中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题(最新整理)

“将军饮马”老歌新唱

——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题

王 柏 校

古希腊有位将军要从 A 地出发到河边去饮马，然后再到 B 地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？

A 地

B 地

图 1

这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设 L 为河（如图 1），作 AO ⊥L 交 L 于 O 点，延长 AO 至A ' ，使 A ' O =AO ；连结 A ' B ，交 L 于 C ，则 C 点就是所要求的饮马地点。再连结 AC ，则

路程（AC+CB ）为最短的路程。

为什么饮马地点选在 C 点能使路程最短？因为 A ＇是 A 点关于 L 的对称点，AC 与 A ' C 是相等的。而 A ' B 是一条线段，所以 A ' B 是连结 A ＇、B 这两点间的所有线中，最短的一条， 所以 AC+CB = A ' C+CB = A ' B 也是最短的一条路了。这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。

这一流传近 2000 年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从 2009 年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。

一、演变成与正方形有关的试题

例 1（2009 年抚顺）如图 2 所示，正方形 ABCD 的面积为 12， △ABE 是等边三角形， 点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD + PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A. 2 B. 2 C.3

D ． A

B

C L

A

3

6

6

3 17 17 D

分析与解：正方形 ABCD 是轴对称图形，对角线 AC 所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点 B 、D 关于对角线 AC 对称,在这个问题中 D 和 E 是定点，P 是动点。我们可以找到一个定点 D 的轴对称点 B ，连结 BE ，与对角线 AC 交点处 P 就是使距离和最小的点（如图 3），而使 PD+PE 的和的最小值恰好等于 BE ,因为正方形 ABCD 的面积为 12，所以它的边长为 2

，即 PD +PE 的最小值为 2 。

二、演变成与梯形有关的试题 例 2（2009 鄂州）已知直角梯形 ABCD 中 A D∥BC,AB ⊥BC ，AD =2,BC =DC =5,点 P 在 BC 上移动，则当 PA +PD 取最小值时，⊿APD 中边 AP 上的高为（ ）

A ．

2

17

17

B ．

4

17

17

C ．

8

17

17

D ．3

A

B

P C

图 4

分析与解：如图，先作出 A 点关于 BC 的对称点 E ,连结 DE 交 BC 于 P 点，连结 AP ,再过点 D 作 D F ⊥BC 于 F ,过点 D 作 DG ⊥AP 于 G .先可以根据梯形知识和勾股定理可以求得 DF =4,从而

AB =4,再由 AB =BE 且 AD∥BC,知道 BP 是⊿ABE 的中位线，∴BP = 1

AD =1 得 AP = .因为⊿ADP

2

1 1

AD • DF 8

的面积= AD • DF = AP • DG ,所以 AP 边上的高 DG 为

=

,即正确答案是

C . 2 2 AP 17

三、演变成与圆有关的试题

例 3（2009 龙岩）如图，AB 、CD 是半径为 5 的⊙O 的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN 是直径，AB ⊥ MN 于点 E ，CD ⊥MN 于点 F ，P 为 EF 上的任意一点，则 PA +PC 的最小值为

.

分析与解：首先根据对称知识确 定点P 的位

3

2 2 置，连结 BC 交 MN 于点 P ，根据垂径定理易知 AE =4,CF =3,EF =7.再过 C 作 C G ⊥AB 于点 G ,

在 Rt⊿BCG 中，CG =EF =7,BG =BE +EG =3+4=7,所以 PA +PC 的最小值为 BC =7 .

四、演变成与直角坐标系有关的试题 例 4（2009 孝感）在平面直角坐标系中，有 A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点 C （1，n ），当 n = 时，AC + BC 的值最小．

分析与解：点 A 和 B 在直角坐标系下的位置如图 8，此问题中 A,B 是定点，而点 C （1，n ） 在直线 x=1 上,可以找出 A 点关于直线 x=1 的对称点 A ˊ坐标是(–1,-2),经过点 B 和 A ˊ的 4 6 直线解析式为 y= x- ，所以当 x=1 时 n=-

5

5

2 。这题与点的坐标和一次函数知识想结合，

5

考查了学生的数形结合能力。解题时要画出示意图，在直角坐标系中确定点的大致位置， 就可以比较明确的看出利用将军饮马的背景，再利用坐标知识求出对称点的坐标，最后结合一次函数求出结果。

五、演变成与一次函数有关的试题

例 5（2009 荆门）一次函数 y =kx ＋b 的图象与 x 、y 轴分别交于点 A (2，0)，B (0，4)．如图 9 (1)求该函数的解析式；

(2)O 为坐标原点，设 OA 、AB 的中点分别为 C 、D ，P 为 OB 上一动点，求 PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时 P 点的坐标．

图 9

分析与解：利用待定系数法易求得函数解析式为：y ＝－2x ＋4；求 PC ＋PD 的最小值时

既可以用代数方法求解，也能用几何方法求出，关键还是正确找到能使 PC +PD 的值最小的点的位置。如图 10，设点 C 关于点 O 的对称点为C ' ，连结 P C ' 、C ' D ，则 PC ＝PC ′． ∴PC ＋PD ＝PC ′＋PD ≥C ′D ，即 C ′、P 、D 共线时，PC ＋PD 的最小值是 C ′D ．

连结 CD ，在 Rt △DCC ′中，C ′D ＝ 易得点 P 的坐标为(0，1)．

(亦可作 Rt △AOB 关于 y 轴对称的△) 六、演变成与二次函数有关的试题

＝2 ；

C 'C 2 + C

D 2