浅析常微分方程的常数变易法
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常微分方程的常数变易法及其应用[摘 要]本文归纳整理了常微分方程常数变易法的几个应用. [关键词]常数变易法; 微分方程; 齐次; 系数Constant Variating Method and Application in Ordinary Differential EquationAbstract This paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equationKeywords constant variating method ; differential equation ; homogeneous coefficient一、关于常数变易法 []4常数变易法是微分方程中解线性微分方程的方法，就是将齐次线性微分方程通解中的c 变换为函数()x c ,它是拉格朗日(Lagrangr Joseph Louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的仅是他的结论。
二、常数变易法的几个应用1.常数变易法在一阶线性非齐次微分方程中的应用[]75.3，一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P dxdy+= （1） 它所对应的齐次方程为y x P dxdy)(= （2） y x P dxdy)(=是变量分离方程，它的通解为 ⎰=dxx p ce y )( （3）下面讨论一阶线性非齐次微分方程（1）的解法。
方程（2）与方程（1）既有联系又有区别设想它们的解也有一定的联系，（3）中的c 恒为常数，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，c 不再是常数，将是()x c 的待定函数，为此令()()P x dxy c x e ⎰= （4）两边积分得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx⎰⎰=+ 将（4）．（5）代入（1），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx⎰⎰⎰+=+ （5）即()()()P x dx dc x Q x e dx-⎰= 两边积分得()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰（6）这里c 是任意的常数，将()()()P x dx c x Q x e dx c -⎰=+⎰代入()()P x dxy c x e ⎰=得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+⎰⎰这就是方程)()(x Q y x P dxdy+=的通解 例1 求方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数.解 将方程改写为(1)1x n dy ny e x dx x -=++ （7）先求对应齐次方程01dy ny dx x -=+的通解，得 (1)n y c x =+ 令()(1)n y c x x =+ （8） 微分得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （9） 将（8）、（9）代入（7）中再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代入（8）中，即得原方程的通解(1)()n x y x e c =++ 这里c 是任意的常数例2 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解 原方程改写为2dx x y dy y=- （10） 把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dxdy来说，方程（10）就是一个线性 先求齐次线性方程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （11） 令2()x c y y =，于是2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代入（10），得到()ln c y y c =-+ 从而原方程的通解为2(ln )x y c y =- 这里c 是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 初值问题为了求初值问题00()()()dyP x y Q x dx y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩常数变易法可采用定积分形式，即（4）可取为 ⎰=xx d p e x c y 0)()(ττ （12）代入（1）化简得.0()()()xx p d c x Q x e ττ-⎰'=积分得⎰+⎰=-x x d p c ds es Q x c sx 00)()()(ττ代入（12）得到⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q ece y sx xx xx 000)()()()(ττττττ将初值条件0x x =、0y y =代入上式0y c =于是所求的初值问题为⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q eey y sx xx xx 0000)()()(0)(ττττττ或⎰⎰+⎰=x x d p d p ds e s Q ey y sxxx 00)()(0)(ττττ定理①一阶非齐线性方程（1）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2）之解； ②若()y y x =是（2）的非零解，而()y y x =是（1）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数；③方程（2）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2）的解.