21应力应变及弹性形变
材料力学中的应力与应变关系
材料力学中的应力与应变关系材料力学是研究材料在受力作用下的力学行为和性能的学科，应力与应变关系是其中的核心内容之一。
本文将讨论材料力学中的应力与应变的概念及其数学表示，以及应力与应变之间的线性关系与非线性关系。
一、应力的概念及表示应力是指材料单位面积上的内部力，常用符号σ表示。
根据受力情况的不同，可以分为正应力、切应力和体积应力。
正应力是指与作用力方向垂直的内部力，常用符号σ表示；切应力是指与作用力方向平行的内部力，常用符号τ表示；体积应力是指作用在体积内的内部力，常用符号p表示。
正应力的数学表示为σ = F/A，其中F为作用力的大小，A为受力面积。
切应力的数学表示为τ = F/A，其中F为切力的大小，A为受力面积。
体积应力的数学表示为p = F/V，其中F为体积力的大小，V为受力体积。
二、应变的概念及表示应变是指材料在受力作用下产生的形变程度，常用符号ε表示。
根据变形方式的不同，可以分为线性应变和体积应变。
线性应变是指在受力作用下，材料产生的长度或角度发生变化，常用符号ε表示；体积应变是指在受力作用下，材料产生的体积发生变化，常用符号η表示。
线性应变的数学表示为ε = ΔL/L0，其中ΔL为长度变化量，L0为原始长度。
体积应变的数学表示为η = ΔV/V0，其中ΔV为体积变化量，V0为原始体积。
三、应力与应变的线性关系在一定范围内，应力与应变之间可以表现为线性关系。
根据胡克定律（Hooke's Law），线性弹性材料的应力与应变之间满足σ = Eε，其中E为弹性模量。
弹性模量是材料刚度的度量，表示材料单位应力产生的单位应变。
常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
杨氏模量的数学表示为E = σ/ε，其中σ为应力，ε为线性应变。
剪切模量的数学表示为G = τ/γ，其中τ为切应力，γ为切应变。
泊松比的数学表示为ν = -εv/εh，其中εv为垂直方向的线性应变，εh为水平方向的线性应变。
应力、应变及弹性形变
第二讲
2019年10月13日
第一章 无机材料的受力形变
内容简介：介绍了无机材料的四种形变： 弹性形变、塑性形变、高温 蠕变和粘性形变及其理论描 述、 产生的原因和影响因素。
要 求：从微观的角度来理解宏观性能、 掌握解决问题的关键
受力形变
外力内力
内力－变形引起的物体内部附加力
作用力与位移呈线性变化，后逐渐偏离，
达到r时，合力最大，此后又减小。合力
r
有一最大值，该值相当于材料断裂时的作
用力。
＋
断裂时的相对位移：r－ro=
r
把合力与相对位移的关系看作线性关系， 则弹性常数：
－
Um
K F/=tg
结论：K是在作用力曲线r=ro时的斜率，因此K的大小 反映了原子间的作用力曲线在r=ro处斜率的大小.
E0是气孔率为零时的E值，p为气孔率,b为
与陶瓷制备工艺有关的常数 ,常数f1、f2取
决于气孔的形状和取向。
一些无机材料弹性模量的数值
材料
E(Gpa)
材料
E(Gpa)ห้องสมุดไป่ตู้
氧化铝晶体
380
烧结氧化铝（P=5 % ） 366
高铝瓷（P=90－95 % ） 366
烧结氧化铍（ P=5 % ） 310
热压BN（ P=5 % ） 83
F1
F3
F1
F3
F2
Fn
假想截面
F2
分布内力
Fn
受力与变形特点
内力与变形有关
F
小单元
F
F FN（内力）=F
受力与变形特点
内力与变形有关
M0
M0
M0
M＝ M0
材料的弹性变形
47
1.2.2 广义胡克定律（各向异性体）
❖各向异性材料的各个方向的弹性模量都不相同； ❖当各向异性材料同时受到三向应力作用时，各个方向的形
C B A
D K
O
29
三、应力与应变曲线
C
B A
D K
➢ A（A点）：比例极限；E（B点）：弹性极限；P（C点 ）：屈服极限；U（D点）：断裂极限。
➢ 应力E，可逆线性正比例关系，当应力在E和P之间， 外力去除后有一定程度的永久变形，即发生塑性变形。
➢ 陶瓷材料一般没有塑性变形，发生脆性断裂。
力不能是任意的，内力与变形有关，必须满足 平衡条件。
12
3.工程构件受力模型 拉伸
压缩
13
3.工程构件受力模型 剪切
14
3.工程构件受力模型
扭转
15
3.工程构件受力模型 弯曲
16
3.工程构件受力模型 弯曲
17
3.工程构件受力模型 组合受力
18
4.强度、刚度和稳定性问题
强度—不因发生断裂或塑性变形而失效； 刚度—不因发生过大的弹性变形而失效； 稳定性—不因发生因平衡形式的突然转变而失效。
材料物理性能
第一部分：材料的力学性能
1
高温蠕变
2
第一章：材料的弹性变形
主要内容：
一.应力和应变； 二.胡克定律； 三.弹性模量； 四.滞弹性。
要求：
从微观的角度来理解宏观性能、掌握解决问题的 关键。
3
1. 基本概念
变形：材料在受到外力作用时产生的形状和体积 的变化；
弹性体的应力与应变
弹性体的应力与应变弹性体是一种在受力作用下可以发生形变，但当受力停止时，能够恢复原来形状和大小的材料。
了解弹性体的应力与应变关系对于工程设计和材料科学具有重要意义。
在本文中，我们将探讨弹性体的应力与应变之间的关系，分析材料的弹性性质以及应力与应变的计算方法。
1. 应力的概念与计算方法应力是指单位面积上作用的力，合理地计算应力是分析弹性体性质的关键。
在计算应力时，常用到两种基本的力学概念：张力和压力。
张力是指沿一维方向的受力情况，通常用F表示，单位为牛顿。
而压力是指在一个平面上均匀分布的力，用P表示，单位是帕斯卡。
