小波变换与工程应用(彭玉华)思维导图
现代信号处理第6章连续小波变换
轨迹光滑度提高，不规则度减少， 其分形盒维数1.3536相对原始轴 心轨迹也有所减少
25
谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述
第3层谐波小波 包分解后，第0、 1频段合成轴心 轨迹及分形盒 维数
图(d)分形盒维数1.2604
较前图有所减少，但其分
形盒维数为明显比正常机
整理ppt
15
6.1.4 谐波小波滤波
整理ppt
16
6.1.4 谐波小波滤波
整理ppt
17
6.1.4 谐波小波滤波
为了对信号的某一特定频段的成分进行研究，在对信号的 谐波小波分解进行重构时可将其它频段的谐波小波系数置 为“0”，只保留该段的小波系数，由于谐波小波的正交性， 如此重构的结果只包含信号该频段的成分，其它成分都被 剔除了。这个算法与本节开始所给出的算法是一致的，实 际是谐波小波重构算法的延伸，是对信号进行了滤波，我 们称这一过程为谐波小波滤波。
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算 谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述
整理ppt
20
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
分形
小波
分形的自相似仿射算子r与小波变换的伸缩因子a是作用相同， 小波变换从低Biblioteka 辨到高分辨的过渡原则与分形过程的从总
体向局部、从宏观向微观深化分析原则是一致的，小波和 分形都具有自相似性，两者结合是可行的。
因此，w(t)及其伸缩平移函数族构成信号的正交基。以谐波小
波作为基函数系就可以将信号既不交迭，又无遗漏地分解到相
互独立的空间，实现将信号成整理分pp分t 解到不同频段 。
8
6.1.2 Newland快速算法
小波变换课件
小波变换的基本思想是将信号分 解成一系列的小波函数，每个小 波函数都有自己的频率和时间尺
度。
小波变换通过平移和缩放小波函 数，能够适应不同的频率和时间 尺度，从而实现对信号的精细分
析。
小波变换的特点
01
02
03
多尺度分析
小波变换能够同时分析信 号在不同频率和时间尺度 上的特性，提供更全面的 信号信息。
图像去噪
利用小波变换去除图像中的噪声，提高图像的清晰度和质 量。
在小波变换中，噪声通常表现为高频系数较大的值，通过 设置阈值去除这些高频系数，可以达到去噪的效果。去噪 后的图像能够更好地反映原始图像的特征和细节。
图像增强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用小波变换增强图像的某些特征，突出显示或改善图像的某些部分。
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的边缘、纹理等特定特征。这种增强 方式能够突出显示图像中的重要信息，提高图像的可读性和识别效果。
在信号处理、图像处理、语音识别等 领域有广泛应用。
特点
能够同时分析信号的时域和频域特性 ，具有灵活的时频窗口和多分辨率分 析能力。
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，通过对小波函数的离 散化处理，实现对信号的近似和
细节分析。
特点
计算效率高，适合于数字信号处理 和计算机实现。
应用
在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有广泛应用，如语音压缩、图像压缩 、数据挖掘等。
CHAPTER 04
小波变换在图像处理中的应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少存储空间和传输带宽的 需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率的子带，去除高频细节 ，保留低频信息，从而实现图像压缩。压缩后的图像可以通 过逆小波变换重新构造，保持图像质量的同时减小数据量。
小波变换ppt课件
自适应压缩
在此添加您的文本16字
小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号 的特性进行动态调整，进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪 多尺度分析 自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点，从而在去噪过程 中保留这些重要特征，同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时 考虑信号的全局和局部特性，实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法，如连续小波变换、 离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法，以提高计算效率和 精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用，如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法， 它通过将信号分解成小波函数的 叠加，实现了信号的多尺度分析 。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用，如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战，并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点，能够提供信号或图像在不同尺 度上的细节信息，广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。
