2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷(附答案解析)
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．－1，0，π ）A ．－1B ．0C ．πD 2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000km ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（ ）A ．82.910⨯B ．92.910⨯C ．82910⨯D ．100.2910⨯ 3．若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）A ．－5B ．5C ．1D ．－14．函数y =x 的取值范围乃是（ ） A ．0x ≤ B ．0x ≠ C ．0x ≥ D ．12x ≥ 5．已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的乃是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量乃是（ ）A ．平均分B ．方差C ．中位数D ．极差8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ） A ．1：1 B ．1：3 C ．1：6 D ．1：99．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不．相似，则m n +的值为（ ）A．105+B ．15 C ．10D ．15+10．如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合．设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ，则当52y =时，x 的值为（ ）A ．74或2+B 2C ．22±D ．7411．点(2，3)关于y 轴对称的点的坐标为_____．12．分解因式：34a a -=______．13．一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm ．14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD ∠=︒，则COB ∠=_________．15．两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为_________．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．17．已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．18．如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别乃是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为_________．19．计算：1015(1)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭20．先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中x21．解方程：24111x x x -=-- 22．如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ．从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m ， 1.414≈ 1.732≈）23．为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a ，b 满足关系式23a b =．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量;（2）求a ，b 的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约乃是多少人？（注：该年级共1000名学生） 24．如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN ．（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；（2）若4=AD ，2AB =，且MN AC ⊥，求DM 的长25．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．如图，反比例函数k y x=与一次函数(1)y x k =--+的图象在第二象限的交点为A ，在第四象限的交点为C ，直线AO （O 为坐标原点）与函数k y x=的图象交于另一点B ．过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两直线相交于点E ，AEB △的面积为6．（1）求反比例函数k y x=上的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC △的面积．27．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N ．（1）求证：MN 乃是O 的切线；（2）求证：()2DN BN BN AC =⋅+； （3）若6BC =，3cos 5C =，求DN 的长． 28．如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（B 在A 的右侧），且经过点()17C -,和点D ()5,7．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F ．连接CA ，CE ，CD ，CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7．点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t ．当t 为何值时，PFB △的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n ≤≤时，y 的取值范围乃是1216y ≤≤，求m n -的取值范围．（直接写出结果即可）参阅答案1．C【解析】【分析】利用正数大于0, 0大于负数，从而可得答案．【详解】解：由正数大于0, 0大于负数，1∴-＜0,π所以：最大的数乃是.π故选.C【点睛】本题考查的乃是实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法乃是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据科学记数法的表示计算即可；【详解】92 900 000 000=2.910⨯，故答案选B ．【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确书写乃是做题的关键．3．A【解析】【分析】根据绝对值和平方的非负性可求出x ，y 的值，代入计算即可；【详解】∵2|2|(3)0x y ++-=，∴20x +=，30y -=，∴2x =-，3y =，∴235-=--=-x y ．故答案选A ．【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，准确计算乃是解题的关键．4．C【解析】【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案．【详解】解：由题意得：20,x ≥0,x ∴≥故选：.C【点睛】本题考查的乃是函数自变量的取值范围，同时考查二次根式有意义的条件，掌握以上知识乃是解题的关键．5．B【解析】【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．【详解】解： 观察图像①可得120,0k k >>，所以120k k >，①符合题意；观察图像②可得120,0k k <>，所以120k k <，②不符合题意；观察图像③可得120,0k k ><，所以120k k <，③不符合题意；观察图像④可得120,0k k <<，所以120k k >，④符合题意；综上，其中符合120k k ⋅>的乃是①④，故答案为：B ．【点睛】本题考查的乃是正比例函数和反比例函数的图像，当k＞0时，正比例函数和反比例函数经过一、三象限，当k＜0时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限．6．B【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，先判断中间四个面的情况，根据这一特性可得到答案．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以：1,6乃是相对面，3,4乃是相对面，所以：5,2乃是相对面．故选B．【点睛】本题主要考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解读回答问题．7．C【解析】【分析】根据中位数的定义即可得．【详解】将该歌手的分数按从小到大进行排序为9.0，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7，9.9则去掉前其中位数为9.5分去掉一个最高分和一个最低分，该歌手的分数为9.3，9.4，9.5，9.6，9.7则去掉后其中位数为9.5分因此，去掉前与去掉后没有改变的一个统计量乃是中位数故选：C．【点睛】本题考查了中位数的定义，熟记定义乃是解题关键．8．D【解析】【分析】 根据1,,3V S h V S h ==圆锥底面积圆柱底面积高高结合已知条件可得答案． 【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为,r 圆锥的高为h ，则圆柱的高为3h ， 2221,33,3V r h V r h r h πππ∴==⨯=圆锥圆柱 22113.39r h V V r h ππ∴=圆锥圆柱＝ 故选D ．【点睛】本题考查的乃是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识乃是解题的关键． 9．A【解析】【分析】判断未知边m 、n 乃是直角三角形的直角边还乃是斜边，再根据勾股定理计算出m 、n 的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．【详解】解：在第一个直接三角形中，若m乃是直角边，则m == 若m乃是斜边，则5m =；在第二个直接三角形中，若n乃是直角边，则n == 若n乃是斜边，则10n ==；又因为两个直角三角形不相似，故m =5和n =10不能同时取，即当m =5，n =5m n +=+当m =，n =10，10m n +=故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边乃是直角边还乃是斜边进行不同情况的讨论乃是解题的关键．10．A【解析】【分析】本题应该分类讨论，从以下三个情况进行讨论，分别乃是：①当x<1时，重叠部分为直角三角形的面积，将其三角形面积用x 表示，但乃是求出，与x<1相违背，要舍去；②当1<x<2时，除去重叠部分，剩下的图形为两个直角梯形的面积，将剩余的直角梯形ANHP 用x 表示，求出x 即可；③当x>2时，重叠部分为一个多边形，能够从剩余部分IHK JGL PQFE 3S S S =2++△△矩形的角度进行求解，分别将矩形PQFE 、IHK △、JGL △的面积用x 表示，求出x 即可，将x 求出后，应该与前提条件假设的x 的范围进行比较，判断x 的值．【详解】解：∵在边长为2的正方形EFGH 中，如图所示，当A 运动到MN 的中点时，点E 、F 恰好与AB 、AC 的中点重合，即AM=EM=FM=1，且MN ⊥EF ，∴AME 和AMF 均为等腰直角三角形，可得：ABC 也乃是等腰直角三角形，其中AB=AC=BC=4，设A 到EF 的距离AM=x ，①当x<1时，此时图形的位置如下图所示，AB 与EF 交于P 点，AC 与EF 交于Q 点，∵AM=x ，且△APQ 为等腰直角三角形，∴2APQ 15S =2x x=x =22⋅⋅△，解得：x<1相违背，故不存在该情况；②当1<x<2时，此时图形的位置如下图所示，AB 与EH 交于P 点，AC 与GF 交于Q 点，∵公共部分面积为52，正方形剩余部分32，∴ANHP 133S ==224⨯四边形，四边形ANHP 乃是直角梯形，当AM=x ，则AN=2-x ，PE=x-1，HP=3-x ，NH=1， ∴ANHP (AN HP)NH 52x 3S ===224+⋅-四边形，解得：7x=4； ③当x>2时，此时图形的位置如下图所示，AB 与EH 交于K 点，AB 与HG 交于I 点，AC 与FG 交于L 点，AC 与HG 交于J 点，BC 与EH 交于P 点，BC 与GF 交于Q 点，∵公共部分面积为52，∴IJLQPK 5S =2多边形，IHK JGL PQFE 3S S S =2++△△矩形且22IHK JGL PQFE 113S S S =2(x-2)+(3-x)(3-x)222++⨯⋅+⋅=△△矩形，解得：x=22+或x=2-2（舍），所以，满足条件的AM 的值为7x=4或x=22+， 故选：A ．【点睛】本题审查了移动图形间的重叠问题，需要进行分类讨论，必须要把x 的移动范围进行分类，根据不同的x 取值，画出不同重叠的图形，并将重叠部分的面积用x 进行表示，解题的关键在于利用剩余部分的面积进行倒推求解．11．(﹣2，3)【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于y 轴的对称点的坐标乃是（-x ，y ），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．【详解】点（2，3）关于y 轴对称的点的坐标乃是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特性：关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．12．()()22a a a +-【解析】【分析】提出公因式a 后，括号内的两项都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【详解】解：324(4)(2)(2)a a a a a a a -=-=+-．【点睛】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构乃是解题的关键．13．8【解析】【分析】根据三角形中位线定理、三角形的周长公式即可得．【详解】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半 则三角形的三条中位线构成的三角形的周长等于这个三角形周长的一半，即1168()2cm ⨯= 故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形中位线定理等知识点，熟记三角形中位线定理乃是解题关键．14．72.︒【解析】【分析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD ，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC ．【详解】 解： ∠AOB=∠COD=90°， ∴ ∠AOC=∠BOD ， 又∠AOD=108°，∴ ∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，∴ ∠BOC=90°-18°=72°．故答案为：72︒．【点睛】本题考查的乃是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识乃是解题的关键．15．59【解析】【分析】画出树状图进行求解即可；【详解】由题可得到树状图如下图所示：∴59P =． 故答案为59． 【点睛】本题主要考查了利用树状图求概率，准确画图乃是解题的关键．16．440【解析】【分析】先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：（1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次乃是0,1,2,3,即第1个图需要黑色棋子的个数为330+⨯第2个图需要黑色棋子的个数为441+⨯第3个图需要黑色棋子的个数为552+⨯第4个图需要黑色棋子的个数为663+⨯归纳类推得：第n 个图需要黑色棋子的个数为(2)(2)(1)(2)n n n n n +++-=+，其中n 为正整数则第20个图需要黑色棋子的个数为20(202)440⨯+=故答案为：440．【点睛】本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律乃是解题关键． 17．①③【解析】【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵一元二次方程220x x a --=，∴2(2)41()44a a ∆=--⨯⨯-=+；∴当440a +>，即1a >-时，方程有两个不相等的实根；故①正确；当12440•0a x x a +>⎧⎨=->⎩，解得：10a -<<吗，方程有两个同号的实数根，则当0a >时，方程可能有两个异号的实根；故②错误； 抛物线的对称轴为：212x -=-=，则当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；由3a >，则223a x x =->，解得：3x >或1x <-；故④错误；∴正确的结论有①③；故答案为：①③．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键乃是掌握所学的知识进行解题．18．3【解析】【分析】如图，作过A 、B 、F 作⊙O,AFB 为点F 的轨迹，然后计算出,AFB 的长度即可．【详解】解：如图：作过A、B、F作⊙O,过O作OG⊥AB ∵等边ABC∆∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°∵BD CE=∴△BCE≌△ABC∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB乃是弦AB同侧的圆周角∴∠AOB=120°∵OG⊥AB,OA=OB∴∠BOG=∠AOG=12∠AOB=60°,BG=12AB=32∴∠OBG=30°设OB=x，则OG=12x∴222322xx⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得∴AFB的长度为120233603π⨯=．．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F的轨迹乃是解读回答本题的关键．19．7．【解析】【分析】先计算绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂，再计算有理数的加减法即可得．【详解】原式513=-+43=+7=．【点睛】本题考查了绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点， 熟记各运算法则乃是解题关键．20．221x -，5．【解析】【分析】先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x 的值代入求值即可．【详解】原式225544x x x x x =-+-+-+221x =-将x =2212315=⨯=⨯-=-．【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则乃是解题关键．21．3【解析】【分析】去分母化成整式方程，求出x 后需要验证，才能得出结果；【详解】24111x x x -=--， 去分母得：214x x -+=，解得：3x =．检验：把3x =代入1x -中，得-=-=≠13120x ，∴3x =乃是分式方程的根．【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算乃是解题的关键．22．两建筑物顶点A 、C 之间的距离为35米．【解析】【分析】如图（见解析），先根据俯角的定义得出45AMB EAM ∠=∠=︒，75FCM ∠=︒，30CAE ∠=︒，////CF AE BD ，再根据平行线的性质、角的和差可得60AMN ∠=︒，45ACN ∠=︒，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得AM =又在Rt AMN △中，解直角三角形可得AN =【详解】如图，过点A 作AN CM ⊥于点N由题意得：45AMB EAM ∠=∠=︒，75FCM ∠=︒，30CAE ∠=︒，////CF AE BD 180105BMC FCM ∴∠=︒-∠=︒，60AMN BMC AMB ∠=∠-∠=︒30ACF CAE ∠=∠=︒，45ACN FCM ACF ∠=∠-∠=︒90,45B AMB ∠=︒∠=︒，20AB =米Rt ABM ∴乃是等腰直角三角形AM ∴==在Rt AMN △中，sin AN AMNAM ∠=sin 60=︒=解得AN =在Rt ACN 中，45ACN ∠=︒Rt ACN ∴乃是等腰直角三角形20 1.73234.6435AC ∴=≈⨯=≈（米）答：两建筑物顶点A 、C 之间的距离为35米．【点睛】本题考查了俯角的定义、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的实际应用等知识点，经过作辅助线，构造直角三角形乃是解题关键．23．（1）总体乃是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量乃是40；（2）a=12，b=8；（3）该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约乃是200人．【解析】【分析】（1）根据总体和样本容量的定义即可求解；（2）根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，再根据23a b =可求得a 和b 的值；（3）先计算出40名学生中一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）的人所占的比例，再乘以1000即可求解．【详解】解：（1）总体乃是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量乃是40（2）设23a b m ==，则,23m m a b ==， 根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，即a+b=20，2023m m +=，解得24m =， ∴a=12，b=8；（3）8100020040⨯=（人），答：该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约乃是200人．【点睛】本题考查抽样调查、读频数分布直方图的本领、利用统计图获取信息的本领和由样本估计整体；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．24．（1）证明见解析；（2）32【解析】【分析】（1）经过证明△AOM 和△CON 全等，能够得到=AM NC ，又因为//AM NC ，所以能够证明四边形ANCM 为平行四边形；（2）根据MN AC ⊥，从而能够证明平行四边形ANCM 乃是菱形，得到AM AN NC ==，再使用勾股定理计算出BN 的长度，从而能够得到DM 的长度．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 乃是矩形∴//AD BC ，//AM NC∴AMN MNC MAC ACN ∠=∠∠=∠，在△AOM 和△CON 中 AMN MNC MAC ACN AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOM ≌△CON∴=AM NC又∵//AM NC∴四边形ANCM 为平行四边形．（2）∵四边形ANCM 为平行四边形∵MN AC ⊥∴平行四边形ANCM 乃是菱形∴AM AN NC ==∵4AD BC ==设BN 的长度为x在Rt △ABN 中，2AB =，4AN x =-222AB BN AN +=2222(4)x x +=-32x = 52AN AM ==∴32DM =【点睛】 （1）本题主要考查了如何证明平行四边形，明确一组对边平行且相等的四边形乃是平行四边形乃是解题的关键；（2）本题主要考查了菱形的证明以及勾股定理的应用，知晓对角线互相垂直的平行四边形乃是菱形乃是解题的关键．25．（1）购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元；（2）至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．【解析】【分析】（1）设购买一个甲种笔记本x 元，一个乙种笔记本y 元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设需要购买a 个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w ，先求出调价之后甲、乙两种笔记本的单价，再列出不等式求解，再列出函数关系式表示出购买两种笔记本总费用的最大值，代入a 的值求解即可．【详解】解：（1）设购买一个甲种笔记本x 元，一个乙种笔记本y 元，由题意得：51520250x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得：105x y =⎧⎨=⎩， 答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．（2）设需要购买a 个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w ，调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），8a+4（35-a ）≤250×90%， 解得：854a ≤， 至多需要购买21个甲种笔记本，()84354140w a a a =+-=+，当a=21时，w=224，答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元．【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键乃是根据题意列出方程组或不等式，求解即可．26．（1）3y x =-；（2）()()1,3,3,1,A C --AOC △的面积为4. 【解析】【分析】（1）联立k y x =与(1)y x k =--+求解,A C 的坐标，利用k y x=得到,A B 关于原点成中心对称，求解B 的坐标，结合已知得到E 的坐标，利用面积列方程求解即可得到答案； （2）由（1）得到k 的值，得到,A C 的坐标，AC 的解析式，记AC 与y 轴的交点为,D 求解D 的坐标，利用AOC AOD DOC SS S =+可得答案．【详解】 解：（1）由题意得：()1k y x y x k ⎧=⎪⎨⎪=--+⎩()1,k x k x∴=--+ ()210,x k x k ∴+++=()()10,x k x ∴++=12,1,x k x =-=-当11,1,x k y =-=-当221,,x y k =-=-经检验：符合题意． k ＜0,()()1,,,1,A k C k ∴----,A B 为OA 与k yx=的交点， ()1,,B k ∴//AE y 轴，//BE x 轴，()1,,E k ∴-()2,112,AE k k k BE ∴=--=-=--= AEB 的面积为6．16,2AE BE ∴•= ()1226,2k ∴⨯⨯-= 3,k ∴=-∴ 反比例函数为：3.y x=- （2）()()1,,,1,A k C k ----3,k =-()()1,3,3,1,A C ∴-- 直线AC 为2y x =-+，记AC 与x 轴的交点为D ，令0,y = 则20,x -+=2,x ∴=()2,0,D ∴AOC AOD DOC S S S ∴=+112321 4.22=⨯⨯+⨯⨯=【点睛】本题考查的乃是一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与一次函数的性质，考查了方程组与一元二次方程的解法，图形与坐标，图形面积问题，掌握以上知识乃是解题的关键．