数学分析1-3函数概念 (1)
函数的基本概念
函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，也是数学分析的基础。
它在数学和其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念以及一些常见的函数类型。
1. 函数的定义函数是数学中一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用图像、表格或公式的形式表示。
2. 函数的表示方法函数可以通过不同的方式进行表示。
常见的表示方法包括：- 变量表达式：如y = 2x + 1，其中y表示因变量，x表示自变量。
- 函数图像：通过绘制自变量和因变量之间的关系，可以得到函数的图像。
图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质。
- 函数表格：通过将自变量和因变量的对应关系列成表格形式，可以清晰地展示函数的取值情况。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，即函数能够接受的输入。
函数的值域是指函数的所有可能输出值，即函数的取值范围。
定义域和值域是函数的重要性质，可以帮助我们了解函数的范围和性质。
4. 常见的函数类型4.1 线性函数线性函数是最简单的一种函数类型，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a不等于零。
线性函数的图像为一条直线，具有常等差的特点。
4.2 幂函数幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n为整数。
幂函数的图像根据n的不同而变化，n为偶数时图像可以是开口向上或向下的抛物线，n为奇数时图像则可以是一条直线。
4.3 指数函数指数函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像通常呈现出逐渐增长或逐渐减小的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。
4.4 对数函数对数函数是指形如f(x) = log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像通常呈现出逐渐增长但增长速度逐渐减缓的曲线，具有反指数增长的特点。
4.5 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
函数的11个概念
函数的11个概念函数是数学中的一个重要概念，它在数学领域、计算机科学领域和其他许多学科中都有广泛应用。
下面我将详细介绍函数的11个概念。
1. 函数定义函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
对于每个自变量的取值，函数都具有唯一的因变量值。
函数的定义常用函数公式、表格或图像表示。
2. 函数的值域和定义域函数的定义域是所有自变量的取值范围，值域是函数所有可能的因变量值的范围。
在一些情况下，值域和定义域可能有限制。
3. 函数的反函数函数的反函数是指将函数的因变量和自变量进行互换得到的新函数。
反函数可以理解为原函数的逆运算，它可以通过函数的图像关于直线y=x的对称性得到。
4. 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来确定奇偶性。
如果函数满足f(-x) = f(x) ，则它是偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则它是奇函数。
有些函数既不是偶函数也不是奇函数。
5. 函数的零点函数的零点是指函数取零值的自变量的值。
求函数的零点通常需要解方程f(x) = 0, 通过求解这个方程可以找到函数的零点。
6. 函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域内的所有点都具有连续性。
一个函数在某一点连续，意味着在这个点函数的极限存在且等于函数在该点的值。
函数的连续性在数学分析和物理学中有广泛应用。
7. 函数的导数和导函数函数的导数描述了函数在某一点的变化率。
如果函数在某一点可导，那么该点的导数表示了函数曲线在该点的切线的斜率。
导函数是原函数的导数函数，它可以用来求函数在某点的切线斜率。
8. 函数的积分和不定积分函数的积分描述了函数在一定区间上的“累积变化”。
不定积分是对函数求解反函数运算，它可以得到函数在给定区间上的积分值。
积分在数学和物理学中有广泛应用。
9. 函数的极限函数的极限描述了函数在某一点不断逼近某个特定值的趋势。
极限可以用来描述函数在无穷大或无穷小趋势的特性。
10. 函数的峰值和谷值函数的峰值和谷值是函数在定义域内的最大值和最小值。
高中函数概念知识点总结
高中函数概念知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义函数是一个非常基本的概念，它可以表达变量之间的依赖关系。
在代数或数学分析中，函数是一种特殊的关系，即每个自变量的值都对应着唯一的因变量的值。
用符号表示为：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数关系。
在实际应用中，函数可以描述抽象的关系，也可以表示具体的物理、经济、生活等现象。
2. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的几何表示，用曲线或者折线表示。
