小学奥数立体几何染色问题练习题
六年级奥数题:染色问题(A)
十染色问题(1)年级班姓名得分(编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题)1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?1 2 34 5 67 8 93.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢?(a) (b)4.一个88国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个21的“骨牌” (形如 )把象棋盘上的62个小格完全盖住?5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马从起点出发,跳了n步又回到起点.证明:n一定是偶数.9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:证明:一只马不可能从位置B出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A?为什么?12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只车从位置A出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B.证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.13.88的国际象棋棋盘能不能被剪成7个22的正方形和9个41的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)中任选、、三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问(表2)中的A格上的数字是多少?并说明理由.表 1表 2———————————————答案——————————————————————1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(2931),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.3. 图(a)行,走法如图所示.图(a)图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.4. 不能.原因是每一个21的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.5. 中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有33=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.6. 设这六个点为A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形:考虑由A点引出的五条线段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB、AC、AD三条同为红色.再考虑三角形BCD的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD为蓝色三角形.下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC的三边同为红色.(1) 若三角形DEF也是红色三角形,则存在两个同色三角形.(2) 若三角形DEF中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA、DB、DC三条线段,其中必有两条同色.①若其中有两条是红色的,如DA、DB是红色的,则三角形DAB为第二个同色三角形(图1).②若其中有两条是蓝色的,设DA、DB为蓝色(图2).此时在EA、EB两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB为红色三角形.综上所述,一定有两个同色三角形.7. 甲虫不能走遍所有的立方体.我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.8. 将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.9. 不能.半张象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.10. 与B点同色的点(白点)有22个,异色的点(黑色)有23个.马从B点出发,跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.11. 不能.因为A、B两点异色,从B到A所跳的步数是一个奇数.12. “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A、B两点异色,故从A到B“车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步,但44是一个偶数.13. 如图对88的棋盘染色,则每一个41的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个22的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个22的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.14. 如下图所示,将表(1)黑白相间地染色.表(1)本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.。
小学奥数题目-六年级-计数类-立方体染色
通常,在一个大的立方体表面进行染色,染色之后再进行切割,将大立方体切割成许多小的立方体,这样得到的小立方体中,染色的情况会有许多种,一面染色、两面染色、三面染色……本讲主要讲解解决这类问题的一些方法。
包括染色一面,两面,三面等小立方体个数的计算公式。
例1、将下图中棱长为10厘米正方体表面涂上红色,如果沿着虚线切成8个正方体,这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米?1. 1.长宽高分别为3,4,5的长方体,将其表面涂上红色,然后将其切成60个边长为1的小立方体,这些小立方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少?2. 2.长宽高分别为6,8,12的长方体,将其表面涂上红色,然后沿着与边长分别为6和8的侧面平行的面切3次,沿着与边长分别为8和12的侧面平行的面切2次,沿着与边长分别为6和12的侧面平行的面切3次,将其分成若干个小长方体,这些小长方体中没有被涂成红色的所有表面的面积是多少?3. 3.将棱长为8厘米正方体表面涂上红色,如果把它切成64个边长为2厘米的小立方体,这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米?例2、有30个边长为1分米的正方体,在地面上摆成右图的形式,然后把露出的表面涂成红色,被涂成红色的表面积是多少平方分米?1. 1.如下图,由44个边长为1厘米的小正方体组成的如图所示的形式,现在把露出的表面涂成红色,被涂成红色的表面积是多少平方厘米?2. 2.有55个边长为1分米的正方体,在地面上摆成右图的形式,然后把露出的表面涂成红色,被涂成红色的表面积是多少平方分米?3. 3.如下图,由35个边长为2厘米的小正方体堆成的形状,然后把露出的表面涂成红色,被涂成红色的表面积是多少平方厘米?视频描述例3、一个长方体木块,长5分米,宽3分米,高4分米,在它六个面上都漆满油漆,然后锯成棱长都是1分米的正方体木块。
问锯成的木块中三面涂有油漆有多少块?两面涂有油漆的有多少块?1. 1.一个长方体木块,长10分米,宽6分米,高8分米,在它六个面上都漆满油漆,然后锯成棱长都是2分米的正方体木块。
小学奥数杂题染色问题【三篇】
小学奥数杂题染色问题【三篇】
解析:对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的
房染成白色,
则图中有7个黑色房间和5个白色房间.
如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.
点评:完成本题也可根据要求据图中的房间实际找下路线,看是
否能够找到.
【第二篇】
展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入
口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?
答案:
不能.对展室实行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入
口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个
展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.
【第三篇】
染色问题基本解法:
三面涂色和顶点相关 8个顶点。
两面染色和棱长相关。
即新棱长(棱长-2)×12
一面染色和表面积相关。
同样用新棱长计算表面积公式(棱长-2)×(棱长-2)*6
0面染色和体积相关。
用新棱长计算体积公式(棱长-2)×(棱长-2)×(棱长-2)
长方体的解法和立方体同理,即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。
小学奥数题目-六年级-计数类-立方体染色
通常,在一个大的立方体表面进行染色,染色之后再进行切割,将大立方体切割成许多小的立方体,这样得到的小立方体中,染色的情况会有许多种,一面染色、两面染色、三面染色……本讲主要讲解解决这类问题的一些方法。
包括染色一面,两面,三面等小立方体个数的计算公式。
例1、将下图中棱长为10厘米正方体表面涂上红色,如果沿着虚线切成8个正方体,这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米?1. 1.长宽高分别为3,4,5的长方体,将其表面涂上红色,然后将其切成60个边长为1的小立方体,这些小立方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少?2. 2.长宽高分别为6,8,12的长方体,将其表面涂上红色,然后沿着与边长分别为6和8的侧面平行的面切3次,沿着与边长分别为8和12的侧面平行的面切2次,沿着与边长分别为6和12的侧面平行的面切3次,将其分成若干个小长方体,这些小长方体中没有被涂成红色的所有表面的面积是多少?3. 3.将棱长为8厘米正方体表面涂上红色,如果把它切成64个边长为2厘米的小立方体,这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米?例2、有30个边长为1分米的正方体,在地面上摆成右图的形式,然后把露出的表面涂成红色,被涂成红色的表面积是多少平方分米?1. 1.如下图,由44个边长为1厘米的小正方体组成的如图所示的形式,现在把露出的表面涂成红色,被涂成红色的表面积是多少平方厘米?2. 2.有55个边长为1分米的正方体,在地面上摆成右图的形式,然后把露出的表面涂成红色,被涂成红色的表面积是多少平方分米?3. 3.如下图,由35个边长为2厘米的小正方体堆成的形状,然后把露出的表面涂成红色,被涂成红色的表面积是多少平方厘米?视频描述例3、一个长方体木块,长5分米,宽3分米,高4分米,在它六个面上都漆满油漆,然后锯成棱长都是1分米的正方体木块。
问锯成的木块中三面涂有油漆有多少块?两面涂有油漆的有多少块?1. 1.一个长方体木块,长10分米,宽6分米,高8分米,在它六个面上都漆满油漆,然后锯成棱长都是2分米的正方体木块。
20181125小学奥数练习卷(知识点:染色问题)含答案解析
