人教版必修1高一数学教案：第三章单元复习
高一数学必修一复习教案
高一数学必修一复习教案高一数学必修一复习教案11.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数(function).记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A}叫做函数的值域(range).注意：1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”○;2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f 乘x. ○2. 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3.区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示.4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论(由学生完成，师生共同分析讲评)(二)典型例题1.求函数定义域说明：1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定。
○2 如果只给出解析式y=f(x)，○而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. ○2.判断两个函数是否为同一函数说明：1构成函数三个要素是定义域、○对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，○而与表示自变量和函数值的字母无关。
判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，说明理由?(1)f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1(2)f ( x ) = x; g ( x ) = x2(3)f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2(4)f ( x ) = | x | ;g ( x ) =(三)课堂练习求下列函数的定义域(1)f(x)x2 1 x|x|(2)f(x) 111x(3)f(x)x24x5(4)f(x)(5)f(x)4x2 x1x26x10(6)f(x)x x3 1十一、归纳小结，强化思想从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
高一数学第三章数列教案新人教版必修1
第三章数列3.1 数列第一课时●自学导引1.数列、数列的项：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项.2.数列的通项公式：如果数列｛a n｝的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.3.数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图来表示一个数列，图象是一些孤立的点.4.根据数列的项数可以把数列分为有穷数列和无穷数列.5.数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1，2，…，n｝)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.●思考导学1.简述数列与数集的区别.【答】数列强调数列中的项是有顺序的，数列中的项可以是相等的，与数集中的无序性和互异性是不同的.2.每个数列是否都存在通项公式？【答】并不是每个数列都能写出数列的通项公式，比如：正整数中的质数按从小到大的顺序排列构成的数列2，3，5，7，11，13，17，……至今为止也无人能够写出它的一个通项公式；当然有穷数列一定有通项公式并且可以用项数n 的多项式表示. ●典例剖析［例1］根据所给数列的前六项，试写出数列的一个通项公式(1)1，3，5，7，9，11，……；(2)1，－2，3，－4，5，－6，……；(3)9，99，999，9999，99999，999999，……；【解】 (1)a n =2n －1(2)a n =(－1)n +1n (3)a n =10n－1［例2］在数列{a n }中a 1=3,a 10=21,通项公式是项数的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式，并求a 2003.(2)若b n =a 2n 求数列{b n }的通项公式.【解】 (1)设a n =An +B ，由已知：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+1221103B A B A B A 解得 ∴a n =2n +1则a 2003=2×2003+1=4007(2)b n =a 2n =2(2n )+1=4n +1【点评】 求a 2n 即将a n =2n +1中的n 换成2n ，实际上是求出了数列{a n }中偶数项按原来的顺序排列构成的新数列的通项公式.还可考虑求a 2n －1、a 2n +1、a 3n +4等等.［例3］已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2－9n +20 (1)试问2是否是数列{a n }中的项？(2)若a n ≤0，求n . 【解】 (1)令n 2－9n +20=2，即n 2－9n +18=0解得n =3或n =6即2为数列{a n }中的第3项或第6项. (2)由a n ≤0即n 2－9n +20≤0(n －4)(n －5)≤0∴4≤n ≤5又n ∈N *∴n =4或n =5.【点评】 解关于n 的方程或不等式要注意应在正整数范围内求解. ●随堂训练1.数列1，0，1，0，1，……的一个通项公式是A.a n =2)1(11+--nB.a n =2)1(11+-+n C.a n =21)1(--n D .a n =2)1(1n---【解析】将数列{21}与{2)1(1+-n }对应项相加得到的数列即是.【答案】B2.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项【解析】可观察所给数列的通项公式是a n =13-n ，由5213=-n 得n =7【答案】B3.已知a n =n 2+n ,那么 A.0是数列中的一项 B.21是数列中的一项C.702是数列中的一项D.30不是数列中的一项【解析】由n 2+n =702即n 2+n －702=0得：n =26或n =－27(舍去)【答案】C 4.函数f (n )=2)1()1(+-n n 当自变量依次取正整数1，2，3，…，n ,…时对应的函数值，以数列形式表示为 A.－1,1,－1,1 B.－1,－1,1,1,－1,－1C.－1,－1,1,1,－1,－1,…，2)1()1(+-n nD.－1,－1,1,1,－1,－1,…，2)1()1(+-n n ，…【解析】显然数列{f (n )}为无穷数列【答案】D5.已知数列｛a n ｝的通项公式a n ＝)2(1+n n (n ∈N*)，那么1201是这个数列的第______项. 【解析】令a n =1201即1201)2(1=+n n ,得n =10，或n =－12(舍去)【答案】106.已知数列{a n }的通项公式为a n =9n (32)n，则此数列的前4项分别为______.【解析】a 1=6,a 2=8,a 3=8,a 4=964【答案】6，8，8，964●强化训练1.数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是 A.a n =2n －1 B.a n =2n －1C.a n =2nD.a n =2n +1【解析】∵1=20，2=21，4=22，8=23，16=24,32=25∴a n =2n －1【答案】B2.数列1，1，2，2，3，3，4，4，……，的一个通项公式是( )A.a n =22)1(11+-++n nB.a n =⎪⎩⎪⎨⎧为偶数为奇数n n n n 2C.a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+为偶数为奇数n n n n 21 21D.a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-为偶数为奇数n n n n 221【解析】将1，0 ，1，0，1，0，…与1，2，3，4，5，6，…数列对应相加得到的数列为2，2，4，4，6，6，…∴a n =22)1(11+-++n n 【答案】A3.数列1544,433,322,21，……的一个通项公式是A.a n =12+n nB.a n =122++n n nC.a n =112+++n n nD.a n =122++n nn 【解析】 a 1=121=1+21 a 2=232=2+32 a 3=343=3+43 a 4=454=4+54 ……∴a n =n +1212++=+n nn n n 【答案】B4.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2－8n +15,则3 A.不是数列{a n }中的项B.只是数列{a n }中的第2项C.只是数列{a n }中的第6项D.是数列{a n }中的第2项或第6项【解析】令a n =3,即n 2－8n +15=3解得n =2,或n =6【答案】D5.数列,177,73,115,21,53……的一个通项公式是______.【解析】a 1=175,14673,115,8421,535432======a a a a , ∴a n =232++n n 【答案】a n =232++n n6.数列0，1，0，2，0，3，……的一个通项公式是______. 【解析】可以看作由a n =2)1(1n-+与a n =2n 对应项之积构成的数列，因此数列0,1,0,2,0,3,……的一个通项公式为a n =4)1(1n-+·n 【答案】4)1(1n-+·n7.根据数列的前n 项写出数列的一个通项公式.(1)2，2，4，4，6，6，……(2)1618,816,414,212，……(3)1，716,59,34--，……(4)a ,b ,a ,b ,a ,b ,……【解】 (1)a n =2)1(11+-+n +n(2) a n =2n +n21(3)a n =(－1)n +1122-n n (4)a n=1)1(22+--++n b a b a 8.已知数列{a n }的通项公式是a n =2+230200nn-，问1和32是不是数列{a n }中的项.如果是,那么是第几项？【解】 令a n =2+230200nn-=1，整理得:n 2－30n +200=0，即(n －10)(n －20)=0,∴n =10或n =20∴1是数列{a n }的第10项或第20项；令a n =2+230200nn-=32,即30n 2+30n －200=0整理得3n 2+3n －20=0，方程在N*中无解.∴32不是数列{a n }中的项. 9.在数列{a n }中，a 1=2,a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)88是否是数列{a n }中的项.【解】 (1)设a n =An +B ,由a 1=2,a 17=66 得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=+24,66172B A B A B A 解得∴a n =4n －2(2)令a n =88,即4n －2=88得n =245∉N *∴88不是数列{a n }中的项.10.若数列{a n }的通项为a n =－2n 2+13n ，画出它在x 轴上方的图象，请根据图象求出a n 的最大值；并在同一坐标系中画出函数f (x )=－2x 2+13x 的图象，根据图象求出f (x )的最大值，并与a n 的最大值进行比较.【解】 令a n ＞0即－2n 2+13n ＞0,解得：0＜n ＜213,又n ∈N *∴n =1,2,3,4,5,6;a 1=11,a 2=18,a 3=21,a 4=20,a 5=15,a 6=6a n 的最大值为a 3=21,f (x )的最大值为2181,当n 取距413最近的正整数时，a n 取得最大值.(图象为孤立的点，略) ●学后反思观察数列的前n 项归纳出数列的一个通项公式是这堂课的难点.复杂的数列要把项“分解”开(如：分子、分母、符号等)，再找它们与项号n 的关系.为把握起见，可给求出的通项公式中的n 赋值来验证公式的正确性. ●教学建议本节重点是数列的概念和通项公式，难点是根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式.