它可以帮助我们直观地了解函数的性质，如增减性、奇偶性、周期性等。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域即自变量的取值范围，值域即因变量的取值范围。
了解函数的定义域和值域可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
4. 函数的解析式函数的解析式表示函数之间的依赖关系，可以用代数式、分段函数、组合函数等形式表示。
掌握函数的解析式有利于我们对函数进行分析和运算。
5. 常见函数常见函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
了解这些常见函数的性质和特点有助于我们更好地理解和运用函数。
二、函数的基本性质1. 函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的一个重要性质，它可以帮助我们简化函数的图形和运算。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
2. 函数的增减性函数的增减性描述了函数图像在定义域上的上升或下降趋势。
通过研究函数的增减性，我们可以得到函数在不同区间上的性质。
3. 函数的最值和极值函数的最值即函数在定义域上的最大值和最小值，极值指的是函数在某个点上的最大值和最小值。
研究函数的最值和极值有助于我们理解函数的局部性质。
4. 函数的周期性周期函数是指函数具有周期性变化的特点，即在一定区间内具有重复的性质。
掌握周期函数的性质对于我们理解函数的变化规律和应用具有重要意义。
5. 复合函数复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，它可以描述多个变量之间的复杂关系。
掌握复合函数的运算和性质有助于我们应用函数解决实际问题。
数学分析第一章 习题课
n n 3 n1 n 2 lim 2 2 2 n n 1 n 2 n n 2 1 a 例7 设x1 0, 证明xn1 ( xn )有极限(a 0) 2 xn 证 显然 xn 0 1 a xn 1 ( xn ) a 2 xn
解
注意到分子成等差数列
( n 1) ( n 2) ( n n) 2 n n ( n 1) ( n 2) ( n n) n2 1
n( 3n 1) n( 3n 1) 即 2 2( n n) 2( n2 1) n( 3n 1) 3 lim 2 n 2( n n ) 2 n( 3n 1) 3 lim 2 n 2( n 1) 2
② lim(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ), (| x | 1)
2 4 n
2n
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) 原式 lim n 1 x 2 n 1 1 x 1 lim n 1 x 1 x
1 x 1 2( x 1) ) f ( ) , 1 x x x
解联立方程组
x 1 f ( x) f ( x ) 2 x 1 2 ) f ( x) f ( 1 x 1 x 1 x 1 2( x 1) f (1 x ) f ( x ) x
p( x ) x 3 例8 设p( x )是多项式, 且 lim 2, 2 x x p( x ) lim 1, 求p( x ). x 0 x 3 解 lim p( x ) 2 x 2, x x 可设p( x ) x 3 2 x 2 ax b(其中a , b为待定系数 ) p( x ) 又 lim 1, x 0 x p( x ) x 3 2 x 2 ax b ~ x ( x 0)
数学分析第一章
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设
k
是满足
k n
a
的最大的正整数，即
k +1 n
> a.
于是, a < k + 1 < k + 2 < b, 则 k + 1, k + 2 是
nn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k + 1 + π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 > 0，a < b + ，则 a b.
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c.
4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数 都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯 一的代表一个实数.
证 倘若a > b，设 a b > 0, 则 a b + ,
与 a < b + 矛盾.
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（6）实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n + 1之间，则 a0 n. 把(n, n + 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间，则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, L . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 L an L .
