专题3三角函数与平面向量
三角函数,向量
三角函数1. 终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即Z}k ,2k |{∈+=∈απβββ，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
2.区间角区间角是介于两个角之间的所有角，如]65,6[}656|{πππαπαα=≤≤∈3.象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
第一象限角：{α|k ⋅360︒<α<k ⋅360︒+90︒，（k ∈Z ）}； z}k ,22k 2k |{∈+<<ππαπα第二象限角：{α|k ⋅360︒+90︒<α<k ⋅360︒+180︒，（k ∈Z ）}； z}k ,2k 22k |{∈+<<+ππαππα第三象限角：{α|k ⋅360︒+180︒<α<k ⋅360︒+270︒，（k ∈Z ）}； z}k ,232k 2k |{∈+<<+ππαππα第四象限角：{α|k ⋅360︒+270︒<α<k ⋅360︒+360︒，（k ∈Z ）}；或{α|k ⋅360︒-90︒<α<k ⋅360︒，（k ∈Z ）}z}k ,22k 232k |{∈+<<+ππαππα或z}k ,2k 22k |{∈<<-παππα要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
O xyO xyO xy角的概念任意角的三角函数的定义 同角三角函数的关系三角函数 弧度制弧长公式、扇形面积公式三角函数线诱导公式 和角、差角公式 二倍角公式公式的变形、逆用、“1”的替换化简、求值、证明（恒等变形）三角函数 的 图 象 定义域奇偶性 单调性 周期性最值 对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x 轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对称中心为(k π2，0)（k ∈Z ）.正弦函数y ＝sin x= 余弦函数y ＝cos x 正切函数y ＝tan xy ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋b①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意ω的符号）； ④最小正周期T ＝2π| ω |；⑤对称轴x ＝(2k ＋1)π－2ϕ2ω，对称中心为(k π－ϕω，b )（k ∈Z ）.值域图象对称性{α|α=k ⋅360︒, k ∈Z} {α|α=k ⋅360︒+180︒,k ∈Z} {α|α=k ⋅180︒,k ∈Z}O x yO x yO xy{α|α=k ⋅360︒+90︒,k ∈Z} {α|α=k ⋅360︒+270︒,k ∈Z} {α|α=k ⋅180︒+90︒,k ∈Z}O x yO x yO xy{α|α=k ⋅90︒, k ∈Z} {α|α=k ⋅90︒+45︒, k ∈Z} {α|α=k ⋅45︒, k ∈Z} 4．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
三角函数与平面向量-精选教学文档
三角函数与平面向量简介：三角函数与平面向量三角函数的图象与性质1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数.2.函数f(x)=-cosx在[0，+∞)内的零点个数为________.3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)=sinx，则f的值为________.【例1】设函数f(θ)=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.(1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值;(2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值.【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示.(1) 求f(0)的值;(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围.【例3】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<& phi;<π，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值;(2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间.【例4】已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1，x∈R.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值;(3) 当x∈时，不等式|f(x)-m|<3恒成立，求实数m的取值范围.1. (2019·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ=-，则y=________.2.(2019·全国)函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是________.3.(2009·全国)函数y=sincos的最大值为________.4.(2019·广东)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________.(2019·四川)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;(2) 若f(x0)=，x0∈，求cos2x0的值.5.(2009·福建)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<.(1) 若coscosφ-sinπsinφ=0，求φ的值;(2) 在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.(2009·重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)=sin-2cos2+1.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x∈时，y=g(x)的最大值.解：(1) f(x)=sinxcos-cosxsin-cosx=sinx-cosx(3分)=sin，(5分)故f(x)的最小正周期为T ==8.(7分)(2) (解法1)在y=g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x=1的对称点为(2-x，g(x)).由题设条件，点(2-x，g(x))在y=f(x)的图象上，从而g(x)=f(2-x)=sin=sin=cos.(10分)当0≤x≤时，≤x+≤，因此y=g(x)在区间上的最大值为g(x)max=cos=.(13分)(解法2)因区间关于x=1的对称区间为，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称，故y=g(x)在上的最大值为y=f(x)在上的最大值，由(1)知f(x)=sin，当≤x≤2时，-≤x-≤，因此y=g(x)在上的最大值为g(x)max=sin=.(13分)第7讲三角函数的图象与性质1. 若【答案】-8 解析：令tanx=t∈(1，+∞)，y=，y′(t)=得t=时y取最大值-8.2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.(1) 求f的值;(2) 求f(x)的最大值和最小值.解：(1) f=2cos+sin2=-1+=-.(2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1，x∈R.因为cosx∈[-1,1]，所以当cosx=±1时，f(x)取最大值2;当cosx=0时，f(x)取最小值-1.基础训练1. π 奇解析：y=-cos=-sin2x.2. 1 解析：在[0，+∞)内作出函数y=，y=cosx的图象，可得到答案.3. -+1 解析：f(x)=2cos2x+sin2x=sin+1.4. - 解析：f=f=f=sin=-.例题选讲例1 解：(1) 根据三角函数定义得sinθ=，cosθ=，∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=，从而求出 f(θ)=2).(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，f(θ)=sinθ+cosθ=2sin，∴θ=0，f(θ)min=1;θ=，f(θ)max=2.(注：注意条件，使用三角函数的定义; 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式) 例2 解：(1)由题图可知：A=，=π-=，ω=2，2×+φ=2kπ+，φ=2kπ+，k∈Z，f(0)=sin=.(2) φ=，f(x)=sin.因为0≤x≤，所以≤2x+≤π，所以0≤sin≤1.即f(x)的取值范围为[0，].(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)变式训练已知A为△ABC的内角，求y=cos2A+cos2的取值范围.解： y=cos2A+cos2=+=1++=1+=1+cos.∵ A为三角形内角，∴ 0∴ y=cos2A+cos2的取值范围是.例3 解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2=2sin.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(-x)=f(x)恒成立，因此sin=sin.即-sinωxcos+cosωxsin=sinωxcos+cosωxsin，整理得sinωxcos=0.因为ω>0，且x∈R，所以cos=0.又因为0<φ<π，故φ-=.所以f(x)=2sin=2cosωx.由题意得=2×，所以ω=2.故f(x)=2cos2x.因此f=2cos=.(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)=f=2cos=2cos.当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)，即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).例4 解：(1)函数可化为f(x)=-cos-cos2x=2sin，故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ，k∈Z.又t∈(0，π)，故t=或.(3) 当x∈时，2x-∈， ∴f(x)∈[1,2].|f(x)-m|<3，即f(x)-3变式训练设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t).(1) 求g(t)的表达式;(2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.解：(1) f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3=(sinx-t)2+4t3-3t+3.由于(sinx-t)2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)=4t3-3t+3.(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1)，-1列表如下：tg′(t)g(t)极大值极小值由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g=2，极大值为g=4.高考回顾1. —8 解析：sinθ==-，解得y=-8或8(舍).2. π 解析：f(x)=sin-2sin2x=sin-.3. 解析： y=cosx=sin+.4. ，k∈Z 解析：f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=2sin.∵ 周期为π，∴ ω=2，∴f(x)=2sin.2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.5. 解： (1) 由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1，得f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin.所以函数的最小正周期为T==π.因为x∈，所以2x+∈.所以2x+∈，即x∈时，函数f(x)为增函数，而在x∈时，函数f(x)为减函数，所以f=2sin=2为最大值，f=2sin=-1为最小值.(2) 由(1)知，f(x0)=2sin.又由已知f(x0)=，则sin=.因为x0∈，则2x0+∈.因此cos<0，所以cos=-，于是cos2x0=cos，=coscos+sinsin=-×+×=.6. 解：(1) 由coscosφ-sinπsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0即cos=0，又|φ|<，∴ φ=.(2) 由(1)得f(x)=sin，依题意，=，又T=，故ω=3，∴ f(x)=sin，函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)=sin，g(x)是偶函数，当且仅当3m+=kπ+(k∈Z)，即m=+(k∈Z)，从而最小正实数m=.。
