极小值为，而，不合题意，()g x ()1e 0g k =->()2ln 0k -≤②当时，由可得或， 1k e <<()0g x '=ln x k =1x =当时，，单调递增， ()0,ln x k ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减， ()ln ,1x k ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增，()1,x ∈+∞()0g x '>()g x 所以的极小值为，而，不合题意，()g x ()1e 0g k =->()20ln k -<③当时，，在上单调递增，不合题意， e =k ()0g x '≥()g x ()0,∞+④当时，由可得或， e k >()0g x '=ln x k =1x =当时，，单调递增， ()0,1x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减， ()1,ln x k ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增， ()ln ,x k ∈+∞()0g x '>()g x 所以的极小值为，()g x ()()()2ln ln ln ln g k k k k =-=-令，则，()ln 1,t k =∈+∞2e ln t t t =所以，ln ln e e e tt t t t t ==令，则，，()()ln 1x h x x x=>()()e t h t h =()21ln xh x x -'=所以在上单调递增，在上单调递减，所以， ()h x ()1,e ()e,+∞1e e t t <<<令， ()()()()2e ln ln 2e 1e G x x x x x x =---<<则 ()()2e ln ln 2e 2e x xG x x x x x-'=-+--+-()()2222e 2e ln 2e ln e e ln e 202e 2e x x x x x x x x x x x--⎡⎤=--++=---+++>-+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦--所以在上单调递增，所以，()G x ()1,e ()()e 0G x G <=所以当时有， ()1,e x ∈()ln 2e ln 2e x x x x-<-因为，所以， 1e e tt <<<()ln 2e ln e ln e 2e t t t t t t -=<-又因为在上单调递减，所以， ()h x ()e,+∞e 2e t t >-所以，即.e 2e t t +>ln 2e k k +>。
湖南省长沙市雅礼中学高二下期中考试数学试题(理科)(无答案)
2019-2019学年度第二学期期中考试试卷高二数学(理科)(满分:150分 时量:120分钟)一、选择题(本小题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1.若集合{}023|2＞x x x A -+=,集合{}22|＜x x B =,则B A I等于A.()31，B.()1-∞-，C.()11，-D.()13，- 2.下列函数中既是偶函数,又在()0，∞-上单调递增的函数是 A.32-=x y B.x y cos = C.x y 2= D.xx y 1-= 3.下图是函数()()00sin ＞，＞ωϕωA x A y +=图象的一部分,则该函数的个解析式为 A.⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 32πx y B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 32πx y C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 32πx y D.⎪⎭⎫⎝⎛+=322sin 32πx y 4.命题“，，+∈∃∈∀N n R x 使得2x n ≥”的否定形式是A.，，+∈∃∈∀N n R x 使得2x n ＜B.，，+∈∀∈∀N n R x 使得2x n ＜C.，，+∈∃∈∃N n R x 使得2x n ＜D.，，+∈∀∈∃N n R x 使得2x n ＜ 5.若函数()x f y =同时满足下列3个性质,①最小正周期为π；②图象关于直线3π=x 对城；③在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-36π，π上是增函数，则()x f y =的解析式可以是 A.⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y B.⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y C.⎪⎭⎫⎝⎛-=62cos πx y D.⎪⎭⎫⎝⎛+=32cos πx y 6.设函数()()R x x f y ∈=的图象关于直线0=x 及直线1=x 对称,且[]10，∈x 时，()，2x x f =则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-23f A.21 B.41C.43D.49 7.0＜a 是方程0122=++x ax 至少有一个负根的A.必要不充分条件B.充分必要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 8.已知()，，1010sin 55sin -=-=βααβα、均为锐角,则β等于A.125π B.4π C.3π D.6π9.，，，21352ln 2log -===c b a 则A.c b a ＜＜B.a c b ＜＜C.a b c ＜＜D.b a c ＜＜ 10.设奇函数()x f 在[]11，-上为增函数,且()，11=f 若[]，，11-∈∃x 使[]，，11-∈∀a 不等式()122--≤at t x f 成立,则t 的取值范围是A.22≤≤-t B.2121≤≤-t C.022=-≤≥t t t 或或 D.02121=-≤≥t t t 或或 11.在平面直角坐标系内,若两点P 、Q 满足条件: ①P 、Q 都在函数()x f y =的图象上；②P 、Q 两点关于直线x y =对称则称点对{}Q P ，是函数()x f y =的乙对“和谐点对”(注:点对{}Q P ，与点对{}P Q ，看作同一对“和谐点对”). 已知函数()()()，＞⎩⎨⎧≤++=0log 02322x x x x x x f ,则此函数的“和谐点对”有 A.3对 B.2对 C.1对 D.0对12.设函数()x f f 在R 上存在导数()R x x f ∈∀'，有()()22x x f x f =-=,在[)∞+，0上()x x f 2＜'，若()()，m m f m f 8164-≥--,则实数m 的取值范围是 A.[)∞+，2 B.[)∞+，0 C.[]22，- D.(][)∞+-∞-，，22Y二、填空题(本大颶共4小题,每小题5分,共20分。
【20套精选试卷合集】长沙市南雅中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
高考模拟数学试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|(1)(2)0}{103}A x x x B =-+<=-，，，，则A B =I(A) {1,0}- (B) {0,3} (C) {1,3}-(D) {}1,0,3-2．已知i 是虚数单位，复数12i z =+，则i z =(A) 2i - (B) 2i + (C) 2i --(D) 2i -+3．下列命题，真命题的是(A) x ∃∈R ，22x x -≤ (B) x ∀∈R ，222x x >- (C) 函数1()f x x=为定义域上的减函数 (D) “被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数” 4．已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，则122+=||e e(A) 2 (B)5 (C) 3(D) 55．右图是计算1111248512++++L 的值的一个程序框图，其中 判断框内可以填的是 (A) 12?n ≥ (B) 11n ？≥ (C) 10n ？≥ (D) 9n ？≥6．已知函数2()sin 2cos 12xf x x =+-，()22sin cosg x x x =，下列结论正确的是 (A) 函数()f x 与()g x 的最大值不同(B) 函数()f x 与()g x 在35()44ππ，上都为增函数 (C) 函数()f x 与()g x 的图象的对称轴相同(D) 将函数()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再通过平移能得到()g x 的图象7． 直角三角形ABC 中，A ＝90°，B ＝60°，B ，C 为双曲线E 的两个焦点，点A 在双曲线E 上，则该双曲线的离心率为 (A) 31+(B) 21+(C)(D)38．下列关于空间的直线和平面的叙述，正确的是(A) 平行于同一平面的两直线平行 (B) 垂直于同一平面的两平面平行(C) 如果两条互相垂直的直线都分别平行于两个不同的平面，那么这两个平面平行 (D) 如果一个平面内一条直线垂直于另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 9． 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，如果水位下降52m 后（水深大于5 m ），水面宽度为 (A) m(B) 6 m (C) 25m(D) 4 m10．已知函数2342016()12342016x x x x f x x =+-+-+-L (其中x ＞0)，()ln 3g x x x =+-，设函数()(1)(1)F x f x g x =-+，且函数()F x 的零点都在区间[]()a b a b a b <∈∈Z Z ，，，内，则b a -的最小值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4(D) 5第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。