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的数列{xn}，相应的函数值数列{f（xn）}成立
。
（2）Heine 定理的另一表述
，且
存在的充分必要条件是：对于任意满足条件
且
xn≠x0（n=1，2，3，…）的数列{xn}，相应的函数值数列{f（xn）}收敛。
5．单侧极限
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第 3 章 函数极限与连续函数
3.1 复习笔记
一、函数极限 1．函数极限的定义 设函数 y=f（x）在点 x0 的某个去心邻域中有定义，即存在 ρ>0，使
如果存在实数 A，对于任意给定的 ε>0，可以找到 δ>0，使得当
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则称当
时，
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是有界量，记为
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若又存在 ，当 在 的某个去心邻域中，成立
则称当
时，
与 是同阶无穷小量。
（3）若
，称当
时， 与 是等价无穷小量，记为
2．无穷大量的比较
设
是两个变量，当
时它们都是无穷大量，讨论 的极限情况。
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（3）函数极限
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存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的 ε>0，存
在 X>0，使得对一切 x′，x″>X，成立
二、连续函数 1．连续函数的定义 （1）在某点处连续 设函数 f（x）在点 x0 的某个邻域中有定义，并且成立
①若 f（x）>g（x）成立。
②推论
【自制】数学分析 重点概念整理 保研考研面试必备
数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。
定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。
基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。
定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。
2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。
(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。
定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。
定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。
定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。
由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。
实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。
函数的概念与应用
函数的概念与应用函数是数学中常见的概念，广泛应用于各个领域中。
它不仅在数学中具有重要地位，而且在计算机科学、物理学、经济学等学科中也扮演着重要的角色。
本文将介绍函数的概念、基本性质以及其在不同领域中的应用。
一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个变量映射到另一个变量。
通常表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数可以用公式、图形、表格等形式来表示，它描述了不同自变量和因变量之间的关系。
函数具有以下几个重要性质：1.定义域与值域：函数的定义域是指所有自变量可能取值的集合，而值域是所有可能的因变量的集合。
2.单值性：函数中的每个输入值只能对应唯一的输出值，即一个自变量只能有一个因变量。
3.可逆性：如果函数中的每个输出值只对应唯一的输入值，那么函数是可逆的。
4.相等性：两个函数在其定义域内的所有自变量对应的因变量相等时，这两个函数相等。
二、函数的应用1.数学分析中的函数：在数学分析中，函数是研究的基本对象之一。
通过对函数的性质和行为进行研究，可以解决诸如极限、连续性、导数和积分等数学问题。
函数的概念和理论为数学建模和解决实际问题提供了强有力的工具。
2.计算机科学中的函数：在计算机科学中，函数是编程中的重要概念。
编程语言中的函数可以接收输入参数并返回输出结果，可以用来组织和管理程序的结构。
函数的调用和使用可以提高代码的重用性和可读性。
3.物理学中的函数：在物理学中，函数广泛应用于描述物理现象和定律。
例如，位移-时间函数可以用来描述物体的运动轨迹，力-位移函数可以用来描述弹簧的压缩性能。
通过使用函数，可以对物理现象进行建模和分析。
4.经济学中的函数：在经济学中，函数被广泛用于描述经济关系和规律。
例如，需求函数描述了商品的需求量与价格的关系，成本函数描述了生产成本与产量的关系。
经济学家可以通过分析这些函数来预测市场行为和决策。
总结：函数是数学中的重要概念，具有定义域、值域、单值性和可逆性等基本性质。
江苏大数学分析-1-3-函数的概念
或记为 x f 1 y, y f D.
注1 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域
f : X Y f 1 : Y X
显然有 f 1 f I : X X (恒等变换）
f f 1 I : Y Y
( f )1 1 f : X Y
② 列表法
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
y 5 6 3 10 32 45 56 34 28
③ 图像法
④ 描述法
Dirichlet函数：
1
D
x
1,
0 ,
当x为有理数, 当x为无理数.
Riemann函数： 定义在 0,1 上
R
x
1 q
,
当x p ( p, q N ,且 p 为既约分数）,
q
q
0, 当x 0,1和0,1中的无理数.
⑤ 分段函数 函数在定义域内
不同部分用不同 的公式表示.
例如：符号函数 绝对值函数
1, x 0,
sgn x 0, x 0,
-1, x 0.
f
x
x
x, x ,
x 0, x 0.
例1 函数 f x 3 2x 1 去掉绝对值符号.
§1.3 函数概念
一、函数的定义 二、函数的表示法 三、函数的四则运算 四、复合函数 五、反函数 六、初等函数
一、函数的定义
函数是整个数学分析中最基本的研究对象,可
以说数学分析就是研究函数.