应力的计算公式如下：应力 = 受力 / 横截面积2. 应变的概念与计算方法应变是指材料在受力作用下发生的形变，一般用ΔL / L表示。
其中，ΔL是材料长度的变化量，L是材料的初始长度。
应变可以分为线性弹性应变和非线性应变。
线性弹性应变是指材料在受力作用下，形变与受力成正比的状态。
计算线性弹性应变的方法如下：应变 = 形变 / 初始长度而非线性应变则需要更复杂的计算方法来进行分析，涉及到材料的本构关系等。
3. 应力与应变的关系应力与应变之间存在一定的关系，即应力-应变曲线。
弹性体的应力-应变曲线通常可以分为三个阶段：弹性阶段、屈服点和塑性阶段。
在弹性阶段，材料受力时会产生应变，但当受力停止时，材料会完全恢复到原来的状态。
这是因为材料内部的原子或分子只发生了相对位移，而没有发生永久性的结构变化。
当应力超过材料的屈服点时，就进入了屈服点阶段。
在这个阶段中，材料开始发生塑性变形，不再能够完全恢复到原来的状态，具有一定的永久性形变。
塑性阶段是材料的应力与应变不再成正比，继续增加应力会导致更大的应变。
这是由于材料的内部结构发生了永久性的改变，无法恢复原状。
4. 弹性模量和刚度弹性模量是描述材料抵抗形变的能力，可以用来评估材料的刚度。
弹性模量越大，表示材料越难发生形变，具有较高的刚度。
常用的弹性模量有三种：杨氏模量、剪切模量和体积模量。
应力应变公式
应力应变公式应力应变公式是描述物体受力后产生形变的数学关系，它是工程力学中的重要概念。
在本文中，我将详细介绍应力应变公式及其在工程实践中的应用。
应力应变公式可以用来描述物体在受到外力作用下的形变情况。
在弹性力学中，应力是指物体受到的单位面积上的力，通常用σ表示。
应变是物体在受到应力作用后发生的形变，通常用ε表示。
应力应变公式则描述了应力和应变之间的关系。
应力应变公式可以表示为σ = Eε，其中E为材料的弹性模量。
这个公式告诉我们，在给定的弹性模量下，应力和应变成正比。
当一个物体受到力的作用时，它会发生形变，形变的大小与受力的大小成正比。
而弹性模量则是材料特性的一个重要参数，它描述了材料在受力后恢复原状的能力。
应力应变公式在工程实践中有广泛的应用。
首先，它可以用来计算材料的应变。
通过测量物体在受力后的形变，可以根据应力应变公式计算出材料的应变。
这对于材料的设计和性能评估非常重要。
其次，应力应变公式可以用来计算材料的应力。
通过测量物体受力后的变形情况，可以根据应力应变公式计算出材料所受的应力，从而判断材料在不同条件下的强度和稳定性。
此外，应力应变公式还可以用来分析材料的变形和破坏机制，为工程师提供设计和改进材料的依据。
然而，需要注意的是，应力应变公式只适用于弹性变形情况。
当材料受到超过其弹性极限的应力时，会发生塑性变形或破坏，此时应力应变关系不再成立。
此外，不同材料的弹性模量不同，因此应力应变公式只适用于特定材料，并且在不同材料之间不能直接比较。
在实际应用中，工程师需要根据具体情况选择合适的材料和适当的应力应变公式。
不同材料的弹性模量和应力应变特性有所差异，因此需要针对具体材料进行实验测量和分析。
此外，应力应变公式只适用于弹性变形情况，对于塑性变形和破坏机制的分析需要使用其他方法和理论。
应力应变公式是工程力学中的重要工具，它描述了物体受力后的形变情况。
通过应力应变公式，工程师可以计算材料的应变和应力，评估材料的性能和稳定性，并为材料的设计和改进提供依据。
我所认识的应力与应变的关系
我所认识的应力与应变的关系我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。
首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。
但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。
由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。
对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。
平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。
本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。
本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。
这就是在材料力学中寻出的如下形式的胡克定律：x x E εσ= （3）胡克定律是一个实验定律，在式（1.1）中的E 是材料性质有关的弹性常数，称为弹性模量和杨氏模量。
应力应变关系
应力应变关系我所认识的应力应变关系一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。
在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即,E ,,XX在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。
(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下(3)各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。
