(完整版)高中数学《函数的极限》教案
高中数学函数的极值教案
高中数学函数的极值教案教学目标：1. 理解函数的极值的概念并掌握求解极值的方法。
2. 能够应用求解极值的方法解决实际问题。
3. 提高学生的数学分析能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 函数的极值的概念。
2. 求解函数的极值的方法。
教学难点：1. 解决实际问题中函数的极值。
2. 怎样应用求解函数的极值来解决问题。
教学内容：1. 函数的极值的定义。
2. 求解函数的极值的方法。
3. 应用求解函数的极值解决实际问题。
教学步骤：1. 导入：通过实际例子引入函数的极值概念。
2. 发现：让学生通过观察函数图像和数值找出函数的极点。
3. 教学：讲解函数的极值的定义和求解方法。
4. 实践：让学生通过练习题进行巩固。
5. 应用：通过实际问题让学生应用求解函数的极值的方法解决问题。
6. 总结：对本节课内容进行总结和归纳。
教学手段：1. 演示板2. 教材3. 练习册4. 计算器教学过程设计：1. 导入：通过一个生活中的例子引入函数的极值的概念，引起学生的兴趣。
2. 发现：让学生观察函数图像、数值和函数性质找出函数的极点。
3. 教学：介绍函数的极值的定义和求解方法，让学生明白极值的重要性。
4. 实践：让学生通过练习题进行巩固，培养学生的计算能力和解题能力。
5. 应用：通过实际问题让学生应用求解函数的极值的方法解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力。
6. 总结：对本节课内容进行总结和归纳，让学生掌握本节课的重点和难点。
教学反馈：1. 师生互动：鼓励学生提问，师生互动，及时解决学生的疑问。
2. 课堂讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决问题，促进学生的思维能力和合作能力。
教学延伸：在课后作业中加入更多的应用题，引导学生继续深入掌握函数的极值的概念和求解方法，提高学生的解决问题的能力。
教学评估：通过学生的表现、课堂练习和课后作业来评估学生是否掌握了函数的极值的概念和求解方法，及应用求解函数的极值解决实际问题的能力。
函数的极限教案
函数的极限教案教案标题：函数的极限教案教案目标：1. 了解函数的极限的概念和基本性质。
2. 掌握计算函数在某一点的极限的方法。
3. 理解函数的极限与函数的连续性之间的关系。
4. 能够应用函数的极限解决实际问题。
教学资源：1. 教科书：包含函数的极限概念、性质和计算方法的章节。
2. PowerPoint演示文稿：用于引入和解释函数的极限概念。
3. 白板/黑板和彩色粉笔/白板笔：用于演示计算函数的极限的步骤和解答学生问题。
4. 练习题集：包含不同难度级别的函数极限计算练习题。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 使用PowerPoint演示文稿引入函数的极限概念，解释函数在某一点趋近于某个值的行为。
2. 引导学生思考函数极限的意义和应用。
概念讲解（15分钟）：1. 解释函数极限的定义：当自变量趋近于某一点时，函数值的变化趋势。
2. 介绍函数极限的性质：唯一性、局部性、保号性等。
3. 讲解计算函数极限的方法：代入法、夹逼准则等。
示例演示（15分钟）：1. 在白板/黑板上选择一个简单的函数，如f(x) = x^2，演示如何计算函数在某一点的极限。
2. 解释每个步骤的原理和推理过程。
3. 通过更复杂的例子，如f(x) = sin(x)/x，演示夹逼准则的应用。
练习与讨论（20分钟）：1. 分发练习题集，让学生独立或小组完成一些函数极限的计算练习题。
2. 在学生完成后，逐一讲解练习题的解题思路和方法。
3. 鼓励学生提问和讨论，澄清疑惑。
应用拓展（10分钟）：1. 引导学生思考函数极限在实际问题中的应用，如物理学中的速度、加速度等概念。
2. 提供一些实际问题，让学生尝试应用函数极限解决。
总结与作业布置（5分钟）：1. 总结函数的极限的概念和计算方法。
2. 布置相关的作业，要求学生继续练习函数极限的计算和应用。
教学反思：1. 在引入部分，通过PowerPoint演示文稿引起学生的兴趣和好奇心，为后续的概念讲解打下基础。
（完整版）高中数学《函数的极限》教案
（完整版）⾼中数学《函数的极限》教案课题：2.3函数的极限(⼆)教学⽬的：1.理解函数在⼀点处的极限，并会求函数在⼀点处的极限．2.已知函数的左、右极限，会求函数在⼀点处的左右极限．3.理解函数在⼀点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就⽆限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的⼀个特殊的点.那么如果对于数轴上的⼀般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？教学过程：⼀、复习引⼊： 1.数列极限的定义：⼀般地，如果当项数n ⽆限增⼤时，⽆穷数列}{n a 的项n a ⽆限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -⽆限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于⽆穷⼤时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表⽰“n 趋向于⽆穷⼤”，即n ⽆限增⼤的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.⼏个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）⽆穷等⽐数列}{nq （1""→q q nn3.函数极限的定义:(1)当⾃变量x 取正值并且⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于正⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当⾃变量x 取负值并且绝对值⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于负⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .