2007年安徽省专升本高数试题
2007高考数学(理科)安徽试题
2007年普通高等学校招生考试安徽理科数学卷2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) S =4Πr 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)=P(A)+P(B) 球的体积公式1+2+…+n2)1(+n n V =334R π 12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n 其中R 表示球的半径13+23++n 3=4)1(22+n n第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为(A)[)+∞∈=,0,)(3x x x f （B ）[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f(C)),(,)(+∞-∞∈=x c x f x(D)),0(,1)(+∞∈=x xx f (2)设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件(C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 (3)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是(A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1(在此卷上答题无效)绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)第Ⅱ卷(非选择题 共95分)注意事项:请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．. 二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若(2x 3+x1)a 的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于 .（13）在四面体O-ABC 中，D c b a ,,,===为BC 的中点，E 为AD 的中点，则= （用a ，b ，c 表示）.（14）如图，抛物线y =-x 2+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P 1,P 2,…,P n -1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，Q n -1，从而得到n -1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △Q n -1P n -1P n -1,当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .(15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分12分） 已知0＜a ＜)82cos()(,4πβπ+=x x f 为的最小正周期，),1),41(tan(-+=βa a 求ααβααsin cos )(2sin cos 22-++.（4）若a 为实数，iai 212++＝-2I ，则a 等于（A ）2（B ）-2（C ）22 （D ）-22（5）若}{8222 xx A -≤Z ∈=，{}1log R x x B x ∈=，则)(C R B A ⋂的元素个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（6）函数)3π2sin(3)(--x x f 的图象为C ①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②函灶)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数; ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（7）如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P的最小值为 （A ）15-（B ）154-（C ）122- （D ）12-（8）半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（A ）)33arccos(-（B ）)36arccos(- （C ）)31arccos(-（D ）)41arccos(-（9）如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A ）3（B ）5（C ）25（D ）31+（10）以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率)(σμξ -P 等于 （A ）)(σμφ+-)(σμφ- （B ）)1()1(--φφ （C ）)1(σμφ-（D ）)(2σμφ-（11）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）5(17) (本小题满分14分)如图，在六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.（Ⅰ）求证：A1C1与AC 共面，B1D1与BD 共面； （Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1； （Ⅲ）求二面角A －BB1－C 的大小（用反三角函数值圾示）.(18) (本小题满分14分)设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）. （Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.(19) (本小题满分12分)如图，曲线G 的方程为y 2=20（y ≥0）.以原点为圆心，以t （t >0）为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C .（Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为a ＋2，求证：直线CD 的斜率为定值.(20) (本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望E ξ； （Ⅲ）求概率P （ξ≥E ξ）.(21) (本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d （d >0），因此，历年所交纳的储务金数目a 1，a 2，…是一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r （r >0），那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a 1（1＋r ）a －1，第二年所交纳的储备金就变为a 2（1＋r ）a －2，……，以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n 与T n －1（n ≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：T n ＝A n ＋B n ，其中｛A n ｝是一个等比数列，｛B n ｝是一个等差数列.2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｂ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｄ 10．Ｂ 11．Ｄ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．713．111244++a b c 14．1315．①③④⑤三、解答题16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分． 解：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭a b ··． 故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·． 由于π04α<<，所以222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·．17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．解法1（向量法）： 以D 为原点，以1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-==，，，，，，，，，，，∵． 111122AC AC DB D B ==，∴． AC ∴与11AC 平行，DB 与11DB 平行， 于是11AC 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-= ，，，，··， (220)(220)0DB AC =-= ，，，，··， 1DD AC ⊥ ∴，DB AC ⊥．1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=- ，，，，，，，，．设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，11120AA x z =-+= n ·，111120BB x y z =--+= n ·．于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ． 设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，122220BB x y z =--+= m ·，12220CC y z =-+= m ·．于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ．1cos 5==，m n m n m n ·． ∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DADC ，的中点，连结11EF A E C F ，，， 有111111A E D DC FD D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，于是11AC EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥，故11AC AC ∥，11AC 与AC 共面． 过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，， 于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴． 1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴．1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．ABCD1A1B1C 1DMOE F所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ． （Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥， 根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．过点A 在平面11ABB A 内作1AM BB ⊥于M ，连结MC MO ，， 则1B B ⊥平面AMC ， 于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角．根据勾股定理，有111A A C C B B =． 1OM B B ⊥∵，有11B O OB OM B B ==·BM =AM =，CM =． 2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1πarccos 5AMC ∠=-，二面角1A BB C --的大小为1πarccos5-． 18．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分． （Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22()10x F x x x x-'=-=>，， 列表如下：故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>．从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．解：（Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以222a a t+=．由于0t >，故有t = （1）由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知， 直线BC 的方程为1x yc t+=． 又因点A 在直线BC上，故有1a c t+=， 将（1）代入上式，得1a c +=，解得2c a =+（Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为1CDk ====-． 2x =所以直线CD 的斜率为定值．20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：（Ⅰ）ξ的分布列为：（Ⅱ）数学期望为2(162534)228E ξ=⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）所求的概率为5432115()(2)2828P E P ξξξ++++===≥≥．21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++ ，①在①式两端同乘1r +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-1[(1)1](1)n n n dr r a r a r=+--++-． 即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--．如果记12(1)nn a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r+=--，则n n n T A B =+． 其中{}n A 是以12(1)a r dr r ++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列．。
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安徽专升本2007年高数答案2007参考答案一、 单项选择题（每题3分，满分30分）1.A2.C3.D4.B5.C6.B7.A8.C9.B 10.D二、 填空题（每题3分，满分30分） 11. 2t 12.1 13.y=(x+2)e x14. 10(,)y dy f x y dx ⎰ 15. 12 16. 5317. 1)] 18. -219. 9710897-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 20. 35三、计算题（共65分）21.【精析】原式= 0lim x →3·2(sin )x x x x x -=0lim x →32sin x x x- =0lim x →361cos x x- =0lim x →22612x x =12.22. 【精析】由题意可得，'y =-''211,,1(1)y x x =-- '''(4)3412123,,(1)(1)y y x x ⋅⋅⋅==--一般地，可得 ()'(1)!(1)(1)n nn n y x •-=-- 23. 【精析】ln )x x dx ⎰=ln x xdx +⎰=21ln ()2xd x +⎰=211(1)ln 22x x x xdx -+⋅-⎰ =2211arcsin(1)ln .24x x x x C -+-+ 24.【精析】121(x dx -+⎰=121(212x dx -++⎰=11211(21)2x dx dx --++⎰⎰ =103+0 =103. 25. 【精析】由题意可知，此无穷级数的通项公式为 (21)!!,3!n n n a n -=⋅ 则 11(21)!!3!lim lim 3(1)!(21)!!n n n n n na n n a n n ++→∞→∞+⋅=⋅⋅+- =21lim 3(1)n n n →∞++ =23由比值审敛法可知，23ρ=＜1，所以此无穷级数收敛. 26. 【精析】由题意可得，2'01sin (0)lim x x x c x f x ++→+-==01lim(1sin )x c x x x+→+- =1,则C=0. 2'00(0)lim lim()x x ax bx c c f ax b b x ---→→++-==+= 因为''(0)(0)1f f b +-===c=0, b=1, a 为任意常数.27. 【精析】令cos ,x r θ=sin ,y r θ=则其积分区域为1≤r ≤2,0≤θ≤2π, 故2222010r D d e rdr e d ππθθ=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰=22e π.28. 