第四讲 文艺复兴时期的欧洲数学及解析几何的创立与发展
第四讲 文艺复兴时期的欧洲数学及解析几何的创立与发展
符号代数
算术符号 （哥伦比亚，1968）
独立的三角学
1464年《论各种三角形》 (1533年出版)
雷格蒙塔努斯 （德，1436－1476年）
对数
1614年《奇妙对数规则的说明》 1620年冈特（英，1581－1626） 制成第一把对数尺
纳皮尔 （苏格兰，1550－1617年）
“凡是和数学没有联系的地方， 都不是可靠的”
达 ·芬奇（意, 1452－1519年） （摩纳哥，1969）
文明背景
哥白尼（波，1473－1543年） （委内瑞拉，1973）
文明背景
托勒密（埃及，90－165年）
《天文学大成》 《天文集》 哥白尼《天体运行论》 （1543） 罗马教廷列为禁书 (1616)
笛卡儿 （法，1596－1650年）
《几何学》：解析几何思想
解析几何的产生
笛 卡 儿 的 《 几 何 学 》 年
1637
解析几何的产生
笛卡儿与光学图形 （摩纳哥，1996）
解析几何的产生
克莱因：笛卡儿把代数提高到重要地位， 其意义远远超出了他对作图问题的洞察和 分类。这个关键思想使人们能够认识典型 的几何问题，并且能够把几何上互不相关 的问题归纳在一起。代数给几何带来最自 然的分类原则和最自然的方法层次。因此， 体系和结构就从几何转移到代数。
第四讲: §1.8~§2.1
文艺复兴时期的欧洲数学 及解析几何的创立与发展
§1.8 文艺复兴时期的欧洲数学
(15－17世纪初)
文明背景
欧 几 里 得 的 《 原 本 》
1482年第一个印刷版
1607年第一个中文版
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析几何的发展史
解析几何的发展史由于研究数学方法和使用工具的不同，导致人们对数学发展历程和状态所形成的印象也各不相同。
一般来说，在人们眼里，近代数学似乎是一个平静、沉稳、和谐、统一的世界。
但实际上，自文艺复兴之后，随着生产力的发展和科学技术的进步，特别是17世纪牛顿的微积分问世之后，数学却经历了三次飞跃式的变革。
解析几何就是第二次数学变革中的重要内容。
由于我国古代缺乏高等数学的理论基础，加上一千多年来西方数学的传播，对中国数学的影响较小。
虽然解析几何问题早已被欧洲学者研究，并作出了贡献，但我们在当时还只能处于跟随、模仿的阶段。
直到18世纪末期，费马为费尔马大定理写了完整的证明，中国人才从此翻开了数学史上新的一页。
19世纪初，高斯证明了一元二次不等式，揭示了线性方程组无解的问题，得到了解析几何的基本定理；韦达公式的提出，为线性变换提供了比较充分的条件；德国数学家黎曼的关于非齐次线性微分方程的论文问世，为非齐次线性微分方程的研究奠定了基础。
解析几何的创始人是意大利数学家费马。
他的贡献主要在三个方面：①把三角学、代数和几何结合起来；②用数学符号来表示未知量的几何意义；③建立了解析几何的基本概念、基本定理和基本性质。
后来，意大利数学家维尔斯特拉斯把解析几何的思想发扬光大，他不仅独立地创立了解析几何，而且在其理论体系的研究中取得了丰硕的成果。
随着时间的推移，人们对三次数学变革有了不同的认识。
一些外国数学史专家指出， 16世纪以前，数学主要是希腊数学的继续； 16世纪中叶以后，数学发生了变化，它从古代数学中分离出来，成为一门独立的科学。
他们通过引入新的数学语言，探索一系列深层次的新的数学内容，使数学不断产生新的飞跃，从而走向繁荣。
法国数学史专家加塔利说， 16世纪下半叶，数学获得了全面的长足的发展，呈现出“百花齐放”的局面。
其中，欧几里得几何学的出现标志着数学史上的一个里程碑，它预示着数学将摆脱繁琐的演绎，获得新的突破。
牛顿时代
面积比等于抛物线的幂指数比
孕育
巴罗(英, 1630-1677)的 特征三角形与曲线切线 (1664，1669)
Δy/Δx对于决定切线的 重要性
孕育
沃利斯(英, 1616-1703)的 分数幂积分(1656)
无穷小分析的算术化
x
0
a
p/q
q dx a (p q)/q pq
第4讲: 牛顿时代
解析几何与微积分的创立
(17世纪)
从17世纪起科学就开始将原来以基督教为中心 的文化变革成为现在这样以科学为中心的文化。
微积分的创立
人类数学最伟大的发明
近代始于对古典时代的复兴，但人 们很快看到，它远不是一场复兴，而 是一个崭新的时代。
——牛顿时代
解析几何的诞生
16世纪对运动与变化的研究是自然科学 的中心问题, 导致变量数学的亮相。
（2）已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系（即积分法）.