证明 ①设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使)()(2211x Q py dxdy x Q py dxdy +=+=两式相减有1212()()d y y p y y dx-=- 说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解. ②因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论②成立.③因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论③成立.2.常数变易法在二阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]1我们知道常数变易法用来求非齐次线性微分方程的通解十分有效，现将常数变易法应用于二阶常系数非齐次线性微分方程中.该方法是新的,具有以下优点：①无需求非齐次方程的特解，从而免去记忆二阶微分方程各种情况特解的形式；②无需求出相应齐次方程的全部解组，仅需求出一个即可；③可得其通解公式.现考虑二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+''+'' （1） 其对应的齐次方程为0=+'+''qy y p y （2） 下面对（2）的特征方程02=++q pr r （3）x有实根和复根加以考虑①若r 为（3）的一实根，则rx e y =是（2）的一解，由常数变易法，可设（1）的解为rx e x c y )(=通过求导可得()()()()rxrxrxrxrx ex c r e x c r e x c y e x rc e c y 22+'+''=''+'=' （4）将（4）和()rx e x c y =代入（1）化简得()()()()x f e x c p r x c rx -='++''2 这是关于)(x c '的一阶线性方程，其通解为()dx dx x f e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （5）②若r 为（3）的一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，则f 为（2）一解，由常数变易法，可设（1）的解为()bx e x c y ax sin = ，与情形①的推到类似，不难求得方程（1）的通解公式为⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（6）例1求six y y y =-'+''2的通解 解 相应的特征方程为022=-+r r 有解1=r ，故设非齐次方程的解为()x e x c y =对其求导得()()()()()xxxxx ex c e x c e x c y e x c e x c y +'+''=''+'='2代入原方程化简得()()x si e x c x c x n 3-='+'' 其通解为()⎰---+-=='x x x x ce e x co x si bxdx si e e x c 323s n 251n )( 所以()()231s n 3101c e c e x co x si x c x x +++-=-- 从而原方程的通解为()x x x e c e c x co x si e x c y 221s n 3101)(+++-==- 例2求x e y y y =+'+''44的通解 解 相应的特征方程为0442=++r r 有解4,2=-=p r 且，有公式（5），得其通解为()[]()⎰⎰+-+-⨯--=dx dx e e e e y x x x x ][424222dx c e e x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-13231= x x xe c xe c e 222191--++3.常数变易法在三阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]2前文中对二阶常系数非齐次线性微分方程的解法进行了讨论，以下对一般的 三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+'''详细论述，此方法弥补了一般情况下只有特殊()x f 才能求解的缺陷，扩大了()x f 的适用范围.由前面知，二阶常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+''+'' 对应齐次微分方程的特征方程02=++q pr r ①若r 为实特征根，通解为dx dx e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （1） ②若r 为一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，通解为 ⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（2）三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+''' （3） 则对应的齐次方程为0=+'+''+'''sy y q y p y （5） 其对应的齐次方程023=+++s qr pr r （6）若r 为其一实根，λ为方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（根，则方程（3）的通解为① 当λ为实根时，()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ ② 当λ为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠bdx dx bx bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(sin n )(n 证明 因为特征方程（5）是三阶方程，所以它至少有一实根，不妨设r 为特征方程一实根，则rx e y =是（4）的一解，这时可设（3）的解为(),rx e x c y =将其代入（3）中可得()()()()()()rx e x f x c s qr pr r x c q pr r x c p r x c -=++++'+++''++'''23223)(3)(因为r 为特征方程一根，所以 023=+++s qr pr r ，因此()()()()rx e x f x c q pr