《简单的线性规划》知识点及题型归总
人教版高中数学总复习[知识梳理简单的线性规划(基础)
简单的线性规划【考纲要求】1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。
【知识网络】【考点梳理】【不等式与不等关系394841 知识要点】考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）要点诠释：画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域。
简称：“直线定界，特殊点定域”方法。
考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.要点诠释：判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号简单的线性规划二元一次不等式（组）表示的区域 简单应用不等式（组）的应用背景即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.考点三：线性规划的有关概念：①线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z=ax+by (a ，b ∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释：在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。
简单线性规划-高中数学知识点讲解
简单线性规划1．简单线性规划【概念】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【例题解析】푥+2푦≤8例：若目标函数z＝x+y 中变量x，y 满足约束条件{0≤푥≤4．0≤푦≤3（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S =12퐵퐶⋅퐴퐵=12×1×2=1．（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最小，此时z 最小为z＝2+3＝5，当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最大，此时z 最大为z＝4+3＝7，1/ 5故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．【典型例题分析】题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例 1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k 的值是（）7343A．3B．7C．3D．44 4分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平33面区域面积的条件即可．解答：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx +44过定点（0，）．因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx +3343能平分平面区域．15因为A（1，1），B（0，4），所以AB 中点D（，）．22当y＝kx +4155过点（，）时，3222=푘2+43，所以k =73．答案：A．点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．题型二：求线性目标函数的最值2/ 5典例 2：设x，y 满足约束条件：，求z＝x+y 的最大值与最小值．分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0 来寻找最优解，求出目标函数的最值．解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0 平移，当l0 的平行线l1 过点B 时，可使z＝x+y 达到最小值；当l0 的平行线l2 过点A 时，可使z＝x+y达到最大值．故z min＝2，z max＝7．点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．题型三：实际生活中的线性规划问题典例 3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4 吨 1.2 万元0.55 万元韭菜 6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．3/ 5푥+푦≤50解析设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知{1.2푥+0.9푦≤54푥，푦∈푁+求目标函数z＝x+0.9y 的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．当目标函数线l 向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植 30 亩，韭菜种植 20 亩时，种植总利润最大．故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移﹣﹣将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；（3）求值﹣﹣解方程组求出A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．题型四：求非线性目标函数的最值푦典例 4：（1）设实数x，y 满足，则푥的最大值为．→（2）已知O 是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|푂퐴+→푂푀|的最小值是．分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．푦3解答：（1）푥表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．24/ 5→（2）依题意得，푂퐴+→→푂푀=（x+1，y），|푂퐴+→푂푀| =(푥+1)2+푦2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向→直线x+y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|푂퐴+→푂푀|的最小值是|―1+0―2|2=322．332故答案为：（1）（2）．22点评：常见代数式的几何意义有（1）푥2+푦2表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；（2）(푥―푎)2+(푦―푏)2表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；푦（3）푥表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；푦―푏（4）푥―푎表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．푧푧2．在通过求直线的截距푏的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b＞0 时，截距푏取最大值时，z 也取最大值；截푧푧푧距푏取最小值时，z 也取最小值；当b＜0 时，截距푏取最小值时，z 取最大值．푏取最大值时，z 取最小值；截距5/ 5。
2022年新高考数学总复习：简单的线性规划
2022年新高考数学总复习：简单的线性规划Ax＋By＋C__＝0__上，另两类分居直线Ax＋By＋C＝0的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足Ax＋By＋C__>0__，另一侧半平面的点的坐标满足Ax＋By＋C__<0__.(2)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的平面区域且不含边界，作图时边界直线画成__虚线__，当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包知识点一二元一次不等式表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中，直线Ax＋By＋C＝0将平面内的所有点分成三类：一类在直线括边界直线，此时边界直线画成__实线__.知识点二二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含__等号__，则应把直线画成虚线；若不等式含有__等号__，把直线画成实线．(2)特殊点定域，由于在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都__相同__，故为确定Ax＋By＋C的值的符号，可采用__特殊点法__，如取(0,0)、(0,1)、(1,0)等点．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的__公共部分__.知识点三线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的__不等式(组)__线性约束条件由x，y的__一次__不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数__解析式__，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的__一次__解析式可行解满足约束条件的解__(x，y)__可行域所有可行解组成的__集合__最优解使目标函数取得__最大值__或__最小值__的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的__最大值__或__最小值__问题归纳拓展1．