教学中需用函数的观点解释数列的概念和通项公式，加深对通项公式的理解，通过例题和练习让学习接触较多的具体数列，帮助学生分析观察数列的项与项数的对应关系，进而归纳出通项公式. 第二课时 ●自学导引1.如果已知数列｛a n ｝的第一项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.2.若a n +1＞a n 对任意的正整数n 都成立，则数列｛a n ｝可称为递增数列；若a n+1＜a n对任意的正整数n都成立，则数列｛a n｝可称为递减数列；若a n+1=a n对任意的正整数n都成立，则数列｛a n｝可称为常数列.●思考导学1.数列的递推公式的两个要素是什么？【答】首先要提供首项(或前几项)；再就是要给递推关系即任一项a n可用a n－1(或前几项)表示.2.简述数列递推公式与通项公式的关系.【答】数列递推公式与通项公式都能确定数列，但用通项公式求数列中的项，或判断一个数是否是数列中的项更为方便，因此我们需要考虑能否利用数列的递推公式求出数列的通项公式等问题.●典例剖析［例1］已知数列{a n}满足a n+1=2a n+1，n∈N*(1)若a1=－1，写出此数列的前4项,并推测数列的通项公式.(2)若a1=1,写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式.【解】 (1)a1=a2=a3=a4=－1，可推测数列{a n}的通项公式a n=－1.(2)a1=1,a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7，a4=2×7+1=15.可推测数列{a n}的通项公式为a n=2n－1.【点评】数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项(基础)两个因素所确定的，既便递推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列.［例2］已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=αa n+β，且a2=3，a4=15，求常数α,β的值.【解】 由a 1=1,a n +1=αa n +β知a 2=αa 1+β即α+β=3 ①a 3=αa 2+β=3α+β a 4=αa 3+β=3α2+αβ+β即3α2+αβ+β=15 ②解得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==6312βαβα或 【点评】 本题就是用待定系数法解决了递推关系中的系数.当然还可以继续解决已知递推公式，求数列的通项公式等问题.［例3］已知数列{a n }的通项公式为a n =)1(1+n n (1)求证{a n }为递减数列，(2)若S n =a 1+a 2+…+a n ，求数列{a n }的前n 项和S n . (1)【证明】 a n +1－a n =)2)(1(2)1(1)2)(1(1++-=+-++n n n n n n n∵n ∈N *,∴a n +1－a n ＜0，即a n +1＜a n ∴数列{a n }为递减数列. (2)∵a n =111)1(1+-=+n n n n ∴S n =a 1+a 2+…+a n =+⨯+⨯321211…+)1(1+n n =)3121()211(-+-+…+)111(+-n n =1－111+=+n nn 【点评】 本题给出了证明数列为递增(或递减)数列和求数列前n 项和的方法.可注意证明数列为递增(或递减)数列与证明函数单调性的联系和区别. ●随堂训练1.在数列{a n }中，a 1=31,a n =(－1)n·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于A.－316B.316C.－38 D.38【解析】由a 1=31,a n =(－1)n·2a n －1得 a 2=32,a 3=－34,a 4=－38,a 5=316【答案】B2.在数列{a n }中，a 1=2,a 2=5,且a n +1=a n +2+a n ，则a 6的值为A.－3B.－11C.－5D.19【解析】由a 1=2,a 2=5又a n +1=a n +2+a n 即a n +2=a n +1－a n ∴a 3=3,a 4=－2,a 5=－5,a 6=－3【答案】A3.已知a n +1=a n +3，则数列{a n }是A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列【解析】由a n +1=a n +3，即a n +1－a n =3＞0知，数列{a n }为递增数列.【答案】A4.已知数列{a n }满足a 1＞0，且a n +1=21a n ,则数列{a n }是 A.递增数列 B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】由a 1＞0,且a n +1=21a n 则a n ＞0 又211=+n n a a ＜1∴a n +1＜a n 因此数列{a n }为递减数列.【答案】B5.已知f (1)=2,f (n +1)=21)1(+f (n ∈N *)，则f (4)=______. 【解析】f (2)=2321)1(=+f f (3)=45212321)2(=+=+ff (4)=89214521)3(=+=+f 【答案】896.设凸n 边形的对角线条数为f (n ),则f (3)=______;f (n +1)=______(用f (n )表示).【解析】显然f (3)=0f (n +1)=f (n )+(n －1)【答案】0 f (n )+n －1 强化训练1.已知数列{a n }的首项，a 1=1,且a n =2a n －1+1(n ≥2),则a 5为A.7B.15C.30D.31【解析】由a 1=1,且a n =2a n －1+1(n ≥2)得：a 2=3,a 3=7,a 4=15,a 5=31【答案】D2.数列｛－2n 2+29n +3｝中最大项的值是A.107B.108C.10881D.109【解析】∵－2n2+29n +3=－2(n －429)2+8292+3,又n ∈N *，故当n =7时，a n 最大，即最大项的值为a 7=－2×72+29×7+3=108.【答案】B 3.数列1，3，6，10，15，……的递推公式是 A.⎩⎨⎧∈+==+*`,111N n n a a a n n B.⎩⎨⎧≥∈+==-2*,,111n N n n a a a n nC.⎩⎨⎧≥∈++==+2*,),1(111n N n n a a a n nD.⎩⎨⎧∈-+==-*),1(111N n n a a a n n【解析】a 1=1a 2=a 1+2a 3=a 2+3……a n =a n －1+n 【答案】B4.若数列{a n }满足a 1=21,a n =1－11-n a ,n ≥2，n ∈N *,则a 2003等于A.21 B.－1 C.2D.1【解析】由a 1=21,a n =1－11-n a 知a 2=－1,a 3=2,a 4=21∴a 2003=a 3×667+2=…=a 5=a 2=－1【答案】B5.已知数列{a n }的递推公式为⎪⎩⎪⎨⎧+==+12111n n n a a a a n ∈N *,那么数列{a n }的通项公式为______. 【解析】由a 1=1,且a n +1=12+n na a 知a 2=31,a 3=51,a 4=71∴a n =121-n 【答案】a n =121-n6.设{a n }是首项为1的正项数列，且(n +1)·a n +12－na n 2+a n +1a n =0(n =1,2,3,…),则它的通项公式是______.【解析】由已知(n +1)a n +12－na n 2+a n +1a n =0知n (a n +12－a n 2)+a n +1(a n +1+a n )=0∴n (a n +1－a n )+a n +1=0即(n +1)a n +1=na n 整理得11+=+n na a n n ∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-=---)1(21)2( 12)1( 112211n a a n n a a n n a a n n n n(1)×(2)×…×(n －1) 得n a a n 11=又a 1=1,∴a n =n1.【答案】a n =n1.7.已知数列{a n }中a 1=1,a n +1=n a n n1+.(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式.【解】 (1)由a 1=1,a n +1=n a n n 1+得a 2=21,a 3=31,a 4=41,a 5=51 (2)可推测数列{a n }的通项公式为a n =n1.8.已知数列{a n }中，a 1=a 2=1，且a n =a n －1+a n －2(n ≥3,n ∈N *)设b n =1+n na a .(1) 求证：b n +1=nb +11,n ∈N *(2)求数列{b n }的前5项.(1)【证明】 b n +1=nn n n n a a a a a +=++++1121=nn n b a a +=++11111(2)【解】 由b 1=21a a =1∴b 2=21，b 3=32,b 4=53,b 5=85 9.已知数列｛a n ｝的递推公式是a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，a 2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛a n ｝的通项公式. 【解】由a 1=1,a 2=3,a n +2=3a n +1－2a n 得a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×1＝7 a 4＝3 a 3－2a 2＝3×7－2×3＝15 a 5＝3a 4－2a 3＝3×5－2×7＝31……可推测a n ＝2n－1.10.数列｛a n ｝满足：a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，求a 2003. 【解】 由a 1＝3，a 2＝6，a n +2=a n +1－a n ，得a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3 a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3 a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6a 6＝a 5－a 4＝－6－(－3)＝－3 a 7＝a 6－a 5＝－3－(－6)＝3 a 8＝a 7－a 6＝3－(－3)＝6 ……a 2003＝a 6×333＋5＝a 5＝－6.●学后反思利用数列的递推公式可求出数列中的任何一项，它和数列的通项公式一样是可以确定一个数列的，和通项公式比较，用通项公式求数列中的某一项或判断一个数是否是数列中的某一项比用递推公式更直接、更方便. ●教学建议可引导学生考虑已知递推公式，求通项公式的问题，但不宜过难、要循序渐进，可通过递推公式求项，发现数列的规律和性质，如数列可能是常数列、递增数列、递减数列、循环数列等等，激发学生的学习兴趣，引导学生观察问题、发现问题、解决问题，在以后的学习中还要注意数列的递推公式与数学归纳法之间的联系等等.3.2 等差数列第一课时●自学导引1.等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，用式子可表示为a n－a n－1＝d(n≥2，d是与n无关的常数)，则数列｛a n｝叫做等差数列.2.等差数列的单调性：等差数列的公差d＞0时，数列为递增数列；d＜0时，数列为递减数列；d＝0时，数列为常数列.等差数列不会是摆动数列.3.等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，它是用不完全归纳法得出来的.4.如果a,A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.●思考导学1.试判断等差数列的递增和递减性.【答】由等差数列的定义知a n+1－a n=d,当d＞0时a n+1＞a n即{a n}为递增数列；当d =0时，a n +1=a n 即{a n }为常数列； 当d ＜0时，a n +1＜a n 即{a n }为递减数列. 2.等差数列通项公式的特征.【答】 等差数列的通项公式为关于项数n 的次数不高于一次的多项式函数即a n =An +B (若{a n }为常数列时,A =0). ●典例剖析［例1］已知数列｛a n ｝为等差数列，且a 5＝11，a 8＝5，求a n . 【解】 设数列｛a n ｝的公差为d ，由等差数列的通项公式及已知得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=+219,57114111d a d a d a 解得所以a n ＝19＋(n －1)(－2)，即a n ＝－2n ＋21. 