小波变换及其在图像处理中的典型应用PPT课件
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的某些特征， 如边缘、纹理等。
小波变换可以将图像分解为不同频率的子图像，通过调整 小波系数，可以突出或抑制某些特征。增强后的图像可以 通过小波逆变换进行重建，提高图像的可视效果。
感谢您的观看
THANKS
实现方式
通过将输入信号与一组小波基函 数进行内积运算，得到小波变换 系数，这些系数反映了信号在不 同频率和位置的特性。
特点
一维小波变换具有多尺度分析、 局部化分析和灵活性高等特点， 能够有效地处理非平稳信号，如 语音、图像等。
二维小波变换
定义
二维小波变换是一种处理图像的方法，通过将图像分解成不同频率和方向的小波分量， 以便更好地提取图像的局部特征。
实现方式
02
通过将小波变换系数进行逆变换运算，得到近似信号或图像的
原始数据。
特点
03
小波变换的逆变换具有重构性好、计算复杂度低等特点，能够
有效地恢复信号或图像的原始信息。
03
小波变换在图像处理中的 应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少 存储空间和传输带宽的需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率 的子图像，保留主要特征，去除冗余 信息，从而实现图像压缩。压缩后的 图像可以通过解压缩还原为原始图像。
图像融合
利用小波变换将多个源图像融合成一个目 标图像，实现多源信息的综合利用。
通过小波变换将多个源图像分解为不同频 率的子图像，根据一定的规则和权重对各个 子图像进行融合，再通过逆变换得到融合后 的目标图像。图像融合在遥感、医学影像、 军事侦察等领域有广泛应用，能够提高多源
信息的综合利用效率和目标识别能力。
小波变换原理与应用ppt课件
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于
非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
幅度 A |Y(f)|
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1
0.5
0
-0.5
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x ( tx2)f(x)dRxx()m,x t2 t1
Ex2(t)
非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
小波分析及其工程应用
⎧ ⎛ m⎞ N ⎪ m+1 ⎜ t + 2 ⎟ , 当m是偶数时 ⎪ ⎝ ⎠ θm ( t ) = ⎨ ⎪ N ⎛ t + m + 1 ⎞ ,当m是奇数时 m +1 ⎜ ⎟ ⎪ 2 ⎝ ⎠ ⎩ 称之为m次盒（box）样条。
性质：
1）当m为偶数时，盒样条关于1 /2对称；当m为奇数时，盒样条关 于0对称。 2） θ m ( t ) 是m次基数B样条多分辨分析{Vj}的另一个非正交尺度函数
= −e − iω ∑ ( −1) hl∗eilω
l l
= −e − iω ∑ hl∗eil (ω +π )
l
ˆ* ( ω + π ) = −e − iω h
频域求解过程
ϕ (t )
ˆ (ω ) ϕ
ˆ (ω ) φ
ˆ* ( ω + π ) ˆ (ω ) = −e− iω h g
ˆ (ω ) = ψ 1 ω ˆω ˆ ( )φ ( ) g 2 2 2
φ ( t ) = φ ( 2t ) + φ ( 2t − 1)
h0 = 2 2
h1 = 2 2
hn = 0 ( n ≠ 0,1)
ψ ( t ) = φ ( 2t ) − φ ( 2t − 1)
φ ( t ) = χ[0,1] ( t )
− iω sin (ω / 2 ) − iω / 2 1 − e ˆ (ω ) = φ = e iω ω/2
φ (t ) = 2 ∑ hkφ (2t − k )
k
φ j −1,k (t ) = 2
j −1 2
−1 −1 ⎡ ⎛ j2 ⎛ j2 ⎞ ⎞ ⎤ j/2 φ ⎜ 2 t − k ⎟ = 2 ∑ hlφ ⎢ 2 ⎜ 2 t − k ⎟ − l ⎥ l ⎢ ⎝ ⎥ ⎝ ⎠ ⎠ ⎦ ⎣
道客
号处理中得到广泛的应用 ,而且还在数据压缩 、流体 力学 、机械故障诊断及分形等领域中得到重视和 认可 。
参考文献
[1 ]张贤达著. 现代信号处理. 清华大学出版社 ,2002 [2 ]彭玉华. 小波变换与工程应用. 科学出版社 ,2002 [3 ]伯晓晨 、李涛 、刘路等编著. MATLAB 工具箱应用指南 —信息工程
节) ”[1] 。在信号处理应用中 ,对于高频的信息 ,在相
对小的时间间隔内 ,小波变换能给出较高的分析精
度 ;而对于低频信息 ,在相对宽的时间间隔内能给出 完整的信息 。
连续小波变换的定义[2] :将任意 L2 ( R) 空间的
函数 f ( t) 在小波基下进行展开 ,称这种展开为 f ( t)
的连续小波变换 ,简记为 CWT ,其表达式为
可见由小波变换的近似分量系数和细节分量系 数可以求出与原信号等长度的近似信号和细节信 号 ,这就是信号重构过程 。图 5 表示原始信号 ,是一 个存在频率断点的组合正弦信号 ; 图 6 是重构第 5 层分解的近似信号 ,此时已非常接近原始信号 。
图 1 三层小波分解
其中 : cM 表示 M 空间的剩余系数 , dM 表示 M 空 间的小波系数 。
篇. 电子工业出版社 ,2002
·7 ·
四 、结束语
小波变换是泛函分析及傅立叶分析等多个学科 相互交叉的结晶 ,目前 ,不仅在信 (下转第 7 页)
·4 ·
图 4 三层小波重构
图 7 含噪声的信号 计量技术 2003 No 11
测量与设备