r x c p r x c -='+++''++'''23)(3)(2这是关于()x c '的二阶常系数非齐次线性微分方程，其特征方程，其特征方程为 ()()023322=+++++q pr r p r λλ 若其根为λ为实根，则由二阶方程通解公式（1）可得 ()()()[]⎰⎰-++++-='dx dx e x f e e e x c rx x p r x p r x 332)(λλλ 那么（3）的通解为()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ若其根为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠b 则由二阶方程通解公式（2）可得()()⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛='--dx dx bx si bx si e e x f bx si e x c ax rx ax2n n n 那么（3）的通解为dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 例1 求解方程ax e y y y y =+'+''+'''的通解. 解 对应的齐次方程的特征方程为 0123=+++r r r 其根为i r i r r -==-=321,1,方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（，即0222=+-λλ， 其根为i i -=+=1,121λλ 所以取 11,1,===b a r 代入公式dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 则其通解为dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n 求解过程只需依次积分即可dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n ()dx dx x si c x co x si e bx si e e x x x ⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=-21n s n 21n dx dx x si c dx x si x co e dx x si e x si e e x x x x ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-212n 1n s 21n 121n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-dx c tx c c sx c x si e e x x 21o o 21n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰⎰-xdx si e c xdx co e c dx e e x x x x n s 21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-312212n 2c s 241c x si c x co e c c e e x x xx x e c x si c c x co c c e -+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=31221n 2s 241令33122211,2,2c C c c C c c C =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=那么方程的通解为x x e C x si C x co C e y -+++=321n s 41（为任意常数3,21,C C C ）.4.常数变易法在二阶变系数非齐次线性微分方程中的应用[]8,6二阶变系数微分方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''()()()其对应的齐次方程在某区间上连续，如果其中x f x q x p ,,的通解为2211y c y c y +=那么可以通过常数变易法求得非齐次方程的通解 设非齐次方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''具有形式()()2211~y x c y x c y += 的特解，其中()()x c x c 21,是两个待定函数，对y ~求导数得()()()()x c y x c y y x c y x c y 22112211~'+'+'+'=' 我们补充一个的条件()()02211='+'x c y x c y 这样()()2211~y x c y x c y '+'=' 因此()()()()22112211~y x c y x c y x c y x c y ''+''+''+''='' 将其代入()()()()x f y x q y x p x y =+'+''化简得()()x f c y x c y =''+''2211联立方程()()02211='+'x c y x c y 解得 ()()211221y y y y x f y x c '-'-=' ()()211212y y y y x f y x c '-'=' 积分并取得一个原函数 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'-=211221 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'=211212 则所求的特解为=y ~()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212所以方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''的通解为 2211y c y c y +=()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212例1 求方程x y xy ='-''1的通解解 方程x y xy ='-''1对应的齐次方程为 01='-''y xy 由y x y '=''1得dx xy d y 11='⋅' 积分得c x y ln ln ln +='即cx y ='，得其通解为21c x c y +=所以对应的齐次方程的两个线性无关的特解是12和x ，为了求非齐次方程的一个特解y ~，将21,c c 换成待定函数()()x c x c 21,，且()()x c x c 21,满足下列方程 ()()()()⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x x c x c x x c x c x 212120201 解得()211='x c ()2221x x c -=' ()x x c 211= ()3261x x c -= 于是原方程的一个特解为()()3221311~x x c x x c y =⋅+= 从而原方程的通解322131x c x c y ++=参考文献 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常微分方程线性微分方程与常数变易法-