小学奥数练习卷(知识点:染色问题)注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷(选择题)一.选择题(共5小题)1.连接正方形ABCD的对角线,并将四个顶点分别染成红色或黄色,将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形,则图中有同色三角形的染色方法共有()A.12B.17C.22D.102.由210块小正方体构成5×6×7的长方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面涂红的小正方体有()块,两面涂红的小正方体有()块.A.92,48B.94,48C.90,50D.94,463.一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网,用白色或黑色对每个小正方形涂色,要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色,那么正整数n的最大值是()A.3B.4C.5D.64.如图,一块草地被开垦出11块正六边形耕地,菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物,如果相邻的耕地种植的植物不能相同,她有()种不同的种植办法.(相邻耕地是指有公共边,每块耕地内只能种植一种植物)A.6912B.6144C.4608D.42245.将一个大三角形分割成36 个小三角形,并且将其中一部分小三角形涂成红色,另一部分涂成蓝色,并且使得两个有公共边的三角形的颜色不同,如果红色的三角形比蓝色的多,那么多()个.A.1B.4C.6D.7第Ⅱ卷(非选择题)二.填空题(共37小题)6.把一个正方体的表面积全涂成黑色,然后切成27个小正方体(如图),那么两面是黑色的小正方体共有个.7.将图中的圆圈染色,要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色,则最少需要种颜色.8.一个长方体的棱长都是整数,表面涂上色后,切成棱长为1的正方体,若没有颜色的小正方体共有12个,则一面有色的正方体最少有个.9.将图中的圆圈染色,要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色,则最少需要种颜色.10.一个宝库有9个藏宝室,成九宫格状排列,但只有一个进口和一个出口分别开在如图所示的藏宝室,每个藏宝室至多只能进去一次,相邻的藏宝室之间都有门相通,每个藏宝室中的宝贝价值已标在图中,大盗买通守护,夜间进入宝库,他能带走的宝物价值最多是.11.如图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体,它的底层由5×4个小正方体构成,如果把它的外表面(包括底面)全部涂成红色,那么当这个几何体被拆开后,有3个面是红色的小正方体有块.12.如图所示,用64个棱长为1的小立方体组成一个棱长为4的大立方体,再从上到下取走4个小立方体(图中阴影部分).将剩余立体图形的内外表面都染成红色,那么恰有两个面染色的小立方体共有个.13.一个5×5的方格由25个1×1的小方格组成,每个小方格都被分成四个相同的等腰直角三角形,其中三个被涂成了黑色(如图a所示).小正方形的边如果位于黑色部分,就称为黑边,反之就是白边.在5×5的方格内,相邻(有公共边)小方格的公共边必须是同色的,那么5×5方格的四条长边(如图b 所示)上最少有条黑边.14.将一个8×8×8的立方体的三个面染红色,三个面染蓝色(要求任意三个有公共顶点的面不能全都染同一种颜色),然后将其切割成512个1×1×1的小立方体.这512个小立方体中,有个小立方体上既有红色面又有蓝色面.15.如图,5×5的方格中有三个小方格已经染黑.现在要将一个1×3的白长方形(不能选已经染黑的方格)染黑,要求其不能与已经染黑的方格产生公共边或者公共点.有种选法.16.这是一个由72个相同小四边形组成的图形,有一些四边形被病毒感染变成黑色.当某个健康的小四边形(白色),其周围至少有两个相邻的小四边形被感染时,则该四边形也将被感染变黑,依次扩散开来.那么至少再增加个病毒源(即黑色小四边形),可以使整个大图形都被感染.(相邻是指两个小四边形有公共边).17.将一个4×4×4的立方体切割成64个1×1×1的小立方体,然后将其中16个1×1×1的小立方体染成红色,要求与任意一条棱平行的4个小立方体中,都正好有1个小正方体被染成红色,不同的染色方法有种(旋转后相同的染色方法也视为不同的染色方法).18.小明想要对图中的每个小三角形进行染色,要求任意一个三角形的三边都是一条染红色、一条染绿色、一条染蓝色.图中给出了某些边的颜色,则AB边应该染色.19.如图是一个被挖空的长方体,每个洞都是贯穿的,如果把它丢进染缸里,4个面染色的小正方体比3个面染色的小正方体多个.20.如图,一个长方形的表格有8列,将数字1,2,…按一定顺序填入表格中(从左往右填,等一行填满后进入下一行,还是从左往右填),一个学生先将填有数字1的格子涂黑,接下来跳过1个格子,将填有数字3的格子涂黑;接下来跳过2个格子,将填有数字6的格子涂黑;接下来跳过3个格子,将填有数字10的格子涂黑.依此类推,直到所有列都含有至少一个黑格为止(不再继续涂黑了).那么,他涂黑的最后一个格子里的数字为.21.将1,2,3,4,5填入如图表格中(表中的字母和数字用来标注行、列或者小方格,比如D3就表示D行3列那个白色小方格),要求每行每列上的五个数互不相同,接下来给出一些提示:(1)第4列的黑色小方格内的数之和为9;(2)第C行的黑色小方格内的数之和为7;(3)第2列的白色小方格内的数之和为8;(4)第B行的黑色小方格内的数之和小于第D行的黑色小方格内的数之和.则D4中填的数字为.22.图中的网格是由6个相同的小正方形构成,将其中4个小正方形涂上灰色,要求每行每列都有涂色的小正方形,经旋转后两种涂色的网格相同,则视为相同的涂法,那么有种不同的涂色方法.23.如图所示的多面体叫做正二十面体,是5个柏拉图立体(正多面体)中的一个,这个多面体由20个面(正三角形)围成,现将这20个面着色,要求有共同棱的两个面染有不同的颜色,则至少需要种颜色.24.由一些顶点和边构成的图形称为一个图,对一个图用不同颜色给顶点染色,要求具有相同边的两个顶点染不同的颜色.称为图的点染色,图的点染色通常要研究的问题是完成染色所需要的最少的颜色数,这个数称为图的色数.如图的图称为皮特森图,皮特森图的色数为.25.一块长、宽、高分别为15cm、12cm、9cm的长方体木块表面涂上红色后,将它切成大小相等的正方体且没有废料,至少可以切块,其中六个面都没有涂上红色的正方体有块.26.把一个棱长为n的大正方体表面涂上红色,然后切成n3个棱长为1的小正方体,经统计,恰好有一面涂红色的小正方体数量刚好是有三面涂红色的小正方体的12倍,那么n=.27.七个正方形拼成如图,我们要对其中的若干个正方形进行涂色,要求:(1)至少涂其中的两个正方形;(2)相邻正方形不能同时被涂色(有公共边或者公共顶点的正方形称为相邻正方形).那么,有种不同的涂色方法.28.我们有27个1×1×1的小立方体,将其拼成一个3×3×3的大立方体,其中的一些小立方体的某些面被涂成了灰色,最后拼成的大立方体如图所示,那么,六个面都是白色的小立方体最多有个.29.图2的8×8表格中共含有168个如图1的“T”形.现对图2中的每个小方格染成黑色或白色;如果一个“T”形中黑白小方格各2个,则称这个“T”形为“和谐”的;那么对图2的各种染色方案,“和谐”的“T”形至多有个.30.将图中的边染色,要求有共同顶点的两个相邻的边染不同的颜色,则至少需要中颜色.31.四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成种不同的2×2×2的正方体(经过旋转得到相同的正方体视为同一种惰况).32.一个大正方形表面涂上红色后,按如图方式切成27个小正方形,这些小正方形中,恰好有三个面涂有红色的有个.33.将图中的圆圈染色,要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色,则至少需要种颜色.34.有9个表面涂有红漆的正方体,它们的棱长分别是2,3,4,…,9,10.将这些正方体都锯成棱长是1 的小正方体,在得到的小正方体中,至少有一个面是红色的有个.35.用1024个棱长是1的小正方体组成体积是1024的一个长方体.将这个长方体的六个面都涂上颜色,则六个面都没有涂色的小正方体最多有个.36.如图是64个小正方体组成的大正方体,把它的表面全部涂上绿色,请回答:三面涂上绿色的小正方体有个.没有涂上绿色的小正方体有个.两面涂上绿色的小正方体有个.37.将图中的圆圈染色.要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色,则最少需要种颜色.38.36个相同的小正方体叠成如图所示的长方体,取走A、B、C三个小正方体后,在这个几何体的整个表面涂满红漆,其中有个正方体是三面有漆的.39.x是一个正整数,将x×4×5的长方体的表面涂满红色后,锯成棱长全部是1的小正方体.这些正方体中,至少有一面是红色的小正方体有110个.那么,x=.40.由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体,则立体的表面上(包括底面)所有黑点的总数至少是个.41.把一个大长方体表面涂满红色后,分割成若干个同样大小的长方体,其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块,那么可以把这个大长方体分割成个小长方体.A.20个B.27个C.32个D.42个.42.如图是一个变形的红十字一共分为六块区域.现在要用n种颜色对其染色,要求相邻的两块区域(有公共边的两块区域称为相邻)染成不同的颜色.如果颜色能反复使用,那么一共有种不同的染色方法(用n表示).三.解答题(共8小题)43.将图中的O分别涂成红色、黄色或绿色,要求有线段相连的两个相邻O涂不同的颜色,共有多少种不同的涂法?44.7×7的方格黑白染色,如果黑格比白格少的列的个数为m,黑格比白格多的行的个数为n,求m+n的最大值.45.如图是一个等边三角形,等分为4个小的等边三角形,用红和黄两种颜色涂染它们的顶点,要求每个顶点必须涂色,且只能涂一种颜色.涂完后,如果经过旋转,等边三角形的涂色相同,则认为是相同的涂色,则共有多少种不同的涂法?46.三阶魔方的国际标准配色:白顶黄底,绿前蓝后,橙左红右.现在规定:白色═1,黄色═2,绿色═3,蓝色═4,橙色═5,红色═6.一个复原状态三阶魔方放在桌面上(如图1所示),今天这个魔方按照动态图片的方式打乱,最终变成图2的形态.此时图片中可以看到7个角块,那么看不到的那一个角块儿中与桌面完全接触的颜色代码是.47.用红、绿、蓝三种颜色涂正八面体(如图)的八个面,要求相邻面涂不同的颜色(有一条公共棱的面称为相邻面),一共有多少种不同的涂色方法?(旋转后相同的视为同一种涂色方法)48.下面是一张把4×6的方格纸去掉两个角所得的图形.(1)请把其中的一些格子涂上阴影,使得每个1×2小长方形(不论横竖)的2个方格中都恰有1个阴影方格和1个空白方格;(2)能否用11个1×2小长方形恰好拼满这张方格纸?如果能,请给出一种方法;如果不能,请说明理由.49.将每个最简分数(其中m,n 互质的非零自然数)染成红色或蓝色,染色规则如下:(1)将1染成红色;(2)相差为1的两个数颜色不同,(3)不为1的数与其倒数颜色不同.问:和分别染成什么颜色?50.在给你的卡纸上画有分别由1、2、3、4、5、6、7、8个小正三角形组成的8块拼板,并涂上黑、白两种颜色.(1)请你把这8块拼板剪下并拼成图1所示大的正三角形,且小三角形间的黑、白两种颜色必须相间.请在图1中用粗线条直接画出拼法,并标上每块拼板的标号.(2)图1的三角形金字塔我们称其为边长为6的金字塔(计每个小正三角形的边长为1).图1金字塔中有个如图2所示的菱形.(注意,只要和图2中的形状一样即可,可旋转.)(3)是否存在整数n,使得边长为n的金字塔中菱形的个数为2012202201220132如果存在,请求出n;如果不存在,请证明.参考答案与试题解析一.选择题(共5小题)1.连接正方形ABCD的对角线,并将四个顶点分别染成红色或黄色,将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形,则图中有同色三角形的染色方法共有()A.12B.17C.22D.10【分析】本题考察染色问题.【解答】解:全部为红色或全部为黄色,2种;三红一黄或者三黄一红,4×2=8种,所以有同色三角形的染色方法有2+8=10(种),故选:D.【点评】本题只需简单分类进行枚举即可.2.由210块小正方体构成5×6×7的长方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面涂红的小正方体有()块,两面涂红的小正方体有()块.A.92,48B.94,48C.90,50D.94,46【分析】根据立体图形切拼可知:三个面均为红色的是各顶点处的小正方体,在各棱处,除去顶点处的正方体的有两面红色,在每个面上,除去棱上的正方体都是一面红色,所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体.根据上面的结论,即可求得答案.【解答】解:一面涂红的小正方体在每个面的中间,有:5﹣2=3(块),6﹣2=4(块),7﹣2=5(块)(3×4+3×5+4×5)×2=47×2=94(块)两面涂红的小正方体在12条棱的中间部分(除去顶点),有:(3+4+5)×4=12×4=48(块)答:其中一面涂红的小正方体有94块,两面涂红的小正方体有48块.故选:B.【点评】关键是理解正方体表面涂色的特点,知道切割后的小正方体涂色面的排列特点.注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用.3.一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网,用白色或黑色对每个小正方形涂色,要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色,那么正整数n的最大值是()A.3B.4C.5D.6【分析】此题要充分利用抽屉原理和假设推理.