第四篇微积分论文:《曲线求积论》（1676）
引入了“首末比”的概念，并借助于几何解释把流数理解为增量 消逝时的末比。这相当于求一个函数自变量与因变量变化之比的极限.
牛顿(英，1642-1727)
微积分基本定理
牛顿(英，1642-1727)
微积分优先权之争
根据史料分析，莱布尼茨发表的两篇论文都早于牛顿 首次发表的微积分论文。而从发现微积分的年代来看，牛 顿则早于莱布尼茨。两位伟人从不同的角度独立创立了微 积分： 牛顿的微积分是从运动学角度出发，以速度为模型建立 了微分学，并偏重于求微分的反运算，即不定积分概念 ，采用点表示微分符号，后人称为“点主义”； 莱布尼茨是从几何学角度出发，作曲线上一点的切线开 始建立微分学，并侧重于把积分理解为求微分的和，他 叫“求和计算”即定积分的概念，使用d表示微分符号 ，后人称为“d主义”。
第四讲文艺复兴时期的数学
2010年8月
文艺复兴时期的数学
11
向近代数学的过渡
代数学
2010年8月
文艺复兴时期的数学
12
向近代数学的过渡
代数学
波伦比亚大学的数学教授费罗(1465-1526)在 1515年发现了形如 x + mx = n(m, n > 0) 的三次方程 的代数解法。 1535年意大利另一位数学家塔塔利亚(1499?1557)宣称自己可以解形如
2010年8月
文艺复兴时期的数学
16
向近代数学的过渡
代数学
代数学上的进步还在于引用了较好的符号体系， 这对于代数学本身的发展以及分析学的发展 来说，至关重要。正是由于符号化体系的建 立，才使代数有可能成为一门科学。
近现代数学最为明显的标志之一，就是普遍使用了 数学符号，它体现了数学学科的高度抽象与简练。
2010年8月 文艺复兴时期的数学 27
向近代数学的过渡
从透视学到射影几何
最后的审判 意大利 米开朗基罗 壁画 纵1370 ×横1220厘米 梵蒂冈西斯廷小 教堂 画家时年61岁，从1535年末到1541年 10月底，用了近6年的时间，在将近 200平方米的祭坛后的大墙上，绘出 了数以百计真人大小的裸体群像。 体现了画家的人文主义思想。要用正以 惩罚一切邪恶，“末日”意味着人类 悲剧的总崩溃。
文艺复兴时期的数学 24
中世纪的名画
2010年8月
向近代数学的过渡
从透视学到射影几何
亚当与夏娃 意大利 佚名 镶嵌画 藏处不祥 这副作品描绘的是“人之师祖”亚 当、夏娃在伊甸园生活的情景。 亚当与夏娃在蛇的引诱下偷吃了 树上的禁果后，被逐出了乐园， 从而开始了人类的繁衍，同时也 开始了人类的文明。 画面中亚当、夏娃都赤裸着，但人 体直立，没有体积感。用极省略 的方法描写了人物脸部、手部。
欧洲文艺复兴对数学学科的发展影响
欧洲文艺复兴对数学学科的发展影响欧洲文艺复兴是一个标志性的时期，它涵盖了文化、艺术、科学和思想等诸多领域。
在这个时期，人们对古希腊和罗马文化的研究重新兴起，艺术家、思想家和科学家的努力使得欧洲文艺复兴成为欧洲历史上一个具有重要影响力的时期。
而在这个时期的数学学科领域，欧洲文艺复兴也发挥了巨大的影响，推动了数学的发展和改变了人们对数学的认知。
首先，欧洲文艺复兴时期的数学家们重新审视古希腊数学，重拾了欧几里得几何学的精髓。
欧几里得几何学在古代以其严谨的证明方法和优美的结论成为数学的典范，然而随着时间的推移，它逐渐被人们所遗忘。
文艺复兴时期的数学家们通过对古希腊数学著作的研究，重新发现了欧几里得几何学的独特之处。
他们开始重视几何学的证明过程，并且将其运用于实际问题的解决上。
这使得欧几里得几何学重新成为了数学的核心学科，对几何学的研究产生了深远的影响。
其次，欧洲文艺复兴时期的数学家们对代数学的研究也取得了突破性进展。
他们从古希腊数学中提取了一些代数方面的问题，并尝试着用几何学的方法来解决。
这使得代数学和几何学之间的联系得到了加强。
文艺复兴时期的数学家们还开始注意到方程解的数量和次数之间的关系，这对代数学的发展起到了积极的推动作用。
他们提出了一些代数方程的解法，使得代数学的研究更加完善，为未来的数学家们提供了宝贵的思路和工具。
此外，欧洲文艺复兴对数学学科的发展还加速了数学知识的传播和交流。
在这个时期，各国之间的交通和通讯逐渐发展起来，这使得数学家们能更加便捷地与其他数学家进行沟通和合作。
他们的思想和成果得以融合和交流，从而推动了数学知识的普及和全球化。
最后，欧洲文艺复兴时期的数学家们对数学教育的改革也产生了深远的影响。