判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论把Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0化为y>kx＋b或y<kx＋b的形式．(1)若y>kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0上方．(2)若y<kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0下方．2．最优解与可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定存在，存在时不一定唯一．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(√)(2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．(×)(3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.(√)(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．(√)(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．(√)(6)目标函数z ＝ax ＋by (a ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．(×)题组二走进教材2．(必修5P 86T3改编)－3y ＋6<0，－y ＋2≥0表示的平面区域是(C)[解析]x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方部分，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C 所示部分．3．(必修5P 91练习T1(1)改编)已知x ，y ≤x ，＋y ≤1，≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是(C)A ．3，－3B ．2，－4C ．4，－2D ．4，－4[解析]作出可行域如图中阴影部分所示．A (2，－1)，B (－1，－1)，显然当直线l ：z ＝2x ＋y ＋1经过A 时z 取得最大值，且z max ＝4，当直线l 过点B 时，z 取得最小值，且z min ＝－2，故选C ．题组三走向高考4．(2020·浙江，3,4分)若实数x ，y x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是(B)A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[解析]由约束条件画出可行域如图．易知z ＝x ＋2y 在点A (2,1)处取得最小值4，无最大值，所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选B ．5．(2019·北京)若x ，y x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则y －x 的最小值为__－3__，最大值为__1__.[解析]由线性约束条件画出可行域，为图中的△ABC 及其内部．易知A (－1，－1)，B (2，－1)，C (2,3)．设z ＝y －x ，平移直线y －x ＝0，当直线过点C 时，z max ＝3－2＝1，当直线过点B 时，z min ＝－1－2＝－3.考点突破·互动探究考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域——自主练透例1(1)(2021·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy ||≤|y |，||<1的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列图中的(C)(2)(2021·四川江油中学月考)已知实数x ，y x ＋y －3≤0x －2y －3≤0，0≤x ≤4则其表示的平面区域的面积为(D)A ．94B ．272C ．9D ．274(3)x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是(D)A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43[解析](1)|x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域；|x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的区域．故选C ．(2)线性约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (0,3)B0，－32，C (3,0)，∴S ＝12|AB |·|OC |＝12×92×3＝274，故选D ．(3)x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．且作l 1：x ＋y ＝0，l 2：x ＋y ＝1，l 3：x ＋y ＝43.由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．即a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.名师点拨(1)画平面区域的步骤：①画线：画出不等式所对应的方程表示的直线．②定侧：将某个区域内的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧，常用的特殊点为(0,0)，(±1,0)，(0，±1)．③求“交”：如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域，这种方法俗称“直线定界，特殊点定域”．(2)计算平面区域的面积时，通常是先画出不等式组所对应的平面区域，然后观察区域的形状，求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积．(3)判断不等式表示的平面区域和一般采用“代点验证法”．考点二简单的线性规划问题——多维探究角度1求线性目标函数的最值例2(2018·课标全国Ⅰ，13)若x ，y －2y －2≤0，－y ＋1≥0，≤0.则z ＝3x ＋2y 的最大值为__6__.[解析]本题主要考查线性规划．由x ，y 满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示)．由图知当直线3x ＋2y －z ＝0经过点A (2,0)时，z 取得最大值，z max ＝2×3＝6.[引申1]本例条件下z ＝3x ＋2y 的最小值为__－18__.[解析]由例2－y ＋1＝0－2y －2＝0，∴B (－4，－3)，当直线y ＝－32x ＋12z ，过点B 时，z最小，即z min ＝－18.[引申2]本例条件下，z ＝3x －2y 的范围为__[－6,6]__.[解析]z ＝3x －2y 变形为y ＝32x －12z ，由本例可行域知直线y ＝32x －12z ，过A 点时截距取得最小值，而z 恰好取得最大值，即z ＝6.过B 点时截距取得最大值而z 恰好取得最小值，即z ＝－6，∴z ＝3x －2y 的范围为[－6,6]．[引申3]本例条件下，z ＝|3x －2y ＋1|的最大值为__7__，此时的最优解为__(2,0)__.[解析]由引申2得－6≤3x －2y ≤6，∴－5≤3x －2y ＋1≤7，∴0≤z ≤7，z 最大值为7，此时最优解为(2,0)．名师点拨利用线性规划求目标函数最值的方法：方法1：①作图——画出线性约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l .(注意表示目标函数的直线l 的斜率与可行域边界所在直线的斜率的大小关系)．②平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．③求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．方法2：解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．角度2由目标函数的最值求参数例3(1)(2021·东北三省三校模拟)已知实数x，y x－y－1≤0，－x＋2y－2≤0，2x＋y－2≥0，若目标函数z＝ax＋y(a>0)最大值为5，取到最大值时的最优解是唯一的，则a的取值是(C)A．14B．13C．12D．1(2)变量x，y x＋y≥0，x－2y＋2≥0，mx－y≤0，若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于(C)A．－2B．－1 C．1D．2[解析](1)x－y－1≤0，x－2y＋2≥0，2x＋y－2≥0，作可行域如图所示．目标函数z＝ax＋y可化为y＝－ax＋z，因为y＝－ax＋z表示斜率为－a的直线，且－a<0，由图形可知当y＝－ax＋z经过点C时，z取到最大值，这时点C坐标满足x－2y＋2＝0，x－y－1＝0，解得x＝4，y＝3，C点坐标为(4,3)，代入z＝ax＋y得到a＝12.故选C．(2)解法一：当m≤0时，可行域(示意图m<－1)如图中阴影部分所示，z＝2x－y⇔y＝2x－z，显然直线的纵截距不存在最小值，从而z不存在最大值，不合题意，当m>0时，可行域(示意图)如图中阴影部分所示．若m ≥2，则当直线z ＝2x －y 过原点时，z 最大，此时z ＝0，不合题意(故选C ．)