线性代数课后习题答案 1.2

习题1.2

1. 按行列式定义,计算下列行列式(要求写出过程): (1)

2

2

b a b a ; (2)

1log log 1b a a b ; (3)

θ

θ

θ

cos 1sin tan ; (4) 000

00d

c b a

; (5) 1

1

1

111111---; (6) e

d

b

a 00000. 分析 计算2阶行列式和3阶行列式可用对角线法则. 解 (1)

2

2

b

a

b a =2

2ba ab -;

(2)

1

log log 1b a a b =-1a b log b a log 110=-=;

(3)

θ

θ

θcos 1

sin tan =0sin cos tan =-⋅θθθ; (4) 000

0d c b a

=00000000000ac bd ab cd ⨯⨯+⋅+⋅-⨯⨯-⋅-⋅=; (5) 1

1

1

111

1

11

---=111(1)(1)(1)11111(1)⨯⨯+-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯⨯- (1)111(1)11111114--⨯⨯-⨯-⨯=-++++=;

(6) 000

0a

b

c d

e

=00000000abe c d b cda e abe acd ++---=-. 2. 在6阶行列式ij a 中, 下列项应该取什么符号? 为什么? (1) 233142561465a a a a a a ; (2) 324354116625a a a a a a ; (3) 215316426534a a a a a a ; (4) 511332442665a a a a a a . 解 (1) 因(234516)(312645)448ττ+=+=, 所以取正号;

另一种方法是: 233142561465a a a a a a =142331425665a a a a a a , 因(431265)τ6=, 所以取正号. (2),

(3), (4) 也可这样做, 不再列出.

(2) 因(345162)(234165)7411ττ+=+=, 所以取负号; (3) 因(251463)(136254)6511ττ+=+=, 所以取负号; (4) 因(513426)(132465)628ττ+=+=, 所以取正号.

3. 当i =___, k =___时13242553i k a a a a a 成为5阶行列式ij a 中一个取负号的项,为什么? 解

i 和k 只能取

1,4或者

4,1.不妨先假设1,4i k ==, 则

13242553i k a a a a a =1132442553a a a a a , 这个项的符号就是(13425)(12453)4(1)(1)1ττ+-=-=+, 不符

合要求. 那么当4,1i k ==时13242553i k a a a a a =1432412553a a a a a , 它和1132442553a a a a a 相比就是交换了列指标1和4的位置, 因(12453)τ与(42153)τ相比改变了奇偶性, 所以1432412553

a a a a a 的符号为负. 故应填4,1i k ==. 4. 若(415)(12345)41213455(1)k i k i a a a a a ττ+-是5阶行列式ij a 中的一项, 则当i =___,

k =___时该项的符号为正, 当i =___, k =___时该项的符号为负, 为什么?

解 此问和问题3类似, i 和k 只能取2,3或者3,2.不妨先假设2,3i k ==, 则符号为

(43125)(12345)(1)ττ+-=5(1)(1)-=-, 所以取的是负号. 那么由问题3的分析可知当3,2

i k ==时符号取正. 所以当3,2i k ==时该项的符号为正, 当2,3i k ==时该项的符号为负.

5. 写出4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项, 并指出正负号.

解 参照习题1.1的第6题知, 4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项有11233442a a a a 和

14233142a a a a . 由于(1342)2τ=，故11233442a a a a 取正号; (4312)5τ=，故14233142a a a a 取

负号.

6. 写出4阶行列式ij a 中所有取负号且包含因子23a 的项. 解 类似于第5题可推知, 4阶行列式中包含23a 的项为

11233244a a a a (1324

)1τ= 取负号; 11233442a a a a (1342

)2τ= 取正号; (也可由(1)取负号推知(2)取正号) 12233441a a a a (2341)

3τ= 取负号;

12233144a a a a (2314

)2τ= 取正号; (也可由(3)取负号推知(4)取正号) 14233142a a a a (4312

)5τ= 取负号; 14233241a a a a (4321

)6τ= 取正号. (也可由(5)取负号推知(6)取正号) 所以所求的项为11233244a a a a , 12233441a a a a , 14233142a a a a .

7. 按行列式定义, 计算下列行列式((4)中1n >, 并均要求写出计算过程):

(1) 1

1200

3

a

b ---; (2)

0000

000

000

00

a b c d

; (3) 1234512

345

12

12

1

2000000

0a a a a a b b b b b c c d d e e ; (4) 11

121,1121222,1

1,11,210000

00

n n n n n n a a a a a a a a a a ----

. 解 (1)由对角线法则, 1

1

200

3

a

b ---=(1)(2)(3)00011(2)0ab -⨯-⨯-+⨯⨯+⋅-⨯-⨯

(1)00(3)(6)6b a ab ab --⨯⋅-⋅⋅-=-+=-; (2) 根据定义44

ij

a ⨯=

123412341234

()1234(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ-∑.

在行列式

0000

00

000000a b c d

的通项中, 只有11233244a a a a 这一项的因子中不含零, 所以 原式=(1324)11233244(1)a a a a τ-=11233244a a a a -=abcd -. (3) 根据定义55

ij

a ⨯=

123451234512345

()12345(1)j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a τ-∑.