不规则物体的质心计算与展示
寻找不规则物体中心的方法
寻找不规则物体中心的方法介绍寻找不规则物体中心的问题是在计算机视觉和图像处理领域中的一个重要问题。
不规则物体通常指非几何形状的物体，如动物、植物等。
找到不规则物体的中心可以有助于进行物体识别、目标跟踪、形状分析等应用。
本文将介绍一些常见的方法和技术来解决这一问题。
方法一：基于颜色特征的中心点检测如果不规则物体具有明显的颜色特征，可以通过颜色的分布和密度来推测中心点的位置。
以下是一种基于颜色特征的中心点检测方法：1.预处理：将图像转换为HSV（色相、饱和度、明度）颜色空间，以便更好地提取颜色特征。
2.颜色分割：使用阈值分割或其他颜色分割方法，将感兴趣的颜色区域提取出来。
3.去除噪声：对颜色区域进行腐蚀和膨胀等形态学操作，去除杂质和噪声。
4.中心点计算：计算颜色区域的质心位置作为中心点的估计。
方法二：基于形状特征的中心点检测除了颜色特征，不规则物体的形状特征也可以用来推测中心点的位置。
以下是一种基于形状特征的中心点检测方法：1.边缘检测：使用边缘检测算法（如Canny算法）检测不规则物体的边缘。
2.轮廓提取：通过边缘检测得到的边缘图像，提取不规则物体的轮廓。
3.质心计算：计算不规则物体轮廓的质心位置作为中心点的估计。
方法三：基于机器学习的中心点检测除了基于颜色和形状特征的方法，还可以使用机器学习算法来训练模型以预测不规则物体的中心点位置。
以下是一种基于机器学习的中心点检测方法：1.数据收集：收集一组带有标注中心点位置的不规则物体图像作为训练数据。
2.特征提取：对训练数据进行特征提取，可以使用颜色和形状特征等。
3.模型训练：使用机器学习算法（如支持向量机、随机森林等）训练一个回归模型来预测中心点的位置。
4.中心点预测：对新的不规则物体图像进行特征提取，并使用训练好的模型来预测中心点的位置。
方法四：深度学习方法近年来，深度学习方法在计算机视觉领域取得了很大的成功。
也可以使用深度学习模型来解决不规则物体中心点检测问题。
物体的质心运动规律
物体的质心运动规律物体的质心是指物体所有质点构成的系统的平衡点，它是物体在空间中的一个重要概念。
并且，根据牛顿运动定律，质点的运动可以通过对质点施加的外力来描述。
在本文中，我们将讨论质心的运动规律，并探讨质心运动的一些重要性质。
一、质心的定义与位置首先，我们来了解一下质心的定义与位置。
对于一个系统而言，其质心可以通过对所有质点的质量加权平均来得到。
即质心的位置可以通过下式计算得到：x_cm = (m_1 * x_1 + m_2 * x_2 + ... + m_n * x_n) / (m_1 + m_2 + ... + m_n)其中，x_cm为质心的位置，m_i为各质点的质量，x_i为各质点相对于某一参考点的位置。
质心的位置可以是物体内部的一点，也可以是物体外部的一点。
当物体是均匀的、连续的或非连续但受重力作用的时候，质心通常位于物体的几何中心。
二、质心运动的规律让我们接着来讨论质心的运动规律。
根据牛顿第二定律，质心的运动受到对质点的合力的影响。
根据这个原理，质心的加速度可以用下式表示：a_cm = F_net / M其中，a_cm为质心的加速度，F_net为作用于质点系统的合力，M为系统的总质量。
这个结果告诉我们，质心的运动只受到外力的影响，与物体内部的具体情况无关。
也就是说，无论物体的形状如何或者物体内发生了什么，质心的受力情况和运动规律都是相同的。
三、质心运动的独立性与简化质心运动的一个重要性质是其独立性。
这意味着我们可以将一个复杂的多质点系统简化为一个仅含有一个质点的系统，这个质点就是系统的质心。
通过这样的简化，我们可以忽略系统内部的复杂相互作用，更加方便地分析质心的运动。
通过将系统简化为质心，我们可以使用动量、能量和角动量守恒定律等简化的物理原理来解决问题。
这极大地简化了复杂系统的分析过程，并且为我们提供了计算质心位置、速度和加速度等物理量的便捷方法。
四、应用举例质心运动的规律在很多实际问题中都有广泛的应用。
质心知识点总结归纳
质心知识点总结归纳质心（Center of Mass）是物体集中质量的平均位置。