关于平面向量与三角函数专题复习课教学的探究
线过 定点 （ ｐ，） 这 时候 ， Ｏ 怎 么可能 是定值 ２ Ｏ， ！Ｐ Ｉ
呢？
这 一解 释得 到 了同学 的认 可． 师： 实践 出 真知 ， 果 还有 同学 有 疑 惑 ， 妨 如 不
课后你 去推 导一 下 ， 里 我 突然 想 到 了这样 一个 这 高考题 ， 当我们 今天 研究 到这 种程 度 ， 这一题 我想
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案 例 与课 例
教学 过程 ：
根据 下 列框 图 回忆 向量 的相 关知 识．
后得到的 像的函 解析式为Ｙ ｉｘ ） 图 数 —ｓ （＋季 ＋ ｎ
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案． 而是 通过 学生 积极 主动 的探 究活 动 ， 培养 了学
生坚忍不 拔 ， 不怕 挫折 ， 发有 为 的人 格 品质 和永 奋 不 满足 ， 断追求新 知 的科 学态度 ， 解 决 问题 的 不 在
过 程 中培 养 了学 生 的创 新 意 识 ． 种 课 堂 才是 真 这 正的高效 率．
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案例 与课例
关 于 平 面 向量 与三 角函数 专题 复 习课教 学 的探 究
（ 北省褒 樊市 田家炳 中学 湖 ４ １ ０ ） 高慧明 ４ １４
（ ）掌握 平 面 向量 的数 量 积 及 其 几 何 意 义 ， ５
１ 课例 节选
２ 那么 原来 函数 的解 析式 为 （ ，
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专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
2020高考数学核心突破《专题3 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质》 (2)
专题三 第1讲1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析 由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )， 即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12 B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点， 于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋ 2B ．32C ．6 2D ．－ 2解析 由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f(3)＝2，f(4)＝0，f(5)＝－2，f(6)＝－2，f(7)＝－2，f(8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝2＋ 2.故选A.。
1.三角函数与平面向量3教师版
三角函数与平面向量3一、选择、填空题1、已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z)，且a ⊥ b.若x,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为（ ）A..[-2，2]B.[-2，3]C.[-3，2]D.[-3，3]2、已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值范围是( B )A ．]6,0[πB ．],3[ππC ．]32,3[ππD ．],6[ππ3、设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+- a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b4、函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C.32【答案】C【解析】由1cos 21()2sin(2)2226x f x x x π-=+=+-, 52,42366x x πππππ≤≤⇒≤-≤max 13()1.22f x ∴=+=故选C.5、 (hn10)在Rt ABC ∆中，90C ∠=，4AC =，则AB AC 等于（ ）A ．16-B ．8-C ．8D ．166、(hn10)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若120C ∠=，c =，则（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a =bD ．a 与b 的大小关系不能确定7、设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD = 2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++ 与BC ( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:212,1233AC AB AD AC AB +==++12,33BE BC BA =+ 12,33CF CA CB =+以上三式相加得1,3AD BE CF BC ++=-所以选A.8、(hn09)对于非零向量,,a b“0a b += ”是“//a b ”的【 A 】A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件9、(hn09)将函数sin y x =的图象向左．．平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数sin()6y x π=-的图象，则ϕ等于【 D 】A ．6πB ．56π C. 76π D.116π10、(hn09)若(0,)2x π∈，则2tan tan()2x x π+-的最小值为11、若)0)(4sin()4sin()(≠-++=ab x b x a x f ππ是偶函数, 则有序实数对),(b a 可以是____(1,1)-______.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)12、如图2, AB OM //, 点P 在由射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且y x +=,则x 的取值范围是___(,0)-∞_______; 当21-=x 时, y 的取值范围是___13(,)22_______.13、在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b=，c =，则B =5π6． 14、在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE == 则3,AD BE CE ∙==_______二、解答题15. 如图3, D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,βα=∠=∠=ABC CAD AD AB ,,记.(Ⅰ)证明: 02cos sin =+βα; (Ⅱ)若DC AC 3=,求β的值.图3CDBA图2O ABPM16.（本小题满分12分）如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. (1)．证明 sin cos 20αβ+=;（2）．若求β的值.解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 2222πππαπββαββ=--=-∴=-=- ，即sin cos 20αβ+=．（2）．在ABC ∆中，由正弦定理得,sin sin sin()sin DC AC DC βααπβα=⇒=∴=- 由(1)得sin cos2αβ=-，2sin 22sin ),βββ∴==-即2sin 0.sin sin ββββ-===解得．0,s i ,.23ππβββ<<∴=⇒= 17．（本小题满分12分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．（I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．18．解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，BD CαβA图3当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2cos2sin 22622222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．19．(hn09)（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知223AB AC AC BC ⋅=⋅= ，求角A ，B ，C 的大小解： 设,,BC a AC b AB c ===由2AB AC AC ⋅=⋅ 得2cos bc A =，所以cos 2A =又(0,),A π∈因此6A π=23AC BC ⋅= 得2bc =，于是2sin sin 4C B A ⋅==所以5sin sin()64C C π⋅-=，1sin (cos sin )224C C C ⋅+=，因此22sin cos 220C C C C C ⋅+==，既sin(2)03C π-=.由6A π=知506C π<<，所以42333C πππ-<-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π= 故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===。
高三数学二轮复习重点
高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
高中数学专题复习 提优点3 爪形结构与分角定理、张角定理
知识拓展
即t＋1－q＋t 1B→A＋nt＋＋11A→C＋mm－1C→B＝0. 注意到B→A＋A→C＋C→B＝0，且B→A，A→C，C→B两两方向不同， 故有 t＋1－q＋t 1＝nt＋＋11＝mm－1. 由nt＋＋11＝mm－1可知 t＝m（mn－＋11）－1， 将其代入 t＋1－q＋t 1＝mm－1，整理可得 qmn＝1，即||FABF||·||BDDC||·||ECAE||＝1.]
(2)延长 OP 与 AB 交于点 D，用 a、b 表示向量P→D.
由塞瓦定理得OMMA·ADDB·NBNO＝1，即21·ADDB·31＝1， ∴ADDB＝23，下面只要求出 P 分 OD 的比即可. △OAD 被直线 MPB 所截，由梅涅劳斯定理，得OMMA·BADB·DPOP＝1， 即12×35·DPOP＝1，∴DPOP＝65. ∴P→D＝161O→D＝16135O→A＋25O→B＝1585O→A＋1525O→B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
训练1
(1)如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线 分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若A→B＝mA→M，A→C
＝nA→N，则 m＋n 的值为___2_____.
因为 2A→O＝A→B＋A→C＝mA→M＋nA→N， 由于 M，O，N 三点共线，所以 m＋n＝2.
知识拓展
则有A→E＝n＋1 1A→C，B→F＝q＋1 1B→A，B→D＝mm－1B→C，① 因为 D、E、F 三点共线， 所以(t＋1)B→E＝tB→F＋B→D. 又因为B→E＝B→A＋A→E， 从而(t＋1)B→A＋(t＋1)A→E＝tB→F＋B→D，② 当①代入②，可得(t＋1)B→A＋nt＋＋11A→C＝q＋t 1B→A＋mm－1B→C，
高考数学 考点通关练 第三章 三角函数、解三角形与平面向量 18 同角三角函数基本关系式与诱导公式名师课件
B．
1 1＋k2
C．－
k 1＋k2
D．－
1 1＋k2
解析 因为k＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°，所
以tan40°＝－k，所以k<0，sin40°＝－kcos40°，sin140°＝
sin(180°－40°)＝sin40°，因为sin240°＋cos240°＝1，所以
k2cos240°＋cos240°＝1，所以cos40°＝
－α<π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.
1 16．[2016·四川高考]sin750°＝____2____.
解析 sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.
三、模拟小题
17．[2017·沈阳育才中学模拟]已知锐角α满足5α的终边
上有一点P(sin(－50°)，cos130°)，则α的值为(
第2步 精做大题·练能力
一、高考大题
本考点在近三年高考中未独立命题．
二、模拟大题
1．[2017·甘肃河西月考]已知
tanα tanα－6
＝－1，求下列各
式的值．
(1)23ccoossαα－ ＋34ssiinnαα； (2)1－3sinαcosα＋3cos2α.