是节流装置的水头损失 ,对于这样的节流装置 ,目标 之一是减小能量损失 ,因此采取流线型结构 ,由图 3 也可看到 ,一方面Δh1 - 4差压水头高度小 ,但另一方 面差压随流量的变化关系复杂 ,其变化曲线的线性 较差 。
小波变换课件第4章小波变换的实现技术
第4章 小波变换的实现技术4.1 Mallat 算法双正交小波变换的Mallat 算法：设{}n h h =、{}n g g =、{}n h h =、{}n g g =为实系数双正交小波滤波器。
h ，g 是小波分析滤波器，h ，g 是小波综合滤波器。
h 表示h 的逆序，即n n h h -=。
若输入信号为n a ，它的低频部分和高频部分以此为1n a -和1n d -，小波分解与重构的卷积算法：11()()n n n na D a h d D a g --⎧⎪=*⎨=*⎪⎩ n11()()n n a Uah Ud g --=*+*先进行输入信号和分析滤波器的巻积，再隔点采样，以形成低频和高频信号。
对于有限的数据量，经过多次小波变化后数据量大减，因此需对输入数据进行处理。
4.1.1 边界延拓方法下面给出几种经验方法。
1. 补零延拓是假定边界以外的信号全部为零，这种延拓方式的缺点是，如果输入信号在边界点的值与零相差很大，则零延拓意味着在边界处加入了高频成分，造成很大误差。
实际应用中很少采用。
0121,0,,,,...,,0,0,......n s s s s -2.简单周期延拓将信号看作一个周期信号,即k n k s s +=。
简单周期延拓后的信号变为这种延拓方式的不足之处在于，当信号两端边界值相差很大时，延拓后的信号将存在周期性的突变，也就是说简单周期延拓可在边界引入大量高频成分，从而产生较大误差。
3. 周期对称延拓这种方法是将原信号在边界上作对称折叠，一般分二1）当与之做卷积的滤波器为奇数时，周期延拓信号为2）当与之做卷积的滤波器为偶数时，周期延拓信号为4. 光滑常数延拓在原信号两端添加与端点数据相同的常数。
0121,,,...,,n s s s s -0121,,,...,,n s s s s -0121,,,...,,n s s s s -0,...s 1,...,n s -01221,,,...,,,n n s s s s s --0121,,,...,,n s s s s -21012,...,,,,,...n s s s s s -321212,,,...,,,,...n n n s s s s s s ---10012,,...,,,,...n n s s s s s --10112,,,...,,,n n n s s s s s ---5. 平滑延拓在原信号两端用线性外插法补充采样值，即沿着信号两端包络线的一阶导数方向增加采样值。
小波分解层数与尺度的关系
<转载>小波分解层数与尺度的关系/item/5ef5e6ce8ac29626a0b50ab3?qq-pf-to=pcqq. c2c我现在对小波分解层数与尺度的关系有点混乱了是不是小波以一个尺度分解一次就是小波进行一层的分解？比如：[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中，N为尺度，若为1，就是进行单尺度分解，也就是分解一层但是W=CWT(X,[2:2:128],'wname','plot')的分解尺度又是从2～128以2为步进的，这里的分解尺度好像跟上面那个尺度的意思不一样吧？请高手指教～==============================[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中的N为分解层数,不是尺度,'以wname'是DB小波为例,如DB4,4为消失矩,则一般滤波器长度为8,阶数为7.wavedec针对于离散,CWT是连续的==============================多谢qinle的解答那多尺度又是怎么理解的呢？==============================多尺度的理解:如将0-pi定义为空间V0,经过一级分解之后V0被分成0-pi/2的低频子空间V1和pi/2-pi的高频子空间W1,然后一直分下去....得到VJ+WJ+....W2+W1.因为VJ和WJ是正交的空间,且各W子空间也是相互正交的.所以分解得到了是相互不包含的多个频域区间,这就是多分辩率分析,即多尺度分析.当然多分辨率分析是有严格数学定义的,但完全可以从数字滤波器角度理解它.当然,你的泛函学的不错,也可以从函数空间角度理解.==============================是不是说分解到W3、W2、W1、V3就是三尺度分解？如果答案是肯定的话，我的理解就没错了==============================是的==============================简单的说尺度就是频率，不过是反比的关系．确定尺度关键还要考虑你要分析信号的采样频率大小，因为根据采样频率大小才能确定你的分析频率是多少．（采样定理）．然后再确定你到底分多少层．==============================D(j,k)表示尺度 j 的小波变换系数,请问,k代表什么?D(j,k)代表的是AJ,WJ,WJ-1,……W1吗?==============================假如我这有一个10hz和50hz的正弦混合信号，采样频率是500hz，是不是就可以推断出10hz和50hz各自对应的尺度了呢？我的意思是，是不是有一个频率和尺度的换算公式？==============================实际频率＝小波中心频率×采样频率/尺度==============================谢谢回复，我自己也查到了，matlab中两个函数可能会用到，列出来给需要的人参考：scal2frq, centfrq==============================towy8：麻烦你能不能举个例子具体说一下怎样根据采样频率确定分辨率，然后确定分多少层吗？这个问题我一直没有明白。
1.《小波变换与工程应用》彭玉华著,科学出版社1999年版.