根据题目所给的选项不妨选一个中间的数5为假设n的值,进行一步步地推理,进而推出与题目要求矛盾.从而得出n的取值范围,即得出答案.【解答】解:①假设n=5,(由抽屉原理知)第一行中至少有3个格子颜色相同.不妨设前3格为黑色(如图1).在这3个黑格下方可以分割为4个横着的3×1的长方形,若其中有一个中有2个黑格(如图2),则存在着图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是黑格;所以这4个横着的3×1的长方形中,每个至多1个黑格.②假设这4个横着的3×1的长方形中,有两个对应格子颜色都一样(如图3),则一样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格;而3×1的长方形中至多1个黑格的只有如图4的这4种.如果这4种都存在的话如图5,则同样存在图中粗线长方形4个角上的小正方形都是白格;这均与题目要求的矛盾.所以,n<5,正整数n的最大值是4.而图6给出了n=4的一种构造.故选:B.【点评】对于选择题(特别是类似本题的),我们可以用题目选项所给答案进行推理,而选项正确的答案.4.如图,一块草地被开垦出11块正六边形耕地,菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物,如果相邻的耕地种植的植物不能相同,她有()种不同的种植办法.(相邻耕地是指有公共边,每块耕地内只能种植一种植物)A.6912B.6144C.4608D.4224【分析】由题意,菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物,相邻的耕地种植的植物不能相同,如图所示,发现阴影六边形一圈是关键,中间选好种后,求出中间一圈3×25×[3×24﹣(3×23﹣3×2×1)]=66,即可得出结论.【解答】解:如图所示发现阴影六边形一圈是关键,中间选好种后,周围一圈3种植物,3×25﹣(A、F同色,相当于5个围一圈),5个围一圈=3×24﹣(4个围一圈),4个围一圈=3×23﹣(3个围一圈),3个围一圈=3×2×1=6,中间一圈3×25×[3×24﹣(3×23﹣3×2×1)]=66,所以总共有4×66×24=4224(种)故选:D.【点评】本题考查染色问题.分情况讨论,发现阴影六边形一圈是关键.5.将一个大三角形分割成36 个小三角形,并且将其中一部分小三角形涂成红色,另一部分涂成蓝色,并且使得两个有公共边的三角形的颜色不同,如果红色的三角形比蓝色的多,那么多()个.A.1B.4C.6D.7【分析】按题目要求来涂色的话,只有1 种涂法:红色比蓝色多:(1+2+3+4+5+6)﹣(1+2+3+4+5)=6个.【解答】解:根据分析,按题目要求来涂色的话,只有1 种涂法,如图:红色比蓝色多:(1+2+3+4+5+6)﹣(1+2+3+4+5)=6个.故选:C.【点评】本题考查染色问题,突破点是:逆向思维,推出按题意要求来染色只有一种符合条件,从而得出红色比蓝色的个数.二.填空题(共37小题)6.把一个正方体的表面积全涂成黑色,然后切成27个小正方体(如图),那么两面是黑色的小正方体共有12个.【分析】根据正方体表面涂色的特点,分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点:(1)三面涂色的在每个顶点处;(2)两面涂色的在每条棱长上(除去顶点处的小正方体);(3)一面涂色的都在每个面上(除去棱长上的小正方体);(4)没有涂色的都在内部.【解答】解:两面涂色的在每条棱长上(除去顶点处的小正方体),有:(3﹣2)×12=12(个)故答案为:12.【点评】解决此类问题的关键是抓住:三面涂色的在顶点处;两面涂色的在每条棱长的中间上;一面涂色的在每个面的中心上;没有涂色的在内部.7.将图中的圆圈染色,要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色,则最少需要4种颜色.【分析】要保证使用的颜色最少,则两个相邻的圆圈的颜色要尽可能多的相同,尝试2种颜色和3种颜色都不行,需要4种颜色,据此解答即可.【解答】解:尝试2种颜色和3种颜色都不行,需要4种颜色,如下图:【点评】本题考查染色问题.8.一个长方体的棱长都是整数,表面涂上色后,切成棱长为1的正方体,若没有颜色的小正方体共有12个,则一面有色的正方体最少有32个.【分析】设把表面涂色的小正方形去了,得到的长方体的长、宽、高分别为a、b、c,由题意abc=12,分有四种情形求解即可.【解答】解:设把表面涂色的小正方形去了,得到的长方体的长、宽、高分别为a、b、c,由题意abc=12,有四种情形:①1×1×12时,一面有色的正方体有2(1×1+1×12+1×12)=50个,②1×2×6时,一面有色的正方体有2(1×2+1×6+2×6)=40个,③1×3×4时,一面有色的正方体有2(1×3+1×4+3×4)=38个,④2×2×3时,一面有色的正方体有2×(2×2+2×3+2×3)=32个,综上所述,一面有色的正方体最少有32个.故答案为32.【点评】本题考查染色问题,记住长方体(a×b×c)的染色规律:①3面染色的有8个(与长方体的顶点有关);②2面染色的有4[(a﹣2)+(b﹣2)+(c ﹣2)]个(与长方体的棱长有关);③1面染色的有2[(a﹣2)(b﹣2)+(a ﹣2)(c﹣2)+(b﹣2)(c﹣2)]个(与长方体的表面积有关);④0面染色的有(a﹣2)(b﹣2)(c﹣2)个(与长方体的体积有关);9.将图中的圆圈染色,要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色,则最少需要2种颜色.【分析】可以用不同的字母或数字表示不同的颜色,在图中进行标示,本题要求是有线段相连的两个圆圈颜色不同.【解答】解:用字母A、B、C…表示不同的颜色,先在左上角的圆圈填入A,为了使用的颜色种类尽量少,下一步在与它相连的三个圆圈都填入B,最后得到下面的涂色方法:共使用了2种颜色.故本题答案为:2.【点评】简单涂色类题目可以用标字母的方法,方便分析和解答.10.一个宝库有9个藏宝室,成九宫格状排列,但只有一个进口和一个出口分别开在如图所示的藏宝室,每个藏宝室至多只能进去一次,相邻的藏宝室之间都有门相通,每个藏宝室中的宝贝价值已标在图中,大盗买通守护,夜间进入宝库,他能带走的宝物价值最多是39.【分析】本题首先能想到根据染色问题进行分析,可将房间黑白相间染色,根据进口和出口所染颜色不同可知大盗应该经过了偶数个房间,因此最多经过8个房间,据此解答.【解答】解:借助染色解题,给3×3的方格黑白相同染色(如图),进口为黑格,若全部走完9个方格,出口应为黑格,而图中出口为白格,故至少有一个黑格不能走到,标数最小的(进口除外)应为6,即标6的房间无法进入,所以大盗能带走的宝物最多是45﹣6=39.故答案为:39.【点评】本题的突破口在于能用染色的方法进行解题,难度较大.11.如图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体,它的底层由5×4个小正方体构成,如果把它的外表面(包括底面)全部涂成红色,那么当这个几何体被拆开后,有3个面是红色的小正方体有14块.【分析】首先分析染色的方法,3个面的红色的上层的角块和下层的边块是符合条件的.【解答】解:依题意可知:第一层的共有4个角满足条件.第二层的4个角是4面红色,去掉所有的角块其余的符合条件.分别是3+2+3+2=10(个);共10+4=14(个);故答案为:14【点评】本题考查对染色问题的理解和运用,关键是底面边长不同计算时要分开计算.同时注意底面是涂色的,问题解决.12.如图所示,用64个棱长为1的小立方体组成一个棱长为4的大立方体,再从上到下取走4个小立方体(图中阴影部分).将剩余立体图形的内外表面都染成红色,那么恰有两个面染色的小立方体共有28个.【分析】首先分析棱上的小块,面上的除了空心通道以外其他是没有的,空心通道的数字计算出来相加即可.【解答】解:依题意可知:在大正方体的棱上的,上下各有6个,侧面棱上8个,棱上共20个.空心通道产生的上下各有2个,通道内有4个共8个.共20+8=28(个).故答案为:28.【点评】本题考查对染色问题的理解和运用,关键问题是从棱上分析再分析空心通道即可,问题解决.13.一个5×5的方格由25个1×1的小方格组成,每个小方格都被分成四个相同的等腰直角三角形,其中三个被涂成了黑色(如图a所示).小正方形的边如果位于黑色部分,就称为黑边,反之就是白边.在5×5的方格内,相邻(有公共边)小方格的公共边必须是同色的,那么5×5方格的四条长边(如图b 所示)上最少有5条黑边.【分析】由题意,角上的小方格每个有2条边在外面,故其中至少有1条是黑边,这样5×5方格的四条长边上,黑边不少于1×4=4条.再判断内部的黑边的条数为偶数,则四条长边上的黑边的条数为奇数,所以5×5方格的四条长边上,黑边不少于5条.【解答】解:由题意,角上的小方格每个有2条边在外面,故其中至少有1条是黑边,这样5×5方格的四条长边上,黑边不少于1×4=4条.每个小方格有3条黑边,5×5=25个小方格一共有3×25=75条黑边,而在5×5方格内,相邻(有公共边)小方格的公共边必须是同色的,故内部的黑边的条数为偶数,则四条长边上的黑边的条数为奇数,所以5×5方格的四条长边上,黑边不少于5条,如图所示为5×5方格的四条长边上有5条黑边的例子,综上所述,5×5方格的四条长边(如图b所示)上最少有5条黑边.故答案为5.。
小学奥数专题15:染色问题
专题14 染色问题1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线?4.下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4 n 的长方形,试证明:n 一定是偶数.5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).6.能否用一个田字和15个4⨯1矩形覆盖8⨯8棋盘?7.能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个8⨯8的正方形棋盘?8.在8⨯8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从4⨯4的正方形分别剪去两个1⨯1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1⨯2的七个小矩形?(1)(2) (3)10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)红红红红11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.12.用一批1⨯2⨯4的长方体木块,能不能把一个容积为6⨯6⨯6的正方体木箱充塞填满?说明理由.13.在平面上有一个27⨯27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9⨯9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?14.12⨯12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3⨯4矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回路”)?123———————————————答 案—————————————————————— 1. 不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的. 2. 不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同. 3. 不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等. 4. 如图,对4⨯n 长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L 形纸片所占的3黑1白,第二类占3白1黑.设第一类有a 个,第二类有b 个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b +a =3a +b ,即a =b ,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n 是偶然.5. 将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的.6. 如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个4⨯1的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个4⨯1的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个4⨯1的矩n 个7. 