他们提倡数学的应用和实践，并试图将数学教育融入到课堂中。
他们撰写了一系列的数学教材，将数学的学习方法和技巧推广给更多的人。
这为后来数学教育的改革奠定了基础，使得数学成为一门更加实用和广泛被应用的学科。
几何的发展历程与发现
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目录
几何的起源
几何的发展
几何的应用
几何的现代研究
几何的重要发现
几何的起源
01
古代几何的萌芽
几何学起源：古埃及和巴比伦文明
01
02
早期几何知识：土地测量、建筑和天文观测
几何学发展：古希腊数学家欧几里得奠定基础
拓扑学的诞生
拓扑学定义：研究图形在连续变形下不变的性质
添加标题
拓扑学发展历程：从欧几里得几何到非欧几里得几何的演变
添加标题
拓扑学的重要概念：连通性、紧致性、同胚等
添加标题
拓扑学在现代数学和物理学中的应用
添加标题
几何的应用
03
几何在物理学中的应用
拓扑学在量子力学中的应用
欧几里得几何在经典力学中的应用
庞加莱猜想的证明
意义：证明了单连通三维流形的同胚分类，对数学和物理学领域产生了深远影响
证明过程：经过多位数学家的努力，最终由英国数学家怀尔斯在1995年完成证明
猜想提出：法国数学家庞加莱在1904年提出
感谢观看
汇报人：XX
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现代几何拓扑的研究方向：包括几何群论、几何分析、几何拓扑中的复杂性与分类问题等。
添加标题
拓扑学在物理学中的应用：拓扑学在物理学中有着广泛的应用，如拓扑绝缘体、拓扑半金属等。
添加标题
几何物理的研究进展
几何分析：利用数学分析的方法研究几何对象的性质和结构
几何量子化：将量子力学与几何学结合起来，探索量子力学的几何结构
几何的现代研究
04
几何分析的研究进展
几何创立历程及其发展
几何创立历程及其发展几何学是数学的一个重要分支，研究了空间和形状的性质与关系。
它的建立和发展可以追溯到古代文明的起源，古代人类从研究天文和地理的过程中，逐渐积累了一些几何知识。
早在公元前3000年左右，古埃及人已经有了一些基本的几何知识。
他们建造金字塔和狮身人面像等建筑物时，使用了一些几何原理。
古代埃及人还能够测量土地和设计农田。
古希腊是几何学的发展重要阶段。
在公元前6世纪，古希腊人开始研究几何学，以探索形状和空间的性质。
毕达哥拉斯学派是古希腊几何学的奠基者之一。
毕达哥拉斯学派的代表人物毕达哥拉斯提出了许多关于三角形的定理，奠定了几何学的基础。
他们还研究了圆和正多边形，建立了许多几何学的基本原理。
另一个对几何学的发展产生重要影响的人物是古希腊的欧几里得。
欧几里得在公元前3世纪编写了《几何原本》，这本书成为了后世几何学的教材。
他在书中总结了前人的成果，包括毕达哥拉斯学派的贡献，系统地组织了几何学的知识。
欧几里得的《几何原本》主要研究了平面几何，包括点、直线、平行线、三角形等基本概念与推理规律。
随着时间的推移，几何学的研究逐渐扩展到了更广阔的领域。
在16世纪，笛卡尔引入了坐标系的概念，将几何学与代数学结合起来，创造了坐标几何。
坐标几何的发展极大地推动了几何学的进一步发展，使得研究者能够更方便地进行几何证明和计算。
20世纪以后，随着计算机和数学工具的发展，几何学又取得了重大突破。
计算几何学应运而生，通过计算机模拟和算法设计，研究了更加复杂的几何问题。
同时，非欧几何学的产生也对几何学的传统观念提出了挑战，打开了几何学研究的新方向。
几何学在现代科学中扮演着重要角色，不仅在数学领域发挥着巨大的作用，还广泛应用于物理、计算机图形学、建筑设计等各个领域。
通过几何学，人们能够更好地理解和描述我们所处的世界。
总的来说，几何学的建立和发展经历了漫长的历程，从古代的几何知识积累，到古希腊的研究与总结，再到坐标几何和计算几何的发展，几何学不断丰富和拓展了自己的领域。
数学史话之文艺复兴早期的欧洲数学
数学史话之文艺复兴早期的欧洲数学欧洲数学在经历了漫长的中世纪的压制，到了15世纪的最后几十年，已经开始了骚动，文明已经在觉醒。
1450年，约翰内斯·古登堡发明了活字印刷，从此书籍开始大量流行，博洛尼亚、巴黎、牛津和其他地方的大学成为高等教育和学术活动的中心。
1494 年，意大利数学家卢卡·帕西奥利写了一部题为《算术大全》的书。
在这部著作中，帕西奥利讨论了当代的标准数学，并重点讨论了一次方程和二次方程的解法。