1．《小波变换与工程应用》彭玉华著，科学出版社1999年版2．《电子商务原理与应用》南京大学出版社3．《光纤通信导论系统》邱昆等著，电子科技大学出版社1995年版4．《智能仪器原理及应用》越茂泰著，电子工业出版社5．《计算机数什方法》施吉、林先等著，高等教育出版社1999年版6．《现代电子技术》席德勋著，高等教育出版社1999年版7．《现代信号处理》张贤达著，清华大学出版社1995年版8．《模糊理论和神经网络的基础与应用》赵振宇等著，清华大学出版社9．《智能控制技术》易继锴等著，北京工业大学出版社1999年版10．《MATLAB及其在理工课程中的应用指南》陈怀琛著，西北电子科技大学出版社11．《智能卡技术——IC卡》王爱英著，清华大学出版社12．《数据通信与计算机网络》高伟善著，高等教育出版社13．《随机信号分析》赵淑清著，哈尔滨工业大学出版社14．《电子设计自动化（EDA）教程》王锁萍著，电子科技大学出版社15．《传感器的理论与设计基础及其应用》单成祥著，国防工业出版社1999年版16．《电子工艺基础》王卫平著，电子工业出版社17．《光纤测量与传感技术》孙圣和著，哈尔滨工业大学出版社2000年版18．《高性能数字信号处理器与高速实速信号处理》苏涛著，西安电子科技大学出版社1999年版19．《VisualC++与面向对象程序设计教程》冯博琴等著，电子科技大学出版社20．《计算机通信接口技术》陈露晨著，电子科技大学出版社21．《数字信号处理——理论、算法与实现》胡广书编著，清华大学出版社1997年版22．《基于MATLAB的系统分析与设计——信号处理》楼顺天等编，西安电子科技大学出版社1999年版23．《基于MATLAB的系统分析与设计——神经网络》楼顺天等编，西安电子科技大学出版社1999年版24．《OrCAD/Pspice9实用教程》贾新章等著，西安电子科技大学出版社1999年版25．《数据采集与处理技术》马明建等著，西安交通大学出版社26．《MCS—51系统单片机实用接口技术》李华主编，北京航空航天大学出版社1993年版27．《8098单片微型计算机应用技术》李新民等著，北京航空航天大学出版社1994出版28．《数学模型与数学建模》刘来福编，北京师范大学出版社1997年版29．《信号与系统》曾禹村等著，北京理工大学出版社1992年版30．《信号与系统》胡光锐等著，上海交通大学出版社1995年版31．《Singnals & Systems》（影印版）A.V.Sppendeim，清华大学出版社32．《图像处理技术》李介谷等著，上海交通大学出版社1998年版33．《光电信息处理系统》李志能著，浙江大学出版社1998年版34．《控制系统计算机辅助设计——MATLAB语言及应用》薛定宇著，清华大学出版社1996年版35．《现代优化计算方法》邢文训等著，清华大学出版社1999年版36．《应用MA TLAB语言处理数字信号与数字图像》陈桂明等著，科学出版社2000年版37．《多媒体计算机技术原理》马华东编，清华大学出版社38．《计算机控制系统》何克忠等著，清华大学出版社1998年版39．《移动通信》郭梯云著，西安电子科技大学出版社1997年版40．《微波技术与天线》顾瑞龙等著，国防工业出版社41．《人工智能及其应用》蔡自兴等著，清华大学出版社42．《自动控制原理》杨位钦等著，电子工业出版社43．《数据库系统概论》（第三版）萨师煊、王珊著，高等教育出版社2000年版44．《电子商务实用教程》祁明、晏维龙著，高等教育出版社45．《Introduction to Signal Prcessing》（影印版）清华大学出版社46．《面向对象程序设计高级教程》陈厅著，高等教育出版社47．《OEDA工具Protel98及其设计应用》韩力等著，北京理工大学出版社1999年版48．《现代软件工程》（上中下）周之英著，科学出版社1999年版49．《高档微机接口技术及应用》董渭清等著，西安交通大学出版社50．《CPLD技术及其应用》宋万杰等著，西安电子科技大学出版社1999年版51．《IBM—PC汇编语言程序设计》沈美明等著，清华大学出版社52．《可编程逻辑器件的原理与应用》陈光梦著，复旦大学出版社53．《通信系统》王秉均等著，西安电子科技大学出版社1997年版54．《智能传感器系统》刘君华著，西安电子科技大学出版社1999年版55．《自动检测和仪表中的共性技术》徐科军等著，清华大学出版社200年版56．《单片微机接口技术》赵依军等编，人民邮电出版社1989年版57．《电子技术基础》（模拟部分）（第四版）康华光主编，高等教育出版社2000年版58．《电子技术基础》（数字部分）（第四版）康华光主编，高等教育出版社2000年版59．《计算机软件技术基础》麦中凡等，高等教育出版社1999年版60．《微波技术基础》廖承恩编，西安电子科技大学出版社1995年版61．《电磁场理论基础》钟顺时等编，西安电子科技大学出版社1995年版。
专题讲座——小波变换PPT课件
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部分小波波形
第11页/共79页
小波基函数
将小波母函数（t)进行伸缩和平移，
令伸缩因子（称尺度因子）为a,平移因子为，则：
a（ , t)
a12(t
),a0,R
a
则称a（ , t)是依赖参数a,的小波基函数。
将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换
第12页/共79页
小波分析
• 小波变换通过平移母小波(mother wavelet) 可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的 宽度(或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。 对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波 的系数，这些系数代表小波和局部信号之间 的相互关系。
第15页/共79页
CWT的变换过程图示
第16页/共79页