将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住8⨯8的棋盘.8. 将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.564158355039603347445540593451384257464936533261454843543162375220530632211161329642141714251061922782312151287183269249. 先对4⨯4的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个1⨯2矩形能否分别复盖剪去A、B;剪去A、C;剪去A、D的三个棋盘.若7个1⨯2矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个1⨯2矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有5个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有5个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7,也就不能剪成7个1⨯2的矩形.棋盘(1)可以被7个1⨯2的矩形所复盖.下面给出一种剪法:A11277B26543654310. 在第一行的7格中必有4格同色,不妨设这4格位于前4个位置,且均为红色.然后考虑前4列构成的3⨯4矩形.若第二行和第3行中出现2个或2个以上的红色格子.则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形.若不然,则第2、3行中都至少有3个蓝格在前4列中,不妨设第2行前3格为蓝色,显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格,故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形.11. 将17个科学家用17个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.从任意一点,不妨设从A 向其他16点A 1,A 2,…A 16共可连成16条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有6条线段同色.设这6条线段为AA 1,AA 2,…AA 6且同为红色.考虑A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6这六点之间的连线,若有一条为红色,(如A 1A 2为红色) ,则三角形AA 1A 2为红色的同色三角形.若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从A 1引出的五条线段A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4 A 1A 5 A 1A 6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4,且同为蓝色.若三角形A 2A 3A 4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形A 2A 3A 4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.12. 把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为2⨯2⨯2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色2⨯2⨯2的正方体有14个,白色2⨯2⨯2小正方体有13个.每一个这样的正方体相当于8个1⨯1⨯1的小正方体.将1⨯2⨯4的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为1的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的.木箱共含6⨯6⨯6=216个单位正方体,26个长方体木块共盖住8⨯26=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下216-208=8个单位正方体是黑色的.但是第27个1⨯2⨯4长方体木块不管怎样A A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 1A 2A 3A4放,也无法盖住这8个黑色单位正方体.13. 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部.因为一开始时,81枚棋子摆成一个9 9的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.14. 用两种方法对超级棋盘染色.首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.。
小学奥数杂题染色问题【三篇】
小学奥数杂题染色问题【三篇】
导读:本文小学奥数杂题染色问题【三篇】,仅供参考,如果觉得很不错,欢迎点评和分享。
【第一篇】 1.如图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?
解析:对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,
则图中有7个黑色房间和5个白色房间.
如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.
点评:完成本题也可根据要求据图中的房间实际找下路线,看是否能够找到.【第二篇】展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 答案:不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同. 【第三篇】染色问题基本解法:三面涂色和顶点有关8个顶点。
两面染色和棱长有关。
即新棱长(棱长-2)×12一面染色和表面积有关。
同样用新棱长计算表面积公式(棱长-2)×(棱长-2)*6 0面染色和体积有关。
用新棱长计算体积公式(棱
长-2)×(棱长-2)×(棱长-2)长方体的解法和立方体同理,即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。
小学奥数 长方体正方体染色问题、三视图 知识点+例题+练习 (分类全面)
教学内容长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图教学目标掌握长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图重点染色问题、沉浸问题、三视图难点染色问题、沉浸问题、三视图教学过程一、染色问题一个棱长1分米的正方体木块,表面涂满了红色,把它切成棱长1厘米的小正方体。
在这些小正方体中:(1)三个面涂有红色的有多少个?(2)两个面涂有红色的有多少个?(3)一个面涂有红色的有多少个?(4)六个面都没有涂色的有多少个?下面我们结合图示,分别来看看这几个问题。
(1)三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处,正方体有8个顶点,所以三个面涂有红色的有8个。
(2)两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上,每条棱上有8个,正方体有12条棱,所以两个面涂有红色的有8×12=96个。
(3)一个面涂有红色的小正方体在大正方体的面上,每个面上有8×8=64个,正方体有6个面,所以一个面涂有红色的有8×8×6=384个。
(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间,有两种算法:算法1: 1000-8-96-384=512(个);算法2: 8×8×8=512(个)。
公式:(1)正方体有8个顶点、12条棱、6个面假设把棱n等分(n≥3),那么:N的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色,则未被涂色的小立方体有(n-2)3个.一面被涂色的小立方体为(n-2)2*6个.两面被涂色的小立方体有(n-2)*12个.三面被涂色的有8个.(2)长方体, 有a*b*c个立方体组成的长方体表面涂上颜色.则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2)个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4三面被涂色的有8个【例 1】下图是333⨯⨯正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块?0面:1; 1面:6;两面:2;三面:8【巩固】下图是456⨯⨯长方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块?0面:24; 1面:52;两面:36;三面:8图1图2【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体从正面看如图2所示,从上面看如图3所示,那么这个几何体至少用了块木块.26图2图3课堂作业:1.一个长方体,六个面均涂有红色,沿着长边等距离切5刀,沿着宽边等距离切3刀,沿着高边等距离切_______次后,要使各面上均没有红色的小方块为40块.5.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上、从右看这个立体都如下图,则这个形体最少由________个小正方体构成,6.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体从正面看如图2所示,从上面看如图3所示,那么这个几何体至少用了块木块.。
小学奥数专题15:染色问题
专题14 染色问题1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何 一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口 进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路 相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线?4.下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地 拼成一个4 n 的长方形,试证明:n 一定是偶数.5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).6.能否用一个田字和15个4⨯1矩形覆盖8⨯8棋盘?7.能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个8⨯8的正方形棋盘?8.在8⨯8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从4⨯4的正方形分别剪去两个1⨯1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1⨯2的七个小矩形?10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.12.用一批1⨯2⨯4的长方体木块,能不能把一个容积为6⨯6⨯6的正方体木箱充塞填满?说明理由.13.在平面上有一个27⨯27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9⨯9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?14.12⨯12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3⨯4矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回12 3———————————————答 案——————————————————————1. 不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.2. 不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.3. 不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等.4. 如图,对4⨯n 长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L 形纸片所占的方3黑1白,第二类占3白1黑.