解 由tantaαn－ α 6＝－1，得tanα＝3. (1)23ccoossαα－ ＋34ssiinnαα＝23－ ＋34ttaannαα＝－175. (2)1－3sinαcosα＋3cos2α
D．sinα－cosα
解析
原式＝sin2α＋cos2
α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα 1＋sinα＋cosα
＝sin
α＋cosα2＋sinα＋cosα 1＋sinα＋cosα
2015届高考二轮复习 专题三 第3讲 平面向量
答案
D
对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的
运算法则的共性与不同，两者不能混淆 . 如向量
的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，
思 维 要抓住两条主线：一是基于 “形”，通过作出向 升 华 量，结合图形分析；二是基于 “数”，借助坐标
→ 2→ → → → ∵AG＝ AD，2AD＝AB＋AC， 3 → 1 → → ∴AG＝ (AB＋AC)， 3 →2 1 → → 2 1 →2 → → →2 ∴AG ＝[ (AB＋AC)] ＝ [AB ＋2AB· AC＋AC ] 3 9 1 → 4 → ≥ [2|AB|×|AC|＋2×(－2)]＝ ， 9 9
热点分类突破
热点一 热点二 平面向量的概念及线性运算 平面向量的数量积
热点三
平面向量与三角函数的综合
热点一
平面向量的概念及线性运算
例1
(1)(2014· 福建)在下列向量组中，可以把向量a
＝(3,2)表示出来的是(
A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
)
思维启迪
根据平面向量 基本定理解题.
1 1 方法二 易得 EF＝ MD，MD＝ CF， 2 2 1 3 所以 EF＝ CF，所以 CE＝ CF. 4 4 1 → → → → → 因为CF＝CA＋AF＝－AC＋AF＝－b＋ a， 3 1 1 3 → 3 所以CE＝ (－b＋ a)＝ a－ b. 4 3 4 4 1 3 1 所以 x＝ ，y＝－ ，则 x＋y＝－ . 4 4 2
1 (2)如图，在△ABC 中，AF＝ AB，D 为 3 → BC 的中点，AD 与 CF 交于点 E.若AB＝a， → → AC＝b，且CE＝xa＋yb，则 x＋y＝________.
三角函数与平面向量
第二部分三角函数与平面向量一、知识框图：二、基础知识要点剖析：1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k ,3|ππγγ表示怎样的终边的角？区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。
2、弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈3、三角函数的定义（r y x ,,三个量的比值）：r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα。
㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？ ㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？ ㈢常见三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<，(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若.4、同角三角函数的基本关系式 ：①22sin cos 1θθ+=，②ta n θ=θθcos sin ，注意公式变形：2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)42sin(22cos2sinsin 1πθθθθ±=±=±2s i n 2c o s 1θθ=-， 2co s 2co s 1θθ=+（2）如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗？知一求二：(3)若t =+ααcos sin ，则21c o s s i n 2-=t αα；12sin 2-=t α；22cos sin t -±=-αα（4）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα.5、诱导公式分两大类：为偶数与奇数）k k(2απ±。
三角函数与平面向量专题知识整合
数学爱好者专高考文科数学爱好者业精心策划Ｓ专题辅导题知识整合三角函数是高中数学的重要内容之一，也是历年高考的重点．跨学科应用是它的鲜明特点，在解答函数、不等式、立体几何、解析几何问题时，三角函数是常用的工具．在实际问题中也有着广泛的应用，因而是高考对基础知识和基本技能方面考查的重要内容．三角函数这一章的主要知识点是：角的概念的推广、弧度制、任意角的三角函数、单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式，正、余弦的诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切，正弦函数、余弦函数的图象和性质，函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象，正切函数的图象和性质，已知三角函数值求角．由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系数和形的有力纽带，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究．在解题过程中，善于利用化归思想处理共线、平行、垂直问题，向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．题型例析河南陈长松热点题型一三角函数的求值、化简、证明等基本问题例１已知ｃｏｓ（π４＋ｘ）＝３５，１７π１２＜ｘ＜７π４，求ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎ２ｘ１－ｔａｎｘ的值．分析先把所求式化简，再利用已知条件求值．解由题设得ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝３２!５，ｓｉｎ２ｘ＝７２５，又５π３＜ｘ＋π４＜２π，所以原式＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘ（ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝ｓｉｎ２ｘ・１＋ｔａｎｘ１－ｔａｎｘ＝ｓｉｎ２ｘｔａｎ（π４＋ｘ）＝－２８７５．评注在处理条件求值问题时，一要处理好角的终边位置和三角函数的符号；二应转化题设条件与待求式，以创造条件寻求时机代入求值．踪练习追ｚｈｕｉｚｏｎｇｌｉａｎｘｉｔａｎ１０°－３!ｃｓｃ４０°的值为．后反思练ｌｉａｎｈｏｕｆａｎｓｉ原式＝ｓｉｎ１０°ｃｏｓ１０°－３!ｃｓｃ４０°＝ｓｉｎ１０°－３!ｃｏｓ１０°ｃｏｓ１０°・ｃｓｃ４０°＝２１２ｓｉｎ１０°－３!２ｃｏｓ１０"#°ｃｏｓ１０°・ｃｓｃ４０°＝－２ｃｏｓ４０°・ｓｉｎ４０°ｃｏｓ１０°＝－ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°＝－１．热点题型二三角函数的最值问题例２求函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的最大值和最小值．分析求函数的最值可用多种方法求解，最常用的有两种方法：几何法、有界性法．几何法运用数形结合思想，要掌握转化的方法．与专三角函数平面向量"#。
三角函数与平面向量
汇报人：张老师 2023-11-25
目 录
• 三角函数概述 • 三角函数运算 • 平面向量基础 • 平面向量与三角函数的关系 • 三角函数与平面向量的应用 • 总结与展望
01
三角函数概述
三角函数的定义与基本性质
1. 正弦函数（sine） • 定义：对于任意角x，正弦函数定义为对边长度与斜边长度的比值，即sin(x) = 对边 / 斜边。 • 性质：正弦函数的值域为[-1,1]，周期为2π。
辑思维，提升问题解决能力。
未来学习中可能遇到的相关主题与展望
相关主题
在未来学习中，学生可能会遇到与三角函数和平面向量 紧密相关的主题，如复数、微分学、积分学、线性代数 等。
展望
对于更深入的学习和理解，学生可以进一步探索这些相 关主题，以构建更为完整和深入的数学知识体系。
如何在日常生活中应用这些知识
在工程中的应用（如位移、速度、加速度的计算）
要点一
位移、速度、加速度计算
要点二
工程测量
在工程领域，经常需要计算物体的位移、速度和加速度。 通过三角函数和平面向量的结合，可以有效地描述和计算 这些物理量，为工程设计提供准确的数据支持。
在土地测量、建筑设计等工程中，三角函数和平面向量可 用于计算角度、距离等参数，确保工程的准确性和稳定性 。
解决问题
01
三角函数与平面向量可以用于解决日常生活中的许多问题，比
如计算距离、角度，确定物体的运动轨迹等。
导航
02
在地理位置定位和导航中，经常会使用到三角函数与平面向量
的知识。
设计与制作
03
在建筑、艺术、设计等领域，利用三角函数与平面向量可以进
行精确的测量和计算，以实现设计和制作的准确性。
高考中的三角函数与平面向量问题
高考中的三角函数与平面向量问题
内容索引
考点自测 题型分类 深度剖析 课时作业
考点自测
1.(2016·全国Ⅱ)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长度，则平移
后图象的对称轴为
A.x＝k2π－π6(k∈Z)
√B.x＝k2π＋π6(k∈Z)
C.x＝k2π－1π2(k∈Z)
123456
解答
解答
2.(2016·北京)在△ABC 中，a2＋c2＝b2＋ 2ac.
(1)求 B 的大小；
解 由 a2＋c2＝b2＋ 2ac，得 a2＋c2－b2＝ 2ac.
由余弦定理，得
cos
a2＋c2－b2 B＝ 2ac ＝
22aacc＝
2 2.
又 0＜B＜π，所以 B＝π4.
123456
解答
(2)求 2cos A＋cos C 的最大值.
解答
(2)若bcos C＋ccos B＝1，△ABC的周长为5，求b的长. 解 由余弦定理可知，
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 bcos C＋ccos B＝b· 2ab ＋c· 2ac ＝22aa2＝a＝1， 由(1)知ca＝ssiinn CA＝2，则 c＝2， 由周长a＋b＋c＝5，得b＝2.