2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题文
2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝( )A．1 B．0 C．1＋i D．1－i2. 抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.3. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1；③用相关指数来刻画回归效果，越接近0，说明模型的拟合效果越好④对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中错误的个数是（）1 B．2 C.3 D．44．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)（n≥2，x1，x2，…，xn互不相等）的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线，y＝-2x+100上，则这组样本数据的样本相关系数为A. -1B. 0C.D. 15．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )A．2 B．3 C．6 D．86．已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( )A．8 B．9 C．12 D．167．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝18．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的A. 5B. 6C. 7D. 89. 有甲、乙、丙、丁四位同学参加数学奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学.甲说“是乙或丙获奖”；乙说“甲、丙都未获奖”；丙说“我获奖了”；丁说“是乙获奖”.四位同学的话只有两位是真的，则获奖的同学是A.甲B. 乙C. 丙D.丁10．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A. B. C. D.11.设矩形，以、为左右焦点，并且过、两点的椭圆和双曲线的离心率之积为（）A. B. C. D.条件不够，不能确定12.在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的差角公式．如：设是非零实数，且满足，则（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．某种服装的广告费支出与销售额单位：万元之间的关系如下表：y与x的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为_______．14.椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程是15．已知复数，x，，且，则的最大值为______．16已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为______．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：；；；；（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明这个结论．18.（本小题满分12分）第届冬季奥林匹克运动会（简称“北京张家口冬奥会”）将于年月日～月日在中国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，也是中国继“北京奥运会”、“南京青奥会”后，中国第三次举办的奥运赛事.某电视传媒公司为了解本地区观众对体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看体育节目时间的频率分布直方图（将日均收看体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”）.（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表：（Ⅱ）根据此调查结果，是否有﹪的把握认为“体育迷”与性别有关？（Ⅲ）己知在被调查的女性“非体育迷”中有名学生，其中位是小学生.现从这名学生中随机抽取人，求至多有位小学生的概率．0.100.050.0102.7063.8416.635参考公式和数据:,19.（本小题满分12分）（1）已知函数f(x)＝3x－2x，求证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f.（2）若均为实数，且，求证：中至少有一个大于0．20.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：千元对年销售量单位：和年利润单位：千元的影响，对近8年的年宣传费和年销售量2，，数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，Ⅰ根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由Ⅱ根据Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；Ⅲ已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据Ⅱ的结果回答下列问题：年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．21.（本小题满分12分）设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.22.（本小题满分12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x 轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝( )A．1 B．0 C．1＋i D．1－i2. 抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.3. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1；③用相关指数来刻画回归效果，越接近0，说明模型的拟合效果越好④对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中错误的个数是（）1 B．2 C.3 D．44．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)（n≥2，x1，x2，…，xn互不相等）的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线，y＝-2x+100上，则这组样本数据的样本相关系数为A. -1B. 0C.D. 15．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )A．2 B．3 C．6 D．86．已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( )A．8 B．9 C．12 D．167．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝18．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的A. 5B. 6C. 7D. 89. 有甲、乙、丙、丁四位同学参加数学奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学.