一阶电路

dX dt
-AX=BW
X(t0)=X0 初始条件
（1）直接积分法 （2）试猜法
X(t)=Xh(t)+Xp(t)
§6-4 零输入响应 P203
定义：电路换路后的响应仅由动态元件的初始 储能引起---零输入响应
一.RC电路
Us=U0
t=0
K1 C
t=0
K2
i(t)
Uc(0)=U0 R UR(t)
t=0时，K1打开，K2闭合，换路前电路处于稳态
二. RL电路
a K1b
K2
c
Is
L UL(t)
iL(t)
t=0时,K1由b->c, K2闭合， 换路前处于稳态
求iL(t)、uL(t) ， t≥0
R uR(t)
解：iL(0)=Is
uL-uR=0
L UL(t)
R UR
iL(t)
t≥0
uL=L
diL dt
uR=-RiL
L dditL+RiL=0 iL(0)=Is
uC /Us (%)
t
36.8
2t
13.5
3t
4.98
4t
1.83
5t
0.674
6t
0.0912
7t
0.00454
8t
3.7210 42
时间常数 t 越大，衰减越慢； t 越小，衰减越快。
从理论上讲，电路只有在 t 时才能衰减到0。
但在工程上，通常认为 t≥4t 时，电容放电过程基本结
束，电路进入稳态。
求uC(t) 、 i(t) , t≥0
换路：电路中电源的接入、断开或元件参数和电路 结构的变化都称为换路。
换路定律： uc(0+)=uc(0- ) iL(0+)=iL( 0- )
注意
1. 换路定律只适用于状态变量 uC 和iL； 2. 非状态量 iC, uL, iR和 uR在换路前后可能
发生跃变。
一阶电路 -------含一个独立的动态元件 或者由一解微分方程描述
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用
N
Ro i c
Uoc uc(t)
uRo+uC=UOC
RoC
duC dt
+uC=UOC
uC(t0)=已知或可求
uc(t) C
iC
iG0
Isc
c G0
uc(t)
iG0+iC=ISC
G0uC+C
duC dt
du dt
t≥0
RC
duC dt
+
uC
=
0
(线性常系数一阶齐次)
uC(0) = Us
初始条件
解形式： uC(t) = Kest 代入原方程
RCSKest + Kest = 0
RCS+1 = 0 特征方程
S=-
1 RC
特征方程的根（固有频率）
uC(t)
=
Ke-
1 RC
t
uc
由uC(0) = Ke-0 = Us，得K = Us
iL
uL
Is
0
t
0
t
-RI
总结：一阶电路的零输入响应
RC电路：
uC(t)=uC(0)e-
1
t
t
，t≥0
t=R0C
RL电路：
iL(t)=iL(0)e-
1
t
t
，t≥0
τ=
L R0
R0---换路后由动态元件看进去电路的等效电阻
求一阶电路零输入响应uc(t)、iL(t)
可不列微分方程，直接用结论。
补充例1 电路如图，已知uc(0)=15V,求uc(t), i(t)，t≥0
解：零输入响应
i(t)
uC(0)=15V RO= 33×+66+3=5Ω
3Ω
3Ω ic 0.01F
6Ω Uc
τ=ROC=5×0.01=0.05s
t≥0
uC(t)=uC(0)e -τ t =15e-20t V，t≥0
iC(t)=C ddutC=-3e-20tA，t≥0
i(t)=
-
6 3+6
(-3e-20t)=2e-20tA，t≥0
3Ω
3Ω
6Ω
求R
补充例2： 求图示电路中i(t), t≥0, 已知uc(0)=6V
解:零输入响应
6K
uC(0)=6V 求RO
i(t)
2×103i(t) 2K 1F
uc(t)
6K
i’(t) 2×103i’(t) 2K
u(t)
由: i’=
u 2×103
+
u-2×103i’ 6×103
得: RO=
u
i’
t≥0
i2(t)=
5 8
e-t/12A, t≥0
uab(t)=
8i1(t)-
i2(t)=
25 24
e-t/12V,
t≥0
练习：求电路的时间常数τ=─────。
8
i
2i
0.2H
答案：R0=24Ω
τ 1 S 120
小结
1.一阶电路的零输入响应公式
RC电路---t=0时换路：
令iL(t)=Kest，则： LSKest+RKest=0
LS+R=0
S=-
R L
-
iL(t)=Ke
R L
t
利用初始条件求K： iL(0)=Ke-0=Is
K=Is
iL(t)=Ise-
R L
t
t≥0
令τ=
L R
则:
t
iL(t)=Ise -τ ，t≥0
uL(t)=L
diL dt
=-RIse-τ
t
，t≥0
Us
uC(t)
=
Use-
t
RC
，t≥0
0.368Us
t
0t
i(t)
=(Us/R)
e
-
t
RC
，t≥0
令τ =RC 时间常数
i
Us /R
s F
t
uC(t) = Use - τ1 t t≥0
0
i(t) =(Us/R)e- τ1 t t≥0
讨论：
t =τ， uC(t) = Use-1 = 0.368Us
t
1.物理分析
Us
i(t)
K1
K2
C Uc(0)=Us
R
UR(t)
t<0 uC = Us i=0
u
Us
0
t=0+ uC = Us
i=Us/R
t>0 uC i=uC/R
i
Us/R
t
0
t∞ uC 0 i0
t
2.数学分析:换路后电路
i(t)
uC - uR = 0
Uc C
UR R
uR = Ri
i(t)
=-C
=2×103Ω
uC(t)
=6e-
1 2
×10-3t V, t≥0
τ=ROC=2×103s
i(t)=
-C
duC dt
=3e-
1 2
×10-3t mA，t≥0
例6-10 求uab(t), t≥0 解:零输入响应
Uc(t)=uc(0)e- t /τ
10V
uc(0)=10V
t=0 9
4 1F uc
3 ab
8 1
求R0 R0=9+(12//4)=12 τ=12s
9
R0
来自百度文库
4 3 ab
8 1 求R0的等效电路
uc(t)=10e-t/12 V, t≥0
其上电流为：
i(t)=
10 12
e-t/12A,
t≥0
i(t)
9 4
1F uc 8
i2(t) i1(t)
3 ab
1
换路后的电路
i1(t)=
5 24
e-t/12A,
=ISC
uC(t0)=已知或可
N
Ro
iL(t)
Uoc
L
uL+uRo=UOC
L
diL dt
+R0iL=UOC
iL(0)=I0已知或可求
iL(t)
L
iG0
iL(t)
Isc G0 L
iG0+iL=ISC
G0uL+ iL=ISC
GoL
diL dt
+iL=ISC
iL(0)=I0已知或可求
一阶微分方程求解（此部分内容自己复习）