设第一类有a 个,第二类有b 个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b +a =3a +b ,即a =b ,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n 是偶然.5. 将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的.6. 如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个4⨯1的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个4⨯1的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个4⨯1的矩形n 个7. 将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住8⨯8的棋盘.8. 将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.9. 先对4⨯4的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个1⨯2矩形能否分别复盖剪去A、B;剪去A、C;剪去A、D的三个棋盘.若7个1⨯2矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个1⨯2矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有5个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有5个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7个也就不能剪成7个1⨯2的矩形.棋盘(1).下面给出一种剪法:10. 在第一行的7格中必有4格同色,不妨设这4格位于前4个位置,且均为红色.然后考虑前4列构成的3⨯4矩形.若第二行和第3行中出现2个或2个以上的红色格子.则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形.若不然,则第2、3行中都至少有3个蓝格在前4列中,不妨设第2行前3格为蓝色,显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格,故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形.11. 将17个科学家用17个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.从任意一点,不妨设从A向其他16点A1,A2,…A16共可连成16条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有6条线段同色.设这6条线段为AA1,AA2,…AA6且同为红色.考虑A1,A2,A3,A4,A5,A6这六点之间的连线,若有一条为红色,(如A1A2为红色) ,则三角形AA1A2为红色的同色三角形.若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从A1引出的五条线段A1A2A1A3A1A4A1A5A1A6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为A1A2A1A3A1A4,且同为蓝色.若三角形A2A3A4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形A2A3A4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.12. 把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为2⨯2⨯2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色2⨯2⨯2的正方体有14个,白色2⨯2⨯2小正方体有13个.每一个这样的正方体相当于8个1⨯1⨯1的小正方体.将1⨯2⨯4的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为1的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的.木箱共含6⨯6⨯6=216个单位正方体,26个长方体木块共盖住8⨯26=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下216-208=8个单位正方体是黑色的.但是第27个1⨯2⨯4长方体木块不管怎样放,也无法盖住这8个黑色单位正方体.13. 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部.AA1 A2A3A4A5A6A1A2A3A4因为一开始时,81枚棋子摆成一个9 9的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.14. 用两种方法对超级棋盘染色.首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.。
小学奥数-长方体正方体染色问题、三视图-知识点+例题+练习-(分类全面)精选全文完整版
可编辑修改精选长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图全文完整版教学内容教学目标掌握长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图重点染色问题、沉浸问题、三视图难点染色问题、沉浸问题、三视图教学过程一、染色问题一个棱长1分米的正方体木块,表面涂满了红色,把它切成棱长1厘米的小正方体。
在这些小正方体中:(1)三个面涂有红色的有多少个?(2)两个面涂有红色的有多少个?(3)一个面涂有红色的有多少个?(4)六个面都没有涂色的有多少个?下面我们结合图示,分别来看看这几个问题。
(1)三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处,正方体有8个顶点,所以三个面涂有红色的有8个。
(2)两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上,每条棱上有8个,正方体有12条棱,所以两个面涂有红色的有8×12=96个。
(3)一个面涂有红色的小正方体在大正方体的面上,每个面上有8×8=64个,正方体有6个面,所以一个面涂有红色的有8×8×6=384个。
(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间,有两种算法:算法1: 1000-8-96-384=512(个);算法2: 8×8×8=512(个)。
公式:(1)正方体有8个顶点、12条棱、6个面假设把棱n等分(n≥3),那么:N的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色,则未被涂色的小立方体有(n-2)3个.一面被涂色的小立方体为(n-2)2*6个.两面被涂色的小立方体有(n-2)*12个.三面被涂色的有8个.(2)长方体, 有a*b*c个立方体组成的长方体表面涂上颜色.则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2)个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4三面被涂色的有8个【例 1】下图是333⨯⨯正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块?0面:1; 1面:6;两面:2;三面:8【巩固】下图是456⨯⨯长方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块?看如右下图,那么他最少用了_____块木块。
(完整版)六年级奥数专题01:染色问题.doc
二十染色问题(1)年级班姓名得分(编者按 : 由于内容本身的限制 ,本讲不设填空题 )1.某影院有 31 排,每排 29 个座位 .某天放映了两场电影 ,每个座位上都坐了一个观众 .如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他 (前、后、左、右 )相邻的某一观众交换座位 ,这样能办到吗 ?为什么 ?2.如图是一所房子的示意图 ,图中数字表示房间号码 ,每间房子都与隔壁的房间相通 .问能否从 1 号房间开始 ,不重复的走遍所有房间又回到 1 号房间 ?1 2 34 5 67 8 93.在一个正方形的果园里 ,种有 63 棵果树、加上右下角的一间小屋 ,整齐地排列成八行八列 (见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树 ,不重复也不遗漏 (不许斜走 ),最后又回到小屋 ,行吗 ?如果有 80 棵果树 ,连小屋在内排成九行九列 (图 (b)) 呢?(a) (b)4.一个 8 8 国际象棋 (下图 )去掉对角上两格后,是否可以用31 个 2 1 的“骨牌”(形如)把象棋盘上的62 个小格完全盖住?5.如果在中国象棋盘上放了多于45 只马 ,求证 :至少有两只马可以“互吃”.6.空间 6 个点 ,任三点不共线 ,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色 ,是否必有两个同色三角形 ?7.如图 ,把正方体分割成 27 个相等的小正方体 ,在中心的那个小正方体中有一只甲虫 ,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的 6 个小正方体中的任一个中去 .如果要求甲虫能走到每个小正方体一次 ,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?8.中国象棋的马走“日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B一只马从起点出发 ,跳了 n 步又回到起点 .证明 :n 一定是偶数 .9.中国象棋的马走“日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复 ,最后一步跳回起点 ?10.中国象棋的马走“日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B证明 :一只马不可能从位置 B 出发 ,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次 (不要求最后一步跳回起点 ).11.中国象棋的马走“日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B一只马能否从位置 B 出发 ,用 6 步跳到位置 A?为什么 ?12.中国象棋的马走“日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B,走了若干步后到了位一只车从位置 A 出发 ,在这半张棋盘上走 ,每步走一格置 B.证明 :至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.9 个 4 1 的长方13.8 8 的国际象棋棋盘能不能被剪成7 个 2 2 的正方形和形?如果可以 ,请给出一种剪法 ;如果不行 ,请说明理由 .14.(表1)是由数字 0,1 交替构成的 ,(表 2)是由 (表1)中任选、、三种形式组成的图形 ,并在每个小方格全部加 1 或减 1,如此反复多次进行形成的 , 试问 (表 2)中的 A 格上的数字是多少 ?并说明理由 .1 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 11 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 11 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 1表11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1表2———————————————答案——————————————————————1.把影院的座位画成黑白相的矩形 .(29 31),共有 899 个小方格 .不妨假定四角黑格 ,共有黑格 450 个,白格 449 个.要求看第二影 ,每位众必跟他相的某一众交位置 ,即要求每一黑白格必互 ,因黑白格的数不相等 ,因此是不可能的 .2.将号奇数的房染成黑色 ,号偶数的房染成白色 .从 1 号房出 ,只能按黑白黑白⋯⋯的次序,当走遍九个房在黑色房中 ,个房不与 1 号房相 ,故不能不重复地走遍所有房又回到 1 号房 .3.(a)行,走法如所示 .(a)(b)不行 ,将小屋染成黑色 ,果染成黑白相的色 ,(b)中有 41 个黑色的 ,40 个白色的 .