CWT小结
• 小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以 这样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，
度量的是信号细节，表示频率w 比较高；相
反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的
是信号的粗糙程度，表示频率w 比较低。
第17页/共79页
离散小波变换
第18页/共79页
离散小波变换定义
任意L2(R)空间中的x(t)的DWT为：
__________
Wx ( j, k) R x(t) j,k (t) dt其中Biblioteka j（ ,k t) 1 2j
(
t 2
j
k)
需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续 的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时 间变量t的。
第4页/共79页
短时傅里叶变换STFT
确定信号局部频率特性的比较简单的方法是 在时刻ґ附近对信号加窗，然后计算傅里叶变 换。
第七章 小波变换和多分辨率处理PPT课件
小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在信号处理、图
像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探、流体
力学、电磁场、CT成象、机器视觉、故障诊断、分形、数值
计算等已有重大突破。
2020/2/13
5
小波分析发展简史
时间 1822
1910 1946
1984 1985 1986
1987
1988
标志性事件
第七章 小波变换和多分辨率处理
张萍 电子科技大学 光电信息学院 E-mail: pingzh@
1
参考资料
教材：
Rafael C. Gonzalez, etc，Digital Image Processing (Third Edition)，电子工业出版社，
2010
参考书籍：
2020/2/13
满足该条件的滤波器 组称为具有双正交性
25
(2) 子带编码
分析滤波器和综合滤波器满足上述条件，所 以具有双正交性
(正交镜像滤波器)
(共轭正交滤波器)
完美重建滤波器族
2020/2/13
26
(2) 子带编码
一维滤波器用于图像处理的二维可分离滤波器
可分离滤波器首先应用于某一维（如水平方向），在应 用于另一维（如垂直方向）
整理
k
Xˆ
(z)
1 2
[H0 (z)G0 (z)
H1 ( z )G1 ( z )]X
(z)
1 2
[H
0
( z )G0
(
z)
H1(
z )G1 ( z )]X
(z)
2第020/二2/13项含有－z，代表了抽样-内插过程带来的混叠
小波变换ppt课件
20世纪40年代Gabor开发了STFT (short time Fourier transform) STFT的时间-频率关系图
2002年10月 2002年10月9日
(4) 1980: Morlet提出了 提出了CWT 提出了
CWT (continuous wavelet transform) 20世纪70年代，当时在法国石油公司工 作的年轻的地球物理学家Jean Morlet提出 了小波变换WT(wavelet transform)的概念。 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：
2002年10月 2002年10月9日
小波分解得到的图像
2002年10月 2002年10月9日
(9)著名科学家 著名科学家
Inrid Daubechies，Ronald Coifman和 Victor Wickerhauser等著名科学家 把这个小波理论引入到工程应用方面做出了极 其重要的贡献 Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换 和滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离 散小波分析变成为现实 在信号处理中，自从S.Mallat和Inrid Daubechies 发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后， 小波在信号(如声音信号，图像信号等)处理中 得到极其广泛的应用。 ……
DIP8
24
多分辨率分析
定义
L2 ( R) 中一系列嵌套函数子空间序列
V j , j 2,1,0,1,2
若下列条件成立： (1)嵌套性： V j V j 1 (2)稠密性： Uz V j L2 R j (3)分立性:
jz
V j 0
(4)尺度性: f ( x) V j f (2 j x) V0 (5)Riesz基存在性:
框架算子定义
如果 { j } jJ 是框架
有线性算子：
T : f (Tf ) j j , f
称 T 为框架算子
I恒等算子
AI T *T BI
21
框架理论
对偶框架定义
设 { j } jJ 是框架
~ 令： j (T * T ) 1 j , j J
~ 则 { j } jJ也是框架，且其框架界为B-1和A-1 ~ 称 { } 是 { j } jJ 的对偶框架
4
8.2 小波变换
5
一维连续小波
定义
给定
( x) L2 (R )
a ,b ( x ) a
1 / 2
(
x b a
)
a, b R, a 0
称为连续小波或分析小波(Analyzing Wavelet) 叫基本小波或母小波（Mother Wavelet）。 其中a是伸缩因子，b为平移因子。
f ( x) L2 R
kz
对
f ( x) g k ( x) g 1 ( x) g 0 ( x) g 1 ( x)
k Z
g k Wk
26
小波分解和重建
分解 令： f k ( x) V k
时间序列的小波分析及等值线图、小波方差制作