D.x＝k2π＋1π2(k∈Z)
12345
解析 答案
2.(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B＝π4，BC 边上的高等于13BC，则 cos A 等于
A.3
10 10
B.
10 10
√C.－
10 10
D.－3
10 10
解析 设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意 B＝π4，可知 BD＝13BC，
2020高考数学核心突破《专题三 三角函数、解三角形与平面向量》(含往年真题分析)
专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象1．(1)要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( C ) A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(2) (2017·山西朔州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为__－1__.突破点拨(1)先利用诱导公式将两函数化为同名三角函数，再利用平移法则求解． (2)先求函数f (x )的解析式，再利用解析式求最值． 解析 (1)因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3， 所以要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度．故选C. (2)由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝2，14·2πω＝5π6－7π12，解得ω＝2.再根据图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0， 可得2·7π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 故函数f (x )的最小值为2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1. 2. 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．突破点拨(1)由表中数据先写出A ，ω，φ的值，再由ωx ＋φ＝0，π，2π，求出其余值． (2)写出函数y ＝g (x )的解析式，由y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，利用整体思想建立关于θ的方程，根据k ∈Z 及θ＞0，求出θ的最小值．解析 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表.且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0中心对称， 令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(1)三角函数图象平移问题需注意三点：一是函数名称是否一致；二是弄清由谁平移得到谁；三是左右的平移是自变量本身的变化．(2)对于由三角函数的图象确定函数解析式的问题，一般由函数的最值可确定A ，由函数的周期可确定ω，由对称轴或对称中心和φ的范围确定φ.题型二 三角函数的性质1. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性． 突破点拨(1)先将已知解析式化简，然后求解．(2)根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)与y ＝sin x 的关系求解． 解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32. 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增； 当π2<2x －π3≤π，即5π12<x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎝⎛⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 2. 设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f (x )的最小正周期．突破点拨(1)先用公式化简，再利用三角函数的性质求解． (2)将x ＝π8代入，求ω，则周期可求．解析 由已知得f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. 又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，所以f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即f (x )取最大值时，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z .(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z . 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，其最小正周期为π.求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入的方法求解．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论．三角函数的综合应用【预测】 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω＞0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到的函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． 思维导航(1)解题导引：①先化简函数f (x )的解析式，再利用图象与x 轴相邻两个交点的距离是半个周期求解析式；②先求函数g (x )的解析式，再求在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． (2)方法指导：三角函数的综合应用主要是将三角函数的图象和性质与三角变换相结合，通过变换将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意整体思想的应用．规范解答(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2 ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω＞0)． 根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1. 故函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数 g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象．根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0， 可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0， 即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )．因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z . 结合x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12，7π12. 【变式考法】 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ (0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解析 (1)由题意，知 f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，3和⎝⎛⎭⎫2π3，－2， 所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即y ＝g (x )的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )并整理得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .1．(教材回归)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意，故选A. 2．(2017·广西南宁质检)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度后，得到f (x )的图象，则( B )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 解析 将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象对应的解析式为f (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.函数f (x )的图象的对称轴满足2x ＋2π3＝k π(k ∈Z )，即对称轴方程为x ＝k π2－π3(k ∈Z )，所以f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称；令2x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，即f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称；f ⎝⎛⎭⎫7π3＝－12.故选B. 3．(2017·湖北襄阳模拟)同时具有性质“①最小正周期是4π；②直线x ＝π3是图象的一条对称轴；③在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数”的一个函数是( D )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3解析 对于A 项，B 项，∵T ＝2π2＝π，故A 项，B 项不正确．对于C 项，若直线x ＝π3为其图象的一条对称轴，则π3×12＋π3＝k π，k ∈Z ，得π2＝k π，k ∈Z ，k 不存在，不满足题意，故C 项不正确．对于D 项，因为T ＝2π12＝4π，且由x 2＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π3，k ∈Z ；当k ＝0时，x ＝π3为图象的一条对称轴．由2k π＋π2≤x 2＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π3，4k π＋7π3，k ∈Z ，所以函数在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数，故D 项正确．故选D.4．(2017·山西晋中考前测试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数y ＝f (x )的图象向左平移4π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，5π2上的最大值为( C )A ．3B ．332C.322D ．22解析 由图象可知函数y ＝f (x )的周期为2⎝⎛⎭⎫7π3－π3＝4π， ∴ω＝12.又点⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫0，－32在函数y ＝f (x )的图象上， ∴⎩⎨⎧A sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，A sin φ＝－32，且|φ|<π2.∴φ＝－π6，A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， ∴g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－π6＝3cos 12x . 由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2，可得12x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，则3cos 12x ∈⎣⎡⎦⎤－3，322，即g (x )的最大值为322.5．(书中淘金)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃.解析 依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. 答案 20.56．(高考改编)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是__②④__.解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，而⎣⎡⎦⎤0，π6⃘⎣⎡⎦⎤－512π＋k π，π12＋k π(k ∈Z )，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ，令－3＋a ＝3，得a ＝23，所以④正确．所以正确的判断为②④.7．(考点聚焦)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx ·cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解析 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋2π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 8．(2018·山东青岛调考)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． 解析 (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 可得函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. 9．(母题营养)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋12cos 2x .(1)若tan θ＝2，求f (θ)的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由函数y ＝f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到，且g (x )在区间(0，m )内是单调函数，求实数m 的最大值．解析 (1)因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ. 代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得cos 2θ＝15.所以f (θ)＝sin θcos θ＋12cos 2θ＝2cos 2θ＋12(2cos 2θ－1)＝3cos 2θ－12＝110.(2)由已知得f (x )＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 依题意，得g (x )＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4， 即g (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 因为x ∈(0，m )，所以2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，2m －π4. 又因为g (x )在区间(0，m )内是单调函数，所以－π4＜2m －π4≤π2，即0＜m ≤3π8，故实数m的最大值为3π8.10．(母题营养)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域． 