三角形的重心定理及其证明
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心, 外心, 垂心, 内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理, 外心定理, 垂心定理, 内心定理, 旁心定理的总称.之马矢奏春创作一、二、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明, 十分简单.（重心原是一个物理概念, 对等厚度的质量均匀的三角形薄片, 其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名）重心的性质：1、重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个极点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个极点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中, 重心的坐标是极点坐标的算术平均, 即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3, （Y1+Y2+Y3)/3.二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心, 叫做三角形的外心.外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点, 该点即为该三角形外心.2、若O是△ABC的外心, 则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时, 外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时, 外心在斜边上, 与斜边的中点重合.4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个极点连向另外两个极点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3, c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c ).5、外心到三极点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点, 该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1、三角形三个极点, 三个垂足, 垂心这7个点可以获得6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线, 且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部份乘积相等.定理证明已知：ΔABC中, AD、BE是两条高, AD、BE交于点O, 连接CO 并延长交AB于点F , 求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此, 垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心, 叫做三角形的内心.内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.2、直角三角形的内心到边的距离即是两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、P为ΔABC所在平面上任意一点, 点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心, A、B、C分别为三角形的三个极点, 延长AO交BC边于N, 则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心, 叫做三角形的旁心.旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两极点处的外角平分线交于一点, 该点即为三角形的旁心.2、每个三角形都有三个旁心.3、旁心到三边的距离相等.如图, 点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心, 而且一定在三角形外.附：三角形的中心：只有正三角形才有中心, 这时重心, 内心, 外心, 垂心, 四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心, 重外垂内和旁心, 五心性质很重要, 认真掌握莫记混．重心三条中线定相交, 交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”, 重心性质要明了,重心分割中线段, 数段之比听分晓；长短之比二比一, 灵活运用掌握好．外心三角形有六元素, 三个内角有三边．作三边的中垂线, 三线相交共一点．此点界说为外心, 用它可作外接圆．内心外心莫记混, 内切外接是关键．垂心三角形上作三高, 三高必于垂心交．高线分割三角形, 呈现直角三对整,直角三角形有十二, 构成六对相似形, 四点共圆图中有, 细心分析可找清.内心三角对应三极点, 角角都有平分线, 三线相交定共点, 叫做“内心”有根源；点至三边均等距, 可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”, 如此界说理固然．。
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 2．刘主任乘公共汽车从昆明到相距千米的晋宁区办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了小时，设公共汽车的平均速度为千米时，则下面列出的方程中正确的是（ ）A.B.C. D.3．已知二次函数y ＝ax 2+bx 的图象经过点A （﹣1，1），则ab 有（ ）A.最小值0B.最大值1C.最大值2D.有最小值﹣4．统计局信息显示，2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元，若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是x ，则下列方程正确的是（ ）A ．27.49+27.49x 2＝38B ．27.49（1+2x ）＝38C ．38（1﹣x ）2＝27.49D ．27.49（1+x ）2＝385．某工厂接到加工 600 件衣服的订单，预计每天做 25 件，正好按时完成，后因客户要求提前 3 天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是( )A.B.C. D.6．64的立方根是（ ）A ．8B ．2C ．3D ．47．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①：以点B 为圆心，以小于BC 的长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ；②：分别以点E 、F 为圆心，以大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ； ③：作射线BG ，交AC 边于点D ，若4BC =，5AB =，则ABD S ∆=（ ）A ．3B ．103C ．6D ．2038．已知点A （a ，b ）是一次函数y=-x+4和反比例函数y=1x 的一个交点，则代数式a 2+b 2的值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．149．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A ．68°B ．58°C ．72°D ．56°10．在半径为8cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为( )A ．4cmB ．43cmC ．8cmD ．83cm11．休闲广场的边缘是一个坡度为i ＝1：2.5的缓坡CD ，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A 到地面的距离AB ＝0.5m ，B 到缓坡底端C 的距离BC ＝0.7m ．若秋千的长OA ＝2m ，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E 约为（ ）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）A ．0.4mB ．0.5mC ．0.6mD ．0.7m12．如图菱形OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是（ ）A.23πB.2332π-C.113122π-D.23π﹣1 二、填空题13．