时间序列的小波分析之迟辟智美创作时间序列（Time Series）是地学研究中经常遇到的问题.在时间序列研究中，时域和频域是经常使用的两种基本形式.其中，时域分析具有时间定位能力，但无法获得关于时间序列变动的更多信息；频域分析（如Fourier变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析.然而，地学中许多现象（如河川径流、地动波、暴雨、洪水等）随时间的变动往往受到多种因素的综合影响，年夜都属于非平稳序列，它们不单具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间标准”结构，具有多条理演变规律.对这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息.显然，时域分析和频域分析对此均无能为力.20世纪80年代初，由Morlet提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变动周期，充沛反映系统在分歧时间标准中的变动趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计.目前，小波分析理论已在信号处置、图像压缩、模式识别、数值分析和年夜气科学等众多的非线性科学领域内获得了广泛的应.在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成份的识别以及多时间标准的分析等.一、小波分析基来源根基理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来暗示或迫近某一信号或函数.因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ（1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过标准的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ其中，0a R,b a,≠∈（2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为标准因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移.需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提.在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择分歧的基小波函数，所得的结果往往会有所不同，有时甚至不同很年夜.目前，主要是通过比较分歧小波分析处置信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数. 2. 小波变换若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对给定的能量有限信号)R (L )t (f 2∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为：dt )abt (f(t)a)b ,a (W R2/1-f ⎰-=ψ （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a为伸缩标准；b 平移参数；)ab x (-ψ为)ab x (-ψ的复共轭函数.地学中观测到的时间序列数据年夜多是离散的，设函数)t k (f ∆，（k=1,2,…,N;t ∆为取样间隔），则式（3）的离散小波变换形式为：)ab-t k (t)f(k t a)b ,a (W N1k 2/1-f ∆∆∆=∑=ψ （4） 由式（3）或（4）可知小波分析的基来源根基理，即通过增加或减小伸缩标准a 来获得信号的低频或高频信息，然后分析信号的概貌或细节，实现对信号分歧时间标准和空间局部特征的分析.实际研究中，最主要的就是要由小波变换方程获得小波系数，然后通过这些系数来分析时间序列的时频变动特征. 3. 小波方差将小波系数的平方值在b 域上积分，就可获得小波方差，即db )b a,(W )a (Var 2f ⎰∞∞-= (5)小波方差随标准a 的变动过程，称为小波方差图.由式(5)可知，它能反映信号摆荡的能量随标准a 的分布.因此，小波方差图可用来确定信号中分歧种标准扰动的相对强度和存在的主要时间标准，即主周期. 二、小波分析实例-时间序列的多时间标准分析(Multi-time scale analysis) 例题河川径流是地舆水文学研究中的一个重要变量，而多时间标准是径流演化过程中存在的重要特征.所谓径流时间序列的多时间标准是指：河川径流在演化过程中，其实不存在真正意义上的变动周期，而是其变动周期随着研究标准的分歧而发生相应的变动，这种变动一般暗示为小时间标准的变动周期往往嵌套在年夜标准的变动周期之中.也就是说，径流变动在时间域中存在多条理的时间标准结构和局部变动特征.表1给出了某流域某水文观测站1966-2004年的实测径流数据.试运用小波分析理论，借助Matlab R2012a、suffer 12.0和其他相关软件（Excel、记事本等），完成下述任务：（1）计算小波系数；（2）绘制小波系数图（实部、模和模方）、小波方差图和主周期变动趋势图，并分别说明各图在分析径流多时间标准变动特征中的作用.表1 某流域某水文观测站1966-2004年实测径流数据（×108m3）年份径流量年份径流量年份径流量年份径流量年份径流量19661974198219901998 19671975198319911999 19681976198419922000 19691977198519932001 19701978198619942002 19711979198719952003 19721980198819962004 1973198119891997分析1. 选择合适的基小波函数是前提在运用小波分析理论解决实际问题时，选择合适的基小波函数是前提.