解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，从而ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2]．1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析 由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )， 即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点， 于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋2B ．32C ．62D ．－2解析 由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2＋ 2.故选A.第2讲 三角变换与解三角形题型一三角恒等变换1．(1)(2018·河南郑州模拟)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( A )A.17 B ．16C ．57D ．56(2) (2017·河北唐山中学模拟)已知α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝( D )A.210B ．－210C ．－7210D ．7210突破点拨(1)注意到β＝(α＋β)－α，再结合已知条件求tan β的值． (2)注意到cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4，再实施运算． 解析 (1)tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.故选A.(2)∵α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45<32， ∴α＋π3是钝角，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35，cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫712π＋α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3·cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π4＝7210.故选D. 2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 突破点拨(1)利用诱导公式转化为二倍角公式，再利用同角三角函数基本关系式求解． (2)切化弦，转化为二倍角公式，再利用(1)的结论求解． 解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin α cos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.利用三角恒等变换公式解题的常用技巧(1)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (2)降幂与升幂：通过二倍角公式得到． (3)弦、切互化：一般是切化弦． 题型二 解三角形1. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ． (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 突破点拨(1)根据正弦定理把已知条件转化为边的关系，然后利用余弦定理求解．(2)利用勾股定理得到边的一个方程，结合已知条件解方程组求得边长，然后求面积．解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac . 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.【变式考法】 (1)在本例条件下，求角B 的范围． (2)在本例条件下，若B ＝60°，b ＝2，求a 的值． 解析 (1)因为b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －2ac2ac ＝0，又因为0<B <π，所以0<B ≤π2.(2)因为b 2＝2ac ，b ＝2，所以ac ＝1， 又因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以a 2＋c 2＝3， 所以a ＋c ＝5， 所以a ＝5＋12或5－12. 2. △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 突破点拨(1)利用面积关系得边的关系，再利用正弦定理求解． (2)先利用面积比求BD ，再利用余弦定理求解． 解析 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.利用正、余弦定理解三角形的技巧解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理，正弦定理可以将角转化为边，也可以将边转化成角，当涉及边的平方关系时，一般利用余弦定理，要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式，灵活选用．有关解三角形的综合问题(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .思维导航(1)由已知条件选择余弦定理求得AP .(2)由三角形的面积和(1)结论解得PB ，再由余弦定理及正弦定理求得AB 和sin ∠BAP . 规范解答(1)在△APC 中，因为∠P AC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4， 由余弦定理得PC 2＝AP 2＋AC 2－2AP ·AC ·cos ∠P AC ，所以22＝AP 2＋(4－AP )2－2AP ·(4－AP )·cos 60°，整理得AP 2－4AP ＋4＝0，解得AP ＝2，所以AC ＝2.所以△APC 是等边三角形，所以∠ACP ＝60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB ＝120°.因为△APB 的面积是332，所以12AP ·PB ·sin ∠APB ＝332，所以PB ＝3.在△APB 中，AB 2＝AP 2＋PB 2－2AP ·PB ·cos ∠APB ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，所以AB ＝19.在△APB 中，由正弦定理得AB sin ∠APB ＝PBsin ∠BAP，所以sin ∠BAP ＝3sin 120°19＝35738.【变式考法】 (2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，AC <BC ，P 为BC 右上方一点，满足∠BPC ＝90°.(1)若BP ＝2，求AP 的长； (2)求△BPC 周长的最大值．解析 由题意知1＝AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝2(BC ＝1舍去，则∠CAB ＝90°.又∠BPC ＝90°，且BP ＝2，所以∠PBC ＝45°，从而∠ABP ＝75°.连接AP ，由余弦定理得AP ＝3＋2－2×3×2×6－24＝6＋22. (2)由(1)可知BC ＝2或BC ＝1，又因为求△BPC 周长的最大值，所以BC ＝2，设BP ＝m ，PC ＝n ，则m 2＋n 2＝4.由于BC 长为定值，因此求△BPC 周长的最大值只需求BP ＋PC ＝m ＋n 的最大值即可． 又4＝m 2＋n 2≥(m ＋n )22，则m ＋n ≤22， 当且仅当m ＝n ＝2时取等号，此时△BPC 的周长取得最大值，为2＋2 2.1．(教材回归)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( D ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．(2017·“江南十校”模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若C＝2B ，则sin Bsin A＝( D )A.c 2a 2＋b 2－c 2 B ．b 2a 2＋b 2－c 2C.a 2a 2＋b 2－c2 D ．c 2a 2＋c 2－b2解析 由已知，得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ， 所以sin C sin B ＝2cos B ．由正弦定理及余弦定理，得c b ＝2×a 2＋c 2－b 22ac ，则b a ＝c 2a 2＋c 2－b2. 再由正弦定理，得sin B sin A ＝c 2a 2＋c 2－b 2，故选D.3．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为__3__.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.4．(2017·河南郑州调考)已知△ABC 中，角C 为直角，D 是边BC 上一点，M 是AD 上一点，且CD ＝1，∠DBM ＝∠DMB ＝∠CAB ，则MA ＝__2__.解析 如图，设∠DMB ＝θ，则∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝π2－2θ，∠AMB ＝π－θ，∠ABM ＝π2－2θ，在Rt △ABC 中，cos θ＝cos ∠CAB ＝ACAB ；在△CDA 中，由正弦定理得CD sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ACsin 2θ； 在△AMB 中，由正弦定理得MA sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ABsin (π－θ)， ∴CD MA ＝AC ·sin θAB ·sin 2θ＝AC ·sin θ2AB ·sin θcos θ＝12，从而MA ＝2. 5．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝__1__.解析 在△ABC 中，由余弦定理的推论可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，由正弦定理可知sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos Ac ＝2×4×346＝1.6．(书中淘金)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析 依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB . ∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB ，得600sin 45°＝CBsin 30°， 有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006， 则此山的高度CD ＝100 6 m.7．(考点聚焦)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝65，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8的值． 解析 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝4×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－4825. 8．(教材回归)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB <BC ，所以C ＜A ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 9．(2017·河北唐山二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab . (1)若λ＝6，B ＝5π6，求sin A ；(2)若λ＝4，AB 边上的高为3c6，求C . 解析 (1)已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，结合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0，解得sin A ＝6±24. 因为0<A <π6，所以sin A <12，所以sin A ＝6－24.(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )． 从而有3sin C ＋cos C ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1. 又π6<C ＋π6<7π6，所以C ＝π3.10．(2017·山东淄博模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理， 得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1， 所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，所以A ＝π3. (2)方法一 由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎫0<B <2π3，因为a sin A ＝2sin π3＝43， 所以由正弦定理得b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋33.易知－π6<2B －π6<7π6， 故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.方法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c＝2时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.1．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的取值范围．解析 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最大值为2，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1， 即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )取最大值时x 的取值集合为x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝ 1，即a 2≥1，当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a ，得a <2， ∴a 的取值范围是[1,2)．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． 解析 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A . ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.3．(2017·浙江重点中学联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若C ＝2B ，求证：cos A ＝3cos B －4cos 3B ；(2)若b sin B －c sin C ＝a ，且△ABC 的面积S ＝b 2＋c 2－a 24，求角B .解析 (1)证明：∵C ＝2B ，∴A ＝π－3B ， ∴cos A ＝cos(π－3B )＝－cos(B ＋2B ) ＝－cos B cos 2B ＋sin B sin 2B ＝－cos B (2cos 2B －1)＋2sin 2B cos B＝cos B －2cos 3B ＋2cos B (1－cos 2B )＝3cos B －4cos 3B ， ∴cos A ＝3cos B －4cos 3B .(2)在△ABC 中，∵S ＝b 2＋c 2－a 24，∴S ＝b 2＋c 2－a 24＝12bc sin A .