27．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）607 DN【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和圆的相关性质证得OD为△ABC的中位线，即可求证；（2）根据题中条件证明△BND∽△DNA，再根据AB=AC，进行等量代换即可证明；（3）先根据等腰三角形的性质、解直角三角形和勾股定理求出AB、BD、AD的长度，再利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）如图，连接OD，∵AB为O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴BD=CD，点D为BC的中点，又∵AO=BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DM AC ⊥，∴OD ⊥MN ，故MN 乃是O 的切线．（2）∵∠ADB=90°，∠1+∠3=90°，∵DM AC ⊥，∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°，∴∠2=∠5，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠4=∠5，∵∠1=∠2，∴∠1=∠4，∵∠N=∠N ，∴△BND ∽△DNA ， ∴BN DN DN AN=， ∵AB=AC ， ∴BN DN DN DN BN AB BN AC==++， ∴()2DN BN BN AC =⋅+（3）∵6BC =，∴BD=CD=3，∵3cos 5C =， ∴AC=5cos CD C=， ∴AB=5，由勾股定理可得AD=4，,由（2）可得，△BND ∽△DNA ， ∴34BN DN BD DN AN AD === ∴34BD DN =， ∵34DN AN =， ∴34DN AB BN =+，即33454DN DN =+， 解得：607DN =． 【点睛】本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键乃是熟练掌握相关性质和判定并灵活应用．28．（1）2412y x x =-++；（2）所以：当72t =时， PFB △的最大面积1258=；（3）42m n -≤-≤-．【解析】【分析】（1）把()17C -,和点D ()5,7代入：212y ax bx =++，从而可得答案； （2）过D 作DQ x ⊥轴于,Q 过E 作EH x ⊥于H ，则//,DQ EH 利用CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7，求解E 的坐标，再求解BE 的解析式及F 的坐标，设()2,412,P t t t -++过P 作PG x ⊥轴于G ，交BF 于,M 建立PFB △的面积与t 的函数关系式，利用函数的性质求最大面积，从而可得答案；（3）记抛物线与y 轴的交点为,N 过N 作//NK x 轴交抛物线于K ，先求解,N K 的坐标，可得当1216y ≤≤时，有04,x ≤≤ 结合已知条件可得答案．【详解】解：（1）把()17C -,和点()5,7代入：212y ax bx =++， 127255127a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩ 解得：1,4a b =-⎧⎨=⎩所以：抛物线为：2412y x x =-++，（2）2412y x x =-++,令0,y = 则24120,x x -++=解得：122,6,x x =-=()()2,0,6,0,A B ∴-过D 作DQ x ⊥轴于,Q 过E 作EH x ⊥于H ，则//,DQ EH ()5,7,D7,QA QD ∴== 45,DAQ ∠=︒CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7，1,7DE DA ∴= //,DQ EH1,7DE HQ DA AQ ∴== 1,6,HQ AH ∴==4,OH ∴=45,DAQ ∠=︒6,EH AH ∴==()4,6,E ∴设BE 为：,y kx b =+4660k b k b +=⎧∴⎨+=⎩解得：3,18k b =-⎧⎨=⎩ BE ∴为：318,y x =-+2318,412y x y x x =-+⎧∴⎨=-++⎩ 解得：121216,,150x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ ()1,15,F ∴过P 作PG x ⊥轴于G ，交BF 于,M设()2,412,P t t t -++则(),318,M t t -+ ()2241231876,PM t t t t t ∴=-++--+=-+-()15,22BPF B F S PM x x PM =•-= 当PM 最大，则PFB △的面积最大， 所以：当()772212b t a =-=-=⨯-时，4949256,424PM =-+-=最大 所以PFB △的最大面积＝525125.248⨯=（3）2412,y x x =-++令0,12,x y ==记抛物线与y 轴的交点为,N 过N 作//NK x 轴交抛物线于K ， ()0,12,N ∴令12,y = 则241212,x x -++=解得：120,4,x x ==()4,12,K ∴()22412216,y x x x =-++=--+ ∴抛物线的顶点()2,16,当1216y ≤≤时，04,x ∴≤≤当m x n ≤≤时，y 的取值范围乃是1216y ≤≤，02,24,m n ∴≤≤≤≤42,m n ∴-≤-≤-【点睛】本题考查的乃是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，考查了平行线分线段成比例，等腰直角三角形的性质，同时考查了二次函数的增减性，函数交点坐标的求解，乃是典型的压轴题，掌握以上相关的知识乃是解题的关键．答案第25页，总25页。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷(有详细解析)
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在−1，0，π，√3这四个数中，最大的数是()A. −1B. 0C. πD. √32.天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为()A. 2.9×108B. 2.9×109C. 29×108D. 0.29×10103.若|x+2|+(y−3)2=0，则x−y的值为()A. −5B. 5C. 1D. −14.函数y=√2x中，自变量x的取值范围是()A. x≤0B. x≠0C. x≥0D. x≥25.已知正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2，在同一直角坐标系下的图象如图所示，x其中符合k1⋅k2>0的是()A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④6.将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为()A. 1B. 2C. 3D. 47.在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0(单位：分).若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是()A. 平均分B. 方差C. 中位数D. 极差8.底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为()A. 1：1B. 1：3C. 1：6D. 1：99.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为()A. 10+√7或5+2√7B. 15C. 10+√7D. 15+3√710.如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y.则当y=5时，x的值2为()A. 74或2+√22 B. √102或2−√22 C. 2±√22D. 74或√102二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11. 点P(2,3)关于y 轴的对称点Q 的坐标为______． 12. 分解因式：a 3−4a =______．13. 一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为______cm ． 14. 将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD =108°，则∠COB =______．15. 两个人做游戏：每个人都从−1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为______．16. 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为______．17. 已知关于x 的一元二次方程：x 2−2x −a =0，有下列结论：①当a >−1时，方程有两个不相等的实根； ②当a >0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a >−1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a >3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为______．18. 如图，等边△ABC 中，AB =3，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD =CE ，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为______．三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）19. 先化简，再求值：(x +5)(x −1)+(x −2)2，其中x =√3．四、解答题（本大题共9小题，共92.0分）20.计算：|−5|−(1−π)0+(13)−1．21.解方程：2xx−1−1=4x−1．22.如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°.若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离(结果精确到1m，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)．23.为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数(次数为整数，且最高次数不超过150次)，整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a=3b.后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件，回答下列问题．(1)求问题中的总体和样本容量；(2)求a，b的值(请写出必要的计算过程)；(3)如果一分钟跳绳次数在125次以上(不含125次)为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？(注：该年级共1000名学生)24.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．(1)求证：四边形ANCM为平行四边形；(2)若AD=4，AB=2，且MN⊥AC，求DM的长．25.期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？(2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26.如图，反比例函数y=k与一次函数y=−x−(k+1)的图象在第二象限的交点为A，x在第四象限的交点为C，直线AO(O为坐标原点)与函数y=k的图象交于另一点B.过x点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．(1)求反比例函数y=k的表达式；x(2)求点A，C的坐标和△AOC的面积．27.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．(1)求证：MN是⊙O的切线；(2)求证：DN2=BN⋅(BN+AC)；(3)若BC=6，cosC=3，求DN的长．528.如图，抛物线y=ax2+bx+12与x轴交于A，B两点(B在A的右侧)，且经过点C(−1,7)和点D(5,7)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F.连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t.当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；(3)在抛物线y=ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m−n的取值范围．(直接写出结果即可)答案和解析1.C解：根据实数比较大小的方法，可得−1<0<√3<π，∴在这四个数中，最大的数是π．2.B解：2900000000用科学记数法表示为2.9×109，3.A解：∵|x+2|+(y−3)2=0，∴x+2=0，y−3=0，解得：x=−2，y=3，故x−y=−2−3=−5．4.C解：根据题意可得：2x≥0，解得：x≥0，5.B解：①中k1>0，k2>0，故k1⋅k2>0，故①符合题意；②中k1<0，k2>0，故k1⋅k2<0，故②不符合题意；③中k1>0，k2<0，故k1⋅k2<0，故③不符合题意；④中k1<0，k2<0，故k1⋅k2>0，故④符合题意；6.B解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“1”与“6”是相对面，“5”与“2”是相对面，“3”与“4”是相对面．7.C解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，因此中位数不变，8.D解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，所以圆锥与圆柱的体积的比=(13×πr2×ℎ)：(πr2×3ℎ)=1：9．9.A解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当3，4为直角边，m=5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：2−62=2√7，故m+n=5+2√7；当6，8为直角边，n=10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：√42−32=√7，故m+n=10+√7；10.A解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH 于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ=OE=OG=AP=OF，S△OEF=1，∵y=52，∴S四边形AOEQ +S四边形AOFP=1.5，∴OA⋅2=1.5，∴OA=34，∴AM=1+34=74．如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT ，S 重叠=S △ABC −2S △BQR −S △AWT ， ∴2.5=12×2√2×2√2−1−12×2AN ×AN ，解得AN =√22，∴AM =2+√22， 综上所述，满足条件的AM 的值为74或2+√22，11. (−2,3)解：点P(2,3)关于y 轴的对称点Q 的坐标为(−2,3)． 故答案为：(−2,3)．12. a(a +2)(a −2)解：原式=a(a 2−4) =a(a +2)(a −2)． 13. 8解：如图，∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点 ∴DE =12BC ． 同理可得：DF =12AC ，EF =12AB ，∴DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×16=8(cm)． 则三条中位线构成的三角形的周长为8cm ．14.72°解：∵∠COD=90°，∠AOB=90°，∠AOD=108°，∴∠AOC=∠AOD−∠COD=108°−90°=18°，∴∠COB=∠AOB−∠AOC=90°−18°=72°．15.59解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为5，所以两人所写整数的绝对值相等的概率=5．916.440解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：3=1×3；第2个图需要黑色棋子的个数为：8=2×4；第3个图需要黑色棋子的个数为：15=3×5；第4个图需要黑色棋子的个数为：24=4×6；…发现规律：第n个图需要黑色棋子的个数为：n(n+2)；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20(20+2)=440．17.①③④解：∵x2−2x−a=0，∴△=4+4a，∴①当a>−1时，△>0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a>0时，两根之积<0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x=2±√4+4a=1±√1+a，2∵a>−1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．则有32−6−a<0，∴a>3，故④正确，18.2√3π3．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°，∴在△ABD和△BCE中，{AB=AC∠ABC=∠BCE BD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD=∠CBE，∵∠AFE=∠BAD+∠FBA=∠CBE+∠FBA=∠ABC=60°，∴∠AFB=120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧上运动，如图，此时∠AOB=120°，OA=AHcos30∘=√3，所以弧AB的长为：120π×√3180=2√3π3．则点F的运动路径的长度为2√3π3．19.解：原式=x2+4x−5+x2−4x+4=2x2−1，当x=√3时，原式=2(√3)2−1=5．20.解：|−5|−(1−π)0+(13)−1=5−1+3=7．21.解：方程的两边同乘x−1，得：2x−x+1=4，解这个方程，得：x=3，经检验，x=3是原方程的解，∴原方程的解是x=3．22.解：∵AB⊥BD，∠BAM=45°，∴∠AMB=45°，∴AB=BM=20，∴在Rt△ABM中，AM=20√2，作AE⊥MC于E，由题意得∠ACM=45°，∠CAM=75°，∴∠AMC=60°，∴在Rt△AME中，AM=20√2，∵sin∠AME=AEAM，∴AE=sin60°⋅20√2=√32×20√2=10√6，在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=45°，AE=10√6，∴sin∠ACE=AEAC，∴AC=AEsin45∘=√6√22=20√3≈35(米)，答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．23.解：(1)1000名学生一分钟的跳绳次数是总体，40名学生的一分钟跳绳次数是样本容量；(2)由题意所给数据可知：50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，∴a+b=40−4−16=20，∵2a=3b，∴解得a=12，b=8，(3)1000×840=200(人)，答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．24.解：(1)证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD//BC，AO=CO，∴∠OAM=∠OCN，∠OMA=∠ONC，在△AOM和△CON中，{∠OAM=∠OCN ∠AMO=∠CNO AO=CO，∴△AOM≌△CON(AAS)，∴AM=CN，∵AM//CN，∴四边形ANCM为平行四边形；(2)∵在矩形ABCD中，AD=BC，由(1)知：AM=CN，∴DM=BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM=AN=NC=AD−DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得∴(4−DM)2=22+DM 2，解得DM =32． 25. 解：(1)设购买一个甲种笔记本需要x 元，购买一个乙种笔记本需要y 元，依题意，得：{15x +20y =250x −y =5， 解得：{x =10y =5． 答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元．(2)设购买m 个甲种笔记本，则购买(35−m)个乙种笔记本，依题意，得：(10−2)m +5×0.8(35−m)≤250×90%，解得：m ≤2114，又∵m 为正整数，∴m 可取的最大值为21．设购买两种笔记本总费用为w 元，则w =(10−2)m +5×0.8(35−m)=4m +140， ∵k =4>0，∴w 随m 的增大而增大，∴当m =21时，w 取得最大值，最大值=4×21+140=224．答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．26. 解：(1)由题意得，点A 与点B 关于原点对称，即OA =OB ，∴S △AOMS △ABE =(OA AB )2=14， 又△AEB 的面积为6，∴S △AOM =14S △ABE =14×6=32=12|k|，∴k =−3，k =3(舍去)，∴反比例函数的关系式为y =−3x ；(2)由k =−3可得一次函数y =−x +2，由题意得，{y =−x +2y =−3x ，解得，{x 1=3y 1=−1，{x 2=−1y 2=3， 又A 在第二象限，点C 在第四象限，∴点A(−1,3)，点C(3,−1)，(2)一次函数y =−x +2与y 轴的交点N 的坐标为(0,2)，∴S △AOC =S △CON +S △AON =12×2×(1+3)=4．27. 证明：(1)如图，连接OD ，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，∵AO=BO，BD=CD，∴OD//AC，∵DM⊥AC，∴OD⊥MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；(2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABC+∠BAD=90°，∠ACB+∠CDM=90°，∴∠BAD=∠CDM，∵∠BDN=∠CDM，∴∠BAD=∠BDN，又∵∠N=∠N，∴△BDN∽△DAN，∴BNDN =DNAN，∴DN2=BN⋅AN=BN⋅(BN+AB)=BN⋅(BN+AC)；(3)∵BC=6，BD=CD，∴BD=CD=3，∵cosC=35=CDAC，∴AC=5，∴AB=5，∴AD=√AB2−BD2=√25−9=4，∵△BDN∽△DAN，∴BNDN =DNAN=BDAD=34，∴BN=34DN，DN=34AN，∴BN=34(34AN)=916AN，∵BN+AB=AN，∴916AN +5=AN ∴AN =807， ∴DN =34AN =607．28. 解：(1)把C(−1,7)，D(5,7)代入y =ax 2+bx +12，可得{a −b +12=725a +5b +12=7， 解得{a =−1b =4， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +12．(2)如图1中，过点E 作EM ⊥AB 于M ，过点D 作DN ⊥AB 于N ．对于抛物线y =−x 2+4x +12，令y =0，得到，x 2−4x −12=0，解得x =−2或6， ∴A(−2,0)，B(6,0)，∵D(5,7)，∴OA =2，DN =7，ON =5，AN =7∵△CED 的面积与△CAD 的面积之比为1：7，∴DE ：AD =1：7，∴AE ：AD =6：7，∵EM//DN ，∵EN DN =AM AN =AE AD =67， ∴EM7=AM 7=67， ∴AM =EM =6，∴E(4,6)，∴直线BE 的解析式为y =−3x +18，由{y =−3x +18y =−x 2+4x +12，解得{x =6y =0或{x =1y =15， ∴F(1,15)，过点P 作PQ//y 轴交BF 于Q ，设P(t,−t 2+4t +12_)则Q(t,−3t +18)，∴PQ =−t 2+4t +12−(−3t +18)=−t 2+7t −6，∵S △PBF =12⋅(−t 2+7t −6)⋅5=−52(t −72)2+1258，∵−52<0，∴t =72时，△BFP 的面积最大，最大值为1258．(3)对于抛物线y =−x 2+4x +12，当y =16时，−x 2+4x +12=16， 解得x 1=x 2=2，当y =12时，−x 2+4x +12=12，解得x =0或4，观察图2可知：当0≤x ≤2或2≤x ≤4时，12≤y ≤16，∴m =0，n =2或m =2，n =4，∴m −n =−2．。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2020年大庆市初中升学统一考试数学试题（考试时间120分钟，总分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）A．﹣1 B．0 C．π D．2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×10103．若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣14．函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1 B．2 C．3 D．47．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：99．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n 的值为（）A．10+或5+2B．15 C．10+D．15+310．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH 的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）11．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为．12．分解因式：a3﹣4a＝．13．一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝．15．两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为．17．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．18．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．三、解答题（本大题共10小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．20．（4分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．21．（5分）解方程：﹣1＝．22．（6分）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A 作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．27．