【点评】 先根据两个独立的条件解出两个量a 1和d ，进而再写出a n 的表达式.几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程组的重要应用.［例2］已知数列｛a n ｝为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p ，且p ≠q ，求a p ＋q .【解】 d ＝1-=--=--qp pq qp a a q p a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q －q ＝0 【点评】 等差数列公差的计算，可利用d ＝nm a a n m -- (m ≠n )，而等差数列的通项公式可写为a n ＝a k ＋(n －k )d .［例3］数列｛a n ｝各项的倒数组成一个等差数列，若a 3=31，a 5=71，求数列{a n }的通项公式. 【解】 设b n =na 1和{b n }成等差数列，其公差设为d 则b 3=71,31553===a b a ∴d =3535--b b =2∴b n =b 3+(n －3)d =3+2(n －3)=2n －3∴a n =3211-=n b n 【点评】 可观察出递推关系为a n +1=Ca Ca n n+的数列的倒数构成的数列即为等差数列，可通过求na 1进而求出a n .●随堂训练1.数列｛a n ｝的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n 的等差数列【解析】a n －a n －1＝2n ＋5－［2(n －1)＋5］＝2(n ≥2)【答案】A2.a ,b ,c 都是实数，那么“2b =a +c ”是“a ，b ，c 成等差数列”的A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a ,b ,c 成等差数列⇔b －a =c －b ⇔2b =a +c 【答案】C 3.在等差数列{a n }中，a 2=－5,d =3，则a 1为A.－9B.－8C.－7D.－4【解析】由已知a n =a 2+(n －2)d ∴a 1=a 2－d =－5－3=－8【答案】B 4.已知等差数列{a n }的前3项依次为a －1,a +1,2a +3，则此数列的通项a n 为A.2n －5B.2n －3C.2n －1D.2n +1【解析】由已知2(a +1)=(a －1)+(2a +3)整理得a =0∴a 1=－1,a 2=1,d =a 2－a 1=2a n =a 1+(n －1)d =2n －3 【答案】B5.在等差数列{a n }中，若a 3=50,a 5=30，则a 7=______. 【解法一】 d=3550303535--=--a a =－10∴a 7=a 3+(7－3)d =50－40=10 【解法二】 由2a 5=a 3+a 7得a 7=2a 5－a 3=2×30－50=10【答案】10 6.在－1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则a =______,b =______.【解析】d =14)1(8---=3∴a =－1+3=2,b =2+3=5【答案】2 5 ●强化训练1.已知m 、p 为常数，设命题甲：a 、b 、c 成等差数列；命题乙：ma +p ,mb +p ,mc +p 成等差数列，那么甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a 、b 、c 成等差数列⇔2b =a +c ⇒2(mb +p )=(ma +p )+(mc +p )【答案】A2.已知数列{a n }中a 3=2,a 7=1，又数列{11+n a }为等差数列，则a 11等于A.0B.21C.37 D.－1 【解析】∵{11+n a }为等差数列∴24137111137=-+-+a a241)3(11113⋅-++=+n a a n ∴3224118311111=⋅+=+a∴a 11=21【答案】B3.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D. 38＜d ≤3【解析】由已知a 10＞0，且a 9≤0即⎩⎨⎧≤++080911d a d a 将a 1=－24代入解得38＜d ≤3【答案】D4.在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，则a 2+a 8等于A.45B.75C.180D.300 【解析】由已知a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，即5a 1+20d =450 即a 1+4d =90a 2+a 8=2a 1+8d =2(a 1+4d )=180【答案】C5.如果等差数列{a n }的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第______项.【解析】在等差数列{a n }中，a 5=5,a 10=－5 ∴d =555510510--=--a a =－2 a n =a 5+(n －5)d =5+(n －5)(－2)=15－2n令a n ＜0，即15－2n ＜0，n ＞215，又n ∈N *∴n =8,9,10……因此，数列中的第一个负数项是第八项即a 8. 【答案】八6.已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为______.【解析】由已知得,222423911⎩⎨⎧-=+=+d a d a 解得⎩⎨⎧-==3501d a ∴a n ＝50＋(n －1)(－3)＝－3n ＋53. 【答案】a n ＝－3n ＋537.判断下列数列是否是等差数列.(1)a n ＝4n －3 (2)a n ＝n 2＋n 【解】 (1)∵a n +1－a n =［4(n +1)－3］－(4n －3)=4∴{a n }为等差数列(2)由a n =n 2+n 知a 1=2,a 2=6,a 3=12a 2－a 1≠a 3－a 2∴{a n }不构成等差数列.8.已知数列{a n }满足a n +12=a n 2+4，且a 1=1,a n ＞0，求a n .【解】 由a n +12=a 2n +4即a n +12－a n 2=4∴数列{a n 2}构成等差数列.a n 2=a 12+(n －1)d =12+(n －1)·4=4n －3 又a n ＞0∴a n =34-n9.若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，求2412b b a a --的值.【解】 设两个等差数列的公差分别为d 1、d 2，即求21d d ，由已知得⎩⎨⎧+=+=2154d x y d x y 即,5421⎩⎨⎧-=-=xy d xy d 解得4521=d d ，即453412=--b b a a10.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=12+n na a (1)求数列的前4项.(2)推测数列的通项公式并证明.【解】 (1)a 1=1；a 2=31；a 3=51；a 4=71 (2)由a 1=1,a n +1=12+n n a a 得nn a a 1211+=+,即2111=-+n n a a ∴{na 1}构成等差数列111a a n =+(n －1)d =1+2(n －1)=2n －1∴a n =121-n ●学后反思等差数列是一类特殊的数列，反映出的特殊规律是定义，等差数列的通项公式涉及到四个量a 1、a n 、n 、d ，用方程的观点知三求一.列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法.当已知a 、b 、c 成等差数列时，通常采用2b =a +c 作为解决问题的出发点.●教学建议通过对等差数列定义和通项公式的学习，要让学生明确一般等差数列是由两个条件来确定，其基本量是首项和公差.可根据学生的具体情况介绍通项公式的作用和等差数列通项公式的灵活使用方法. 第二课时 ●自学导引 1.如果a n +1=22++n n a a 对任意的正整数n 都成立，则数列｛a n ｝是等差数列.2.(1)若｛a n ｝是等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k 、l 、m 、n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(2)若｛a n ｝是等差数列，公差为d ，则｛a 2n ｝也是等差数列，公差为2d .(3)若｛a n ｝是等差数列且公差为d ，则｛a 2n －1＋a 2n ｝也是等差数列，公差为4d .(4)若｛a n ｝、｛b n ｝都是等差数列，则｛pa n ＋q b n ｝也是等差数列. ●思考导学1.如何证明三个数a 、b 、c 成等差数列？【答】根据等差数列的定义：a 、b 、c 成等差数列即b －a =c －b 2c a b +=⇔.2.如何使用等差数列的通项公式？【答】 可根据任意不同的两项求出公差d =nm a a nm --,又可推出a n =a k +(n －k )d .●典例剖析［例1］在等差数列｛a n ｝中，(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13； (2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .【解】 (1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，得4a 13＝48 ∴a 13＝12(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17解⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=⋅413134,175252525252a a a a a a a a 或得∴d ＝34132525-=--a a ＝3或d ＝31342525-=--a a ＝－3【点评】等差数列｛a n ｝中最基本的量是首项a 1和公差d ，利用性质解决等差数列问题较为简单方便，当然利用已知条件列出关于a 1、d 的方程问题总是可以解决的.［例2］若ba a c cb +++1,1,1成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列.【证明】 由已知得ac b a c b +=+++211a c b a c b c a b +=++++⇒2))((2⇒(2b +a +c )(c +a )=2(b +c )(a +b )⇒a 2+c 2=2b 2,则a 2,b 2,c 2成等差数列.【点评】若a +b ,b +c ,c +a 均不为零，逆命题也成立.同学们自证. ［例3］已知四个数构成等差数列，前三个数的和为6，第一个数和第四个数的乘积为4，求这四个数.【解】 设所求的四个数分别为a －d ,a ,a +d ,a +2d .根据已知条件由①得a =2,将a =2代入②整理得d 2－d =0，∴d =0或d =1因此所求的四个数分别为2，2，2，2或1,2,3,4.【点评】 要根据四个数成等差数列，而前三个数的和已知去设未知量、布列方程，可使未知量的个数较少并且解方程的过程较为简单. ●随堂训练1.a n +2+a n =2a n +1(n ∈N *)是数列{a n }构成等差数列的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件① ②⎩⎨⎧=+-=+++-4)2)((6)()(d a d a d a a d a【解析】a n +2+a n =2a n +1(n ∈N *)⇔a n +2－a n +1=a n +1－a n (n ∈N *)⇔a 2－a 1=a 3－a 2=a 4－a 3=…=a n +1－a n⇔{a n }成等差数列【答案】C2.设数列｛a n ｝、｛b n ｝都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于A.0B.37C.100D.－37【解析】设｛a n ｝、｛b n ｝的公差分别为d 1、d 2∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2∴｛a n ＋b n ｝为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100∴a 37＋b 37＝100【答案】C3.lg x 、lg y 、lg z 成等差数列是y 2=xz 成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】lg x ,lg y ,lg z成等差数列⇔2lg y =lg x +lg z ⇒lg y 2=lg(xz )⇒y 2=xz【答案】A4.