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA ．若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为_____．14．﹣19的倒数是_____． 15．某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排_____名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套．16．抛物线y ＝x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，则m 的值为_____．17．如图，⊙O 的直径AB=8，点C 在⊙O 上，∠CAB=22.5°，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 于点D ，则弧CD 的长为______．18．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________.三、解答题19．如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点，连接ME ，MD ．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段BE ，AD 与AB 的数量关系，并加以证明；(3)求证：MD ＝ME ．20．如图，一次函数y ＝kx+3的图象分别交x 轴、y 轴于点B 、点C ，与反比例函数y x n =的图象在第四象限的相交于点P ，并且PA ⊥y 轴于点A ，已知A （0，﹣6），且S △CAP ＝18．（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式； （2）设Q 是一次函数y ＝kx+3图象上的一点，且满足△OCQ 的面积是△BCO 面积的2倍，求出点Q 的坐标．21．如图,在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AE CF =，AED CFD ∠=∠，求证：（1）DE DF =；（2）四边形ABCD 是菱形.22．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程式是重要的数学成就。
三角形重心性质及应用
三角形重心性质及应用三角形的重心是三条中线的交点，也是三个顶点与对应中线交点的连线所形成的三角形中的重心。
三角形重心有很多特点和应用。
首先，三角形的重心坐标性质。
假设三角形的三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，那么重心的坐标可以表示为G(x, y)，其中x=(x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3)/3。
这个性质可以很容易地通过几何推导得到，也可以通过向量运算证明。
这个性质可以用来计算三角形的重心坐标。
其次，三角形的重心与重心连线。
三角形的重心与三个顶点分别连线，可以得到三条中线。
中线是三角形的一个特殊的线段，它连接了一个顶点与对应的底边的中点。
三角形的重心恰好是三条中线的交点，因此可以通过重心连线来确定重心的位置。
再次，三角形的重心与面积。
三角形的重心将三角形划分为六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。
这个性质可以用于求三角形的重心坐标。
设三角形的重心坐标为G(x, y)，且已知三个顶点的坐标为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，则可以通过面积的性质得到x=(Ax1+Ax2+Ax3)/3、y=(Ay1+Ay2+Ay3)/3。
此外，三角形重心的应用还有很多。
其中之一是三角形质心定理。
根据三角形的重心定义，可以推导出质心与顶点的距离满足d(G, A):d(G, B):d(G, C)=2:2:1。
这个性质可以用于解决一些几何问题，例如求质心到某一点的距离比例等。
此外，三角形重心还可以用于求解三角形的面积。
根据面积的定义，可以得到三角形的面积等于底乘以高的一半。
对于任意一个三角形ABC，以重心G为底可以得到一个位于底边上的高。
因此，可以通过底边的长度与高的长度来计算三角形的面积。
最后，三角形的重心还可以用于设计平衡结构。
在工程中，有时候需要设计一个三角形结构，使得结构保持平衡。
此时，可以选择使得结构的重心和支点重合，从而达到平衡的效果。
证明重心到三角形的三顶点的距离平方和最小
证明重心到三角形的三顶点的距离平方和最小重心到三角形的三顶点的距离平方和最小是一个重要的几何问题。
在本文中，我们将探讨如何证明这一结论。
让我们回顾一下什么是重心。
在一个三角形ABC中，重心是三条中线的交点，其中中线是连接顶点和对边中点的线段。
重心通常用G 表示。
我们的目标是证明重心到三角形的三个顶点的距离平方和最小。
换句话说，我们要证明对于任意一点P，PA² + PB² + PC² ≥ GA² + GB² + GC²。
其中，A、B、C为三角形的顶点，P为任意一点。
我们来研究重心到三个顶点的距离平方和GA² + GB² + GC²。
根据重心的定义，我们可以知道GA = 2/3 * AM，GB = 2/3 * BM，GC = 2/3 * CM。
其中，M为对边BC的中点。
现在，我们可以将GA² + GB² + GC²改写为(2/3)² * (AM² + BM² + CM²)。
由于AM² + BM² + CM²是一个常数，我们可以将其记为k。
因此，GA² + GB² + GC² = (2/3)² * k = 4/9 * k。
接下来，我们来研究PA² + PB² + PC²。
根据平方和的性质，我们可以将其拆分为三个部分，即PA² + PB² + PC² = PA² + PA² + PB² + PB² + PC² + PC²。
现在，让我们考虑PA² + PA²。
根据三角形的定理，我们知道PA =GA + PG。
将其代入PA² + PA²中，我们可以得到PA² + PA² = (GA + PG)² + (GA + PG)² = 2(GA² + PG²) + 2GA * PG。
三角形重心
三角形重心三角形是几何学中最简单、最基本的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在三角形中，有一个特殊的点称为三角形的重心，它是三条中线的交点。
重心在三角形的性质和应用中有着很重要的地位。
在本文中，将深入探讨三角形重心的定义、性质、计算方法和应用领域。
1. 重心的定义和性质三角形的重心定义为三条中线的交点，其中中线是连接一个顶点与对边中点的线段。
如果一个三角形的三条中线相交于一点，则该点就是三角形的重心。
以下是三角形重心的一些性质：（1）三角形的重心和顶点的连线是三等分角的角平分线；（2）三角形的重心到三边的距离满足距离定理，即重心到顶点所在边的距离是重心到对边的距离的两倍；（3）重心到三边的距离和相等；（4）三角形的重心是三个中线的交点，也是质心的两倍。
2. 重心的计算方法计算三角形的重心可以使用向量法或坐标法。
以坐标法计算为例，假设一个三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3,y3)。
可以通过以下公式计算重心的坐标G(x, y)：x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3通过坐标法计算重心的好处是，无论三角形的形状和大小如何改变，只要知道顶点的坐标，就能准确计算重心的坐标。
3. 重心的应用领域重心在几何学和物理学中有着广泛的应用。
以下是几个重心的应用领域：（1）建筑物和桥梁设计：重心在建筑物和桥梁的设计中起着关键作用。
确定一个建筑物或桥梁的重心可以帮助工程师分析和预测结构的稳定性和平衡性。
（2）机械工程：在机械工程中，重心的概念经常用于计算和设计运动系统的稳定性。
（3）物理学：在物理学中，重心是许多力学问题的重要概念。
通过确定物体的重心，可以帮助理解和分析物体的运动和平衡状态。
（4）地理学：在地理学中，重心被用来计算地球表面的重心，以便更好地了解地球的质量分布和地理数据分析。
（5）航空航天工程：在航空航天工程中，重心对于飞机和火箭的稳定性和控制至关重要。
三角形重心定理(Centroid Theorem) 证明(1)
1 BC, F E = BC;
2
4. 同理，HK
1 BC, HK = BC;
2
5. 由此，F E
BC
1 HK, F E = BC = HK;
2
6. 由平行四邊形判別定理，F EKH 為一平行四邊形；
7. 由平行四邊形性質定理，平行四邊形的對角線互相平分，
EG
=
GH ，由此
BG
=
2 BE
3
8.