【精析】由题意可知其增广矩阵312~112111121122573225733378400000r r r A ------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2121121100151,00000r r ---⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪⎝⎭从而有{12343421,5 1.x x x x x x -+-=-= 令2142,,x c x c ==则原方程的全部解为{191,12,2115,32.42x C C x C x C x C =--==+=()12,C C 为任意常数29. 【精析】（1）由密度函数为p(x)= x Ae-,则()1p x dx +∞-∞=⎰， 即 0121,;2x xAe dx Ae dx A +∞+∞---∞===⎰⎰则 （2）由（1）可知A=12，则p(x)= 12x e -,有 {}11111()(1)22x P x F F e dx e +∞--<<+∞=+∞-==⎰； （3）1()0,2x E x e dx ξ+∞--∞=⋅=⎰ 21()()2x D x o e dx ξ+∞--∞=-⋅⎰ =20x x e dx +∞-⋅⎰=2四、 证明与应用题（共25分）30. 【证明】令函数22()(1)ln (1)f x x x x =++-，则 '21()(1)2ln(1)ln (1)21f x x x x x x=+⋅+⋅++-+ =22ln(1)ln (1)2x x x +++-=2[ln(1)1]12x x ++--则当x (0,1)∈时，'()0f x <，而(0)0f =，所以()0f x <，即22(1)ln (1)x x x ++<.31. 【证明】 由0k A =（k 为正整数），则21212()()k k k E A E A A A E A A A A A A ---++++=++++----=k E A -因为0,k A =则21()(),k E A E A A A E --++++=所以 E A -可逆，且121().k E A E A A A ---=++++ 32. 【精析】等式2244x y +=两边同时对x 求导，有'820x y y +⋅=，得斜率'4,x k y y==-切设（x,y ）为曲线上任意一点，切线方程为 4()x Y y X x y -=--； 上式中令Y=0，得切线在x 轴上的截距1A X x=，令X=0，得切线在y 轴上的截距4B Y y =（其中注意到2244x y +=）. 故所求面积为 1122(01);242A B S X Y x xy ππ⋅⋅=-=-<< 故2'223/212()(1)x S x x x -=--，令'()S x =0，解得()22x x ==-.由S （x ）的可导性及驻点唯一性可知，2x =是S （x ）的最小值点，所以所求的最小面积为)222S π=-.），此面积为22π-.。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)(数学理)word版含答案
2007年安徽高考卷数学（理科）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分。
(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ）(A)[)+∞∈=,0,)(3x x x f （B ）[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f(C)),(,)(+∞-∞∈=x c x f x(D)),0(,1)(+∞∈=x xx f (2)设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 (3)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1（4）若a 为实数，iai 212++＝－2i ，则a 等于（ ）（A ）2（B ）－2（C ）22 （D ）－22（5）若}{2228xA x -=∈Z ≤<，{2R |log |1}B x x =∈>，则)(C R B A ⋂的元素个数为（ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（6）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，：①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数;③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中正确论断的个数为（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（7）如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为（A ）15-（B ）154-（C ）122- （D ）12-（8）半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ）（A ）)33arccos(-（B ）)36arccos(-（C ）)31arccos(-（D ）)41arccos(-（9）如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3（B ）5（C ）25（D ）31+（10）以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率()P ξμσ-<等于（ ）（A ）)(σμφ+－)(σμφ- （B ）)1()1(--φφ （C ）)1(σμφ- （D ）)(2σμφ-（11）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ） （A ）0（B ）1（C ）3（D ）5二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若(2x 3+x1)n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 .（13）在四面体O －ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，则=（用,,a b c表示）.（14）如图，抛物线y =－x 2+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P 1,P 2,…,P n －1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，Q n －1，从而得到n －1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △Q n－1P n －1P n －1,当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .(15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. 三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分12分）已知0＜a ＜)82cos()(,4πβπ+=x x f 为的最小正周期，),1),41(tan(-+=βa a 求ααβααsin cos )(2sin cos 22-++.(17) (本小题满分14分)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形AB1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.(18) (本小题满分14分)设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.(19) (本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.(20) (本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．．．．的只数.．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.(21) (本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n与T n－1（n≥2）的递推关系式；[来源:学*科*网]（Ⅱ）求证：T n＝A n＋B n，其中｛A n｝是一个等比数列，｛B n｝是一个等差数列.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分．(1) 在下列函数中，反函数是其自身的函数为),0(,)(+∞∈=x xx f ，选D 。
2007年高考试题——数学文(安徽卷)
2007年普通高等学招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
4.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)()(B P A P B A P +=+）（ 2R π4＝S如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()(B P A P B A P ∙=∙）（球的体积公式1+2…+n=21)n(n +2R π34=V++3221…+6)1n 2)(1(n n 2++=其中R 表示球的半径++2321…+4)1(n n n 222+=第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）若}}{{032,122=--===x x x B x x A ，则B A ⋂＝（A ）{}3（B ）{}1（C ）Φ(D) {}1-（2）椭圆1422=-y x 的离心率为（A ）23（B ）43 （C ）22 （D ）32 （3）等差数列{}x a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a == （A ）12 （B ）10（C ）8（D ）6(4)下列函数中,反函数是其自身的函数为(A)),0[,)(2+∞∈=x x x f (B)),(,)(3+∞-∞∈=x x x f (C) ),(,)(3-∞+∞∈=x e x f(D) ),0(,1)(+∞∈=x xx f (5)若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为 (A)-2或2(B)2321或 (C)2或0 (D)-2或0(6)设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面α内，则“l ⊥α”是“l m l n ⊥⊥且”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)图中的图象所表示的函数的解析式为(A)|1|23-=x y (0≤x ≤2) (B) |1|2323--=x y(0≤x ≤2)(C) |1|23--=x y (0≤x ≤2)(D) |1|1--=x y (0≤x ≤2)(8)设a ＞1,且2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则p n m ,,的大小关系为 (A) n ＞m ＞p(B) m ＞p ＞n(C) m ＞n ＞p(D) p ＞m ＞n(9)如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上,点Q 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x =++最小值为 (A)23 (B)154- (C)122- (D)12-(10)把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,折成直二面角后,在A ,B ,C ,D 四点所在的球面上,B 与D 两点之间的球面距离为 (A)22π(B)π(C)2π(D)3π(11)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程f (x )=0在闭区[-T ,T ]上的根的个数记为n ,则n 可能为 (A)0 (B)1 (C)3 (D)52007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学(理科)第Ⅱ卷(非选择题 共95分)注意事项:请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．. 二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 .(13) 在四面体O-ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用a ，b ，c 表示）(14)在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为 . (15)函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象为C ,如下结论中正确的是 (写出所有正确结论的编号). ①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②图象C 关于点)0,32(π对称; ③函数125,12()(ππ-在区间x f )内是增函数;④由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C.三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分10分）解不等式)2)(sin |13(|---x x ＞0.(17) （本小题满分14分）如图,在六面体1111D C B A ABCD -中,四边形ABCD 是边 长为2的正方形,四边形1111D C B A 是边长为1的正方 形,⊥1DD 平面1111D C B A ,⊥1DD 平面ABCD ,.21=DD(Ⅰ)求证:(Ⅱ)求证:平面;1111BDD B ACC A 平面⊥(Ⅲ)求二面角C BB A --1的大小(用反三角函数值表示).第(17)题图（18）（本小题满分14分）设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.（Ⅰ）过点P （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线方程：（Ⅱ）设A 、B 为势物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.(19)(本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔. (Ⅰ)求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率； （Ⅱ）求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率.(20)(本小题满分14分)设函数f （x ）=-cos 2x -4t sin2x cos 2x+4t 2+t 2-3t +4,x ∈R, 其中t ≤1，将f (x )的最小值记为g (t ).(Ⅰ)求g (t )的表达式；(Ⅱ)诗论g (t )在区间（-1,1）内的单调性并求极值.（21）（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1,以后第年交纳的数目均比上一年增加d (d >0),因此，历年所交纳的储备金数目a 1,a 2,…是一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r (r >0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为n (1+r )n -1，第二年所交纳的储备金就变为a 2(1+r )n -2,……，以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额. （Ⅰ）写出T n 与T n-1（n ≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：T n =A n +B n ，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列.2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文史）参考答案（1）若}}{{221{1,1},230{1,3}A x x B x x x ===-=--==-，则B A ⋂＝{}1-，选D 。
2007年安徽省专升本高数试题