若0<m <2，则当直线z ＝2x －y 过点A 时z 取最大值2，mx －y ＝0，x －2y ＋2＝0，x ＝22m －1，y ＝2m2m －1，即22m －1，2m2m －1.∴42m －1－2m 2m －1＝2，解得m ＝1.故选C ．解法二：画出约束条件x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0的可行域，如图，作直线2x －y ＝2，与直线x －2y ＋2＝0交于可行域内一点A (2,2)，由题知直线mx －y ＝0必过点A (2,2)，即2m －2＝0，得m ＝1.故选C ．[引申]在本例(1)的条件下，若z ＝ax ＋y 的最大值为4a ＋3，则a 的取值范围是－12，＋∞__.名师点拨求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中．求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应参数的值，然后进行检验，找出符合题意的参数值．角度3线性规划中无穷多个最优解问题例4x ，y x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值一定为(C)A ．1B ．12C ．－1或2D ．2或12[分析]利用目标函数取得最大值的最优解有无数个，即目标函数对应的直线与可行域的边界重合．[解析]作出可行域(如图)，为△ABC 内部(含边界)．由题设z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由k AB ＝－1，k AC ＝2，k BC ＝12可得a ＝－1或a ＝2或a ＝12，验证：a ＝－1或a ＝2时，成立；a ＝12时，不成立．故选C ．[引申]若z ＝y －ax 取得最小值的最优解不唯一，则实数a 的值为__12__.〔变式训练1〕(1)(角度1)(2020·课标Ⅰ，5分)若x ，y 2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为__1__.(2)(角度2)(2021·福建莆田模拟)若实数x ，y y ≥02x －y －1≥0x ＋y －m ≤0，且目标函数z ＝x －y 的最大值为2，则实数m ＝__2__.(3)(角度3)已知实数x ，y x －y ＋1≥0x ＋2y －8≤0x ≤3，若使得ax －y 取得最小值的可行解有无数个，则实数a 的值为__1或－12__.[解析](1)作出可行域如图，由z ＝x ＋7y 得y ＝－x 7＋z 7，易知当直线y ＝－x 7＋z7经过点A (1,0)时，z 取得最大值，z max ＝1＋7×0＝1.(2)由线性约束条件画出可行域(如图所示)，∵目标函数z ＝x －y 的最大值为2，由图形知z ＝x －y 经过平面区域的A 时目标函数取得最大值2，－y ＝2＝0，解得A (2,0)，∴2－m ＝0，则m ＝2，故答案为2.(3)作出可行域如图中阴影部分所示，记z ＝ax －y ⇒y ＝ax －z .当直线y ＝ax －z 纵截距最大时，z 最小，此时a ＝1或－12.考点三线性规划的实际应用——师生共研例5(2020·试题调研)某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A ，B ，要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：因素产品A 产品B 备注研制成本、搭载试验费用之和(万元)2030计划最大投资金额300万元产品重量(千克)105最大搭载质量110千克预计收益(万元)8060——则使总预计收益达到最大时，A ，B 两种产品的搭载件数分别为(A )A ．9,4B ．8,5C ．9,5D ．8,4[解析]设“神舟十一号”飞船搭载新产品A ，B 的件数分别为x ，y ，最大收益为z 万元，则目标函数为z ＝80x＋60y .根据题意可知，约束条件为x ＋30y ≤300，x ＋5y ≤110，≥0，≥0，，y ∈N ，x ＋3y ≤30，x ＋y ≤22，≥0，≥0，，y ∈N ，不等式组所表示的可行域为图中阴影部分(包含边界)内的整数点，作出目标函数对应直线l ，显然直线l 过点M 时，z 取得最大值．x ＋3y ＝30，x ＋y ＝22，＝9，＝4，故M (9,4)．所以目标函数的最大值为z max ＝80×9＋60×4＝960，此时搭载产品A 有9件，产品B 有4件．故选A ．名师点拨利用线性规划解决实际问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读，明确题意，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中要求其最值的量为z ，起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x ，y ，并列出约束条件，写出目标函数．(3)作图：准确作出可行域，确定最优解．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．〔变式训练2〕(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为__216000__元．[解析]设生产产品A x件，产品B y≥0，y≥0，x＋0.5y≤150，＋0.3y≤90，x＋3y≤600，设生产产品A，产品B的利润之和为z元，则z＝2100x＋900y.画出可行域(如图)，易知＝60，＝100，则z max＝216000.名师讲坛·素养提升非线性目标函数的最值问题例6(1)(2016·江苏高考)已知实数x，y－2y＋4≥0，x＋y－2≥0，x－y－3≤0，则x2＋y2的取值范围是__45，13__.(2)(2021·河南中原名校质量考评)若方程x2＋ax＋2b＝0的一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则b－3a－2的取值范围是(D)A．25，1B．1，52CD[分析](1)本题中x2＋y2的几何意义是点(x，y)到原点的距离的平方，不能遗漏平方．(2)b－3a－2表示点(a，b)与(2,3)连线的斜率k，根据题意列出a、b应满足的约束条件，在此约束条件下求k的取值范围即可．[解析](1)不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x ＋y －2＝0的距离为25，所以(x 2＋y 2)min ＝45，又当(x ，y )取点(2,3)时，x 2＋y 2取得最大值13，故x 2＋y 2的取值范围是45，13.(2)记f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，0)>0，1)<0，2)>0.>0，＋2b ＋1<0，＋b ＋2>0.作出可行域如图中阴影部分所示．＋2b ＋1＝0＋b ＋2＝0＝－3＝1，∴C (－3,1)，显然A (－1,0)，B (－2,0)b －3a －2表示点(a ，b )与点(2,3)连线的斜率，由图可知当(a ，b )取(－1,0)时，b －3a －2＝1；当(a ，b )取(－3,1)时，b －3a －2＝25，∴b －3a －2的取值范围是D ．[引申]在本例(1)条件下：①x 2＋(y ＋1)2的最小值为__2__；②y ＋1x ＋1的取值范围是__12，3__；③x ＋2y ＋1x ＋3的取值范围是__12，95__.[解析]①由图可知当(x ，y )取点(1,0)时，x 2＋(y ＋1)2取最小值2；②y ＋1x ＋1表示点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率．由图可知当(x ，y )取点(1,0)时，y ＋1x ＋1取最小值12，当(x ，y )取点(0,2)时，y ＋1x ＋1取最大值3，∴y ＋1x ＋1的取值范围是12，3.③x ＋2y ＋1x ＋3＝1＋2·y －1x ＋3，y －1x ＋3表示(x ，y )与点(－3,1)连线的斜率，－2y ＋4＝0，x －y －3＝0，得＝2，＝3，∴B (2,3)．由图可知(x ，y )取(1,0)时y －1x ＋3，取最小值－14，(x ，y )取点(2,3)时，y －1x ＋3取最大值25.∴x ＋2y ＋1x ＋3的取值范围是12，95.名师点拨非线性目标函数最值的求解(1)对形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．(2)对形如z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，可先变形为z ＝ac ·x为求可行域内的点(x，y)－dc，－连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等．(3)对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先求z1＝Ax＋By的取值范围，进而确定z＝|Ax＋By＋C|的取值范围，也可变形为z＝A2＋B2·|Ax＋By＋C|A2＋B2的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的A2＋B2倍的最值，或先求z1＝Ax＋Bx＋C的取值范围，进而确定z＝|Ax＋By＋C|的取值范围．〔变式训练3〕(1)(2021·百校联盟尖子生联考)已知x，y ＋y≤2≤2x＋2，≥0则(x－2)2＋(y－1)2的取值范围为__12，10__.(2)(2021·河南省八市重点高中联考)若x，y满足2y≤x≤y－1，则y－2x的取值范围是(B)A∪32，＋∞B，32C－∞，12∪32，＋∞D．12，32[解析](1)可行域如图阴影部分，M＝(x－2)2＋(y－1)2的几何意义是点(2,1)与可行域中点的距离，最小值为点(2,1)到x＋y－2＝0的距离|2＋1－2|2＝22，最大值为点(2,1)与点(－1,0)的距离10，所求M2的取值范围是12，10.(2)由x，y满足2y≤x≤y－1，作可行域如图，2y ＝x x ＝y －1，解得A (－2，－1)．∵y －2x 的几何意义为可行域内的动点与Q (0,2)，连线的斜率，∴动点位于A 时，y －2x max ＝32，直线2y ＝x 的斜率为12，则y －2x的取值范围12，32.故选B ．。