即
B E 、C F
3. 因 AG = GH, AF = F B, 由三角形中位線定理，CF BH;
4. 同理，BE CH;
5. 由此，BGCH 為一平行四邊形；
A
FG
E
B
C
K
H
6. 由平行四邊形性質定理，平行四邊形的對角線互相平分， 所以，BK = KC, GK = KH，由此，AK 實為由 A 到 BC 的中線。 ABC 的 三條中線相交於一點。
性質(1)
若 G 為 ABC 的重心，則，S AGB = S AGC = S BGC (以 S AGB 記 AGB 面積)。
1. 因 BD = DC，由等底等高的三角形面積相等， 有 S ABD = S ADC , S GBD = S GDC ,
2. S ABG = S ABD − S GBD = S ACD − S GCD = S ACG 3. 同理，S ABG = S BCG 4. 所以，S ABG = S BCG = S ACG
7. 亦因為 AG = GH = 2GK， G 到頂點 A 的距離是它到對邊中點 K 距離的 2 倍。
1
證明(2)
1. 設 E、F ，分別為 AC、AB 的中點，BE、CF 交於 G
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．以下所给的数值中，为不等式﹣2x+3＜0的解集的是（ ）A.x ＜﹣2B.x ＞﹣1C.x ＜﹣32D.x ＞322．统计局信息显示，2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元，若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是x ，则下列方程正确的是（ ）A ．27.49+27.49x 2＝38B ．27.49（1+2x ）＝38C ．38（1﹣x ）2＝27.49D ．27.49（1+x ）2＝383．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列图形中是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）A ．线段B ．圆C ．平行四边形D ．角 5．已知|a|＝3，b 2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a ﹣b 的值为（ ）A ．1或7B ．1或﹣7C ．﹣1或﹣7D ．±1或±76．转动A 、B 两个盘当指针分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功。
三角形重心
5、 三 角 形 内 到 三 边 距 离 之 积 最 大 的 点 。
O是重心，向量OA+向量OB+向量OC=零向量。
三角形重心
三角形重心
三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
定 义 三角形在三条中线的交点
性质比例 重心到顶点与到对边中点比为 2： 1
性质证明
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2： 1。
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。 求证：EG=1/2CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H。 ∵AE=BE，EH//BF ∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理) 又∵ AF=CF ∴HF=1/2CF ∴HF:CF=1/2 ∵EH∥BF ∴EG:CG=HF:CF=1/2 ∴EG=1/2CG
2、重心和三角形 3个顶点组成的 3个三角形面积相等。
证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心， AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。 根据重心性质知，OA'=1/3AA'，OB'=1/3BB'，OC'=1/3CC'， 过O，A分别作a边上高OH'，AH,
可知OH'=1/3AH 则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC； 同理可证S△AOC=1/3S△ABC，S△AOB=1/3S△ABC， 所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB
三角形的重心定理及其证明
三角形的重心定理及其证明三角形是几何学的基础形状之一，在解决各类几何问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三角形的重心定理及其证明，通过分析三角形重心的性质和相关的几何定理，来解释三角形重心定理的本质含义。
一、三角形的重心定理三角形的重心定理是指：三角形的三条中线的交点恰好是三角形的重心。
在数学中，重心是指平面图形各个部分的质量均匀分布时的平衡点，也可以看作是三角形的平衡中心。
二、三角形重心的性质首先，我们需要了解三角形重心的性质，这有助于理解重心定理的证明。
1. 三角形重心所在的三条中线互相平分三角形的中线是指连接三角形顶点和中点的线段，根据性质可知，三角形重心所在的三条中线互相平分。
2. 三角形重心到各顶点的距离比例关系当三角形的三条中线相交于一个点时，这个点就是三角形的重心。
此时，重心到三个顶点的距离满足一个比例关系：GA：GB：GC = 1：1：1，其中GA表示重心到顶点A的距离。
三、三角形重心定理的证明三角形重心定理的证明主要通过构造和几何推理来完成。
假设三角形ABC的三条中线交于点G，我们需要证明点G恰好是三角形的重心。
证明思路如下：1. 先证明G在中线AB上由三角形中线的性质可知，G在中线AB上。
构造AG和BG两条线段。
2. 构造ME和AF，使得AF垂直于BC，ME垂直于AC根据垂直于边的性质，我们可以构造出ME垂直于AC以及AF垂直于BC。
连接EF和AM两条线段。
3. 证明AF=ME，证明AM与BC平行由三角形的等腰性质可知，AF=ME，通过几何推理可以证明AM 与BC平行。
4. 构造MF和AH，使得MF垂直于BC，AH垂直于AC根据垂直于边的性质，我们可以构造出MF垂直于BC以及AH垂直于AC。
连接FH和MG两条线段。
5. 证明MF=AH，证明HG与BC平行由三角形的等腰性质可知，MF=AH，通过几何推理可以证明HG 与BC平行。
6. 证明HG与AM重合由于HG与BC平行且与AM重合，所以可以得出HG与AM重合。
三角形的重心、垂心、内心、外心
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
三角形的重心定理及其证明
三角形的重心定理及其证明证明三角形的重心定理，可以从几何角度和向量角度两个方面进行证明。
下面我将分别从这两个方面进行证明。
几何证明：假设在三角形ABC中，AD、BE、CF为三条中线，交于点G。
需要证明G为三角形ABC的重心。
首先，我们知道，三角形的中线是连接三角形两边中点并且平行于第三边的线段。
所以，AD是BC的中点E到A的中线，即AE=EC，同样，BE 是AC的中点D到B的中线，即BD=DA，CF是AB的中点F到C的中线，即CF=FB。
我们需要证明AG、BG、CG是三角形ABC的三条边AB、BC、CA的中垂线。
由于AE=EC，所以角EAC=角ECA，同样，由于BD=DA，所以角DBA=角DAB。
根据角的平分线定理，我们可以得知角GAB=角GAC=角BAG=角CAG。
同理，我们可以得知角GBA=角GBC=角ABG=角CBG，以及角GCB=角GCA=角CGB=角AGC。
由于三角形的内角和等于180度，所以有角CAB+角ABC+角BCA=180度。
根据角度和定理，我们可以得到以下等式：角GAC+角BAG+角GAB+角GCA+角GBA+角GCB=(角CAB+角ABC+角BCA)*2=360度因此，角GAB+角GBC+角GCA=180度。
由此可见，G是三角形ABC的内角的三边的共同交点，即G是三角形ABC的重心。
证毕。
向量证明：我们可以通过向量的运算来证明三角形的重心定理。
假设点A、B、C分别对应向量a、b、c。
点G对应向量g，即G=(x,y,z)。
根据中线的定义，可以得到以下等式：BG=(AB+BC)/2CG=(AC+BC)/2AG=(AC+AB)/2我们可以将这些等式转化为向量的形式：2BG=AB+BC2CG=AC+BC2AG=AC+AB因此，我们可以得到以下等式：2(b-g)=(a-b)+(c-b)2(c-g)=(a-c)+(b-c)2(a-g)=(b-a)+(c-a)将等式两边展开，我们可以得到：2b-2g=a-b+c-b2c-2g=a-c+b-c2a-2g=b-a+c-a整理等式，我们可以得到：3g=a+b+c因此，向量g的坐标为(x,y,z)，满足等式3g=a+b+c，即g=(1/3)(a+b+c)。
证明三角形重心判定性质
证明三角形重心判定性质三角形重心是三角形内部所有中线的交点，是三角形的一个重要点。
在三角形的研究中，三角形重心有着重要的作用，包括判定三角形的形状、判断三角形的大小和计算三角形的面积等。
在本文中，我们将探讨证明三角形重心判定性质的方法。
三角形重心判定定理是三角形研究中一条非常重要的定理，也是几何学中的一道经典问题。
这个定理可以用来判断三角形的性质，以及计算三角形的重心坐标。
