三角形的重心定理及其证明

三角形的重心定理及其证明

积石中学王有华

同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好.

已知：（如图）设ABC 中，L 、M 、N 分

别是BC 、CA 、AB 的中点.

求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且

AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中

线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点.

现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点.

另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点.

另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1.

这个点G 被叫做ABC 的重心.

证明2（向量法）：（如图2）在ABC 中，设AB 边上的中B C

线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为

G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因

为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点，

所以向量BG ∥BM ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ=，即 1()AG AB AM AB λ-=-

所以，11(1)AG AM AB λλ=+-

=111(1)2

AC AB λλ+- 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+-

= 221(1)2

AB AC λλ+- 所以 111(1)2AC AB λλ+- = 221(1)2

AB AC λλ+- 又因为 AB 、 AC 不共线，所以

1221112112λλλλ=-=-⎧⎨⎩ 所以 1223λλ== ，所以 1133

AG AB AC =+ . 因为L 是BC 的中点，所以GL GA AC CL =++ =111()332

AB AC AC CB -+++ =121()332AB AC AB AC -++- =1166

AB AC +，即2AG GL =，所以A 、G 、L 三点共线.故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1

C

证明3（向量法）（如图3）在ABC 中，

BC 的中点L 对应于1()2OL OB OC =+， 中线AL 上的任意一点G ，有

(1)OG OA OL λλ=+- 1122OA OB OC λλλ--=++.同理，AB 的中线

CN 上的任意点G ′，1122OG OC OA OB μ

μ

μ--'=++，

求中线AL 和CN 的交点，就是要找一个λ和一个μ，使OG OG '=.因此，我们令12μλ-=，1122λ

μ--=，12λ

μ-=.解之得13λμ==.所以111

333OG OG OA OB OC '==++.由对称性可知，

第三条中线也经过点G . 故AL 、CN 、BM 相交于一点G ，且易证AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1.