在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足:,,,,,，，CCCxxyz111213,,,,,，，CCCyxyz212223,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3),,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为:CCCa==,112233CCCCCCb=====,122113312332 (2-4)所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。
在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。
广义胡可定律如下式,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz2GE,,,1,zx,,,,，[()]zx,,,,,,,zzxy,2GE,,EGv泊松比剪切模量 E:弹性模量/杨氏模量 ,2(1),，,,,E虎克定律 ,G,,对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。
2 屈服条件拉伸与压缩时的应力——应变关系曲线P,,A0,ll0,,lBC:屈服阶段,,CD:强化阶段塑性阶段,,DE:局部变形阶段,弹性变形时应力应变关系的特点1.应力与应变完全成线性关系;即应力主轴与全量应变主轴重合2.弹性变形是可逆的，与应变历史(加载过程)无关，即某瞬时的物体形状、尺寸只与该瞬时的外载有关，而与该瞬时之前各瞬间的载荷情况无关。
弹性体的应力和应变
弹性体的应力和应变应力和应变是弹性体力学中重要的概念。
弹性体是指在受力作用下能够发生形变，但在去除力后能够恢复原状的物质。
应力是表示物体内部各点在力作用下的应对程度的物理量，而应变则是表示物体形变程度的物理量。
在本文中，我们将探讨弹性体的应力和应变之间的关系，以及弹性体在不同应力条件下的行为。
首先，我们来介绍应力的概念。
应力是由于外部力作用于物体而引起的内部应力，即单位面积上作用的力。
通常情况下，应力可以分为三种类型：拉应力、压应力和剪应力。
拉应力是指沿物体的长度方向作用的力，压应力则是指作用于物体表面的垂直方向力，而剪应力则是作用于物体表面的平行于其平面的力。
这些应力可以通过数学计算来求得。
对于拉伸或压缩情况下的应力，一般可以通过应力=外力/截面积来计算。
而对于剪切情况下的应力，则可以通过应力=外力/接触面积来计算。
接着，我们来谈谈应变的概念。
应变是指物体由于受到外力作用而产生的形变程度。
同样，应变也可以分为三种类型：线性应变、体积应变和剪切应变。
线性应变是指物体沿作用力方向的长度变化与未受力前的原始长度之比，体积应变则是物体单位体积的变化量与未受力前的原始体积之比，剪切应变是物体平行于受力平面上的平面与未受力前的原始平面之间的夹角变化。
这些应变可以通过数学计算来求得。
通常情况下，线性应变可以通过应变=位移/原始长度来计算，体积应变可以通过应变=体积变化/原始体积来计算，而剪切应变可以通过应变=变形角度/90度来计算。
在了解了应力和应变的概念后，我们可以进一步讨论弹性体在不同应力条件下的行为。
根据背景和材料性质的不同，弹性体在应力作用下会出现不同的应变情况。
当应力作用于弹性体时，弹性体会发生形变，但在去除应力后，弹性体又会恢复到原来的形状。
这种恢复力就是弹性体的回弹力，是由于弹性体内部的分子结构和键的特性所决定的。
此外，弹性体还有一个重要的性质，即背应力。
背应力是指在弹性体内部的不同位置上，由于力的传递产生的相对应力差。
物体的弹性形变和应力的关系
物体的弹性形变和应力的关系物体的弹性形变是指在外力作用下，物体内部原子和分子之间发生相对移动，使物体原本的形状和大小发生改变，但当外力消失后，物体恢复到初始状态的现象。
而应力则是指物体单位面积内受到的力的大小，可以分为正应力和剪应力两种。
弹性形变和应力之间存在着密切的关系。
根据胡克定律，当物体受到较小的外力时，弹性形变与应力间的关系可以通过应力-应变曲线来描述。
在应力较小的情况下，物体的弹性形变可以近似地视为线性关系。
当外力施加到物体上时，物体内部的原子和分子之间会发生相对移动，形成形变。
这种形变是可逆的，也就是说，当外力消失后，物体会恢复到原始形状。
在这个过程中，物体内部会产生应力，它是由外力引起的内部分子间相互作用力。
应力的大小与外力的大小成正比，与物体的形状、大小以及其材料的特性密切相关。
对于线弹性材料而言，在小应力下，应力与应变之间满足胡克定律。
胡克定律表示应力与应变成正比，即应力等于弹性模量与应变之积。
弹性模量是描述物体抵抗形变的特性，是一个恒定的值，与物体的材料有关。
应变是物体弹性形变量，表示物体受力后单位长度的变化。
当外力施加到物体上时，物体内部的应力会在整个物体内传递。
如果外力较大，物体的弹性形变超过了一定的临界值，就会导致物体发生塑性变形或破坏。
这种情况下，物体无法完全恢复到原始的形状和大小，失去了弹性。
总之，物体的弹性形变和应力之间是密切相关的。
在小应力下，弹性形变与应力之间满足线性关系。
胡克定律描述了弹性形变和应力之间的数学关系，弹性模量是描述物体抵抗形变特性的重要参数。
当外力超过一定临界值时，物体会发生塑性变形或破坏，失去弹性。
了解物体的弹性形变和应力之间的关系，对于工程设计和物体力学分析具有重要的意义。
弹性力学第四章应力应变PPT