三角形重心的坐标可以用以下公式计算：$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$其中，$G$表示三角形重心的坐标，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。
证明三角形重心判定定理需要以下两个步骤：第一步，证明三角形重心是三条中线的交点。
首先，我们需要知道中线是什么。
中线是连结三角形两个顶点及其对边中点的线段。
因此，三角形有三条中线。
中线可以通过以下公式计算出来：$AB: \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}$$BC: \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}$$AC: \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}$其中，$AB$、$BC$、$AC$表示三角形的三条边，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。
我们需要证明三条中线的交点是三角形的重心。
假设$G$为三角形的重心，且$G$在$AB$和$BC$上，那么$G$必定在$AC$上。
这是因为$AC$是由两点$(x_1, y_1)$和$(x_3, y_3)$组成，而重心$G$又满足以下条件：$\frac{AG}{AB} = \frac{BG}{BC} = \frac{CG}{AC}$由此可得：$\frac{AG}{AB} = \frac{2}{3}$$\frac{BG}{BC} = \frac{2}{3}$$\frac{CG}{AC} = \frac{2}{3}$因为$AG$和$BG$都是中线，所以它们分别等于$AB$和$BC$的一半。
三角形的重心
如果你知道了三角形的重心，垂心，内心，外心，那么对以等边三角形，这四心是合一的，也叫中心，中心具有所有四心的性质。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、P 为ΔABC所在平面上任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c). 4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 5、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．6、、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．7、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ）A ．217B ．25C ．42D ．72．下列运算正确的是（ ）A.236a a a ⋅=B.336a a a +=C.22a a -=-D.326()a a -= 3．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，那么可列方程组为（ ）A ．10033100x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩D ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩ 4．若4＜k ＜5，则k 的可能值是（ ）A ．23B ．8C ．23D ．45+5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 在反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图象上，点A 、B 横坐标分别为2和6，对角线BD ∥x 轴，若菱形ABCD 的面积为40，则k 的值为（ ）A.15B.10C.152D.56．已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，AO ＝CO ，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（ ）A.BO ＝DOB.AB ＝BCC.AB ＝CDD.AB ∥CD 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在和之间（不包括端点）．有下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个8．近日，海南省旅游委通报了2019年春节黄金周假日旅游工作情况，该省共接待游客5670万人次.数据5670万用科学记数法表示为（ ）A ．556.710⨯B ．65.6710⨯C ．656.710⨯D ．75.6710⨯9．如图，点A （﹣2，0），B （0，1），以线段AB 为边在第二象限作矩形ABCD ，双曲线y ＝k x（k ＜0）过点D ，连接BD ，若四边形OADB 的面积为6，则k 的值是（ ）A ．﹣9B ．﹣12C ．﹣16D ．﹣1810．如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（ ）A.20°B.35°C.40°D.70°11．如图所示，90,,E F B C AE AF ∠=∠=∠=∠=，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ∆≅∆，其中正确的是有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列计算正确的是（ ）A ．（b ﹣a ）（a+b ）＝a 2﹣b 2B ．2212255x xy x y ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭C ．（﹣2x 2）3＝﹣6x 3y 6D ．（6x 3y 2）÷（3x ）＝2x 2y 2二、填空题 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知(23,0)A ，B(0,6)，M(0,2)，点Q 在直线AB 上，把BMQ 沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ ，如果直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是____________14．如图，AD 为ABC △的角平分线，AC BC = ，E 在AC 延长线上，且AD DE =，若6,2AB CE ==，则BD 的长为______.15．2016年鄂尔多斯市实现生产总值4417.9亿元，按可比价格计算，比上年增长7.3%，在内蒙古自治区排名第一，将数据“4417.9亿元”精确到十亿位表示为______元.16．把抛物线y=2（x-1）2+1向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______．17．如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m ，两侧蹑地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞的高度为_______m .（精确到0.1m ）18．n 个数据2、4、6、8、…．、2n ，这组数据的中位数是_____．(用含n 的代数式表示)三、解答题19．在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k x （x ＞0，k ＞0图象上的两点（n ，3n ）、（n+1，2n ）． （1）求n 的值；（2）如图，直线l 为正比例函数y ＝x 的图象，点A 在反比例函数y ＝k x（x ＞0，k ＞0）的图象上，过点A作AB⊥l于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥BC于点D，记△BOC的面积为S1，△ABD 的面积为S2，求S1﹣S2的值．20．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）若tan∠PAO＝12，求边AB的长．21．已知点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，求▱AECF的周长．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0．（1）当t＝3时，解这个方程；（2）若m，n是方程的两个实数根，设Q＝（m﹣2）（n﹣2），试求Q的最小值．23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．24．如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC．（1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC；（2）填空：①若AB＝2，则△AOE的最大面积为；②当DA 与⊙O 相切时，若AB ＝2，则AC 的长为 ．25．如图，工人师傅用一块长为10分米，宽为6分米的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形；（厚度不计）（1）当长方体底面面积为12平方分米时，裁掉的正方形边长为______分米；（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，且将容器的外表面进行防锈处理，其侧面处理费用为0.5元/平方分米，底面处理费用为2元/平方分米；求：裁掉的正方形边长为多大时，防锈处理总费用最低，最低为多少？