在物理学中，质心是描述物体运动的重要概念，对于研究物体的运动、碰撞、转动等现象都有重要的意义。
同时，质心在工程、航天航空等领域也有着广泛的应用。
质心的计算方法有多种，可以通过物体的密度分布、几何形状和其他条件来进行计算。
而质心的运动规律也可以通过牛顿定律和动量定律来描述。
本文将从质心的概念、计算方法、运动规律以及工程应用等方面对质心的知识点进行总结和归纳。
一、质心的概念1. 定义质心是物体所有质点的集中位置，也可以看作是物体的平衡点。
在质心系中，物体的总动量和总角动量相对于质心系均为零。
2. 特点（1）质心不一定位于物体内部，可以位于物体的外部；（2）质心的运动不一定与物体的其他点相同；（3）质心的位置与物体的形状和质量分布有关；（4）质心具有跟随物体运动的特点。
二、质心的计算方法1. 特殊形状物体的质心计算（1）均匀杆对于一根均匀杆，质心位于杆的中点处。
（2）均匀圆环对于一个均匀圆环，质心位于环的中心处。
2. 连续体的质心计算对于连续分布的质量分布，可以通过积分的方法来计算质心。
一般来说可以使用以下公式来计算：\[ x_{cm} = \frac{1}{M} \int x\;dm \]\[ y_{cm} = \frac{1}{M} \int y\;dm \]\[ z_{cm} = \frac{1}{M} \int z\;dm \]其中，\( x_{cm} \)、\( y_{cm} \)、\( z_{cm} \) 分别表示质心在 x、y、z 方向上的位置，M 表示物体的总质量。
三、质心的运动规律1. 质心的运动状态质心的运动状态可以通过牛顿定律和动量定律描述。
在外力作用下，质心会产生加速度，并且质心的加速度与物体的质量成反比。
2. 刚体的平动运动对于刚体的平动运动，可以通过质心的运动来描述整个刚体的运动状态。
刚体的平动运动可以看作是质心的平动运动。
不规则物体的质心计算和展示解剖
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1 质心
运动员跳水
投掷手榴弹
若令系统总动量 p mivi mvc
水平上抛三角板
其中 m mi m1 m2
为质点系的总质量
质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动。
vc
drc dt
如何确定这个 点的位置？
vc
mivi m
mi
dri dt
m
mi dri mdt
vi
dri dt
rc
mi ri m
n
rc
mi ri
i 1 n
mi
点C的位矢是质点系各质 点位矢的质量加权平均。
质心(质量中心)：质点系 质量分布的平均位置。
i 1
直角坐标系中，各分量的表达式
0
x1
3
x2
o
x2 x
yc
my1 0 0 3m
y1 3
n
对质量连续分布的物体，
将其分为n个小质元
rc
直角坐标系中的分量表达式
ri mi
i 1
m
1 m
rdm
1
1
1
xc m xdm, yc m ydm, zc m zdm
线分布：dm m dl l
面分布：dm m dS S
体分布：dm m dV V
b
2 b x(a a x)dx
xc 0
b ab
1 ab 2
同理
x(a
a b
x)dx
b
aa x b
2 ydxdy
yc
0
质心实验的原理
质心实验的原理质心实验是物理实验中常用的一种方法，用于确定物体的质心位置。
质心是一个物体整体运动的参考点，它可以看作是物体的几何中心。
质心实验的原理基于牛顿运动定律，通过测定物体运动的加速度、速度和位置等参数，结合物体的质量分布情况，可以精确测量质心的位置。
对于一个物体，假设它在力的作用下发生运动，根据牛顿第二定律可得：F = m ×a其中，F为物体受到的外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
当物体的形状比较复杂时，我们很难直接获得物体整体的加速度，速度和位置等信息。
因此，为了能够较为准确地测量质心的位置，质心实验通常会采用以下两种方法之一。
方法一：利用物体在自由下落过程中的运动数据，测量质心的位置。