x C11x C12y C13z C14 yz C15xz C16xy y C21x C22y C23z C24 yz C25xz C26xy z C31x C32y C33z C34 yz C35xz C36xy yz C41x C42y C43z C44 yz C45xz C46xy xz C51x C52y C53z C54 yz C55xz C56xy xy C61x C62y C63z C64 yz C65xz C66xy
4
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
x (f1 ) 0 f x 1 0x f y 1 0y f z 1 0z f y 1 z 0y z f x 1 z 0x z f x 1 y 0xy y (f2 ) 0 fx 2 0x fy 2 0y fz 2 0z f y 2 z 0y z f x 2 z 0x z f x 2 y 0xy z (f3 ) 0 fx 3 0x fy 3 0y fz 3 0z f y 3 z 0y z f x 3 z 0x z f x 3 y 0xy
等温过程：利用热力学第二定律
x v F x , y v F y , z v F z , x y v x F ,y y z v F y,z x z v F xz
9
统一的形式：
x v x , y v y , z v z , x y v x ,y y z v y,z x z v x z
5
由没有初应力的基本假设，上式可表示为
x C 1x 1 C 1y 2 C 1z 3 C 1y 4 z C 1x 5 z C 1x 6 y y C 2x 1 C 2y 2 C 2z 3 C 2y 4 z C 2x 5 z C 2x 6 y z C 3x 1 C 3y 2 C 3z 3 C 3y 4 z C 3x 5 z C 3x 6 y
弹性体的应力和应变
5
数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、 数学弹性力学的典型问题 主要有 一般性理论 、 柱体扭转和弯曲 、 主要有一般性理论 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 等方面。 在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如， 在近代 ， 经典的弹性理论得到了新的发展 。 例如 ， 把切应力的成 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除 机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本 机械运动本身外 ， 还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为 本 构方程。对于弹性体的某一点的本构方程， 构方程 。 对于弹性体的某一点的本构方程 ， 除考虑该点本身外还要考 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 但是，由于课程所限， 但是 ， 由于课程所限 ， 我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。
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§8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介 弹性体力学－－ －－弹性体的应力和应变简介
弹性体有四种形变 拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实， 弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 四种形变： 变只有两种 拉伸压缩和剪切形变； 两种： 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。 的组成。
Fn ∆l =Y S l0
其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。 杨氏模量， 其中： 称为杨氏模量 反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
应力和应变分析
应力和应变分析应力和应变分析是材料力学中非常重要的一项内容，它们研究材料在外力作用下的变形行为。
应力是表征材料单位面积内的力的大小，而应变则是描述材料单位长度内的变形程度。
应力和应变的分析可以帮助我们理解材料的强度和刚度，以及材料在不同条件下的变形和破坏机制。
本文将从应力和应变的定义、材料的本构关系和应变测量等方面进行探讨。
首先，应力的定义为单位面积内的力的大小，常用符号为σ，其计算公式为σ=F/A，其中F为施加力的大小，A为力作用的面积。
应力的单位通常为帕斯卡（Pa），1Pa等于1N/m^2、根据作用力的不同方向，应力又可以分为正应力和剪应力。
正应力是垂直于材料截面的力，剪应力则是在材料截面上平行于切平面的力。
其次，应变是材料受力后发生的形变程度，常用符号为ε，其计算公式为ε=ΔL/L0，其中ΔL为长度的增量，L0为力作用前的长度。
应变的单位为无量纲。
类似于应力，应变也有正应变和剪应变之分。
正应变是材料在力作用下产生的沿体积方向的变化，剪应变则是在截面上平行于剪切力方向的变化。
应力和应变之间的关系可以通过材料的本构关系来描述。