甲说“是乙或丙获奖”；乙说“甲、丙都未获奖”；丙说“我获奖了”；丁说“是乙获奖”.四位同学的话只有两位是真的，则获奖的同学是A.甲B. 乙C. 丙D.丁10．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A. B. C. D.11.设矩形，以、为左右焦点，并且过、两点的椭圆和双曲线的离心率之积为（）A. B. C. D.条件不够，不能确定12.在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的差角公式．如：设是非零实数，且满足，则（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．某种服装的广告费支出与销售额单位：万元之间的关系如下表：y与x的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为_______．14.椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程是15．已知复数，x，，且，则的最大值为______．16已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为______．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：；；；；（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明这个结论．18.（本小题满分12分）第届冬季奥林匹克运动会（简称“北京张家口冬奥会”）将于年月日～月日在中国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，也是中国继“北京奥运会”、“南京青奥会”后，中国第三次举办的奥运赛事.某电视传媒公司为了解本地区观众对体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看体育节目时间的频率分布直方图（将日均收看体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”）.（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表：（Ⅱ）根据此调查结果，是否有﹪的把握认为“体育迷”与性别有关？（Ⅲ）己知在被调查的女性“非体育迷”中有名学生，其中位是小学生.现从这名学生中随机抽取人，求至多有位小学生的概率．0.100.050.0102.7063.8416.635参考公式和数据:,19.（本小题满分12分）（1）已知函数f(x)＝3x－2x，求证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f.（2）若均为实数，且，求证：中至少有一个大于0．20.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：千元对年销售量单位：和年利润单位：千元的影响，对近8年的年宣传费和年销售量2，，数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，Ⅰ根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由Ⅱ根据Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；Ⅲ已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据Ⅱ的结果回答下列问题：年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．21.（本小题满分12分）设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.22.（本小题满分12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.。
湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年第二学期高二入学考试数学试卷
雅礼中学2020年上学期入学考试试卷高二数学时量：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数421i z i+=+（为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） A.815B.18C.115D.1303. 函数32y x ax a =-+在内有极小值，则实数a 的取值范围为（ ） A.B.C.D.4. 已知p ：20x x -<，那么p 的一个必要不充分条件是（ ） A. 01x <<B. 11x -<<C.1223x << D.122x << 5. 在由0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有（ ） A. 512个B. 192个C. 240个D. 108个6. 已知函数()22cos f x x x =+，若()'f x 是()f x 的导函数，则函数()'f x 的图象大致是（ ） A.B.C.D.7. 已知双曲线M 的焦点1F ，2F 在x 轴上，30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且.如果抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12PF PF ⋅=（ ） A. 21B. 14C. 7D. 08. 有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（ ）号同学.A. 1B. 2C. 3D. 4，5，6号中的一个9. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c+-，则C =（ ）A.2π B.3π C.4π D.6π 10. 设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，，且()30g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A.B.C.D.11. 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x 的关系是()21400,0400280000,400x x x R R x x ⎧-≤≤⎪==⎨⎪>⎩，则总利润最大时，年产量是（ ） A. 100B. 150C. 200D. 30012. 已知椭圆T ：的离心率为，过右焦点F 且斜率为的直线与T 相交于A ，B 两点，若，则k =（ ） A. 1B.C.D. 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13. 双曲线221x y -=的离心率为______.14. 如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=︒，且2PA AD ==，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为______.15. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法.16. 已知函数()()2112x x x x a e e f x --+-++=有唯一零点，则a =______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知在等比数列中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列的通项公式；（2）若数列满足()*21n n b n a n N =-+∈，求的前n 项和n S .18. 已知函数()()22sin cos cos x x f x x x R x =--∈. （Ⅰ）求的值.（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.19. 《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（2）若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式：，. 参考数据：511415i ii x y==∑.20. 如图（1），在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接PA ，PB ，PD ，得到如图（2）的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ； （2）求二面角B AP O --的余弦值.21. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点到抛物线C ：的准线的距离为54.