当一个物体自由下落时，只受到重力的作用，可以忽略其他的外力。
根据牛顿第二定律，可以得到物体下落的加速度表达式：a = g其中，g为地球的重力加速度。
将该表达式代入第一定律的位移公式s = ut + 1/2at²中，即可得到自由下落物体的位移表达式：s = 1/2gt²根据该位移表达式，我们可以测量物体在自由下落过程中的位移，并通过一定的实验手段测得下落时间t。
进而，利用质心的定义公式可知，物体质心位置的位移表达式为：S = uT + 1/2gT²其中，S为质心位置的位移，u为物体的初始速度，T为质心的下落时间。
可以看出，通过测量物体自由下落过程中的位移和时间，我们可以得到质心位置的位移。
方法二：利用物体在静止摆放状态下的平衡条件，测量质心的位置。
将一个物体放置在一个平衡的支撑点上，使其保持静止不动。
由于物体处于力的平衡状态，可以通过测量物体受力情况来确定质心的位置。
首先，我们可以将物体放置在一个水平的平台上，通过测量物体上落地点的位置，确定物体的几何中心。
而利用物体平衡的条件，我们可以通过线密度来获得质心位置。
物体上不同部位的线密度对物体的扰动作用不同，如果将物体平衡在一个平面上，并放置于支点上，物体将会自动调整自己的位置，使得扰动达到最小。
形心和质心的计算公式
形心和质心的计算公式
形心和质心是两个常用的几何概念，用于描述一个物体或几何体的重心位置。
虽然这两个术语有时被混淆使用，但它们在不同数学和物理背景下有不同的定义和计算公式。
形心（也称为重心）是一个物体的质量均匀分布时的平衡点，而质心是一个物体的质量分布时的平衡点。
在二维空间中，我们通常用(x, y)表示一个点的坐标，而在三维空间中则是用(x, y, z)表示。
以下是形心和质心的计算公式：
1. 对于平面图形的形心和质心：
对于一个平面上均匀分布质量的二维物体，例如一个平面图形，形心和质心的计算公式如下：
形心的坐标：(x_c, y_c) = (1/A) * ∫∫(x,y)dA
质心的坐标：(x_m, y_m) = (1/M) * ∫∫(x,y)dm
其中，(x,y)是平面图形上的点坐标，dA是微元面积，A是整个图形的面积，dm是微元质量，M是整个图形的总质量。
2. 对于立体图形的形心和质心：
对于一个立体图形，形心和质心的计算公式如下：
形心的坐标：(x_c, y_c, z_c) = (1/V) * ∫∫∫(x,y,z)dV
质心的坐标：(x_m, y_m, z_m) = (1/M) * ∫∫∫(x,y,z)dm
其中，(x,y,z)是立体图形上的点坐标，dV是微元体积，V是整个图形的体积，dm是微元质量，M是整个图形的总质量。
需要注意的是，形心和质心的计算公式中涉及到对图形的面积或体积以及质量的积分计算，因此在实际应用中可能需要进行数值近似或数值积分来计算形心和质心的坐标。
形心和质心在物理学、工程学和几何学等领域中有广泛的应用，例如在机械设计中用于确定物体的平衡点和稳定性，或者在建筑设计中用于确定建筑物的结构和稳定性。
两物体质心坐标计算公式
两物体质心坐标计算公式在物理学中，两物体质心坐标的计算可是个挺有意思的事儿。
咱们先来说说啥是质心。
想象一下，有两个物体，它们的质量分布不均匀，但是有一个点，就好像是这两个物体质量的“平衡点”，这个点就是质心。
质心的位置可重要啦，它能帮助我们更好地理解物体的运动和受力情况。
那两物体质心坐标的计算公式是啥呢？假设我们有两个物体，质量分别是 m1 和 m2，它们在坐标系中的坐标分别是 (x1, y1, z1) 和 (x2, y2, z2) 。
那么质心的坐标 (X, Y, Z) 就可以通过下面的公式来计算：X = (m1*x1 + m2*x2) / (m1 + m2)Y = (m1*y1 + m2*y2) / (m1 + m2)Z = (m1*z1 + m2*z2) / (m1 + m2)看起来是不是有点复杂？别担心，咱们来举个例子就好懂多啦。
就说有两个小球，一个质量是 3 千克，放在坐标 (2, 3, 4) 的位置，另一个质量是 5 千克，放在坐标 (5, 6, 7) 的位置。