从小屋出 ,按黑白黑白⋯⋯的次序,当走遍80 棵后 ,到达的的色是黑色,与小屋不相 ,故不可能最后回到小屋 .4. 不能 .原因是每一个 2 1 的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31 个的骨牌恰好盖住 31 个黑格和 31 个白格 .但是国象棋棋上角两格的色是相同的 ,把它去掉后剩下的是 30 个白格 ,32 个黑格 ,或 32 个白格 ,30 个黑格 ,因此不能盖住 .5.中国象棋棋上有 90个交叉点 ,把棋分成 10个小部分 ,每部分有 3 3=9 个交叉点 ,由抽原知 ,至少有一个小部分内含有 6 只 .将一小部分的 9 个交叉点分涂上黑色及白色 .有两只在不同色交叉点上 ,故一定有两只“互吃”.6.六个点 A 、 B、 C、D、E、F.我先明存在一个同色的三角形 : 考由 A 点引出的五条段 AB 、AC 、 AD 、 AE、 AF,其中必有三条被染成了相同的色 ,不妨 AB 、AC 、AD 三条同色 .再考三角形 BCD 的三 : 若其中有一条色 ,存在一个色三角形 ;若三条都不是色 ,三角形 BCD 色三角形 .BCAD下面再来明有两个同色三角形,不妨三角形 ABC 的三同色 .(1)若三角形 DEF 也是色三角形 ,存在两个同色三角形 .(2)若三角形 DEF 中有一条色 (不妨 DE), 下面考 DA 、 DB 、DC三条段,其中必有两条同色.①若其中有两条是色的 ,如 DA 、DB 是色的 ,三角形 DAB 第二个同色三角形( 1).D AE B C(1)②若其中有两条是色的 , DA 、 DB 色 ( 2).此在 EA、 EB 两条段中 ,若有一条色 ,存在一个色三角形 ;若两条都是色的 ,三角形 EAB 色三角形 .上所述 ,一定有两个同色三角形.D AE B C(2)7.甲虫不能走遍所有的立方体 .我将大正方体如分割成 27 个小正方体 ,涂上黑白相的两种色 ,使得中心的小正方体染成白色 ,再使两个相的小正方体染上不同的色 .然在 27 个小正文体中 ,14 个是黑的 ,13 个是白的 .甲虫从中的白色正方体出 ,每走一步 , 小正方体就改一种色 .故它走 27 步, 14 个白色的小正方体 ,13 个黑色的小正方体 .因此在 27 步中至少有一个白色的小正方体,甲虫去两次 .故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体 .8.将棋上的各点按黑白相的方式染上黑白二色.由“ 步”的行走 ,当“ ”从黑点出 ,下一步只能跳到白点 ,以后依次是黑、白、黑、白⋯⋯要回到原出点 (黑点 ),它必跳偶数步 .9.不能 .半象棋共有 45 个格点 ,从起点出跳遍半棋 ,起点与最后一步同色 .故不可能从最后一步跳回起点 .10.与 B 点同色的点 (白点 )有 22 个,异色的点 (黑色 )有 23 个.从 B 点出 ,跳了 42 步时 ,已经跳遍了所有的白色 ,还剩下两个黑点 ,但是马不能够连续跳过两个黑点 .11.不能 .因为 A、 B 两点异色 ,从 B 到 A 所跳的步数是一个奇数 .12.“车”每走一步 ,所在的格点就会改变一次颜色 .因 A、B 两点异色 ,故从 A 到B“车”走的步数是一个奇数 .但半张棋盘共有 45 个格点 ,不重复地走遍半张棋盘要 44 步,但 44 是一个偶数 .13.如图对 8 8 的棋盘染色 ,则每一个 4 1 的长方形能盖住 2 白 2 黑小方格 , 而每一个 2 2 的正方形能盖住 1 白 3 黑或 1 黑 3 白小方格 ,那么 7 个 2 2 的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数 ,但图中黑格数为 32 是一个偶数 .故这种剪法是不存在的 .+1 +1 - 1 - 1 +1 +1 +1+1 +1 - 1 - 1 +1 +1 +1+1 +1 - 1 - 1- 1 - 1 - 1 +1 +1 - 1 - 1- 1 - 1 - 1 +1 +1 - 1 - 114.如下图所示 ,将表 (1)黑白相间地染色 .表(1)本题条件允许如图所示的 6 个操作 ,这 6 个操作无论实行在那个位置上 ,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数 ,所以表 1 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即 32,等于表 2 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是 (31+A)-32=32, 故 A=33.二十染色问题(2)年级班姓名得分1.下图是一套房子的平面图 ,图中的方格代表房间 ,每个房间都有通向任何一个邻室的门 .有人想从某个房间开始 ,依次不重复地走遍每一个房间 ,他的想法能实现吗 ?2.展览会有 36 个展室 (如图 ),每两相邻展室之间均有门相通 .能不能从入口进去 ,不重复地参观完全部展室后 ,从出口出来呢 ?3.图中的 16 个点表示 16 个城市 ,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通 .问能否找到一条不重复地走遍这 16 座城市的路线 ?4.下图是由 4 个小方格组成的“L”形硬纸片 ,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个 4 n 的长方形 ,试证明 :n 一定是偶数 .5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃” (马“”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况 ).6.能否用一个田字和15 个 4 1 矩形覆盖 8 8 棋盘 ?7.能否用 1 个田字和 15 个 T 字纸片 ,拼成一个 8 8 的正方形棋盘 ?8.在 8 8 棋盘上 ,马能否从左下角的方格出发 ,不重地走遍棋盘 ,最后回到起点 ? 若能请找出一条路 ,若不能 ,请说明理由 .9.下面三个图形都是从 4 4 的正方形分别剪去两个 1 1 的小方格得到的 ,问可否把它们分别剪成 1 2 的七个小矩形 ?(1)(2)(3)10.把三行七列的 21 个小格组成的矩形染色 ,每个小格染上红、蓝两种色中的一种 .求证 :总可以找到 4 个同色小方格 ,处于某个矩形的 4 个角上 (如图 ) 1红红红红2311.17个科学家互相通信 ,在他们的通信中共讨论 3 个问题 ,而任意两个科学家之间仅讨论 1 个问题 .证明 :至少有 3 个科学家 ,他们彼此通信讨论的是同一个问题 .12.用一批 1 2 4 的长方体木块 ,能不能把一个容积为 6 6 6 的正方体木箱充塞填满 ?说明理由 .13.在平面上有一个 27 27 的方格棋盘 ,在棋盘的正中间摆好 81 枚棋子 ,它们被罢成一个 9 9 的正方形 .按下面的规则进行游戏 :每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子 ,放进紧挨着这枚棋子的空格中 ,并把越过的这格棋子取出来 .问 :是否存在一种走法 ,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子 ?14.12 12 的超极棋盘上 ,一匹超级马每步跳至 3 4 矩形的另一角 (如图 ).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次 ,再回到出发点 (这种情况又称马有“回路”)?OO———————————————答案——————————————————————1.不能 .对房间染色 ,使最下面的两个房间染成黑色 ,与黑色相邻的房染成白色,则图中有 7 个黑色房间和 5 个白色房间 .如果要想不重复地走过每一个房间 , 黑色与白色房间数应该相等 .故题中的想法是不能实现的 .2.不能 .对展室进行染色 ,使相邻两房间分别是黑色和白色的 .此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36 个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同 .3.不能 .对这 16 个城市进行黑白相间的染色 ,一种颜色有 9 个,另一种颜色有7 个 .而要不重复地走遍这 16 个城市 ,黑色与白色的个数应该相等 .4.如图 ,对 4 n 长方形的各列分别染上黑色和白色 .任一 L 形纸片所占的方格只有两类 :第一类占 3 黑 1 白 ,第二类占 3 白 1 黑 .n个设第一类有 a 个 , 第二类有 b 个 ,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b+a=3a+b,即 a=b,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是 4 的倍数 ,总数是 8 的倍数 ,从而 n 是偶然 .5.将棋盘黑白相间染色 ,由“马”的走法可知 ,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马 .整个棋盘上黑、白点的个数均为 45,故可在 45 个黑点放上马 ,它们是不能互吃的 .6.如图的方式对棋盘染色 .那么一个田字形盖住 1 个或 3 个白格 ,而一个 4 1 的矩形盖住 2 个白格 .这样一来一个田字和 15 个 4 1 的矩形能盖住的白格数是一个奇数 ,但上图中的白格数是一个偶数 ,因此一个田字形和 15 个 4 1 的矩形不能复盖8 8 的棋盘 .7.将棋盘里黑白相间涂色 .一个田字形盖住 2 个白格 ,一个 T 字形盖住 3 个或1 个白格 .故 1 个田字和 15 个 T 字盖住的白格数是一个奇数 ,但棋盘上的白格数是一个偶数 .因此一个田字形和 15 个 T 字形不能盖住 8 8 的棋盘 .8.将棋盘黑白相间地染色后 ,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色 .棋盘上有 32 个白格与 32 个黑格 ,故马可能跳遍整个棋盘 .图中给出了一种走法 .56 41 58 35 50 39 60 3347 44 55 40 59 34 51 3842 57 46 49 36 53 32 6145 48 43 54 31 62 37 5220 5 30 63 22 11 16 1329 64 21 4 17 14 25 106 19 2 278 23 12 151 28 7 18 3 26 9 249.先 4 4 的棋黑白相的涂色 (如 ),道的是 7 个 1 2 矩形能否分复盖剪去A、B;剪去 A、C;剪去 A、 D 的三个棋 .若 7 个 1 2 矩形可以复盖剪残的棋 ,因每个 12 矩形均可盖住一个白格和一个黑格 ,所以棋的白格与黑格数目相等 .都是 7 个.而剪去 A 格和 C 格的棋 (2)有 5 个白格8 个黑格 ,剪去 A、D 的棋 (3)有 5 个白格 8 个黑格 ,因此两个剪的棋均不能被7 个 1 2 矩形复盖 ,也就不能剪成 7 个 1 2 的矩形 .ABCD棋 (1)可以被 7 个 1 2 的矩形所复盖 .下面出一种剪法 :A 1 1 27 7 B 26 5 4 36 5 4 310.在第一行的 7 格中必有 4 格同色 ,不妨 4 格位于前 4 个位置 ,且均色 .然后考前 4 列构成的 3 4 矩形 .若第二行和第 3 行中出 2 个或 2 个以上的色格子 .行的两个色格子与第一行的色格子就成一个 4 角同色格子的矩形 .若不然 ,第 2、3 行中都至少有 3 个格在前 4 列中 ,不妨第 2 行前 3 格色 ,然第三行中的前 3 格中至少有 2 个格,故在二、三行的前 4 列中必存在四角都是色的矩形 .11.将 17 个科学家用 17 个点代表 ,两点之的段表示两个科学家之的 .用三种色些段染色 ,表示三个 ,于是就成 : 17个点之的所有段用三种色染色,必有同色三角形 .从任意一点 ,不妨从 A 向其他 16 点 A1,A2, ⋯A16共可成 16 条段 ,用三种色染色 ,由抽原可知 ,必有 6 条段同色 . 6 条段 AA1,AA2, ⋯AA6且同色 .考 A1,A2,A3,A4,A5,A6六点之的 ,若有一条色 ,(如 A1A2色 ) , 三角形 AA1A2色的同色三角形 .A1 A2A3A A4A 5A6若这六点之间的连线中 ,没有一条是红色的 ,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从 A1引出的五条线段 1 21 3 1 41 51 6 由抽屉原理知其中必有三A A A A A A A A A A , , 的三条是同色的 .不妨设这三条为 A1 2 1 3 1 4 且同为蓝色若三角形 2 3 4A A A A A , . A A A边中有一条为蓝色的 ,则有一个蓝色的三角形存在 ;若三角形 A2A3A4三边都不是蓝色的 ,则它的三边是同为第三色的同色三角形 .A2A3A1A412.把正方体木箱分成 27 个小正方体 ,每个小正方体的体积为 2 2 2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色 .