材料的本构关系是材料在应力与应变之间的函数关系，通常以应力-应变曲线的形式表示。
根据材料的性质不同，应力-应变曲线可以分为线性区、弹性区、屈服区、塑性区和断裂区。
在线性区内，应力和应变呈线性关系，材料具有良好的弹性行为。
在弹性区内，材料回复到原始形状，没有永久性变形。
当应力超过一定的值时，材料进入屈服区，出现塑性变形。
塑性区内，材料的应变增大，但没有太大的应力增加。
当材料无法再承受应力引起继续塑性变形时，出现断裂。
最后，应变的测量是应力和应变分析的重要一环。
常用的应变测量方法包括拉伸试验、剪切试验、压缩试验等。
拉伸试验是最常见的应变测量方法之一，通过施加拉力来测量材料在不同应力下的应变。
剪切试验则是通过施加剪切力来测量材料的剪切应变。
压缩试验则是将材料压缩后测量其压缩应变。
弹性力学基本概念和考点
基本概念：（1）面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定（2）切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。
（3）弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。
（4）平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。
同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。
这时，二z =0, Z =0,・zy =0，由切应力互等，二Z =0, * =0,・yz =0，这样只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即匚x,二y, xy二yx，所以这种问题称为平面应力问题。
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，z^0, z^0，根据切应力互等，任=0,『=0。
由胡克定律，ZX =0, zy =0，又由于z方向的位移w处处为零，即；z = 0。
因此，只剩下平行于xy面的三个应变分量，即；x, ；y, xy，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。
（5）一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。
（6）圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。
（7）轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。
这种问题称为空间轴对称问题。
平衡微分方程:（记:u（记）（1）平面问题的平衡微分方程;（2）平面问题的平衡微分方程（极坐标）；——L+ - +—!-- +&P P P CT ptp^2!^ + cP P1、 平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是 平衡的。
我所认识的应力应变关系
我所认识的应力与应变关系机械与动力工程学院张淑颖612080706053在弹塑性力学中，可变性固体在外力作用下将发生变形。
根据变形的特点，固体在受力过程中的力学行为可分成两个明显不同的阶段：当外力小于某一限值（通常称之为弹性极限荷载）时，在引起变形的外力卸载后固体能完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形成为弹性变形，固体只产生弹性变形的阶段成为弹性阶段；外力一旦超过弹性极限荷载，这时再卸除和在，固体也不能恢复原状，其中有部分不能消失的变形被保留下来，这种保留下来的永久变形就成为塑性变形，这一阶段成为塑性阶段。
在弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单值函数关系，而且还假设是线性关系；在塑性阶段，应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且通常还是非线性关系（这种非线性成为物理非线性）。
构成实际固体的材料种类很多，它们的性质各有差异，为方便研究，往往根据材料的主要性质做出某些假设，在弹性理论中，有如下的基本假设：⑴假设物体是连续的。
物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的，可以用坐标的连续函数表示。
⑵假设物体是均匀的。
整个物体是由同一材料组成的，所有各部分具有相同的弹性，物体弹性常数不随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析的结果应用于整个物体。
⑶假设物体是各向同性的。
物体的弹性在所有各个方向都相同，物体的弹性常数弹性模量、泊松系数不随方向而变。
显然，木材和竹材的构件都不能当做各向同性体。
至于钢材的构件，虽然含有各向异性的晶体，但由于晶体很微小，而且是随机排列的，因此钢材构件的弹性包含无数多微小晶体随机排列时的统观弹性大致是各向同性的。
⑷假设物体是完全弹性的。
凡是符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。
⑸假设位移和应变是微小的。
假定物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且应变和转角都远小于。