∞→x lim f (x )存在，表⽰+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，⼜有－∞的意义，⽽数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义⼆、讲解新课： 1.研究实例(1)探讨函数2x y =，当x ⽆限趋近于2时的变化趋势．当x 从左侧趋近于2时，记为：-→2x ．当x 从右侧趋近于2时, 记为：+→2x .发现（左极限）22lim 2x x -→=,（右极限）22lim 2x x +→=,因此有22lim 2x x →=． (2)我们再继续看112--=x x y ,当x ⽆限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势:211,(1)1x y x x x -==+≠-,当x 从左侧趋近于1时，即1x -→时，2y →．当x 从右侧趋近于1时, 即1x +→时，2y →．即（左极限）2111(1)21lim lim x x x x x --→→-=+=-，（右极限）2111(1)21lim lim x x x x x ++→→-∴=+=- 2111(1)21lim lim x x x x x →→-∴=+=-(3)分段函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>??==??-当x →0的变化趋势.①x 从0的左边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于－1.即0lim ()1x f x -→=- ②x 从0的右边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于1. 即0lim ()1x f x +→= 可以看出00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠，并且都不等于(0)0f =．象这种情况，就称当0x →时，()f x 的极限不存在．2. 趋向于定值的函数极限概念：当⾃变量x ⽆限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→3. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?==其中0lim ()x x f x a -→=表⽰当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表⽰当x 从右侧趋近于0x 时的右极限三、讲解范例：例1求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim →（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+解：（1）220011lim lim 12121x x x x x x x →→-+==--+ （2）000lim 1,lim 1lim x x x x x xx x x-+→→→=-=?不存在．（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+20lim ()lim(1)1,lim ()lim 21xx x x x f x x f x --++→→→→?=+=== 0lim ()lim ()1lim ()1x x x f x f x f x -+→→→?==?=．四、课堂练习：1．对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限2．对于函数12-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3.求如下极限：⑴121lim 221---→x x x x ; ⑵32302)31()1(lim x x x x x +-+-→; ⑶)cos (sin 2lim 22x x x x --→π⑷2321lim4--+→x x x ;⑸xa x a x -+→20lim（0>a ）; ⑹x x 1lim 0→答案：⑴2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ ⑵ 323 00(1)(13)3lim lim 3212x x x x x x x x →→-+--==-++ ⑶222lim 2(sin cos )22x x x x ππ→--=-⑷443x x →→==⑸012x x a x a→→== ⑹x x 1lim 0→不存在．五、⼩结：六、课后作业：七、板书设计（略）⼋、课后记：。
高中数学备课教案函数的极限与无穷大
高中数学备课教案函数的极限与无穷大高中数学备课教案函数的极限与无穷大一、教学目标1. 理解函数的极限的概念和意义；2. 掌握计算函数在某一点的极限；3. 理解函数的无穷大的概念和性质；4. 能够计算函数在无穷大时的极限。
二、教学重点1. 函数的极限的概念和计算方法；2. 函数的无穷大的概念和性质。
三、教学内容与过程1. 函数的极限函数的极限是函数在某一点上的取值逐渐趋近于某个常数或者无穷大的过程。
我们用符号lim来表示极限。
函数f(x)在x=a处的极限为lim┬(x→a)〖f(x)〗=L，表示当x无限接近a时，f(x)的取值无限接近L。
计算函数在某一点的极限时，可以使用以下的方法：- 代入法：将函数的值直接代入到极限公式中计算；- 分式法：如果函数存在分式形式，可以通过分子、分母的极限分别求解；- 夹逼法：对于复杂函数的极限，可以通过夹逼定理来确定极限的值。
2. 函数的无穷大函数的无穷大是指函数的取值在某一点或者在某个区间内，无限逼近于正无穷或负无穷的过程。
我们用符号∞来表示无穷大。
函数f(x)在x→∞时的极限为lim┬(x→∞)〖f(x)〗=L，表示当x趋向于正无穷时，f(x)的取值趋近于L。
计算函数在正无穷或负无穷时的极限时，可以使用以下的方法：- 代入法：将∞代入到极限公式中计算；- 套用定理：使用极限的性质和定理来计算。