有趣的是，他在方程中用字母co代表未知量，无意中创造了原始的符号代数。
co是意大利语cosa（意为"事物"）一词的缩写--即求解的事物。
虽然100多年以后，代数才有了我们今天这样的符号系统，但《算术大全》却朝着符号代数方向迈出了一步。
卢卡·帕西奥利接下来就是当时数学的一个重头戏了：一般形式的一元三次方程（ax^3+bx^2+cx+d=0）的求解问题。
故事是从博洛尼亚大学的希皮奥内·德尔·费罗开始的。
天才的费罗发现了一个解 "缺项三次方程"的公式。
所谓缺项三次方程，就是一个没有二次项的三次方程，其表现形式为ax^3+cx+d=0。
通常，我们习惯于用a去除方程的各项，并将常数项移到方程右边，这样，我们就可以将这一缺项三次方程转变为其标准形式x^3+mx=n，虽然费罗只掌握了这种特殊形式的三次方程，但他对代数的推进却意义深远。
费罗另一位天才数学家塔塔利亚则发现了解出x^3+mx^2=n 形式的三次方程的方法，并且通过这个方法击败了费罗的学生安东尼奥·费奥尔。
但是塔塔利亚却上了另外一个人的当，那人就是卡尔达诺。
卡尔达诺也是一名意大利的数学家，同时他还是一名医生。
他一生共写了各类文章、书籍200多种，现存材料就有约7000页。
塔塔利亚卡尔达诺在塔塔利亚战胜费奥尔之后，就不断写信给塔塔利亚，请求他将解三次方程的方法告诉自己。
文艺复兴时期数学的发展史
文艺复兴时期数学的发展史文艺复兴时期，不仅是欧洲文艺复兴的黄金时期，也是数学领域的发展高峰。
在这个时期，欧洲的数学家们开始更加注重数学的严谨性和几何的准确性。
同时，这个时期也出现了一些伟大的数学家，他们通过自己的研究，开创了数学界的新视野。
数学演化：从欧几里得到伽利略欧几里得是古希腊的一位数学家，他开创了几何学的基础，提出了许多公理和定理，成为欧几里得几何学的代表。
而在欧洲，欧几里得几何学的思想在中世纪被广泛传播，但这个时期的数学思想往往太过于抽象，难以应用于实际的问题。
直到文艺复兴时期，伽利略使用欧几里得几何学的基础，将其应用于物理学的实际问题中。
他提出了“从实验到理论”的科学方法，大大推进了物理学和数学的发展。
在伽利略的影响下，欧几里得几何的方法和思想有了广泛的应用。
新的数学思潮的涌现：达芬奇的研究达芬奇是文艺复兴时期一个著名的多才多艺的艺术家，他不仅是一位画家、建筑师、雕塑家，而且也是一位擅长数学的学者。
他的《人体比例的研究》是一部揭示了人体比例的准确性的作品，他运用了类似于杜笃之圆（圆用任意弧代替）的方法，发现了人体各个部位的比例和比例的规律。
除此之外，达芬奇还通过研究各种数学图形和几何形态，提高了人们的观察力和理解力，创作出了众多著名的艺术作品。
通过不断的探索和实践，他开创了一种新的数学思维方式，并成为描述现代艺术的基础性理论。
数学界的大师：费马和笛卡尔费马和笛卡尔是文艺复兴时期数学界的两位大师。
费马是一位法国的数学家，他发表了大量的数学研究论文，对数学研究的发展起到了很大的推动作用。
同时，他也是几何学、代数学的创新者，提出了许多新的理论和定理。
而笛卡尔则是一位哲学家、数学家和物理学家，他的贡献主要是应用代数学和几何学建立了解析几何，开创了代数学、几何学和分析学的新局面，奠定了现代数学基础。
他将数学思路从可视化的几何图形转成符号和公式，这些数学公式使得数学运算变得更为简单，简化了数学的表达方式。
[讲解]解析几何的创立
![[讲解]解析几何的创立](https://img.taocdn.com/s3/m/b0cae8d40d22590102020740be1e650e52eacfb0.png)
解析几何的诞生近代数学本质上可以说成是变量数学。
文艺复兴以来资本主义生产力的兴起，对科学技术提出了全新的要求，机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确地研究天体运行的规律；武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等；总之，到了十六世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。
变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生。