这样，在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸，而不致引起显著的误差。
应力应变弹性模量
应力应变弹性模量应力：又称内力的集度，即单位面积上的“内力”，单位通常为MPa。
其垂直于截面方向的分量称为“正应力”或“法向应力”；相切于截面的分量称为“剪应力”或“切应力”。
它是反应物体在一点处受力程度的量。
应变：又称为“相对变形”，没有单位。
物体由于外因（荷载、温度变化等）使它的几何形状和尺寸发生相对改变的物理量。
物体某线段单位长度内的形变（伸长或缩短），即线段长度的改变与线段原长之比，称为“正应变”或“线应变”，用“ε”表示；两相交线段所夹角度的改变，称为“切应变”或“角应变”，用“γ”表示。
六面体形状的单元体，其形变可分为六个独立分量，即三个线应变（εx、εy、εz）和三个角应变（γx、γy、γz）。
变形后单元体积元素的改变值与原单元体积的比值称为“体积应变”。
弹性模量：单位为MPa（或牛顿/平方米），在弹性变形范围内，其应力与变形之间保持线性函数关系，即服从虎克定律。
它是表征晶体中原子间结合力强弱的物理量，是组织结构不敏感参数。
弹性模量是材料的固有属性，弹性模量与材料强度的关系，混凝土的弹性模量随强度等级的增大而增大，而钢筋的弹性模量则相反，弹性模量的测量等都有待认真分析。
弹性模量（杨氏模量）是弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质。
是物体弹性t变形难易程度的表征。
用E表示。
定义为理想材料有小形变时应力与相应的应变之比。
E以单位面积上承受的力表示，单位为牛/米^2。
模量的性质依赖于形变的性质。
剪切形变时的模量称为剪切模量，用G表示；压缩形变时的模量称为压缩模量，用K表示。
模量的倒数称为柔量，用J表示。
————————————————————————弹性模量描述材料的抗应变或应力形变后恢复原形的能力。
拼音:tanxingmoliang 英文名称：modulusofelasticity 说明:又称杨氏模量。
弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质。
是物体弹性t变形难易程度的表征。
用E表示。
应力应变概念
线段OA及OB之间旳夹角变化 OA与OA间旳夹角 =(v/x)dx/dx= v/x OB与OB间旳夹角= (u/y)dy/dy=u/y 线段OA及OB之间旳夹角降低了v/x +u/y， xz平面旳剪应变为:
xy= v/x +u/y （xy与yx)
同理能够得出其他两个剪切应变：
yz= v/z+w/y zx= w/x +u/z 结论：
C33=2.2 • 透辉石 CaMgSi2O6 C11=2.0 C22=1.8
C33=2.4 • 双链状硅酸盐 角闪石 • 一般角闪石(CaNaK)2-3(HgFeAl)5(SiAl)8O22(OH)2
C11=1.2 C22=1.8 C33=2.8
环状硅酸盐
(2) 温度
大部分固体，受热后渐渐开始变软，弹性常数随温度 升高而降低。
zz= w/z.
x u u O A O´ A´
x
（2）剪切应变
A点在x方向旳位移是：u+(u/x)dx， OA旳长 度增长(u/x)dx. O点在 y方向旳应变： v/x, A点在y方向旳位 移v +(v/x)dx, A点在y方向相对O点旳位移为： (v/x)dx, 同理：B点在x方向相对O点旳位移为：
一点旳应变状态能够用六个应变分量来决定，即 三个剪应变分量及三个正应变分量。
2.1.3 弹性形变 1. 广义虎克定律（应力与应变旳关系）
（1）各向同性体旳虎克定律
x
y z
x
b c
c
L
L
b
长方体在轴向旳相对伸长为：x=x/E
x 应力与应变之间为线性关系，E------弹性
模量，
对各向同性体，弹性模量为一常数。
应力应变曲线与弹性变形
第一章 静载荷下材料的力学性能
主要内容
一、应力-应变曲线 二、弹性变形 三、塑性变形 四、材料的断裂 五、压缩与硬度
1.1 静拉伸时的力学行为概述
• 静拉伸：材料力学性能实验中最基本的试验 方法。 • 拉伸曲线：应力-应变曲线，可获得主要性 能指标。 • 弹性模量E：零件刚度设计。 • 屈服强度σs，抗拉强度σb: 强度设计。 • 塑性δ，断裂前的应变量： 冷热变形时的 工艺性能。
标准拉伸试样（国标GB/T228—2002 ）
标距：等截面 测试部分长度
L0=10d0 L0= 5d0
试件的断裂形貌
低碳钢试件-延性断裂
铸铁试件-脆性断裂
电子拉伸试验曲线
低碳钢
铸铁
低碳钢：塑性材料的典型代表 灰铸铁：脆性材料的典型代表
F
塑性变形:外力 拉伸曲线 去除后不能消失 的变形
塑性 变形 屈服
颈缩 断裂
b k
s
弹性 变形
O
σs
σb
e
L
低碳钢拉伸试验现象： 屈服： 颈缩： 断裂：
1.2 材料的弹性变形
1.2.1 弹性模量E
F
• 单位应变产生的单位应力，即为弹性 模量（虎克定律）；
l l
F l E A l
• 物理意义：表示原子之间的结合力， 是成分和组织不敏感元素。 • 技术意义： 材料的刚度，表示材料在 外载荷下抵抗弹性变形的能力，取决 于结合键的本性和原子间的结合力。
影响弹性模量的因素 1）原子半径：E = k / r m m>1，特征常数
2）合金元素：影响小。成分和组织不敏感。 3）温 度： 影响原子半径。
T↑ 原子结合力下降，E↓
4）加载速率：影响小。 5）冷变形： E 值略降低。