四、教学案例案例1：计算函数在某一点的极限已知函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1，求f(x)在x = 2处的极限。
解：通过代入法，将x = 2代入到极限公式中计算。
lim┬(x→2)〖(3x^2 + 2x + 1)〗 = (3(2)^2 + 2(2) + 1) = 19所以，函数f(x)在x = 2处的极限为19。
案例2：计算函数在无穷大时的极限已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4，求f(x)在x→∞时的极限。
解：通过套用定理，我们可以计算函数在无穷大时的极限。
《函数的极限》教学设计
《函数的极限》教学设计函数的极限教学设计
简介
这份教学设计旨在帮助学生掌握函数的极限概念，理解其应用以及解决其中的问题。
教学目标
- 学生能够定义函数的极限概念
- 学生能够计算数列的极限
- 学生能够用数列的极限证明函数的极限
- 学生能够运用函数的极限概念解决实际问题
教学内容和方法
1. 概念讲解：首先通过PPT和讲解介绍函数的极限概念及其特点，帮助学生了解极限的概念与性质。
2. 例题演练：通过多个例子演示，帮助学生加深对极限概念的理解，掌握极限的基本计算方法。
3. 理论总结：通过对前面所学知识的梳理和总结，帮助学生更清晰地认识到极限的应用范围并说明其中的问题。
4. 应用拓展：通过实际问题引入，让学生学会运用函数极限来解决实际问题。
教学评估
针对学生的掌握情况与适应程度，我会使用以下方法来进行评估和反馈：
- 课堂练：通过课堂练来检验学生对应用的掌握程度。
- 知识点检测：通过随堂测验来检验学生对知识点的掌握和理解，以方便我的后续教学。
- 个性化指导：对学生的研究情况进行个性化指导和调整，帮助学生更好地掌握知识。
结论
通过本教学设计，我相信学生将会获益甚多，对极限概念和应用有更深入的了解，并有能力运用它解决实际问题。
同时，我也将在教学过程中反思和完善自身的教学方法，为学生提供更优质的教学体验。
函数的极限 高三数学极限全章教案[整理五套]人教版 高三数学极限全章教案[整理五套]人教版
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函数的极限教学目标：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限；2、了解：A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解。
教学过程： 一、复习：（1）=∞→nn q lim ＿＿＿＿＿1<q ;（2）).(_______1lim*∞→∈=N k xk x （3）?lim 22=→x x二、新课就问题（3）展开讨论：函数2xy =当x 无限趋近于2时的变化趋势当x 从左侧趋近于2时 （-→2x ）从右侧趋近于2 （+→2x ）我们再继续看112--=x x y当x 无限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势；函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0。
特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→三、例题求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim → （3）=)(x f 0,10,00,22<+=>x x x x x四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
五、练习及作业：1、对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限2、对于函数12-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3* 121lim 221---→x x x x 32302)31()1(lim x x x x x +-+-→ )cos (sin 2lim 22x x x x --→π2321lim4--+→x x x xa x a x -+→20lim（0>a ） x x 1lim 0→。
2024全新教学设计教案标准完整版
2024全新教学设计教案标准完整版一、教学内容本节课选自《高中数学》教材第二章“函数、导数与极限”的第3节“函数的极限”。
具体内容包括：1. 函数极限的定义；2. 函数极限的性质；3. 函数极限的运算法则；4. 无穷小与无穷大的概念；5. 极限存在的条件。
二、教学目标1. 理解函数极限的定义，掌握函数极限的基本性质；2. 学会运用极限的运算法则，解决实际问题；3. 能够判断函数极限的存在性，了解无穷小与无穷大的概念。
三、教学难点与重点难点：函数极限的存在性判断，无穷小与无穷大的概念。
重点：函数极限的定义，极限的性质，极限的运算法则。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔；2. 学具：教材，笔记本，练习本。
五、教学过程1. 引入：通过展示函数图像，让学生观察函数值的变化趋势，引出函数极限的概念；2. 新课导入：讲解函数极限的定义，阐述函数极限的基本性质；3. 例题讲解：讲解极限的运算法则，结合实际例子，让学生掌握极限的运算方法；4. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识；5. 知识拓展：介绍无穷小与无穷大的概念，讲解极限存在的条件；7. 课堂小结：让学生回顾本节课所学内容，检查学习效果。
六、板书设计1. 函数极限的定义；2. 函数极限的性质；3. 极限的运算法则；4. 无穷小与无穷大的概念；5. 极限存在的条件。
七、作业设计1. 作业题目：① lim(x→0) (sinx)/x；② lim(x→1) (x^2 1)/(x 1)；① y = 1/x；② y = x + 1/x；（3）已知函数f(x) = x^3 3x，求x→3时f(x)的极限。