安徽省2007年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1．本试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，满分30分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1．下列各结函数中表示同一函数的是 （ ） A ． )tan(arctan )()(x x g x x f ==与 B ．)1lg(2)()1lg()(2+=+=x x g x x f 与C ．11)(1)(2--=+=x x x g x x f 与 D ．22)(22)(+-=+-=x x x g x x x f 与2．设均存在，则及)]()([lim )]()([lim x g x f x g x f ax ax -+→→ ( )A ．不存在存在，)(lim )([lim x g x f ax ax →→ B ．存在不存在，)(lim )(lim x g x f ax ax →→C ．存在存在，)(lim )(lim x g x f ax ax →→ D ．不存在不存在，)(lim )(lim x g x f ax ax →→3．当的是无穷小量时，无穷小量x x x x -→320 ( )A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．低阶无穷小D ．同阶无穷小 4．=+)(2xxe d ( )A ．dx x )12(+B ．dx e x xx ++2)12( C ．dx exx +2D ．)()12(2xxe d x ++5．若函数)(,0)(0)(,)(x f y x f x f b a x f y =>''>'=则曲线且）内有在区间（在此区间内是 ( ) A ．单减且是凹的 B ．单减且是凸的 C ．单增且是凹的 D ．单增且是凸的 6．设⎰=++=)(,11)(x f C xdx x xf 则 ( )A ．xx +1 B ．2)1(1x x +- C ．2)1(1x +- D ．2)1(x x +7．由直线x y x x x y 轴围成的图形绕轴及,1,1=+=轴旋转一周所得的旋转体积为 ( ) A ．π37B ．3πC ．π34 D ．π388．设进行的是矩阵，由下列运算可以为矩阵，为43B 34⨯⨯A （ ）A ．B A + B ．T BAC ．ABD ．TAB9．四阶行列式第二行的元素依次为1,-2,5,3，对应的余子式的值依次为4，3，2，9，则该行列式的值为 （ ）A ．35B ．7C ．-7D ．-35 10．设则有，若概率为互不相容的两个事件,0)(,0)(,>>B P A P B A （ ）A ．0)|(>AB P B ．)()|(A P B A P =C ．)()()(B P A P AB P ⋅=D ．0)|(=B A P二、填空题：本题共10小题，每小题3分，满分30分，把答案填在题中横线上。
2007年高考试题——数学理(安徽卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) S =4Πr 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)+P(B) 球的体积公式1+2+…+n2)1(+n n V =334R π 12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n 其中R 表示球的半径13+23++n 3=4)1(22+n n第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为(A)[)+∞∈=,0,)(3x x x f （B ）[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f(C)),(,)(+∞-∞∈=x c x f x(D)),0(,1)(+∞∈=x xx f (2)设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件(C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 (3)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是(A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1（4）若a 为实数，iai 212++＝－2i ，则a 等于（A ）2（B ）－2（C ）22 （D ）－22（5）若}{2228xA x -=∈Z ≤<，{2R |log |1}B x x =∈>，则)(C R B A ⋂的元素个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（6）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，：①图象C 关于直线π1211=x 对称;②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数;③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中正确论断的个数为 （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（7）如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P的最小值为 （A ）15-（B ）154-（C ）122- （D ）12-（8）半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（A ）)33arccos(-（B ）)36arccos(-（C ）)31arccos(-（D ）)41arccos(- （9）如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A ）3（B ）5（C ）25（D ）31+（10）以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率()P ξμσ-<等于（A ）)(σμφ+－)(σμφ- （B ）)1()1(--φφ （C ）)1(σμφ-（D ）)(2σμφ-（11）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（A ）0（B ）1（C ）3（D ）52007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)第Ⅱ卷(非选择题 共95分)注意事项:请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．. 二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若(2x 3+x1)n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 .（13）在四面体O －ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，则= （用,,a b c 表示）.（14）如图，抛物线y =－x 2+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P1,P 2,…,P n －1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，Q n －1，从而得到n －1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △Q n －1P n －1P n －1,当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 . (15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分12分）已知0＜a ＜)82cos()(,4πβπ+=x x f 为的最小正周期，),1),41(tan(-+=βa a 求ααβααsin cos )(2sin cos 22-++.(17) (本小题满分14分)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.(18) (本小题满分14分)设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.(19) (本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.(20) (本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．．．．．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.(21) (本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以T n表示到第n 年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n与T n－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：T n＝A n＋B n，其中｛A n｝是一个等比数列，｛B n｝是一个等差数列.2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案(1) 在下列函数中，反函数是其自身的函数为),0(,)(+∞∈=x xx f ，选D 。
2007年全国高考数学卷(安徽.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）参考公式：(1)122n n n ++++=L 222(1)(21)126n n n n +++++=L22333(1)124n n n ++++=L第I 卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，则A B =I （ ） Ａ．{}3Ｂ．{}1Ｃ．∅Ｄ．{}1-2．椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ａ．2Ｂ．34Ｃ．2Ｄ．233．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21a =，33a =，则4S =（ ） Ａ．12 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．64．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ） Ａ．2()f x x =，[0)x ∈+∞，Ｂ．3()()f x x x =∈-∞+∞，，Ｃ．()e ()xf x x =∈-∞+∞，，Ｄ．1()f x x=，(0)x ∈+∞，5．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=，则a 的值为（ ） Ａ．2-或2Ｂ．12或32Ｃ．2或0 Ｄ．2-或0 6．设t ，m ，n 均为直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件7．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ） Ａ．312y x =- (02)x ≤≤第7题图Ｂ．33122y x =-- (02)x ≤≤Ｃ．312y x =-- (02)x ≤≤Ｄ．11y x =--(02)x ≤≤8．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =-，log (2)a p a =，则m n p ，，的大小关系为（ ） Ａ．n m p >>Ｂ．m p n >> Ｃ．m n p >> Ｄ．p m n >>9．如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ） Ａ．321-Ｃ．1110．把边长为的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A B C D ，，，四点所在的球面上，B 与D 两点之间的球面距离为（ ）Ｃ．π Ｂ．π2 Ｄ．π311．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．3Ｄ．52007年普通高等学校招生全国统一考试（安微卷）数学（文科）第II 卷（非选择题共95分）注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．12．已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则024135()()a a a a a a ++++的值等于 ．13．在四面体O ABC -中，OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OC c =u u u r，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =u u u r（用a b c ，，表示）14．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为． 15．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 解不等式(311)(sin 2)0x x --->．17．（本小题满分14分） 如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示） 18．（本小题满分14分）设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u rg ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 19．（本小题满分13分）在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔． （I ）求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率；ABCD1A1B1C 1D（II ）求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率． 20．（本小题满分14分） 设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ， 其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ． （I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a L ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，L L ．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文史）参考答案一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｃ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ａ7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ｃ 11．Ｄ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．256-13．111244a b c ++ 14．31115．①②③三、解答题16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．解：因为对任意x ∈R ，sin 20x -<，所以原不等式等价于3110x --<． 即311x -<，1311x -<-<，032x <<，故解为203x <<． 所以原不等式的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解法1（向量法）：以D 为原点，以1DADC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． （Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-==u u u u r u u u r u u u u r u u u r，，，，，，，，，，，∵． 111122AC AC DB D B ==u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，∴． AC u u u r ∴与11AC u u u u r 平行，DB u u u r 与11DB u u u u r 平行， 于是11AC 与AC 共面，11BD 与BD 共面．（Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-=u u u u r u u u r，，，，··，(220)(220)0DB AC =-=u u u r u u u r ，，，，··， 1DD AC ⊥u u u u r u u u r ∴，DB AC ⊥u u ur u u u r ．1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=-u u u r u u u r u u u u r，，，，，，，，． 设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，11120AA x z =-+=u u u r ·n ，111120BB x y z =--+=u u u r n ·．于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ． 设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，122220BB x y z =--+=u u u r m ·，12220CC y z =-+=u u u u r m ·．于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ．1cos 5==，m n m n m n ·． ∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DADC ，的中点，连结11EF A E C F ，，， 有111111A E D D C F D D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，于是11A C EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥， 故11AC AC ∥，11A C 与AC 共面． 