如何计算材料的弹性形变
如何计算材料的弹性形变在材料科学领域中，弹性形变是一个基本概念。
它描述了材料在受到外力作用时，能够恢复到原始形状和尺寸的能力。
了解如何计算材料的弹性形变对于工程设计和材料选择至关重要。
本文将介绍几种常见的计算弹性形变的方法。
弹性形变可以通过应力-应变关系来描述。
应力是材料受到的力除以材料的截面积，通常以σ表示。
应变是材料在受力作用下发生的形变与原始尺寸之比，通常以ε表示。
对于弹性材料，应力和应变之间存在线性关系。
1. 霍克定律霍克定律是描述材料弹性形变的基础定律之一。
它建立了应力和应变的线性关系。
霍克定律可以表示为：σ = E * ε其中，E是弹性模量，是材料特性之一。
它表征了材料在受力作用下发生弹性形变的能力。
弹性模量单位为帕斯卡（Pascal）或兆帕（Megapascal）。
2. 切应力与剪应变在一些情况下，材料的形变不仅限于拉伸和压缩，还涉及剪切。
材料发生剪切形变时，会产生切应力和剪应变。
剪应变是通过将剪切形变除以材料的高度计算得出。
切应力与剪应变之间也存在线性关系：τ = G * γ其中，G是剪切模量，是材料特性之一。
剪切模量描述了材料在受到剪切力作用下的响应能力。
剪切模量单位同样为帕斯卡或兆帕。
3. 弹性形变的计算示例接下来我们通过一个计算示例来说明如何计算材料的弹性形变。
假设有一块金属材料，其弹性模量为200 GPa，受到的拉伸力为10 kN，材料的横截面积为0.01 m^2。
我们想计算材料的弹性形变。
根据霍克定律，我们可以使用下面的公式计算应变：ε = σ / E将给定数据代入公式，可以得到：ε = (10 kN) / (200 GPa) = (10×10^3 N) / (200×10^9 N/m^2) = 5×10^(-5)因此，材料的弹性形变为5×10^(-5)。
4. 总结通过本文，我们了解了计算材料弹性形变的基本方法。
霍克定律和剪切应力与剪切应变的关系是计算弹性形变的重要工具。
工程应力应变曲线
工程应力应变曲线工程应力应变曲线是指在工程材料受到外力作用下，应力和应变之间的关系曲线。
这个曲线可以展现出材料的力学性质和变形特点，对于工程设计、材料选择和工程施工都有着重要的意义。
一、应力和应变的概念应力是指单位面积内的力，通常用符号σ表示，其单位是帕斯卡（Pa）。
应变是指物体在外力作用下产生的形变程度，通常用符号ε表示，其没有单位。
二、应力应变曲线的基本形态工程应力应变曲线一般分为四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段。
1. 弹性阶段材料在受到外力的作用下，开始发生形变。
如果在外力作用下，材料的形变量与外力成正比，且在去掉外力后能够恢复原状，那么这个过程就是弹性形变。
在这个阶段，应力和应变之间的关系是线性的，曲线呈直线。
2. 屈服阶段当材料受到的外力增大到一定程度时，弹性形变就会结束，材料开始进入塑性形变阶段。
此时，应力增大，但应变增加的速度却减慢了。
当应力达到最大值时，材料开始发生塑性变形，应变增加速度又开始加快。
这个阶段的曲线呈现出一个明显的拐点，称为屈服点。
3. 塑性阶段在屈服点后，材料仍然能够继续承受外力，但是应变增加速度会逐渐减缓。
这个阶段的曲线呈现出一个平缓的上升趋势，直到达到最大值。
4. 断裂阶段当外力继续增大，材料无法再承受外力时，就会发生断裂。
这个阶段的曲线呈现出一个急剧下降的趋势，直到彻底断裂。
三、应力应变曲线的应用应力应变曲线是材料力学性质的重要指标，对于工程设计、材料选择和工程施工都有着重要的意义。
1. 工程设计在工程设计中，应力应变曲线可以帮助工程师选择合适的材料，确定工程结构的安全性和稳定性。
例如，在设计桥梁、建筑物等工程结构时，需要考虑到材料的强度、刚度和韧性等因素，这些都可以通过应力应变曲线来确定。
2. 材料选择在材料选择中，应力应变曲线可以帮助人们了解材料的力学性质和变形特点。
例如，对于需要承受大量压力的机械零件，需要选择强度高、韧性好的材料，这些都可以通过应力应变曲线来确定。
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同时受三个方向的正应力，在x, y, z方向 的应变为： xx= xx/Ex+S12 yy +S13 zz yy= yy/Ey+S21 yy +S23 zz zz= zz/Ez+S31 yy +S32 zz
正应力对剪应变有影响，剪应力对正应变也有影响，通 式为：
xx= S11xx+S12 yy +S13 zz+S14 yz+S15zx+S16xy
2.1 应力、应变及弹性形变
2.1.1 基本概念 1. 正应力和正应变 正应变 ：单位长度的伸长。 （L－Lo)/Lo=（名义应变）
Lo
So
S
L
真实应变= L dL/L=ln(L/Lo) Lo
1
伸长
正应力 ：作用于单位面积 上的力。P/So=（公称应力 或名义应力）
P
真实应力=P/S
2. 剪切应力和剪切应变
2. 应变
(u/y)dy y (v/y)dy B B
dy
yx
C
C
A 0 dx
xy
(v/x)dx x
A
(u/x)dx XY面上的剪应变
已知：O点沿x,y,z方向的位移分量分别为u,v,w
（1）正应变 应变为：u/x ，
用偏微分表示 ： u/ x 在O点 处沿x方向的正应变 是： xx = u/x 同理： yy= v/y
U A L E F B A D
P
B C
负荷作用在面积为S的ABCD面上，
剪切应力：=P/S; 剪切应变：=U/L=tg.