2. 答案：（1）① 1；② 2；（2）① 0；② ∞；（3）f(x)在x→3时的极限为18。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对函数极限的定义和性质掌握较好，但在判断极限存在性方面存在困难，需要在课后加强练习；2. 拓展延伸：引导学生了解其他数学分支中的极限概念，如微积分中的定积分、级数等，提高学生的数学素养。
高中数学教案——函数的极限 第一课时
课 题：2.3函数的极限(一)教学目的：1.理解当x →+∞，x →－∞，x →∞时，函数f (x )的极限的概念.2.从函数的变化趋势，理解掌握函数极限的概念.3.会求当函数的自变量分别趋于+∞，－∞，∞时的极限 教学重点：从函数的变化趋势来理解极限的概念，体会极限思想. 教学难点：对极限概念如何可从变化趋势的角度来正确理解. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn3. 将a n 看成是n 的函数即a n =f (n ).自变量n ∈N *，a n 就是一个特殊的函数. 数列的项a n ,随着n 的增大a n 越来越接近于a ,也就是f (n ) 越来越接近于a ． 对于一般的函数f (x )，自变量x ∈R ，是否有同样的结论呢？这节课就来研究当x →∞时，函数f (x )的极限.二、讲解新课： 1. 举特殊例子 我们先来看函数y =x1(x ∈R ，x ≠0)，画出它的图象，或者列表观察.当x 取正值并无限增大，和当x 取负值并绝对值无限增大时，函数值的变化趋势. (1)函数 y =1(x ∈R ，x ≠0)的图象：绝对值增大时，y 的值也趋于0.如果也用数列中的极限符号表示：01lim ,01lim==-∞→+∞→x x x x .2.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a .记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .3.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .注意：∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义 三、讲解范例：例1分别就自变量x 趋向于+∞和－∞的情况,讨论下列函数的变化趋势.(1)y =(21)x分析：作出这个函数的图象，由图就能看出变化趋势. 解：由图可知，当x →+∞时，y =(21)x 无限趋近于0，即 +∞→x lim (21)x=0；当x →－∞时，y =(21)x无限趋近于+∞.极限不存在． (2)y =2x解：由图可知，当x →+∞时.y =2x无限趋近于+∞，极限不存在． 当x →－∞时，y =2x无限趋近于0，即-∞→x lim 2x =0.(3)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0(1)0(0)0(1)(时时时x x x x f解：由图可知，当x →+∞时，f (x )的值为1，即+∞→x lim f (x )=1;当x →－∞时，f (x )的值为－1，即-∞→x lim f (x )=－1．说明：当x →+∞时，f (x )不是无限趋近于某个常数a ，而是f (x )的值等于常数a ，那么函数f (x )当x →+∞时的极限也就是a .x →－∞时，情况也是如此.四、课堂练习： 1．1.对于函数y =21x，填写下表并画出函数的图象，观察当x →∞时，函数y 的变化趋势. 答案：当x →∞时，y =21x 无限趋近于0.即∞→x lim 21x=0. 2.写出下列函数极限的值. (1)xx 1lim+∞→； (2)-∞→x lim 10x； (3)35lim x x +∞→；(4)12lim ++∞→x x答案：⑴0 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ 0 3.判断下列函数的极限：（1）x x )21(lim +∞→ （2）xx 10lim -∞→（3）21lim xx ∞→ （4）4lim ∞→x答案：⑴0 ⑵0 ⑶0 ⑷ 4五、小结 ：当x 分别趋向于+∞，－∞，∞时，函数f (x )的极限，以及常数函数的极限，注意∞→x lim f (x )中的∞和数列极限∞→n lim a n 中的∞的不同意义.以概念为依据，结合函数图象，学会求一些函数的极限 六、课后作业：1. 判断下列函数的极限：（1）xx 4.0lim +∞→ （2）xx 2.1lim -∞→（3）)1lim(-∞→x （4）41limx x ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）xx )45(lim -∞→（7）11lim 2+∞→x x （8）lim ∞→x答案： ⑴0 ⑵0 ⑶-1 ⑷0 ⑸0 ⑹0 ⑺0 ⑻5 七、板书设计（略）八、课后记：。
函数极限 教案
函数极限教案教案标题：函数极限教案目标：1. 理解函数极限的概念和意义；2. 掌握计算函数极限的方法；3. 能够应用函数极限解决实际问题。
教案步骤：一、导入（5分钟）1. 引入函数极限的概念，例如：当自变量趋向于某个特定值时，函数的取值会趋向于一个确定的值。
2. 提问学生是否了解函数极限，并鼓励他们分享自己的理解和经验。
二、概念讲解（15分钟）1. 解释函数极限的数学定义：对于函数f(x)，当x趋近于某个特定值a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，那么我们称L是函数f(x)在x=a处的极限。
2. 引导学生理解ε-δ语言的含义，并通过图示和实例说明。
三、计算方法（20分钟）1. 介绍计算函数极限的方法，包括代入法、夹逼准则、无穷小量法等。
2. 通过例题演示不同方法的应用，让学生理解和掌握计算函数极限的步骤和技巧。
四、实例分析（15分钟）1. 提供一些实际问题，例如物理、经济等领域的应用问题。
2. 引导学生分析问题，建立函数模型，并利用函数极限解决问题。
五、练习与总结（15分钟）1. 给学生分发练习题，包括计算函数极限和应用题。
2. 鼓励学生独立解题，并及时给予指导和反馈。
3. 总结本节课的要点和难点，并鼓励学生提出问题和分享自己的思考。
教案评估：1. 课堂参与度：观察学生在导入环节的回答和讨论，评估他们对函数极限概念的理解程度。