已知｛a n ｝为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝___________. 【解析】设b 1＝a 15，b 2＝a 30，b 3＝a 45，b 4＝a 60，b 5＝a 75 ∴b 5＝b 1＋1414--b b ·4＝8＋3820-·4＝24，即a 75＝24.【答案】24 5.在等差数列｛a n ｝中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，则a m ＝___________. 【解析】a m ＝22BA a a n m n m +=+-+.【答案】2BA +●强化训练1.△ABC 三内角A 、B 、C 成等差数列是∠B =3π成立的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】⎩⎨⎧=++成等差数列C B A C B A \\π⎪⎩⎪⎨⎧==++⇔⎪⎩⎪⎨⎧+==++⇔32πππB C B A CA B C B A 【答案】C2.若等差数列的各项依次递减，且a 2a 4a 6=45,a 2+a 4+a 6=15，则数列{a n }的通项公式为A.2n －3B.－2n +3C.－2n +13D.2n +9【解析】由a 2+a 4+a 6=15,即3a 4=15,a 4=5代入a 2a 4a 6=45得a 2a 6=9，又a 2+a 6=10∴a 6=1,a 2=9∴d =2626--a a =－2∴a n =a 2+(n －2)d =9+(n －2)(－2)=－2n +13【答案】C3.已知等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9等于A.30B.27C.24D.21【解析】a 3+a 6+a 9=2(a 2+a 5+a 8)－(a 1+a 4+a 7)=2×33－39=27【答案】B 4.已知数列{a n }满足a 1=1,a n =2211+--n n a a ，则下列结论中不成立的是A.{na 1 }成等差数列 B.a n =12+n C.{a n }成等差数列 D.{a n }不成等差数列【解析】∵a 1=1,a n =2211+--n n a a ∴a 2=32,a 3=21a 2－a 1≠a 3－a 2∴{a n }不成等差数列.【答案】D5.数列{a n }为等差数列，a 2与a 6的等差中项为5,a 3与a 7的等差中项为7，则数列的通项a n 等于______.【解析】由已知a 4=5,a 5=7∴d =2,a n =a 4+(n －4)d =5+2(n －4)=2n －3【答案】2n －36.等差数列{a n }中，若a 3+a 5=a 7－a 3=24,则a 2=______. 【解析】由已知⎩⎨⎧=-=+24243753a a a a 又a 5=273aa +∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=+30624483733773a a a a a a 解得∴d =376303737--=--a a =6a 2=a 3－d =0【答案】07.已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四数.【解】 设所求四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d依题意可得⎩⎨⎧+-=++-=++++-+-))((18)3)(3(94)3()()()3(2222d a d a d a d a d a d a d a d a整理得:⎪⎩⎪⎨⎧==+18894204222d d a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2723272327232723a d a d a d a d 或或或 ∴所求四个数分别为－1，2，5，8或－8,－5,－2,1或8,5,2,－1或1,－2,－5,－8.8.已知ca b 111与是的等差中项，求证cba a cb bc a +++与是的等差中项.【证明】 由已知c a b 112+=,即acca b +=2ac c bc ab a c b a a c b 22+++=+++=bc a ac c a ac c a c a b )(2)()11(222+=+=+++∴cba a cb bc a +++与是的等差中项. 9.已知数列{a n }是等差数列，b n =a n +12－a n 2，求证{b n }也是等差数列. 【证明】 ∵{a n }成等差数列∴a n +1－a n =db n +1－b n =(a n +22－a n +12)－(a n +12－a n 2)=d (a n +2+a n +1)－d (a n +1+a n )=d (a n +2－a n )=2d 2∴{b n }数列构成等差数列.10.已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4－14-n a (n ≥2)，令b n =21-n a ,(1)求证数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)【证明】 a n +1－2=2－n n n a a a )2(24-=∴2121)2(2211-+=-=-+n n n n a a a a (n ≥1)故2121211=---+n n a a (n ≥1)即b n +1－b n =21 (n ≥1)∴数列{b n }是等差数列.(2)【解】 ∵{21-n a }是等差数列∴221)1(21211nn a a n =⋅-+-=-∴a n =2+n2∴数列{a n }的通项公式a n =2+n2●教学建议要能够利用等差数列的定义、等差中项的概念及“通项公式”解决等差数列中的有关计算和证明问题，要适当地向学生介绍等差数列的性质和推导证明方法，要通过性质在计算和证明中的应用，让学生逐步体会等差数列性质在解决问题过程中的作用.§3.3 等差数列的前n 项和第一课时 ●自学导引1.等差数列｛a n ｝的前n 项和S n =2)(1n a a n +=na 1+d n n 2)1(-. 2.若数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，则数列｛a n ｝为等差数列. ●思考导学1.在推导等差数列前n 项和公式的过程中使用的等差数列的性质是什么？【答】 在推导等差数列前n 项和公式的过程中，使用的等差数列的性质是：到两端等距离的两项的和为一常数,即当m +n =k +l ，m 、n 、k 、l ∈N 时a m +a n =a k +a l .2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n 如何用S n 表示？【答】 可以和一般数列一样已知前n 项和S n 求通项a n =S n －S n －1(n ≥2)对于等差数列a n =1212)12)((2121121-⋅-+=+--n n a a a a n n =1212--n S n ●典例剖析［例1］在等差数列｛a n ｝中，a 4=0.8,a 11=2.2,求a 51+a 52+…+a 80. 【解】 由等差数列的通项公式得⎩⎨⎧=+=+2.2108.0311d a d a ,解得a 1=0.2,d =0.2.∴a 51＋a 52+…+a 80=S 80－S 50 =80a 1+d a d 2495050279801⨯--⨯=30a 1+1935d =30×0.2+1935×0.2=393.【点评】 本题求解分两个层次，首先由已知求出a 和d ，再将所求转化为S 80－S 50，这是解题的关键.［例2］根据数列｛a n ｝的前n 项和公式，判断下列数列是否是等差数列.(1)S n ＝2n 2－n (2)S n ＝2n 2－n ＋1【解】 (1)a 1＝S 1＝1 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－n )－［2(n －1)2－(n －1)］＝2(2n －1)－1＝4n －3∵n =1 时也成立，∴a n ＝4n －3 a n ＋1－a n ＝［4(n ＋1)－3］－［4n －3］＝4∴｛a n ｝成等差数列(2)a 1＝S 1＝2 a 2＝S 2－S 1＝5 a 3＝S 3－S 2＝9 ∵a 2－a 1≠a 3－a 2 ∴｛a n ｝不是等差数列.【点评】 已知S n ，求a n ，要注意a 1＝S 1，当n ≥2时a n ＝S n －S n －1， 因此a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n .［例3］已知等差数列｛a n ｝满足：S p ＝q ，S q ＝p ，求S p ＋q (其中p ≠q ).【解】 由已知S p ＝q ，S q ＝p 得pa 1＋q d p p =-2)1( ①qa 1＋p d q q =-2)1( ② ①－②整理得2)1(21dq p a -++＝－1∴dq p q p a q p S q p 2)1)(()(1-++++=+＝(p ＋q )2)1(21dq p a -++＝－(p ＋q )【点评】 本问题即是在a 1、d 、n 、a n 、S n 中知三求二问题，但在解方程的过程中体现出了较高的技巧；也可考虑设S ＝An 2＋Bn 去求解.●随堂训练1.在等差数列｛a n ｝中，S 10=120,那么a 1+a 10的值是A.12B.24C.36D.48【解析】根据已知条件10a 1＋2910⨯d ＝120，即2a 1＋9d ＝24∴a 1＋a 10＝2a 1＋9d ＝24【答案】B2.在等差数列｛a n ｝中，若S 12=8S 4,则da 1等于A.109 B.910 C.2 D.32 【解析】由已知得12a 1+66d =32a 1+48d ,∴20a 1=18d ,∴1091=d a .【答案】A3.在等差数列｛a n ｝和｛b n ｝中，a 1=25,b 1=75,a 100+b 100=100,则数列｛a n +b n ｝的前100项的和为A.0B.100C.1000D.10000【解析】易知数列｛a n ＋b n ｝是等差数列，其首项a 1＋b 1＝100，S 100＝2)100100(100+＝10000.【答案】D4.一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么 A.它的首项是－2，公差是3 B.它的首项是2，公差是－3C.它的首项是－3，公差是2D.它的首项是3，公差是－2【解析】由已知⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+3223310411d a d a ,即⎩⎨⎧=+=+110411d a d a 【答案】A5.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n +5,则a 6+a 7+a 8=______.【解析】a 6+a 7+a 8=S 8－S 5=(82+2×8+5)－(52+2×5+5)=45【答案】45 6.在等差数列｛a n ｝中，已知a 11=10,则S 21=______. 【解析】a 1+a 21=2a 11=20.∴S 21=220212)(21211⨯=+a a =210.【答案】210 ●强化训练1.数列{a n }是等差数列的一个充要条件是 A.S n =an 2+bn +c B.S n =an 2+bn C.S n =an 2+bn +c (a ≠0)D.S n =an 2+bn (a ≠0)【解析】由{a n }为等差数列S n =na 1+n da n d d n n )2(22)1(12-+=-=an 2+bn .【答案】B2.等差数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+n ，那么它的通项公式是 A.a n =2n －1 B.a n =2n +1C.a n =4n －1 D.a n =4n +1【解析】a 1=S 1=3 当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(2n 2+n )－［2(n －1)2+(n －1)］=4n －1【答案】C3.已知数列{a n }的前n 项和为S n =4n 2－n +2,则该数列的通项公式为 A.a n =8n +5(n ∈N *) B.a n =⎩⎨⎧∈≥-=*).,2(58),1(5N n n n n .C.a n =8n +5(n ≥2)D.a n =8n －5(n ≥1). 【解析】a 1=S 1=5当n ≥2时a n =S n －S n －1=(4n 2－n +2)－［4(n －1)2－(n －1)+2］=8n －5【答案】B4.