解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种左边在平面上的点和有序实数对(x , y)之间建立一一对应的关系。
每一对实数(x , y)都对应于平面上的一个点，反之，每一个点都对应于它的坐标(x , y)，以这种方式可以将一个代数方程f (x , y) = 0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。
借助坐标来确定点的位置的思想古代曾经出现过，古希腊阿波罗尼乌斯(apollonius,约bc262~bc190)关于圆锥曲线性质的推导、阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究，都蕴涵这种思想。
解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆(nicole oresme, 1323~1382)，他在《论形态幅度》这部著作中提出的形态幅度原理（或称图线原理），甚至已接触到直角坐标系中用曲线表示函数的图象，在这里，奥雷斯姆借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来叙述他的图线，相当于纵坐标与横坐标。
不过他的图线概念是模糊的，至多是一种图表，还未形成清晰的坐标与函数图象的概念，是解析几何的酝酿阶段。
解析几何的真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿(r.descartes , 1596~1650)与费尔马(p. de fermat, 1601~1665)。
他们工作的出发点不同，但方式都是采用代数方法来研究几何问题。
文艺复兴后期西方数学理性的形成与发展的重要历程
文艺复兴后期西方数学理性的形成与发展的重要历程文艺复兴后期西方数学理性的形成与发展文艺复兴后期西方数学理性的形成与发展是一个十分重要的历程，它为现代数学即科学技术的发展提供了重要的基础。
它的形成与发展主要受到文艺复兴时期的哲学思想和新发现的影响。
主要包括英国的新金融计算术和新解释学派的地位，再加上法国的新计算法，德国的新几何学及荷兰的新微积分学，其时期的数学理性形成了新的逻辑结构，并逐步完善。
文艺复兴时期的哲学思想对数学理性的发展起到了重要的作用，哲学家们结合数学理论，认为数学是一个独立的科学体系，由逻辑推理和实践应用相结合而成，可以从数学理论中获取科学真理。
此外，文艺复兴时期也出现了一些新发现，如瓦西里的《数学原理》，科贝尔的《几何学》，特斯拉的《新几何学》等，这些新发现也对文艺复兴时期数学理性的形成与发展起到了重要的作用。
英国的新金融计算术和新解释学派在文艺复兴后期数学理性的形成与发展中占据着重要的地位。
新金融计算术主要以英国数学家罗素为代表，他提出了一种把计算术应用于金融计算的新方法，使计算术成为现代社会的一种重要实用工具。
新解释学派则以英国数学家布莱尔为代表，他提出了一种把数学视为一种逻辑系统的理论，为后来的数学理性的形成与发展提供了重要的指导。
法国的新计算法也在文艺复兴后期的数学理性的发展中发挥了重要的作用。
法国数学家弗雷德里克·德·福瑞尔发现了新的计算法，他把分数和小数看作是一种简单的数学形式，为现代科学技术的发展奠定了基础。
德国的新几何学也是文艺复兴后期数学理性的重要历程之一。
德国数学家弗朗西斯·耶利·拉普拉斯发现了几何的新原理，他的几何原理把几何学从一种单纯的形式科学转变为一种用实际应用来证明真理的科学。
荷兰的新微积分学也是文艺复兴后期数学理性的重要历程之一。
荷兰数学家弗朗西斯·耶利·斯特劳斯发现了微积分的新原理，并把它用于研究几何形状，应用于物理学，机械学，气象学，生物学等学科，为现代科学技术的发展奠定了基础。
文艺复兴时期的欧洲数学
.1, 2, 4, 8,16, 32, 64
为什么把e作为对数的底，并称之为 自然对数？
10000 y 4 y x [(1 .0 0 0 1) ] , y 10 y , x (1.0001) • 比尔吉 1 10 y 1 y 7 • 纳皮尔 [(1 ) ] x , y 10 y , x (1 7 ) 7 10 10 y 1 • 对数概念的根本关系式
技术进步-加速了知识的传播
中国四大发明在欧洲 火药：14世纪传入欧洲 造纸：13世纪传入欧洲 印刷术：14世纪传入欧洲 指南针：12世纪传入欧洲