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D 作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cosC＝，求DN的长．28．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．（直接写出结果即可）答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）A．﹣1 B．0 C．π D．【知识考点】算术平方根；实数大小比较．【思路分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解题过程】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜＜π，∴在这四个数中，最大的数是π．故选：C．【总结归纳】此题考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×1010【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解题过程】解：2900000000用科学记数法表示为2.9×109，故选：B．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣1【知识考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【思路分析】利用非负数的性质得出x，y的值，代入计算得出答案．【解题过程】解：∵|x+2|+（y﹣3）2＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，解得：x＝﹣2，y＝3，故x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题的关键．4．函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解题过程】解：根据题意可得：2x≥0，解得：x≥0，故选：C．【总结归纳】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【知识考点】正比例函数的性质；反比例函数的性质．【思路分析】根据各个小题中的函数图象，可以得到k1和k2的正负情况，从而可以判断k1•k2的正负情况，从而可以解答本题．【解题过程】解：①中k1＞0，k2＞0，故k1•k2＞0，故①符合题意；②中k1＜0，k2＞0，故k1•k2＜0，故②不符合题意；③中k1＞0，k2＜0，故k1•k2＜0，故③不符合题意；④中k1＜0，k2＜0，故k1•k2＞0，故④符合题意；故选：B．【总结归纳】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】正方体相对两个面上的文字．【思路分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解题过程】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“1”与“6”是相对面，“5”与“2”是相对面，“3”与“4”是相对面．故选：B．【总结归纳】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差【知识考点】算术平均数；中位数；极差；方差；统计量的选择．【思路分析】根据中位数的实际意义，通过比较去掉最高分和最低分前后的数据变化进行判断即可．【解题过程】解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，因此中位数不变，故选：C．【总结归纳】本题考查中位数、众数、平均数、极差的意义，理解各个概念的意义和计算方法是正确判断的前提．8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，然后利用圆锥和圆柱的体积公式计算．【解题过程】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，所以圆锥与圆柱的体积的比＝（×πr2×h）：（πr2×3h）＝1：9．故选：D．【总结归纳】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱．9．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n 的值为（）A．10+或5+2B．15 C．10+D．15+3【知识考点】勾股定理；相似三角形的性质．【思路分析】直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案．【解题过程】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，故m+n＝5+2；当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，故m+n＝10+；故选：A．【总结归纳】此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．10．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH 的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或【知识考点】三角形的面积；正方形的性质；平移的性质．【思路分析】分两种情形：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．如图2中，当点A在正方形外部时，分别求解即可解决问题．【解题过程】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB 交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，∵y＝，∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，∴OA•2＝1.5，∴OA＝，∴AM＝1+＝．如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2+，综上所述，满足条件的AM的值为或2+，故选：A．【总结归纳】本题考查正方形的性质，平移变换，多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）11．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为．【知识考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【思路分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答．【解题过程】解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【总结归纳】本题考查了关于x轴、y轴的对称点的坐标．解题的关键是掌握关于x轴、y轴的对称点的坐标的特征，关于y轴对称的两个点纵坐标不变，横坐标变成相反数．12．分解因式：a3﹣4a＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解题过程】解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）【总结归纳】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．【知识考点】三角形中位线定理．【思路分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．即可求得结果．【解题过程】解：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE＝BC．同理可得：DF＝AC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝16＝8（cm）．则三条中位线构成的三角形的周长为8cm．故答案为：8．【总结归纳】本题考查了三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝．【知识考点】余角和补角．【思路分析】根据∠COD＝90°，∠AOD＝108°，进而得出∠AOC的度数，根据∠COB＝∠AOB﹣∠AOC即可得出结论．【解题过程】解：∵∠COD＝90°，∠AOB＝90°，∠AOD＝108°，∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝108°﹣90°＝18°，∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣18°＝72°．故答案为：72°．【总结归纳】本题考查了角的计算及直角三角形，熟知角的和差计算方法是解答此题的关键．15．两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出其中两数的绝对值相等的结果数，然后根据概率公式求解．【解题过程】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为5，所以两人所写整数的绝对值相等的概率＝．故答案为．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为．【知识考点】规律型：图形的变化类．【思路分析】观察图形可得前几个图需要黑色棋子的个数，发现规律即可得第20个图需要黑色棋子的个数．【解题过程】解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：3＝1×3；第2个图需要黑色棋子的个数为：8＝2×4；第3个图需要黑色棋子的个数为：15＝3×5；第4个图需要黑色棋子的个数为：24＝4×6；…发现规律：第n个图需要黑色棋子的个数为：n（n+2）；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20（20+2）＝440．故答案为：440．【总结归纳】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．17．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．【知识考点】根的判别式；根与系数的关系．【思路分析】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．【解题过程】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，∴△＝4+4a，∴①当a＞﹣1时，△＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x＝＝1±，∵a＞﹣1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．则有32﹣6﹣a＜0，∴a＞3，故④正确，故答案为3．【总结归纳】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．【知识考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轨迹．【思路分析】根据已知条件证明△ABD≌△BCE，再得∠AFB＝120°，可得点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，此时∠AOB＝120°，OA＝，根据弧长公式即可得点F的运动路径的长度．【解题过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∴在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，如图，此时∠AOB＝120°，OA＝＝，所以弧AB的长为：＝．则点F的运动路径的长度为．故答案为：．【总结归纳】本题考查了轨迹、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．三、解答题（本大题共10小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【思路分析】原式第一项绝对值计算，第二项利用零指数幂的法则计算，第三项利用负指数幂的法则计算，计算即可得到结果．【解题过程】解：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1＝5﹣1+3＝7．【总结归纳】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（4分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．【知识考点】整式的混合运算—化简求值．【思路分析】根据整式的混合运算顺序先进行整式的化简，再代入值进行计算即可．【解题过程】解：原式＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4＝2x2﹣1，当x＝时，原式＝2（）2﹣1＝5．【总结归纳】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值进行计算．21．（5分）解方程：﹣1＝．【知识考点】解分式方程．【思路分析】根据解分式方程的步骤解答即可．【解题过程】解：方程的两边同乘x﹣1，得：2x﹣x+1＝4，解这个方程，得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，∴原方程的解是x＝3．【总结归纳】本题主要考查了解分式方程，会把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．22．（6分）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】在Rt△ABM中，根据等腰直角三角形的性质求得AM，在Rt△AME中，根据正弦函数求得AE，在Rt△AEC中，根据正弦函数求得AC．【解题过程】解：∵AB⊥BD，∠BAM＝45°，∴∠AMB＝45°，∴∠AMB＝∠BAM，∴AB＝BM＝20，∴在Rt△ABM中，AM＝20，作AE⊥MC于E，由题意得∠ACM＝45°，∠CAM＝75°，∴∠AMC＝60°，∴在Rt△AME中，AM＝20，∵sin∠AME＝，∴AE＝sin60°•20＝×20＝10，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝10，∴sin∠ACE＝，∴AC＝＝＝20≈35（米），答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）【知识考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；频数（率）分布直方图．【思路分析】（1）根据总体和样本容量的定义即可得问题中的总体和样本容量；（2）根据表格所给数据先求出50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，再根据a+b＝20，2a＝3b，即可求出a，b的值；（3）利用样本估计总体的方法即可估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人．【解题过程】解：（1）1000名学生一分钟的跳绳次数是总体，样本容量是：40；（2）由题意所给数据可知：50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，∴a+b＝40﹣4﹣16＝20，∵2a＝3b，∴解得a＝12，b＝8，（3）1000×＝200（人），答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．【总结归纳】本题考查了频数分布直方图、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，解决本题的关键是综合运用以上知识．24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．【知识考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质．【思路分析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD∥BC，AO＝CO，可以证明△AOM≌△CON可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形；（2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求DM的长．【解题过程】（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．【总结归纳】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，购买一个乙种笔记本需要y元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，根据总价＝单价×数量结合此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数可得出最多购买甲种笔记本的个数，设购买两种笔记本总费用为w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解题过程】解：（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，购买一个乙种笔记本需要y元，依题意，得：，解得：．答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元．（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，依题意，得：（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）≤250×90%，解得：m≤21，又∵m为正整数，∴m可取的最大值为21．设购买两种笔记本总费用为w元，则w＝（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）＝4m+140，∵k＝4＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝21时，w取得最大值，最大值＝4×21+140＝224．答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．（3分）在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）A．﹣1B．0C．πD．2．（3分）天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×1010 3．（3分）若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5B．5C．1D．﹣14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≤0B．x≠0C．x≥0D．x≥5．（3分）已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④6．（3分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1B．2C．3D．47．（3分）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差8．（3分）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：99．（3分）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（）A．10+或5+2B．15C．10+D．15+310．（3分）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为．12．（3分）分解因式：a3﹣4a＝．13．（3分）一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．14．（3分）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB ＝．15．（3分）两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为．16．（3分）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为．17．（3分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．18．（3分）如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD ＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．20．（4分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．21．（5分）解方程：﹣1＝．22．（6分）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．27．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cos C＝，求DN的长．28．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n 的取值范围．（直接写出结果即可）。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷及答案解析.pdf
值为（ ）
7 A． 或 2
2
4
2
B． 10 或 2 2 C． 2 2
2
2
2
11．点(2，3)关于 y 轴对称的点的坐标为_____．
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7
D． 或
10
42
12．分解因式： a3 4a ______． 13．一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________ cm ． 14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若 AOD 108 ，则 COB
（1）求证：四边形 ANCM 为平行四边形； （2）若 AD 4 ， AB 2 ，且 MN AC ，求 DM 的长
25．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场 购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本 15 个，乙种笔记本 20 个，共花费 250 元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费 5 元． （1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ （2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔 记本共 35 个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减 价 2 元，乙种笔记本按上一次购买时售价的 8 折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种 笔记本的总费用不超过上一次总费用的 90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求 购买两种笔记本总费用的最大值．
试卷第 4 页，总 7 页
（1）求问题中的总体和样本容量;
（2）求 a ， b 的值（请写出必要的计算过程）；
（3）如果一分钟跳绳次数在 125 次以上（不含 125 次）为跳绳成绩优秀，那么估计该 校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共 1000 名学生）
2020黑龙江省大庆市中考数学试卷
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项小题，（本大题共10小题一、选择题选择题（）请将正确选项的序号填涂在答题卡上）中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上只有一项是符合题目要求的，1．（3分）在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（ ）A．﹣1 B．0 C．πD．2．（3分）天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（ ）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×10103．（3分）若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（ ）A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣14．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥5．（3分）已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（ ）A．①①B．①①C．①②D．②①6．（3分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）A．平均分B．方差C．中位数D．极差8．（3分）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：99．（3分）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（ ）A．10+或5+2B．15 C．10+ D．15+3 10．（3分）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（ ）。
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题(解析版)