【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D C D A B C D C BC D二、填空题13．(23,0)-或(0,2)-或(23,4)14．272-15．42×101116．y=2x 2+117．118．n+1三、解答题19．（1）2（2）6【解析】【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到n•3n＝（n+1）•2n，然后解方程可得n 的值；（2）设B （m ，m ），利用△OBC 为等腰直角三角形得到∠OBC ＝45°，再证明△ABD 为等腰直角三角形，则可设BD ＝AD ＝t ，所以A （m+t ，m ﹣t ），把A （m+t ，m ﹣t ）代入y ＝12x 中得到m 2﹣t 2＝12，然后利用整体代入的方法计算S 1﹣S 2．【详解】解：（1）∵反比例函数y ＝k x（x ＞0，k ＞0图象上的两点（n ，3n ）、（n+1，2n ）． ∴n•3n＝（n+1）•2n，解得n ＝2或n ＝0（舍去），∴n 的值为2；（2）反比例函数解析式为y ＝12x ， 设B （m ，m ），∵OC ＝BC ＝m ，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴∠OBC ＝45°，∵AB ⊥OB ，∴∠ABO ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，设BD ＝AD ＝t ，则A （m+t ，m ﹣t ），∵A （m+t ，m ﹣t ）在反比例函数解析式为y ＝12x 上， ∴（m+t ）（m ﹣t ）＝12，∴m 2﹣t 2＝12，∴S 1﹣S 2＝2211112222m t -=⨯＝6． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y ＝k x（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．20．（1）见解析；（2）AB ＝10．【解析】【分析】（1）只需要证明两对对应角分别相等即可证明相似（2）根据题①可知CP ＝4，设BO ＝x ，则CO ＝8﹣x ，PD ＝2（8﹣x ），即可解答【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°．由折叠，可知：∠APO ＝∠B ＝90°，∴∠APD+∠CPO ＝90°．∵∠APD+∠DAP ＝90°，∴∠DAP ＝∠CPO ，∴△OCP∽△PDA；（2）解：由折叠，可知：∠APO＝∠B＝90°，AP＝AB，PO＝BO，tan∠PAO＝POAP＝BOAB＝12．∵△OCP∽△PDA，∴12 PO OC CPAP PD DA===∵AD＝8，∴CP＝4．设BO＝x，则CO＝8﹣x，PD＝2（8﹣x），∴AB＝2x＝CD＝PD+CP＝2（8﹣x）+4，解得：x＝5，∴AB＝10．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质和折叠问题，解题关键在于证明全等21．（1）证明见解析；（2）20.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到AE=CE=12BC=5，推出四边形AECF是菱形，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点，∴AF=12AD，CE＝12BC，∴AF＝CE，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）∵BC＝10，∠BAC＝90°，E是BC的中点．∴AE＝CE＝12BC＝5，∴四边形AECF是菱形，∴▱AECF的周长＝4×5＝20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和菱形的判定，关键是掌握平行四边形对边相等，对角相等；邻边相等的平行四边形是菱形．22．（1）x 1＝3﹣2，x 2＝3+2；（2）Q 的最小值是﹣1．【解析】【分析】（1）把t ＝3代入x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4＝0，再利用公式法即可求出答案；（2）由根与系数的关系可得出m+n ＝2t 、mn ＝t 2﹣2t+4，将其代入（m ﹣2）（n ﹣2）＝mn ﹣2（m+n ）+4中可得出（m ﹣2）（n ﹣2）＝（t ﹣3）2﹣1，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t 的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m ﹣2）（n ﹣2）的最小值．【详解】（1）当t ＝3时，原方程即为x 2﹣6x+7＝0， 63628322x ±-==±， 解得132x =-，232x =+；（2）∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4＝0的两实数根，∴m+n ＝2t ，mn ＝t 2﹣2t+4，∴（m ﹣2）（n ﹣2）＝mn ﹣2（m+n ）+4＝t 2﹣6t+8＝（t ﹣3）2﹣1．∵方程有两个实数根，∴△＝（﹣2t ）2﹣4（t 2﹣2t+4）＝8t ﹣16≥0，∴t≥2，∴（t ﹣3）2﹣1≥（3﹣3）2﹣1＝﹣1．故Q 的最小值是﹣1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解法．23．（1）见解析；（2）CD ＝5．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD ＝BC ，等量代换得到BC ＝EF ，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论，（2）设BC ＝CD ＝x ，则CF ＝8﹣x 根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵在菱形ABCD 中，∴AD ∥BC 且AD ＝BC ，∵BE ＝CF ，∴BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形.（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x，在Rt△DCF中，∵x2＝（8﹣x）2+42 ，∴x＝5，∴CD＝5．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．24．（1）见解析；（2）①S△AOE最大＝12；②AC＝1.【解析】【分析】（1）利用垂直平分线，判断出∠BAC＝∠DAC，得出EC＝BC，用SSS判断出结论；（2）①先判断出三角形AOE面积最大，只有点E到直径AB的距离最大，即是圆的半径即可；②根据切线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）连接AC，如图1，∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BD，∵AD＝AB，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC EC=，∴BC＝EC，在△OBC和△OEC中BC EC OB E OC COO=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OBC≌△OEC（SSS），（2）①∵AB是⊙O的直径，且AB＝2，∴OA＝1，设△AOE的边OA上的高为h，∴S△AOE＝12OA×h＝12×1×h＝12h，∴要使S△AOE最大，只有h最大，∵点E在⊙O上，∴h最大是半径，即h最大＝1∴S△AOE最大＝12，故答案为12；②如图2：当DA与⊙O相切时，∴∠DAB＝90°，∵AD＝AB＝2，∴∠ABD＝45°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AC＝BC＝2221 22AB=⨯=，故答案为：1【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是确定面积最大时，点E到AB的距离最大是半径．25．（1）裁掉的正方形的边长为2dm；（2）裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．【解析】【分析】(1)由设裁掉的正方形的边长为xdm，用x的代数式表示长方体底面的长与宽，再根据矩形的面积公式列出方程，可求得答案；(2)由条件“制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍“列出不等式，可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．【详解】(1)设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm；(2)设总费用为y元，则y=2(10-2x)(6-2x)+0.5×[2x(10-2x)+2x(6-2x)]=4x2-60x+192=4(x-7.5)2-33，又∵12-2x≤5(8-2x)，∴x≤3.5，∵a=4＞0，∴当x＜7.5时，y随x的增大而减小，∴当x=3.5时，y取得最小值，最小值为31，答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，矩形的面积计算，列代数式．