简单的线性规划.(一)doc
简单的线性规划（一）知识点1 线性规划在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题。
（1）目标函数：要求再一定条件下求极大值或极小值问题的函数叫做目标函数，目标函数式变量的一次解析式，又叫做线性目标函数。
（2）约束条件：在规划中，变量必须满足的条件叫做约束条件，关于变量时一次不等式（等式）表示的条件叫线性约束条件。
（3）可行解：在线性规划中，满足线性约束条件的解叫做可行解；（4）可行域：在线性规划中，有所有的线性可行解组成的的集合叫可行域；（5）最优解：可行解中使目标函数取得最大值或最小值得解叫做最优解。
【例题1】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥++=001710732,53y x y x y x y x y x z 满足约束条件的最小值，使求【变式2】的最大值和最小值。
求满足条件式中变量设z x y x y x y x y x z ,1255334,,2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=知识点2 解答线性规划问题的两个误区解答线性规划问题容易有以下两个类型的错误：（1）平移直线时失误；（2）扩大可行域。
由于作图的误差使我们很难确定哪个点最先和目标函数相交，所以需要检验，常用的以下方法检验：（1）顶点检验法：（2）斜率检验法：【例题3】的最大值。
求已知y x z y x y x y x y x +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+,0,04276355744411【变式3】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥+=.6325400,98y x y x y x y x y x z 满足约束条件的最大值，式中求【例题4】的取值范围。
求且设)2(,4)1(2,2)1(1,)(22-≤≤≤-≤-+=f f f b ax f x x【变式4】的取值范围。
，求，满足已知函数)3(5)2(11)1(4)(2f f f c a x f x ≤≤--≤≤--=。
高二数学简单的线性规划知识精讲
高二数学简单的线性规划【本讲主要内容】简单的线性规划二元一次不等式表示的平面区域，线性规划的意义。
【知识掌握】 【知识点精析】 1、二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）。
由于对在直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,）代入Ax ＋By ＋C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0），从Ax 0＋By 0＋C 的正负即可判断Ax ＋By ＋C ＞0表示直线哪一侧的平面区域（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）。
2、线性规划若对于变量x 、y 的约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，可称其为线性约束条件。
z ＝f(x,y)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数。
当z ＝f(x,y)是关于x 、y 的一次解析式时，z ＝f(x,y)叫做线性目标函数。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域。
使目标函数取得最大值和最小值的可行解，叫做最优解。
【解题方法指导】例1. 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合。
不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域。
例2. 已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ,求z ＝3x ＋y 的最小值。
线性规划知识复习、题型总结
线性规划基础知识：一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或+C>0同二法所得，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
方法二：利用规律：1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。
四、线性规划的有关概念：①线性约束条件：②线性目标函数：③线性规划问题：④可行解、可行域和最优解：典型例题一--------画区域1.用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．线ABC ∆⎪⎩⎪⎨⎧-+-22y x y x y x 2),(y x ．x ，y还有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x ．依照二元一次不等式表示的平面区域， 知332≤<-y x 表示的区域如下图： 对于332≤<-y x 的正整数解，容易求 得，在其区域内的整数解为 )1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．3设0≥x ，0≥y ，0≥z ；z y x p 23++-=，z y x q 42+-=，1=++z y x ，用精心整理图表示出点),(q p 的范围．分析：题目中的p ，q 与x ，y ，z 是线性关系． 可借助于x ，y ，z 的范围确定),(q p 的范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+--=--,1,42,23z y x q z y x p z y x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+-=-+=),345(271),3514(271),68(271q p z p q y p q x由x 不z 的，z ， 4,0≥x （的最例 以讨论．解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线：)1(-≥=x x y AB ：，)1(2-<--=x x y AC ：)0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ： 与AC 、DE 与DF 个矩形．根据两条平行线之间的距离公式的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23． 典型例题三------求最值 一、与直线的截距有关的最值问题z Ax By C =++1.如图1所示，已知ABC 中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -， 点(,)P x y 在ABC 内部及边界运动，请你探究并讨论以下①值②3-2时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． ∴ 18822max=⨯+=z ∴ 2222min=⨯+-=z注：z Ax By =+可化为A z y x BB =-+表示与直线Ay x B=-平行的一组平行线，其中z B 为截距，特别注意：斜率范围及4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩截距符号。
(word完整版)高中线性规划知识点及最新高考真题,推荐文档
高中必修5线性规划简单的线性规划问题一、知识梳理1. 目标函数：P =2x + y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数.2. 可行域：约束条件所表示的平面区域称为可行域•3. 整点：坐标为整数的点叫做整点.4. 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题•只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.5. 整数线性规划：要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.二、疑难知识导析1. 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线.2. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域.若直线不过原点，通常选择原点代入检验.3. 平移直线y=—k x +P时，直线必须经过可行域.4. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.5. 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：2* （2015•马軼山一模）设变壘X, y满足约束条件I < F则z=x-3y的罠小值（扎-2 S. ~4C+ -5 D. -8rj-v>03. （2015 -Lil东）已知筈，y满足约朿条件\ x-y<2，若沪立+y的最犬値为4,则沪］［炖A B3 Ei 2 C* ~ 2 D«—314x-H5j>S4* 东）若变重壯y炳足釣束条件3 l<x<J ,则沪睑+刘的最"卜信为（）乱年 C. 6 D.A. 42xp 三 IDx-2y<l4f 则克苧的最大值育()百x+j-4<01 H!lz-^2x+y 的最大值是（ ）绘1内・一1B ・一2C+ -5D ・1(C, 12D . ia。