2020年大庆市初中升学统一考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1.－1，0，π）A. －1B. 0C. πD.【答案】C【解析】【分析】利用正数大于0, 0大于负数，从而可得答案．【详解】解：由正数大于0, 0大于负数，1∴-＜0＜,π所以：最大的数是.π故选.C【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题的关键．2.天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000km ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（）A. 82.910⨯B. 92.910⨯C. 82910⨯D. 100.2910⨯【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的表示计算即可；【详解】92 900 000 000=2.910⨯，故答案选B ．【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确书写是做题的关键．3.若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）A. －5B. 5C. 1D. －1【答案】A【解析】【分析】根据绝对值和平方的非负性可求出x ，y 的值，代入计算即可；【详解】∵2|2|(3)0x y ++-=，∴20x +=，30y -=，∴2x =-，3y =，∴235-=--=-x y ．故答案选A ．【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，准确计算是解题的关键．4.函数2y x =的自变量x 的取值范围是（ ） A. 0x ≤B. 0x ≠C. 0x ≥D. 12x ≥ 【答案】C【解析】【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案．【详解】解：由题意得：20,x ≥ 0,x ∴≥故选：.C【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，同时考查二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．5.已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④【答案】B【解析】【分析】 根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．【详解】解： 观察图像①可得120,0k k >>，所以120k k >，①符合题意；观察图像②可得120,0k k <>，所以120k k <，②不符合题意；观察图像③可得120,0k k ><，所以120k k <，③不符合题意；观察图像④可得120,0k k <<，所以120k k >，④符合题意；综上，其中符合120k k ⋅>的是①④，故答案为：B ．【点睛】本题考查的是正比例函数和反比例函数的图像，当k ＞0时，正比例函数和反比例函数经过一、三象限，当k ＜0时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限．6.将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，先判断中间四个面的情况，根据这一特点可得到答案．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以：1,6是相对面，3,4是相对面，所以：5,2是相对面．故选B ．【点睛】本题主要考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 7.在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）A. 平均分B. 方差C. 中位数D. 极差【答案】C【解析】【分析】根据中位数的定义即可得．【详解】将该歌手的分数按从小到大进行排序为9.0，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7，9.9则去掉前其中位数为9.5分去掉一个最高分和一个最低分，该歌手的分数为9.3，9.4，9.5，9.6，9.7则去掉后其中位数为9.5分因此，去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数故选：C ．【点睛】本题考查了中位数的定义，熟记定义是解题关键．8.底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）A. 1：1B. 1：3C. 1：6D. 1：9 【答案】D【解析】【分析】 根据1,,3V S h V S h ==圆锥底面积圆柱底面积高高结合已知条件可得答案． 【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为,r 圆锥的高为h ，则圆柱的高为3h ， 2221,33,3V r h V r h r h πππ∴==⨯=圆锥圆柱 22113.39r h V V r h ππ∴=圆锥圆柱＝ 故选D ．【点睛】本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键．9.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不．相似，则m n +的值为（ ） A. 107+或527+ B. 15 C. 107+ D. 1537+ 【答案】A【解析】【分析】判断未知边m 、n 是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m 、n 的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．【详解】解：在第一个直接三角形中，若m 是直角边，则22437m =-=，若m 是斜边，则22435m =+=；在第二个直接三角形中，若n 是直角边，则22862827n =-==，若n 是斜边，则228610n =+=；又因为两个直角三角形不相似，故m =5和n =10不能同时取，即当m =5，27n =，527m n +=+，当7m =，n =10，107m n +=+，故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．10.如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合．设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ，则当52y =时，x 的值为（ ）A. 74或22+1022- C. 22± D. 7410【答案】A【解析】【分析】本题应该分类讨论，从以下三个情况进行讨论，分别是：①当x<1时，重叠部分为直角三角形的面积，将其三角形面积用x 表示，但是求出10x=2，与x<1相违背，要舍去；②当1<x<2时，除去重叠部分，剩下的图形为两个直角梯形的面积，将剩余的直角梯形ANHP 用x 表示，求出x 即可；③当x>2时，重叠部分为一个多边形，可以从剩余部分IHK JGL PQFE 3S S S =2++△△矩形的角度进行求解，分别将矩形PQFE 、IHK △、JGL △的面积用x 表示，求出x 即可，将x 求出后，应该与前提条件假设的x 的范围进行比较，判断x 的值．【详解】解：∵在边长为2的正方形EFGH 中，如图所示，当A 运动到MN 的中点时，点E 、F 恰好与AB 、AC 的中点重合，即AM=EM=FM=1，且MN ⊥EF ，∴AME 和AMF 均为等腰直角三角形，可得：ABC 也是等腰直角三角形，其中AB=AC=22，BC=4，设A 到EF 的距离AM=x ，①当x<1时，此时图形的位置如下图所示，AB 与EF 交于P 点，AC 与EF 交于Q 点，∵AM=x ，且△APQ 为等腰直角三角形，∴2APQ 15S =2x x=x =22⋅⋅△，解得：10，但是与前提条件x<1相违背，故不存在该情况； ②当1<x<2时，此时图形的位置如下图所示，AB 与EH 交于P 点，AC 与GF 交于Q 点，∵公共部分面积为52，正方形剩余部分32，∴ANHP 133S ==224⨯四边形，四边形ANHP 是直角梯形，当AM=x ，则AN=2-x ，PE=x-1，HP=3-x ，NH=1， ∴ANHP (AN HP)NH 52x 3S ===224+⋅-四边形，解得：7x=4； ③当x>2时，此时图形的位置如下图所示，AB 与EH 交于K 点，AB 与HG 交于I 点，AC 与FG 交于L 点，AC 与HG 交于J 点，BC 与EH 交于P 点，BC 与GF 交于Q 点，∵公共部分面积为52，∴IJLQPK 5S =2多边形，IHK JGL PQFE 3S S S =2++△△矩形 且22IHK JGL PQFE 113S S S =2(x-2)+(3-x)(3-x)222++⨯⋅+⋅=△△矩形，解得：2x=22+或2x=2-2（舍）， 所以，满足条件的AM 的值为7x=4或2x=22+， 故选：A ． 【点睛】本题考察了移动图形间的重叠问题，需要进行分类讨论，必须要把x 的移动范围进行分类，根据不同的x 取值，画出不同重叠的图形，并将重叠部分的面积用x 进行表示，解题的关键在于利用剩余部分的面积进行倒推求解．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.点(2，3)关于y 轴对称的点的坐标为_____．【答案】(﹣2，3)【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于y 轴的对称点的坐标是（-x ，y ），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．【详解】点（2，3）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．12.分解因式：34a a -=______．【答案】()()22a a a +-【解析】【分析】提出公因式a 后，括号内的两项都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【详解】解：324(4)(2)(2)a a a a a a a -=-=+-．【点睛】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．13.一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm ．【答案】8【解析】【分析】根据三角形中位线定理、三角形的周长公式即可得．【详解】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半 则三角形的三条中位线构成的三角形的周长等于这个三角形周长的一半，即1168()2cm ⨯=故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形中位线定理等知识点，熟记三角形中位线定理是解题关键．14.将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD ∠=︒，则COB ∠=_________．【答案】72.︒【解析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．【详解】解：∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，又∠AOD=108°，∴∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，∴∠BOC=90°-18°=72°．故答案为：72︒．【点睛】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．15.两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为_________．【答案】5 9【解析】【分析】画出树状图进行求解即可；【详解】由题可得到树状图如下图所示：∴59P=．故答案为59．【点睛】本题主要考查了利用树状图求概率，准确画图是解题的关键．16.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．【答案】440【分析】先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：（1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是0,1,2,3,即第1个图需要黑色棋子的个数为330+⨯第2个图需要黑色棋子的个数为441+⨯第3个图需要黑色棋子的个数为552+⨯第4个图需要黑色棋子的个数为663+⨯归纳类推得：第n 个图需要黑色棋子的个数为(2)(2)(1)(2)n n n n n +++-=+，其中n 为正整数 则第20个图需要黑色棋子的个数为20(202)440⨯+=故答案为：440．【点睛】本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 17.已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．【答案】①③【解析】【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．详解】解：根据题意，∵一元二次方程220x x a --=，∴2(2)41()44a a ∆=--⨯⨯-=+；∴当440a +>，即1a >-时，方程有两个不相等的实根；故①正确；当12440•0a x x a +>⎧⎨=->⎩，解得：10a -<<吗，方程有两个同号的实数根，则当0a >时，方程可能有两个异号的实根；故②错误； 抛物线的对称轴为：212x -=-=，则当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确； 由3a >，则223a x x =->，解得：3x >或1x <-；故④错误；∴正确的结论有①③；故答案为：①③．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．18.如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为_________．23π 【解析】【分析】如图，作过A 、B 、F 作⊙O,AFB 为点F 的轨迹，然后计算出,AFB 的长度即可．【详解】解：如图：作过A 、B 、F 作⊙O,过O 作OG ⊥AB∵等边ABC ∆∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°∵BD CE =∴△BCE ≌△ABC∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB 是弦AB 同侧的圆周角∴∠AOB=120°∵OG⊥AB,OA=OB∴∠BOG=∠AOG=12∠AOB=60°,BG=12AB=32∴∠OBG=30°设OB=x，则OG=12x∴222322xx⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得x=3或x=-3（舍）∴AFB的长度为12023233603ππ⨯=．故答案为：233π．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F的轨迹是解答本题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：115(1)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭【答案】7．【解析】【分析】先计算绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂，再计算有理数的加减法即可得．【详解】原式513=-+43=+7=．【点睛】本题考查了绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键．20.先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中x =【答案】221x -，5．【解析】【分析】先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x 的值代入求值即可．【详解】原式225544x x x x x =-+-+-+221x =-将x =2212315=⨯=⨯-=-．【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键． 21.解方程：24111x x x -=-- 【答案】3【解析】【分析】去分母化成整式方程，求出x 后需要验证，才能得出结果； 【详解】24111x x x -=--， 去分母得：214x x -+=，解得：3x =．检验：把3x =代入1x -中，得-=-=≠13120x ，∴3x =是分式方程的根．【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．22.如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ．从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m ，参考数据：1.414≈ 1.732≈）【答案】两建筑物顶点A 、C 之间的距离为35米．【解析】【分析】如图（见解析），先根据俯角的定义得出45AMB EAM ∠=∠=︒，75FCM ∠=︒，30CAE ∠=︒，////CF AE BD ，再根据平行线的性质、角的和差可得60AMN ∠=︒，45ACN ∠=︒，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得202AM =又在Rt AMN △中，解直角三角形可得106AN =最后根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．【详解】如图，过点A 作AN CM ⊥于点N由题意得：45AMB EAM ∠=∠=︒，75FCM ∠=︒，30CAE ∠=︒，////CF AE BD180105BMC FCM ∴∠=︒-∠=︒，60AMN BMC AMB ∠=∠-∠=︒30ACF CAE ∠=∠=︒，45ACN FCM ACF ∠=∠-∠=︒90,45B AMB ∠=︒∠=︒，20AB =米Rt ABM ∴是等腰直角三角形2202AM ∴==在Rt AMN △中，sin AN AMN AM ∠=3sin 60202=︒=解得106AN =在Rt ACN 中，45ACN ∠=︒Rt ACN ∴是等腰直角三角形2210620320 1.73234.6435AC AN ∴===≈⨯=≈（米）答：两建筑物顶点A 、C 之间的距离为35米．【点睛】本题考查了俯角的定义、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的实际应用等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．23.为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a ，b 满足关系式23a b =．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量;（2）求a ，b 的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）【答案】（1）总体是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是40；（2）a=12，b=8；（3）该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．【解析】【分析】（1）根据总体和样本容量的定义即可求解；（2）根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，再根据23a b =可求得a 和b 的值； （3）先计算出40名学生中一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）的人所占的比例，再乘以1000即可求解．【详解】解：（1）总体是某校某年级1000名学生一分钟跳绳次数，样本容量是40（2）设23a b m ==，则,23m m a b ==，根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，即a+b=20，2023m m +=，解得24m =， ∴a=12，b=8；（3）8100020040⨯=（人）， 答：该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．【点睛】本题考查抽样调查、读频数分布直方图的能力、利用统计图获取信息的能力和由样本估计整体；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 24.如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN ．（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；（2）若4=AD ，2AB =，且MN AC ⊥，求DM 的长【答案】（1）证明见解析；（2）32【解析】【分析】（1）通过证明△AOM 和△CON 全等，可以得到=AM NC ，又因为//AM NC ，所以可以证明四边形ANCM 为平行四边形；（2）根据MN AC ⊥，从而可以证明平行四边形ANCM 是菱形，得到AM AN NC ==，再使用勾股定理计算出BN 的长度，从而可以得到DM 的长度．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴//AD BC ，//AM NC∴AMN MNC MAC ACN ∠=∠∠=∠，在△AOM 和△CON 中 AMN MNC MAC ACN AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOM ≌△CON∴=AM NC又∵//AM NC∴四边形ANCM 为平行四边形．（2）∵四边形ANCM 为平行四边形∵MN AC ⊥∴平行四边形ANCM 是菱形∴AM AN NC ==∵4AD BC ==设BN 的长度为x在Rt △ABN 中，2AB =，4AN x =-222AB BN AN +=2222(4)x x +=-32x = 52AN AM ==∴32DM = 【点睛】（1）本题主要考查了如何证明平行四边形，明确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键；（2）本题主要考查了菱形的证明以及勾股定理的应用，知晓对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键．25.期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．【答案】（1）购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元；（2）至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．【解析】【分析】（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，根据题意列出方程组求解即可；（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，先求出调价之后甲、乙两种笔记本的单价，再列出不等式求解，再列出函数关系式表示出购买两种笔记本总费用的最大值，代入a的值求解即可．【详解】解：（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，由题意得：51520250 x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得：105xy=⎧⎨=⎩，答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），8a+4（35-a）≤250×90%，解得：854a≤，至多需要购买21个甲种笔记本，()84354140w a a a=+-=+，当a=21时，w=224，答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元．【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程组或不等式，求解即可．26.如图，反比例函数kyx=与一次函数(1)y x k=--+的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数kyx=的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，AEB△的面积为6．（1）求反比例函数k y x=上的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC △的面积．【答案】（1）3y x =-；（2）()()1,3,3,1,A C --AOC △的面积为4. 【解析】【分析】（1）联立k y x =与(1)y x k =--+求解,A C 的坐标，利用k y x =得到,A B 关于原点成中心对称，求解B 的坐标，结合已知得到E 的坐标，利用面积列方程求解即可得到答案； （2）由（1）得到k 的值，得到,A C 的坐标，AC 的解析式，记AC 与y 轴的交点为,D 求解D 的坐标，利用AOC AOD DOC S S S =+可得答案．【详解】解：（1）由题意得：()1k y x y x k ⎧=⎪⎨⎪=--+⎩()1,k x k x∴=--+ ()210,x k x k ∴+++=()()10,x k x ∴++=12,1,x k x =-=-当11,1,x k y =-=-当221,,x y k =-=-经检验：符合题意． k ＜0,()()1,,,1,A k C k ∴----,A B 为OA 与k yx=的交点， ()1,,B k ∴//AE y 轴，//BE x 轴，()1,,E k ∴-()2,112,AE k k k BE ∴=--=-=--= AEB 的面积为6．16,2AE BE ∴•= ()1226,2k ∴⨯⨯-= 3,k ∴=-∴ 反比例函数为：3.y x=- （2）()()1,,,1,A k C k ----3,k =- ()()1,3,3,1,A C ∴-- 直线AC 为2y x =-+， 记AC 与x 轴的交点为D ，令0,y = 则20,x -+=2,x ∴=()2,0,D ∴AOC AOD DOC S S S ∴=+112321 4.22=⨯⨯+⨯⨯=【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与一次函数的性质，考查了方程组与一元二次方程的解法，图形与坐标，图形面积问题，掌握以上知识是解题的关键．27.如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N ．（1）求证：MN 是O 的切线； （2）求证：()2DN BN BN AC =⋅+；（3）若6BC =，3cos 5C =，求DN 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）607DN =【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质和圆的相关性质证得OD 为△ABC 的中位线，即可求证；（2）根据题中条件证明△BND ∽△DNA ，再根据AB=AC ，进行等量代换即可证明；（3）先根据等腰三角形的性质、解直角三角形和勾股定理求出AB 、BD 、AD 的长度，再利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）如图，连接OD ，∵AB 为O 的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC ，∴BD=CD ，点D 为BC 的中点，又∵AO=BO ，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DM AC ⊥，∴OD ⊥MN ，故MN 是O 的切线．（2）∵∠ADB=90°，∠1+∠3=90°，∵DM AC ⊥，∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°，∴∠2=∠5，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠4=∠5，∵∠1=∠2，∴∠1=∠4，∵∠N=∠N ，∴△BND ∽△DNA ， ∴BN DN DN AN=， ∵AB=AC ， ∴BN DN DN DN BN AB BN AC==++， ∴()2DN BN BN AC =⋅+（3）∵6BC =，∴BD=CD=3， ∵3cos 5C =， ∴AC=5cos CD C=， ∴AB=5，由勾股定理可得AD=4，,由（2）可得，△BND ∽△DNA ， ∴34BN DN BD DN AN AD === ∴34BD DN =， ∵34DN AN =， ∴34DN AB BN =+，即33454DN DN =+， 解得：607DN =． 【点睛】本题考查圆的切线的判定、相似三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定并灵活应用．28.如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（B 在A 的右侧），且经过点()17C -,和点D ()5,7．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F ．连接CA ，CE ，CD ，CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7．点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t ．当t 为何值时，PFB △的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，求m n -的取值范围．（直接写出结果即可）【答案】（1）2412y x x =-++；（2）所以：当72t =时， PFB △的最大面积1258=；（3）42m n -≤-≤-． 【解析】【分析】 （1）把()17C -,和点D ()5,7代入：212y ax bx =++，从而可得答案； （2）过D 作DQ x ⊥轴于,Q 过E 作EH x ⊥于H ，则//,DQ EH 利用CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7，求解E 的坐标，再求解BE 的解析式及F 的坐标，设()2,412,P t t t -++过P 作PG x ⊥轴于G ，交BF 于,M 建立PFB △的面积与t 的函数关系式，利用函数的性质求最大面积，从而可得答案； （3）记抛物线与y 轴的交点为,N 过N 作//NK x 轴交抛物线于K ，先求解,N K 的坐标，可得当1216y ≤≤时，有04,x ≤≤ 结合已知条件可得答案．【详解】解：（1）把()17C -,和点()5,7代入：212y ax bx =++，127255127a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩解得：1,4a b =-⎧⎨=⎩ 所以：抛物线为：2412y x x =-++，（2）2412y x x =-++,令0,y = 则24120,x x -++=解得：122,6,x x =-=()()2,0,6,0,A B ∴-过D 作DQ x ⊥轴于,Q 过E 作EH x ⊥于H ，则//,DQ EH()5,7,D7,QA QD ∴== 45,DAQ ∠=︒CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7，1,7DE DA ∴= //,DQ EH1,7DE HQ DA AQ ∴== 1,6,HQ AH ∴==4,OH ∴=45,DAQ ∠=︒6,EH AH ∴==()4,6,E ∴设BE 为：,y kx b =+4660k b k b +=⎧∴⎨+=⎩解得：3,18k b =-⎧⎨=⎩BE ∴为：318,y x =-+2318,412y x y x x =-+⎧∴⎨=-++⎩解得：121216,,150x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ ()1,15,F ∴过P 作PG x ⊥轴于G ，交BF 于,M设()2,412,P t t t -++则(),318,M t t -+ ()2241231876,PM t t t t t ∴=-++--+=-+-()15,22BPF B F S PM xx PM =•-= 当PM 最大，则PFB △的面积最大，所以：当()772212b t a =-=-=⨯-时，4949256,424PM =-+-=最大 所以PFB △的最大面积＝525125.248⨯=（3）2412,y x x =-++令0,12,x y ==记抛物线与y 轴的交点为,N 过N 作//NK x 轴交抛物线于K ，()0,12,N ∴令12,y = 则241212,x x -++=解得：120,4,x x ==()4,12,K ∴()22412216,y x x x =-++=--+∴抛物线的顶点()2,16,当1216y ≤≤时， 04,x ∴≤≤当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，02,24,m n ∴≤≤≤≤42,m n ∴-≤-≤-【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，考查了平行线分线段成比例，等腰直角三角形的性质，同时考查了二次函数的增减性，函数交点坐标的求解，是典型的压轴题，掌握以上相关的知识是解题的关键．。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷(含答案解析)