数列1，41,41,41,41,31,31,31,21,21，…的前100项的和为A.13149B.131411C.14141D.14143 【解析】由1+2+…+n ＜100即n (n +1)＜200得n ≤13当n =13时，2)1(+n n =91∴（1++++++3131312121…+)131+=13+149【答案】A 5.在等差数列{a n }中，a 2+a 5=19，S 5=40，则a 10=______.【解析】由已知：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+402455195211d a d a 即⎩⎨⎧=+=+82195211d a d a 解得：⎩⎨⎧==321d a ∴a 10=a 1+9d =2+9×3=29【答案】296.在等差数列｛a n ｝中，a 1：a 3=1∶3，且S 5＝45，则a 4＝______. 【解析】a 3=3a 1，S 5＝2252)(5351a a a ⋅=+＝5a 3＝45，∴a 3=9，a 1=3,∴d =21 (a 3－a 1)=3,∴a 4=12.【答案】127.一个有n 项的等差数列，前四项和为26，末四项和为110，所有项之和为187，求项数n ..【解】 由已知a 1+a 2+a 3+a 4+a n －3+a n －2+a n －1+a n =136∴4(a 1+a n )=136即a 1+a n =34又S n =2)(1na a n +即17n =187∴n =11.8.已知数列{a n }满足a 1=0，a n +1+S n =n 2+2n (n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和，求此数列的通项公式.【解】 a 1=0，由a n +1+S n =n 2+2n (n ∈N *)知a 2=3S n +1=n 2+2n (n ∈N *)S n =(n －1)2+2(n －1)当n ≥2时a n =S n －S n －1=2n－1∴a n =⎩⎨⎧≥-=2 ,121,0n n n9.已知等差数列{a n }中，d =21,a n =23,S n =－215，求a 1及n . 【解】 由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-+2152)1(23)1(11d n n na d n a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=--=4)1(215212311n n na n a ∴42152422nn n n ---=- 8n －2n 2=－30－n 2+n ∴n 2－7n －30=0∴(n －10)(n +3)=0，又n ∈N *∴n =10,a 1=－310.已知两个等差数列｛a n ｝、｛b n ｝，它们的前n 项和分别是S n 、S n ′，若1332'-+=n n S S nn ,求99b a .【解法一】 ∵2a 9=a 1+a 17,2b 9=b 1+b 17,∴S 17=2)(17171a a +=17a 9,S 17′=2)(17171a a +=17b 9,∴503711733172171799=-⨯+⨯==S S b a .【解法二】 ∵｛a n ｝、｛b n ｝是等差数列，∴可设S n =An 2+Bn ,S n ′=A ’n 2+B ′n (A 、B 、A ′、B ′∈R ),∵nn nn n n S S n n -+=-+=23321332',进而可设S n =(2n 2+3n )t ,S n ′=(3n 2－n )t (t ∈R ,t ≠0),∴a n =S n －S n －1=(2n 2+3n )t －［2(n －1)2+3(n －1)t ］=(4n +1)t ,∴a 9＝37t .同理可得b n =S n ′－S n －1′=(3n 2－n )t －［3(n －1)2－(n －1)］t =(6n －4)t , ∴b 9=50t ,∴503799=b a . ●学后反思对于等差数列的计算和证明问题要灵活地应用等差数列的定义、等差中项和等差数列的通项公式、前n 项和公式；这也是证明和使用等差数列性质的基础.●教学建议在适当学习等差数列性质的基础上，引导学生推导等差数列的前n 项和公式，要重视教学过程.在此基础上明确等差数列前n 项和公式两种形式(S n =2)(1n a a n +、S n =d n n na 2)1(1-+)的作用和功能，可通过函数的观点进一步加深对等差数列的认识.第二课时●自学导引1.等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，那么数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ……(k ∈N *)成等差数列，公差为k 2d .2.在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值.若a 1＜0,d ＞0，则S n 存在最小值. ●思考导学1.等差数列前n 项和公式的特征是什么？【答】 等差数列的前n 项和公式是关于项数n 的一个不高于二次的常数项为零的多项式函数即S n =An 2+Bn (若{a n }为常数列，则A =0；若a n =0，则A =B =0).2.在什么情况下，等差数列的前n 项和存在最值？【答】 在等差数列{a n }中，(1)若a 1＞0,d ＜0，则S n 存在最大值； (2)若a 1＜0,d ＞0，则S n 存在最小值. ●典例剖析［例1］在等差数列{a n }中，共有3m 项，前2m 项的和为100，后2m 项的和为200，求中间m 项的和. 【解法一】 由已知②－①整理得：d =250m ,代入①可得;a 1=225m∴S 2m－S m =m (a 1+md )+2)1(-m m d=m (75502)1()502522=-++mm m m m 【解法二】 由已知S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 成等差数列 即2(S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m ) 又由已知S 2m =100,S 3m －S m =200∴S 2m －S m =43004)(23=+-m m m S S S =75【点评】 解法一利用了等差数列的前n 项和公式、方法比较常规解法二利用等差数列的性质运算更为简洁、方便.［例2］一个等差数列的前10项之和100，前100项之和为10，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-+2002)12(2)(2 1002)12(2211d m m md a m d m m ma① ②求前110项之和.【解法一】 设等差数列｛a n ｝的公差为d ，前n 项和S n ，则S n ＝na 1＋d n n 2)1(-. 由已知得①×10－②整理得d =－5011，代入①，得a 1＝1001099 ∴S 110＝110a 1＋2109110⨯d ＝110×1001099+2109110⨯×)5011(-＝110(100111091099⨯-)＝－110故此数列的前110项之和为－110.【解法二】 设等差数列的前n 项和为S n =An 2+Bn ,由已知⎩⎨⎧=+=+101001000010010100B A B A ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1011110011B A ∴S 110=－10011×1102+10111×110=－110【解法三】 设等差数列的首项为a 1,公差为d ，则① －②得(p －q )a 1+d qq p q p )1)((-+-=－(p －q ),p ≠q ,∴a 1+21-+q p d =－1,∴S p +q =(p +q )a 1+2)1)((-++q p q p d =(p +q )(－1)，∴S 110＝－110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+1029910010010029101011d a d a ①②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-+=p d q q qa S q d p p pa S q p 2)1(2)1(11(p ≠q) ①②【解法四】 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设其公差为D . 前10项的和10S 10＋2910⨯·D ＝S 100＝10⇒D =－22,∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120.∴S 110＝－120＋S 100＝－110.【解法五】 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100＝2)(902)(90110110011a a a a +=+ 又S 100－S 10＝10－100＝－90 ∴a 1＋a 110＝－2 ∴S 110＝2)(1101101a a +＝－110【点评】 本题解法较多，技巧性强，可使学生开阔思路，探索研究，寻求简捷的解题方法.［例3］数列｛a n ｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.(1)求数列的公差.(2)求前n 项和S n 的最大值.(3)当S n ＞0时，求n 的最大值.【解】 (1)由已知a 6=a 1+5d =23+5d ＞0,a 7=a 1+6d =23+6d ＜0, 解得:－523＜d ＜－623,又d ∈Z ,∴d =－4 (2)∵d ＜0，∴{a n }是递减数列，又a 6＞0，a 7＜0∴当n =6时，S n 取得最大值，S 6=6×23+256⨯ (－4)=78 (3)S n =23n +2)1(-n n (－4)＞0，整理得：n (50－4n )＞0∴0＜n＜225,又n ∈N *, 所求n 的最大值为12.。
高一数学必修1第三章教案
例1、函数 的图象必过定点
【变题1】函数 的图象必过定点
【变题2】若指数函数 在R上是增函数，求实数 的取值范围。
追踪训练一
1.若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是
2.已知函数 在区间 上的最大值与最小值的差是1，求实数 的值；
3.若 ， ，则下列不等式成立的是
（1） （2） （3） （4）
（２）画出函数 的图象；
（３）写出函数 单调区间及值域；
（４）求使 恒成立的实数 的取值范围．
例3:已知f(x)＝ (ax－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．
课后作业：
１．如图指数函数① ② ③ ④ 的图象，则
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
2．要得到函数 的图象，只要将函数 的图象向移个单位
3.解下列方程（1） ；（2）
课后作业：
1．化简
（1） ．（2） ．
（3） ．(4)．若 ，则 ．
2．求值： ， ，
3．已知 ，化简： （1） （2）
4．计算：
5．化简 ．
6．已知 ， ， .求 .
第三章 第三课时 指数函数（1）总序18
【学习导航】
学习目标
1．理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象、性质；
(1)(xy2· · ) · (2) · （3）化简：
2.计算下列各式（1） （2）
3.计算（1） （2）
（3） （4）
（5）
4.化简
（1） （2） （2）
（4） （5） (6)
课后作业：
1.用根式的形式表示下列各式
（1） =（2） =（3） =（4） =
2.用分数指数幂的形式表示下列各式：
人教数学必修一课件-第三章复习一
2. 函数的零点的理解
2. 函数的零点的理解
(1) 函数的零点是一个实数，当自变量取 该值时，其函数值等于零.
2. 函数的零点的理解
(1) 函数的零点是一个实数，当自变量取 该值时，其函数值等于零. (2) 根据函数零点定义可知，函数f(x)的 零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函 数是否有零点，有几个零点，就是判断 方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根.
(1) 曲线的交点坐标是方程组的解，最终 转化为求方程的根；
5. 用二分法求曲线的近似交点应注意以 下几点：
(1) 曲线的交点坐标是方程组的解，最终 转化为求方程的根； (2) 求曲线y＝f (x)和y＝g(x)的交点的横坐 标，实际上就是求函数y＝f(x)－g(x)的零 点，即求方程f(x)－g(x)＝0的实数解.