2. 计算能力：通过练习题的完成情况评估学生对计算函数极限的掌握程度。
3. 应用能力：观察学生在实例分析环节的表现，评估他们能否将函数极限应用于实际问题的解决。
教案扩展：1. 深入讨论函数极限的性质和定理，如函数极限的唯一性、函数极限与连续性的关系等。
2. 探究无穷大和无穷小的概念，引入无穷小量的定义和性质，拓展函数极限的应用范围。
函数的极限 教学设计
当 时， 当 时，
二、 时函数的极限
当 时， 当 时，
三、单侧极限（ 、 ）
四、函数极限的性质定理
六、教学反思与改进
三、教学思想
根据教材编排的教学内容和学生的认知特点，在教学中要特别注意从学生已有的知识和经验出发，利用各种学习内容为学生提供充分的、现实的数学探究活动以及交流的机会，让学生在获得丰富的数学经验的同时，逐步形成探索数学问题的兴趣和创新的意识，逐步发展数学思维能力。
四、教学方法和策略
讲授、启发式、讲练结合
课题名称
函数的极限
科目
高等数学
教学对象
大一学生
一、教学分析
教学内
容分析
函数的极限安排在数列极限之后，数列的极限自变量只能取正整数，而由于函数自变量变化范围的灵活性，分为 、 、 、 、 、 这几种情况。
教 学
重难点
重点：从函数自变量的变化趋势来理解函数的极限的概念，体会极限的思想。
难点：体会自变量不同变化情况下，函数极限的严格定义。
五、教学安排
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
时间分配
创设情境，导入新课
1、结合例题回顾数列的极限
2、把数列改编成函数，考虑函数 的极限
类比计算
复习旧知，引入新课
3-5分钟
合作探究，得出定义
3.总结得出 时函数极限的严格定义，进而得到 、 的函数极限的定义
理解 的定义
师生共同探索抓住重点
6-8分钟
例题讲解、及时巩固
二、教学目标
知识与技能
目 标
使学生在直观理解函数极限的基础上掌握函数的 定义和 定义，并会用 和 的定义去证明极限。
函数极限教案
函数极限教案一、教学目标:1. 了解函数极限的概念和基本性质；2. 学会计算函数极限的方法；3. 掌握函数极限的一些基本定理；4. 能够应用函数极限解决实际问题。
二、教学重点:1. 函数极限的概念和性质；2. 函数极限的计算方法。
三、教学难点:1. 函数极限的应用；2. 函数极限的证明。
四、教学准备:1. 教材：高中数学课本；2. 教具：黑板、粉笔、教案。
五、教学过程:Step 1: 引入教师向学生介绍函数极限的概念和重要性，从实际生活中的例子引入函数极限的概念，如用车辆行驶速度来解释函数极限的概念。
Step 2: 基本概念和性质1. 定义函数极限的概念，即当自变量逼近某一特定值时，函数值的变化趋势；2. 解释函数极限的性质，如唯一性、局部性、保号性等。
Step 3: 函数极限的计算方法1. 讲解函数极限的计算方法，包括代入法、夹逼法、特殊函数极限的计算方法等；2. 给出一些常见函数极限的计算例题，带领学生进行计算和解答。
Step 4: 函数极限的一些基本定理1. 引入函数极限的一些基本定理，如函数极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数的左极限和右极限等；2. 结合例题进行讲解和解答，巩固学生对基本定理的理解和掌握。
Step 5: 函数极限的应用引导学生将函数极限的概念、计算方法和基本定理应用到实际问题中，如物理学中的运动问题、经济学中的生产函数问题等。
Step 6: 函数极限的证明介绍函数极限的证明方法，如用ε-δ语言证明函数极限等；以一些典型的函数极限为例，进行证明过程的演示。
六、教学延伸:1. 教师可以引导学生做一些拓展探究和实际运用的练习，进一步理解和巩固函数极限的概念和计算方法；2. 鼓励学生多阅读相关文献和材料，扩大对函数极限的了解和认识。
七、教学反思:通过本节课的教学，学生对函数极限的概念和性质有了初步的了解，掌握了一些函数极限的计算方法和基本定理。
但是，部分学生对函数极限的证明仍然存在障碍，需要在后续的学习中强化。
高中数学教案学习函数的极限
高中数学教案学习函数的极限高中数学教案：学习函数的极限一、引言函数的极限是数学中非常重要的概念之一，对于学习高中数学的学生来说，理解和应用函数极限是提高数学能力的关键。
本教案旨在帮助学生全面理解函数的极限概念，并能够熟练应用相关的计算方法。
二、教学目标1. 理解函数的极限定义，并能够用严谨的语言描述；2. 学会通过图像观察、数值逼近和基本性质判断函数的极限；3. 掌握利用极限的定义进行具体计算；4. 进一步培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
三、教学内容1. 函数的极限概念引入- 引导学生理解当自变量接近某个值时，函数的取值趋于无限接近于某个常数，即函数的极限；- 解释极限的正式定义和常用符号表示。
2. 极限的可视化理解- 利用图像观察的方式引导学生直观理解函数的极限；- 通过绘制函数图像，让学生观察函数在自变量趋于某个值时对应的函数值的变化趋势，并理解极限的概念。
3. 数值逼近法求极限- 介绍数值逼近法的思路，即通过给定的自变量逐渐靠近某个值，利用计算工具（如计算器）得到对应的函数值；- 引导学生通过该方法判断函数的极限，并进行简单的计算练习。
4. 极限的性质与运算规则- 介绍函数极限的一些重要性质，如极限存在的唯一性、四则运算法则等；- 引导学生进行相关练习，巩固对性质与规则的理解。
5. 用极限求解实际问题- 将极限理论应用于实际问题的解决中，例如速度与加速度问题、几何问题等；- 引导学生通过建立函数模型、利用极限进行求解。
四、教学方法1. 讲授与演示相结合的教学方法，既进行理论知识的讲解，又通过具体的例子和图像展示进行演示；2. 启发式教学方法，鼓励学生主动思考，在教师的引导下自己发现和解决问题；3. 分组合作学习，可以让学生通过合作探讨和交流，提高学习效果。
五、教学过程1. 导入与激发兴趣：通过提问或者介绍实际问题，引发学生对函数极限的好奇心；2. 概念引入与讲解：按照教学内容的顺序，依次引入和讲解相关概念和知识；3. 图像观察与讨论：提供一些基本函数的图像，让学生观察函数在不同自变量取值下的趋势，并进行相关讨论；4. 数值逼近与计算实践：给定一些函数，要求学生使用计算器等工具进行数值逼近法的计算，并与图像观察的结果进行验证和比较；5. 性质与规则总结与练习：总结函数极限的性质与运算规则，然后提供一些练习，让学生进行实践；6. 实际问题应用讨论：提供一些实际问题，让学生通过极限的求解方法进行讨论和求解；7. 总结与作业布置：总结本节课的重点内容，并布置相关的练习作业。