正确列代数式和找出等量关系列方程，求二次函数的最值的方法是本题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如左图所示．其俯视图不可能是（ ）A. B. C. D.2．若实数a ，b ，c 满足a+b+c=0，且a ＜b ＜c ，则函数y=cx+a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．地球上的海洋面积约三亿六千一百万平方千米，用科学记数法表示为（ ）平方千米．A ．361×106B ．36.1×107C ．3.61×108D ．0.361×1094．下列计算正确的是（ ）A ．2a+b ＝2abB ．a 3÷a＝a 2C ．（a ﹣1）2＝a 2﹣1D ．（2a ）3＝6a 35．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，并且∠DAC ＝60°，∠ADB ＝15°．点E 是AD 边上一动点，延长EO 交BC 于点F ．当点E 从D 点向A 点移动过程中（点E 与点D ，A 不重合），则四边形AFCE 的变化是（ ）A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D.平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形6．如图，AD 是ABC ∆的中线，点O 是AC 的中点，过点A 作AE BC ∥交DO 的延长线于点E ，连接CE ，添加下列条件仍不能判断四边形ADCE 是菱形的是（ ）A ．ABC ⊥ B ．AB AC = C ．AC 平分DAE∠D ．72171()01230.9244040120E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 7．关于x 的一元二次方程(k-1)x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k 5< B ．k 5<且k 1≠ C ．k 5≤ D ．k 5≤且k 1≠8．如图，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BI 、BD 、DC ．下列说法中错误的一项是（ ）A.线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DC 重合B.线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DI 重合C.∠CAD 绕点A 顺时针旋转一定能与∠DAB 重合D.线段ID 绕点I 顺时针旋转一定能与线段IB 重合9．下列运算正确的是（ ）A ．a 3+a 3＝a 6B ．（﹣a 2）3＝a 6C ．a 5÷a ﹣2＝a 7D ．（a+1）0＝1 10．计算：11x x x+-＝（ ） A ．1 B ．2 C ．1+2x D ．2x x- 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△A'BC’，连接A'C ，则A'C 的长为（ ）A ．6B ．4+23C ．4+33D ．2+3312．如图，下列条件中，不能判定//AD BC 的是( )A.12∠=∠B.180BAD ADC ︒∠+∠=C.34∠=∠D.180ADC DCB ︒∠+∠=二、填空题 13．在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 作AD ⊥AC 交射线CB 于点D ，若△ABD 是等腰三角形，则∠C 的大小为_____度．14．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是_____．15．如图所示，四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点E ，且BD BC =，30ACD ∠=︒，若19AB =，7AC =，则CE 的长为_____．16．平面直角坐标系中，点P(﹣2，4)关于x 轴对称的点的坐标为_____．17．掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是______．18．不等式5﹣2x ＞﹣3的解集是_____．三、解答题19．如图，在△ACD 中，DA ＝DC ，点B 是AC 边上一点，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，点F 是直径AB 上一点（不与A 、B 重合），延长DF 交圆于点E ，连结EB ．（1）求证：∠C ＝∠E ；（2）若弧AE ＝弧BE ，∠C ＝30°，DF ＝2，求AD 的长．20．（1）计算：（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0+8；（2）化简：（x ﹣3）（x+3）+x （2﹣x ）．21．甲骑电动车、乙骑摩托车都从M 地出发，沿一条笔直的公路匀速前往N 地，甲先出发一段时间后乙再出发．甲，乙两人到达N 地后均停止骑行，已知M ，N 两地相距1753km ，设甲行驶的时间为x （h ），甲、乙两人之同的距离为y （km ），表示y 与x 函数关系的图象如图所示．请你解决以下问题：（1）求线段BC 所在直线的函数表达式；（2）分别求甲，乙的速度；（3）填空：点A 的坐标是 ．22．如图，抛物线y=-x2+4x-1与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于另一点D，AB∥x轴交抛物线于点A，B，点A在点B的左侧，且两点均在第一象限，BH⊥CD于点H．设点A的横坐标为m．（1）当m=1时，求AB的长.（2）若AH=2（CH-DH），求m的值.23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．24．在一次数学考试中，小明有一道选择题(只能在四个选项A、B、C、D中选一个)不会做，便随机选了一个答案；小亮有两道选择题都不会做，他也随机选了两个答案．(1)小明随机选的这个答案，答对的概率是；(2)通过画树状图或列表法求小亮两题都答对概率是多少？(3)这个班数学老师参加集体阅卷，在阅卷的过程中，发现学生的错误率较高．他想：若这10道选择题都是靠随机选择答案，则这10道选择题全对的概率是．25．某公司要购买一种笔记本供员工学习时使用.在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为2元.在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过20时，超过部分每本价格为1.8元.设在同一家文具店一次购买这种笔记本的数量为x(x为非负整数).(Ⅰ)根据题意，填写下表：一次购买数量(本) 10 20 30 40 …甲文具店付款金额(元) 20 60 …乙文具店付款金额(元) 24 66 …(Ⅱ)设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为1y元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为2y元，分别写出1y ，2y 关于x 的函数关系式；(Ⅲ)当50x 时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由.【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C C B B B D D C AC B 二、填空题13．30或60．14．k≤5且k≠1．15．16516．(﹣2，﹣4) 17．12 18．x ＜4三、解答题19．（1）见解析；（2）AD ＝3+1．【解析】【分析】（1）证明∠A ＝∠C ，∠A ＝∠E 即可．（2）作FH ⊥AD 于H ，连接OE ．只要证明△DFH 是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】（1）证明：∵DA ＝DC ，∴∠A ＝∠C ，∵∠A ＝∠E ，∴∠C ＝∠E ．（2）解：作FH ⊥AD 于H ，连接OE ．∵弧AE ＝弧BE ，∴OE ⊥AB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠ADF ＝45°，∵∠FHD ＝90°，DF ＝2，∴HF ＝HD ＝1，∵∠A ＝∠C ＝30°，FH ＝1，∠AHF ＝90°，∴AH ＝3FH ＝3，∴AD ＝AH+DH ＝3+1．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20．（1）3+22；（2）2x ﹣9．【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简二次根式，然后计算加减法；（2）先利用平方差公式和单项式乘多项式去括号，然后计算加减法．【详解】（1）原式＝4﹣1+22＝3+22．（2）原式＝x 2﹣9+2x ﹣x 2＝2x ﹣9．【点睛】考查了平方差公式，实数的运算，单项式乘多项式，零指数幂等知识点，熟记计算法则即可解答，属于基础题．21．