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点在直线OM 上.（1）求曲线C 的方程及点M 的坐标； （2）记()d m =AB （用m 表示）；并求d 的最大值.22. 已知函数，()1xg x xe-=（a R ∈，e 为自然对数的底数） .（Ⅰ）若不等式()0f x >对于一切恒成立，求a 的最小值；（Ⅱ）若对任意的(]00,x e ∈，在上总存在两个不同的，使成立，求a 的取值范围.雅礼中学2020年下学期高二入学考试试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-5：DCDBD 6-10：ABCCA 11-12：DB1.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】解：∵41i =，∴复数()()()31213311122i z i i i i -+===-++-，故选D. 5.【答案】D【解析】能被5整除的四位数，可分为两类：一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有54360⨯⨯=（个）. 二类是末位为5，由分步乘法计数原理共有44348⨯⨯=（个）. 由分类加法计数原理得6048108+=（个）. 6.【答案】A解析：设，，所以函数()'f x 在R 上单调递增，故选A. 7.【答案】B【解析】∵双曲线M 的焦点1F ，2F 在x 轴上，∴设双曲线的方程为.∵抛物线216y x =的准线4x =-过双30y +=， ∴，解得，∵点P 在双曲线M 上，且，根据双曲线的定义以及勾股定理得，. 故选B. 8.【答案】C【解析】C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，则B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，则获得特等奖的是3号同学. 9.【答案】C【解析】利用面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=和余弦定理2222cos a b c ab C +-=进行计算可得. 详解：由题可知，所以2222sin a b c ab C +-=，由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，所以sin cos C C =，∵()0,C π∈，∴4C π=，故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理. 11.【答案】D【解析】由题意得，总成本函数为()20000100C C x x ==+，总利润()230020000,0400260000100,400x x x x x P x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩， 又()300,0400100,00'4P x x x x -≤≤⎧=⎨->⎩，令()'0P x =，得300x =，易知300x =时，总利润()P x 最大. 12.【答案】B【解析】设()11,A x y ，. ∵，∴123y y =-.∵e =2a t =，c =，b t =， ∴222440x y t +-=.①设直线AB 方程为，代入①中消去x ，可得()22240s y t ++-=，∴12y y +=，21224t y y s =-+，即22y -=，222234t y s -=-+，解得212s =，∴12sk ===故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上.13.14. 15. 24 16.1214.【答案】【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则，，()2,0,0B ，. ，，故cos ,6EF BD ==.15.【答案】24【解析】5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有22222324A A A =（种）不同的方法. 16.【答案】12【解析】试题分析：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设，则()()2111111'11x x x x x x eeeeeg x e---+----=-=-=，当()'0g x =时，1x =，当1x <时，()'0g x <，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =， 设，当1x =时，函数取得最小值-1，当时，因()y ag x =与()y h x =图象均关于直线1x =对称，因此，交点个数成对出现，不可能出现交点个数为1的情况.当时，()()11ag h -=时，此时函数()h x 和()ag x 有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =. 【易错分析】经几何画板验证，a -大于0时，两函数图象并不是没有交点，而是两图象均关于1x =对称，因此交点个数成对出现，例0.4a =-时有4个交点.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）设公比为q ，则2a q =，23a q =，∵2a 是1a 和31a -的等差中项，∴()()2213212112a a a q q q =+-⇔=+-⇔=，∴.（2）121212n n n b n a n -=-+=-+，则221n n =+-.18.【解析】（Ⅰ）由2sin 3π=21cos 32π=-，22211322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （Ⅱ）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得 ，由正弦函数的性质得，k Z ∈， 解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间是.19.【解析】（1）由表中数据知，3x =，100y =， ∴，125.5a y bx =-=，∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+，令9x =，则8.59125.549y =-⨯+=人. （2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员，设其编号分别为1a ，2a ，3a ，4a ，4月份应抽取3位驾驶员，设其编号分别为1b ，2b ，3b ，从这7人中任选2人包含以下基本事件，()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，，()12,a b ，，， ，()22,a b ，()34,a a ，，()13,a b ，，()33,a b ，，()13,b b ，()23,b b ，()32,a b ，，()42,a b ，()12,b b 共21个基本事件；设“其中两个恰好来自同一月份”为事件A ，则事件A 包含的基本事件是()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()23,a a ，()24,a a ，()34,a a ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共有9个基本事件，()93217P A ==. 20.【解析】（1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴//BD EF ，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴EF AC ⊥，∴EF AO ⊥，EF PO ⊥.∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，，∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA . （2）解：设AOBD H =，连接BO .∵60DAB ∠=︒，∴ABD ∆为等边三角形，∴4BD =，2BH =，HA =HO PO =在Rt BHO ∆中，BO ==在PBO ∆中，22210BO PO PB +==，∴PO BO ⊥.∵PO EF ⊥，，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED .以O 为原点，所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示，则，，(P ，，∴(AP =，()AB =.设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =， 由，，得，令1y =，得3z =-，. ∴平面PAB 的一个法向量为.