定义1：给定两个实数集 D 和 M，若有对应法则 f ，
使对 D 内每个数 x ，都有唯一的一个数 y M 与 x
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结一、引言数学分析是研究函数、极限、导数、积分等概念的数学分支。
它是现代数学的基础，对于理解和应用更高级的数学理论至关重要。
二、极限与连续性1. 极限的定义与性质- 极限的概念- 极限的性质和运算法则- 无穷小与无穷大- 极限存在的条件2. 无穷级数- 级数的收敛性- 收敛级数的性质- 级数的极限3. 函数的连续性- 连续函数的定义- 间断点的分类- 连续函数的性质三、导数与微分1. 导数的定义- 导数的直观理解- 导数的严格定义2. 导数的计算- 导数的基本公式- 链式法则、乘积法则、商法则 - 高阶导数3. 微分- 微分的概念- 微分的几何意义- 微分的应用四、中值定理与泰勒展开1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 泰勒展开- 泰勒级数- 泰勒展开的应用- 泰勒级数的收敛性五、积分1. 不定积分- 基本积分表- 换元积分法- 分部积分法2. 定积分- 定积分的定义- 定积分的性质- 定积分的计算3. 积分的应用- 面积计算- 体积计算- 平面曲线的弧长六、级数1. 级数的收敛性- 收敛级数的定义- 收敛性的判别方法2. 幂级数- 幂级数的收敛半径- 幂级数的应用3. 傅里叶级数- 傅里叶级数的概念- 傅里叶级数的物理意义七、多元函数分析1. 多元函数的极限与连续性 - 多元函数的极限- 多元函数的连续性2. 偏导数与梯度- 偏导数的定义- 梯度的概念3. 多重积分- 二重积分的定义- 二重积分的计算方法八、结论数学分析是数学学科的基石，它的概念和方法广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。
掌握数学分析的知识点对于理解和解决实际问题具有重要意义。
以上是数学分析的主要知识点概述。
每个部分都可以进一步扩展，包含更多的细节和例子。
这篇文章的结构旨在提供一个清晰的框架，便于读者理解和复习数学分析的核心概念。
高等数学(数学分析)
第一章函数、极限、连续一、极限1.1数列极限的定义：∀ε>0，存在自然数N，使得当n＞N时，就有|x n−a|<ε，那么称数列{x n}收敛于a，记为limn→∞x n=a.称a为此数列的极限；极限不存在的数列称为发散数列.1.2函数极限的定义：设f(x)在a的某个去心领域有定义，A是一个实数。
如果对任一个ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x−a|<δ时，就有|f(x)−A|<ε，那么称f(x)在a处有极限A，记为limx→af(x)=A或f(x)→A(x→a).海涅定理：limx→af(x)=A的充分必要条件是，对任一满足x n→a(∀n,x n≠a)的数列，均有f(x n)→A.定理：limx→af(x)≠A成立的充分必要条件是，存在一个常数ε0>0，使得在a的任何去心邻域，都可以找到一点，满足|f(x)−A|≫ε0.1.3极限的性质及运算定理：如果f(x)在λ处极限存在，则f(x)比在λ的某去心邻域上有界。
定理：函数的极限若存在，则必唯一。
定理：若limx→λf(x)=A，limx→λf(x)=B，且A>B，则存在λ的某个去心邻域N̂λ(δ)，使得在N̂λ(δ)上，f(x)>g(x)成立。
（反之，也成立。
）定理（夹逼准则）：若f(x)≪ℎ(x)≪g(x)在λ的某个去心邻域上成立，且limx→λf(x)=limx→λg(x)=A，则limx→λℎ(x)=A。
注:（1） limx→af(x)=∞(±∞),函数f(x)为无穷大量；limx→af(x)=0，函数f(x)为无穷小量.（2）若函数极限存在，则函数的极限运算符合四则运算法则。
（3）limx→a f(x)=∞(±∞)，则limx→a1f(x)=0；lim x→af (x )=0，limx→a 1f (x )=∞(±∞).（4）若f (x )在λ的某个去心邻域上有界，g (x )当x →λ时为无穷小量，则f(x)g (x )当x →λ时也为无穷小量。
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3、由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算 所得到的函数，统称为初等函数。
7、试问y=|x|是初等函数吗？ 解：y=|x|= = ; u=x2; 可见 y=|x|是由基本初等函数有限次复合而成的函数， ∴y=|x|是初等函数.