高二数学人教版函数的极限教案
高二数学人教版函数的极限教案【高二数学人教版函数的极限教案】一、教学目标：1. 理解函数的极限的定义及其性质；2. 掌握求函数的极限的基本方法；3. 能够运用函数的极限解决实际问题。
二、教学重点与难点：1. 理解函数极限的概念；2. 运用极限的基本性质求解函数的极限；3. 运用函数的极限解决实际问题。
三、教学准备：1. 教师准备：教案、教材、多媒体设备；2. 学生准备：课本、笔记、计算器。
四、教学过程：Step 1 引入（15分钟）教师通过提问和实例引导学生理解极限的概念，例如：1. 当变量 x 在无限接近某一值时，函数 f(x) 的值是否也趋于某一确定的值？为什么？2. 如何判断一个函数在某一点是否具有极限？Step 2 概念解释与例题演示（30分钟）教师对函数的极限的定义进行详细解释，并通过几个例题演示求解函数的极限，包括：1. 极限的定义：函数 f(x) 的极限为 L，表示当 x 趋近于某一值时，f(x) 的值越来越接近 L；2. 求函数极限的基本方法：代入法、夹逼准则、无穷小量比较法等。
Step 3 练习与拓展（30分钟）学生进行小组讨论和个人练习，解决一些典型的函数极限问题，并尝试运用极限解决一些相关的实际问题。
Step 4 归纳总结（15分钟）教师引导学生归纳总结函数的极限的性质和基本方法，并帮助学生关联相关知识，如导数的概念和应用等。
Step 5 探究拓展（30分钟）学生通过探究性学习的方式，进一步拓展函数极限的应用场景，并尝试解决一些较为复杂的函数极限问题。
五、教学拓展：1. 学生可以通过阅读相关优秀数学论文和文献，了解函数的极限的深入理论和应用；2. 学生可以应用函数的极限理论进行数学建模和实际问题的解决。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生对函数的极限有了初步的了解，掌握了求解函数极限的基本方法，并能够应用函数的极限解决实际问题。
对于拓展性的学习需要进一步引导学生主动思考和探索，培养他们的数学建模能力和创新思维。
函数极限教案
函数极限教案【课题】函数的极限——当x→∞时，函数f(x)的极限（高中数学第三册第二章）【教学类型】新知课【教学目的】 1.使学生能够由数列的极限推导出函数极限的内涵。
2.初步学会函数极限的求解方法及证明过程。
【教具】黑板，直尺【教学过程】1.复习提问：①数列{an}极限的定义是什么？表达式是什么？②考察下面数列的极限：6.1，6.01，6.001，6.0001，…，6+1/10^n，……2.讲新课——当x→∞时，函数f(x)的极限：①诱导发现从特殊例子出发推到一般结论：我们观察函数y=1/x当x无限增大时的变化趋势。
为此，我们列出下表，并画出函数y=1/x的图像（如下图）从表和图像可以看出，当自变量x取正值并无限增大时（即x趋向于正无穷大时），函数y=1/x的值无限趋近于0，即∣y-0∣可以变得任意小。
根据上述变化趋势，我们说当x趋向于正无穷大时，函数y=1/x 的极限是0，记作Lim1/x=0 (x→+∞)同样的，当自变量x取负值并它的绝对值无限增大时（即x趋向于负无穷大时），函数y=1/x的值无限趋近于0，于是我们说，当x趋向于负无穷大时，函数y=1/x的极限是0，记作Lim1/x=0 (x→-∞)②得出一般结论一般的，当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于正无穷大时，函数f（x）的极限是a，记作Lim f(x)=a (x→+∞)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于负无穷大时，函数f（x）的极限是a，记作Lim f(x)=a (x→-∞)如果Lim f(x)=a (x→-∞)且Lim f(x)=a (x→+∞)，那么就说当x 趋近于无穷大时，函数f（x）的极限是a，记作Lim f(x)=a (x→∞)对于常熟函数f(x)=c(x∝R)，也有Lim f(x)=c (x→∞)。
③举例说明例1 分别就自变量x→+∞和x→-∞得情况，讨论下列函数的变化趋势：⑴ y=(0.5)^x; ⑵ y=2^x解：⑴当x→+∞时，y=(0.5)^x无限趋近于0，即lim y=(0.5)^x=0 (x→+∞); 当x→-∞时，y=(0.5)^x趋向于+∞（如下图）⑵当x→+∞时，y=2^x趋近于+∞; 当x→-∞时，y=2^x 趋向于0（如下图）2.练习分别就自变量x→+∞和x→-∞得情况，讨论下列函数的变化趋势：F(x)=(x^3-1)/(x^3+2)3.小结在求解过程中要注意自变量x的趋近方向。
函数的极限教案
3：几何解释：对 0，作两条平行直线 y A , y A 。由
定 义 ， 对 此 , 0 ， 当 x0 x x0 ， 且 x x0 时 ， 有
A f (x) A 。 即 函 数 y f (x) 的 图 形 夹 在 直 线
y A , y A 之间（ f (x0 ) 可能除外）。换言之：当 x U (x0 , ) 时，
教学媒体
教法选择
讲授 教 学过 程
教法运用及板书 要点
一、函数极限的定义
由上节知，数列是自变量取自然数时的函数， xn f (n) ，因此，数
列是函数的一种特殊情况。对于函数，自变量的变化主要表现在两个方面：
（1）自变量 x 任意接近于有限值 x0 ，记为 x x0 ，相应的函数值 f (x)
的变化情况。
x x
【例 8】 证明 lim 1 0 x x
分析
| f (x) A|| 1 0| 1 0 x |x|
要使|f(x)A|
只要
|
x
|
1
证明
因为0
X
1
0
当|x|X 时
有| f (x) A|| 1 0| 1 x |x|
所以 lim 1 0 x x
直线 y0
是函数 y 1 x
的水平渐近线
二、函数极限的性质
时，有
2
(ax b) (ax0 b) 。
【例 3】 证明 lim x2 1 2 。 x1 2x 2 x 1 3
证明：对 0，因为 a 1, 所以
x 1 0.