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷副标题得分1.在−1，0，π，√3这四个数中，最大的数是()A. −1B. 0C. πD. √32.天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为()A. 2.9×108B. 2.9×109C. 29×108D. 0.29×10103.若|x+2|+(y−3)2=0，则x−y的值为()A. −5B. 5C. 1D. −14.函数y=√2x中，自变量x的取值范围是()A. x≤0B. x≠0C. x≥0D. x≥25.已知正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2，在同一直角坐标系下的图象如图所示，x其中符合k1⋅k2>0的是()A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④6.将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为()A. 1B. 2C. 3D. 47.在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0(单位：分).若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是()A. 平均分B. 方差C. 中位数D. 极差8.底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为()A. 1：1B. 1：3C. 1：6D. 1：99. 已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不相似，则m +n 的值为( )A. 10+√7或5+2√7B. 15C. 10+√7D. 15+3√710. 如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合，设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y.则当y =52时，x 的值为( )A. 74或2+√22 B. √102或2−√22 C. 2±√22D. 74或√10211. 点P(2,3)关于y 轴的对称点Q 的坐标为______． 12. 分解因式：a 3−4a =______．13. 一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为______cm ． 14. 将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD =108°，则∠COB =______．15. 两个人做游戏：每个人都从−1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为______．16. 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为______．17.已知关于x的一元二次方程：x2−2x−a=0，有下列结论：①当a>−1时，方程有两个不相等的实根；②当a>0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a>−1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a>3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为______．18.如图，等边△ABC中，AB=3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为______．)−1．19.计算：|−5|−(1−π)0+(1320.先化简，再求值：(x+5)(x−1)+(x−2)2，其中x=√3．21.解方程：2xx−1−1=4x−1．22.如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°.若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离(结果精确到1m，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)．23.为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数(次数为整数，且最高次数不超过150次)，整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a=3b.后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件，回答下列问题．(1)求问题中的总体和样本容量；(2)求a，b的值(请写出必要的计算过程)；(3)如果一分钟跳绳次数在125次以上(不含125次)为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？(注：该年级共1000名学生)24.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．(1)求证：四边形ANCM为平行四边形；(2)若AD=4，AB=2，且MN⊥AC，求DM的长．25.期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？(2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26.如图，反比例函数y=k与一次函数y=−x−(k+1)的图象在第二象限的交点为A，x在第四象限的交点为C，直线AO(O为坐标原点)与函数y=k的图象交于另一点B.过x点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．(1)求反比例函数y=k的表达式；x(2)求点A，C的坐标和△AOC的面积．27.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．(1)求证：MN是⊙O的切线；(2)求证：DN2=BN⋅(BN+AC)；(3)若BC=6，cosC=3，求DN的长．528.如图，抛物线y=ax2+bx+12与x轴交于A，B两点(B在A的右侧)，且经过点C(−1,7)和点D(5,7)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F.连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t.当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；(3)在抛物线y=ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m−n的取值范围．(直接写出结果即可)答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得−1<0<√3<π，∴在这四个数中，最大的数是π．故选：C．实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．此题考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2.【答案】B【解析】解：2900000000用科学记数法表示为2.9×109，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】A【解析】解：∵|x+2|+(y−3)2=0，∴x+2=0，y−3=0，解得：x=−2，y=3，故x−y=−2−3=−5．故选：A．利用非负数的性质得出x，y的值，代入计算得出答案．此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：根据题意可得：2x≥0，解得：x≥0，故选：C．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．5.【答案】B【解析】解：①中k1>0，k2>0，故k1⋅k2>0，故①符合题意；②中k1<0，k2>0，故k1⋅k2<0，故②不符合题意；③中k1>0，k2<0，故k1⋅k2<0，故③不符合题意；④中k1<0，k2<0，故k1⋅k2>0，故④符合题意；故选：B．根据各个小题中的函数图象，可以得到k1和k2的正负情况，从而可以判断k1⋅k2的正负情况，从而可以解答本题．本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6.【答案】B【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“1”与“6”是相对面，“5”与“2”是相对面，“3”与“4”是相对面．故选：B．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7.【答案】C【解析】解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，因此中位数不变，故选：C．根据中位数的实际意义，通过比较去掉最高分和最低分前后的数据变化进行判断即可．本题考查中位数、众数、平均数、极差的意义，理解各个概念的意义和计算方法是正确判断的前提．8.【答案】D【解析】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，×πr2×ℎ)：(πr2×3ℎ)=1：9．所以圆锥与圆柱的体积的比=(13故选：D．设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，然后利用圆锥和圆柱的体积公式计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱．9.【答案】A【解析】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当3，4为直角边，m=5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：√82−62=2√7，故m+n=5+2√7；当6，8为直角边，n=10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：2−32=√7，故m+n=10+√7；故选：A．直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．10.【答案】A【解析】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC 是等腰直角三角形，AQ =OE =OG =AP =OF ，S △OEF =1， ∵y =52， ∴S 四边形AOEQ +S 四边形AOFP =1.5，∴OA ⋅2=1.5， ∴OA =34，∴AM =1+34=74．如图2中，当点A 在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT ，S 重叠=S △ABC −2S △BQR −S △AWT ，∴2.5=12×2√2×2√2−1−12×2AN ×AN ，解得AN =√22， ∴AM =2+√22， 综上所述，满足条件的AM 的值为74或2+√22， 故选：A ．分两种情形：如图1中，当过A 在正方形内部时，连接EG 交MN 于O ，连接OF ，设AB交EH于Q，AC交FG于P.如图2中，当点A在正方形外部时，分别求解即可解决问题．本题考查正方形的性质平移变换，多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．11.【答案】(−2,3)【解析】解：点P(2,3)关于y轴的对称点Q的坐标为(−2,3)．故答案为：(−2,3)．根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于y轴的对称点的坐标是(−x,y)即求关于y 轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答．本题考查了关于x轴、y轴的对称点的坐标．解题的关键是掌握关于x轴、y轴的对称点的坐标的特征，关于x轴对称的两个点纵坐标不变，横坐标变成相反数．12.【答案】a(a+2)(a−2)【解析】解：原式=a(a2−4)=a(a+2)(a−2)．故答案为：a(a+2)(a−2)原式提取a，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.【答案】8【解析】解：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE=12BC．同理可得：DF=12AC，EF=12AB，∴DE+DF+EF=12(AB+BC+AC)=12×16=8(cm)．则三条中位线构成的三角形的周长为8cm．故答案为：8．根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．即可求得结果．本题考查了三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．14.【答案】72°【解析】解：∵∠COD=90°，∠AOB=90°，∠AOD=108°，∴∠AOC=∠AOD−∠COD=108°−90°=18°，∴∠COB=∠AOB−∠AOC=90°−18°=72°．故答案为：72°．根据∠COD=90°，∠AOD=108°，进而得出∠AOC的度数，根据∠COB=∠AOB−∠AOC 即可得出结论．本题考查了角的计算及直角三角形，熟知角的和差计算方法是解答此题的关键．15.【答案】59【解析】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为5，所以两人所写整数的绝对值相等的概率=5．9．故答案为59画树状图展示所有9种等可能的结果，找出其中两数的绝对值相等的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．16.【答案】440【解析】解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：3=1×3；第2个图需要黑色棋子的个数为：8=2×4；第3个图需要黑色棋子的个数为：15=3×5；第4个图需要黑色棋子的个数为：24=4×6；…发现规律：第n个图需要黑色棋子的个数为：n(n+2)；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20(20+2)=440．故答案为：440．观察图形可得前几个图需要黑色棋子的个数，发现规律即可得第20个图需要黑色棋子的个数．本题考查了规律型−图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．17.【答案】①③④【解析】解：∵x2−2x−a=0，∴△=4+4a，∴①当a>−1时，△>0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a>0时，两根之积<0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x=2±√4+4a=1±√1+a，2∵a>−1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．则有32−6−a<0，∴a>3，故④正确，故答案为①③④．根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】2√3π．3【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°，∴在△ABD和△BCE中，{AB=AC∠ABC=∠BCE BD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD=∠CBE，∵∠AFE=∠BAD+∠FBA=∠CBE+∠FBA=∠ABC=60°，∴∠AFB=120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧上运动，如图，此时∠AOB=120°，OA=AHcos30∘=√3，所以弧AB的长为：120π×√3180=2√3π3．则点F的运动路径的长度为2√3π3．故答案为：2√3π3．根据已知条件证明△ABD≌△BCE，再得∠AFB=120°，可得点F的运动轨迹是以点O 为圆心，OA为半径的弧上运动，此时∠AOB=120°，OA=√3，根据弧长公式即可得点F的运动路径的长度．本题考查了轨迹、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．19.【答案】解：|−5|−(1−π)0+(13)−1=5−1+3=7．【解析】原式第一项绝对值计算，第二项利用零指数幂的法则计算，第三项利用负指数幂的法则计算，计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：原式=x2+4x−5+x2−4x+4=2x2−1，当x=√3时，原式=2(√3)2−1=5．【解析】根据整式的混合运算顺序先进行整式的化简，再代入值进行计算即可．本题考查了整式的混合运算−化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值进行计算．21.【答案】解：方程的两边同乘x−1，得：2x−x+1=4，解这个方程，得：x=3，经检验，x=3是原方程的解，∴原方程的解是x=3．【解析】根据解分式方程的步骤解答即可．本题主要考查了解分式方程，会把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．22.【答案】解：∵AB⊥BD，∠BAM=45°，∴∠AMB=45°，∴∠AMB=∠BAM，∴AB=BM=20，∴在Rt△ABM中，AM=20√2，作AE⊥MC于E，由题意得∠ACM=45°，∠CAM=75°，∴∠AMC=60°，∴在Rt△AME中，AM=20√2，∵sin∠AME=AEAM，∴AE=sin60°⋅20√2=√32×20√2=10√6，在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=45°，AE=10√6，∴sin∠ACE=AEAC，∴AC=AEsin45∘=√6√22=20√3≈35(米)，答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．【解析】在Rt△ABM中，根据等腰直角三角形的性质求得AM，在Rt△AME中，根据正弦函数求得AE，在Rt△AEC中，根据正弦函数求得AC．本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键．23.【答案】解：(1)1000名学生一分钟的跳绳次数是总体，40名学生的一分钟跳绳次数是样本容量；(2)由题意所给数据可知：50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，∴a+b=40−4−16=20，∵2a=3b，∴解得a=12，b=8，(3)1000×840=200(人)，答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．【解析】(1)根据总体和样本容量的定义即可得问题中的总体和样本容量；(2)根据表格所给数据先求出50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，再根据a+ b=20，2a=3b，即可求出a，b的值；(3)利用样本估计总体的方法即可估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人．本题考查了频数分布直方图、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，解决本题的关键是综合运用以上知识．24.【答案】解：(1)证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD//BC，AO=CO，∴∠OAM=∠OCN，∠OMA=∠ONC，在△AOM和△CON中，{∠OAM=∠OCN ∠AMO=∠CNO AO=CO，∴△AOM≌△CON(AAS)，∴AM=CN，∵AM//CN，∴四边形ANCM为平行四边形；(2)∵在矩形ABCD 中，AD =BC ，由(1)知：AM =CN ，∴DM =BN ，∵四边形ANCM 为平行四边形，MN ⊥AC ，∴平行四边形ANCM 为菱形，∴AM =AN =NC =AD −DM ，∴在Rt △ABN 中，根据勾股定理，得AN 2=AB 2+BN 2，∴(4−DM)2=22+DM 2，解得DM =32．【解析】(1)在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，可得AD//BC ，AO =CO ，可以证明△AOM≌△CON 可得AM =CN ，进而证明四边形ANCM 为平行四边形；(2)根据MN ⊥AC ，可得四边形ANCM 为菱形；根据AD =4，AB =2，AM =AN =NC =AD −DM ，即可在Rt △ABN 中，根据勾股定理，求DM 的长．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 25.【答案】解：(1)设购买一个甲种笔记本需要x 元，购买一个乙种笔记本需要y 元，依题意，得：{15x +20y =250x −y =5， 解得：{x =10y =5． 答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元．(2)设购买m 个甲种笔记本，则购买(35−m)个乙种笔记本，依题意，得：(10−2)m +5×0.8(35−m)≤250×90%，解得：m ≤2114，又∵m 为正整数，∴m 可取的最大值为21．设购买两种笔记本总费用为w 元，则w =(10−2)m +5×0.8(35−m)=4m +140， ∵k =4>0，∴w 随m 的增大而增大，∴当m =21时，w 取得最大值，最大值=4×21+140=224．答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．【解析】(1)设购买一个甲种笔记本需要x 元，购买一个乙种笔记本需要y 元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购买m 个甲种笔记本，则购买(35−m)个乙种笔记本，根据总价=单价×数量结合此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为正整数可得出最多购买甲种笔记本的个数，设购买两种笔记本总费用为w 元，根据总价=单价×数量，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26.【答案】解：(1)由题意得，点A 与点B 关于原点对称，即OA =OB ，∴S △AOMS △ABE =(OA AB )2=14， 又△AEB 的面积为6，∴S △AOM =14S △ABE =14×6=32=12|k|， ∴k =−3，k =3(舍去)，∴反比例函数的关系式为y =−3x ；(2)由k =−3可得一次函数y =−x +2，由题意得，{y =−x +2y =−3x ，解得，{x 1=3y 1=−1，{x 2=−1y 2=3， 又A 在第二象限，点C 在第四象限，∴点A(−1,3)，点C(3,−1)，(2)一次函数y =−x +2与y 轴的交点N 的坐标为(0,2)，∴S △AOC =S △CON +S △AON =12×2×(1+3)=4．【解析】(1)由题意得，点A 与点B 关于原点对称，即OA =OB ，从而得出S △AOM S△ABE =14，进一步求出三角形AOM 的面积，求出k 的值即可；第23页，共24页 (2)求出一次函数y =−x +2与y 轴的交点N 坐标，根据S △AOC =S △CON +S △AON 计算结果即可．本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是求关系式常用方法，理解反比例函数k 的几何意义是正确解答的关键．27.