由（1）知平面PAO 的一个法向量为， 设二面角B AP O --的平面角为θ，则，二面角为锐角，∴二面角B AP O --21.【解析】（1）的准线为2p x =-， ∴5124p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴12p =， ∴抛物线C 的方程为2y x =. 又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =. 故()1,1M .（2）由（1）知，点()1,1M ， 从而n m =，即点，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0， 设直线AB 的斜率为，且()11,A x y ，， 由，得， 故21k m ⋅=，所以直线AB 的方程为()12y m x m m-=-， 即2220x my m m -+-=.由，消去x ，整理得22220y my m m -+-=， 所以2440m m ∆=->，122y y m +=，.从而12A y B y =- .∴()11d m m ==≤+-=，当且仅当1m m =-，即12m =时，上式等号成立， 又12m =满足2440m m ∆=->.∴d 的最大值为1. 22.【解析】（Ⅰ）由题意得在恒成立，即2ln 21xa x >--在恒成立， 设()2ln 21xh x x =--，，则，设()22ln 2x x x ϕ=+-，，则()222'0x x xϕ=-<，∴()x ϕ在上是减函数，∴()122ln 202x ϕϕ⎛⎫>=->⎪⎝⎭， ∴()'0h x >，∴()h x 在上为增函数，∴()124ln 22h x h ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， ∴24ln 2a ≥-，∴a 的最小值为24ln 2-； （Ⅱ）∵()1xg x xe-=，∴，∴()g x 在上递增，在上递减，又∵()00g =，()11g =，， ∴函数()g x 在上的值域为， ∵，∴，①当2a ≥时，()'0f x <，()f x 在上单调递减，不合题意； ②当2a <时，令()'0f x >，则22x a >-；令()'0f x <，则202x a<<-，i ）当22e a ≥-，即222a e -≤<时，()f x 在上单调递减，不合题意； ii ）当22e a <-，即22a e<-时，()f x 在上单调递减，在上单调递增； 令，22a e <-，则()'2am a a-=-，∴()m a 在上单调递增，在上单调递减； ∴，即22ln 02a a-≤-在上恒成立， 令22t a =-，则0t >，设()1ln k t t t =+，0t >，则()21't k t t-=， ∴()k t 在上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴，即1ln 0t t +>，∴1ln t t>-， ∴，即232222a a e e a-->>-， ∵当时，()()()212ln 22ln f x a x x a x =--->--()231a a >---=， 且()f x 在上连续，∴欲使对任意的(]00,x e ∈，在上总存在两个不同的，使成立， 则需满足()1f e ≥，即321a e ≤--， 又∵，∴23221e e ->--，∴321a e ≤--， 综上所述，3,21a e ⎛⎤∈-∞-⎥-⎝⎦.。
湖南省长沙市南雅中学2019年初三下学期入学考试数学试卷(无答案)
南雅中学2019年初三下学期入学考试数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1.实数-3，2，2，6π， 121221222.0中，有理数的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.52.下列计算正确的是（ ）A.532a a a =+B.1234)(a a = C.632a a a =⋅ D.326a a a =÷3.2011年7月2日，杭州“最美妈妈”吴菊萍奋力接住了从十楼坠落的两岁妞妞，据估算接住妞妞需要承受约2950牛顿的冲击力，2950牛顿保留两个有效数字约为（ ）牛顿A.29.5210⨯B.2.95310⨯C.29210⨯D.3.0310⨯4.不等式组的解集为⎩⎨⎧<->+523532x x （ ）A.21<<xB.1>xC.2<xD.2x 1><或x5.下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（ ）A.等边三角形B.正方形C.正六边形D.圆6.如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP=5，PA=4，则sin ∠APO 等于（ ）A.54B.53C.34D.437.二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）A.a<0B.abc>0C.a+b+c>0D.042>-ac b8.若关于x 的一元二次方程0442=+-c x x 有两个相等实数根，则c 的值是（ ）A.-1B.1C.-4D.49.有两个事件，事件A ：367人中至少有两人生日相同；事件B ：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是（ ）A.事件A 、B 都是随机事件B.事件A 是必然事件，事件B 是随机事件B.C.事件A 、B 都是必然事件 D.事件A 是随机事件，事件B 是必然事件10.如图，下列四个几何体中，它们各自三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不相同的几何体是（ ）A.①②B.②③C.②④D.③④11.下列函数中，当x>0时，y 随x 的增大而减小的是（ ）A.2x y =B.1-=x yC.x y 43=D.xy 1=12如图，在平行四边形ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，若BG=42，则CEF ∆的面积是（ ）A.22B.2C.23D.42二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）13.分解因式：=+-m mx mx 962 .14.使代数式xx --312有意义的x 的取值范围是 .15.甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩均为8环，10次射击成绩的方差分别为：2.1S 5.122==乙甲，S ，那么射击成绩较为稳定的是 .（填“甲”或“乙”）16.已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm ，则圆锥的侧面积为 .17.已知关于x 的分式方程1222=+-+x a x 的解为负数，那么字母a 的取值范围是 .18.已知 ,43213456,321345,32123463523⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=C C C ，观察上面的计算过程，寻找规律并计算610C = .三、解答题（本大题2个小题，每小题6分，共12分）19.计算：2-03160tan 12)2(）（。
湖南省长沙市雨花区南雅中学2019年中考数学模拟试卷(3月份)(解析版)
湖南省长沙市雨花区南雅中学2019年中考数学模拟试卷（3月份）一．选择题（共12小题，满分36分）1.﹣2的倒数是（）A. ﹣B.C. 2D. ﹣2【答案】A【解析】【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答【详解】解：∵（﹣2）×（﹣）＝1，∴﹣2的倒数是﹣．故选：A．【点睛】考查了倒数的定义，解题的关键是运用乘积是1的两个数叫做互为倒数．2.如图，下列四个图形是由已知的四个立体图形展开得到的，则对应的标号是（）A. ①②③④B. ②①③④C. ③②①④D. ④②①③【答案】B【解析】【分析】根据常见几何体的展开图即可得．【详解】由展开图可知第一个图形是②正方体的展开图，第2个图形是①圆柱体的展开图，第3个图形是③三棱柱的展开图，第4个图形是④四棱锥的展开图，故选：B【点睛】本题考查的是几何体，熟练掌握几何体的展开面是解题的关键.3.华为mate20是世界上首款应用7纳米手机芯片的手机，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A. 0.7×10﹣8B. 7×10﹣8C. 7×10﹣9D. 7×10﹣10【答案】C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：数据0.000000007用科学记数法表示为7×10﹣9．故选：C．【点睛】考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4.已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（）A. 8B. 9C. 10D. 12【答案】A【解析】试题分析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得：x+3x=180，解得x=45，这个多边形的边数：360°÷45°=8，故选A．