简单的线性规划(含答案、详解)
简单的线性规划一、点与直线的位置关系1、若点)1,2(a 在直线01=--y x 的左上方，则实数a 的取值范围是2、已知点(-2,1)和点(1,1)在直线023=--a y x 的两侧,则a 的取值范围是3、在下列各点中，不在．．不等式532<+y x 表示的平面区域内的点为 ①． )1,0( ②． )0,1( ③． )2,0( ④． )0,2(4、下列给出的四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是①、(0,2) ②、(2,0)- ③、(0,2)- ④、(2,0)5、原点和点()1,1在直线0=-+a y x 的同侧，则a 的取值范围是6、点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中①、2≤-y x ②．022>--y x ③．0≤y ④．2≥x7、已知点()3,1和点()4,6-在直线320x y m -+=的两侧，则m 的取值范围是__________．二、简单的线性规划之不等式表示的平面区域8、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是9、不等式组201022x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域的面积是10、1x y +≤表示的平面区域的面积是________________.11、已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为__________. 三、简单的线性规划之最值12、已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为13、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧->-<+>+144222y x y x y x 则目标函数y x z -=3的取值范围是________.⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x14、已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,0,2,y y x x y 那么目标函数y x z 3+=的最大值是 .15、已知实数满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x b =的取值范围是16、若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为 .17、已知，则的最大值为18、若变量,x y 满足约束条件，则3log (2)w x y =+的最大值是19、已知实数,x y 满足约束条件20,350,1,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则212x y z +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值等于 20、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大?简单线性规划（参考答案）1、试题分析：因为直线01=--y x 的左上方的点满足不等式10x y --<,所以1210a--<,即01a <<. 2、试题分析：因为点(-2,1)和点(1,1)在直线023=--a y x 的两侧,所以(3(2)21)(31a a ⨯--⨯-⨯-⨯-<，解得8 1.a -<<3、③解决该试题的关键是理解，不满足平面区域内的点不满足不等式。
高中数学简单的线性规划(提高)知识梳理
简单的线性规划【考纲要求】1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。
【知识网络】【考点梳理】考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）要点诠释：画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域。
简称：“直线定界，特殊点定域”方法。
考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.要点诠释：判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.考点三：线性规划的有关概念：①线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、简单的线性规划 二元一次不等式（组）表示的区域简单应用不等式（组）的应用背景y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z=ax+by (a ，b ∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．要点诠释：在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。
简单的线性规划
7.4 简单的线性规划●知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P （x 0，y 0）.B ＞0时，①Ax 0+By 0+C ＞0，则点P （x 0，y 0）在直线的上方；②Ax 0+By 0+C ＜0，则点P （x 0，y 0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数.当B ＞0时，①Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；②Ax +By +C ＜0表示直线Ax +By +C =0下方的区域. 2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.●点击双基1.下列命题中正确的是A.点（0，0）在区域x +y ≥0内B.点（0，0）在区域x +y +1<0内C.点（1，0）在区域y >2x 内D.点（0，1）在区域x －y +1>0内 解析：将（0，0）代入x +y ≥0，成立. 答案：A2.（2005年海淀区期末练习题）设动点坐标（x ，y ）满足 （x －y +1）（x +y －4）≥0，x ≥3， A.5 B.10 C.217 D.10解析：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10. 答案：D2x －y +1≥0，x －2y －1≤0， x +y ≤1则x 2+y 2的最小值为3.不等式组 表示的平面区域为A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将（0，0）代入不等式组适合C ，不对；将（21，21）代入不等式组适合D ，不对；又知2x －y +1=0与x －2y －1=0关于y =x 对称且所夹顶角α满足t an α=|2121||212|⋅+-=43.∴α≠3π.答案：B4.点（－2，t ）在直线2x －3y +6=0的上方，则t 的取值范围是________________. 解析：（－2，t ）在2x －3y +6=0的上方，则2×（－2）－3t +6＜0，解得t ＞32.答案：t ＞325.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.答案：3 ●典例剖析【例1】 求不等式｜x －1｜+｜y －1｜≤2表示的平面区域的面积. 剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 解：｜x －1｜+｜y －1｜≤2可化为x ≥1， x ≥1， x ≤1， x ≤1， y ≥1， y ≤1， y ≥1， y ≤1， x +y ≤4 x －y ≤2 y －x ≤2 x +y ≥0. 其平面区域如图.∴面积S =21×4×4=8.评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.或 或 或深化拓展若再求：①12-+x y ；②22)2()1(++-y x 的值域，你会做吗？答案： ①（－∞，－23］∪［23，+∞）；②［1，5］.【例2】 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50 nmi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h.（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围； （2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元），那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?剖析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围. 解：（1）依题意得v =y50，w =x300，4≤v ≤20，30≤w ≤100.∴3≤x ≤10，25≤y ≤225. ①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在9至14个小时之间，即9≤x +y ≤14.② 因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）.xy O1492.53910142+3=38y x （2）∵p =100+3·（5－x ）+2·（8－y ），∴3x +2y =131－p .