那咱们来算算它们的质心坐标。
先算 X 坐标：(3×2 + 5×5)÷(3 + 5) = (6 + 25)÷8 = 31÷8 = 3.875 。
再算 Y 坐标：(3×3 + 5×6)÷8 = (9 + 30)÷8 = 39÷8 = 4.875 。
最后算 Z 坐标：(3×4 + 5×7)÷8 = (12 + 35)÷8 = 47÷8 = 5.875 。
所以这两个小球的质心坐标就是 (3.875, 4.875, 5.875) 。
在实际生活中，这个质心的概念和计算公式也挺有用的。
比如说，一辆汽车，发动机在车头，乘客和后备箱在车尾，要想知道整个车的重心位置，就可以用质心的知识来算一算。
这样在设计汽车的时候，就能更好地考虑到平衡和稳定性，让车开起来更安全、更舒适。
大学物理质心运动定理ppt
质心的位置
xC
m1x1 m2 x2 m1 m2
水平方向继续飞 行部分的着地点
x2 2xC x1
xC
1 2
(
x1
x2 )
x2
3 2
v02
sin g
2
03_05_质心运动定理 —— 动量与角动量
07/08
g
—— 炮弹落地的质心坐标
—— 射程
炮弹炸裂为两部分，落地时质心坐标
xC
v02 sin 2
g
—— 最高点炮弹水平方向不受外力，质心落地位置不
变
03_05_质心运动定理 —— 动量与角动量
06/08
质心的位置 xC
v02
sin 2
g
垂直下落部分的着地点
x1
v02
sin 2
2g
—— 射程的一半
m1 m2 m
x1C
m1 l m2l / 2 m1 m2
m1 l m2l / 2 m1x1 ' m2(x1 ' l / 2)
人的质心位置
x1 '
m1 m1 m2
l
03_05_质心运动定理 —— 动量与角动量
03/08
人的质心位置
x1
'
m1 m1 m2
l
车相对于地面移动的距离
d2
x1
'
d2
m1 m1 m2
开始系统的质心坐标 x1C
m1x1 m2 x2 m1 m2
m1
l
m2
l 2
m1 m2
03_05_质心运动定理 —— 动量与角动量
02/08
末了系统的质心坐标
x2C
m1x1 ' m2 x2 ' m1 m2
求物体或系统质心的方法总结
此方法可以解决均匀平面的质心问题。定理中所指的平面运动可以是平移或绕定
轴旋转的运动。 ֺ4 ஆԅ R ጱࢺᶎጱᨶஞ֖ᗝ̶
解 半圆面绕 y 轴旋转 2π，形成一个球体，根据巴普
斯定理
4 πR3 !3 "#
=
1 π R2 !2 "#
⋅
2! π xC l
V
S
其中 xC 即质心横坐标，故
xC
=
4R 3π
用来表示坐标位置。 二、求取质心的方法 ①微元法求质心
物理学探究案03
1
微元法应用于求取质心位置，需要用到由积分给出的质心公式来求解。通常我们
会将物体看成由无穷个微元构成，然后逐个求取。这是定义法的一种。
ֺ1 ஆԅ R ጱ࣐۰ࢺሾጱᨶஞ֖ᗝ̶
解 要求半圆环的质心，首先要求总质量。设半圆环质量线密度为 λ，则
对于前面的例1，也可以运用巴普斯定理来解。
解 考虑半圆弧，将其绕 y 轴旋转 2π，形成球面，据巴普斯定理
由此解得
4π R2 = π R ⋅ 2π xC
xC
4
物理学探究案03
2
③负质量叠加法 一个部分中空的物体，通常可以看成该物体由一个正质量的实心物体和一个负质 量的实心物体叠加而成的。由此，我们可以用位置的加权平均的方法来求取物体的质 心位置。 ֺ2 ࢶݦӾᴢ᮱ړጱᨶஞ֖ᗝҁᨶᰁ࣐ړ۰҂̶ 解 该物体可视为一个半径为 R 的正质量大圆与一个 半径为 R 2 的负质量小圆叠加而成，设其质量面密度为
物理学探究案03
3
ਧቘ ࣁӞଘᶎӤݐձӞᳮ܄ݳऒֵ҅ਙဠ࣮ፗԭᧆ܄ऒଘᶎᬩۖ୵౮Ӟӻᒈ֛҅ ᮎԍᬯӻᒈ֛ࢶ୵ጱ֛ᑌᒵԭᨶஞಅᕪ᪠ᑕӨ܄ऒᶎᑌጱԙᑌ̶
物理质心坐标计算公式
物理质心坐标计算公式在我们学习物理的奇妙世界里，质心坐标计算公式可是个相当重要的家伙。
这玩意儿看着好像有点复杂，但只要咱把它的门道搞清楚，其实也没那么难搞。
先来说说质心坐标计算公式到底是啥。