过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，， 于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴． ABCD1A1B1C 1DMOEF1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴． 1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥， 根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．过点A 在平面1ABB A 内作1AM B B ⊥于M ，连结MC MO ，， 则1B B ⊥平面AMC ， 于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角．根据勾股定理，有111A A C C B B ==． 1OM B B ⊥∵，有11B O OB OM B B ==·，BM =AM =，CM =． 2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1πarccos 5AMC ∠=-，二面角1A BB C --的大小为1πarccos5-． 18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．解：（I ）设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2xy '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为2000()42x xy x x -=-． 即20424x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上．所以2044x -=-，2016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，， 得2440x kx --=， 由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，24(1)AC k ===+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+． 同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BD k k k +===++≥． 当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．解：以k A 表示恰剩下k 只果蝇的事件(016)k =L ，，，． 以m B 表示至少剩下m 只果蝇的事件(016)m =L ，，，． 可以有多种不同的计算()k P A 的方法．方法1（组合模式）：当事件k A 发生时，第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7k -只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以17287()28kk C k P A C --==． 方法2（排列模式）：当事件k A 发生时，共飞走8k -只蝇子，其中第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前7k -只飞出的蝇子中有6k -只是果蝇，有68kC -种不同的选择可能，还需考虑这7k -只蝇子的排列顺序．所以162688(7)!7()28kk kC C k kP A A ----==g ． 由上式立得163()2814P A ==； 356563()()()()28P B P A A P A P A =+=+=． 20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分． 解：（I ）我们有232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：由此可见，()g t 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭．21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=L12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++L ，①在①式两端同乘1r +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++L②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-L1[(1)1](1)n n n dr r a r a r=+--++-． 即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--．如果记12(1)nn a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r+=--，则n n n T A B =+． 其中{}n A 是以12(1)a r dr r++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列．。
安徽普高专升本统考《高等数学》试题答案解析
安徽省2012年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。
2．答题前将密封线内的项目填写完整。
一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。
共10小题，每小题3分，共30分）1.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0,sin 0,3)(x a xx x e x f x 在0=x 在处连续，则=a （ C ）A. 0B. 1C. 2D. 3解：由)0()00()00(f f f =-=+得231=⇒=+a a ,故选C. 2.当0→x 时，与函数2)(x x f =是等价无穷小的是（ A ） A. )1ln(2x + B. x sin C.x tan D. x cos 1-解：由11ln(lim 1ln()(lim )220)20=+=+→→x x x x f x x ,故选A.3.设)(x f y =可导，则'-)]([x e f =（ D ）A. )(xef -' B. )(x e f -'- C. )(x x e f e --' D. )(x x e f e --'-解：)()()()]([xx x x xe f e e e f e f -----'-='⋅'=',故选D. 4.设x 1是)(x f的一个原函数，则⎰=dx x f x )(3（ B ） A.C x +221 B. C x +-221 C. C x +331 D. C x x +ln 414解：因x 1是)(x f的一个原函数,所以211)(x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛=,所以C x xdx dx x f x +-=-=⎰⎰2321)(故选B. 5.下列级数中收敛的是（ C ）A. ∑∞=-1374n nn n B. ∑∞=-1231n n C.∑∞=132n nn D. ∑∞=121sinn n解：因121)1(lim 2122)1(lim 33313<=+=+∞→+∞→n n n n n n n n ,所以∑∞=132n n n 收敛,故选C. 6.交换⎰⎰⎰⎰+=102121121),(),(y yydx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，则下列各项正确的是（ B ） A. ⎰⎰122),(xx dy y x f dx B.⎰⎰1022),(x x dy y x f dy C.⎰⎰2122),(x x dy y x f dx D.⎰⎰2122),(x x dy y x f dx解：由题意画出积分区域如图:故选B.7.设向量21,αα是非齐次线性方程组AX =b 的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ D ） A.21αα+ B. 21αα- C. 212αα+ D. 212αα-解：因,2)(2121b b b A A A =+=+=+αααα同理得,0)(21=-ααA ,3)2(21b A =+αα,)2(21b A =-αα故选D.8.已知向量)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααk 线性相关,则=k （ D ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 3解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛03002240112125402240112125400021121321k k k k ααα 由于123,,ααα线性相关,所以123(,,)2r ααα≤,因此3=k9.设B A ,为事件，且,2.0)(,4.0)(,6.0)(===AB P B P A P 则=)(B A P （ A ） A.0.2 B. 0. 4 C. 0.6 D. 0.8解: 2.0)]()()([1)(1)()(=-+-=+-=+=AB P B P A P B A P B A P B A P 10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ B ） A.163 B. 207 C. 41 D. 21 解: 由全概率公式得20751415243=⨯+⨯=p二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。
2007—2011年历年安徽高考数学试卷(文、理及答案)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无．．．．．．．．效．。
4．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=PA ．+PB ． S=4лR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）=PA ．+PB ． 球的体积公式1+2+…+n 2)1(+n n V=334R π 12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n 其中R 表示球的半径 13+23++n 3=4)1(22+n n 第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，反函数是其自身的函数为A ．[)+∞∈=,0,)(3x x x f B ．[)+∞∞-∈=,,)(3x x x fC ．),(,)(+∞-∞∈=x e x f xD ．),0(,1)(+∞∈=x xx f 2．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．a ＜-1B ．a ≤1C ． a ＜1D ．a ≥14．若a 为实数，iai212++＝-2i ，则a 等于 A ．2B ．—2C ．22D ．—22 5．若}{8222<≤Z ∈=-x x A ，{}1log R 2>∈=x x B ，则)(C R B A ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 6．函数)3π2sin(3)(-=x x f 的图象为C ， ①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②函灶)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数； ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中，正确论断的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 7．如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为A ．15-B ．154-C ．122-D ．12-8．半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为A ．)33arccos(- B ．)36arccos(-C ．)31arccos(-D ．)41arccos(- 9．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a br a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．25D ．31+10．以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率)(σμξ<-P 等于A ．)(σμφ+-)(σμφ-B ．)1()1(--φφC ．)1(σμφ-D ．)(2σμφ+11．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为A ．0B ．1C ．3D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项：请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2007年高考数学(文、理科)试卷及答案(安徽卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无．．．．．．．．效．。
4．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A+B ）=PA ．+PB ． S=4лR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P （A ·B ）=PA ．+PB ． 球的体积公式 1+2+…+n2)1(+n n V=334R π12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n 其中R 表示球的半径13+23++n 3=4)1(22+n n第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，反函数是其自身的函数为A ．[)+∞∈=,0,)(3x x x fB ．[)+∞∞-∈=,,)(3x x x fC ．),(,)(+∞-∞∈=x e x f xD ．),0(,1)(+∞∈=x xx f2．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．a ＜-1B ．a ≤1C ． a ＜1D ．a ≥1 4．若a 为实数，iai 212++＝-2i ，则a 等于A ．2B ．—2C ．22D ．—225．若}{8222<≤Z ∈=-x x A ，{}1logR 2>∈=x x B ，则)(C RB A ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．36．函数)3π2sin(3)(-=x x f 的图象为C ，①图象C 关于直线π1211=x 对称；②函灶)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数； ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是 A ．0 B ．1C ．2D ．37．如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为A ．15-B ．154-C ．122-D ．12-8．半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为A ．)33arccos(-B ．)36arccos(-C ．)31arccos(-D ．)41arccos(-9．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a br ax 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．25D ．31+10．以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率)(σμξ<-P 等于A ．)(σμφ+-)(σμφ-B ．)1()1(--φφC ．)1(σμφ-D ．)(2σμφ+11．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为A ．0B ．1C ．