马克思《机器、自然力和科学 的应用》：火药、指南针、印 刷术 —— 这是预告资产阶级 社会到来的三大发明。……总 的说来变成了科学复兴的手 段，变成对精神发展创造必要 前提的最强大的杠杆。 1482年第一个印刷版
代数学
人文主义的代表人物 、 百科全书式的学者 1545年《大术》 三次、四次方程的解法 邦贝利(意, 1526-1573)在1572年 引进虚数 根与系数的关系（韦达、牛顿）
卡尔丹 （意，1501－1576年）
代数基本定理（吉拉德、高斯）
欧洲中世纪最大的教堂，可供 4 万人举行宗教活动，建于 1386－ 1485 年，有一个高达 107米的尖塔，出于 公元 15世纪意大利建筑巨匠伯鲁诺列 斯基之手。
常用对数
• 布里格斯：对数的底数选10较好，因为这样不但能和以其 他数为底的对数那样，使1的对数为0，而且还会使10的对 数为1，这样更加便于计算。 • 弗拉格：为了更多的方便，取1的对数是0，取10的对数是 1，100的对数是2，依此类推。
lg 3.567894 0.5524118 lg 35.67894 1.5524118 lg 356.7894 2.5524118
解析几何建构及对数学的贡献
解析几何建构及对数学的贡献解析几何创立之前，几何与代数就犹如两条平行线一样，是相互分离的两个完成不同的领域，以下是小编搜集整理的一篇探究几何构建对数学所做贡献的论文范文，供大家阅读查看。
1时代背景的分析勒内·笛卡尔(Ren¨DesCartes,1596~1650)，一般认为为近代欧洲哲学的始祖，理性主义的先驱，在哲学与科学上，完美地演绎了近代西方思想之流变的代表者。
在哲学上，他以“我思故我在”的首命题开启了近代主体性哲学，被誉为“近代哲学第一人”;在自然科学上，解析几何、光的反射及折射定律、血液循环学说、漩涡宇宙论等突出成就奠定了笛卡尔在现代科学基础性地位。
尤为重要的是在笛卡尔初期思想体系中，“哲学”与“科学”之间从未真正分离过，统一的原则性与相同的逻辑推理融会贯通。
本文选择从解析几何创立出发，讨论笛卡尔方法论在解析几何创立过程中的运用，进而进一步分析笛卡尔方法论思想在其哲学道路中的演化。
2几何的研究法对笛卡尔的影响2.1古代数学观的影响柏拉图学园入口处的碑铭是：“不懂几何学者莫入。
”而柏拉图本人也根深蒂固地认为几何学知识是掌握其他更高领域知识的必由之路。
而这种思想也是古希腊多数智者的统一认识。
古希腊毕达哥拉学派，以“数”为本原，认为量和形式是实务多样性的统一基础。
笛卡尔认为，苏格拉底以前的希腊人凭借着创造性的天赋创立了几何学和算术科学，使之成为获取确定性知识的科学基础，这是柏拉图哲学形成的前期条件。
如果说笛卡尔把几何学作为哲学研究的基础和模式，把几何学公里体系的确定性作为哲学的标准。
那么笛卡尔从古朴的数学观开始，由此及彼，最终形成自己哲学体系。
2.2笛卡尔对数学的探索1919年7月笛卡尔在慕尼黑的乌尔姆，与刚出版《论算术》数学家福尔哈贝尔交往，对其产生影响。
11月，笛卡尔开始试图借鉴数学构建他的哲学方法论规则，并在此规则下研究各种具体的科学问题。
“我还继续练习运用我所规划的那种方法，因为我除了按照这些规则小心地对我的一切思想作普遍的引导外，还不时留下一点时间，从特殊方面着手，用来解决数学上的一些难题，有时也用来解决一些别的科学上的难题;我发现那些问题所依据的本原不够牢靠，使它们脱离那些本原，于是把问题弄得几乎和数学问题差不多了。
简述几何学的发展史
简述几何学的发展史摘要：本文简要的阐述了几何学思想的发展简史，包括欧氏几何的确立，射影几何的发展，解析几何、非欧几何的诞生与发展，直至几何学的统一。
关键词：几何学；发展史几何学是一门古老而实用的科学，是自然科学的重要组成部分。
在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。
一、欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。
欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。
全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。
这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。
欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。
他的思想被称作“公理化思想”。
二、解析几何的诞生解析几何是变量数学最重要的体现。
解析几何的基本思想是在平面上引入“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x,y）建立一一对应的关系，于是几何问题就转化为代数问题。
解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费马。
1637 年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的方法论》的附录《几何学》[1]中清晰的体现了解析几何的思想。
而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析几何的原理，他在书中提出并使用了坐标的概念，同时建立了斜坐标系和直角坐标系。
三、非欧几何的诞生与发展非欧几何的诞生源于人们长久以来对欧几里得《原本》中第五公设即平行公设的探讨，但一直未得到公设的结论。
直到数学家高斯、波约和俄国数学家罗巴切夫斯基在自己的论著中都描述了这样一种几何，以“从直线外一点可以引不止一条直线平行于已知直线”作为替代公式，进行推理而得出的新的一套几何学定理，并将它命名为非欧几何，一般称为“罗氏几何”。
1854 年德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基的几何思想，从而建立了一种更为一般化的几何，称为“黎曼几何”。
他认为欧氏几何和罗氏几何都是黎曼几何的一种特例。
文艺复兴时期的数学
文艺复兴时期的数学文艺复兴时期的数学十四至十六世纪在欧洲历史上是从中世纪向近代过渡的时期，史称文艺复兴时期。
中世纪束缚人们思想的宗教观、神学和经院哲学逐步被摧毁，出现了复兴古代科学和艺术的文化运动。
在自然科学方面，如哥伦布地理上的大发现、哥白尼的日心说、伽利略在数学物理上的创造发明等革命性事件相继发生。
这一时期，在数学中首先发展起来的是透视法。
艺术家们把描述现实世界作为绘画的目标，研究如何把三维的现实世界绘制在二维的画布上。
他们研究绘画的数学理论，建立了早期的数学透视法思想，这些工作成为十八世纪射影几何的起点。
其中最著名的代表人物有：意大利的达.芬奇﹝Leonardo da Vinci﹞、阿尔贝蒂﹝Leone Battista Alberti﹞、弗朗西斯卡﹝Piero della Francesca﹞、德国的丢勒﹝Albrecht Durer﹞等。
文艺复兴时期更出版了一批普及的算术书，内容多是用于商业、税收测量等方面的实用算术。
印度─阿拉伯数码的使用使算术运算日趋标准化。
L.帕奇欧里﹝Pacioli﹞的《算术、几何及比例性质之》﹝Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita, 1494﹞是一本内容全面的数学书；J?维德曼﹝Widman﹞的《商业速算法》﹝1489﹞中首次使用符号「+」和「-」表示加法和减法；A.里泽﹝Riese﹞于1522年学著作。
书中对平面三角和球面三角进行了系统的阐述，还有很精密的三角函数表。
哥白尼的学生雷蒂库斯﹝Georg Joachim Rhaeticus﹞在重新定义三角函数的基础上，制作了更多精密的三角函数表。
文艺复兴时期在文学、绘画、建筑、天文学各领域都取得了巨大的成就。
数学方面则主要是在中世纪大翻译运动的基础上，吸收希腊和阿拉伯的数学成果，从而建立了数学与科学技术的密切联系，为下两个世纪数学的大发展作了准备。
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方程根式解
《论数学与度量》（1556 论数学与度量》 ）：数学百科全书和 －1560）：数学百科全书和 ）： 16世纪最好的数学著作之一 世纪最好的数学著作之一
发现三次方程的代数解法
塔尔塔利亚 （意，1499－1557年） － 年
方程根式解
1545年《大术》 年 大术》
三次、四次方程的解法， 三次、四次方程的解法， 方程的虚根
代数学之父： 代数学之父：1591年《分 年 析术引论》 析术引论》 “没有不能解决的问题” 没有不能解决的问题” 没有不能解决的问题 （Nullum non problema solvere) 1615年《论方程的整理与 年 修正》 修正》