x 2x2
2 1 x
1
2 3
x 1 2 2x 1 3
1 x 3(2x 1)
[ 此 处 x 1 ， 即 考 虑 x0 1 附 近 的 情 况 ， 故 不 妨 限 制 x 为 0 x 1 1 ， 即 0 x 2 ， x 1 ] 。 因 为
高中数学函数极值的教案
高中数学函数极值的教案
目标：学生能够理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法，并能运用所学知识解决实际问题。
教学内容：
1. 函数的极值概念及性质
2. 求函数极值的方法
3. 实际问题中的应用
教学步骤：
一、导入（5分钟）
引入函数极值的概念，通过举例和讨论让学生了解什么是函数的极值以及它的性质。
二、讲解（15分钟）
1. 解释函数的极值定义和性质；
2. 介绍求函数极值的步骤和方法，包括导数法和判别法；
3. 演示几个例题的解题过程。
三、练习（15分钟）
让学生通过练习题巩固所学知识，包括简单函数的极值求解和应用题。
四、拓展（10分钟）
引导学生思考如何将函数的极值概念应用到实际生活中的问题中，并讨论解决方法。
五、总结（5分钟）
总结函数极值的概念及性质，强调求解函数极值的方法和应用。
六、作业布置（5分钟）
布置相关练习题作业，要求学生巩固所学知识并思考函数极值在实际问题中的应用。
教学资源：
1. 课件及讲义
2. 练习题及答案
3. 实际问题解析案例
评估方式：
1. 课堂练习成绩
2. 作业完成情况及正确率
3. 课堂参与程度和问题解决能力
备注：根据学生的实际情况和反馈，灵活调整教学内容和方法，确保教学效果。
高中数学教案函数的极限
高中数学教案函数的极限高中数学教案：函数的极限一、引言在高中数学中，函数的极限是一个重要的概念。
本教案将介绍函数的极限的概念和性质，以及如何计算函数的极限。
二、函数的极限的定义函数的极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值会趋于某个确定的值或者无穷大。
我们用符号来表示函数的极限，如下所示：lim(x→a) f(x) = L其中，lim表示极限的运算符，x→a表示自变量x趋于a，f(x)表示函数f关于自变量x的取值，L表示极限的结果。
三、函数的极限的性质1. 唯一性：函数的极限在给定条件下是唯一的。
即同一个函数在同一个点的极限结果是唯一确定的。
2. 局部性：函数的极限是局部的，即只关注自变量在某个特定点附近的取值。
3. 有界性：如果函数在某个点的极限存在，则函数在该点附近是有界的。
4. 保号性：如果函数在某个点的极限存在且大于（或小于）0，则函数在该点附近保持正（或负）号不变。
四、计算函数的极限的方法1. 代入法：当函数在某个点的极限存在且可以直接代入计算时，可以通过代入法求出极限的结果。
例如，对于函数f(x) = 2x + 1，要求lim(x→2) f(x)的值，我们只需要将x的值代入函数中即可得到结果。
2. 分解因式法：当函数在某个点的极限存在但无法直接代入计算时，可以通过分解因式的方法进行计算。
例如，对于函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)，要求lim(x→1) f(x)的值，我们可以将函数分解为f(x) = (x + 1)(x - 1) / (x - 1) = x + 1，然后将x的值代入函数中即可得到结果。
3. 常用极限公式法：当函数满足一定条件时，可以通过常用的极限公式来进行计算。
例如，对于函数f(x) = sin(x) / x，要求lim(x→0) f(x)的值，我们可以使用常用极限公式lim(x→0) sin(x) / x = 1，直接得出结果。
五、实例分析1. 求lim(x→2) (2x + 1)的值，根据代入法，将x的值代入函数中，可得lim(x→2) (2x + 1) = 2(2) + 1 = 5。
函数的极限教案范文
函数的极限教案范文一、教学目标1.理解函数极限的概念；2.掌握函数极限的计算方法；3.能够通过极限计算解决一些实际问题。
二、教学重点1.函数极限的概念；2.极限的计算方法。
三、教学难点1.通过极限计算解决实际问题。
四、教学准备1.教材《高中数学新课标(必修4)》；2.随堂练习题；3.讲解用的PPT。
五、教学过程Step 1 引入新课1.引导学生回顾一元函数的概念和相关知识；2.提出问题：当自变量趋近于一些值时，函数的取值会发生什么变化？请解释你的回答。
Step 2 理解函数极限的概念1.引导学生思考自变量趋近于一些值时，函数的取值趋近于什么值；2.引导学生理解极限的概念：当自变量无限接近一些值时，函数的取值无限接近一些值；3. 讲解函数极限的定义：设函数 f(x) 在 x=a 的一些去心邻域内有定义，如果存在常数 L ，对任意给定的正数ε，总能找到正数δ，使得当 0<，x-a，<δ 时，有，f(x)-L，<ε 成立，则称函数 f(x) 在x=a 时的极限为 L，记作 lim(x->a) f(x)=L；4.通过实例讲解函数极限的概念和定义。
Step 3 掌握函数极限的计算方法1.讲解函数极限的计算方法：a.代数运算法则：如果f(x)和g(x)在x=a时的极限都存在，则有以下运算法则：- lim(x->a) [f(x)+g(x)] = lim(x->a) f(x) + lim(x->a) g(x)- lim(x->a) [f(x)-g(x)] = lim(x->a) f(x) - lim(x->a) g(x)- lim(x->a) [f(x)g(x)] = lim(x->a) f(x) * lim(x->a) g(x)- lim(x->a) [f(x)/g(x)] = lim(x->a) f(x) / lim(x->a) g(x)，g(x)≠0b.无穷小代换法则：若f(x)在x=a时的极限为0，g(x)在x=a时的极限存在，且不等于0，则有以下运算法则：- lim(x->a) f(x) = lim(x->a) g(x) * lim(x->a) [f(x)/g(x)]c.已知极限的基本公式：常用的已知极限公式有：- lim(x->0) sin(x)/x = 1- lim(x->0) (a^x-1)/x = ln(a)，a>0，a≠12.通过例题讲解函数极限的计算方法。
函数的极限 教案
函数的极限教案教案标题：函数的极限教案概述：本教案将帮助学生理解函数的极限概念，并掌握常见的函数极限计算方法。
通过引导学生进行实例分析和数学推理，培养学生的思维逻辑和问题解决能力。
同时，通过相关应用问题的讨论，帮助学生理解极限在实际中的意义和应用。
教学目标：1. 理解函数极限的定义和概念；2. 掌握函数极限的计算方法，包括直接代入法、夹逼准则等；3. 能够应用函数极限解决实际问题；4. 培养学生的问题分析与解决能力以及数学推理能力。
教学重点：1. 函数极限的定义和概念；2. 函数极限的计算方法；3. 实际问题的极限应用。
教学难点：1. 函数极限的计算方法的掌握；2. 实际问题的极限应用的理解和解决。
教学准备：1. 教材《高中数学教程》等相关教材；2. 针对性的示例和练习题；3. 多媒体教学工具。
教学过程：步骤一：导入与概念讲解（15分钟）1. 引入函数和极限的概念，解释函数极限的意义和重要性；2. 让学生观看一段相关的视频或示例，激发学生的兴趣与思考；3. 对函数极限的定义进行解读和讲解，引导学生形成初步印象。
步骤二：函数极限计算方法介绍（20分钟）1. 介绍常见的函数极限计算方法，如直接代入法、夹逼准则等；2. 通过示例演示不同计算方法的应用步骤和技巧；3. 强调每种方法的适用范围和注意事项，帮助学生理解方法的合理性。
步骤三：练习与提问（30分钟）1. 给学生提供一些基础练习题，让他们在教师指导下独立尝试解答；2. 鼓励学生多与同学合作、讨论，共同解决难题；3. 教师要随时引导学生思考和解决问题，及时纠正错误。
步骤四：实际问题应用（15分钟）1. 展示一些实际问题，引导学生分析问题中存在的极限概念；2. 引导学生运用所学的函数极限计算方法解决实际问题；3. 鼓励学生提出自己的问题，并引导他们进行探究和解决。
步骤五：总结与扩展（10分钟）1. 对本节课所学内容进行总结，强调函数极限的重要性和应用；2. 扩展函数极限概念，引导学生对其他相关内容进行进一步学习；3. 鼓励学生提出关于函数极限的问题和疑惑，及时解答。
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课 题：2.3函数的极限(二)