【答案】证明：(1)如图，连接OD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，又∵AB =AC ，∴BD =CD ，∠BAD =∠CAD ，∵AO =BO ，BD =CD ，∴OD//AC ，∵DM ⊥AC ，∴OD ⊥MN ，又∵OD 是半径，∴MN 是⊙O 的切线；(2)∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵∠ABC +∠BAD =90°，∠ACB +∠CDM =90°，∴∠BAD =∠CDM ，∵∠BDN =∠CDM ，∴∠BAD =∠BDN ，又∵∠N =∠N ，∴△BDN∽△DAN ，∴BN DN =DNAN ，第24页，共24页∴DN 2=BN ⋅AN =BN ⋅(BN +AB)=BN ⋅(BN +AC)；(3)∵BC =6，BD =CD ，∴BD =CD =3，∵cosC =35=CD AC ，∴AC =5，∴AB =5，∴AD =√AB 2−BD 2=√25−9=4，∵△BDN∽△DAN ，∴BN DN =DN AN =BD AD =34，∴BN =34DN ，DN =34AN ， ∴BN =34(34AN)=916AN ，∵BN +AB =AN ，∴916AN +5=AN ∴AN =807， ∴DN =34AN =607．【解析】(1)如图，连接OD ，由圆周角定理可得∠ADB =90°，由等腰三角形的性质可得BD =CD ，∠BAD =∠CAD ，由三角形中位线定理可得OD//AC ，可证OD ⊥MN ，可得结论；(2)通过证明△BDN∽△DAN ，可得BN DN =DN AN ，可得结论；(3)由等腰三角形的性质可得BD =CD =3，由锐角三角函数可求AC =AB =5，由勾股定理可求AD =4，由相似三角形的性质可得BN DN =DN AN =BD AD =34，即可求解．本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，三角形中位线定理，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，利用相似三角形的性质可求线段的长度是本题的关键． 28.【答案】解：(1)把C(−1,7)，D(5,7)代入y =ax 2+bx +12，可得{a −b +12=725a +5b +12=7， 解得{a =−1b =4， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +12．第23页，共24页(2)如图1中，过点E 作EM ⊥AB 于M ，过点D 作DN ⊥AB 于N ．对于抛物线y =−x 2+4x +12，令y =0，得到，x 2−4x −12=0，解得x =−2或6， ∴A(−2,0)，B(6,0)，∵D(5,7)，∴OA =2，DN =7，ON =5，AN =7∵△CED 的面积与△CAD 的面积之比为1：7，∴DE ：AD =1：7， ∴AE ：AD =6：7， ∵EM//DN ， ∵EN DN =AM AN =AE AD =67， ∴EM7=AM7=67，∴AM =EM =6，∴E(4,6)，∴直线BE 的解析式为y =−3x +18，由{y =−3x +18y =−x 2+4x +12，解得{x =6y =0或{x =1y =15， ∴F(1,15)，过点P 作PQ//y 轴交BF 于Q ，设P(t,−t 2+4t +12_)则Q(t,−3t +18)，∴PQ =−t 2+4t +12−(−3t +18)=−t 2+7t −6，∵S △PBF =12⋅(−t 2+7t −6)⋅5=−52(t −72)2+1258，∵−52<0，第24页，共24页 ∴t =72时，△BFP 的面积最大，最大值为1258．(3)对于抛物线y =−x 2+4x +12，当y =16时，−x 2+4x +12=16，解得x 1=x 2=2，当y =12时，−x 2+4x +12=12，解得x =0或4，观察图2可知：当0≤x ≤2或2≤x ≤4时，12≤y ≤16，∴m =0，n =2或m =2，n =4，∴m −n =−2．【解析】(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)如图1中，过点E 作EM ⊥AB 于M ，过点D 作DN ⊥AB 于N.利用平行线分线段成比例定理求出点E 的坐标，求出直线BE 的解析式，构建方程组确定点F 的坐标，过点P 作PQ//y 轴交BF 于Q ，设P(t,−t 2+4t +12_)则Q(t,−3t +18)，再构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．(3)求出y =12或16时，自变量x 的值，利用图象法确定m ，n 的值即可．本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数利用方程组确定交点坐标，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．。
黑龙江省大庆市中考数学试卷(附答案解析)
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．在﹣1，0，π，√3这四个数中，最大的数是（）A．﹣1B．0C．πD．√32．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×1010 3．若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5B．5C．1D．﹣14．函数y=√2x的自变量x的取值范围是（）A．x≤0B．x≠0C．x≥0D．x≥1 25．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1B．2C．3D．47．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）A ．1：1B ．1：3C ．1：6D ．1：99．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不相似，则m +n 的值为（ ）A ．10+√7或5+2√7B ．15C ．10+√7D ．15+3√710．如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合，设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ．则当y =52时，x 的值为（ ）A ．74或2+√22B ．√102或2−√22C ．2±√22D ．74或√102二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．点P （2，3）关于y 轴的对称点Q 的坐标为 ．12．分解因式：a 3﹣4a ＝ ．13．一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为 cm ．14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD ＝108°，则∠COB＝ ．15．两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为 ．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为 ．17．已知关于x 的一元二次方程：x 2﹣2x ﹣a ＝0，有下列结论：①当a ＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a ＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a ＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a ＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为 ．18．如图，等边△ABC 中，AB ＝3，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD ＝CE ，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为 ．三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（13）﹣1． 20．（4分）先化简，再求值：（x +5）（x ﹣1）+（x ﹣2）2，其中x =√3．21．（5分）解方程：2x x−1−1=4x−1． 22．（6分）如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ，从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m ，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．（8分）如图，反比例函数y=kx与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y=kx的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．（1）求反比例函数y=kx的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．27．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cos C=35，求DN的长．28．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n 的取值范围．（直接写出结果即可）2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．在﹣1，0，π，√3这四个数中，最大的数是（）A．﹣1B．0C．πD．√3解：根据实数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜√3＜π，∴在这四个数中，最大的数是π．故选：C．2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×1010解：2900000000用科学记数法表示为2.9×109，故选：B．3．若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5B．5C．1D．﹣1解：∵|x+2|+（y﹣3）2＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，解得：x＝﹣2，y＝3，故x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：A．4．函数y=√2x的自变量x的取值范围是（）A．x≤0B．x≠0C．x≥0D．x≥1 2解：根据题意可得：2x≥0，解得：x≥0，故选：C．5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④解：①中k1＞0，k2＞0，故k1•k2＞0，故①符合题意；②中k1＜0，k2＞0，故k1•k2＜0，故②不符合题意；③中k1＞0，k2＜0，故k1•k2＜0，故③不符合题意；④中k1＜0，k2＜0，故k1•k2＞0，故④符合题意；故选：B．6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1B．2C．3D．4解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“1”与“6”是相对面，“5”与“2”是相对面，“3”与“4”是相对面．故选：B．7．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，因此中位数不变，故选：C．8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A ．1：1B ．1：3C ．1：6D ．1：9解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r ，圆锥的高为h ，则圆柱的高为3h ，所以圆锥与圆柱的体积的比＝（13×πr 2×h ）：（πr 2×3h ）＝1：9． 故选：D ．9．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不相似，则m +n 的值为（ ）A ．10+√7或5+2√7B ．15C ．10+√7D ．15+3√7解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当三边分别为3，4，√7，和6，8，2√7，此时两三角形相似，不合题意舍去当3，4为直角边，m ＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：√82−62=2√7， 故m +n ＝5+2√7；当6，8为直角边，n ＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：√42−32=√7， 故m +n ＝10+√7；故选：A ．10．如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合，设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ．则当y =52时，x 的值为（ ）A ．74或2+√22B ．√102或2−√22C ．2±√22D ．74或√102解：如图1中，当过A 在正方形内部时，连接EG 交MN 于O ，连接OF ，设AB 交EH 于Q ，AC 交FG 于P ．由题意，△ABC 是等腰直角三角形，AQ ＝OE ＝OG ＝AP ＝OF ，S △OEF ＝1， ∵y =52，∴S 四边形AOEQ +S 四边形AOFP ＝1.5，∴OA •2＝1.5，∴OA =34，∴AM ＝1+34=74．如图2中，当点A 在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT ，S 重叠＝S △ABC ﹣2S △BQR ﹣S △AWT ， ∴2.5=12×2√2×2√2−1−12×2AN ×AN ，解得AN =√22，∴AM ＝2+√22，综上所述，满足条件的AM 的值为74或2+√22，。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（3分）在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）
A．﹣1B．0C．πD．
2．（3分）天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×1010
3．（3分）若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）
A．﹣5B．5C．1D．﹣1
4．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（）
A．x≤0B．x≠0C．x≥0D．x≥
5．（3分）已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
6．（3分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）
A．平均分B．方差C．中位数D．极差
8．（3分）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）。
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题
9．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4， 和6，8， ，且这两个直角三角形不相似，则 的值为（）
A． 或 B．15C． D．
10．如图，在边长为2的正方形 中， ， 分别为 与 的中点，一个三角形 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点 恒在直线 上，当点 运动到线段 的中点时，点 ， 恰与 ， 两边的中点重合．设点 到 的距离为 ，三角形 与正方形 的公共部分的面积为 ，则当 时， 的值为（）
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的长．
28．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（ 在 的右侧），且经过点 和点 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接 ，经过点 的直线 与线段 交于点 ，与抛物线交于另一点 ．连接 ， ， ， 的面积与 的面积之比为1：7．点 为直线 上方抛物线上的一个动点，设点 的横坐标为 ．当 为何值时， 的面积最大？并求出最大值；
则三角形的三条中位线构成的三角形的周长等于这个三角形周长的一半，即
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理等知识点，熟记三角形中位线定理是解题关键．
14．
【解析】
4．C
【解析】
【分析】
由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案．
【详解】
解：由题意得：
故选：
【点睛】
本题考查的是函数自变量的取值范围，同时考查二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
【详解】
解：观察图像①可得 ，所以 ，①符合题意；
2020大庆市中考数学试题(word版)及参考答案
2020大庆市中考数学试题及参考答案一、单选题1．－1，0，π ）A ．－1B ．0C ．πD 2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000km ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（ ）A ．82.910⨯B ．92.910⨯C ．82910⨯D ．100.2910⨯ 3．若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）A ．－5B ．5C ．1D ．－14．函数y =x 的取值范围是（ ） A ．0x ≤ B ．0x ≠ C ．0x ≥ D ．12x ≥ 5．已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）A ．平均分B ．方差C ．中位数D ．极差8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ） A ．1：1 B ．1：3 C ．1：6 D ．1：99．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不．相似，则m n +的值为（ ）A．105+ B ．15 C ．10 D ．15+10．如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合．设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ，则当52y =时，x 的值为（ ）A ．74或22+B ．2或22-C ．22±D ．74或2二、填空题11．点(2，3)关于y 轴对称的点的坐标为_____．12．分解因式：34a a -=______．13．一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm ． 14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD ∠=︒，则COB ∠=_________．15．两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为_________．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．17．已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．18．如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为_________．三、解答题19．计算：1015(1)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭20．先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中x =21．解方程：24111x x x -=-- 22．如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ．从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m 1.414≈ 1.732≈）23．为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a ，b 满足关系式23a b =．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量;（2）求a ，b 的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN ．（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；（2）若4=AD ，2AB =，且MN AC ⊥，求DM 的长25．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．如图，反比例函数k y x =与一次函数(1)y x k =--+的图象在第二象限的交点为A ，在第四象限的交点为C ，直线AO （O 为坐标原点）与函数k y x =的图象交于另一点B ．过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两直线相交于点E ，AEB △的面积为6．（1）求反比例函数k y x=上的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC △的面积．27．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N ．（1）求证：MN 是O 的切线； （2）求证：()2DN BN BN AC =⋅+；（3）若6BC =，3cos 5C =，求DN 的长．28．如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（B 在A 的右侧），且经过点()17C -,和点D ()5,7．（1）求抛物线的函数表达式； （2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F ．连接CA ，CE ，CD ，CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7．点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t ．当t 为何值时，PFB △的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，求m n-的取值范围．（直接写出结果即可）2020大庆市中考数学试题参考答案一、填空题1．C2．B3．A4．C5．B6．B7．C8．D9．A10．A二、选择题11．(﹣2，3)12．()()22a a a +-13．814．72.︒15．5916．44017．①③18 三、解答题19．解：原式513=-+43=+7=．20．解： 原式225544x x x x x =-+-+-+221x =-将3x =代入得：原式22(3)12315=⨯=⨯-=-．21．解： 24111x x x -=--， 去分母得：214x x -+=，解得：3x =．检验：把3x =代入1x -中，得-=-=≠13120x ，∴3x =是分式方程的根．22. 解：如图，过点A 作AN CM ⊥于点N由题意得：45AMB EAM ∠=∠=︒，75FCM ∠=︒，30CAE ∠=︒，////CF AE BD 180105BMC FCM ∴∠=︒-∠=︒，60AMN BMC AMB ∠=∠-∠=︒30ACF CAE ∠=∠=︒，45ACN FCM ACF ∠=∠-∠=︒90,45B AMB ∠=︒∠=︒，20AB =米Rt ABM ∴是等腰直角三角形2202AM AB ∴==（米）在Rt AMN △中，sin AN AMN AM ∠=，即3sin 602202=︒= 解得106AN =（米）在Rt ACN 中，45ACN ∠=︒Rt ACN ∴是等腰直角三角形2210620320 1.73234.6435AC AN ∴==⨯=≈⨯=≈（米）答：两建筑物顶点A 、C 之间的距离为35米．23．解：（1）总体是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是40 （2）设23a b m ==，则,23m m a b ==， 根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，即a+b=20，2023m m +=，解得24m =， ∴a=12，b=8；（3）8100020040⨯=（人）， 答：该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．24．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴//AD BC ，//AM NC∴AMN MNC MAC ACN ∠=∠∠=∠，在△AOM 和△CON 中AMN MNC MAC ACN AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOM ≌△CON∴=AM NC又∵//AM NC∴四边形ANCM 为平行四边形．（2）∵四边形ANCM 为平行四边形∵MN AC ⊥∴平行四边形ANCM 是菱形∴AM AN NC ==∵4AD BC ==设BN 的长度为x在Rt △ABN 中，2AB =，4AN x =-222AB BN AN +=2222(4)x x +=-32x = 52AN AM ==∴32DM = 25．解：（1）设购买一个甲种笔记本x 元，一个乙种笔记本y 元，由题意得：51520250x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得：105x y =⎧⎨=⎩， 答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．（2）设需要购买a 个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w ， 调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），8a+4（35-a ）≤250×90%， 解得：854a ≤， 至多需要购买21个甲种笔记本，()84354140w a a a =+-=+，当a=21时，w=224，答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元．26．解：（1）由题意得：()1k y x y x k ⎧=⎪⎨⎪=--+⎩()1,k x k x∴=--+ ()210,x k x k ∴+++=()()10,x k x ∴++=12,1,x k x =-=-当11,1,x k y =-=-当221,,x y k =-=-经检验：符合题意． k ＜0,()()1,,,1,A k C k ∴----,A B 为OA 与k y x=的交点，()1,,B k ∴//AE y 轴，//BE x 轴，()1,,E k ∴-()2,112,AE k k k BE ∴=--=-=--= AEB 的面积为6． 16,2AE BE ∴•=()1226,2k ∴⨯⨯-=3,k ∴=-∴ 反比例函数为：3.y x =-（2）()()1,,,1,A k C k ----3,k =-()()1,3,3,1,A C ∴-- 直线AC 为2y x =-+，记AC 与x 轴的交点为D ，令0,y = 则20,x -+=2,x ∴=()2,0,D ∴AOC AOD DOC S S S ∴=+112321 4.22=⨯⨯+⨯⨯=27．证明：（1）如图，连接OD ，∵AB 为O 的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC ，∴BD=CD ，点D 为BC 的中点，又∵AO=BO ，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DM AC ⊥，∴OD ⊥MN ，故MN 是O 的切线．（2）∵∠ADB=90°，∠1+∠3=90°，∵DM AC ⊥，∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°，∴∠2=∠5，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠4=∠5，∵∠1=∠2，∴∠1=∠4，∵∠N=∠N ，∴△BND ∽△DNA ， ∴BN DN DN AN =， ∵AB=AC ， ∴BNDNDNDN BN AB BN AC ==++，∴()2DN BN BN AC =⋅+（3）∵6BC =，∴BD=CD=3，∵3cos 5C =，∴AC=5cos CDC =，∴AB=5，由勾股定理可得AD=4，,由（2）可得，△BND ∽△DNA ，∴34BN DN BDDN AN AD ===∴34BD DN =，∵34DN AN =， ∴34DN AB BN =+，即33454DN DN =+， 解得：607DN =． 28．解：（1）把()17C -,和点()5,7代入：212y ax bx =++， 127255127a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩ 解得：1,4a b =-⎧⎨=⎩ 所以：抛物线为：2412y x x =-++，（2）2412y x x =-++,令0,y = 则24120,x x -++=解得：122,6,x x =-=()()2,0,6,0,A B ∴-过D 作DQ x ⊥轴于,Q 过E 作EH x ⊥于H ，则//,DQ EH ()5,7,D7,QA QD ∴== 45,DAQ ∠=︒CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7，1,7DE DA ∴= //,DQ EH1,7DE HQ DA AQ ∴== 1,6,HQ AH ∴==4,OH ∴=45,DAQ ∠=︒6,EH AH ∴==()4,6,E ∴设BE 为：,y kx b =+4660k b k b +=⎧∴⎨+=⎩ 解得：3,18k b =-⎧⎨=⎩BE ∴为：318,y x =-+2318,412y x y x x =-+⎧∴⎨=-++⎩ 解得：121216,,150x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ ()1,15,F ∴过P 作PG x ⊥轴于G ，交BF 于,M设()2,412,P t t t -++则(),318,M t t -+ ()2241231876,PM t t t t t ∴=-++--+=-+-()15,22BPF B F S PM x x PM =•-= 当PM 最大，则PFB △的面积最大，所以：当()772212b t a =-=-=⨯-时，4949256,424PM =-+-=最大 所以PFB △的最大面积＝525125.248⨯=（3）2412,y x x =-++令0,12,x y ==记抛物线与y 轴的交点为,N 过N 作//NK x 轴交抛物线于K ， ()0,12,N ∴令12,y = 则241212,x x -++= 解得：120,4,x x ==()4,12,K ∴()22412216,y x x x =-++=--+ ∴抛物线的顶点()2,16, 当1216y ≤≤时，04,x ∴≤≤当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤， 02,24,m n ∴≤≤≤≤ 42,m n ∴-≤-≤-。