设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小.在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x =10，y =4时，p 最小. 此时，v =12.5，w =30，p 的最小值为93元.评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.【例3】 某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z 元，那么 x +y ≤9，10×6x +6×8x ≥360， 0≤x ≤4， 0≤y ≤7.z=252x+160y，其中x、y∈N.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，z min=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.●闯关训练夯实基础1.（x－1）2+（y－1）2=1是｜x－1｜+｜y－1｜≤1的__________条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要解析：数形结合.答案：B2.（x+2y+1）（x－y+4）≤0表示的平面区域为A BC D解析：可转化为x+2y+1≥0，x+2y+1≤0，或x－y+4≤0 x－y+4≥0.答案：B3.（2004年全国卷Ⅱ，14）设x、y满足约束条件x≥0，x≥y，2x－y≤1，则z=3x+2y的最大值是____________.解析：如图，当x =y =1时，z max =5.答案：5x －4y +3≤0， 3x +5y －25≤0， x ≥1，_________.解析：作出可行域，如图.当把z 看作常数时，它表示直线y =zx 的斜率，因此，当直线y =zx 过点A 时，z 最大；当直线y =zx 过点B 时，z 最小．x ＝1， 3x ＋5y －25＝0，得A （1，522）.x －4y +3=0， 3x +5y －25=0，∴z max ＝1522＝522，z min ＝52．答案：525225.画出以A （3，－1）、B （－1，1）、C （1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z =3x －2y 的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组； ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点A 、B 、C ，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.直线AB 的方程为x +2y －1=0，BC 及CA 的直线方程分别为x －y +2=0，2x +y －5=0.在△ABC 内取一点P （1，1），分别代入x +2y －1，x －y +2，2x +y －5得x +2y －1>0，x －y +2>0，2x +y －5<0.由 得B （5，2）.4.变量x 、y 满足条件设z =xy ，则z 的最小值为_______，最大值为由因此所求区域的不等式组为x +2y －1≥0， x －y +2≥0， 2x +y －5≤0.作平行于直线3x －2y =0的直线系3x －2y =t （t 为参数），即平移直线y =23x ，观察图形可知：当直线y =23x －21t 过A （3，－1）时，纵截距－21t 最小.此时t 最大，t max =3×3－2× （－1）=11；当直线y =23x －21t 经过点B （－1，1）时，纵截距－21t 最大，此时t 有最小值为t min =3×（－1）－2×1=－5.因此，函数z =3x －2y 在约束条件 x +2y －1≥0，x －y +2≥0， 2x +y －5≤06.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克），4所需费用为S =0.5x +0.4y ，且x 、y 满足 6x +3y ≥8， 4x +7y ≥10， x ≥0， y ≥0，由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小.故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少.培养能力7.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A 、B 两种药分别配x 、y 剂（x 、y ∈N ），则 x ≥1， y ≥1，3x +5y ≤20， 5x +4y ≤25.下的最大值为11，最小值为－5.上述不等式组的解集是以直线x =1，y =1，3x +5y =20及5x +4y =25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）.所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，由题意有30x +20y ≤300， 5x +10y ≤110， x ≥0， y ≥0，x 、y 均为整数. 由图知直线y =－43x +81P 过M （4，9）时，纵截距最大.这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元. 探究创新9.实系数方程f （x ）=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求： （1）12--a b 的值域；（2）（a －1）2+（b －2）2的值域； （3）a +b －3的值域.f （0）＞0f （1）＜0 f （2）＞0b ＞0， a +b +1＜0， a +b +2＞0.如图所示. A （－3，1）、B （－2，0）、C （－1，0）.解：由题意知 ⇒又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（41，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）.●思悟小结简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决.图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标.●教师下载中心 教学点睛线性规划是新增添的教学内容，应予以足够重视.线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础，因为在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点（x ，y ）实数Ax +By +C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x 0，y 0）〔若原点不在直线上，则取原点（0，0）最简便〕，把它的坐标代入Ax +By +C =0，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0）表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法.在求线性目标函数z =ax +by 的最大值或最小值时，设ax +by =t ，则此直线往右（或左）平移时，t 值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解. 解线性规划应用题步骤：（1）设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数； （2）利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（或最小）.拓展题例【例1】 已知f （x ）=px 2－q 且－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，求f （3）的范围.解：∵－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5， p －q ≤－1，p －q ≥－4， 4p －q ≤5，4p －q ≥－1. 求z =9p －q 的最值.∴p =0， q =1，z min =－1， p =3，q =7， ∴－1≤f （3）≤20.【例2】 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？解：设A 厂工作x h ，B 厂工作y h ，总工作时数为t h ，则t =x +y ，且x +3y ≥40，2x +y ≥20，x ≥0，y ≥0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点（x ，y ），使t =x +y 的值为最小.x y +3由图知当直线l ：y =－x +t 过Q 点时，纵、横截距t 最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q 点是否是格子点.x +3y =40，2x +y =20，得Q （4，12）为格子点.故A 厂工作4 h ，B 厂工作12 h ，可使所费的总工作时数最少.如图，∵z max =20，解方程组。
高二数学简单的线性规划知识精讲试题
智才艺州攀枝花市创界学校高二数学简单的线性规划知识精讲【同步教育信息】一.本周教学内容：简单的线性规划二.重点、难点：1.二元一次不等式的区域〔1〕在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分成三类，即点在直线上，点在直线的上方区域，点在直线的下方区域。
一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。