考点：多边形内角与外角．5.下列计算正确的是（）A. a3+a2=a5B. 3a﹣2=C. a6b÷a2=a3bD. （﹣ab3）2=a2b6【答案】D【解析】【分析】利用整式运算法则判断.【详解】选项A. a3+a2，不能计算，选项B. 3a﹣2=，错误，选项C. a6b÷a2=a4b，错误，选项D. （﹣ab3）2=a2b6，正确.故选D.【点睛】(1)易错辨析a+a=2a;a-a=0,a,a..(2)公式辨析,,,.要灵活应用上述公式的逆用.6.已知函数y=kx+b的图象如图所示,则函数y=-bx+k的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由y=kx+b的图象可知：k＞0，b＞0，∴y=﹣bx+k的图象过一、二、四象限．故选C．点睛：本题考查了一次函数的图象和性质：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象经过一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象经过一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象经过二、三、四象限．7.为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班9名学生进行了调查，有关数据如下表．则这9名学生每周做家务劳动的时间的众数及中位数分别是（）A. 3，2.5B. 1，2C. 3，3D. 2，2【答案】D【解析】试题解析：表中数据为从小到大排列．数据2小时出现了三次最多为众数；2处在第5位为中位数．所以本题这组数据的中位数是2，众数是2．故选D．考点：1.众数；2.中位数.8.下列说法正确的是（）A. 对角线相等且相互垂直的四边形是菱形B. 四条边相等的四边形是正方形C. 对角线相互垂直的四边形是平行四边形D. 对角线相等且相互平分的四边形是矩形【答案】D【解析】【分析】根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答.【详解】解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；B、四条边相等的四边形是菱形，故错误；C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；故选：D．【点睛】考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记四边形的判定定理．9.三角形两边长分别为4和6，第三边是方程x2﹣13x+36＝0的根，则三角形的周长为（）A. 14B. 18C. 19D. 14或19【答案】D【解析】【分析】利用因式分解解方程得到三角形的第三边长为4或9，然后计算三角形的周长．【详解】解：（x﹣4）（x﹣9）＝0，x﹣4＝0或x﹣9＝0，所以x1＝4，x2＝9，即三角形的第三边长为4或9，所以三角形的周长为4+6+4＝14或4+6+9＝19．故选：D．【点睛】考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．10.如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝20°，则∠C的度数是（）A. 25°B. 65°C. 50°D. 75°【答案】C【解析】【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ODC=90°，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，计算即可．【详解】连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°-40°=50°，故选C．【点睛】本题考查的是切线的性质和圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．11.某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树顶的仰角为60°，已知这段山坡的坡角为30°，如果树高为15米，则山高为（）（精确到1米，＝1.732）．A. 585米B. 1014米C. 805米D. 820米【答案】C【解析】过点D作DF⊥AC于F,在直角△ADF中,AF=AD•cos30°=300米,DF=AD=300米,设FC=x,则AC=300+x,在直角△BDE中,BE=DE=x,则BC=300+x,在直角△ACB中,∠BAC=45°,∴这个三角形是等腰直角三角形,∴AC=BC,∴300+x=300+x,解得:x=300,∴BC=AC=300+300,∴山高是300+300-15=285+300≈805（米）,故选C.12.如图，一次函数y1＝ax+b图象和反比例函数y2＝图象交于A（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A. x＜﹣2B. x＜﹣2或0＜x＜1C. x＜1D. ﹣2＜x＜0或x＞1【答案】B【解析】【分析】根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，即可得解.【详解】根据题意可得，，即一次函数图象位于反比例函数图象的下方，∴或.故选B.【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，难度较易，解此题的关键在于利用函数图形进行判断即可.二．填空题（满分18分，每小题3分）13.若a，b都是实数，b＝+﹣2，则a b的值为______．【答案】4【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案．【详解】解：∵b＝+﹣2，∴∴1-2a=0，解得：a=，则b=-2，故a b=（）-2=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键．14.分解因式：4m2﹣16n2＝_____．【答案】4（a+2b）（a﹣2b）．【解析】【分析】先将4提出，再进行因式分解.【详解】4m2﹣16n2=4（m2-4n2）=4（m+2n）（m﹣2n）【点睛】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.15.如图，圆锥形的烟囱冒的底面直径是80cm，母线长是50cm，制作一个这样的烟囱冒至少需要__________cm2的铁皮．【答案】2000π.【解析】【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．【详解】圆锥形的烟囱冒的侧面积＝•80π•50＝2000π（cm2）．故答案为2000π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.如图是一个可以自由转动的转盘，如表是一次活动中的一组统计数据：111转动转盘一次，落在“铅笔”的概率约是_____（结果保留小数点后一位）．【答案】0.7【解析】【分析】用n＝1000次对应的m的值可估计落在“铅笔”的概率．【详解】转动转盘一次，落在“铅笔”的概率约是0.7．故答案是：0.7．【点睛】考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．17.结合下面图形列出关于未知数x，y的方程组为_____．【答案】．【解析】【分析】根据图形列出方程组即可．【详解】由图可得.故答案为：.【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是根据实际问题抽象出二元一次方程组.18.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y=kx+m在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（－1，0）、点B（3，0）和点C（0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．当x满足：时一次函数值大于二次函数的值．【答案】0<x<3【解析】试题分析：一次函数值大于二次函数的值，在图像上是直线在抛物线的上方，根据所给图象可得当0<x<3时，一次函数值大于二次函数的值.考点：一次函数值与二次函数的图象.三．解答题（共8小题，满分66分）19.计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|4﹣|【答案】4【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简进而得出答案．【详解】（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|4﹣|=1+3+4×﹣（4﹣2）=4+2﹣4+2=4．