21应力应变及弹性形变
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模量， 对各向同性体，弹性模量为一常数。
x 应力与应变之间为线性关系，E------弹性
z
当长方体伸长时，横向收缩： y=－c/c
z= － b/b
横向变形系数（泊松比）：=| y / x| =| z / x |
则
y =－ x= － x/E
z= － x/E
如果长方体在x y z的正应力作用下，虎克定律表 示为： x=x/E－ y/E － z/E= [x－ （y＋ z ）] /E y=y/E－ x/E － y/E= [y－ （x＋ z ）] /E z=z/E－ x/E － y/E= [z－ （x＋ y ）] /E
2.1 应力、应变及弹性形变
2.1.1 基本概念 1. 正应力和正应变 正应变 ：单位长度的伸长。 （L－Lo)/Lo=（名义应变）
Lo
So
S
L
真实应变= L dL/L=ln(L/Lo) Lo
1
伸长
正应力 ：作用于单位面积 上的力。P/So=（公称应力 或名义应力）
P
真实应力=P/S
2. 剪切应力和剪切应变
x
u O A
u O´ A´
x
zz= w/z.
（2）剪切应变
A点在x方向的位移是：u+(u/x)dx， OA的长 度增加(u/x)dx.
O点在 y方向的应变： v/x, A点在y方向的位 移v +(v/x)dx, A点在y方向相对O点的位移为： (v/x)dx, 同理：B点在x方向相对O点的位移为： (u/y)dy
对于剪切应变，则有如下虎克定律：
xy=xy/G
yz=yz/G
zx=zx/G G ------剪切模量或刚性模量。 G, E, 参数的关系： G=E/2(1+) 如果 x = y = z ，材料的体积模量K------各向同等 的压力与其引起的体积变化率之比。 K=－p/(V/V)=E/[3(1－2 )]
U A L E F B A D
P
B C
负荷作用在面积为S的ABCD面上，
剪切应力：=P/S; 剪切应变：=U/L=tg.
正应力引起材料的伸长或缩短，剪应力引起材料的 畸变，并使材料发生转动。
2.1.2 任意的力在任意方向上作用于物体 1. 应力 围绕材料内部一点P， 取一体积单元
(2) 各向异性 作用力对不同方向正应变的影响
各种弹性常数随方向而不同，
即： Ex Ey Ez , xy yz zx 在单向受力x时，在y, z方向的应变为： yy =－ yx x= －yx x/Ex=（ －yx /Ex ） x =S21 x zz =－ zx x= －zx x/Ex=S31 x S21, S31为弹性柔顺系数。1, 2,3分别表示x,y,z
yy= S22yy+S21 xx +S23 zzS24 yz +S25zx+S26 xy
zz= S33zz+S31 yy +S32 zzS34 yz +S35 zx+S36 xy
yz= S41xx+S42 yy +S43 zz+S44 yz +S45zx+S46 xy
zx=S51xx+S52 yy +S53 zz+S54 yz +S55zx+S56 xy
xy=S61xx+S62 yy +S63 zz+S64 yz +S65zx+S66 xy
2. 应变
(u/y)dy y (v/y)dy B B
dy
yx
C
C
A 0 dx
xy
(v/x)dx x
A
(u/x)dx XY面上的剪应变
已知：O点沿x,y,z方向的位移分量分别为u,v,w
（1）正应变 应变为：u/x ，
用偏微分表示 ： u/ x 在O点 处沿x方向的正应变 是： xx = u/x 同理： yy= v/y
线段OA及OB之间的夹角变化 OA与OA间的夹角 =(v/x)dx/dx= v/x
OB与OB间的夹角= (u/y)dy/dy=u/y
线段OA及OB之间的夹角减少了v/x +u/y，
xz平面的剪应变为:
xy= v/x +u/y （xy与yx)
同理可以得出其他两个剪切应变：
z
zz
zx xz xyyx zy
yz
yy y
S
xx
x
应力分量
说明：
下脚标的意义：
每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标：
第一个字母表示应力作用面的法线方向；
第二个字母表示应力的作用方向。
方向的wk.baidu.com定
正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力 为负。 剪应力的正负号规定：
yz= v/z+w/y
zx= w/x +u/z 结论： 一点的应变状态可以用六个应变分量来决定，即 三个剪应变分量及三个正应变分量。
2.1.3 弹性形变 1. 广义虎克定律（应力与应变的关系）
（1）各向同性体的虎克定律
x L L x b c c
y
b 长方体在轴向的相对伸长为：x=x/E
同时受三个方向的正应力，在x, y, z方向 的应变为： xx= xx/Ex+S12 yy +S13 zz yy= yy/Ey+S21 yy +S23 zz zz= zz/Ez+S31 yy +S32 zz
正应力对剪应变有影响，剪应力对正应变也有影响，通 式为：
xx= S11xx+S12 yy +S13 zz+S14 yz+S15zx+S16xy
正剪应力 负剪应力
体积元上任意面上的法向应力与坐标轴的正方向相 同，则该面上的剪应力指向坐标轴的正方向者为正；
如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪 应力指向坐标轴的正方向者为负。
应力间存在以下关系：
根据平衡条件，体积元上相对的两个平行平面上的 法向应力大小相等，方向相反； 剪应力作用在物体上的总力矩等于零。 结论：一点的应力状态有六个分量决定 应力 T1 张量 xx T2 yy T3 zz T4 yz T5 zx T6 xy
x 应力与应变之间为线性关系，E------弹性
z
当长方体伸长时，横向收缩： y=－c/c
z= － b/b
横向变形系数（泊松比）：=| y / x| =| z / x |
则
y =－ x= － x/E
z= － x/E
如果长方体在x y z的正应力作用下，虎克定律表 示为： x=x/E－ y/E － z/E= [x－ （y＋ z ）] /E y=y/E－ x/E － y/E= [y－ （x＋ z ）] /E z=z/E－ x/E － y/E= [z－ （x＋ y ）] /E
2.1 应力、应变及弹性形变
2.1.1 基本概念 1. 正应力和正应变 正应变 ：单位长度的伸长。 （L－Lo)/Lo=（名义应变）
Lo
So
S
L
真实应变= L dL/L=ln(L/Lo) Lo
1
伸长
正应力 ：作用于单位面积 上的力。P/So=（公称应力 或名义应力）
P
真实应力=P/S
2. 剪切应力和剪切应变
x
u O A
u O´ A´
x
zz= w/z.