注意：在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时画成实线。
〔4〕区域判断方法是：特殊点法。
2.线性规划：〔1〕约束条件、线性约束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、y的约束条件，假设约束条件都是关于x、y的一次不等式，那么约束条件又称为线性的约束条件。
〔2〕目的函数、线性目的函数：欲到达最大值或者最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目的函数。
假设解析式是x、y的一次解析式，那么目的函数又称线性目的函数。
〔3〕线性规划：求线性目的函数在线性约束条件下的最大值或者最小值的问题，统称为线性规划问题。
〔4〕可行域：满足线性约束条件的解〔x、y〕叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
〔5〕最优解：分别使目的函数获得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解。
3.解线性规划应用问题的一般方法和步骤：〔1〕理清题意，列出表格。
〔2〕设好变元并列出不等式组和目的函数、约束条件。
〔3〕准确作图，准确计算。
【典型例题】例1.画出不等式表示的平面区域。
-+-<x y 240 解：先画直线（画成虚线）-+-=x y 240小结：由于对在直线Ax ＋By ＋C ＝0的同一侧的所有点〔x ，y 〕，实数Ax ＋By ＋C 的符号一样，所以只须在此直线的某侧任取一点〔x 0，y 0〕，把它的坐标代入Ax ＋By ＋C ，由其值的符号即可判断Ax ＋By ＋C ＞0〔或者＜0〕表示直线的哪一侧，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点。
简单的线性规划(五)
简单的线性规划问题一、知识点精讲1、二元一次不等式表示平面区域通常把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式Ax+By+C ≥0或Ax+By+C ≤0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线.2、简单的线性规划问题和求解步骤求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通称为线性规划问题；满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，生活实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题. 解线性规划问题的步骤如下：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：求出目标函数的最大值或最小值.3、利用线性规划解决实际问题的问题类型及步骤利用线性规划来进行优化设计，解决生活中的实际问题通常有以下几种类型：第一类：给定一定数量的人力、物力资源，分析怎样合理利用这些资源，才能使收到的效益最大；第二类：给定一项任务，分析怎样安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最小，还要根据条件求最优解，有时候还要分析整数解. 解线性规划应用题的步骤如下：第一步：列表，转化为线性规划问题；第二步：设出相关变元，列出线性约束条件对应的不等式（组），写出目标函数；第三步：正确画出可行域，根据条件求出目标函数的最大值或最小值及对应的变元；第四步：写出实际问题的答案.二、课堂练习（一）、选择题1.下面给出的四个点中,位于⎩⎨⎧>+<+01y -x 0,1-y x 表示的平面区域内的点是( )A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)解析:将四个点的坐标分别代入不等式组⎩⎨⎧>+<+01y -x 0,1-y x 满足条件的是(0,-2),选C.答案:C2.(2008北京高考,理5)若实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+0,x 0,y x 0,1y -x 则z ＝3x+2y的最小值是 …( )A.0B.1C.3D.9 解析:解出可行域的顶点,代入验证即可. 答案:B3.(2008安徽高考,文11)若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≤2x -y 0,y 0,x 表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x+y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A.43 B.1 C.47D.2 解析:如右图,知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形. (阴影部分面积比1大,比S △OAB ＝21×2×2＝2小,故选C,不需要算出来)答案:C4.在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥42x y s,x y 0,y 0,x 下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x+2y 的最大值的变化范围是（ ）A.［6，15］B.［7，15］C.［6，8］D.［7，8］ 解析:由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+.42,442x y s y x s y s x 交点为A(2,0),B(4-s,2s-4),C(0,s),C ′(0,4),(1)当3≤s ＜4时,可行域是四边形OABC,此时,7≤z ＜8;(2)当4≤s ≤5时,可行域是△OAC′,此时z max ＝8,故选D. 答案:D5.在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A ＝{(x,y)|x+y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B ＝{(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 ……( ) A.2 B.1 C.21D.41 解析:令⎩⎨⎧=+=y,-x v y,x u ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤0,v -u 0,v u 1,u 作出区域是等腰直角三角形,可求出面积S ＝21×2×1＝1,选B. 答案:B6.当点M(x,y)在如图所示的三角形ABC 内(含边界)运动时,目标函数z ＝kx+y 取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数k 的取值范围是( )A.(-∞,-1］∪［1,+∞)B.［-1,1］C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,1)解析:目标函数所表示的直线的斜率为-k,当直线所表示的斜率比直线BC 的斜率大,比直线AC 的斜率小时,恰好在点C(1,2)处取得最优解.∵k AC ＝1,k BC ＝-1,∴-1≤-k ≤1,解得-1≤k ≤1. 答案:B7.设O 为坐标原点,M(2,1),若N(x,y)满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+1,x 0,12-y 2x 0,34y -x 则∙取得最大值时，点N的个数是( )A.1B.2C.3D.无数个解析:画出可行域如图，设z ＝∙＝2x+y,当z ＝2x+y 对应的直线同直线2x+y-12＝0重合时，z 最大，此时有无数个点.答案:D （二）、填空题8.(2008全国高考卷Ⅰ,13)若x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥+3,x 00,3y -x 0,y x 则z ＝2x-y 的最大值为_____________.解析:如图,作出可行域,作出直线l 0:2x-y ＝0,将l 0平移至过点A 处时,函数z ＝2x-y 有最大值9. 答案:99.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≥0,2-y -2x 0,1y -x 1,x 则x 2+y 2的最小值是__________________.解析:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≥0,2-y -2x 0,1y -x 1,x 画出可行域,得交点A(1,2),B(3,4),则x 2+y 2的最小值是5.答案:510.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤+0,1-y 0,3-3y x 0,3-2y x 若目标函数z ＝ax+y(其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a 的取值范围为______________.解析:画出可行域如图所示，其中B （3，0），C （1，1），D （0，1），若目标函数z ＝ax+y 取得最大值，必在B ，C ，D 三点处取得，故有3a ＞a+1且3a ＞1，解得a ＞21. 答案:(21,+∞) 11.点P （x,y)满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥+-2,y 0,7-y -5x 0,1y -x i 为x 轴正方向上的单位向量，则向量OP 在向量i 方向上的投影的最大值为______________.解析:画出可行域，其可行域为以A(2,3)、B(-3,-2)、C(1,-2)为顶点的三角形内部部分（包含边界），过A 作x 轴的垂线，垂足为D ，由图形可知向量在向量i 方向上的投影的最大值为OD 的长度，即为2.