正应力引起材料的伸长或缩短，剪应力引起材料的 畸变，并使材料发生转动。
2.1.2 任意的力在任意方向上作用于物体 1. 应力 围绕材料内部一点P， 取一体积单元
(2) 各向异性 作用力对不同方向正应变的影响
各种弹性常数随方向而不同，
即： Ex Ey Ez , xy yz zx 在单向受力x时，在y, z方向的应变为： yy =－ yx x= －yx x/Ex=（ －yx /Ex ） x =S21 x zz =－ zx x= －zx x/Ex=S31 x S21, S31为弹性柔顺系数。1, 2,3分别表示x,y,z
z
zz
zx xz xyyx zy
yz
yy ySຫໍສະໝຸດ xxx应力分量
说明：
下脚标的意义：
每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标：
第一个字母表示应力作用面的法线方向；
第二个字母表示应力的作用方向。
方向的规定
正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力 为负。 剪应力的正负号规定：
yy= S22yy+S21 xx +S23 zzS24 yz +S25zx+S26 xy
zz= S33zz+S31 yy +S32 zzS34 yz +S35 zx+S36 xy
yz= S41xx+S42 yy +S43 zz+S44 yz +S45zx+S46 xy
正剪应力 负剪应力
体积元上任意面上的法向应力与坐标轴的正方向相 同，则该面上的剪应力指向坐标轴的正方向者为正；
如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪 应力指向坐标轴的正方向者为负。
应力间存在以下关系：
根据平衡条件，体积元上相对的两个平行平面上的 法向应力大小相等，方向相反； 剪应力作用在物体上的总力矩等于零。 结论：一点的应力状态有六个分量决定 应力 T1 张量 xx T2 yy T3 zz T4 yz T5 zx T6 xy
模量， 对各向同性体，弹性模量为一常数。
x 应力与应变之间为线性关系，E------弹性
z
当长方体伸长时，横向收缩： y=－c/c
z= － b/b
横向变形系数（泊松比）：=| y / x| =| z / x |
则
y =－ x= － x/E
z= － x/E
如果长方体在x y z的正应力作用下，虎克定律表 示为： x=x/E－ y/E － z/E= [x－ （y＋ z ）] /E y=y/E－ x/E － y/E= [y－ （x＋ z ）] /E z=z/E－ x/E － y/E= [z－ （x＋ y ）] /E
zx=S51xx+S52 yy +S53 zz+S54 yz +S55zx+S56 xy
xy=S61xx+S62 yy +S63 zz+S64 yz +S65zx+S66 xy
线段OA及OB之间的夹角变化 OA与OA间的夹角 =(v/x)dx/dx= v/x
OB与OB间的夹角= (u/y)dy/dy=u/y
线段OA及OB之间的夹角减少了v/x +u/y，
xz平面的剪应变为:
xy= v/x +u/y （xy与yx)
同理可以得出其他两个剪切应变：
yz= v/z+w/y
zx= w/x +u/z 结论： 一点的应变状态可以用六个应变分量来决定，即 三个剪应变分量及三个正应变分量。
2.1.3 弹性形变 1. 广义虎克定律（应力与应变的关系）
（1）各向同性体的虎克定律
x L L x b c c
y
b 长方体在轴向的相对伸长为：x=x/E
x
u O A
u O´ A´
x
zz= w/z.
（2）剪切应变
A点在x方向的位移是：u+(u/x)dx， OA的长 度增加(u/x)dx.
O点在 y方向的应变： v/x, A点在y方向的位 移v +(v/x)dx, A点在y方向相对O点的位移为： (v/x)dx, 同理：B点在x方向相对O点的位移为： (u/y)dy
对于剪切应变，则有如下虎克定律：
xy=xy/G
yz=yz/G
zx=zx/G G ------剪切模量或刚性模量。 G, E, 参数的关系： G=E/2(1+) 如果 x = y = z ，材料的体积模量K------各向同等 的压力与其引起的体积变化率之比。 K=－p/(V/V)=E/[3(1－2 )]