3D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项：请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2007年高考试题——数学理(安徽卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) S =4Πr 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)+P(B) 球的体积公式1+2+…+n2)1(+n n V =334R π 12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n 其中R 表示球的半径13+23++n 3=4)1(22+n n第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为(A)[)+∞∈=,0,)(3x x x f （B ）[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f(C)),(,)(+∞-∞∈=x c x f x (D)),0(,1)(+∞∈=x xx f (2)设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件(C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 (3)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是(A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1（4）若a 为实数，iai 212++＝－2i ，则a 等于（A ）2（B ）－2（C ）22 （D ）－22（5）若}{2228xA x -=∈Z ≤<，{2R |log |1}B x x =∈>，则)(C R B A ⋂的元素个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（6）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，：①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数; ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中正确论断的个数为 （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（7）如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P的最小值为 （A ）15-（B ）154-（C ）122- （D ）12-（8）半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（A ）)33arccos(- （B ）)36arccos(- （C ）)31arccos(-（D ）)41arccos(-（9）如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A ）3（B ）5（C ）25（D ）31+（10）以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率()P ξμσ-<等于（A ）)(σμφ+－)(σμφ- （B ）)1()1(--φφ （C ）)1(σμφ-（D ）)(2σμφ-（11）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（A ）0（B ）1（C ）3（D ）52007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)第Ⅱ卷(非选择题 共95分)注意事项:请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．. 二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若(2x 3+x1)n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 .（13）在四面体O －ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用,,a b c 表示）.（14）如图，抛物线y =－x 2+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P1,P 2,…,P n －1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，Q n －1，从而得到n －1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △Q n －1P n －1P n －1,当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 . (15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分12分）已知0＜a ＜)82cos()(,4πβπ+=x x f 为的最小正周期，),1),41(tan(-+=βa a 求ααβααsin cos )(2sin cos 22-++.(17) (本小题满分14分)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.(18) (本小题满分14分)设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.(19) (本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.(20) (本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．．．．．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.(21) (本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以T n表示到第n 年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n与T n－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：T n＝A n＋B n，其中｛A n｝是一个等比数列，｛B n｝是一个等差数列.2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案(1) 在下列函数中，反函数是其自身的函数为),0(,)(+∞∈=x xx f ，选D 。
2007年高考数学真题(安徽卷)(数学理)
绝密 ★ 启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试 （安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无．．．．．．．．效．。
4．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24π=S R 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式1+2+…+n=(1)2n n + V=343R π 2212++…+2(1)(21)6n n n n++=其中R 表示球的半径22333(1)124n n n ++++=…第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，反函数是自身的函数为A ．2(),[0,)f x x x =∈+∞ B ．3(),(,)f x x x =∈-∞+∞C ．(),(,)x f x e x =∈-∞+∞D ．1(),(0,)f x x x=∈+∞ 2．设l ，m,n 均为直线，其中m,n 在平面a 内，则“l a ⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意x R ∈，不等式|x|ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1a <-B ．|a|1≤C ．|a|<1D ．a 1≥4．若a=，则a 等于AB．C．D．-5．若{}2|228XA x Z -=∈≤<，{}2log 1B x R x =∈>，则()R A B ⋂ð的元素个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C ，①图象C 关于直线1112x π=对称； ②函数()f x 在区间(12π-，5)12π内是增函数； ③由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ． 以上三个论断中，正确论断的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．37．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y ⎧-+≥⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为A1-B41-C．1- D1-8．半径为1的球面上的四点A ，B ，C ，D 是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为A ．arc cos 3⎛- ⎪⎝⎭B ．arc cos 6⎛- ⎪⎝⎭C ．1arc cos 3⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1arc cos 4⎛⎫-⎪⎝⎭9．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为A B C D ．1+10．以()x Φ表示标准正态总体在区间),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()ξμσP -<等于A ．()()μσμσΦ+-Φ-B ．()()11Φ-Φ-C ．1μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭D ．()2μσΦ+11．定义在R 上的函数f （x ）既是奇函数，又是周期函数．T 是它的一个正周期。
2007年高考数学试题(安徽.理)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第I 卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ） A ．2()[0)f x x x =∈+∞，，B ．3()()f x x x =∈-∞+∞，，C ．()e ()x f x x =∈-∞+∞，，D ．1()(0)f x x x=∈+∞，， 2．设l m n ，，均为直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <- B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥4．若a=，则a 等于（ ）AB ．C ．D ．-5．若22{228}{lo g 1}xA xB x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则()A B R ð的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．函数()3sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象为C ， ①图象C 关于直线1112x =π对称； ②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是增函数； ③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 以上三个论断中，正确论断的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．37．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ） A1B1- C．1 D18．半径为1的球面上的四点A B C D ，，，是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ）A．arccos ⎛ ⎝⎭B．arccos ⎛ ⎝⎭C ．1arccos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1arccos 4⎛⎫-⎪⎝⎭9．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(00)x ya b a b -=>>， 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ） ABC．2D．110．以()x ∅表示标准正态总体在区间()x -∞，内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布2()N μσ，，则概率()P ξμσ-<等于（ ）A ．()()μσμσ∅+-∅-B ．(1)(1)∅-∅-C ．1μσ-⎛⎫∅⎪⎝⎭D ．2()μσ∅+11．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．52007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）第9题图数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．12．若32nx ⎛+ ⎝的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．13．在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =（用，，a b c 表示）．14．如图，抛物线21y x =-+与x 轴的正半轴交于点A ， 将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为121n P P P - ，，，， 过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 121n Q Q Q - ，，，，从而得到1n -个直角三角形11Q OP △，212121n n n Q PP Q P P --- △，，△．当n →∞时，这些三角形 的面积之和的极限为 ．15．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 1(cos 2)4αβα⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，a b ，且 a b m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值． 17．（本小题满分14分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为 2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面 1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．CD1A1B1C 1Dyx1Q 2Q1n Q +21y x =+1P 2P2n P - 1n P - O第14题图（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示）． 18．（本小题满分14分）设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． 19．（本小题满分12分）如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ．（Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +求证：直线CD 的斜率为定值． 20．（本小题满分13分）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的2x第19题图 第17题图只数．（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望E ξ； （Ⅲ）求概率()P E ξξ≥．21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+， ．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｂ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｄ 10．Ｂ 11．Ｄ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．713．111244++a b c 14．1315．①③④⑤三、解答题16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分． 解：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=．因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭a b ··． 故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·． 由于π04α<<，所以 222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·．17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．解法1（向量法）： 以D 为原点，以1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-==，，，，，，，，，，，∵． 111122AC AC DB D B ==，∴． AC ∴与11AC 平行，DB 与11DB 平行， 于是11AC 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-= ，，，，··， (220)(220)0DB AC =-= ，，，，··， 1DD AC ⊥ ∴，DB AC ⊥．1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=- ，，，，，，，，． 