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x y dy y
它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ，
故其通解为
x e p( y)dy (
Q(
y
)e
p
(
y
) dy
dy
~
c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
~
c)
~
y2 ( ln y c), c为任意常数 。
g
m k
d
(e
k m
t
)
C
k
em
t
(
g
m
e
k m
t
k
C)
m
g
Ce
k m
t
k
由v 0得 t 0
c mg k
因此所求速度与时间的函数关系为
v
mg (1
kt
em
)
k
例1 求方程
(x 1) dy ny ex (x 1)n1 dx
通解,这里为n常数 解: 将方程改写为
dy n y ex (x 1)n dx x 1
解 设速度与时间的函数关系为： v v(t) ,
则依题有v t0 0 , 由牛顿第二定律知：
mg kv ma mv v(0) 0
即 v k v g 其中 P(t) k , Q(t) g
m
m
则通解为
v
e
k dt
m
g
e
k m
dt
dt
C
e
k m
常微分方程课件--常数变易法
电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
解: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),
dI 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 L , RI , dt
于是由Kirchhoff第二定律, 得到
dI L RI E.Байду номын сангаасdt 取开关闭合时的时刻为0, 即I (0) 0. dI R E I . 解线性方程: dt L L
§1.4 线性方程与常数变易法
在a( x) 0的区间上可写成 dy P( x) y Q( x) (1) dx 这里假设P( x),Q( x)在考虑的区间上是 的连续函数 x 若Q( x) 0, 则(1)变为 dy P( x) y (2) dx (2)称为一阶齐次线性方程
若Q( x) 0, 则(1)称为一阶非齐线性方程
x(t ) x(t t ) x(t ) 20 3.08t 1000 t 4000000 20t
因此有 dx
dt 100 x 61.6, x(0) 0. 400000 2t
该方程有积分因子
(t ) exp(
100 dt ) (4000 0.02t )50 400000 2t
积分得
c( x) Q( x)e
p ( x ) dx
p ( x )dx
dx c
~
~
30 故(1)的通解为
ye
( Q( x)e
p ( x ) dx
dx c)
(3)
注 求(1)的通解可直接用公式(3)
例1 求方程
dy ( x 1) ny e x ( x 1) n 1 dx
微分方程中常数变易法的应用
微分方程中常数变易法的应用杨秀香【摘要】利用微分方程中常数变易法、线性代数以及微分方程理论，研究伯努利方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、二阶变系数齐次线性微分方程、二阶变系数非齐次线性微分方程、n阶非齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程组的解法，得到各类方程的通解与特解。
%Using the variation of constants in differential equation, the knowledge of linear algebra and theory of differentiale⁃quation to research Bernoulli equations, two order nonhomogeneous linear differential equations with constant coefficients, two order homogeneous linear differential equation with variable coefficient, two order variable coefficient linear differential equation, n order nonhomogeneous linear differential equations, and non-homogeneous linear differential equations, the general solution and special solution of equations are got.【期刊名称】《渭南师范学院学报》【年(卷),期】2016(031)008【总页数】6页(P9-13,30)【关键词】常数变易法;微分方程;求解;应用【作者】杨秀香【作者单位】渭南师范学院数理学院，陕西渭南714099【正文语种】中文【中图分类】O175.1常数变易法是解微分方程的一种很特殊的方法,常微分方程教材中是在求解一阶非齐次线性微分方程时提出的,这种方法指的是将一阶线性齐次微分方程通解中的常数变易成待定的函数,代入原方程从而确定方程的解。
高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程的解法在高等数学中，我们学习了微积分的基本概念和一阶常微分方程的解法。