由余弦定理知b 2＋c 2－a 24＝12bc cos A ，∴12bc cos A ＝12bc sin A ，∴tan A ＝1， 而A ∈(0，π)，∴A ＝π4.∵b sin B －c sin C ＝a ，由正弦定理，得 sin 2B －sin 2C ＝sin A ＝22， ∴cos 2C －cos 2B ＝ 2.∵2C ＝2π－2A －2B ＝3π2－2B ，∴－sin 2B －cos 2B ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π4＝－1. ∵B ∈(0，π)，∴2B ＋π4＝3π2，∴B ＝5π8.4．(2017·武汉武昌五月调研)已和函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0，12，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2－cos A ＝12，bc ＝1，b ＋c ＝3，求a 的值．解析 (1)将⎝⎛⎭⎫0，12代入f (x )的解析式，得sin φ＝12. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.又因为最小正周期T ＝π2×2＝π，所以ω＝2.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为x ∈[0，π]， 所以π6≤2x ＋π6≤13π6，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2或2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤3π2，13π6时，f (x )递增，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6或x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，π时，f (x )递增．所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π6，⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)由(1)知f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，代入已知等式得 sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6－cos A ＝32sin A ＋12cos A －cos A ＝32sin A －12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 所以A －π6＝π6或5π6，即A ＝π3或A ＝π(舍去)．又因为bc ＝1，b ＋c ＝3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝6，所以a ＝ 6. 5．(2018·山东青岛模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．解析 (1)在△ABC 中，∵S ＝12bc sin A ，∴23＝12×4×c ×32，∴c ＝2.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×4×2×12＝2 3.(2)∵a sin A ＝b sin B ，即2332＝4sin B，∴sin B ＝1， 又0<B <π，∴B ＝π2，∴C ＝π6，∴f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 6．(2018·辽宁协作体一模)设△ABC 是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c )．解析 (1)∵(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ，∴sin 2A －sin 2B ＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B ， 即sin 2A ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B＝34(cos 2B ＋sin 2B )＝34， ∵角A 为锐角△ABC 的内角，∴sin A >0， ∴sin A ＝32，∴A ＝π3. (2)AB →·AC →＝bc cos A ＝12，∴bc ＝24，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝(27)2， ∴b ＋c ＝10，又∵b <c ，∴b ＝4，c ＝6.第3讲 平面向量题型一 向量的概念及线性运算高考中常从以下角度命题：1. (1)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若(a＋k c)∥(2b－a)，则k＝－1613.(2)如图，E为平行四边形ABCD的边DC的中点，F为△ABD的重心，且AB→＝a，AD→＝b，则FE→＝23b＋16a.突破点拨(1)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解．(2)利用向量加、减法的几何意义和重心公式求解．解析(1)因为(a＋k c)∥(2b－a)，又a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，所以k＝－1613.(2)由F为△ABD的重心，得AF→＝23×12AC→＝13(a＋b)．又AE→＝AD→＋DE→＝b＋12a，所以FE→＝AE→－AF→＝23b＋16a.2．(1)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝12，y＝－16.(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为__－3__.突破点拨(1)画出图形，利用向量加减法则求解．(2)利用向量的坐标运算求解．。
三角函数、平面向量专题试题集
三角函数、平面向量专题试题集三角函数.平面向量专题试题集1. 函数的最小正周期为 ( A )A． B． C．8D．42. 已知函数的图象的一条对称轴方程为直线_=1,若将函数的图象向右平移b个单位后得到y=sin_的图象,则满足条件的b的值一定为( C )A．B． C．D．3. 在△ABC,为角A.B.C所对的三条边.(1)求时,t的取值范围;(2)化简(用(1)中t表示).(1)∵,∴△ABC为直角三角形,∴∠A+∠B= …………2分又…………4分∵ ∴, ∴…………6分(2)∵ ∴…………9分…………12分4. 已知向量a和b的夹角为60°,a = 3,b = 4,则(2a –b)·a等于 ( B )(A)15 (B)12 (C)6 (D)35. 已知．(Ⅰ)求cos的值;(Ⅱ)求满足sin(– _ ) – sin (+ _) + 2cos=的锐角_．解:(Ⅰ)因为,所以．(2分)所以=, (4分)由,所以．(6分)(Ⅱ)因为sin() – sin() + 2cos,所以, (8分)所以sin_=, (10分)因为_为锐角,所以．(12分)6. 下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是( B )A． B．C． D．7. 若是纯虚数,则的值为 ( B )A．B．C．D．8. 已知向量上的一点(O为坐标原点),那么的最小值是( B )A．－16 B．－8 C．0 D．49. _年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为,大正方形的面积是1,小正方形的面积是的值等于( D )A．1 B．C．D．－10. 为锐角,为钝角,=.11. 已知a=1,b=,(1)若a//b,求a·b;(2)若a,b的夹角为135°,求a+b.解(1),①若,同向,则……3分②若,异向,则……3分(2)的夹角为135°,……2分……2分……2分12.已知函数(1)将的形式,并求其图象对称中心的横坐标;(2)如果△ABC的三边a.b.c成等比数列,且边b所对的角为_,试求_的范围及此时函数f(_)的值域.解:(1) ……3分由即对称中心的横坐标为……3分(2)由已知.……3分的值域为……2分综上所述, ……1分13. 设平面上的动向量a=(s,t),b=(－1,t2－k)其中s,t为不同时为0的两个实数,实数,满足a⊥b,(1)求函数关系式(2)若函数上是单调增函数,求证:;(3)对上述,存在正项数列,其中通项公式并证明.(1)解: ……3分(2)证明:成立, ……2分故; ……1分(3)故因为……4分事实上,……4分方法1:方法2:14. 如果函数的最小正周期是T,且当时取得最大值,那么( A )A． B． C． D．15. 在中,已知,那么一定是( B )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形16. 已知,那么的值为,的值为.17. 若 , 且()⊥ ,则与的夹角是 ( B )(A)(B)(C)(D)18. 把y = sin_的图象向左平移个单位,得到函数y = sin的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数的图象.19. 已知直线:_ – 2y + 3 = 0 ,那么直线的方向向量为(2,1)或等(注:只需写出一个正确答案即可);过点(1,1),并且的方向向量2与1满足1·= 0,则的方程为2_ + y – 3 = 0.20. 已知:tan= 2,求:(Ⅰ)tan的值;(Ⅱ)sin2的值．解:(Ⅰ)== 2,∴tan． (5分)(Ⅱ)解法一:sin2+sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2– sin2= 2sincos+ cos2 (8分)= (11分)=．(13分)(Ⅱ)解法二:sin2+ sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2– sin2= 2sincos+ cos2 (1)(8分)∵tan=,∴为第一象限或第三象限角．当为第一象限角时,sin=,cos=,代入(1)得2sincos+ cos2=; (10分)当为第三象限角时,sin=,cos=,代入(1)得2sincos+ cos2=． (12分)综上所述:sin2+ sin2+ cos2=．(13分)21. 已知常数a _gt; 0,向量,,经过定点A (0,–a )以+为方向向量的直线与经过定点B (0,a)以+ 2为方向向量的直线相交于点P,其中∈R．(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)若,过E (0,1)的直线l交曲线C于M.N两点,求的取值范围．解:(Ⅰ)设P点的坐标为(_,y),则,,又,故,．由题知向量与向量平行,故(y + a) = a_．又向量与向量平行,故y – a = 2．两方程联立消去参数,得点P (_,y)的轨迹方程是(y + a)(y – a)= 2a2_2,即y2 – a2 = 2a2_2．(6分)(Ⅱ)∵,故点P的轨迹方程为2y2 – 2_2= 1,此时点E (0,1)为双曲线的焦点．①若直线l的斜率不存在,其方程为_ = 0,l与双曲线交于.,此时． (8分)②若直线l的斜率存在,设其方程为y = k_ + 1,代入2y2 – 2_2= 1化简得2(k2 – 1) _2 + 4k_ + 1 = 0．∴直线l与双曲线交于两点,∴△=(4k)2 – 8 (k2 – 1) _gt; 0且k2 –1≠0．解得k≠±1．设两交点为M (_1,y1).N (_2,y2),则_1 + _2 =,_1_2 =． (10分)此时= _1_2 + k2_1_2= (k2 + 1) _1_2 =．当–1 _lt; k _lt; 1时,k2 – 1 _lt; 0,故≤;当k _gt; 1或k _lt; – 1时,k2 – 1 _gt; 0,故．综上所述,的取值范围是∪． (13分)22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32. 已知向量＝(8, _),＝(_,1),其中_＞0,若(－2)∥(2＋),则_的值为A.4B.8C.0D.2解:－2＝(8－2_,_－2),2＋＝(16＋_,_＋1)由(－2)∥(2＋),得(8－2_,_－2)＝λ(16＋_,_＋1)即_THORN; _＝4.选A33. 同时具有以下性质:〝①最小正周期实π;②图象关于直线_＝对称;③在[－]上是增函数〞的一个函数是A.y＝sin()B.y＝cos(2_＋)C.y＝sin(2_－)D.y＝cos(2_－)解:由性质①排除A,由性质②排除D,由性质③排除B,选C.34. 在△ABC中,已知sin2Asin2B＝,tanAtanB＝3,求角C.解:∵sin2Asin2B＝,∴sinAsinBcosAcosB＝……①……3’由A.B∈(0,π),知sinAsinB＞0,∴cosAcosB＞0又tanAtanB＝3,即＝3……②……6’由①②得:∴c osC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝而C∈(0,π),∴C＝.35. 如图,已知点P(3,0),点A.B分别在_轴负半轴和y轴上,且＝0,,当点B在y轴上移动时,记点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)已知向量＝(1,0),＝(0,1),过点Q(1,0)且以向量＋k(k∈R)为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点M.N,若D(－1,0),且＞0,求k的取值范围.解:(1)设A(a,0)(a＜0),B(0,b),C(_,y)则＝(_－a,y),＝(a,－b),＝(3,－b),∵＝0,,∴……3’消去a.b得:y2＝－4_∵a＜0,∴_＝3a＜0故曲线E的方程为y2＝－4_(_＜0)……5’(2)设R(_,y)为直线l上一点,由条件知)即(_－1,y)＝λ(1,k)∴,消去λ得l的方程为:y＝k(_－1) ……7’由_THORN;k2_2－2(k2－2)_＋k2＝0 ……(_)∵直线l交曲线E与不同的两点M.N∴△＞0 _THORN; －1＜k＜1……①……9’设M(_1,y1),N(_2,y2),则＝(_1＋1,y1),＝(_2＋1,y2)∵M.N在直线y＝k(_－1)上,∴y1＝k(_1－1),y2＝k(_2－1)又由(_),有_1＋_2＝,_1_2＝2∴＝(_1＋1)(_2＋1)＋y1y2＝(_1＋1)(_2＋1)＋k2(_1－1)(_2－1)＝(k2＋1)_1_2＋(1－k2)(_1＋_2)＋k2＋1＝由条件知:＞0 _THORN;k2＞……②……12’由①②知:－1＜k＜－或＜k＜1.……13’36. 设集合,集合,则( A )A．中有3个元素 B．中有1个元素C．中有2个元素 D．37. 在△中,〝是〝〞的( C )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件38. 函数在下面哪个区间内是增函数( C )A．B．C． D．39. 函数的最小正周期为．40. 在三角形ABC中,设,,点在线段上,且,则用表示为．41. 将圆按向量平移得到圆,则的坐标为(－1,2);将抛物线按的相反向量平移后的曲线方程为．42. 已知向量,,,其中．(Ⅰ)当时,求值的集合;(Ⅱ)求的最大值．解:(Ⅰ)由,得,即．…………4分则,得．…………………………………5分∴为所求．…………………………………6分(Ⅱ),……………10分所以有最大值为3． (12)分。
三角函数、解三角形、平面向量