设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，11120AA x z =-+= n ·，111120BB x y z =--+= n ·．于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ． 设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，122220BB x y z =--+= m ·，12220CC y z =-+= m ·．于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ． 1cos 5==，m n m n m n ·． ∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DADC ，的中点，连结11EF A E C F ，，， 有111111A E D DC FD D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，于是11AC EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥，故11AC AC ∥，11AC 与AC 共面． 过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，ABCD1A1B1C 1DMOE F则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，， 于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴． 1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴．1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ． （Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥， 根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．过点A 在平面11ABB A 内作1AM BB ⊥于M ，连结MC MO ，， 则1B B ⊥平面AMC ， 于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角．根据勾股定理，有111A A C C B B =． 1OM B B ⊥∵，有11B O OB OM B B ==·BM =AM =CM = 2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1πarccos 5AMC ∠=-，二面角1A BB C --的大小为1πarccos5-． 18．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22()10x F x x x x-'=-=>，， 列表如下：故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x>时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．解：（Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OAt =，所以222a a t +=．由于0t >，故有t = （1）由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知， 直线BC 的方程为1x yc t+=． 又因点A 在直线BC 上，故有1a c t+=， 2x =将（1）代入上式，得1a c +=，解得2c a =+（Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为1CD k ====-．所以直线CD 的斜率为定值．20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：（Ⅰ）ξ的分布列为：（Ⅱ）数学期望为2(162534)228E ξ=⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）所求的概率为5432115()(2)2828P E P ξξξ++++===≥≥．21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++ ，①在①式两端同乘1r +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]nn n n n rT a r d r r r a --=++++++++-1[(1)1](1)n n n dr r a r a r=+--++-．即1122(1)n n a r d a r d d T r n r r r ++=+--． 如果记12(1)n n a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r +=--， 则n n n T A B =+．其中{}n A 是以12(1)a r d r r ++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，d r-为公差的等差数列．。
2007全国高考文科数学试题及答案安徽
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第I 至第2页，第II 卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第II 卷时，必须用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上．．．．．书写．在试题卷上作答无．．．．．．．．效．． 4．考试结束，监考员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么球的体积公式(1)122n n n ++++=34π3V R =222(1)(21)126n n n n +++++=其中R 表示球的半径22333(1)124n n n ++++=第I 卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，则A B =（ ）Ａ．{}3Ｂ．{}1Ｃ．∅Ｄ．{}1-2．椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ａ．32Ｂ．34Ｃ．22Ｄ．233．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21a =，33a =，则4S =（ ） Ａ．12 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．64．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ） Ａ．2()f x x =，[0)x ∈+∞，Ｂ．3()()f x x x =∈-∞+∞，，Ｃ．()e ()xf x x =∈-∞+∞，，Ｄ．1()f x x=，(0)x ∈+∞， 5．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为（ ） Ａ．2-或2Ｂ．12或32Ｃ．2或0 Ｄ．2-或0 6．设t ，m ，n 均为直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 7．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）Ａ．312y x =- (02)x ≤≤Ｂ．33122y x =-- (02)x ≤≤Ｃ．312y x =-- (02)x ≤≤Ｄ．11y x =--(02)x ≤≤8．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =-，log (2)a p a =，则m n p ，，的大小关系为（ ）Ａ．n m p >>Ｂ．m p n >> Ｃ．m n p >> Ｄ．p m n >>9．如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ） Ａ．32Ｂ．415-Ｃ．221-Ｄ．21-10．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A B C D ，，，四点所在的球面上，B 与D 两点之间的球面距离为（ ）Ａ．2π Ｃ．π Ｂ．π2 Ｄ．π311．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）Ａ．0Ｂ．1 Ｃ．3 Ｄ．532yx1 2O第7题图2007年普通高等学校招生全国统一考试（安微卷）数学（文科）第II 卷（非选择题共95分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．12．已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则024135()()a a a a a a ++++的值等于 ．13．在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =（用a b c ，，表示）14．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为． 15．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 解不等式(311)(sin 2)0x x --->．17．（本小题满分14分） 如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示） 18．（本小题满分14分）设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．ABCD1A1B1C 1D（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 19．（本小题满分13分）在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔． （I ）求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率； （II ）求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率． 20．（本小题满分14分） 设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ， 其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ． （I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文史）参考答案一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｃ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ａ7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ｃ 11．Ｄ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．256-13．111244a b c ++ 14．31115．①②③三、解答题16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．解：因为对任意x ∈R ，sin 20x -<，所以原不等式等价于3110x --<． 即311x -<，1311x -<-<，032x <<，故解为203x <<． 所以原不等式的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解法1（向量法）：以D 为原点，以1DADC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． （Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-==，，，，，，，，，，，∵． 111122AC AC DB D B ==，∴． AC ∴与11AC 平行，DB 与11DB 平行， ABCD1A1B1C 1D xyz于是11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面．（Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-=，，，，··，(220)(220)0DB AC =-=，，，，··， 1DD AC ⊥∴，DB AC ⊥．1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=-，，，，，，，，． 设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，11120AA x z =-+=·n ，111120BB x y z =--+=n ·．于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ． 设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，122220BB x y z =--+=m ·，12220CC y z =-+=m ·．于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ．1cos 5==，m n m n m n ·． ∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DADC ，的中点，连结11EF A E C F ，，， 有111111A E D D C F D D DE DF ==，，，∥∥． ABCD1A1B1C 1DMOEF11A E C F ∴∥，于是11A C EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥， 故11AC AC ∥，11A C 与AC 共面． 过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，， 于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴． 1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴．1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥， 根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．过点A 在平面1ABB A 内作1AM B B ⊥于M ，连结MC MO ，， 则1B B ⊥平面AMC ， 于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角． 根据勾股定理，有111556A A C C B B ===，，． 1OM B B ⊥∵，有1123B O OB OM B B ==·，23BM =，103AM =，103CM =．2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1πarccos 5AMC ∠=-，二面角1A BB C --的大小为1πarccos5-． 18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．解：（I ）设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2xy '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为2000()42x xy x x -=-． 即20424x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上．所以2044x -=-，2016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+． 点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=， 由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，2222212121212()()1()44(1)AC x x y y k x x x x k =-+-=++-=+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+． 同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BD k k k +===++≥． 当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：以k A 表示恰剩下k 只果蝇的事件(016)k =，，，． 以m B 表示至少剩下m 只果蝇的事件(016)m =，，，． 可以有多种不同的计算()k P A 的方法．方法1（组合模式）：当事件k A 发生时，第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7k -只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以17287()28kk C k P A C --==． 方法2（排列模式）：当事件k A 发生时，共飞走8k -只蝇子，其中第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前7k -只飞出的蝇子中有6k -只是果蝇，有68kC -种不同的选择可能，还需考虑这7k -只蝇子的排列顺序．所以162688(7)!7()28kk kC C k kP A A ----==． 由上式立得163()2814P A ==； 356563()()()()28P B P A A P A P A =+=+=． 20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分． 解：（I ）我们有232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：t121⎛⎫-- ⎪⎝⎭，12- 1221⎛⎫- ⎪⎝⎭， 12 112⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()g t ' +-+()g t极大值12g ⎛⎫-⎪⎝⎭极小值12g ⎛⎫⎪⎝⎭由此可见，()g t 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++，①在①式两端同乘1r +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-1[(1)1](1)n n n dr r a r a r=+--++-． 即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--．如果记12(1)nn a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r+=--，则n n n T A B =+． 其中{}n A 是以12(1)a r dr r++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以11 12a r d d r r +--为首项，d r -为公差的等差数列．。