（1）y ＝20x ﹣503；（2）甲的速度为30 km/h ，乙的速度为50km/h ；（3）（13，10）． 【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得线段BC 所在直线的函数表达式；（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲和乙的速度；（3）由（2）的结论可以求得点A 的坐标并写出点A 表示的实际意义【详解】解：（1）设线段BC 所在直线的函数表达式为y ＝kx+b （k≠0）， ∵5,06B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，340,23C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线BC 上， 50634023k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得k 2050b 3=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即线段BC 所在直线的函数表达式为y ＝20x ﹣503； （2）设甲的速度为m km/h ，乙的速度为n km/h ，51563631340m 2323n m n ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，得3050m n =⎧⎨=⎩， 故甲的速度为30 km/h ，乙的速度为50km/h ，（3）点A 的纵坐标是：130103⨯=， 即点A 的坐标为（13，10）． 故答案为：（13，10） 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22．（1）2；（2）35m =-【解析】【分析】（1）因为A 在抛物线上，则把m=1代入二次函数解析式y=-x 2+4x-1解得y=2，令-x 2+4x-1=2解得的两个根分别是A 、B 两点的横坐标．由于B 点在A 点右边，用B 点横坐标减去A 点横坐标所得的数值就是AB 线段的长度．（2）根据题意以及抛物线的对称性分析可得AB=CH-DH ，若AH=2（CH-DH ），实际上AH=2AB ，此时△ABH 应为等腰直角三角形，∠B 为直角，AB=BH ，用待定系数法设点A 的坐标为（m ，-m 2+4m-1），再利用等腰三角形边比数量关系设出B 点坐标，由于A 、B 两点关于对称轴直线x=2对称，建立方程求解即可得m 的值．【详解】（1）∵m=1，∴A 的横坐标为1，代入y=-x 2+4x-1得，y=2，∴A （1，2），把y=2代入y=-x 2+4x-1得，2=-x 2+4x-1，解得x 1=1，x 2=3，∴B （3，2），∴AB=3-1=2．（2）∵AB ∥x 轴交抛物线于点A ，B ，∴A 、B 两点关于对称轴对称，∴CH-DH=AB ，∵AH=2（CH-DH ），∴AH=2AB，∴22 ABAH=，∴∠BAH=45°，∴AB=BH，由A在抛物线上，则设A（m，-m2+4m-1），则B（-m2+5m，-m2+4m-1）．∴对称轴h=()2542(1)2m m m+-+-=⨯-∴整理得，m2-6m+4=0解得，m=3+5或m=3-5又∵A点在对称轴左边∴m＜2∴m=3-5【点睛】本题考查了数形结合的思想以及用待定系数法设点的坐标并建立方程求解的能力．23．（1）m≥﹣112；（2）m＝2．【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，然后解不等式即可；（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，由条件得x12+x22＝31+x1x2，再利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定满足条件的m的值．【详解】（1）根据题意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解得m≥﹣1 12；（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，因为x1x2＝m2+2＞0，所以x12+x22＝31+x1x2，即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，而m≥﹣1 12；所以m ＝2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，1212,b c x x x x a a+=-=．灵活应用整体代入的方法计算． 24．(1)14；(2)116；(3)1014. 【解析】【分析】（1）错误答有3个，除以答案总数4即可（2）根据题意画出树状图即可知道一共有16种情况，选出两题都错的情况，即可解答（3）由（2）可知两题都对的概率为(14)2，10道选择题全对的概率是10个14的乘积 【详解】(1)∵只有四个选项A 、B 、C 、D ，对的只有一项， ∴答对的概率是14 ； 故答案为：14； (2)根据题意画图如下：共有16种等情况数，两题都答对的情况有1种， 则小亮两题都答对概率是116； (3)由(2)得2道题都答对的概率是(14)2，则这10道选择题全对的概率是(14)10＝1014． 故答案为：1014． 【点睛】 此题考查概率公式和列表法与树状图法，解题关键在于看懂题中数据25．(Ⅰ)40，80；48，84；(Ⅱ)12y x =；当020x ≤≤时，2 2.4y x =；当20x >时，2 1.812y x =+.(Ⅲ)当5060x ≤<时，有0y <，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；当60x >时，有0y >，在乙文具店购买这种笔记本的花费少.【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意分别求出付款金额即可；(Ⅱ)根据题意可得y 1的解析式，分别讨论0x 20≤≤时和x>20时，根据题意可得y 2的解析式；(Ⅲ) 记12y y y =-，得出x>50时y 关于x 的解析式，根据一次函数的性质解答即可.【详解】(Ⅰ)20×2=40（元），40×2=80（元），2,4×20=48（元）2,4×20+1.8×（40-20）=84（元）故答案为：40，80；48，84.(Ⅱ)根据题意，得1y 2x =.当0x 20≤≤时，2y 2.4x =；当x 20>时，()2y 2.420 1.8x 20 1.8x 12=⨯+⨯-=+.(Ⅲ)当x 50≥时，记()12y y y 2x 1.8x 120.2x 12=-=-+=-. 当y 0=时，即0.2x 120-=，得x 60=.∴当x 60=时，在这两家文具店购买这种笔记本的花费相同. ∵0.20>，∴y 随x 的增大而增大.∴当50x 60≤<时，有y 0<，在甲文具店购买这种笔记本的花费少； 当x 60>时，有y 0>，在乙文具店购买这种笔记本的花费少.【点睛】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.。
三角形重心向量结论推导
三角形重心向量结论推导
三角形是初中数学中常见的一个几何图形，它具有丰富的性质和定理。
其中，三角形重心向量是一个重要的概念，在数学物理学中应用广泛。
本文将介绍三角形重心向量的定义及其推导过程。
首先，我们来定义三角形的重心向量：
定义：设三角形ABC的重心为G，向量AG、BG、CG分别为向量a、向量b、向量c，则三角形ABC的重心向量为：
G = 1/3(G + G + G)
接下来，我们来推导重心向量的公式。
假设三角形ABC的顶点坐标分别为A （x1，y1），B （x2，y2），C （x3，y3）。
那么，向量AG的坐标为（X1,Y1）-（Xg,Yg），向量BG的坐标为（X2,Y2）-（Xg,Yg），向量CG的坐标为（X3,Y3）-（Xg，Yg）。
其中，重心G的坐标为：
Xg = (x1 + x2 + x3) / 3，Yg = (y1 + y2 + y3) / 3
现在，我们来计算重心向量：
= [0, 0]
由推导可知，三角形的重心向量是一个位于原点的向量。
这表明重心向量的大小和方向不受三角形形状和大小的影响，只与三角形的顶点坐标有关。
因此，我们可以在使用三角形重心向量时利用这个特性来进行计算，从而简化问题。
最后，需要注意的是，在实际应用中，我们也可以利用向量之间的线性运算（加法、减法、数乘等）来计算三角形重心向量，并利用重心向量来推导出一些相关的结论和定理。
总的来说，三角形重心向量是一个非常重要的概念，在数学、物理、机械等领域有着广泛的应用。
通过本文的推导，希望能够让读者对三角形重心向量有更深入的认识和理解。
九年级数学 三角形的重心定义与性质
三角形的重心定义与性质三角形的重心定义：重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的重心的性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）；空间直角坐标系——横坐标：（X1+X2+X3）/3纵坐标：（Y1+Y2+Y3）/3竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