8、确定下列初等函数的存在域： (1)y=sin(sinx)；(2)y=lg(lgx)； (3)y=arcsin(lg )；(4)y=lg(arcsin ).
9、下列函数是由哪些基本初等函数复合而成： (1)y=(1+x)20; (2)y=(arcsinx2)2;
(3)y=lg(1+
); (4)y=
.
解：(1)y=u20, u=v1+v2, v1=1, v2=x； (2)y=u2, u=arcsinv, v=x2； (3)y=lgu, u=(u1+u2), u1=1, u2= , v=u1+w, w=x2； (4)y=, u=v2, v=sinx.
或f(x)=xsgn x
狄利克雷函数：D(x)= 定义在[0,1]上的黎曼函数： R(x)=
1、试作下列函数的图象： (1)y=x2+1；(2)y=(x+1)2； (3)y=1-(x+1)2；(4)y=sgn(sinx)；(5)y= 解：如图：
(1)
(2)
(3)
1、试作下列函数的图象： (1)y=x2+1；(2)y=(x+1)2； (3)y=1-(x+1)2；(4)y=sgn(sinx)；(5)y= 解：如图：
注： 两个相同的函数对应法则相同，定义域也相同， 但对应法则的表达形式可能不同，如： f(x)=|x|，x∈R和f(x)= ，x∈R.
函数的三种表示法： 即解析法(或称公式法)、列表法和图象法。 在不同的定义域用不同公式表示的函数称为分段函数。
数学分析3.1函数极限概念
第三章 函数极限 1 函数极限概念一、x 趋于∞时的函数极限定义1：设f 为定义在[a,+∞)上的函数，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限， 记作：lim x→+∞f (x )=A 或f(x)→A(x →+∞).定义1的几何意义如右上图：正数ε越小时，一般x=M 越大；f(x)的图象右边落在x=M 与y=A+ε和y=A-ε围成的带形区域里。
设f 为定义在U(-∞)或U(∞)上的函数，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x<-M 或|x|>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于-∞或∞时以A 为极限，记作：lim x→−∞f (x )=A 或f(x)→A(x →-∞)；lim x→∞f (x )=A 或f(x)→A(x →∞).lim x→∞f (x )=A lim x→+∞f (x )=lim x→−∞f (x )=A.例1：证明limx→∞1x=0.证：任给ε>0，取M =1ε，则当|x|>M 时，有|1x −0|=1|x|<1M =ε，∴lim x→∞1x=0.例2：证明(1)lim x→−∞arctan x =−π2；(2)lim x→+∞arctan x =π2.证：(1)任给ε>0，要使|arctan x −(−π2)|<ε，即-ε−π2<arctan x<ε−π2， ∵arctan x ≥−π2>-ε−π2，∴只须使arctan x<ε−π2，即x<tan (ε−π2)= -tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x<-M 时， 便有|arctan x −(−π2)|<ε，∴lim x→−∞arctan x =−π2.(2)任给ε>0，要使|arctan x −π2|<ε，即π2−ε<arctan x<ε+π2， ∵arctan x ≤π2<ε+π2，∴只须使arctan x>π2−ε，即x>tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x>M 时， 便有|arctan x −π2|<ε，∴lim x→+∞arctan x =π2.注：∵lim x→−∞arctan x =−π2≠π2=lim x→+∞arctan x ，∴lim x→∞arctan x 不存在。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多数学课程提供了必要的理论基础和方法。
以下是对数学分析中的一些重要知识点的总结。
一、函数函数是数学分析中的核心概念之一。
函数可以理解为一种对应关系，对于给定的自变量的值，通过某种规则确定唯一的因变量的值。
1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的数 y 与之对应，那么就称f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。
2、函数的性质（1）单调性：如果对于定义域内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞f(x₂)），那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数（或减函数）。