[精简]2007年高考数学试题安徽卷(理科)
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n 13+23++n 3=4)1(22+n n 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为(A)[)+∞∈=,0,)(3x x x f （B ）[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f (C)),(,)(+∞-∞∈=x c x f x(D)),0(,1)(+∞∈=x xx f (2)设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件(C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件(3)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是(A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1（4）若a 为实数，iai212++＝－2i ，则a 等于 （A ）2 （B ）－2（C ）22 （D ）－22 （5）若}{2228x A x -=∈Z ≤<，{2R |log |1}B x x =∈>，则)(C R B A ⋂的元素个数为（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3 （6）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，： ①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数; ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中正确论断的个数为 （A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3 （7）如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P的最小值为（A ）15- （B ）154- （C ）122- （D ）12-（8）半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（A ）)33arccos(- （B ）)36arccos(- （C ）)31arccos(-（D ）)41arccos(-（9）如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（A ）3 （B ）5 （C ）25 （D ）31+（10）以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率()P ξμσ-<等于（A ）)(σμφ+－)(σμφ-（B ）)1()1(--φφ （C ）)1(σμφ-（D ）)(2σμφ- （11）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）5二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.(12)若(2x 3+x 1)n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 .（13）在四面体O －ABC 中，,,,OA a OB b OC c D === 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则= （用,,a b c 表示）.（14）如图，抛物线y =－x 2+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P1,P 2,…,P n －1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，Q n －1，从而得到n －1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △Q n －1P n －1P n －1,当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .(15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）.①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（16）（本小题满分12分）已知0＜a ＜)82cos()(,4πβπ+=x x f 为的最小正周期，),1),41(tan(-+=βa a 求ααβααsin cos )(2sin cos 22-++.(17) (本小题满分14分)如图，在六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.（Ⅰ）求证：A1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面；（Ⅱ）求证：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1；（Ⅲ）求二面角A －BB1－C 的大小（用反三角函数值表示）.(18) (本小题满分14分)设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.（Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.(19) (本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.(20) (本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．．．．．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.(21) (本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n与T n－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：T n＝A n＋B n，其中｛A n｝是一个等比数列，｛B n｝是一个等差数列.。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽文)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第I 至第2页，第II 卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第II 卷时，必须用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上．．．．．书写．在试题卷上作答无．．．．．．．．效．． 4．考试结束，监考员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A B ，相互独立，那么 球的体积公式222(1)(21)126n n n n +++++=其中R 表示球的半径第I 卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，则A B =（ ）Ａ．{}3Ｂ．{}1Ｃ．∅Ｄ．{}1-2．椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ｂ．34Ｃ．2Ｄ．233．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21a =，33a =，则4S =（ ） Ａ．12 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．64．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ）Ａ．2()f x x =，[0)x ∈+∞， Ｂ．3()()f x x x =∈-∞+∞，，Ｃ．()e ()xf x x =∈-∞+∞，，Ｄ．1()f x x=，(0)x ∈+∞，5．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=，则a 的值为（ ） Ａ．2-或2Ｂ．12或32Ｃ．2或0Ｄ．2-或06．设t ，m ，n 均为直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 7．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）Ａ．312y x =- (02)x ≤≤Ｂ．33122y x =-- (02)x ≤≤Ｃ．312y x =-- (02)x ≤≤Ｄ．11y x =--(02)x ≤≤8．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =-，log (2)a p a =，则m n p ，，的大小关系为（ ） Ａ．n m p >>Ｂ．m p n >> Ｃ．m n p >> Ｄ．p m n >>9．如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ） Ａ．321-Ｃ．1110．把边长为的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A B C D ，，，四点所在的球面上，B 与D 两点之间的球面距离为（ ）Ｃ．π Ｂ．π2 Ｄ．π311．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．3Ｄ．52007年普通高等学校招生全国统一考试（安微卷）数学（文科）第II 卷（非选择题共95分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．第7题图12．已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则024135()()a a a a a a ++++的值等于 ．13．在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =（用a b c ，，表示）14．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为． 15．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 解不等式(311)(sin 2)0x x --->．17．（本小题满分14分） 如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示） 18．（本小题满分14分）设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 19．（本小题满分13分）在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两ABCD只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔． （I ）求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率； （II ）求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率． 20．（本小题满分14分） 设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ， 其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ． （I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文史）参考答案一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｃ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ａ7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ｃ 11．Ｄ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．256-13．111244a b c ++ 14．31115．①②③三、解答题16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．解：因为对任意x ∈R ，sin 20x -<，所以原不等式等价于3110x --<． 即311x -<，1311x -<-<，032x <<，故解为203x <<．所以原不等式的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解法1（向量法）：以D 为原点，以1DADC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有11(200)(220)(020)(102)(11A B C A B ，，，，，，，，，，，，，（Ⅰ）证明：1111(110)(220)AC AC D B =-=-=，，，，，，∵111122AC AC DB D B ==，∴． AC ∴与11AC 平行，DB 与11DB 平行， 于是11AC 与AC 共面，11BD 与BD 共面．（Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-=，，，，··，(220)(220)0DB AC =-=，，，，··， 1DD AC ⊥∴，DB AC ⊥．1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=-，，，，，，，，． 设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，11120AA x z =-+=·n ，111120BB x y z =--+=n ·．于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ． 设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，122220BB x y z =--+=m ·，12220CC y z =-+=m ·．于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ．1cos 5==，m n m n m n ·． ∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DA DC ，的中点，连结11EF A E C F ，，，有111111A E D D C F D D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，于是11A C EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥， 故11AC AC ∥，11A C 与AC 共面． 过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，， 于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴． 1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴． 