而对于高阶常微分方程，我们需要运用一些特殊的方法来求解。
本文将介绍高阶常微分方程的解法，帮助读者更好地理解这一概念。
一、高阶常微分方程的定义高阶常微分方程是指未知函数的导数存在至少二阶及以上的微分方程。
一般写作：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，\(y\) 是未知函数，\(y'\) 表示一阶导数，\(y''\) 表示二阶导数，\(y'''\) 表示三阶导数，以此类推。
\(F\) 是已知的方程。
二、1. 常数变易法常数变易法是高阶常微分方程解法中的一种常见方法。
首先，我们假设某种形式的特解。
常见的形式包括多项式函数、三角函数等。
然后，将特解代入原方程，并解出未知参数。
最后，将特解与通解相加，得到方程的最终解。
举个例子，考虑二阶常微分方程 \(y'' + 2y' + y = e^x\)。
首先，我们猜测特解为 \(y_p = Ae^x\)，其中 \(A\) 是待定常数。
将特解代入方程，得到 \(2Ae^x + 2Ae^x + Ae^x = e^x\)。
通过整理方程，我们可以求得\(A = \frac{1}{4}\)。
因此，特解为 \(y_p = \frac{1}{4}e^x\)。
通解为特解与齐次方程 \(y'' + 2y' + y = 0\) 的通解之和。
2. 变量替换法变量替换法也是一种常见的高阶常微分方程解法。
通过引入新的变量，可以将高阶常微分方程转化为一阶常微分方程。
这样，我们就可以利用一阶常微分方程的求解方法来求解原方程。
例如，考虑二阶常微分方程 \(y'' - 4y = 0\)。
我们引入新的变量 \(u =y'\)，得到一阶方程组：\[\begin{cases} y' = u \\ u' - 4y = 0 \end{cases}\]解这个方程组，可以得到 \(u = 2ce^{2x}\) 和 \(y = c_1e^{2x} +c_2e^{-2x}\)。
浅析常微分方程的常数变易法
作 者 简介 ： 菲菲 ， ， 高 女 内蒙 古 呼 和 浩 特 人 ， 师 ， 士研 究 生 ， 究 方 向 为微 分 方程 与 系统 仿 真 讲 硕 研
。 现 计 机 ２１． 下 代 算 ０２７ ｏ
穷 鼍 爱 差
／
即：
ｙｅ ＝
［ （） ｆ ｘｅ Ｑ
ｄ＋ ］ ｘ Ｃ
（） ５
Ｏ 引
言
的多 是 所谓 的 常数 变 易 法 。
在 计 算 机 的 相 关 教 学 和 研 究 中 ．为 了研 究 某一 个 问 题 ． 常 需 要 先 建 立 数 学 模 型 再 加 以研 究 ． 建 模 就 经 而 是 要 确 定 变 量 间 的 函数 关 系． 很 多情 况 下 ． 须 建 立 在 必 不 仅 包 含 这 些 函数 本 身 ．而且 还包 含 着 这些 函 数 的导 数 或 微 分 的 方 程 或 方 程 组 才 有 可 能 确 定 这 些 函数 关 系 ，即微 分 方 程 。 因此 求 微 分 方 程 的解 就 显 得 尤 为 重
１ 定 义
形如 ：
Ｙ＋ （ ） Ｑ（） Ｐ
ｆ（ 出 Ｐ）
一尸 ） ｆ
ｅ
＝ ） Ｃ（ ｅ 即：
＝ Ｑ（）
ｉ（ 尸）
Ｃ （）Ｑ（） ＝ ｅ
的 方 程 称 为一 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 ， 中 Ｐ（ 其 ）
常微分方程解法
常微分方程解法常微分方程是数学中的一门重要分支，研究描述自然界和社会现象中变化规律的方程。
解常微分方程的方法多种多样，下面将介绍常见的几种解法。
一、分离变量法分离变量法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式，将变量分离。
2. 对两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。
3. 左边的积分可以通过换元或者使用常见函数的积分公式进行计算。
4. 右边的积分可以通过与左边的积分结果进行比较来判断是否需要使用特殊的积分技巧。
5. 对左右两边同时积分后，解出方程中的积分常数。
6. 将积分常数代回原方程中，得到完整的解。
二、常数变易法常数变易法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 先求出对应的齐次方程dy/dx+p(x)y=0的通解。
2. 假设原方程的特解为y=u(x)v(x)，其中u(x)是一个待定的函数，v(x)是齐次方程的通解。
3. 将y=u(x)v(x)代入原方程中，整理后得到关于u(x)和v(x)的方程。
4. 解出关于u(x)的方程，得到u(x)的值。
5. 将u(x)的值代入v(x)中，得到特解。
6. 特解与齐次方程的通解相加，即得到原方程的完整解。
三、二阶齐次线性方程解法二阶齐次线性方程的一般形式为d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0。
解题步骤如下：1. 求解对应的齐次方程d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0的特征方程r^2+p(x)r+q(x)=0，其中r为未知数。
2. 求解特征方程得到两个不同的根r1和r2。
3. 根据r1和r2的值，得到齐次方程的通解y=c1e^r1x+c2e^r2x，其中c1、c2为任意常数。
四、变量替换法变量替换法适用于形如dy/dx=f(y/x)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 进行变量替换，令u=y/x，即y=ux。
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法数学物理方程与特殊函数复习资料二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法20XX年-8-31数理方程所解决的问题与高等数学（微积分）教科书中的常微分方程有很大区别，其中最显著的特点是多数微分方程的条件是边值问题，即知道未知函数在自变量变化区域的边界上的取值。
这就是所谓的边值问题。
最简单的是二阶常微分方程的两点边值问题。
二阶常微分方程的解是一个一元函数，关于这个一元函数的信息，知道的不多，除了微分方程本身提供的之外，还有未知函数在一个区间的两个端点处的值。