（2）奇偶性：如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数；如果都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）周期性：对于函数 y ＝ f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x)都成立，那么就把函数 y ＝ f(x)叫做周期函数，周期为 T。
3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
如果对于 R 中的每一个 y 值，在 D 中都有唯一确定的 x 值与之对应，那么就可以得到一个新的函数 x ＝φ(y)，称其为函数 y ＝ f(x)的反函数。
二、极限极限是数学分析中用于描述函数在某个过程中的变化趋势的重要概念。
1、数列的极限对于数列｛an}，如果存在一个常数 A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A|＜ε 都成立，那么就称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞）an ＝ A。
2023考研数学复习方法：考研数学一、二、三分值分布及考察重点 (2)
2023考研数学复习方法：考研数学一、二、三分值分布及考察重点1500字2023考研数学复习方法：考研数学一、二、三分值分布及考察重点考研数学一、二、三是考研数学科目中的三个重要模块，对于考生来说，掌握这三个模块的分值分布和考察重点是非常重要的。
下面将分别介绍2023考研数学一、二、三的分值分布和考察重点。
一、考研数学一（基础数学）分值分布及考察重点考研数学一主要包括数学分析和线性代数两个部分，分值在100分左右，大致占考研数学总分的20%左右。
1. 数学分析数学分析是数学的基础课程，也是考察考生数学基本功和分析思维能力的重要手段。
具体分值分布如下：（1）极限、连续、一元函数导数和微分：约占总分的30%~40%。
（2）一元函数的高阶可导性和泰勒展开、积分学：约占总分的30%~40%。
2. 线性代数线性代数是现代数学的重要分支，也是大学数学课程中的重点内容。
具体分值分布如下：（1）线性方程组的基本概念和解法：约占总分的15%~20%。
（2）矩阵的基本概念和运算、矩阵的特征值和特征向量：约占总分的20%~25%。
二、考研数学二（高等数学）分值分布及考察重点考研数学二主要包括高等数学中的部分内容，分值在100分左右，大致占考研数学总分的20%左右。
1. 二元函数和多元函数二元函数和多元函数是高等数学的重要内容，考察考生对函数的理解和运用能力。
具体分值分布如下：（1）二元函数和多元函数的极限和连续性：约占总分的20%~30%。
（2）二元函数和多元函数的偏导数和全微分、梯度和方向导数、多元函数的极值和条件极值：约占总分的25%~35%。
2. 重积分和曲线积分重积分和曲线积分是高等数学中的重要概念和工具，考察考生解决实际问题的能力。
具体分值分布如下：（1）重积分的定义和性质、重积分的计算：约占总分的20%~30%。
（2）曲线积分的定义和性质、曲线积分的计算：约占总分的20%~30%。
三、考研数学三（概率统计与随机过程）分值分布及考察重点考研数学三主要包括概率统计和随机过程两个部分，分值在100分左右，大致占考研数学总分的20%左右。
《数学分析》第一章 实数集与函数 2
y = ex
y = ax
(a > 1)
( 0 ,1)
4,三角函数 , 正弦函数 y = sin x
y = sin x
余弦函数 y = cos x
y = cos x
正切函数 y = tan x
y = tan x
3,对数函数 y = log a x ,
(a > 0, a ≠ 1) y = ln x
恒成立 . 则称f ( x )为周 期函数 , l称为 f ( x )的周期 .
(通常说周期函数的周期是指其最小正周期). 通常说周期函数的周期是指其最小正周期) 周期
3l 2
l 2
l 2
3l 2
三,反函数
y
函数 y = f ( x )
y0
y
反函数 x = ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
y
D : ( 1,1)
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时,对应的函数值总 是只有一个, 是只有一个,这种函 W y 数叫做单值函数, 数叫做单值函数,否 则叫与多值函数. 则叫与多值函数.
( x, y)
x
例如, 例如, x + y = a .