简单来讲，质心坐标的计算公式就是：对于由多个质点组成的系统，质心的坐标（x_c，y_c，z_c）可以通过各个质点的质量 m_i 和坐标（x_i，y_i，z_i）来计算，公式分别是：x_c = (∑m_i * x_i) / ∑m_i ，y_c = (∑m_i * y_i) / ∑m_i ，z_c =(∑m_i * z_i) / ∑m_i 。
听起来是不是有点晕？别着急，我给您举个例子。
有一次我带着学生们做一个物理实验，就是研究一个由几个不同质量小球组成的系统的质心。
我们在一块平整的木板上，放了三个小球，分别标记为 A、B、C。
小球 A 的质量是 20 克，坐标是（10 厘米，20厘米）；小球 B 的质量是 30 克，坐标是（30 厘米，15 厘米）；小球C 的质量是 50 克，坐标是（20 厘米，30 厘米）。
那咱们就来算算这个系统的质心坐标。
先算 x 方向的质心坐标 x_c ，根据公式，就是（20×10 + 30×30 + 50×20）÷（20 + 30 + 50），算出来x_c 约等于 21 厘米。
再算 y 方向的质心坐标 y_c ，（20×20 + 30×15 +50×30）÷（20 + 30 + 50），算出来 y_c 约等于 23.5 厘米。
通过这个小实验，同学们一下子就明白了质心坐标计算公式的实际应用，那叫一个恍然大悟的表情。
质心坐标计算公式在很多实际问题中都大有用处。
比如说，在研究物体的平衡和运动状态时，知道质心的位置就能更好地理解物体的行为。
想象一下，一辆汽车在行驶中，如果质心位置不合理，那转弯的时候可就容易出问题啦。
高数质心公式[001]
![高数质心公式[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/eb33ac3d17fc700abb68a98271fe910ef12dae18.png)
高数质心公式
在微积分中，质心是一个重要的概念，它代表了一个形状的平均
位置。
对于一个平面图形而言，质心指的是该图形上所有点的平均位
置的坐标。
而对于一个立体图形而言，质心指的是该图形上所有点的
平均位置的坐标，重量的中心。
在高等数学中，有一个重要的概念叫做质心公式。
质心公式是用
来计算平面图形的质心坐标的公式。
这个公式不仅可以被用来计算平
面图形的质心，而且还可以用来计算一些相对复杂的曲面图形的质心。
具体来讲，对于一个具有有限面积的平面图形而言，它的质心可
以用以下的公式计算：
x_bar = (1/A) * ∫∫x f(x,y) dxdy
y_bar = (1/A) * ∫∫y f(x,y) dxdy
其中，x_bar和y_bar分别是该平面图形的质心在x和y轴上的坐标，A是该图形的面积，f(x,y)是该图形在某个点(x,y)处的密度或者
是某种性质的大小。
注意，这个公式只适用于有限平面图形，对于无
限图形需要进行相应修正。
这个公式非常的简单易懂。
它的核心思想就是将平面图形分成若
干个小的面积，然后分别计算每个小面积的中心，再用这些小面积上
各自的中心的加权平均值来得到整个图形的质心坐标。
这样即使是非
常复杂的图形，我们也能够用积分的方法来求出它的质心坐标。
总之，质心公式是高等数学中非常重要的一个工具，它可以用来计算各种复杂图形的质心坐标。
对于学习微积分和数学建模的同学而言，掌握这个公式的思想和应用方法，将会使他们在未来的学习和工作中更加得心应手。
不规则物体的质心计算和展示
x
x
t0时刻 t 时刻
m x m x ( m m ) x 1 1 0 2 2 0 1 2 c m ( x x ) m ( x xm ) ( m ) x 1 1 0 1 2 2 0 2 1 2 c
mx mx 0 车的相对位移 x ( l l ) 1 1 2 2 2 1 2 车的绝对位移为： x x x x ( l l ) 2 1 2 1 1 2
运动员跳水
投掷手榴弹
水平上抛三角板
质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动。
d r i m mv i dt m r i i id i m m m d t
d ri vi dt
rc
mr m
i i
rc
n
i1 n
m i ri m