1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．ABCD又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥， 根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．过点A 在平面1ABB A 内作1AM B B ⊥于M ，连结MC MO ，， 则1B B ⊥平面AMC ， 于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角．根据勾股定理，有111A A C C B B ==． 1OM B B ⊥∵，有11B O OB OM B B ==·，BM =AM =，CM =． 2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1πarccos 5AMC ∠=-，二面角1A BB C --的大小为1πarccos5-． 18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．解：（I ）设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2xy '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为2000()42x xy x x -=-． 即20424x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2044x -=-，2016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=， 由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，24(1)AC k ===+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+． 同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BD k k k+===++≥． 当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：以k A 表示恰剩下k 只果蝇的事件(016)k =，，，． 以m B 表示至少剩下m 只果蝇的事件(016)m =，，，． 可以有多种不同的计算()k P A 的方法．方法1（组合模式）：当事件k A 发生时，第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7k -只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以17287()28kk C k P A C --==． 方法2（排列模式）：当事件k A 发生时，共飞走8k -只蝇子，其中第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前7k -只飞出的蝇子中有6k -只是果蝇，有68kC -种不同的选择可能，还需考虑这7k -只蝇子的排列顺序．所以162688(7)!7()28kk kC C k kP A A ----==．由上式立得163()2814P A ==； 356563()()()()28P B P A A P A P A =+=+=． 20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分． 解：（I ）我们有23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，．由此可见，()g t 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭．21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++，①在①式两端同乘1r +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-1[(1)1](1)n n n dr r a r a r=+--++-． 即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--．如果记12(1)nn a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r+=--，则n n n T A B =+． 其中{}n A 是以12(1)a r dr r++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列．。
2007年高考试题——数学理(安徽卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) S =4Πr 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)+P(B) 球的体积公式1+2+…+n2)1(+n n V =334R π 12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n 其中R 表示球的半径13+23++n 3=4)1(22+n n第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为(A)[)+∞∈=,0,)(3x x x f （B ）[)+∞∞-∈=,,)(3x x x f(C)),(,)(+∞-∞∈=x c x f x (D)),0(,1)(+∞∈=x xx f (2)设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件(C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 (3)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是(A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1（4）若a 为实数，iai 212++＝－2i ，则a 等于（A ）2（B ）－2（C ）22 （D ）－22（5）若}{2228xA x -=∈Z ≤<，{2R |log |1}B x x =∈>，则)(C R B A ⋂的元素个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（6）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，：①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数; ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中正确论断的个数为 （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（7）如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P的最小值为 （A ）15-（B ）154-（C ）122- （D ）12-（8）半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（A ）)33arccos(-（B ）)36arccos(-（C ）)31arccos(-（D ）)41arccos(-（9）如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A ）3（B ）5（C ）25（D ）31+（10）以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率()P ξμσ-<等于（A ）)(σμφ+－)(σμφ- （B ）)1()1(--φφ （C ）)1(σμφ-（D ）)(2σμφ-（11）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（A ）0（B ）1（C ）3（D ）52007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)第Ⅱ卷(非选择题 共95分)注意事项:请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．. 二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若(2x 3+x1)n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 .（13）在四面体O －ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用,,a b c表示）.（14）如图，抛物线y =－x 2+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P1,P 2,…,P n －1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，Q n －1，从而得到n －1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △Q n －1P n －1P n －1,当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 . (15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分12分）已知0＜a ＜)82cos()(,4πβπ+=x x f 为的最小正周期，),1),41(tan(-+=βa a 求ααβααsin cos )(2sin cos 22-++.(17) (本小题满分14分)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.(18) (本小题满分14分)设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.(19) (本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.(20) (本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．．．．．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.(21) (本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以T n表示到第n 年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n与T n－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：T n＝A n＋B n，其中｛A n｝是一个等比数列，｛B n｝是一个等差数列.2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案(1) 在下列函数中，反函数是其自身的函数为),0(,)(+∞∈=x xx f ，选D 。
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安徽省2007年普通高等学校专升本招生考试
高等数学
注意事项：
1．本试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，满分30分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1．下列各结函数中表示同一函数的是 （ ） A ． )tan(arctan )()(x x g x x f ==与 B ．)1lg(2)()1lg()(2+=+=x x g x x f 与
C ．1
1)(1)(2
--=
+=x x x g x x f 与 D ．2
2)(2
2)(+-=
+-=
x x x g x x x f 与
2．设均存在，则及)]()([lim )]()([lim x g x f x g x f a
x a
x -+→→ ( )
A ．不存在存在，)(lim )([lim x g x f a
x a
x →→ B ．存在不存在，)(lim )(lim x g x f a
x a
x →→
C ．存在存在，)(lim )(lim x g x f a
x a
x →→ D ．不存在不存在，)(lim )(lim x g x f a
x a
x →→
3．当的是无穷小量
时，无穷小量
x x x x -
→3
2
0 ( )
A ．高阶无穷小
B ．等价无穷小
C ．低阶无穷小
D ．同阶无穷小 4．=+)(2
x
x
e d ( )
A ．dx x )12(+
B ．dx e x x
x ++2
)12( C ．dx e
x
x +2
D ．)()12(2
x
x
e d x ++
5
．
若
函
数
)(,0)(0)(,)(x f y x f x f b a x f y =>''>'=则曲线且）内有在区间（在此区间内
是 ( ) A ．单减且是凹的 B ．单减且是凸的 C ．单增且是凹的 D ．单增且是凸的 6．设⎰=++=)(,11)(x f C x
dx x xf 则 ( )
A ．
x
x +1 B ．2
)
1(1x x +- C ．
2
)
1(1x +- D ．
2
)
1(x x +
7．由直线x y x x x y 轴围成的图形绕轴及,1,1=+=轴旋转一周所得的旋转体积
为 ( ) A ．π37
B ．
3
π
C ．π3
4 D ．π3
8
8．设进行的是矩阵，由下列运算可以为矩阵，为43B 34⨯⨯A （ ）
A ．
B A + B ．T BA
C ．AB
D ．T
AB
9．四阶行列式第二行的元素依次为1,-2,5,3，对应的余子式的值依次为4，3，2，9，则该行列式的值为 （ ）
A ．35
B ．7
C ．-7
D ．-35 10．设则有，若概率为互不相容的两个事件
,0)(,0)(,>>B P A P B A （ ）
A ．0)|(>A
B P B ．)()|(A P B A P =
C ．)()()(B P A P AB P ⋅=
D ．0)|(=B A P
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，满分30分，把答案填在题中横线上。
11．由参数方程==⎩
⎨⎧-=+=dx
dy x y y t t y t x 则
所确定的函数
),(arctan )
1ln(2_____________.
12．的值等于]ln )1[ln(lim n n n n -+∞
→________ .
13．微分方程2|0==-'=x x y e y y 满足初始条件的特解为___________.
14．设⎰
⎰
==
10
2
,),(x x
I dy y x f dx I 改换积分次序后，
___________.
15．幂级数=+∑
∞
=R x n n n
n
的收敛半径
1
1
22
__________.
16．设=∂∂+
∂∂==++=y
u x
u y x y x u 时，，当1)1ln(32__________.
17．
⎰=++
dx x 1
11_________.
18．矩阵_________231
111
211
的值等于，则的秩为x x ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--.
19．设矩阵方程=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛==X B A B XA 则其中,01
2001
,95
74,_________.
20．设随机变量ξ的分布列为,5,4,3,2,1,15
)(==
=ξk k k P 则概率=>ξ)3(P .
三、计算题：本大题共9个小题，其中第21-27小题每题7分，第28-29小题每题8分，共65分。
解答应写出文字说明，计算应写出必要的演算步骤。
21．求极限⎰
⎰-→x x x dt
t t t dx
t
2
/30
)sin (lim
2
.
22．求函数阶导数的n x y )1ln(-=.
23．计算不定积分⎰+-dx x x x
x ）（ln 212
.
24.计算定积分⎰-++1
122)1(dx x x .
25．判别无穷级数 +⨯⨯⨯⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯⨯+
⨯⨯+12
96375319
635316
33131的敛散性.
26．设函数.,,00
01sin )(22
的值处可导，求常数
在c b a x x c bx ax x x x x x f =⎪⎩
⎪⎨⎧≤++>+=
27．计算二重积分⎰⎰
≤+≤=+D
y
x y x y x D dxdy e
}41|),{(,2
2
2
2
其中.
28．求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-4
8733375221
24321
43214321x x x x x x x x x x x x .
29．设随机变量ξ密度函数为.,)(+∞<<-∞=-x Ae x p x 求：（1）常数A ; （2）ξ落在（ ，∞）内的概率；
（3）数学期望E ξ,方差D ξ
四、证明与应用题：本大题共3小题，第30-31题每题8分，第32题9分，共25分。
30．证明：当2
2)1(ln )1()1,0(x x x x <++∈时，.
31．设，为正整数满足阶方阵)(k O A A n k =
证明:1
)(---），并求（阶单位阵为可逆A E n E A E .
32．在第一象限内，求曲线上一点1222=+y x 使在该点处的切线与曲线及两个坐轴所围成的面积最小，并求最小值.。