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．【答案】.【解析】【分析】利用分式的运算法则计算解答，分式的加减运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，异分母分式相加减，先通分后，再按照同分母分式加减法则运算；分式的除法运算，先交换除式的分子与分母的位置再与前式相乘.最后将x的值代入求值即可.【详解】（2﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝．【点睛】本题考查了对分式的运算法则的熟练运用，要牢记分式的加减运算法则和除法运算法则，还要善于对分式进行适当的化简.21.“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次共调查名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？（4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率．【答案】（1）60、90°；（2）补全条形图见解析；（3）估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有320名；（4）甲和乙两名学生同时被选中的概率为．【解析】【分析】（1）用A的人数以及所占的百分比就可以求出调查的总人数，用C的人数除以调查的总人数后再乘以360度即可得；（2）根据D的百分比求出D的人数，继而求出B的人数，即可补全条形统计图；（3）用“非常了解”所占的比例乘以800即可求得；（4）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合条件的情况用，利用概率公式进行求解即可得. 【详解】（1）本次调查的学生总人数为24÷40%=60人，扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×=90°，故答案为：60、90°；（2）D类型人数为60×5%=3，则B类型人数为60﹣（24+15+3）=18，补全条形图如下：（3）估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有800×40%=320名；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2，所以甲和乙两名学生同时被选中的概率为．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法或树状图法求概率、用样本估计总体等，读懂统计图，从不同的统计图中找到必要的有关联的信息进行解题是关键.22.在中，，BD为AC边上的中线，过点C作于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取，连接BG，DF．求证：；求证：四边形BDFG为菱形；若，，求四边形BDFG的周长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】利用平行线的性质得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG为平行四边形，再利用得结论即可得证，设，则，利用菱形的性质和勾股定理得到CF、AF和AC之间的关系，解出x即可．【详解】证明：，，，又为AC的中点，，又，，证明：，，四边形BDFG为平行四边形，又，四边形BDFG为菱形，解：设，则，，在中，，解得：，舍去，，菱形BDFG的周长为8．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．23.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162﹣3x．(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式．(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．【答案】（1）y=﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）；（2）商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【解析】【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．【详解】（1）由题意得：每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y=m（x﹣30）．又∵m=162﹣3x，∴y=（x﹣30）（162﹣3x），即y=﹣3x2+252x﹣4860．∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54，∴30≤x≤54，∴所求关系式为y=﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y=﹣3x2+252x﹣4860=﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．24.如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E，F分别是边AC和BC上的中点，试判断四边形CEDF的形状，并加以说明．【答案】四边形CEDF为菱形．证明见解析.【解析】【分析】由垂径定理知，点D是AB的中点，有AD＝BD，可证△CAD≌△CBD，可得AC＝BC；由E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，得DF＝CE＝AC，DE＝CF＝BC，即DE＝DF＝CE＝CF，从而可得四边形CEDF为菱形．【详解】四边形CEDF为菱形．证明：∵AB为弦，CD为直径所在的直线且AB⊥CD，∴AD＝BD，∠ADC＝∠CDB，在△ADC和△BDC中，∴△CAD≌△CBD（SAS），∴AC＝BC；又∵E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，∴DF＝CE＝AC，DE＝CF＝BC，∴DE＝DF＝CE＝CF，∴四边形CEDF为菱形．【点睛】考查了垂径定理、三角形全等、三角形中位线的性质以及菱形的判定．根据垂径定理得出AD＝BD 是解题关键．25.定义：在平面直角坐标系xOy中，如果将点P绕点T（0，t）（t＞0）旋转180°得到点Q，那么称线段QP为“拓展带”，点Q为点P的“拓展点”．（1）当t=3时，点（0，0）的“拓展点”坐标为，点（﹣1，1）的“拓展点”坐标为；（2）如果 t＞1，当点M（2，1）的“拓展点”N在函数y=﹣的图象上时，求t的值；（3）当t=1时，点Q为点P（2，0）的“拓展点”，如果抛物线 y=（x﹣m）2﹣1与“拓展带”PQ有交点，求m的取值范围．【答案】（1）（0，6），（1，5）；（2）；（3）m的取值范围为.【解析】【分析】（1）根据中心对称可得结果；（2）把点M坐标带入反比例函数解析式即可得解；（3）因为抛物线与“拓展带”PQ有交点，所以将点P、Q坐标以分别代入解析式即可解答. 【详解】（1）点（0，0）的“拓展点”坐标为（0，6），点（-1，1）的“拓展点”坐标为（1，5）．（2）当t＞1时，点M（2，1）的“拓展点”N为（-2，2t-1）．∵点N在函数的图象上，∴.∴.（3）当t=1时，点P（2，0）的“拓展点”Q为（-2，2），当抛物线经过点P（2，0）时，可得或.当抛物线经过点Q（-2，2）时，可得或.∴m的取值范围为.【点睛】本题考查中心对称及平面直角坐标系中的有关知识、待定系数法，解题关键是平面直角坐标系中找规律，根据解析式代入求值.26.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3．【解析】【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y 轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC ＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．。
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长沙市南雅中学2019年下学期入学考试
高二 数学
注意：本试卷共三大题，22小题，时量120分钟，总分150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合{}0A x x =<，{}
2log 0B x x =<，则（ ）
A. {}0A
B x x =<
B. A B R =
C. {}1A B x x =<
D. A
B =∅
2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则（ ） A. 123p p p =<
B. 231p p p =<
C. 132p p p =<
D.