答案:2 （三）、解答题12.已知n 条直线l 1:x-y+c 1＝0,l 2:x-y+c 2＝0,…,l n :x-y+c n ＝0,其中c 1＜c 2＜…＜c n ,21=c ,在这n(n ≥2)条平行线中,每相邻两条直线之间的距离依次为3,5,7,…,2n -1. (1)求c n ;(2)求满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≥+0y 0,x 0,c y -x 0,c y -x 1-n n 的平面区域的面积______________________.解:(1)|212c c -|＝3,c 2-c 1＝23,同理，c 3-c 2＝25,…,c n -c n-1＝(2n-1)2, c n ＝［(1+3+5+…+(2n -1)］2＝22n .(2)平面区域是梯形，高为2n-1,上底为2(n-1)2，下底为2n 2, 其面积为S ＝21 (2n-1)［2n 2+2(n-1)2］＝4n 3-6n 2+4n-1. 13.预算用2 000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能得多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解:设桌、椅分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x+y,把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0.y 0,x 1.5x,y x,y 000, 220y 50x 由⎩⎨⎧==+x,y 000, 220y 50x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,7200,7200y x 所以A 点的坐标为（7200,7200).由⎩⎨⎧==+1.5x,y 000, 220y 50x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==275,25y x所以B 点的坐标为(25,275). 所以满足条件的可行域是以A （7200，7200），B （25，275），O （0，0）为顶点的三角形区域（如下图），由图形可知，目标函数z ＝x+y 在可行域内的最优解为(25,275),但注意到x ∈N *,y∈N *，故取⎩⎨⎧==37.y 25,x故买桌子25张，椅子37把是最好的选择.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、考点、热点回顾1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3．重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．知识拓展1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、典型例题例1、（1）分别画出不等式x+2y-4＞0和y≥x+3所表示的平面区域；（2）在平面直角坐标系中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14变式训练1、不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )考点二、含参数的平面区域问题例2、若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43变式训练2、已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2考点三、含绝对值符号的不等式（组）表示的平面区域例3、画出不等式+所表示的平面区域。
变式训练3、设实数x ，y 满足不等式组，试求点（x ，y ）所在的平面区域。
考点四、不等式组表示的平面区域的面积例4、若不等式组所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，求k 的值。
变式训练4、已知点M （a ，b ）在由不等式组确定的平面区域内，求点N （a+b ，a-b ）所在的平面区域的面积。
考点五、求线性目标函数的最值例5、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0， 则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9变式训练5、设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+6y 的最大值是（）A ．3B ．4C ．18D ．40考点六、非线性目标函数的最值例6、若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12变式训练6、（1）已知变量x ，y 满足，求z =x 2＋y 2的最大值和最小值。
（2）已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6>0，y ≥12x －3，x ＋4y ≤12，则z ＝y －3x －2的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－13 C.⎣⎡⎦⎤－12，－13 D.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞考点七、求参数的值或取值范围例7、变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2变式训练7、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3考点八、线性规划问题的实际应用例8、某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？变式训练8、某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．三、课后练习一、选择题（共12小题，每小题5分，60分）1.不等式 表示的平面区域（用阴影表示）是（ ）A. B. C. D.2.下列各点中，在不等式表示的平面区域内的是（ ） A. B. C. D.3.已知点P(x，y)的坐标满足条件,那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为( )A. B.2 C. D.14.若，满足，则的最大值为（）A.0B.3C.4D.55.实数满足，若的最小值为1，则正实数（）A.2B.1C.D.6.若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.不等式组表示的平面区域的面积为( )A.7B.5C.3D.148.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A.2B.1C.－D.－9.设，满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A.或B.或C.或D.或210.已知点，动点的坐标满足，那么的最小值是（）A. B. C. D.111.已知变量满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则（）A.2B.1C.D.12.已知实数,x y 满足约束条件00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y z x -=+的取值范围是（ ） A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 二、填空题（（共4小题，每小题5分， 20分）13.设D 为不等式组所表示的平面区域，则区域D 上的点与点 之间的距离的最小值为 ． 14.坐标原点与点 分别在直线2x −3y+ ＝0的两侧，则 的取值范围是 ．15.若不等式组0{24 24x x y x y ≥+≤+≥所表示的平面区域被直线4y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值为________16.若直线y ax =上存在点()x y ，满足条件30{230 1x y x y x +-≤--≤≥，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题（共6小题，共70分）17. （10分）已知实数x ， y 满足430,{35250, 1.x y x y x -+≤+-≤≥（1）设1y z x+=，求z 的最小值； （2）设222z x y y =++，求z 的取值范围．18. （12分）已知3≤x≤6， x≤y≤2x ，求x ＋y 的最大值和最小值．答案1.B2.C3.B4.C5.C6.C7.A8.C9.A10.B 11.C 12.B13. 14.(0,7)15.72- 16.[]12-，17.试题解析：如图，（1）1y z x +=表示点(),x y 与()0,1-的斜率，所以过点()5,2时，斜率最小， 即min 35z =； （2）()2222211z x y y x y =++=++-， ()2221d x y =++表示点(),x y 与点()0,1-的距离的平方，由图可知，过点()1,1时，距离最小， min 4z =；过点()5,2时，距离最大， max 33z =，z ∴的取值范围是[]4,33。
18.解析：原不等式组等价于作出其围成的平面区域如下图所示．将直线x＋y＝0向右上方平行移动，当其经过点(3，1)时，x＋y取最小值，当其经过点(6，12)时，x＋y取最大值．∴ (x＋y) min＝3＋1＝4，(x＋y)max＝6＋12＝18.即x＋y的最大值和最小值分别是18和4.。