C．无零点
D．无法确定
例2 函数y＝f (x)的图象在[a, b]内是连续
的曲线，若f (a)·f (b)＜0，则函数y＝f (x)
在区间(a, b)内 A．只有一个零点
( B)
B．至少有一个零点
C．无零点
D．无法确定
例3 若函数y＝f(x)在区间(－2, 2)上的图
象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在
(1) 要看清题目要求的精确度，它决定着 二分法步骤的结束.
4. 用二分法求方程的近似解要注意以下 问题：
(1) 要看清题目要求的精确度，它决定着 二分法步骤的结束. (2) 初始区间的选定一般在两个整数间，
不同的初始区间结果是相同的，但二分 的次数却相差较大.
4. 用二分法求方程的近似解要注意以下 问题：
第三章复习
主讲老师：陈震
一、本章知识网络
函数与方程
新人教版高一数学必修一教案(实用13篇)
新人教版高一数学必修一教案（实用13篇）高一数学必修二教案(1)理解函数的概念;。
(2)了解区间的概念;。
2、目标解析。
(2)了解区间的概念就是指能够体会用区间表示数集的意义和作用;。
【问题诊断分析】在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是函数的概念及符号的理解，产生这一问题的原因是：函数本身就是一个抽象的概念，对学生来说一个难点。
要解决这一问题，就要在通过从实际问题中抽象概况函数的概念，培养学生的抽象概况能力，其中关键是理论联系实际，把抽象转化为具体。
【教学过程】。
问题1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是：h=130t-5t2.1.1这里的变量t的变化范围是什么?变量h的变化范围是什么?试用集合表示?1.2高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数?若是，其自变量是什么?设计意图：通过以上问题，让学生正确理解让学生体会用解析式或图象刻画两个变量之间的依赖关系，从问题的实际意义可知，在t的变化范围内任给一个t，按照给定的对应关系，都有的一个高度h与之对应。
问题2：分析教科书中的实例(2)，引导学生看图并启发：在t的变化t 按照给定的图象，都有的一个臭氧层空洞面积s与之相对应。
问题3：要求学生仿照实例(1)、(2)，描述实例(3)中恩格尔系数和时间的关系。
设计意图：通过这些问题，让学生理解得到函数的定义，培养学生的归纳、概况的能力。
高一数学必修一第三章教案细胞膜、细胞壁、细胞核、细胞质均不是细胞器。
一、细胞器之间分工。
1.线粒体：细胞进行有氧呼吸的主要场所。
双层膜(内膜向内折叠形成脊)，分布在动植物细胞体内。
2.叶绿体：进行光合作用，“能量转换站”，双层膜，分布在植物的叶肉细胞。
3.内质网：蛋白质合成和加工，以及脂质合成的“车间”，单层膜，动植物都有。
分为光面内质网和粗面内质网(上有核糖体附着)。
高中数学必修1 第三章复习导学案
高中数学必修1第三章复习导学案
第三章 函数的应用
一、 教学目标：
1、巩固本章知识。
2、培养学生应用知识能力。
教学重点：培养学生应用知识能力
教学难点：熟练应用知识解题。
二、问题导学：
一）、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念： 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义： ，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的 。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．
3、函数零点的求法：
○
1 （代数法）求方程0)(=x f 的 ； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用 找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．
（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有 交点，二次函数有 零点．
（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两 根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个 二阶零点．
（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴 点，二次函数 零点．
5.函数的模型
三、问题探究
一）、求零点
二）、二分法应用
四、课堂练习（见全程设计）
五、自主小结。
第三章单元复习 必修一教案35
（2）取区间［a0，b0］的中点，则此中点对应的横坐标为
x0=a0+ （b0－a0）= （a0+b0）.
计算f（x0）和f（a0）.
判断：①如果f（x0）=0，则x0就是f（x）的零点，计算终止；
②如果f（a0）·f（x0）＜0，则零点位于区间［a0，x0］内，令a1=a0，b1=x0；
4.函数模型，解决实际问题的基本过程.
（二）方法总结
1.函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题.
2.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛，求解此类问题常有三种途径：
（1）利用求根公式；
（2）利用二次函数的图象；
（3）利用根与系数的关系.
③如果f（a0）·f（x0）＞0，则零点位于区间［x0，b0］内，令a1=x0，b1=b.
（3）取区间［a1，b1］的中点，则此中点对应的横坐标为
x1=a1+ （b1－a1）= （a1+b1）.
计算f（x1）和f（a1）.
判断：①如果f（x1）=0，则x1就是f（x）的零点，计算终止；
②如果f（a1）·f（x1）＜0，则零点位于区间［a1，x1］上，令a2=a1，b2=x1.
因此，这三个交点的横坐标就是方程x3=3x－1的解.
由图象可以知道，方程x3=3x－1的解分别在区间（－2，－1）、（0，1）和（1，2）内，那么，对于区间（－2，－1）、（0，1）和（1，2）分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为x1≈－1.8，x2≈0.4，x3≈1.5.
【例2】分别就a=2，a= 和a= 画出函数y=ax，y=logax的图象，并求方程ax=logax的解的个数.
人教版高中数学必修第一册同步讲义第三章 3.1 数 列
第三章 数 列单元知识要点点击数列有着广泛的实际应用,本节通过数列的意义、通项公式等内容,介绍等差数列、等比数列的概念,通项公式与前n 项和公式.数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.学习本节,可以从函数的观点出发变动地、直观地研究数列的一些问题,加深对数学的进一步认识.3.1 数 列 ①课文三点专讲重点:(1)数列的定义.①数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.(2)数列的项.数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….(3)数列的一般形式. ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项. (4)数列有三种表示形式.列举法，通项公式法和图象法.(5)数列{}n a 的前n 项和，记为n S . 1S 表示前1项之和：1S =1a ;2S 表示前2项之和：2S =21a a +;……;1-n S 表示前n-1项之和：1-n S =1321-++++n a a a a ;n S 表示前n 项之和：n S =n a a a a ++++ 321.难点：⑴数列的通项公式.如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.①并不是所有数列都能写出其通项公式②一个数列的通项公式有时是不唯一的.⑵数列通项公式的作用.①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.(3) 递推公式.如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.(4)当n ≥1时n S 才有意义；当n-1≥1即n ≥2时1-n S 才有意义.n a =11,(1),,(2).n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩数列的前n 项和公式也是给出数列的一种方法.考点:(1)根据数列的前若干项,求数列的通项公式.此类问题的关键是运用观察比较的方法找出各项与序号的对应规律,并将这种规律用数学式子表达出来.(2)根据数列的通项公式求数列的任意项.数列的通项公式是序号n 的函数关系,即n a 是*()n n N ∈的函数.(3)根据递推公式,确定数列中的项.递推公式是给出数列的一种常用方法,此类问题需要分清公式中的变量与常量及其间的关系,进行递推.(4)根据前n 项和,求通项公式.要注意公式n a =11,(1),,(2),nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩中首项是否连续问题.(5)利用数列的通项研究数列的性质.此类问题多为探究递减 (1n n a a +>)数列,递增(1n n a a +<)数列.②练功篇典型试题分析例1. 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，……(2),3231,1615,87,43,21…… (3)-1,,63,51,43,31,23--……(4)1337,1126,917,710,1,32---,…… (5)3，33，333，3333，……分析:求数学通项时应注意以下几点,①一个数列的通项公式的表达形式不一定惟一，②利用解(5)的方法可以求一些与之类似的数列的通项公式．解析：(1)各项减去1后为正偶数，所以a ｎ＝２ｎ＋１．（２）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列2１，２２，２３，２４，……，所以a n =nn 212-.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式含因子(-1)n ;各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，……；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1,偶数项为2+1,所以a n =(-1)n nn)1(2-+. 也可写为a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-为正偶数为正奇数n nn n3 1(4)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因子(-1)n+1 ,观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是3２＋１，４２＋１，５２＋１，６２＋１，按照这样的规律第1、2两项可改写为12212,121122+⋅+-++，所以 a n =121)1(21++-+n n n . (5)将数列各项改写为：,39999,3999,399,39……分母都是3，而分子分别是10-1,10２－１， １０３－１，１０４－１，……所以a n =)110(31-n .例2. 根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式： （1）a 1=0,a n +1=a n +（2n －1）（n ∈N *） （2）a 1=1,a n +1=22+n na a （n ∈N *） 分析: 适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体上把握一件事情是现代数学的重要手段，加强类此是探索某些规律的常用方法之一..解析：（1）a 1=0;a 2=a 1+1=1;a 3=a 2+3=4;a 4=a 3+5=9; a 5=a 4+7=16;a 1=02;a 2=12;a 3=22,a 4=32;a 5=42. 可归纳出a n =（n －1）2.（2）a 1=1,a 2=231,3122,5222,2122,3222144533422311===+==+==+==+a a a a a a a a a a a a ; 6231;52;4221543=====a a a ;由此可见:a n =12+n . 基础知识巩固1.把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有 个（ ）A.1B.2C.3D.4 2. 数列2，5，11，20，x ，47，……中的x 等于（ ） A.28 B.32 C.33 D.27 3.已知数列15,11,7,3，…，则53是数列的（ ）A.第18项B.第19项C.第17项D.第20项 4.已知数列{a n }中，a 1=1,a n +1=22+n na a （n ∈N *）, 则a 5等于（） A.52B.31C.32D.21 5.在数列｛a ｎ｝中，已知a １＝２，a ２＝３，a ｎ＋２＝３ａｎ＋１－２ａｎ（ｎ≥１），写出此数列的前6项.6.若a 1=2,a 2=4,a n =log 2（a n －1·a n －2）（n ≥3）,写出{a n }的前4项.7.已知数列｛a n ｝的通项公式a n =(-1)n121+n ，求a 3, a １０，ａ２n -1 .8.