已知△ABC,D、E、F分别为BC、AC、AB的中点.那么AD、BE、CF三线共点,即重心G.现在证明DG:AG=1:2证明：连结EF交AD于M,则M为AD中点EF为△ABC的中位线,所以EF‖BC且EF:BC=1:2由平行线分线段成比例定理有：GM:MD=EF:BC=1:2设GM=x,那么GD=2xDM=GM+GD=3xAD=2GM=6xAG=AD-GD=4x所以GD:AD=2x:4x=1:2扩展资料：重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
参考资料：百度百科-三角形重心重心是三角形三边中线的交点：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
三角形重心是三角形三边每一边的三条中线的交点。
利用向量证明三角形重心定理
利用向量证明三角形重心定理1. 引言哎，大家好，今天咱们聊聊一个听起来高大上的数学话题——三角形的重心定理。
别一听就怂了，听起来复杂，其实就是个简单又有趣的事情。
重心是什么呢？说白了，就是你这个三角形的“中心”，就像一颗心脏，供给着力量和活力。
想象一下，三角形就像咱们的一个小团体，三个人的朋友关系，重心就是三个人的友谊交点！那么，今天咱们就用向量这位“好朋友”来证明一下这个定理，让它闪闪发光，成为咱们的明星。
2. 三角形重心的定义2.1 重心的概念首先，什么是三角形的重心呢？简单来说，就是从每个顶点到对边中点的那几条线交汇的地方。
你可以想象成，三个朋友各自牵着一根绳子，然后把绳子交在一起，那个交点就是重心。
是不是很形象？重心就像这个小团体的共同点，能把大家的力量汇聚到一起，真是太神奇了。
2.2 向量的玩法接下来，我们来聊聊向量。
向量其实就是一个带有方向的数量，听起来复杂，其实就是你每天走路的步伐。
比如你往前走一米，或者往左转一圈，这些都能用向量表示。
咱们把三角形的三个顶点分别记作A、B、C，坐标分别是(A(a_1, a_2))、(B(b_1, b_2))、(C(c_1, c_2))。
通过这些顶点，咱们就能搞定重心的位置啦。
3. 证明过程3.1 求出重心坐标好，话不多说，咱们开始计算重心。
重心G的坐标可以用公式来表示：。
G = frac{1{3(A + B + C) 。
这就像你把三个朋友的意见汇总，然后算出个平均数。
具体点说，G的坐标就是：。
Gleft(frac{a_1 + b_1 + c_1{3, frac{a_2 + b_2 + c_2{3right) 。
是不是觉得很简单？就像分蛋糕，大家各自分到一块，最终结果就是大家的重心！3.2 用向量证明现在，我们用向量来证明一下。
首先，我们从A点出发，向B和C两点分别画出向量。
向量AB和向量AC就像两条友谊线，把A、B、C三个人连在了一起。
咱们先计算这两个向量：。
重心的向量结论
重心的向量结论
三角形重心向量结论：
三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心，三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
性质二、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
性质三、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。
性质四、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。
重心坐标的计算方法：
摆线质量均匀，所以线密度为常数，设为ρ：
弧微分ds＝2｜sin（t／2）｜dt，由弧长s＝4得摆线只有半拱（0≤t≤π）。
摆线的质量m＝4ρ。
摆线关于x轴的静力矩mx＝ρ∫yds＝ρ∫（0～π）（1－cost）×2sin（t／2）dt＝16ρ／3。
摆线关于y轴的静力矩my＝ρ∫xds＝ρ∫（0～π）（t－sint）×2sin（t／2）dt ＝16ρ／3。
重心的坐标是：x＝mx／m＝4／3，y＝my／m＝4／3。
所以，重心坐标是（4／3，4／3）。
三角形重心到三顶点距离的平方和最小证明
三角形重心到三顶点距离的平方和最小是一个常见的几何定理，它反映了三角形重心的重要性质。
下面我将尝试用几何方法证明这个定理。
首先，我们需要了解一些基本概念。
在三角形中，重心是指三条中线的交点。
对于给定的三角形，其重心到顶点的距离可以通过将三角形分成两部分，并考虑这两部分的重心到顶点的距离之差来得到。
为了证明这个定理，我们需要使用一些基本的几何性质和三角形的性质。
首先，我们知道对于任何三角形，其重心到顶点的距离是所有点到顶点的距离的平均值。
这意味着，如果我们将三角形的三个顶点视为三个独立的点，那么重心到这三个点的距离的平方和应该等于这三个点之间的所有可能点对之间的距离的平方和的最小值。
为了证明这个最小值存在，我们可以使用凸包的概念。
凸包是一个数学概念，它描述了在一个多边形上的所有点构成的集合。
对于给定的三角形，其重心到三个顶点的距离构成的线段可以构成一个凸包。
这意味着在三角形的内部或边上一定存在一个点，该点到重心的距离小于或等于所有点到重心的距离之和的一半。
因此，我们可以得出结论：三角形重心到三个顶点的距离的平方和的最小值存在于三角形的内部或边上，并且这个最小值等于三角形三边长度平方和的最小值。
换句话说，三角形重心到三顶点距离的平方和最小，当且仅当三角形的三边长度相等时达到最小值。
在实践中，这个定理可以用作证明三角形中线长度的一个重要工具。
在三角形的中线中，我们知道它们有两个重要性质：一是它们将三角形分成两个相等的部分；二是它们是三角形重心到三顶点的中线。
这些性质结合起来，我们就可以使用上述定理来证明三角形中线长度具有某种特殊性质，这在许多实际应用中都是非常重要的。
综上所述，三角形重心到三顶点距离的平方和最小是一个重要的几何定理，它反映了三角形重心的重要性质。
这个定理可以用几何方法和数学工具进行证明，并且在实际应用中具有重要的实用价值。
以上证明仅是一个基础性证明，具体的证明可能会根据具体的背景和应用有所不同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形的重心定理及其证明
积石中学王有华
同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好.
已知：（如图）设ABC 中，L 、M 、N 分
别是BC 、CA 、AB 的中点.
求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且
AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中
线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点.
现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。
因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点.
另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点.
另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1.
这个点G 被叫做ABC 的重心.
证明2（向量法）：（如图2）在ABC 中，设AB 边上的中B C
线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为
G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因
为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点，
所以向量BG ∥BM ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ=，即 1()AG AB AM AB λ-=-
所以，11(1)AG AM AB λλ=+-
=111(1)2
AC AB λλ+- 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+-
= 221(1)2
AB AC λλ+- 所以 111(1)2AC AB λλ+- = 221(1)2
AB AC λλ+- 又因为 AB 、 AC 不共线，所以
1221112112λλλλ=-=-⎧⎨⎩ 所以 1223λλ== ，所以 1133
AG AB AC =+ . 因为L 是BC 的中点，所以GL GA AC CL =++ =111()332
AB AC AC CB -+++ =121()332AB AC AB AC -++- =1166
AB AC +，即2AG GL =，所以A 、G 、L 三点共线.故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1
C
证明3（向量法）（如图3）在ABC 中，
BC 的中点L 对应于1()2OL OB OC =+， 中线AL 上的任意一点G ，有
(1)OG OA OL λλ=+- 1122OA OB OC λλλ--=++.同理，AB 的中线
CN 上的任意点G ′，1122OG OC OA OB μ
μ
μ--'=++，
求中线AL 和CN 的交点，就是要找一个λ和一个μ，使OG OG '=.因此，我们令12μλ-=，1122λ
μ--=，12λ
μ-=.解之得13λμ==.所以111
333OG OG OA OB OC '==++.由对称性可知，
第三条中线也经过点G . 故AL 、CN 、BM 相交于一点G ，且易证AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1.。