显然黑色 2 2 2 的正方体有 14 个,白色 2 2 2小正方体有 13 个.每一个这样的正方体相当于8 个 1 1 1 的小正方体 .将1 2 4 的长方体放入木箱 ,无论怎么放 ,每个长方体木块盖住 8 个边长为 1 的单位正方体 ,其中有 4 个黑色的 ,4 个白色的 .木箱共含 6 6 6=216 个单位正方体,26 个长方体木块共盖住 8 26=208 个单位正方体 ,其中黑白各占 104 个 ,余下216-208=8 个单位正方体是黑色的 .但是第 27 个 1 2 4 长方体木块不管怎样放 , 也无法盖住这 8 个黑色单位正方体 .13.如图 ,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色 ,这种染色方式将棋盘分成了三个部分 .按照游戏规则 ,每走一步 ,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了 1 个,而第三种颜色的棋子数增加了一个 .这表明每走一步 ,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变 .因为一开始时 ,81 枚棋子摆成一个 9 9 的正方形 ,显然三个部分的棋子数是相同的 ,从而每走一步 ,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的 .如果走了若干步以后 , 棋盘上恰好剩下一枚棋子 ,则两部分上的棋子数为偶数 ,而另一部分上的棋子数为奇数 .这种结果是不可能出现的 .14.用两种方法对超级棋盘染色 .首先 ,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步 ,它所在的方格就要改变一次颜色. 不妨设第奇数步跳入白格.其次 ,将棋盘的第 3,4,5 及 8,9,10 这六行染成黑色 ,其余六行染成白色 .在此种染色方式下 ,马从白格一定跳入黑格 .又因黑白格总数相同 ,马要遍历每一格恰一次又回到出发点 ,因此 ,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格 .不妨设马第奇数步跳入白格 .但是对于一种满足要求跳法 ,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的 ,这显然是不可能的 ,故题目要求的跳法是不存在的 .。
小学奥数——染色问题(答案)
第9讲 染色问题【知识要点】染色方法是一种对题目所研究的对象用直观形象的染色来进行分类的方法。
象国际象棋的棋盘那样,我们可以把研究的对象染上不同的颜色,使问题变得浅显明了、一目了然,有利于我们观察、分析对象之间的关系,再利用奇偶性、抽屉原理等多种知识对染色图形进行分析,从而达到对原问题的解决。
【典型例题】例1、教室中有7排位子,每排7张,每张位子上坐一个同学,如果一周后,每个同学都必须和他相邻的(前、后、左、右)某一个同学换位子,问:这种交换可能成功吗?为什么? 解:如右图所示黑白相间涂色,白色共有25个,黑色24个,要实现题意要求,一个白色位置必须和一个黑色位置互换,黑白座位应该一样多才行,所以办不到。
例2、如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 解:如图所示每一个奇数号房间旁边一定是偶数号房间,反之亦然,那么奇数号房间一定走到偶数号,偶数号一定走到奇数号,从一号开始走奇数步一定是到偶数号房间,走偶数步一定是到奇数号房间,要不重复的走遍所有房间回到1号房间,共要走9步,应该走到偶数号房间,而1是奇数,所以办不到。
例3、一个8⨯8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2⨯1的“骨牌” (形如 )把象棋盘上的62个小格完全盖住?解:任意一个2⨯1的“骨牌”一定是一白一黑的,所以若要用31个这样的骨牌覆盖这个棋盘,白黑格数应该一样多,而此棋盘中有32个黑格,30个白格,所以办不到。
例4、线段AB 的两个端点,一个标以红色,一个标以蓝色。
在此线段中任意插入2008个分点,每个分点任意涂上红色或蓝色,这样分得2009条不重叠的小线段,如果把两端涂色不同的线段叫做奥运线段,奥运线段的条数是奇数还是偶数? 解:原本的线段AB 就是一条奥运线段,然后不管中间插入的点是什么颜色的,都会破坏原来的奥运线段从而变成一条两端同色一条奥运线段,再然后如果在一条奥运线段中间插入任意颜色的点,奥运线段会被破坏,但是又会生成一条较短的,那么奥运线段的数量总数不变;如果在一条两端同色的线段中间插入不同色 1 2 3 4 5 6 7 8 9的点,一下就增加2条奥运线段,不改变奥运线段数量的奇偶性。
小学奥数题目-五年级-计数类-立方体染色
通常,在一个大的立方体表面进行染色,染色之后再进行切割,将大立方体切割成许多小的立方体,这样得到的小立方体中,染色的情况会有许多种,一面染色、两面染色、三面染色……本讲主要讲解解决这类问题的一些方法。
包括染色一面,两面,三面等小立方体个数的计算公式。
例1、将下图中棱长为10厘米正方体表面涂上红色,如果沿着虚线切成8个正方体,这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米?1. 1.长宽高分别为3,4,5的长方体,将其表面涂上红色,然后将其切成60个边长为1的小立方体,这些小立方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少?2. 2.长宽高分别为6,8,12的长方体,将其表面涂上红色,然后沿着与边长分别为6和8的侧面平行的面切3次,沿着与边长分别为8和12的侧面平行的面切2次,沿着与边长分别为6和12的侧面平行的面切3次,将其分成若干个小长方体,这些小长方体中没有被涂成红色的所有表面的面积是多少?3. 3.将棱长为8厘米正方体表面涂上红色,如果把它切成64个边长为2厘米的小立方体,这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米?视频描述例2、有30个边长为1分米的正方体,在地面上摆成右图的形式,然后把露出的表面涂成红色,被涂成红色的表面积是多少平方分米?1. 1.如下图,由44个边长为1厘米的小正方体组成的如图所示的形式,现在把露出的表面涂成红色,被涂成红色的表面积是多少平方厘米?2. 2.有55个边长为1分米的正方体,在地面上摆成右图的形式,然后把露出的表面涂成红色,被涂成红色的表面积是多少平方分米?3. 3.如下图,由35个边长为2厘米的小正方体堆成的形状,然后把露出的表面涂成红色,被涂成红色的表面积是多少平方厘米?视频描述例3、一个长方体木块,长5分米,宽3分米,高4分米,在它六个面上都漆满油漆,然后锯成棱长都是1分米的正方体木块。
问锯成的木块中三面涂有油漆有多少块?两面涂有油漆的有多少块?1. 1.一个长方体木块,长10分米,宽6分米,高8分米,在它六个面上都漆满油漆,然后锯成棱长都是2分米的正方体木块。
六年级奥数题:染色问题(A)
十染色问题(1)年级班姓名得分(编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题)1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢?(a) (b)4.(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2⨯1的“骨牌” (把象棋盘上的62个小格完全盖住?5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数.9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:证明:一只马不可能从位置B出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A?为什么?12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回一只车从位置A出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B.证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.13.8⨯8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2⨯2的正方形和9个4⨯1的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问(表2)中的A格上的数字是多少?并说明理由.表 1表 2———————————————答案——————————————————————1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(29⨯31),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.3. 图(a)行,走法如图所示.图(a)图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.4. 不能.原因是每一个2⨯1的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.5. 中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有3 3=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.6. 设这六个点为A 、B 、C 、D 、E 、F.我们先证明存在一个同色的三角形: 考虑由A 点引出的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB 、AC 、AD 三条同为红色.再考虑三角形BCD 的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD 为蓝色三角形.下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC 的三边同为红色.(1)若三角形DEF 也是红色三角形,则存在两个同色三角形.(2)若三角形DEF 中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA 、DB 、DC 三 条线段,其中必有两条同色.①若其中有两条是红色的,如DA 、DB 是红色的,则三角形DAB 为第二个同色三角形(图1).②若其中有两条是蓝色的,设DA 、DB 为蓝色(图2).此时在EA 、EB 两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB 为红色三角形.综上所述,一定有两个同色三角形.7. 甲虫不能走遍所有的立方体.我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27(图1)(图2)个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.8. 将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.9. 不能.半张象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.10. 与B 点同色的点(白点)有22个,异色的点(黑色)有23个.马从B 点出发,跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.11. 不能.因为A 、B 两点异色,从B 到A 所跳的步数是一个奇数.12. “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A 、B 两点异色,故从A 到B “车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步,但44是一个偶数.13. 如图对8⨯8的棋盘染色,则每一个4⨯1的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个2⨯2的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个2⨯2的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.14. 如下图所示,将表(1)黑白相间地染色.+1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1-1 -1本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.。
小学奥数染色与操作问题学生版