三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－α π－α π＋α 2π－α π2－α sin －sin α sin α －sin α －sin α cos α coscos α－cos α－cos αcos αsin α[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为___________________________． 答案22－333．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )， 减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sinA ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sinC ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B . (2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45°6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 答案 ④ 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 答案1258．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________． 答案 ④9．几个向量常用结论：①P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； ②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误例1 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)． 错解 右 π4或右 π12找准失分点 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )． 右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．答案 左π12易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误例2 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求cos β.错解 由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π，则cos(α＋β)＝±1114.由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝437.故cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝7198或12.找准失分点 由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝5314<32，∴0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，又cos α＝17<12，∴π3<α<π2，即α＋β∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114. 正解 ∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2，又0<β<π2， ∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32， ∴2π3<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437. ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.易错点3 忽视向量共线致误例3 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排除cos θ＝1即共线且同向的情况． 正解 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．(2014·大纲全国)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .3．已知sin θ＋cos θ＝43 (0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13答案 B解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23. 4．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3答案 B解析 由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.7．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析 已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16. 8．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 答案 π6解析 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ω＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，记∠MNP ＝θ，则cos 2θ的值是________． 答案 －725解析 由图可知，A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝8， 所以T ＝2πω＝8，即ω＝π4.又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2，所以－π4<φ＋π4<3π4，即φ＋π4＝π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝sin π4(x ＋1)．因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝－1， 所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)．所以NM →＝(－2，－1)，NP →＝(4，－2)，NM →·NP →＝－6，|NM →|＝5，|NP →|＝25， 则cos ∠MNP ＝NM →·NP →|NM →|·|NP →|＝－35，即cos θ＝－35.于是cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。
专题03 “三法”解决平面向量数量积问题(解析版)
2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第二篇 三角与平面向量专题03 “三法”解决平面向量数量积问题一．方法综述平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析．本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧.二．解题策略类型一 投影定义法【例1】【2020·山东寿光现代中学月考】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u v u u u v的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD V 为等边三角形，3BD =。
设(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u vAE BE ⋅u u u v u u u v 223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =233322t t -+(01)t ≤≤，所以当14t =时，上式取最小值2116，选A.【指点迷津】1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b r r 数量积公式为cos a b a b θ⋅=r r r r，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅r r r r 或()cos a b b a θ⋅=⋅r r r r ，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b r r 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅r r r r r（记a b λ→r r 为a r 在b r 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b bλ→⋅=r r r r r 即数量积除以被投影向量的模长2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【举一反三】【2020·海南文昌一中期末】在ABC ∆中，22AB AC ==，,P Q 为线段BC 上的点，且BP PQ QC ==u u u r u u u r u u u r .若59AP AQ ⋅=u u u r u u u r ，则BAC ∠=（ ） A ．150oB ．120oC ．60oD ．30o【答案】B 【解析】不妨设||||||,3BP PQ QC x BC x ===∴=u u u r u u u r u u u r()()AP AQ AB BP AC CQ AB AC BP AC AB CQ BP CQ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22252cos 395cos 18AB AC BP AC AB BP BP BP AB AC BP BC BP BPABC x x ABC x =⋅+⋅-⋅-⋅=⋅+⋅-⋅=∠+-=∴∠=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 由余弦定理：2419cos 4x ABC +-∠=联立得到：3x = 1cos 1202o ABC ABC ∴∠=-∴∠=，故选B 类型二 基底法【例2】【2020·赣州三中月考】在直角ABC ∆中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，已知ABC ∆的面积为2，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为（ ）.ABC ．1615D ．169【答案】D【解析】由题,设点M 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点, 则121333AM AB BM AB BC AB AC =+=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 112333AN AC CN AC BC AB AC =+=-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以2221122523333999AM AN AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 因为直角ABC V ,所以AB AC ⊥,则0AB AC ⋅=u u u r u u u r ,因为122ABC S AB AC =⋅=V u u u r u u u r ,则4AB AC ⋅=u u u r u u u r ,所以2228AB AC AB AC +≥⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,当且仅当2AB AC ==u u u r u u u r 时等号成立,所以216899AM AN ⋅≥⨯=u u u u r u u u r ,故选D 【指点迷津】1.遇到几何图形中计算某两个向量,a b r r 数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（,a b r r 模长，夹角），那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将,a b r r 两个向量表示出来，进而进行运算.这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法.2.如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知.常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.【举一反三】【2020·江苏金陵中学开学考试】在等腰ABC ∆中，已知底边2BC =，点D 为边AC 的中点，点E 为边AB上一点且满足2EB AE =，若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r ，则ECAB ⋅=u u u r u u u r _____． 【答案】43 【解析】D Q 为AC 的中点，()()111222BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC ∴=+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u u u u u r u u u r u u u u r u u r u u u r r u ur ， AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ，()()()22111222BD AC BC BA BC BA BC BA ∴⋅=+⋅-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即2221BA -=-u u u r ，可得5BA =u u u r ， ()22222AC BC BA BC BA BC BA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，2122BA BC BC ∴⋅==u u u r u u u r u u u r ， ()22224523333EC AB BC BE AB BA BC BA BA BC BA ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .类型三 坐标法【例3】【2020广西大学附属中学月考】 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，23AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u v u u u v __________.【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则(23,0)B ，535(,)22D ． 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE的斜率为3，其方程为3(23)y x=-，直线AE的斜率为33-，其方程为33y x=-．由3(23),333y xy x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x=，1y=-，所以(3,1)E-．所以35(,)(3,1)12BD AE=-=-u u u r u u u rg g．【指点迷津】常见的可考虑建系的图形：（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形（3）具备特殊角度的图形（30,45,60,120o o o o等）【举一反三】【2020河北邯郸一中期末】如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，点P是MD的中点，若2AB=u u u r，1AD=u u u r，且60BAD∠=o，则AP CP⋅=u u u r u u u r_________MDA BP【答案】178-【解析】思路：本题抓住60BAD∠=o这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由2AB=u u u r，1AD=u u u r可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解解：以AB 为x 轴，过A 的垂线作为y 轴可得：()1352,0,,,,3222B D C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭53733,,,4488M P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7331353,,,8888AP CP ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r71333531788888AP CP ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅-+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r答案：178-三．