只有选择了适合具体问题的基小波函数，才华获得较为理想的结果.目前，可选用的小波函数很多，如Mexican hat小波、Haar小波、Morlet小波和Meyer小波等.在本例中，我们选用Morlet连续复小波变换来分析径流时间序列的多时间标准特征.原因如下：1.1径流演变过程中包括“多时间标准”变动特征且这种变动是连续的，所以应采纳连续小波变换来进行此项分析.1.2实小波变换只能给出时间序列变动的振幅和正负，而复小波变换可同时给出时间序列变动的位相和振幅两方面的信息，有利于对问题的进一步分析.1.3 复小波函数的实部和虚部位相差为π/2，能够消除用实小波变换系数作为判据而发生的虚假振荡，使分析结果更为准确.2. 绘制小波系数图、小波方差图和主周期变动趋势图是关键被选择好合适的基小波函数后，下一步的关键就是如何通过小波变换获得小波系数，然后利用相关软件绘制小波系数图、小波方差图和主周期变动趋势图，进而根据上述三种图形的变动识别径流时间序列中存在的多时间标准.具体步伐1. 数据格式的转化2. 鸿沟效应的消除或减小3. 计算小波系数4. 计算复小波系数的实部、模、模方、方差5. 绘制小波系数实部、模、模方等值线图6. 绘制小波方差图7. 绘制主周期趋势图下面，我们以上题为例，结合软件Matlab R2012a、suffer 12.0、Excel、记事本等，详细说明小波系数的计算和各图形的绘制过程，并分别说明各图在分析径流多时间标准变动特征中的作用.1. 数据格式的转化和保管将寄存在Excel表格里的径流数据（以时间为序排为一列）转化为Matlab R2012a识另外数据格式（.mat）并存盘.具体把持为：在Matlab R2012a界面下，单击“File-Import Data”，呈现文件选择对话框“Import”后，找到需要转化的数据文件（本例的文件名为runoff.xls），单击“翻开”.等数据转化完成后，单击“Finish”，呈现图1显示界面；然后双击图1中的Runoff，弹出“Array Editor: runoff”对话框，选择File文件夹下的“Save Workspace As”单击，呈现图2所示的“Save to MAT-File:”窗口，选择寄存路径并填写文件名（runoff.mat），单击“保管”并关闭“Save to MAT-File”窗口.图1 数据格式的转化图2数据的保管2. 鸿沟效应的消除或减小因为本例中的实测径流数据为有限时间数据序列，在时间序列的两端可能会发生“鸿沟效用”.为消除或减小序列开始点和结束点附近的鸿沟效应，须对其两端数据进行延伸.在进行完小波变换后，去失落两端延伸数据的小变换系数，保管原数据序列时段内的小波系数.本例中，我们利用Matlab R2012a小波工具箱中的信号延伸（SignalExtension）功能，对径流数据两端进行对称性延伸.具体方法为：在Matlab R2012a界面的“Command Window”中输入小波工具箱调用命令“Wavemenu”，按Enter键弹“Wavelet Toolbox Main Menu”（小波工具箱主菜单）界面（图３）；然后单击“Signal Extension”，翻开Signal Extension / Truncation窗口，单击“File”菜单下的“Load Signal”，选择runoff.mat文件单击“翻开”，呈现图4信号延伸界面.Matlab R2012a的Extension Mode菜单下包括了6种基本的延伸方式（Symmetric、Periodic、Zero Padding、Continuous、Smooth and For SWT）和Direction to extend菜单下的3种延伸模式（Both、Left and Right），在这里我们选择对称性两端延伸进行计算.数据延伸的具体把持过程是：Desired Length可以任意选，只要比原始信号长度年夜，建议在原始信号的基础上加20（这样左右对称地延伸10个数据），这里选择默认的64；Dircetion to extend下选择“Both”；Extension Mode下选择“Symmetric”；单击“Extend”按钮进行对称性两端延伸计算，然后单击“File”菜单下的“Save Tranformed Signal”，将延伸后的数据结果存为erunoff.mat文件.从erunoff文件可知，系统自动将原时间序列数据向前对称延伸12个单元，向后延伸13个单元.3. 计算小波系数选择Matlab R2012a 小波工具箱中的Morlet 复小波函数对延伸后的径流数据序列（erunoff.mat ）进行小波变换，计算小波系数并存盘.小波工具箱主菜单界面见图3，单击“Wavelet 1-D”下的子菜单“ComplexContinuousWavelet1-D”，翻开一维复连续小波界面，单击“File”菜单下的“Load Signal”按钮，载入径流时间序列erunoff.mat （图5）.图5的左侧为信号显示区域，右侧区域给出了信号序列和复小波变换的有关信息和参数，主要包括数据长度（Data Size ）、小波函数类型（Wavelet ：cgau 、shan 、fbsp 和cmor ）、取样周期（Sampling Period ）、周期设置（Scale Setting ）和运行按钮（Analyze ），以及显示区域的相关显示设置按钮.本例中，我们选择cmor (1-1.5)、取样周期为1、最年夜标准为32，单击“Analyze”运行按钮，计算小波系数.然后单击“File”图3小波工具箱主菜单图4 径流时间序列的延伸图5 小波变换菜单界面菜单下的“Save Coefficients”，保管小波系数为cerunoff.mat文件.4. 计算Morlet复小波系数的实部、模、模方、方差在Matlab R2012a界面下的Workspace中将cerunoff.mat文件导入，见图6.图6 小波系数导入到Matlab然后双击“coefs”翻开，删失落失落延伸数据的小波变换系数（本例中去失落前12列和后13列），保管.