微积分所教给我们的技巧是先求出常微分方程的通解，再根据两个条件确定通解中的两个任意常数。
进入这门课之初，先回顾初值问题，再思考边值问题。
在边值问题中，数理方程课程内容中出现了一个历史上非常著名的函数，即格林函数。
对力的分析中普遍使用一个方程：F=ma。
这是著名的牛顿第二定律，其中，F表示力，m表示物体的质量，而a表示物体运动的加速度。
由于加速度的物理意义可解释为物体运动时位移变量对时间的二阶导数，再结合使用虎克定律，就得出简单的振动所满足的二阶常微分方程y 2y 0如果考虑外力作用，该方程化为更一般的情况y 2y f(x)y(0) ,y(0)两个初始条件可解释为已经知道初始位移和初始速度。
求解上面方程需要用常数变易法。
先回顾一阶常微分方程求解的方法，然后再讨论二阶常微分方程的常数变易法。
一、一阶常微分方程初值问题的常数变易法一阶常微分方程常数变易法，用于解源函数不为零的常微分方程问题y (x) ry(x) f(x),x 0y(0)先求解简化的（源函数为零）的方程：y (x) ry(x) 0由分离变量：dydyrdx ry，ydx积分：lny rx c，y(x) Cexp( rx)应用常数变易法，假设简化前的方程的解具有与简化后方程的解有相同形式，将常数替换为待定的函数，即y(x) u(x)exp( rx)求导数，得y (x) u (x)exp( rx) ru(x)exp( rx)u (x)exp( rx) ry(x)数学物理方程与特殊函数复习资料将其代入化简前的方程，得等式u (x)exp( rx) f(x)，u (x) exp(rx)f(x)积分，得u(x)xexp(r )f( )d C代入表达式y(x) u(x)exp( rx)，得y(x) [ exp(r )f( )d C]exp( rx)x应用初始条件，得解函数y(x) exp( rx) exp[ r(x )]f( )dx从两部分解读解函数的意义。
常微分方程的常数变易法
常微分方程的常数变易法常微分方程，这听起来是不是有点儿高深莫测？不过别担心，今天咱们就轻松聊聊一个叫“常数变易法”的玩意儿。
想象一下，这就像是给微分方程穿衣服，选择合适的“服装”让它更加好看。
咱们说的常数变易法，实际上是个非常聪明的技巧，它能帮助咱们找到微分方程的解。
哎，别以为这很难，其实你只需要记住几个小窍门，就能把复杂的方程变得简单得多。
首先呢，常数变易法的核心就是“变化”。
就像生活中有时候你得换换口味，试试新的餐馆一样，微分方程的解也需要“变”一变。
一般来说，微分方程的解可以分为两个部分，一个是齐次解，另一个就是特别解。
齐次解就像你每天都喝的白开水，特别解则是你偶尔想喝的果汁。
常数变易法的妙处在于它教会我们如何在这两个解之间找到联系。
你只要把齐次解的常数当成变量来对待，没错，就是这么简单。
咱们得找一个适合的函数来配合齐次解。
想象一下，你去参加一个派对，得选一身合适的衣服。
选择了对的衣服，当然能让你在人群中脱颖而出。
常数变易法就像是在给齐次解挑选一个合适的函数。
你可以通过求导、代入等一系列“魔法”，最终找到一个满足原方程的特别解。
听起来是不是有点儿神奇？别担心，练习一下就能掌握。
说到这里，有个小细节需要注意哦。
当你选择这个函数时，得确保它是齐次解的线性组合。
就像搭配衣服，得注意颜色和风格的协调，选择不当可是会出大乱子的。
通常情况下，我们会把齐次解的每一项都乘以一个未知函数，然后求解这些未知函数。
慢慢地，最终你会发现，特别解就呼之欲出了。
这过程可不是一蹴而就的，有时需要多试几次，才能找到最完美的搭配。
好啦，接下来咱们来个简单的例子，让理论变得更加生动。
假设咱们有一个简单的微分方程，听起来可能有点吓人，但实际上只要按照常数变易法的步骤，照着做就行。
找到齐次解，哎，记得那是最基础的部分。
咱们就可以开始挑选那个未知函数了。
对了，不要忘了用代入法，验证你的选择是否符合方程的要求。
这个过程有点像做一道菜，你得调味、品尝，最后才能上桌。
线性微分方程的常数变易法
线性微分方程的常数变易法线性微分方程是微积分中重要的研究对象，常数变易法是解线性微分方程的一种常用方法。
本文将介绍线性微分方程以及常数变易法的基本概念和步骤。
1. 线性微分方程的定义和形式线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的微分方程，其中p(x)、q(x)和r(x)为已知函数，y为未知函数。
一阶线性微分方程可以表示为y' + p(x)y = q(x)。
2. 常数变易法的基本思想常数变易法是对齐次线性微分方程的解进行求解的一种方法。
首先求得齐次线性微分方程的通解，然后利用常数变易法找出非齐次线性微分方程的一个特解，将通解和特解相加得到非齐次线性微分方程的通解。
3. 常数变易法的步骤步骤一：求齐次线性微分方程的通解对于齐次线性微分方程y'' + p(x)y' + q(x)y = 0，我们可以先求得其特征方程。
特征方程是通过将y替换为е^(rx)得到的方程，其中r为常数。
解特征方程可以得到一组线性无关的解，它们的线性组合就是齐次线性微分方程的通解。
步骤二：求非齐次线性微分方程的特解对于非齐次线性微分方程y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)，我们假设其特解为y = u(x)v(x)，其中u(x)为常数，v(x)为齐次线性微分方程的通解。
将特解y代入非齐次线性微分方程，可以得到一个关于u(x)的方程，若能解出u(x)的具体形式，则可以得到非齐次线性微分方程的一个特解。
步骤三：求非齐次线性微分方程的通解将齐次线性微分方程的通解和非齐次线性微分方程的特解相加，即可得到非齐次线性微分方程的通解。
4. 常数变易法的应用举例以一阶线性微分方程y' + p(x)y = q(x)为例，根据常数变易法的步骤，首先求得齐次线性微分方程y' + p(x)y = 0的通解，然后假设特解为y =u(x)v(x)，将特解代入非齐次线性微分方程，解出u(x)的具体形式，最后将通解和特解相加即可得到非齐次线性微分方程的通解。
浅析常数变易法
xn t
各方程特解与齐次方程通解的代数和即为原n阶非齐次方程的通解
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由此，对于最初所研究的一阶线性常微分方程，又增 加了一种十分重要的解法。虽然结果形式上不同，但本质 相同。 形式不同的结果之间只相差一个常数。
y e
p x dx
p x dx (c q x e dx)