2 2 2
o
x
D
定义: 定义: 点集C = {( x , y ) y = f ( x ), x ∈ D} 称为
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间 I ∈ D ,
如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 , 当 x1 < x 2时,
恒有 ( 2) f ( x1 ) > f ( x 2 ),
函数的概念与性质
函数的概念与性质函数是数学中一种重要的概念。
它描述了两个数集之间的一种对应关系，即每个自变量对应唯一的因变量。
在实际问题中，函数可以用来描述物理、经济、工程等领域的关系，因此理解函数的概念与性质对于深入理解数学和应用数学至关重要。
一、函数的概念函数是一个机械的规则，根据给定的自变量的值，计算出一个唯一的因变量的值。
这个规则可以用公式、图像、数据表等方式来表示。
在数学中，通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域是指因变量的取值范围。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集、有理数集或其他数集。
例如，对于函数f(x) = x^2，其定义域为实数集，值域为非负实数集。
二、函数的性质1. 单调性：函数可以是递增的或递减的。
如果对于任意的x1、x2(x1 < x2)，有f(x1) ≤ f(x2)，则函数是递增的；如果有f(x1) ≥ f(x2)，则函数是递减的。
2. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。
如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；如果有f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
3. 周期性：函数可以是周期函数。
如果存在一个常数T，对于任意的x，有f(x+T) = f(x)，则函数是周期函数。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
4. 对称性：函数可以是轴对称的。
如果对于任意的x，有f(x) = f(-x)，则函数是轴对称的。
5. 连续性：函数可以是连续的。
如果函数在定义域的任意一点都存在极限值，并且极限值等于函数在该点的函数值，那么函数就是连续的。
6. 导数与导函数：函数的导数描述了函数曲线在某一点上的切线斜率。
函数在某一点处的导数可以用极限表示。
根据导数求解的一阶导函数可以表示函数在各点处的导数。
7. 积分与不定积分：函数的积分描述了函数曲线下方的面积。
函数在某一区间上的积分可以用极限表示。
不定积分则表示函数在某一点的积分，生成了原函数。
数学分析知识点总结
第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数-—§1实数教学目的:使学生掌握实数的基本性质．教学重点:(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性;（2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点:实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序:引 言上节课中,我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．［问题］为什么从“实数"开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数"是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质1、实数(,q p q p ⎧≠⎪⎪⎨⎪⎪⎩有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示.{}|R x x =为实数--全体实数的集合．[问题］有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定:,n a ,,n n a ≠1(1)9999n n a a --0,a 则记x =；对于负有限小数（包括负整数）表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为例： 2.001 2.0009999→；利用上述规定,任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小?2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =,01.n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,0,1,2,k k a b k ==,则称x 与y 相等，记为x y =;若00a b >或存在非负整数l ,使得,0,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <(或y x >）．规定:任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件(通过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：01.n x a a a =为非负实数，称有理数01.n n x a a a =为实数x 的n 位不足近似;110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =。
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(h f g)( x) ln(arcsin2 x), D5 [1, 0) (0, 1];
(h g f )( x) ln(arcsin( x2 )), D6 [1, 0) (0, 1].
其ห้องสมุดไป่ตู้ Dk , k 1, ,6 是相应复合函数的定义域.
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四、反函数
若函数 f 的定义域为 D, 满足 : y f (D), 惟一 x D, 使 f ( x) y,
( x) | x |, x 和 (x) x2 , x 相同 前页 后页 返回
2.约定: 用公式法表示函数时，函数的定义域就是自变量
所能取的使该运算式子有意义的一切实数值（存在域）.
例如，函数 y 1 x2 的定义域为[-1,1]
函数 y
1 1 x2
的定义域为(-1,1)
3.函数与映射
g
D* , 其中D* { x x Dg ,
且 g( x) 0}, x Df , g
f g
(
x)
f (x) g( x)
.
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三、复合函数
设函数 f 的定义域为D f ,函数 g 的定义域为Dg , 复合函数 f g 的定义域为
D f g { x x Dg , 且 g( x) D f }, 则
( f g h)( x) arcsin2(ln x), ( f h g)( x) ln2(arcsin x), ( g f h)( x) arcsin(ln2 x),
D1 [e1, e]; D2 (0,1]; D3 [e1, e];
( g h f )( x) arcsin(ln x2 ), D4 [e1/2, e1/2][e1/2, e1/2];
1. f g 的定义域为 Df g Df Dg ,
且 x Df Dg , ( f g)( x) f ( x) g( x).