i
点C的位矢是质点系各质 点位矢的质量加权平均。 质心(质量中心)：质点系 质量分布的平均位置。 对两质点系统，质心位 置总满足关系式：m1d1 = m2d2 C m1 m2 × d2 d1 o
n
i1
直角坐标系中，各分量的表达式
i 1 x c n
m x
i i
n
m
i 1 i
i 1 , y c n
m y
i i
n
m
i 1 i
i 1 , z c n
m z
i i
m
i 1 i
· ·
x x 1 2 3
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。 y m x m x 0 （x1, y1） 1 2
•坐标系的选择不同，质心的坐标也不同； •密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处； •质心不一定在物体上，例如：圆环的质心在圆环的轴心上。
对若干有关圆和球的求质心的方法
y sin r 2r Xc
所以半圆可以看成是有这些半圆环的质心组成的 非均匀小棒。
dm 2 r dr Xc
r 0
x dm M
r 0
x 2 r dr M
2r x 4r Xc பைடு நூலகம் 3
方法三
将半圆看左右圆心角很小的扇形拼成，而 圆心角很小的扇形又可以看成三角形，质 心在2r/3处，而所有的止呕心又组成了半 径为2r/3的圆环，圆环的知心就是原半圆 的质心，所以： Xc= 2r/3×2/π=4r/3π
X n X n 1 cos
2 n 1
X 1 X n cos cos cos cos n 4 8 16 2 所以可以得到： cos cos cos cos n sin n 4 8 16 2 2 Xn sin n 2 sin 2 Xn 2 n 1 sin n 2
当n趋向无穷时，扇形可看成三角形，Xc=2r/3. 1 1 又有： sin
n 2
2n
所以：
X1 Xn 2 3r 4
sin 2
n 1
sin n 2
θ
r 1 x dm Xc M 0 M ' 2 r 2 2 yx dx X dm sin y sin r
d x
dm 2rx dx r Xc' 2
这样，我们就可以将半球等小城长度为 X/2的 细棒，X处的线密度等于σ
3 Xc 8
接下来我们来解决和圆有关的平面求质 心的问题，同样以半圆为例，用不同的 方法求其质心，用这些方法，我们还可 以解决求任意角的扇形，圆弧，弓形， 圆环一部分的质心等问题
物体质心坐标计算公式
物体质心坐标计算公式物体的质心可以定义为整个物体的平均位置。
计算物体的质心是一个常见的问题，通常可以用以下公式来计算物体的质心坐标：1. 计算质心的公式物体的质心可以用以下公式来计算：x = (m1*x1 + m2*x2 + ... + mn*xn) / (m1 + m2 + ... + mn)y = (m1*y1 + m2*y2 + ... + mn*yn) / (m1 + m2 + ... + mn)其中，x和y分别表示质心的x和y坐标，m表示每个物体的质量，xi 和yi表示每个物体的x和y坐标。
2. 知道各个物体的质量和坐标计算物体质心的前提是需要知道每个物体的质量和坐标。
如果没有这些数据，可以通过以下方法获取：2.1 称量各个物体的质量首先需要知道每个物体的质量。
可以使用不同的方式来测量不同形状的物体的质量。
例如，使用称量来测量固体物体的质量，使用密度计来测量液体的质量。
2.2 确定各个物体的坐标确定每个物体的坐标是计算物体质心的关键。
该坐标必须相对于相同的坐标系。
例如，在二维坐标系中，所有的坐标必须相对于同一个坐标原点。
3. 计算物体的质心在获得了每个物体的质量和坐标之后，就可以使用公式计算物体的质心。
这个公式可以在二维坐标系和三维坐标系中使用。
4. 示例例如，假设有一个由三个点组成的物体，每个点的质量如下：m1 = 5m2 = 8m3 = 10此外，每个点的坐标分别为：(x1, y1) = (2, 3)(x2, y2) = (5, 1)(x3, y3) = (7, 6)使用上述公式，可以计算出该物体的质心坐标为：x = (5*2 + 8*5 + 10*7) / (5 + 8 + 10) = 5.2y = (5*3 + 8*1 + 10*6) / (5 + 8 + 10) = 3.8因此，该物体的质心坐标为 (5.2, 3.8)。