强化训练1.【2019·广东顺德一中月考】如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=u u u r u u u r （）A 3B ．3C ．3-D ．-3【答案】A【解析】由题知()()2AC AD AD DC AD AD DC AD ⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为)3331BC BD BD DC BD DC BD =⇒+=⇒=，所以))131131AC AD BD AD DB DA ⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为cos1 DB DA DB DA ADB ⋅=⋅∠= u u ur u u u r u u u r u u u r，所以()1313AC AD⋅=+-=u u u r u u u r，故选A. 2．【2020·天津市和平区二中月考】在ABCV中，60A∠=︒，3AB=，2AC=. 若2BD DC=u u u v u u u v，()AE AC AB Rλλ=-∈u u u v u u u v u u u v，且4AD AE⋅=-u u u v u u u v，则λ的值为______________.【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC⋅=⨯⨯==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC ABλλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r3．【2020·江苏徐州一中月考】如图，在ABCV中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE 交于点O.若6AB AC AO EC⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=-+=-+=⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g，得2213,22AB AC=u u u r u u u r即3,AB=u u u r u u r故3ABAC=4．【2020·海南东方一中期末】设ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且满足OA OB OB OC OC OA⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则||||()OB OA OB OC R λλλ-+-∈u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为________. 【答案】23. 【解析】由题意可知,向量,,OA OBOC u u u r u u u r u u u r的模都等于2, 因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 两两间的夹角为120°, 由几何意义可知,要求||||OB OA OB OC λλ-+-u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值,即求直线OB 上的点M 到,A C 两点间的距离之和的最小值,显然当,,A M C 三点共线时,点M 到,A C 两点的距离的和最小,设||||OB OA OB OC m λλ-+-=u u u r u u u r u u u r u u u r ,由余弦定理可得22min 22222cos12023m AC ︒==+-⨯⨯⨯=.5．【2020·江苏亳州一中月考】）在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PA PB PB PC⋅⋅uu u r uu u r uu u r uuu r =____ 【答案】12- 【解析】因为PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴PA PB PC PB PA ++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴2PC PA =-u u u r u u u r ；P ∴，A ，C 三点共线，如图所示，∴||2||PC PA =u u u r u u u r ； ()cos cos cos 12cos cos cos PA PB APB PA APB PA APB PA PB PB PC PB PC CPB PC APB PC APBπ⋅∠∠∠⋅∴====-⋅⋅∠-∠-∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r6．【2020陕西宝鸡一中期中】在ABC V 中，3AB =，4BC =，2AC =，若点O 为ABC V 的重心，则AO AC ⋅u u u r u u u r 的值为________.【答案】56【解析】取BC 中点为D ，Q 点O 为ABC V 的重心，23AO AD ∴=（重心的性质）， 23AO AD ∴=u u u r u u u r ，由余弦定理得：2223241cos 2234BAC +-∠==-⨯⨯， ()2211()333AO AC AD AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 115234346⎡⎤⎛⎫=⨯⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 7．【2020黑龙江大庆一中期末】如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB =，以AB 为直径在ABC V 外作半圆O ，P 是半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若2AB AQ ⋅=u u u r u u u r ，则AQ CP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是________.【答案】21,0⎡⎤--⎣⎦【解析】取AB 中点为O ，建立如下图所示的直角坐标系则(1,0),(1,0)(1),,2A B C ---，设POB θ∠=，[0,]θπ∈，则(cos ,sin )P θθ0(2)11(1)BC k --==--，则:1BC y x =- 设点(,1),[1,1]Q m m m -∈-，则(2,0),(1,1)AB AQ m m ==+-u u u r u u u r22(1)20AB AQ m m ⋅=⇒+=⇒=u u u r u u u r ，(1,1)AQ ∴=-u u u r(cos 1,sin 2)CP θθ=++u u u r Qcos 1sin 2sin cos 12sin 14AC CP πθθθθθ⎛⎫∴⋅=+--=-+-=--- ⎪⎝⎭u u u r u u u r [0,]θπ∈Q ，3,444πππθ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦， 则当44ππθ-=-，即0θ=时，AC CP ⋅u u u r u u u r 取最大值22102⎛⎫-⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭ 当42ππθ-=，即34πθ=时，AC CP ⋅u u u r u u u r 取最小值21121-⨯-=-- 则AQ CP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是21,0⎡⎤--⎣⎦ 8．【2020甘肃武威一中期中】如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC =u u u r u u u r ，2DE EB =u u u r u u u r ，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=-u u u r u u u r ，则AE AC ⋅=u u u r u u u r ____.【答案】229【解析】如图，过点D 做DG AF P ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =, 12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =， 同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 由45AF BC ⋅=-u u u r u u u r ，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅-=-+⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,可得：14244422cos 5555BAC ⨯-⨯+⨯⨯∠=-,可得：2cos 3BAC ∠=， 255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 9.【2020云南德宏一中期末】等腰ABC ∆中，23ACB π∠=，1CA =，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点P 是ABC ∆（包括边界）内一点，则AE =u u u r ______；AE DP ⋅u u u r u u u r 的最大值为______.98 【解析】在等腰ABC ∆中，23ACB π∠=，1CA =，所以1CA BC ==， 因为E 分别是边BC 的中点，所以1122EC BC ==， 在ACE △中，120ACE ︒∠=，222221112cos120121222AE AC CE AC CE ︒⎛⎫⎛⎫∴=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭171244=++=，AE ∴=u u u r ；建立直角坐标系如下图所示，则,A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1(0,0),2D E ⎫⎪⎪⎝⎭，设(,)P x y，则1,(,)4444y AE DP x y x ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 又直线AC的方程是12y x =+，直线BC的方程是12y x =+，所以,x y 满足1021020x y x y y -+≥⎪⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎪⎪⎩，令4y Z x =+，则4y Z =-+，当直线过点B ⎫⎪⎪⎝⎭，Z 有最大值98,所以AE DP ⋅u u u r u u u r 的最大值为98.10．【2020湖北宜昌一中期末】在边长为8正方形ABCD 中，点M 为BC 的中点，N 是AD 上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的边上恰有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r ，则实数m 的取值范围为______.【答案】(1,8)-【解析】以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则(8,4)M ，(0,2)N ，（1）当点P 在AB 上时，设(,0)P x ，08x ≤≤，∴(,2)PN x =-u u u r ，(8,4)PM x =-u u u u r ，∴288PM PN x x ⋅=-+u u u u r u u u r ，∵08x ≤≤，∴88PM PN -≤⋅≤u u u u r u u u r ．∴当8m =-时有一解，当88m -<≤时有两解；（2）当点P 在AD 上时，设(0,)P y ，08y <≤，∴(0,2)PN y =-u u u r ，(8,4)PM y =-u u u u r ， ∴268PM PN y y ⋅=-+u u u u r u u u r ，∵08y <≤，∴124PM PN -≤⋅≤u u u u r u u u r ，∴当1m =-或824m ≤≤时有一解，当18m -<<时有两解；（3）若P 在DC 上，设(,8)P x ，08x <≤，∴(,6)PN x =--u u u r ，(8,4)PM x =--u u u u r ，∴2824PM PN x x ⋅=-+u u u u r u u u r，∵08x <≤，∴824PM PN ≤⋅≤u u u u r u u u r ．∴当8m =时有一解，当824m <≤时有两解；（4）当点P 在BC 上时，设(8,)P y ，08y <<，∴(8,2)PN y =--u u u r ，(0,4)PM y =-u u u u r， ∴268PM PN y y ⋅=-+u u u u r u u u r ，∵08y <<，∴124PM PN -≤⋅<u u u u r u u u r，∴当1m =-或824m <<时有一解，当18m -<<时有两解， 综上，在正方形ABCD 的四条边上有且只有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r 成立，那么m 的取值范围是(1,8)-.。
例说平面向量与三角函数的综合性问题
说 ：题 以线 量 载 ， 、 ， ． 明本 是 共 向 为体利 ／ 求 ｔ ０ 丁
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２抓 表 现 手 法 中 的 以 动 写 静 、 小 见 ． 以 大、 虚实 结 合 等 ３抓 修 辞 手 法 中 的 比 喻 、 人 、 张 、 ． 拟 夸 抒 发 了作 者 怎 样 的 思 想 感 情 或 间 接 流 露 出 作 者 怎 样 的 情 感 。 其 主 要 方 法 就 是 运 用 上 面 所 说 的 联 系 法和 诗 词 的 艺 术 手 法
…
复习笔记3 三角函数、解三角形、平面向量
三角函数、解三角形、平面 向量
高考专题辅导与测试·数学
[基础知识要记牢] 1．三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义： 设 α 是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点 P(x， y y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x.各象限角的三角函数值的符 号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． sin α (2)同角关系：sin α＋cos α＝1，cos α＝tan α.
π f(x) ＝ 2sin 3－x 的单调递减区间为
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解析：由
π π f(x)＝2sin3－x＝－2sinx－3，
π π π 令－2＋2kπ≤x－3≤2＋2kπ， π 5π 则－6＋2kπ≤x≤ 6 ＋2kπ，k∈Z. ∴函数
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， x1x2＋y1y2 a· b 则 cos θ＝ ＝ 2 2 2 2 . |a||b| x1＋y1 x2＋y2 (4)|a· b|≤|a|· |b|.
高考专题辅导与测试·数学
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2
sin
2
x＝sin
12 11 x－2 － . 12
2 x∈－3，1，∴当
又 sin
2 4 sin x＝－3时，取最大值9.
4 答案：9
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3．求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意 ω，A 的符 号．ω<0 时，应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再 求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加 2kπ 时，不要忘掉 k∈Z，所求区间一般为闭区间． [ 针对练 3] ________． 函数