123p p p ==
3. 【暑假作业】已知向量()1,1a =，()2,b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ） A. 2
B. 0
C. 1
D. 2-
4. 【暑假作业】为把函数cos y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移
4
π
个单位，这是对应于这个图象的解析式为（ ） A. cos 2y x = B. sin 2y x =-
C. sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
D.
sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
5. 已知2log 7a =，3log 8b =，0.2
0.3
c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A. b c a <<
B. a b c <<
C. c b a <<
D.
c a b <<
6. 函数22tan 1tan x
y x
=
-是（ ）
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为
2π
的奇函数
D. 最小正周期为
2
π
的偶函数 7. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1、2、…、1000，从这些新生中用系统抽样的方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生被抽到的是（ ） A. 815号学生
B. 616号学生
C. 200号学生
D. 8号
学生
8. 【暑假作业】在ABC ∆中，a 、b 、c 为角A 、B 、C 的对边，则B 的取值范围是（ ）
A. 0,
3π⎛⎤
⎥⎝
⎦
B. ,3π
π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C. 0,
6π⎛⎤
⎥⎝
⎦
D.
,6ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
9. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成角的正弦值为
）
A. 8
B.
C.
D.
10. 【暑假作业】已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点1,2⎛- ⎝⎭
，且[)20,2a απ∈，则tan α=（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 【暑假作业】设A 、B 、C 是圆2
2
1x y +=上不同的三个点，O 为圆心，且0OA OB ⋅=，存在实数λ、μ使得OC OA OB λμ=+，则2λμ-的最大值为（ ）
A. 1
B. 3
C.
D. 5
12. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在半径为3的球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，则三棱锥S ABC -的体积为（ ） A. 9
B.
C. 18
D. 27
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若变量x 、y 满足约束条件4y x y y k ≤
⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，且2z x y =+的最小值为6-，则k =；
14. 已知函数()2
1f x x mx =+-，若对于任意[],1x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实
数m 的取值范围是；
15. 函数()f x 的图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称，则()f x =；
16. 如图，在ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AD 上任意一点，且BE BA BC λμ=+，则
1
2
λ
μ
+
的最小值为.
三、解答题：本大题共6小题，满分75分.
17. 【暑假作业】（本小题10分）已知函数()2
2sin cos 2cos 1f x x x x =-+，x R ∈.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）解不等式：()1f x ≥.
18. （本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面
ABCD ，1
2
AB BC AD ==
，90BAD ABC ∠=∠=︒. （1）证明：直线//BC 平面PAD ；
（2）若PCD ∆的面积为P ABCD -的体积.
19. 【暑假作业】（本小题12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，
{}n b 为等比数列，11b =，且2264b S =，33960b S =.
（1）求n a 与n b ；
（2）求数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
前n 项的和n T .
20. （本小题12分）已知ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且
()()(
)sin sin sin a b B A c a C
+⋅-=-. （1）求B ；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且2c =，求ABC ∆面积的取值范围.
21. （本小题12分）熟练{}n a 、{}n b 满足13a =，15b =，142n n b a ++=
，142
n
n a b ++=，()n N *
∈.
（1）求证：数列{}n n b a -为等比数列； （2）求证：对任意n N *∈，n n a b +为定值；
（3）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意n N *∈，都有()[]41,3n p S n ⋅-∈，求实数p 的取值范围.
22. （本小题12分）已知点A 、B 关于坐标原点O 对称，2AB =，M 过点A 、B 且
与直线10y +=相切.
（1）若A 在直线20x y -=上，求M 的半径；
（2）求圆心M 的轨迹方程；
（3）已知点10,
2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，证明：当A 运动时，MA MP -为定值.。