用质心解决三心问题教案
用质心解决三心问题教案用质心解决三心问题教案一、教学目标1. 理解质心的概念，并能够准确计算质心位置。
2. 掌握使用质心方法解决三心问题。
3. 通过实例演练，培养学生运用质心方法解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 质心的概念和计算方法。
2. 质心方法解决三心问题的步骤和技巧。
三、教学过程1. 导入（5分钟）通过一个简单的例子引出质心的概念：一个均匀分布在平面上的正方形，如何找到它的重心位置？引导学生思考并让他们尝试给出答案。
2. 理论讲解（15分钟）a) 定义质点：具有一定质量但无大小和形状的点。
b) 定义质量分布：物体上各点单位面积或单位体积上所含有的质量。
c) 定义质点系：由多个质点组成且相互之间没有相对运动关系的系统。
d) 定义重力线：垂直于地面方向上通过物体各部分重力中心连成的线，也称为重力作用线。
e) 定义质心：质点系的所有质点所形成的物体，其质心是指整个物体所受重力的合力作用线上的一点。
f) 计算质心位置：对于均匀物体，可以通过求取各个部分的质量乘以其到某一参考点距离的乘积之和再除以总质量来计算。
3. 解决三心问题（30分钟）a) 三心问题是指给定三个物体及其质量，求解它们构成系统的质心位置。
b) 解题步骤：i. 给定三个物体及其质量，分别记为A、B、C。
ii. 分别计算A、B、C到某一参考点的距离乘以对应物体的质量，并求和。
iii. 将上述结果除以总质量，得到系统的质心位置。
4. 实例演练（30分钟）a) 给出一个具体的三心问题实例，如：一个由两个小球和一个长方形板组成的系统，小球A和小球B分别位于长方形板两端，求解该系统的质心位置。
b) 引导学生按照解题步骤进行计算，并给予必要指导。
c) 让学生展示他们的解题过程和结果，并进行讨论。
5. 拓展应用（15分钟）a) 提供更复杂的三心问题实例，如：一个由多个不规则形状的物体组成的系统。
b) 让学生尝试使用质心方法解决这些问题，并鼓励他们思考其他解决问题的方法。
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m
i 1
n i i
i
直角坐标系中，各分量的表达式
xc
m x
i 1 n
n
i i
m
i 1
, yc
m y
i 1 n i
niຫໍສະໝຸດ imi 1
, zc
m z
i 1 n
i
m
i 1
i
·
·
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。 y mx1 mx2 0 （x1, y1）
y R sin
取dl → dm=ldl dl=Rd
M Rd R sin d ydm R sin R yc 0 M M R R 2 R 质心不在物体上，但 ( cos ) (1 1) 0 相对半圆环位置固定
•坐标系的选择不同，质心的坐标也不同； •密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处； •质心不一定在物体上，例如：圆环的质心在圆环的轴心上。
例：已知半圆环质量为Ｍ，半径为Ｒ 求：它的质心位置？ 解：建立坐标系如图, 由对称性 x 0
c
M 线密度 l R
M dm Rd R
三个球体可视为质量 各自集中在质心（球 心）处的三个质点。
实例
★重心(Center of Gravity)和质心( Center-of-Mass)是两个不同的 概念： ① 重心是重力的作用点，质心是系统质量分布的中心。 ② 当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义， 但质心却依然存在。 ③ 除非重力场均匀，否则系统的质心与重心通常不重合。
xc
xdm x dxdy xdxdy dm dxdy dxdy