韦达 （法，1540－1603年） － 年
符号代数
算术符号 （哥伦比亚，1968） 哥伦比亚， ）
《气象》：虹的形成原理 气象》
《几何学》：解析几何思想 几何学》
笛卡儿 （法，1596－1650年） － 年
解析几何的产生
笛 卡 儿 的 《 几 何 学 》 1637 年
解析几何的产生
笛卡儿与光学图形 （摩纳哥，1996） 摩纳哥， ）
解析几何的产生
克莱因：笛卡儿把代数提高到重要地位， 克莱因：笛卡儿把代数提高到重要地位， 其意义远远超出了他对作图问题的洞察和 分类。 分类。这个关键思想使人们能够认识典型 的几何问题， 的几何问题，并且能够把几何上互不相关 的问题归纳在一起。 的问题归纳在一起。代数给几何带来最自 然的分类原则和最自然的方法层次。因此， 然的分类原则和最自然的方法层次。因此， 体系和结构就从几何转移到代数。 体系和结构就从几何转移到代数。
文明背景
“不懂数学的人不要读我的书” 不懂数学的人不要读我的书” 不懂数学的人不要读我的书
“凡是和数学没有联系的地方， 凡是和数学没有联系的地方， 凡是和数学没有联系的地方 都不是可靠的” 都不是可靠的”
芬奇（ 达 · 芬奇（意, 1452－1519年） － 年 摩纳哥， （摩纳哥，1969） ）
第四讲: 第四讲 §1.8~§2.1 §
文艺复兴时期的欧洲数学 及解析几何的创立与发展
§1.8 文艺复兴时期的欧洲数学
(15－17世纪初 － 世纪初 世纪初)
文明背景
欧 几 里 得 的 《 原 本 》
1482
1607
文
文明背景
哥伦布（西，1451－1506年） 哥伦布（ － 年 （智利，1992） 智利， ）
约翰•贝努利 约翰 贝努利 (瑞，1667-1748) 瑞
解析几何的发展
蒙日
欧拉
（瑞，1701－1783年） － 年 克莱罗 （法，1713－1765） － ） 拉格朗日
（法，1746－1818年） － 年
（法，1736－1813年） － 年
文明背景
哥白尼（ 哥白尼（波，1473－1543年） － 年 （委内瑞拉，1973） 委内瑞拉， ）
文明背景
托勒密（埃及， － 托勒密（埃及，90－165年） 年
《天文学大成》 天文学大成》 《天文集》 天文集》 哥白尼《天体运行论》 哥白尼《天体运行论》 （1543） ） 罗马教廷列为禁书 (1616)
卡尔丹 （意，1501－1576年） － 年
符号代数
1494年《算术集成》：继 年 算术集成》 斐波那契之后第一部内容全 面的数学书
帕西奥里（ 帕西奥里（意，1445－1517年） － 年 （意，1994） ）
符号代数
施蒂费尔 （德，1487－1567年） － 年
符号使用是代数 学的一大进步
符号代数
独立的三角学
1464年《论各种三角形》 年 论各种三角形》 (1533年出版 年出版) 年出版
雷格蒙塔努斯 （德，1436－1476年） － 年
对数
1614年《奇妙对数规则的说明》 年 奇妙对数规则的说明》
1620年冈特（英，1581－1626） 年冈特（ 年冈特 － ） 制成第一把对数尺
纳皮尔 （苏格兰，1550－1617年） 苏格兰， － 年
对数
纳皮尔的对数 （尼加拉瓜，1971） 尼加拉瓜， ）
数论
平方问题 费尔马定理 完全数、 完全数、亲和数 费尔马数
费尔马 （法，1601－1665年） － 年
数论
费尔马大定理 （捷克，2000） 捷克， ）
第二章: 第二章 变量数学时期
§2.1 解析几何的产生及发展
解析几何的产生
1637年《方法论》 年 方法论》 《折光》：折射定律 折光》
解析几何的产生
1629年《平面和立体轨迹引论》 年 平面和立体轨迹引论》 1637年《求最大值和最小值的方法》 年 求最大值和最小值的方法》
费尔马 （法，1601－1665年） － 年
解析几何的发展
1655年《圆锥曲线》：抛 年 圆锥曲线》 弃综合法，引进解析法， 弃综合法，引进解析法，引 入负坐标
瓦里斯 （英，1616－1703年） － 年
解析几何的发展
1691年引入极坐标 年引入极坐标
深入研究对数螺线 “虽然改变了，我还是和原 虽然改变了， 虽然改变了 来一样” 来一样” 雅格布•贝努利 雅格布 贝努利 (瑞，1654-1705) 瑞
解析几何的发展
对 数 螺 线
解析几何的发展
1715年引入空间坐标系 年引入空间坐标系