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题
2020年大庆市初中升学统一考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1.－1，0，π，3这四个数中，最大的数是（ ）A.－1B.0C.πD.32.天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000km ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（ ）A.82.910⨯B.92.910⨯C.82910⨯D.100.2910⨯ 3.若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）A.－5B.5C.1D.－1 4.函数2y x =的自变量x 的取值范围是（ ） A.0x ≤ B.0x ≠ C.0x ≥ D.12x ≥ 5.已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A.①②B.①④C.②③D.③④6.将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）A.1B.2C.3D.47.在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）.若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）A.平均分B.方差C.中位数D.极差8.底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）A.1：1B.1：3C.1：6D.1：99.已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不．相似，则m n +的值为（ ） A.107+或527+ B.15 C.107+ D.1537+10.如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合.设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ，则当52y =时，x 的值为（ ）A.74或222+B.102或222-C.222±D.74或102 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.点()23P ,关于y 轴的对称点Q 的坐标为_________.12.分解因式：34a a -=_________.13.一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm .14.将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD ∠=︒，则COB ∠=_________.15.两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为_________.16.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________.17.已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.以上4个结论中，正确的个数为_________.18.如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为_________.三、解答题（本大题共10小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：101|5|(1)3π-⎫⎛---+ ⎪⎝⎭ 20.先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中3x =21.解方程：24111x x x -=-- 22.如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M .从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°.若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m ，参考数据：2 1.4143 1.732≈）23.为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a ，b 满足关系式23a b =.后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件，回答下列问题.（1）求问题中的总体和样本容量;（2）求a ，b 的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24.如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN .（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；（2）若4AD =，2AB =，且MN AC ⊥，求DM 的长25.期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰.她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元.已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元.（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售.如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值.26.如图，反比例函数k y x =与一次函数(1)y x k =--+的图象在第二象限的交点为A ，在第四象限的交点为C ，直线AO （O 为坐标原点）与函数k y x =的图象交于另一点B .过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两直线相交于点E ，AEB ∆的面积为6.（1）求反比例函数k y x=上的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC ∆的面积.27.如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N .（1）求证：MN 是O 的切线；（2）求证：()2DN BN BN AC =⋅+；（3）若6BC =，3cos 5C =，求DN 的长. 28.如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（B 在A 的右侧），且经过点()17C -,和点()57,.（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F .连接CA ，CE ，CD ，CED ∆的面积与CAD ∆的面积之比为1：7.点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t .当t 为何值时，PFB ∆的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，求m n -的取值范围.（直接写出结果即可）。
2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷(含解析)
2020年黑龙江大庆市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（）A．﹣1 B．0 C．πD．2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km，数字2900000000用科学记数法表示为（）A．2.9×108B．2.9×109C．29×108D．0.29×10103．若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（）A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣14．函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥5．已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1 B．2 C．3 D．47．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（）A．平均分B．方差C．中位数D．极差8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：99．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（）A．10+或5+2B．15 C．10+D．15+310．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x 的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为．12．分解因式：a3﹣4a＝．13．一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝．15．两个人做游戏：每个人都从﹣1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为．17．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为．18．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．三、解答题（本大题共10小题，共66分）19．（4分）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．20．（4分）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．21．（5分）解方程：﹣1＝．22．（6分）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A 测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N 两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．27．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cosC＝，求DN的长．28．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．（直接写出结果即可）参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜＜π，∴在这四个数中，最大的数是π．故选：C．2．【解答】解：2900000000用科学记数法表示为2.9×109，故选：B．3．【解答】解：∵|x+2|+（y﹣3）2＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，解得：x＝﹣2，y＝3，故x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：A．4．【解答】解：根据题意可得：2x≥0，解得：x≥0，故选：C．5．【解答】解：①中k1＞0，k2＞0，故k1•k2＞0，故①符合题意；②中k1＜0，k2＞0，故k1•k2＜0，故②不符合题意；③中k1＞0，k2＜0，故k1•k2＜0，故③不符合题意；④中k1＜0，k2＜0，故k1•k2＞0，故④符合题意；故选：B．6．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“1”与“6”是相对面，“5”与“2”是相对面，“3”与“4”是相对面．故选：B．7．【解答】解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，因此中位数不变，故选：C．8．【解答】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，所以圆锥与圆柱的体积的比＝（×πr2×h）：（πr2×3h）＝1：9．故选：D．9．【解答】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，故m+n＝5+2；当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，故m+n＝10+；故选：A．10．【解答】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，∵y＝，∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，∴OA•2＝1.5，∴OA＝，∴AM＝1+＝．如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2+，综上所述，满足条件的AM的值为或2+，故选：A．二、填空题11．【解答】解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．12．【解答】解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）13．【解答】解：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE＝BC．同理可得：DF＝AC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝16＝8（cm）．则三条中位线构成的三角形的周长为8cm．故答案为：8．14．【解答】解：∵∠COD＝90°，∠AOB＝90°，∠AOD＝108°，∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝108°﹣90°＝18°，∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣18°＝72°．故答案为：72°．15．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为5，所以两人所写整数的绝对值相等的概率＝．故答案为．16．【解答】解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：3＝1×3；第2个图需要黑色棋子的个数为：8＝2×4；第3个图需要黑色棋子的个数为：15＝3×5；第4个图需要黑色棋子的个数为：24＝4×6；…发现规律：第n个图需要黑色棋子的个数为：n（n+2）；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20（20+2）＝440．故答案为：440．17．【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，∴△＝4+4a，∴①当a＞﹣1时，△＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x＝＝1±，∵a＞﹣1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．则有32﹣6﹣a＜0，∴a＞3，故④正确，故答案为①③④．18．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∴在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧上运动，如图，此时∠AOB＝120°，OA＝＝，所以弧AB的长为：＝．则点F的运动路径的长度为．故答案为：．三、解答题19．【解答】解：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1＝5﹣1+3＝7．20．【解答】解：原式＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4＝2x2﹣1，当x＝时，原式＝2（）2﹣1＝5．21．【解答】解：方程的两边同乘x﹣1，得：2x﹣x+1＝4，解这个方程，得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，∴原方程的解是x＝3．22．【解答】解：∵AB⊥BD，∠BAM＝45°，∴∠AMB＝45°，∴∠AMB＝∠BAM，∴AB＝BM＝20，∴在Rt△ABM中，AM＝20，作AE⊥MC于E，由题意得∠ACM＝45°，∠CAM＝75°，∴∠AMC＝60°，∴在Rt△AME中，AM＝20，∵sin∠AME＝，∴AE＝sin60°•20＝×20＝10，在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝10，∴sin∠ACE＝，∴AC＝＝＝20≈35（米），答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．23．【解答】解：（1）1000名学生一分钟的跳绳次数是总体，40名学生的一分钟跳绳次数是样本容量；（2）由题意所给数据可知：50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，∴a+b＝40﹣4﹣16＝20，∵2a＝3b，∴解得a＝12，b＝8，（3）1000×＝200（人），答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．24．【解答】解：（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．25．【解答】解：（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，购买一个乙种笔记本需要y元，依题意，得：，解得：．答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元．（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，依题意，得：（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）≤250×90%，解得：m≤21，又∵m为正整数，∴m可取的最大值为21．设购买两种笔记本总费用为w元，则w＝（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）＝4m+140，∵k＝4＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝21时，w取得最大值，最大值＝4×21+140＝224．答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．26．【解答】解：（1）由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，∴＝（）2＝，又△AEB的面积为6，∴S△AOM＝S△ABE＝×6＝＝|k|，∴k＝﹣3，k＝3（舍去），∴反比例函数的关系式为y＝﹣；（2）由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，由题意得，，解得，，，又A在第二象限，点C在第四象限，∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），（2）一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点N的坐标为（0，2），∴S△AOC＝S△CON+S△AON＝×2×（1+3）＝4．27．【解答】证明：（1）如图，连接OD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵AO＝BO，BD＝CD，∴OD∥AC，∵DM⊥AC，∴OD⊥MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，∴∠BAD＝∠CDM，∵∠BDN＝∠CDM，∴∠BAD＝∠BDN，又∵∠N＝∠N，∴△BDN∽△DAN，∴，∴DN2＝BN•AN＝BN•（BN+AB）＝BN•（BN+AC）；（3）∵BC＝6，BD＝CD，∴BD＝CD＝3，∵cosC＝＝，∴AC＝5，∴AB＝5，∴AD＝＝＝4，∵△BDN∽△DAN，∴＝＝，∴BN＝DN，DN＝AN，∴BN＝（AN）＝AN，∵BN+AB＝AN，∴AN+5＝AN∴AN＝，∴DN＝AN＝．28．【解答】解：（1）把C（﹣1，7），D（5，7）代入y＝ax2+bx+12，可得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+12．（2）如图1中，过点E作EM⊥AB于M，过点D作DN⊥AB于N．对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，令y＝0，得到，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∵D（5，7），∴OA＝2，DN＝7，ON＝5，AN＝7∵△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，∴DE：AD＝1：7，∴AE：AD＝6：7，∵EM∥DN，∵＝＝＝，∴＝＝，∴AM＝EM＝6，∴E（4，6），∴直线BE的解析式为y＝﹣3x+18，由，解得或，∴F（1，15），过点P作PQ∥y轴交BF于Q，设P（t，﹣t2+4t+12_）则Q（t，﹣3t+18），∴PQ＝﹣t2+4t+12﹣（﹣3t+18）＝﹣t2+7t﹣6，∵S△PBF＝•（﹣t2+7t﹣6）•5＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴t＝时，△BFP的面积最大，最大值为．（3）对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，当y＝16时，﹣x2+4x+12＝16，解得x1＝x2＝2，当y＝12时，﹣x2+4x+12＝12，解得x＝0或4，观察图2可知：当0≤x≤2或2≤x≤4时，12≤y≤16，∴m＝0，n＝2或m＝2，n＝4，∴m﹣n＝﹣2。
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题