若a 1=3,a n =a n －1+12-n a （n ≥2）,b n =na 1,写出b n 的前3项. 9.已知数列｛a n ｝中，a 1=5,a n =a n －1+3（n ≥2）,试写出数列的前5项. 10. 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式： ⑴ n S =n 2+2n ； ⑵ n S =n 2-2n-1.③升级篇典型试题分析例3：已知ａｎ＝n -21n +，判断数列｛ａｎ｝的单调性.分析::本题为应用函数单调性的方法判断数列的单调性, 分子、分母同乘以它们的有理化因式是变换此类数学式子的常用方法.解析：∵211)1(1)1(nn n n a a n n +-++-+=+])1(1)1)[(1)(1()1]()1(1)1][()1(1)1[(222222+++++++-++++++++-+=n n n n n n n n n n n n1)1(1)1(122++++++=n n n n ，又显然a n ＜0，∴a n +1＞a n .故数列｛a n ｝是递增数列．例4. 设数列｛a n ｝满足ｌｇ（１＋ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）＝ｎ＋１，求a n .分析:本题实质为已知数列的前n 项和求数列通项公式,即应用公式 a n ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１ 中，但需注意n ≥2，是因为Ｓｎ－１的角码n-1不能为零.解析：设｛a n ｝的前n 项和为S n ,由题设知1+S n =10n +1.∴Ｓｎ＝１０ｎ＋１－１．ｎ≥2时，a n =S n -S n -1=10n +1-10n =9·１０ｎ， n =1时，a n =a １=S １＝９９∴a n =⎩⎨⎧≥⋅=)2( 109)1( 99n n n知识应用与提升11. 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，a 100等于（ ） A.13 B.100 C.10 D.1412.(2005辽宁) 一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)N (*1∈>+n a a n n ，则该函数的图象是Ａ. Ｂ. Ｃ.Ｄ. 13. 在数列{a n }中，a 1=1,a 2=5,a n +2=a n +1－a n （n ∈N *）,则a 1000等于（ ） A.5 B.－5 C.1 D.－1 14. 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）;,167,85,43,21 -- （2）；，，，， 1191971751531⨯⨯-⨯⨯- （3）1，3，6，10，….15.已知数列}{n a 的前n 项和,322n n S n -=求}{n a 的通项公式.16.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n 2-n ,问45是此数列中的项吗?3呢?为什么?④闯关篇典型试题分析例5：已知数列的{a n }的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数有（ ）①a n =21［1+（－1）n +1］; ②a n =sin 22πn ;（注n 为奇数时，sin 22πn =1;n 为偶数时，sin 22πn =0.）;③a n =21［1+（－1）n +1］+（n －1）（n －2）;④a n =2cos 1π-n ,（n ∈N *）（注：n 为奇数时，cos n π=－1,n 为偶数时，cos n π=1.）;⑤a n =⎩⎨⎧)(0)(1为正奇数为正偶数n nA.1个B.2个C.3个D.4个分析：要判别某一公式是不是数列的通项公式，只要把适当的n 代入a n ，其不满足即可，如果要确定它是通项公式，必须加以一定的说明.解析：对于③，将n =3代入，a 3=3≠1,故③不是{a n }的通项公式；由三角公式知；②和④实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{a n }的通项公式；①显然是数列{a n }的通项公式.综上可知，数列{a n }的通项公式有三个，即有三种表示形式.应选C .例6. 求数列,352,152,52…的通项公式. 分析：可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式. 解法一：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式10·2n －1－5.故所求数列的通项公式为：a n =521021-⋅-n .解法二：设a n =,22c bn an ++则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.3539,1524,5c b a c b qa c b a解得：a =5,b =－5,c =5. ∴所求通项公式为：a n =55522+-n n解法三：设a n =cb a n n +⋅+⋅-1222,则有25,4215,8435,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩得210,4220,8440.a b a b a b +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩方程组有无穷多组解，如令a =5,b =0,可得a n =5252-⋅n. 评述：对于一个公式能否成为一个给出了前n 项的数列的通项公式，需逐项加以验证，缺一不可.根据数列{a n }的前n 项求其通项公式，一般不惟一，我们常常取其形式上较简便的一个即可.另外，求通项公式，一般可通过观察数列中诸项的特点，进行分析、概括，然后得出结论，必要时可加以验证.用待定系数法求通项公式需根据给出的数列的前n 项的特点，并和其他知识相联系，设想通项公式的形状（系数待定），这是关键之处.知识拔高与创新17. (2005湖南) 已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．2318.数列－1，924,715,58-，…的一个通项公式a n 是（ ） A.（－1）n 122+n n B.（－1）n 1)2(++n n n C.（－1）n )1(21)1(2+-+n n D.（－1）n12)2(++n n n19.(2005江西) 已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ 求数列}{n a 的通项公式a n . 20. 数列}{n a 满足n a a a n n (121,111+==-≥2）.求通项公式.⑤行侠篇高考试题点击21.(2005全国3) 计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B=A. 6EB. 72C. 5FD. B0 22. (2005上海) 用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个 不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(....32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ =________.⑥娱乐广场开阔视野、趣味学习“提丢斯—波得”数列与谷神星生活是数学的源泉.今天,人类的生活空间越来越广阔,内含也越来越丰富.这绚丽多彩的生活正是数学的温床,而人类又不断把数学应用于实践,使自己的生活更加丰富美满.大家都知道行星绕太阳运行,轨道都是椭圆形的.1966年德国业余天文爱好者提丢斯发现水星、金星、地球、火星、木星、土星六大行星和太阳的平均距离,即椭圆的轨道半长径a 值中隐含着某种规律:100.38710 3.874a ⋅=⨯=≈水星 ; 0100.723107.237423a ⋅=⨯=≈=+⨯金星;110 1.01010423a ⋅=⨯==+⨯地球 ;210 1.5231015.23716423a ⋅=⨯=≈==+⨯火星;410 5.2031052.0352423a ⋅=⨯=≈=+⨯木星 ;5109.521095.2100423a ⋅=⨯=≈=+⨯土星 .提丢斯观察了以上数列,发现有下面的规律,即行星离大阳的平均距离的10倍(天文单位)是一个数列,其通项公式为423n n a =+⨯,其中n 为非负整数.后来柏林天文台台长波得论述了这个规律并加以宣传,所以人们把它称为“提丢斯—波得”数列.公元1781年人们发现天王星和太阳的距离的10倍为192,若以196来近似表示,则6192196=4+23≈⨯ .还有人研究了海王星和太阳的平均距离为302,若以388近似表示,则1030.210a ⋅=⨯海王星7302388423=≈=+⨯.这说明天王星、海王星的位置,也都符合“提丢斯—波得”数列的通项公式.数学规律是科学发现的先驱.人们进一步仔细研究了这一数列,发现火星离大阳的平均距离是2423+⨯,木星离太阳的平均距离是4423+⨯,于是有人由指数2跳到4,猜测在123123123123123123木星与火星之间可能存在一颗行星,它的位置在3423+⨯处.天文学家就此搜索了20年,终于在预定的地点找到了这颗行星,它就是谷神星.天文爱好者们,在遥远的天际中,是否还有其它行星,它们所在的位置也符合这个数列的对应项呢?参考答案: 3.1 数 列1. D 解析:数列的定义中所说的“一定次序”不是要求按自然数次序，所以①②③④这四种排法都可叫做数列.2. B 解析：∵5=2+3×1,11=5+3×2,20=11+3×3,∴x =20+3×4=32.3. B 解析：∵7－3=11－7=15－11=4 ,即a n 2－a n +12=4, a n 2=3+（n －1）×4=4n －1,令4n －1=75,则n =19.4. B 解析：由a 1=1,a n +1=22+n n a a ,得a 2=31,52,3254==a a . 5. 解析：a １＝２，a ２＝３，a ３＝3a ２－２a １＝３×３－２×２＝５a ４＝３a ３－２a ２＝３×５－２×３＝９ a ５＝３a ４－２a ３＝３×９－２×５＝１７ a ６＝３a ５－２a ４＝３×１７－２×９＝３３ 6. 解析：∵a 1=2,a 2=4,a n =log 2（a n －1·a n －2）（n ≥3）,∴a 3=log 2（a 2·a 1）=log 2（2×4）=3, a 4=log 2（a 3·a 2）=log 212=2+log 23.7. 解析：分别用3、10、2n-1去代换通项公式中的n ，得a 3=(-1)３,711321-=+⨯， .1411)12(21)1(,21111021)1(12121010--=+--==+⨯-=--n n a a n n说明：a ３，a 1０ 比较好求也容易理解，求ａ２ｎ－１就是把a n 中的n 换成2n -1，要给学生讲清楚．8. 解析：∵a 1=3,a n =a n －1+12-n a （n ≥2）,∴a 2=a 1+.31132321=+=a a 3=a 2+.33139116311311231122=+=+=a ∵b n =.139331,1131,311,1332211======∴a b a b a b a n 9. 解法一：由a 1=2与a n =2a n －1（n ≥2）得：a 1=2,a 2=2a 1=4,a 3=2a 2=8,a 4=2a 3=16,a 5=2a 4=32.解法二：由a n =2a n －1（n ≥2）,得1-n na a =2（n ≥2）,且a 1=2 则:12a a =2, 23a a =2,34a a=2,……121,2---=n n n n a a a a =2若将上述n －1个式子左右两边分别相乘，便可得1a a n =2n －1 即：a n =2n （n ≥2）,又由a 1=2满足上式,∴a n =2n （n ≥1）为此数列的通项公式.∴a 2=22=4,a 3=23=8,a 4=24=16,a 5=25=32.10. 解析：⑴①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1； ②当n=1时，1a =1S =12+2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴n a =2n+1为所求.⑵①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3；②当n=1时，1a =1S =12-2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2， ∴n a =⎩⎨⎧≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求.11. D 解析: 1个1,2个2,3个3,4个4, ……累计可得第100个数为14个14中的一项,即第100项为14.12. A 解析: 由)(1n n a f a =+，n n a a >+1，得n n a a f >)(，即x x f >)(，故选A ．13. B 解法一: a 1=1,a 2=5,a n +2=a n +1－a n （n ∈N *）可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…… 由此可得a 1000 = -5 .解法二: a n +2=a n +1－a n a n +3=a n +2－a n+1 , 两式相加可得a n +3=-a n , a n +6=a n ,∴a 1000 =16664425a a a ⨯+==-=-.14. 