接下来开始计算Morlet复小波系数的实部、模、模方、方差，具体把持为：在“Command Windows”中直接输入函数“shibu=real(coefs);”，点击“回车”键，计算实部；输入函数“mo=abs(coefs);”，点击“回车”键，计算模；输入函数“mofang=(mo).^2;”，点击“回车”键，计算模方；输入函数“fangcha=sum(abs(coefs).^2,2);”，点击“回车”键，计算方差.见图7.图7计算出的实部、模、模方、方差功效注意：上面涉及到的数据保管，其格式均为.mat.5.绘制小波系数实部、模、模方等值线图实部、模、模方等值线图的绘制方法一样，这里仅以实部等值线图为例.首先，将小波系数实部数据复制到Excel中依照图8格式排列，其中列A为时间，列B为标准，列C为分歧时间和标准下所对应的小波系数实部值.其次，将图9数据转化成Suffer 12.0识另外数据格式.具体把持为：在Surfer 12.0界面下，单击“网格”菜单下的“数据”按钮，在“翻开”窗口选择要翻开的文件（小波系数实部.xls），单击“翻开”后弹出“网格化数据”对话框（图10）.它给出了多种分歧的网格化方法、文件输前途径及网格线索几何学等信息.这里我们选择“克里格“网格方法”，单击“确定”，完成数据格式的转化.图8 小波系数实部数据格式图10 小波系数实部数据格式转化最后，绘制小波系数实部等值线图.在Surfer 12.0界面下，单击“舆图”菜单下的“等值线图-新建等值线图”按钮，弹出“翻开网格”窗口后，选择“小波系数实部.grd”文件，单击“翻开”，完成等值线图的绘制并保管（图11）.5.2 小波系数实部等值线图在多时间标准分析中的作用小波系数实部等值线图能反映径流序列分歧时间标准的周期变动及其在时间域中的分布，进而能判断在分歧时间标准上，径流的未来变动趋势.为能比力清楚的说明小波系数实部等值线图在径流多时间标准分析中的作用，我们利用Surfer 12.0对其进一步处置和修饰，获得图12显示的小波系数实部等值线图.其中，横坐标为时间（年份），纵坐标为时间标准，图中的等值曲线为小波系数实部值.当小波系数实部值为正时，代表径流丰水期，在图中我们用实线绘出，“H”暗示正值中心；为负时，暗示径流枯水期，用虚线绘出，“L”暗示负值中心.由图12可以清楚的看到径流演化过程中存在的多时间标准特征.总的来说，在流域径流演变过程中存在着18~32年，8~17年以及3~7年的3类标准的周期变动规律.其中，在18~32年标准上呈现了枯-丰交替的准两次震荡；在8~17年时间标准上存在准5次震荡.同时，还可以看出以上两个标准的周期变动在整个分析时段暗示的非常稳定，具有全域性；而3~10年标准的周期变动，在1980s 以后暗示的较为稳定.参考5.1，绘制小波系数模和模方等值线图（图13、14）.图12 小系数实部等值线图图13 小波系数模等值线图图14 小波系数模方等值线图Morlet小波系数的模值是分歧时间标准变动周期所对应的能量密度在时间域中分布的反映，系数模值愈年夜，标明其所对应时段或标准的周期性就愈强.从图13可以看出，在流域径流演化过程中，18~32年时间标准模值最年夜，说明该时间标准周期变动最明显，18~22年时间标准的周期变动次之，其他时间标准的周期性变动较小；小波系数的模方相当于小波能量谱，它可以分析出分歧周期的震荡能量.由图14知，25~32年时间标准的能量最强、周期最显著，但它的周期变动具有局部性（1980s前）；10~15年时间标准能量虽然较弱，但周期分布比力明显，几乎占据整个研究时域(1974~2004年).6. 绘制小波方差图在图7的“fangcha”上右击，选择“Graph”，在下拉菜单中选择“plot”，即出小波方差图，见图15，在Matlab中可继续美化.也可双击“fangcha”，将数据复制到其他软件（如Excel）中，以小波方差为纵坐标，时间标准a为横坐标，绘制小波方差，如图16.(d)02040608010012014005101520253035时间尺度/a小波方差图15 Matlab 绘制的小波方差图图16 小波方差图小波方差图能反映径流时间序列的摆荡能量随标准a 的分布情况.可用来确定径流演化过程中存在的主周期.流域径流的小波方差图中（图15）存在4个较为明显的峰值，它们依次对应着28年、14年、8年和4年的时间标准.其中，最年夜峰值对应着28年的时间标准，说明28年左右的周期震荡最强，为流域年径流变动的第一主周期；14年时间标准对应着第二峰值，为径流变动的第二主周期，第三、第三峰值分别对应着8年和4年的时间标准，它们依次为流域径流的第三和第四主周期.这说明上述4个周期的摆荡控制着流域径流在整个时间域内的变动特征.根据小波方差检验的结果，我们绘制出了控制流域径流演变的第一和第二主周期小波系数图（图17）.从主周期趋势图中我们可以分析出在分歧的时间标准下，流域径流存在的平均周期及丰-枯变动特征.图16a 显示，在14年特征时间标准上，流域径流变动的平均周期为9.5年左右，年夜约经历了4个丰-枯转换期；而在28年特征时间标准上（图16b ），流域的平均变动周期为20年左右，年夜约2个周期的丰-枯变动.图17年夜沽夹河流域年径流变动的13年和28年特征时间标准小波实部过程线参考文献王文圣，丁晶，李耀清. 2005. 水文小波分析[M]. 北京：化学工业出书社曹素华等. 1998. 实用医学多因素统计方法[M]. 上海：上海医科年夜学出书社方开泰. 1989. 实用多元统计分析[M]. 上海：华东师范年夜学出书社何清波，苏炳华，钱亢. 2002. 医学统计学及其软件包[M]. 上海：上海科学技术文献出书社胡秉民. 1987. 微电脑在农业科学中的应用[M]. 北京：科学出书社孙尚拱. 1990.. 实用多元变量统计方法与计算法式[M]. 北京：北京医科年夜学、中国协和医科年夜学联合出书社唐守正. 1986. 多元统计分析方法[M].北京：中国林业出书社王学仁. 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