教学目的：
1.理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限．
2.已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限．
3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限
教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就无限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点.那么如果对于数轴上的一般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？ 教学过程：
一、复习引入： 1.数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞
=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等
于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞
=有
时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.几个重要极限： （1）01
lim
=∞→n n （2）C C n =∞
→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n
q （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞
→q q n
n
3.函数极限的定义:
(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常
数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：
+∞
→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .
(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作
-∞
→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .
(3)如果
+∞
→x lim f (x )=a 且-∞
→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函
数f (x )的极限是a ，
记作：∞
→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .
4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞
→x lim f (x )=c .
∞
→x lim f (x )存在，表示+∞
→x lim f (x )和-∞
→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞
→x lim f (x )
中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞
→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义
二、讲解新课： 1.研究实例
(1)探讨函数2
x y =，当x 无限趋近于2时的变化趋势． 当x 从左侧趋近于2时，记为：-
→2x ．
当x 从右侧趋近于2时, 记为：+
→2x .
发现（左极限）2
2
lim 2x x -→=,（右极限）2
2
lim 2x x +
→=,因此有2
2
lim 2x x →=． (2)我们再继续看
1
12--=x x y ,当x 无限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势:
211,(1)1
x y x x x -==+≠-,当x 从左侧趋近于1时，即1x -→时，2y →．
当x 从右侧趋近于1时, 即1x +
→时，2y →．
即（左极限）2111
(1)21lim lim x x x x x --→→-=+=-， （右极限）2111
(1)21lim lim x x x x x ++
→→-∴=+=- 211
1
(1)21lim lim x x x x x →→-∴=+=-
(3)分段函数1(0)
()0(0)1(0)x x f x x x x +>⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
当x →0的变化趋势.
①x 从0的左边无限趋近于0，则()f x 的值无限趋近于－1.即0
lim ()1x f x -
→=- ②x 从0的右边无限趋近于0，则()f x 的值无限趋近于1. 即0
lim ()1x f x +
→= 可以看出
00
lim ()lim ()x x x x f x f x -
+→→≠，并且都不等于(0)0f =．象这种情况，
就称当0x →时，()f x 的极限不存在．
2. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0
lim ()x x f x →=
特别地，C C x x =→0lim ；00
lim x x x x =→
3. 0
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==
其中0
lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0
lim ()x x f x a +→=表
示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限
三、讲解范例：
例1求下列函数在X ＝0处的极限
（1）1
21
lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim → （3）=)(x f 22,0
0,01,0x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+<⎩
解：（1）22
0011
lim lim 12121
x x x x x x x →→-+==--+ （2）00
0lim 1,lim 1lim x x x x x x
x x x
-
+→→→=-=⇒不存在． （3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ⎧>⎪
=⎨⎪+<⎩
20
lim ()lim(1)1,lim ()lim 21x
x x x x f x x f x --++
→→→→⇒=+=== 0
lim ()lim ()1lim ()1x x x f x f x f x -+
→→→⇒==⇒=．
四、课堂练习：
1．对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限
2．对于函数12
-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12
-=x y 的极限
3.求如下极限：
⑴121lim 221---→x x x x ; ⑵32302)31()1(lim x x x x x +-+-→; ⑶)cos (sin 2lim 2
2
x x x x --→
π ⑷2
321lim
4
--+→x x x ;⑸x
a x a x -+→20
lim
（0>a ）; ⑹x x 1
lim 0→
答案：⑴22
11112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ ⑵ 323
00(1)(13)3
lim lim 3212x x x x x x x x →→-+--==-++ ⑶22
2
lim 2(sin cos )22x x x x ππ→--=-
⑷44
3x x →→==
⑸012x x a x a
→→== ⑹x x 1
lim 0→不存在． 五、小结 ： 六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：。