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常数变易法的本质
解法：
dy y g 齐次方程： dx x
南 开 大 学 第 八 届 大 学 生 文 化 素 质 教 育 节
可见，通过此方法求得的结果与常数变易法结果实质上是一致 的。我们也可以通过实际例题来加以验证，结论亦成立。
• •
例题1：
dy 2 x y dx x 2
dy 2 y dx x
y ec1 x 2
+
(c1为任意常数）
dy x dx 2
y ce
y ce
p x dx
p x dx 1 q x d ln e p x
p x dx
1 q x d p x
p x dx
p xdx q x dx y ce
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d n 1 x dx 解法： d n x a1 n 1 … an 1 an x 0 dt n dt dt
常数变易法的原理
常数变易法的原理
1、常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法。
它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。
2、这是在求一阶线性非齐次微分方程时所用的一种方法，对于一阶线性非齐次微分方程，y+P（x）y=Q（x）。
二分算法a的概念：就是通过折半查找来进行枚举。
二分答案就是直接对答案进行枚举查找，接着判断答案是否合法。
如果合法，就将答案进一步靠近，如果不合法，就接着判断。
这样就可以大大的减少时间。
我们进行二分答案的时候，会对判断到的答案进行验证是否正确，看看这个答案是小还是大了。
所以，要进行这个算法的时候，就必须要保证数据有单调性。
出现“最大值最小”或“最小值最大”但多时间都可以使用二分，二分法“可以把最优化问题转化为判定性问题。
常微分方程解法总结
常微分方程解法总结常微分方程是描述自变量和其导数之间关系的方程，是数学中重要的研究对象之一。
在工程、物理、生物等领域中，常微分方程都有着广泛的应用。
解常微分方程是数学分析的重要内容之一，下面我们将总结常微分方程的解法。
一、分离变量法。
分离变量法是解常微分方程的一种常用方法。
对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，我们可以将变量分离，然后分别对两边积分，最后得到方程的解。
这种方法适用于很多形式的常微分方程，是常微分方程解法中的一种基本方法。
二、齐次方程法。
对于形如dy/dx=f(y/x)的齐次方程，我们可以通过变量代换y=vx来将其转化为可分离变量的形式，然后再用分离变量法解方程。
这种方法适用于一些特殊形式的常微分方程，是解常微分方程的重要方法之一。
三、一阶线性微分方程法。
一阶线性微分方程是形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，我们可以通过乘以一个合适的积分因子来将其转化为恰当微分方程，然后再用恰当微分方程的解法来求解。
这种方法适用于一阶线性微分方程，是解常微分方程的重要方法之一。
四、常数变易法。
对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)e^(∫p(x)dx)的方程，我们可以通过常数变易法来求解。
这种方法适用于一些特殊形式的常微分方程，是解常微分方程的重要方法之一。
五、特解叠加法。
对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的线性非齐次微分方程，我们可以先求其对应的齐次方程的通解，然后再求出非齐次方程的一个特解，最后将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到原方程的通解。
这种方法适用于线性非齐次微分方程，是解常微分方程的重要方法之一。
总结。
通过以上几种常微分方程的解法，我们可以解决很多常微分方程的问题。
当然，常微分方程的解法还有很多其他方法，如变量分离、恰当微分方程、一阶齐次线性微分方程等。
在实际问题中，我们需要根据具体的方程形式和条件来选择合适的解法，以求得方程的解。
希望本文的总结能够对大家在解常微分方程时有所帮助。
一阶线性常微分方程组常数变易公式
一阶线性常微分方程组常数变易公式
一阶线性常微分方程组常数变易公式是一种基本的微分方程组
解法。
它可以帮助我们更快速地求解一些复杂的微分方程组。
这种方法可以有效地解决一些具有复杂依赖的系统的问题，尤其对于模型中的变量较多的情况。
一阶线性常微分方程组常数变易解法(简称CME)的基本思想是，把所有的系数项的常量值抽离出来，各自转化为独立的变量，这样就可以便捷地根据相关的约束条件改变这些变量而得到不同结果。
而CME的公式能够有效地求解多元变量的系统。
在CME中，我们可以把原有的多项式拆分成N个系数项，然后把N个系数项的常量值分别抽取出来，形成N个可变变量，最终获得一个可求解的方程组，并且可用约束条件将可变变量限定在有效范围内。
CME的优点很明显，它使得模型中的复杂性处理变的非常容易。
在模型参数化的情况下，可以快速地对非线性系统进行梯度调整，从而获得更好的结果，而不用担心参数过度调整会导致模型失控。
同时，CME也可以帮助消除不可控因素，从而让模型可以更加稳定地运行。
此外，CME的另一个优点就是可以为实际的现实环境提供更加清晰的模型，从而可以对现实环境中存在的问题进行更加深入的分析和探索，从而为其解决提供更加有力的依据。
总的来说，一阶线性常微分方程组常数变易公式是一种非常有效的解决复杂系统问题的工具，它不仅可以提高模型调整的效率，而且可以让更加准确地从实际环境中挖掘出有价值的信息，从而帮助更好
地解决实际问题。
因此，一阶线性常微分方程组常数变易公式的应用越来越广泛，在多种科学研究和管理的实践中，它都能够起到显著的作用。
常数变易法详释
的待定函数Ｃ（ｘ）占据了通解（６）中Ｃ珟 的位置．这就
是非齐次线性方程（１）与它对应的 齐 次 线 性 方 程 的
通解之间的联系与区 别 之 处．接 下 来 的 事 情 就 是 将
式 （４）代 入 方 程 （１）中 ，确 定 待 定 函 数 Ｃ（ｘ）了 ．以 上
就是一阶线性方程可以利用常数变易法的原因．
相 应 地 确 定 待 定 函 数ｃ２（ｔ），即ｃ２（ｔ）满 足
ｘ２（ｔ）ｃ″２（ｔ）＋ ［２ｘ′２（ｔ）＋ａ２（ｔ）ｘ２（ｔ）］ｃ′２（ｔ）＋
｛２ｃ′１（ｔ）ｘ′１（ｔ）＋