（2）剪切应变
A点在x方向的位移是：u+(u/x)dx， OA的长 度增加(u/x)dx.
O点在 y方向的应变： v/x, A点在y方向的位 移v +(v/x)dx, A点在y方向相对O点的位移为： (v/x)dx, 同理：B点在x方向相对O点的位移为： (u/y)dy
对于剪切应变，则有如下虎克定律：
xy=xy/G
yz=yz/G
zx=zx/G G ------剪切模量或刚性模量。 G, E, 参数的关系： G=E/2(1+) 如果 x = y = z ，材料的体积模量K------各向同等 的压力与其引起的体积变化率之比。 K=－p/(V/V)=E/[3(1－2 )]
U A L E F B A D
P
B C
负荷作用在面积为S的ABCD面上，
剪切应力：=P/S; 剪切应变：=U/L=tg.
正应力引起材料的伸长或缩短，剪应力引起材料的 畸变，并使材料发生转动。
2.1.2 任意的力在任意方向上作用于物体 1. 应力 围绕材料内部一点P， 取一体积单元
(2) 各向异性 作用力对不同方向正应变的影响
各种弹性常数随方向而不同，
即： Ex Ey Ez , xy yz zx 在单向受力x时，在y, z方向的应变为： yy =－ yx x= －yx x/Ex=（ －yx /Ex ） x =S21 x zz =－ zx x= －zx x/Ex=S31 x S21, S31为弹性柔顺系数。1, 2,3分别表示x,y,z
yy= S22yy+S21 xx +S23 zzS24 yz +S25zx+S26 xy
zz= S33zz+S31 yy +S32 zzS34 yz +S35 zx+S36 xy
yz= S41xx+S42 yy +S43 zz+S44 yz +S45zx+S46 xy
zx=S51xx+S52 yy +S53 zz+S54 yz +S55zx+S56 xy
xy=S61xx+S62 yy +S63 zz+S64 yz +S65zx+S66 xy
2. 应变
(u/y)dy y (v/y)dy B B
dy
yx
C
C
A 0 dx
xy
(v/x)dx x
A
(u/x)dx XY面上的剪应变
已知：O点沿x,y,z方向的位移分量分别为u,v,w
（1）正应变 应变为：u/x ，
用偏微分表示 ： u/ x 在O点 处沿x方向的正应变 是： xx = u/x 同理： yy= v/y
线段OA及OB之间的夹角变化 OA与OA间的夹角 =(v/x)dx/dx= v/x
OB与OB间的夹角= (u/y)dy/dy=u/y
线段OA及OB之间的夹角减少了v/x +u/y，
xz平面的剪应变为:
xy= v/x +u/y （xy与yx)
同理可以得出其他两个剪切应变：
z
zz
zx xz xyyx zy
yz
yy y
S
xx
x
应力分量
说明：
下脚标的意义：
每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标：
第一个字母表示应力作用面的法线方向；
第二个字母表示应力的作用方向。
方向的wk.baidu.com定
正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力 为负。 剪应力的正负号规定：
yz= v/z+w/y
zx= w/x +u/z 结论： 一点的应变状态可以用六个应变分量来决定，即 三个剪应变分量及三个正应变分量。
2.1.3 弹性形变 1. 广义虎克定律（应力与应变的关系）
（1）各向同性体的虎克定律
x L L x b c c
y
b 长方体在轴向的相对伸长为：x=x/E
同时受三个方向的正应力，在x, y, z方向 的应变为： xx= xx/Ex+S12 yy +S13 zz yy= yy/Ey+S21 yy +S23 zz zz= zz/Ez+S31 yy +S32 zz
正应力对剪应变有影响，剪应力对正应变也有影响，通 式为：
xx= S11xx+S12 yy +S13 zz+S14 yz+S15zx+S16xy
正剪应力 负剪应力
体积元上任意面上的法向应力与坐标轴的正方向相 同，则该面上的剪应力指向坐标轴的正方向者为正；
如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪 应力指向坐标轴的正方向者为负。
应力间存在以下关系：
根据平衡条件，体积元上相对的两个平行平面上的 法向应力大小相等，方向相反； 剪应力作用在物体上的总力矩等于零。 结论：一点的应力状态有六个分量决定 应力 T1 张量 xx T2 yy T3 zz T4 yz T5 zx T6 xy