2. f g的定义域为 Df g Df Dg ,
且 x Df Dg ,( f g)( x) f ( x) g( x).
3.
f g
的定义域为 D f
Df
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例1 符号函数
1, x0
sgn
x
0,
x0
1 , x 0
例2 狄利克雷函数
D(
x)
1 0
, ,
x x
Q Q
y
1
O
x
1
y
1
O
x
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狄利克雷( Dirichlet,P.G.L. 1805－1859, 德国)
黎曼( Riemann,B. 1826－1866,德国 )
函数 f 给出了 x 轴上的点集 D 到 y 轴上的点集 M 之
间的单值对应，也称为映射.对于 a D，f(a) 称为映射 f 下 a 的象，a 则称为 f(a) 的原象.
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4.单值函数与多值函数: 如果函数的自变量在定义域内任取一个数值时， 对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值 函数，否则叫多值函数．
3. 验证黎曼函数 R( x) 具有以下性质 :
0, R( x) 只有有限多个解.
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作业
P15 5, 7. (2)(3)
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复习思考题
1. 函数 f (x)定义在 [a, b]上，f (a) = 0, f(b)= 1, [0, 1] 是否一定都在 f 的值域 f ([a, b])之中．
2. f (x) 和 g(x)定义在[a, b]上, 是否一定存在某个区间 [a0 , b0 ] [a, b] ,使 x [a0, b0], f ( x) g( x) 或 x [a0 ,b0 ] , f ( x) g( x) ?
§3 函 数 概 念
函数的概念, 在中学数学中我们已有 了初步的了解. 本节将作进一步的讨论.
一、函数的定义 二、函数的四则运算 三、复合函数 四、反函数
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一、函数的定义
定义1 D与M是R中非空数集,若有对应法则 f , 使 D内每一个数 x , 都有惟一的一个数 yM 与它相 对应,则称 f 是定义在 D上的函数,记作
例如，由 x2 y2 a2
所定义的函数 y = f(x) 为多值函数 本课程只讨论单值函数
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5.函数的图象 平面点集 G {( x, y) y f ( x), x D}
称为函数 y=f(x) 的图象
y
M
y
(x, y)
o
x
x
D
6. 表示函数有多种方法，常见的有解析法、列
表法和图象法.
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例3 黎曼函数
R( x)
1 q
,
当
x
p q
( p,
q N+,
p q
既约真分数);
0 ,
x 0, 1 或 x (0, 1) \ Q.
y
0.6 0.4 0.2
O
0.2 0.4 0.6 0.8 1 x
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二、函数的四则运算
设函数 f 的定义域为Df ,函数 g的定义域为Dg .
则存在函数 f 1, D f 1 f (D) 且 y f (D), f 1( y) x ,其中 x 是使 f ( x) y 的惟一的 x D. 注 反函数表示式 f 1( y) x 中, y 是自变量, x 是 因变量. 由于函数与自变量、因变量记号无关， 因此一般反函数 f 1 记为 y f 1( x).
x Df g , f g( x) f (g( x)).
例4 函数 f (u) u, u 0, 与函数 g( x)
1 x2, x R 的复合函数为 y f ( g( x)) 1 x2 ,
其中Df g [1, 1].
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例5 设 f ( x) x2; g( x) arcsin x;h( x) ln x. 则
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注 1. 求反函数的三个步骤 2. 原函数与反函数的图象关于直线 y=x 对称
反函数 y f 1( x)
y
Q(b, a )
直接函数 y f ( x)
P(a, b)
o
x
3. 函数 f(x) 与 f 1( x)互为反函数，且
f 1( f ( x)) x, x D, f ( f 1( x)) x, x f (D). 前页 后页 返回
f :D M, x y.
D 称为 f 的定义域; f (D){ y y f ( x), x D} 称为 f 的值域;
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关于函数定义的说明：
1.函数的两要素: 定义域与对应法则
(x
对应法则f
(
M
D x0)
y f (x0 )
自变量
)
因变量
两个函数相同: 有相同的定义域与对应法则
例如， f (x) 1, x 和 g(x) 1, x \0 不同