［ｃ″１（ｔ）＋ａ１（ｔ）ｃ′１（ｔ）］ｘ１（ｔ）－ｆ（ｔ）｝＝ ０．（１３） 式 （１３）是 一 个 关 于ｃ′２（ｔ）的 一 阶 线 性 方 程 ．
待定函数中图分类号o1751文献标识码a文章编号10081399201303003002现有教材13在求解一些非齐次线性微分方程时常常用到常数变易法但对其原理缺少详细说明学生往往只知其然不知其所以然故本文拟对一阶二阶和多阶非线性微分方程可用常数变易法求解的原理给出深入阐释以加深学生对此方法的理解
第 １６ 卷 第 ３ 期 ２０１３ 年 ５ 月
中图分类号 Ｏ１７５．１
文献标识码 Ａ
文章编号 １００８－１３９９（２０１３）０３－００３０－０２
现有教材［１－３］ 在 求 解 一 些 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 时常常用到常 数 变 易 法 ，但 对 其 原 理 缺 少 详 细 说 明 ， 学生往往只知其然，不知其所以然，故本文拟对一阶、 二阶和多阶非线性微分方程可用常数变易法求解的 原理给出深入阐释，以加深学生对此方法的理解．
（１１），即 得 二 阶 非 齐 次 线 性 方 程 （９）的 通 解 ． 以上就是二 阶 线 性 方 程 情 形 “…，在 理 论 上，这
常微分方程求解中常数变易法思想的理解与应用
为求方程狔′＋犘（狓）狔 ＝ 犙（狓）的通 解，先 用 分 离 变 量 法 求 得 对 应 齐 次 方 程狔′＋犘（狓）狔 ＝０的 通 解
为狔 ＝ ∫ 犆ｅ－ 犘（狓）ｄ狓，再试将任意 常 数 犆 变 易 为 待 定 函 数犆（狓），即设原方程的解为狔 ＝犆（狓）ｅ－∫犘（狓）ｄ狓，求导
朗 日）耗费１１年时间研究的成果．最开始，Ｌａｇｒａｎｇｅ 想用分离变量法求解 一 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程，结 果 发 现 无 论 怎 样 都 无 法 进 行 变 量 分 离 ，他 转 而 思 考 ， 如果不能进行分离变 量，那 能 否 通 过 变 换 使 得 不 能 分 离 的 项 “消 失 ”呢 ？
（西安交通大学 数学与统计学院，西安 ７１００４９）
摘 要 本 文 通 过 理 论 分 析 及 相 关 例 子 说 明 利 用 常 数 变 易 法 的 思 想 可 以 求 解 线 性 微 分 方 程 （组 ）的 解 ． 关 键 词 常 数 变 易 ；分 离 变 量 ；线 性 微 分 方 程 中图分类号 Ｏ１７５．１ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８ １３９９（２０１９）０３ ００４４ ０３
收稿日期：２０１９ ０１ ０１ 修改日期：２０１９ ０１ ２０ 基 金 资 助 ：高 等 学 校 大 学 数 学 教 学 研 究 与 发 展 中 心 项 目 ；西 安 交 通 大
学本科教改项目（１６２４Ｙ，１６２５Ｙ）；西安交通大学本科教 改 项目基础课专项． 作者简 介：赵 小 艳 （１９７６ ），女，副 教 授，从 事 数 学 教 学 与 研 究． Ｅｍａｉｌ：ｚｈａｏｓｗａｌｌｏｗ＠ｘｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．
２．求 解 二 阶 齐 次 线 性 微 分 方 程
常微分方程特解
常微分方程特解常微分方程特解常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一种重要的分支，它是描述自然现象的重要工具。
在实际问题中，有很多方程的解不能很容易地用初值问题求得，这时需要使用特解。
这篇文章将从常微分方程特解的定义、分类和求解方法等方面进行探讨和解释。
一、定义在微分方程中，特解是指某些微分方程中的解，它们具有特别的形式和特性。
有时，微分方程的一般解涉及到一些参数，对于特定的问题，我们希望这些参数的取值能够使解满足一定的条件，这时候就需要找到特解。
二、分类常微分方程的特解可以分为几类，常见的有常数变易法、待定系数法、变量分离法、特解积分法等。
1. 常数变易法常数变易法是求非齐次线性微分方程的特解方法之一。
其基本思想是假设特解是一个未知的函数与多项式的乘积，然后通过逐项求导及代入微分方程求出特解中多项式的系数。
2. 待定系数法待定系数法是求非齐次线性微分方程特解的一种方法，它利用非齐次项的形式来猜测特解的形式，并通过逐项求导及代入微分方程求出待定系数的值。
对于不同类型的非齐次项，我们需要选择不同的猜测形式。
3. 变量分离法变量分离法是一种常见的求解一阶常微分方程的方法，它将微分方程转化为变量间的相等式，从而易于求解。
4. 特解积分法特解积分法是求非齐次线性微分方程特解的一种方法，它把非齐次项看作是已知函数的积分形式，通过求这个积分来找到特解。
三、求解方法求解常微分方程特解的方法不尽相同，需要根据不同情况采取不同的方法。
1. 常数变易法的求解方法设非齐次线性微分方程为$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$，对应的齐次方程为$y''+p(x)y'+q(x)y=0$。
设方程的特解为$y_p(x)$，通解为$y_c(x)$。
（1）当$f(x)$为常数时，$y_p(x)$形如$k$。
（2）当$f(x)$为$e^{ax}$时，$y_p(x)$形如$Ae^{ax}$。
关于常微分方程的常数变易法
关于常微分方程的常数变易法
徐新荣
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2013(16)3
【摘要】将常数变易法应用于二阶线性微分方程,可解变系数方程,且针对非齐次方程,不必受非齐次自由项形式的限制,即可求得通解.
【总页数】3页(P27-29)
【作者】徐新荣
【作者单位】哈尔滨商业大学基础科学学院,黑龙江哈尔滨150028
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.基于常微分方程的常数变易法的探讨 [J], 唐天国;
2.常微分方程中常数变易法的推广解析 [J], 贾永兴;
3.常数变易法求解常微分方程 [J], 李治远;朱桂玲
4.常微分方程求解中常数变易法思想的理解与应用 [J], 赵小艳;李继成
5.常微分方程求解中常数变易法的应用 [J], 王永静
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