黑龙江省大庆市2020年中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．－1，0，π）A ．－1B ．0C ．π D2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000km ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（ ）A ．82.910⨯B ．92.910⨯C ．82910⨯D ．100.2910⨯ 3．若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）A ．－5B ．5C ．1D ．－14．函数y =x 的取值范围是（ ）A ．0x ≤B ．0x ≠C ．0x ≥D ．12x ≥ 5．已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）A ．平均分B ．方差C ．中位数D ．极差8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ） A ．1：1 B ．1：3 C ．1：6 D ．1：9 9．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不．相似，则m n +的值为（ ）A ．105+B ．15 C ．10D ．15+10．如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合．设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ，则当52y =时，x 的值为（ ）A ．74或2B 2C ．2D ．74二、填空题11．点(2，3)关于y 轴对称的点的坐标为_____．12．分解因式：34x x -=______．13．一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm ． 14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD ∠=︒，则COB ∠=_________．15．两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为_________．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．17．已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．18．如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为_________．三、解答题19．计算：1015(1)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭20．先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中x =21．解方程：24111x x x -=-- 22．如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ．从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m 1.414≈ 1.732≈）23．为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a ，b 满足关系式23a b =．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量;（2）求a ，b 的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生） 24．如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN ．（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；（2）若4=AD ，2AB =，且MN AC ⊥，求DM 的长25．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．如图，反比例函数k y x=与一次函数(1)y x k =--+的图象在第二象限的交点为A ，在第四象限的交点为C ，直线AO （O 为坐标原点）与函数k y x =的图象交于另一点B ．过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两直线相交于点E ，AEB △的面积为6．（1）求反比例函数k y x=的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC V 的面积．27．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O e 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N ．（1）求证：MN 是O e 的切线；（2）求证：()2DN BN BN AC =⋅+；（3）若6BC =，3cos 5C =，求DN 的长．28．如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（B 在A 的右侧），且经过点()17C -,和点D ()5,7．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F ．连接CA ，CE ，CD ，CED △的面积与CAD V的面积之比为1：7．点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t ．当t 为何值时，PFB △的面积最大？并求出最大值； （3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，求m n -的取值范围．（直接写出结果即可）。
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2020年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．（3分）在1-，0，π，3这四个数中，最大的数是( ) A ．1-B ．0C ．πD ．32．（3分）天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2900000000km ，数字2900000000用科学记数法表示为( )A ．82.910⨯B ．92.910⨯C ．82910⨯D ．100.2910⨯3．（3分）若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为( ) A ．5-B ．5C ．1D ．1-4．（3分）函数2y x =的自变量x 的取值范围是( )A ．0xB ．0x ≠C ．0xD ．12x5．（3分）已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k >的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6．（3分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．（3分）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分．则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是( )A ．平均分B ．方差C ．中位数D ．极差8．（3分）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1:3，则圆锥与圆柱的体积的比为( )A．1:1B．1:3C．1:6D．1:99．（3分）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m n+的值为()A．107+或527+B．15C．107+D．1537+10．（3分）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当52y=时，x的值为()A．74或222+B．102或222-C．222±D．74或102二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）点(2,3)P关于y轴的对称点Q的坐标为．12．（3分）分解因式：34a a-=．13．（3分）一个周长为16cm的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为cm．14．（3分）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD∠=︒，则COB∠=．15．（3分）两个人做游戏：每个人都从1-，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为 ．16．（3分）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为 ．17．（3分）已知关于x 的一元二次方程：220x x a --=，有下列结论： ①当1a >-时，方程有两个不相等的实根； ②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根； ③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为 ．18．（3分）如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为 ．三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：011|5|(1)()3π----+．20．（4分）先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中3x 21．（5分）解方程：24111x x x -=--． 22．（6分）如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ，从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45︒，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75︒，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30︒．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶点A 、C 之间的距离（结果精确到1m 2 1.414≈3 1.732)≈．23．（7分）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的a，b满足关系式23=．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，a b但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．（1）求问题中的总体和样本容量；（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）24．（7分）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若4AB=，且MN ACAD=，2⊥，求DM的长．25．（7分）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．26．（8分）如图，反比例函数ky x=与一次函数(1)y x k =--+的图象在第二象限的交点为A ，在第四象限的交点为C ，直线(AO O 为坐标原点）与函数ky x=的图象交于另一点B ．过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两直线相交于点E ，AEB ∆的面积为6．（1）求反比例函数ky x=的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC ∆的面积．27．（9分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于点N ．（1）求证：MN 是O 的切线； （2）求证：2()DN BN BN AC =+； （3）若6BC =，3cos 5C =，求DN 的长．28．（9分）如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点(B 在A 的右侧），且经过点(1,7)C -和点(5,7)D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F ．连接CA ，CE ，CD ，CED ∆的面积与CAD ∆的面积之比为1:7，点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t ．当t 为何值时，PFB ∆的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n 时，y 的取值范围是1216y ，求m n -的取值范围．（直接写出结果即可）【试题答案】一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．C【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得10π-<<<，∴在这四个数中，最大的数是π．2．B【解答】解：2900000000用科学记数法表示为92.910⨯． 3．A【解答】解：2|2|(3)0x y ++-=， 20x ∴+=，30y -=，解得：2x =-，3y =， 故235x y -=--=-． 4．C【解答】解：根据题意可得：20x ， 解得：0x ． 5．B【解答】解：①中10k >，20k >，故120k k >，故①符合题意； ②中10k <，20k >，故120k k <，故②不符合题意； ③中10k >，20k <，故120k k <，故③不符合题意； ④中10k <，20k <，故120k k >，故④符合题意． 6．B【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “1”与“6”是相对面， “5”与“2”是相对面， “3”与“4”是相对面． 7．C【解答】解：原来7个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的5个数中间位置的那个数是相同的，因此中位数不变． 8．D【解答】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r ，圆锥的高为h ，则圆柱的高为3h ，所以圆锥与圆柱的体积的比221():(3)1:93r h r h ππ=⨯⨯⨯=．9．A【解答】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意； 当3，4为直角边，5m =；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：228627-=， 故527m n +=+；当6，8为直角边，10n =；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：22437-=， 故107m n +=+． 10． Ａ【解答】解：如图1中，当过A 在正方形内部时，连接EG 交MN 于O ，连接OF ，设AB 交EH 于Q ，AC 交FG 于P ．由题意，ABC ∆是等腰直角三角形，AQ OE OG AP OF ====，1OEF S ∆=， 52y =， 1.5AOEQ AOFP S S ∴+=四边形四边形，2 1.5OA ∴=，34OA ∴=， 37144AM ∴=+=． 如图2中，当点A 在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT ，2ABC BQR AWT S S S S ∆∆∆=--重叠， 112.522221222AN AN ∴=⨯⨯--⨯⨯，解得22AN =， 222AM ∴=+， 综上所述，满足条件的AM 的值为74或222+．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11． (2,3)-【解答】解：点(2,3)P 关于y 轴的对称点Q 的坐标为(2,3)-． 12． (2)(2)a a a +-【解答】解：原式2(4)a a =- (2)(2)a a a =+-．13． 8【解答】解：如图，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点 12DE BC ∴=． 同理可得：12DF AC =，12EF AB =， 11()168()22DE DF EF AB BC AC cm ∴++=++=⨯=．则三条中位线构成的三角形的周长为8cm ． 14． 72︒【解答】解：90COD ∠=︒，90AOB ∠=︒，108AOD ∠=︒， 1089018AOC AOD COD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， 901872COB AOB AOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．15．59【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为5， 所以两人所写整数的绝对值相等的概率59=． 16． 440【解答】解：观察图形可知：第1个图需要黑色棋子的个数为：313=⨯； 第2个图需要黑色棋子的个数为：824=⨯； 第3个图需要黑色棋子的个数为：1535=⨯； 第4个图需要黑色棋子的个数为：2446=⨯；⋯发现规律：第n 个图需要黑色棋子的个数为：(2)n n +；所以第20个图需要黑色棋子的个数为：20(202)440+=． 17． 3 【解答】解：220x x a --=，∴△44a =+，∴①当1a >-时，△0>，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当0a >时，两根之积0<，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为244112ax a ±+==±+， 1a >-，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 则有2360a --<， 3a ∴>，故④正确．18．233π【解答】解：ABC ∆是等边三角形，AB BC AC ∴==，60ABC BAC BCE ∠=∠=∠=︒，∴在ABD ∆和BCE ∆中，AB AC ABC BCE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD BCE SAS ∴∆≅∆， BAD CBE ∴∠=∠，60AFE BAD FBA CBE FBA ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， 120AFB ∴∠=︒，∴点F 的运动轨迹是以点O 为圆心，OA 为半径的弧，如图，此时120AOB ∠=︒，3cos30AHOA =︒所以弧AB 120323ππ⨯=则点F 23π23π三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】原式第一项绝对值计算，第二项利用零指数幂的法则计算，第三项利用负指数幂的法则计算，计算即可得到结果．【解答】解：011|5|(1)()3π----+513=-+ 7=．20．【分析】根据整式的混合运算顺序先进行整式的化简，再代入值进行计算即可． 【解答】解：原式224544x x x x =+-+-+ 221x =-，当x =215=-=．21．【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．【解答】解：方程的两边同乘1x -，得：214x x -+=， 解这个方程，得：3x =， 经检验，3x =是原方程的解，∴原方程的解是3x =．22．【分析】在Rt ABM ∆中，根据等腰直角三角形的性质求得AM ，在Rt AME ∆中，根据正弦函数求得AE ，在Rt AEC ∆中，根据正弦函数求得AC ．【解答】解：AB BD ⊥，45BAM ∠=︒，45AMB ∴∠=︒，AMB BAM ∴∠=∠，20AB BM ∴==，∴在Rt ABM ∆中，AM =，作AE MC ⊥于E ，由题意得45ACM ∠=︒，75CAM ∠=︒， 60AMC ∴∠=︒，∴在Rt AME ∆中，AM =，sin AEAME AM∠=，sin 602022AE ∴=︒==在Rt AEC ∆中，90AEC ∠=︒，45ACE ∠=︒，AE =sin AEACE AC∴∠=， 10620335sin 4522AE AC ∴===≈︒（米)， 答：两建筑物顶点A 、C 之间的距离约为35米．23．【分析】（1）根据总体和样本容量的定义即可得问题中的总体和样本容量； （2）根据表格所给数据先求出50.5~75.5的有4人，75.5~100.5的有16人，再根据20a b +=，23a b =，即可求出a ，b 的值；（3）利用样本估计总体的方法即可估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人．【解答】解：（1）1000名学生一分钟的跳绳次数是总体， 40名学生的一分钟跳绳次数是样本容量； （2）由题意所给数据可知： 50.5~75.5的有4人， 75.5~100.5的有16人， 4041620a b ∴+=--=， 23a b =，∴解得12a =，8b =，（3）8100020040⨯=（人)， 答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．24．【分析】（1）在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，可得//AD BC ，AO CO =，可以证明AOM CON ∆≅∆可得AM CN =，进而证明四边形ANCM 为平行四边形；（2）根据MN AC ⊥，可得四边形ANCM 为菱形；根据4AD =，2AB =，AM AN NC AD DM ===-，即可在Rt ABN ∆中，根据勾股定理，求DM 的长．【解答】解：（1）证明：在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点， //AD BC ∴，AO CO =，OAM OCN ∴∠=∠，OMA ONC ∠=∠，在AOM ∆和CON ∆中， OAM OCN AMO CNO AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOM CON AAS ∴∆≅∆， AM CN ∴=， //AM CN ，∴四边形ANCM 为平行四边形；（2）在矩形ABCD 中，AD BC =， 由（1）知：AM CN =， DM BN ∴=，四边形ANCM 为平行四边形，MN AC ⊥，∴平行四边形ANCM 为菱形，AM AN NC AD DM ∴===-，∴在Rt ABN ∆中，根据勾股定理，得222AN AB BN =+，222(4)2DM DM ∴-=+， 解得32DM =． 25．【分析】（1）设购买一个甲种笔记本需要x 元，购买一个乙种笔记本需要y 元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m 个甲种笔记本，则购买(35)m -个乙种笔记本，根据总价=单价⨯数量结合此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为正整数可得出最多购买甲种笔记本的个数，设购买两种笔记本总费用为w 元，根据总价=单价⨯数量，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设购买一个甲种笔记本需要x 元，购买一个乙种笔记本需要y 元， 依题意，得：15202505x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：105x y =⎧⎨=⎩．答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元． （2）设购买m 个甲种笔记本，则购买(35)m -个乙种笔记本，依题意，得：(102)50.8(35)25090%m m -+⨯-⨯， 解得：1214m ，又m 为正整数，m ∴可取的最大值为21．设购买两种笔记本总费用为w 元，则(102)50.8(35)4140w m m m =-+⨯-=+， 40k =>，w ∴随m 的增大而增大，∴当21m =时，w 取得最大值，最大值421140224=⨯+=．答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元． 26．【分析】（1）由题意得，点A 与点B 关于原点对称，即OA OB =，从而得出14AOM ABE S S ∆∆=，进一步求出三角形AOM 的面积，求出k 的值即可；（2）求出一次函数2y x =-+与y 轴的交点N 坐标，根据AOC CON AON S S S ∆∆∆=+ 计算结果即可．【解答】解：（1）由题意得，点A 与点B 关于原点对称，即OA OB =，∴21()4AOM ABE S OA S AB ∆∆==， 又AEB ∆的面积为6，11316||4422AOM ABE S S k ∆∆∴==⨯==，3k ∴=-，3k =（舍去）， ∴反比例函数的关系式为3y x=-； （2）由3k =-可得一次函数2y x =-+，由题意得， 23y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得，1131x y =⎧⎨=-⎩，2213x y =-⎧⎨=⎩， 又A 在第二象限，点C 在第四象限，∴点(1,3)A -，点(3,1)C -，（2）一次函数2y x =-+与y 轴的交点N 的坐标为(0,2)， 12(13)42AOC CON AON S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+=．27．【分析】（1）如图，连接OD，由圆周角定理可得90ADB∠=︒，由等腰三角形的性质可得BD CD=，BAD CAD∠=∠，由三角形中位线定理可得//OD AC，可证OD MN⊥，可得结论；（2）通过证明BDN DAN∆∆∽，可得BN DNDN AN=，可得结论；（3）由等腰三角形的性质可得3BD CD==，由锐角三角函数可求5AC AB==，由勾股定理可求4AD=，由相似三角形的性质可得34BN DN BDDN AN AD===，即可求解．【解答】证明：（1）如图，连接OD，AB是直径，90ADB∴∠=︒，又AB AC=，BD CD∴=，BAD CAD∠=∠，AO BO=，BD CD=，//OD AC∴，DM AC⊥，OD MN ∴⊥，又OD 是半径， MN ∴是O 的切线；（2）AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，90ABC BAD ∠+∠=︒，90ACB CDM ∠+∠=︒， BAD CDM ∴∠=∠， BDN CDM ∠=∠， BAD BDN ∴∠=∠，又N N ∠=∠， BDN DAN ∴∆∆∽，∴BN DNDN AN=， 2()()DN BN AN BN BN AB BN BN AC ∴==+=+； （3）6BC =，BD CD =， 3BD CD ∴==， 3cos 5CDC AC==， 5AC ∴=， 5AB ∴=，4AD ∴==， BDN DAN ∆∆∽，∴34BN DN BD DN AN AD ===， 34BN DN ∴=，34DN AN =， 339()4416BN AN AN ∴==，BN AB AN +=，∴9516AN AN += 807AN ∴=， 36047DN AN ∴==． 28．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中，过点E 作EM AB ⊥于M ，过点D 作DN AB ⊥于N ．利用平行线分线段成比例定理求出点E 的坐标，求出直线BE 的解析式，构建方程组确定点F 的坐标，过点P 作//PQ y 轴交BF 于Q ，设2(,412_)P t t t -++则(,318)Q t t -+，再构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）求出12y =或16时，自变量x 的值，利用图象法确定m ，n 的值即可． 【解答】解：（1）把(1,7)C -，(5,7)D 代入212y ax bx =++， 可得127255127a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得14a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为2412y x x =-++．（2）如图1中，过点E 作EM AB ⊥于M ，过点D 作DN AB ⊥于N ．对于抛物线2412y x x =-++，令0y =，得到，24120x x --=，解得2x =-或6， (2,0)A ∴-，(6,0)B ， (5,7)D ，2OA ∴=，7DN =，5ON =，7AN = CED ∆的面积与CAD ∆的面积之比为1:7， :1:7DE AD ∴=， :6:7AE AD ∴=， //EM DN ，67EN AM AE DN AN AD ===，∴6777EM AM ==， 6AM EM ∴==，(4,6)E ∴，∴直线BE 的解析式为318y x =-+，由2318412y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩，解得60x y =⎧⎨=⎩或115x y =⎧⎨=⎩， (1,15)F ∴，过点P 作//PQ y 轴交BF 于Q ，设2(,412)P t t t -++则(,318)Q t t -+，22412(318)76PQ t t t t t ∴=-++--+=-+-， 22157125(76)5()2228PBF S t t t ∆=-+-=--+， 502-<， 72t ∴=时，BFP ∆的面积最大，最大值为1258．（3）对于抛物线2412y x x =-++，当16y =时，241216x x -++=， 解得122x x ==，当12y =时，241212x x -++=，解得0x =或4， 观察图2可知：当02x 或24x 时，1216y ，0m ∴=，2n =或2m =，4n =或0m =，4n =，2m n ∴-=-或4-。