模块一:染色问题【巩固】 右图是某一湖泊的平面图,图中所有曲线都是湖岸.(1)如果P 点在岸上,则A 点是在岸上还是在水中?(2)某人过此湖泊,他下水时脱鞋,上岸时穿鞋.如果他从A 点出发走到某 点B ,他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数,则B 点是在岸上还是在水中?为 什么?一、染色问题这里的染色问题不是要求如何染色,然后问有多少种染色方法的那类题目,它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法,通过将问题中的对象适当染色,我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系,再经过一定的逻辑推理,便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识,但技巧性,逻辑性较强,要注意学会几种典型的染色问题.二、操作问题例题11第十一讲染色与操作问题六年级一班全班有35名同学,共分成5排,每排7人,坐在教室里,每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座.如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去,能办到吗为什么?【巩固】 某班有45名同学按9行5列坐好.老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去,问这能否办到【巩固】有一次车展共6×6=36个展室,如右图,每个展室与相邻的展室都有门相通,入口和出口如图所示. 参观者能否从入口进去,不重复地参观完每个展室再从出口出来例题44例题33例题22右图是某一套房子的平面图,共12个房间,每相邻两房间都有门相通.请问:你能从某个房间出发,不重复地走完每个房间吗在一个正方形的果园里,种有63棵果树,加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列,如图(1).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,如图(2),连小屋排成九行九列呢?右图是半张中国象棋盘,棋盘上已放有一只马. 众所周知,马是走“日”字的. 请问:这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点,然后回到出发点?【巩固】下图是由40个小正方形组成的图形,能否将它剪裁成20个相同的长方形?【巩固】下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的. 问:能否把它们分 别剪成1×2的七个小矩形?【巩固】能否用9个所示的卡片拼成一个6×6的棋盘?【巩固】9个1×4的长方形不能拼成一个6×6的正方形,请你说明理由!例题66例题55右图是由14个大小相同的方格组成的图形. 试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形? 用11个和5个能否盖住8×8的大正方形【巩固】用若干个2×2和3×3的小正方形不能拼成一个11×11的大正方形,请你说明理由!模块二:操作问题【巩固】甲、乙、丙、丁分29头羊. 甲、乙、丙、丁分别得1111,,,25610,应如何分?例题1010例题99例题88例题77【巩固】对于表(1),每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数,能否经过若干次后(各次减去或加上的数可以不同),变为表(2)?为什么?右图是一个圆盘,中心轴固定在黑板上.开始时,圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘,每次可以转动90°的任意整数倍,圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置,将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问:经过若干次后,黑板上的四个数是否可能都是999?有7个苹果要平均分给12个小朋友,园长要求每个苹果最多分成5份.应该怎样分?有一位老人,他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说:“我已经写好了遗嘱,我把马留给你们,你们一定要按我的要求去分.”老人去世后,三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着:“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得12,次子得13,给幼子19.不许流血,不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿!”请你帮助他们分分马吧!【巩固】9个金币中,有一个比真金币轻的假金币,你能用天平称两次就找出来吗(天平无砝码)【巩固】 大桶能装5千克油,小桶能装4千克油,你能用这两只桶量出6千克油吗怎么量?【巩固】 有一个小朋友叫小满,他学会了韩信分油的方法,心里很是得意. 一天,他遇到了两位农妇. 两位农妇有两个各装满了10升奶的罐子,还有一个5升和一个4升的小桶,她们请求小满就用这些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入2升奶.小满按照韩信分油的方法,略加变通,就将奶分好了!你说说具体的做法!例题1313例题1212例题11118个金币中,有一个比真金币轻的假金币,你能用天平称两次就找出来吗(天平无砝码)据说有一天,韩信骑马走在路上,看见两个人正在路边为分油发愁.这两个人有一只容量10斤的篓子,里面装满了油;还有一只空的罐和一只空的葫芦,罐可装7斤油,葫芦可装3斤油.要把这10斤油平分,每人5斤. 但是谁也没有带秤,只能拿手头的三个容器倒来倒去.应该怎样分呢?有大,中,小3个瓶子,最多分别可以装入水1000克,700克和300克.现在大瓶中装满水,希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线,问最少要倒几次水例题1717练习22例题1616例题1515例题1414练习11一只电动老鼠从左下图的A 点出发,沿格线奔跑,并且每到一个格点不是向左转就是向右转。
小学奥数几何题之立方体染色计数【三篇】
小学奥数几何题之立方体染色计数【三篇】
【第一篇】
有50个表面涂有红漆的正方体,它们的棱长分别是1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米,将这些正方体锯成棱长为1厘米的小正方体,得到的小正方体中,至少有一个面是红色的小正方体共有多少个?
【第二篇】
有棱长为1、2、3、……、99、100、101、102厘米的正方体102个,把它们的表面都涂上红漆,晾干后把这102个正方体都分别截成1立方厘米的小正方体,在这些小正方体中,只有2个面有红漆的共有多少个?
【第三篇】
下图是4×5×6正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块?。
专题06 染色问题(原卷版)
专题6 染色问题例1.如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有( )A .6种B .9种C .12种D .36种例2.如图,用四种不同的颜色给图中的A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 七个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有( )A .192种B .336种C .600种D .624种例3.现有6种不同的颜色,给图中的6个区域涂色,要求相邻区域不同色,则不同的涂色方法共有( )A .720种B .1440种C .2880种D .4320种例4.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中,每个区域种植一种花卉,且相邻区域花卉不同,则不同的种植方法种数是().A.420 B.180 C.64 D.25例5.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色,要求同一区域用同一种颜色,有共公边的区域使用不同颜色,则共有涂色方法()A.120种B.720种C.840种D.960种例6.如图,某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成,七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内,且恰有一种颜色涂在相对区域内,则不同颜色图案的此类太阳伞最多有().A.40320种B.5040种C.20160种D.2520种例7.如图所示,将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种色可供使用,则不同的染色方法种数为()A.240 B.360 C.420 D.960⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相例8.如图所示,将3333邻两个小方格的颜色不同,称他们的公共边为“分割边”,则分割边条数的最小值为( )A.33 B.56 C.64 D.78-的顶点染色,定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点,规定相邻顶点例9.如图给三棱柱ABC DEF不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的染色方法有_________________.例10.现用五种不同的颜色,要对如图中的四个部分进行着色,要求公共边的两块不能用同一种颜色,共有__________种不同着色方法例11.如图所示的五个区域中,中心区E域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色.........,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为______.例12.从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色,给如图所示的六个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案的种数是________.例13.如图一个正方形花圃被分成5份.若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花,则不同的种植方法有_________种例14.现有五种不同的颜色,要对图形中的四个部分进行着色,要求有公共边的两块不能用同一种颜色,不同的涂色方法有_______种.例15.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色,其中3个涂红色,2个涂黄色,若恰有两个相邻的小正方形涂红色,则不同的涂法共有__________种(用数字作答).例16.四色猜想是近代数学难题之一,四色猜想的内容是:“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”,如图,一张地图被分成了五个区域,每个区域只使用一种颜色,现有4种颜色可供选择(四种颜色不一定用完),则满足四色猜想的不同涂色种数为__________例17.如图,将标号为1,2,3,4,5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种,使得相邻区域(有公共边)的颜色不同,则不同的染色方法有______种.例18.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,则不同的栽种方法有______种.(用数字作答)例19.给图中A,B,C,D,E,F六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择,则共有___种不同的染色方案.例20.如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色( 4种颜色全部使用 ),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方法有 种.(用数字作答)例21.给如图染色,满足条件每个小方格染一种颜色,有公共边的小方格颜色不能相同,则用4种颜色染色的方案有__种,用5种颜色染色的方案共有__种.例22.如图,用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色.若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同,则不同的涂色方法共有________种;若每条棱的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有________种.。