从图中看出三角形斜边的方程为
a 2 x(a x)dx 2 ydxdy 0 b a xc 0 0 同理 yc ab ab 3 1 2 a 3 2 2 2 2( ab b ) (ab ab ) b b a 2 3 b 3 ∴ 质心的坐标为 , ab ab 3 3 3
系统的总质量为
m1 x1 m2 x2 m3 x3 0 4m0 R m0 R / 2 7 xc R m 57m0 114
m1 y1 m2 y2 m3 y3 0 0 m0 R / 4 1 yc R m 57m0 228
m m1 m2 m3 57m0
b
a ya x b
1 ab 2
( xdy)dx a x(a x)dx b
a a x b b
例：半径为R的大球内有一个半径为R/2的球形空腔，空腔的下部 放置了一个半径为R/4的小球。已知大球和小球的质量密度相同。 求：系统的质心。 解：该系统可看成由质量分布均匀(无空腔)的 大、中、小三个球体组成，它们各自的质心分 别处于球心处。中球的质量为负。
y
设小球质量为m0，则质量和质心坐标分别为： 大球： m1 64m0 , x1 0, y1 0
中球： m2 小球：m3
V1 :V2 :V3 R : R2 : R 64 : 8 : 1
3 1 3 3 3
o
x
m0 , x3 R / 2, y3 R / 4
8m0 ,x2 R / 2, y2 0
§三 质心 质心运动定理 §1 质心 §2 质心参考系 §3 质心运动定理
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1
质心
若令系统总动量 p mi vi mvc 其中 m mi m1 m2 为质点系的总质量
drc vc dt
如何确定这个 点的位置？
•作用在物体上各部分的重力方向平行；重力加速度可以视为常数。
•小线度物体（其上 g 各处相等），质心和重心是重合的。
对于地球上体积不太大的物体，重心与质心的位置是重合的。 但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时，两者就不重合了， 如高山的重心比质心要低一些。 ★质心的运动代表着质点系整体的运动，与单个质点的运动相同。 这正是将实际物体抽象为质点模型的实质。 质点系的任何运动一般都可分解为 质心的运动和相对于质心的运动
xc
3m
x1 x2 3
o
x2
x
my1 0 0 y1 yc 3m 3
对质量连续分布的物体， 将其分为n个小质元 rc
直角坐标系中的分量表达式
r m
i 1 i
n
i
m
1 rdm m
1 1 1 xc xdm, yc ydm, zc zdm m m m m m m 线分布： dm dl 面分布：dm dS 体分布：dm dV S V l
半球壳的总质量为
m d m 2 R
半球壳质心的位置
2
2 0
sin d 2 R
2 0 3
2
xc 0,
yc
ydm m
2 R sin cos d 2 R
2
1 R 2
例：计算如图所示的面密度σ为恒量的直角三角形的质心的位置。 解：取如图所示的坐标系 取微元ds=dxdy，质量为dm=σds=σdxdy ∴ 质心的x 坐标为
运动员跳水
投掷手榴弹
水平上抛三角板
质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动。
vc
dri mi vi mi mi dri dt m m mdt
dri vi dt
rc
mr m
i i
rc
m i ri
i 1 n
n
点C的位矢是质点系各质 点位矢的质量加权平均。 质心(质量中心)：质点系 质量分布的平均位置。 对两质点系统，质心位 置总满足关系式：m1d1 = m2d2 C m1 m2 × d2 d1 o
例：求半径为R的半球形球壳的质心 解：根据对称性，细环的质心位于y轴。 如图将球壳细分成无数多细环，细环 半径记为r，设球壳质量面密度为， 则其中任一细环的质量为
r R sin
r
y R cos
o
2
R
d m ( 2 r d l ) ( 2 r R d ) 2 R sin d