解析：（1）;212)1(1n n n n a -⋅-=+ （2）;)32)(12(1)1(++-=n n a n n （3）考虑1＋2=3，1＋2＋3=6，1＋2＋3＋4=10，得).1(21+=n n a n 15. 解析：;111-==S a 当n ≥2时，.541-=-=-n S S a n n n由于1a 也适合此等式，∴).N (54+∈-=n n a n说明：若1a 不适合n a n (≥2）的解析式，则通项n a 结果一般表示成分段函数的形式.16. 解析：令2n ２-n =45,得2n ２-n -45=0得n =5,n =-29 (舍)，故45是此数列中的第5项． 令2n ２-n =3,得2n ２-n -3=0,此方程不存在正整数解，故3不是此数列中的项． 说明：这里是解关于n 的一元二次方程，要考虑正整数范围内是否有解17. B 解析:本题由数列递推关系式,推得数列{a n }是周期变化的,找出规律,再求a 20. 由a 1=0,).(1331++∈+-=N n a a a n n n 得a 2=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a由此可知: 数列{a n }是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a 20=a 2=-.318. D 解析:首项可写作33-,则可看出其规律,其通项为（－1）n 12)2(++n n n . 19. 解析: ∵],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a ∴212(2)(2)n n a a +-=-- 2,n n b a =-令 22222212111111()()22222n n n n b b b b ---=-=--=-⋅则112221()2n n n b -+++==- 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=n n n n n b a b 即. 20. 解析：由1211+=-n n a a 可得)2(2112-=--n n a a 令2-=n n a b ，则.211-=n n b b 又,1211-=-=a b 故.)21(1--=n n b 故1212--=n n a . 21. A 解析:A ×B=110=6×16+14=6E .22. -1080解析：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360， 1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b .。
【新导学案】高中数学人教版必修一：第三章《函数的应用(复习)》.doc
第三章《函数的应用(复习)》导学案【学习目标】1. 祐会扁薮的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件，能用二分法求方程的近似解，初步形成用函数观点处理问题的意识；2. 结合实际问题，感受运用甫数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科小的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会屮的简单问题.【知识链接】(复习教材“6〜戸】3,找出疑惑之处)复习1：函数零点存在性定理.如果函数y = f(x)在区间［d,勿上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 _______________ ,那么，函数y = /(x).在区间(a,b)内有零点.复习2：二分法基本步骤.①确定区间［a,b］,验证＜ 0 ,给定精度£；②求区间(a,b)的中点片；③计算/(X,)：若/(%,) = 0.,则西就是函数的零点;若/(a)q/a)vo,则令“斗(此时零点x o G ):若/(%,)0/'(/2)＜0,则令a = X、(此时零点x o G (XpZ?)):④判断是否达到精度£ ；即若|°-纠＜£,则得到零点零点值"(或小；否则重复步骤②〜④.复习3：函数建模的步骤.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据一画散点图f选择函数模型f求函数模型f检验一符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.【学习过程】探典型例题例1、在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，如何迅速査出故障所在？如果沿着线路一小段一小段査找，困难很多.每査一个点耍爬一次电线杆，10km长，大约有200多根电线杆子呢.想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？要把故障可能发生的范围缩小到50~100m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？例2、某企业现生产的甲种产品使企业1999年盈利a万元，预计从2000年起，20年内甲种产品盈利每年比上一年减少丄，同时开发乙种产品2000年投放市场，乙种产品第一年盈利b万元，在今20后20年内，每年盈利都比上-•年增加丄，若b =(兰)0,问该企业今后20年内，哪一年盈利最19 20少是多少万元.例3、将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表:(1)(2) 建立一个能基本反映该变化过程的水温y (°C)关于时间x(s)的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.(3) 水杯所在的室内温度为18°C,根据所得的模型分析，至少经过儿分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10°C?对此结果，你如何评价？探动手试试练1.某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，经测试，当船速为10公里/ 小时，燃料费用是每小时20元，其余费用(不论速度如何)都是每小时320元，试问该船以每小时多少公里的速度航行时，航行每公里耗去的总费用最少，大约是多少？练2・某种商品定价为每件60元，不加收附加税时，每年销售80万件，若政府征收附加税，每销2（）售100元要征税p元，即税率为P%,因此每年销售将减少丰〃万件.（1）将政府每年对该商晶征收的总税金y（万元）表成"的函数，并求出定义域；（2）要使政府在此项经营中每年征收税金不少于128万元，税率卩％应怎样确定；（3）在所收税金不少于128万元前提下，要让厂家获得最大销售金额，如何确定〃值.【学习反思】探学习小结零点存在定理及二分法；函数建模.探知识拓展数学模型：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。
人教统编部编版高中数学必修一A版第三章《函数概念与性质》全章节教案教学设计（含章末综合复习）
⼈教统编部编版⾼中数学必修⼀A版第三章《函数概念与性质》全章节教案教学设计（含章末综合复习）【新教材】⼈教统编版⾼中数学必修⼀A版第三章教案教学设计3.1《函数的概念及其表⽰》教材分析：课本从引进函数概念开始就⽐较注重函数的不同表⽰⽅法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表⽰⽅法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两⽅⾯的结合得到更充分的表现，使学⽣通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想⽅法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作⽤．在研究图象时，⼜要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的⼀种推⼴，这与传统的处理⽅式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学⽣将更多的精⼒集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到⼀般的思维过程．教学⽬标与核⼼素养：课程⽬标1、明确函数的三种表⽰⽅法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的⽅法表⽰函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应⽤.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利⽤图像表⽰函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。
教学重难点：重点：函数的三种表⽰⽅法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的⽅法表⽰函数，什么才算“恰当”？分段函数的表⽰及其图象．课前准备：多媒体教学⽅法：以学⽣为主体，采⽤诱思探究式教学，精讲多练。
教学⼯具：多媒体。
教学过程：⼀、情景导⼊初中已经学过函数的三种表⽰法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表⽰法定义是？优缺点是？要求：让学⽣⾃由发⾔，教师不做判断。
⽽是引导学⽣进⼀步观察.研探. ⼆、预习课本，引⼊新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表⽰两个变量之间函数关系的⽅法有⼏种？分别是什么？2.函数的各种表⽰法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是⼀个还是⼏个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学⽣独⽴完成，以⼩组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
人教A版数学必修一第三章全章精品教案
课题：§3.1.1方程的根与函数的零点教学目标：知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法零点存在性的判定．情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．教学程序与环节设计：结合二次函数引入课题．二次函数的零点及零点存在性的．教学过程与操作设计：函数零点的概念：课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标：知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点：重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学程序与环节设计：由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．二分法的意义、算法思想及方法步骤．初步应用二分法解．二分法为什么可以逼近零点的再分析；．追寻阿贝尔和伽罗瓦．教学过程与操作设计：课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型教学目标：知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学程序与环节设计：实际问题引入，激发学生兴趣．选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异．归纳一般的应用题的求教学过程与操作设计：。
第三章函数的概念与性质 小结与复习(第1课时) 教案-高一上学期数学人教A版必修第一册
第三章函数的概念与性质小结与复习教案第1课时一、内容和内容解析1.内容函数的概念、表示和函数单调性的复习课2. 内容解析这是在学生已经学习完本章内容的基础上进行的复习课，复习课一共两节课，这是第一节复习课.在这一章中，学生从用变量之间依赖关系描述函数上升到用集合语言和对应关系刻画函数，建立了完整的函数概念，并体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.这是一个难点，因此在复习的过程中还要巩固.除此之外，还要了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，能根据实际的情况用不同的函数表示方法表示函数，了解简单的分段函数，并能简单应用.同样地，在研究函数单调性的过程中，能够使用符号化的语言来描述，这是学生学习这部分内容时的一个难点. 这样一种从形象直观到定性刻画再到定量刻画的研究过程，以及通过引入数学符号、借助代数语言精确刻画刻画定量变化规律的方法，体现了数学抽象的一般过程，对于培养学生的数学抽象能力具有重要意义.基于以上分析，确定教学重点：复习建立在集合与对应关系的函数概念以及函数单调性的符号语言刻画和单调性的应用.二、目标和目标解析1.目标（1）理解函数的概念和表示方法，并能应用函数的概念解决一些问题；（2）掌握函数单调性的概念，会用符号语言表达单调性、最值，理解它们的作用和实际意义；（3）能用定义证明简单函数的单调性；（4）能运用所学的知识解决一些数学问题和实际问题.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能用集合间的对应关系的观点定义函数，能根据实际的问题表示函数；（2）知道用符号语言刻画函数单调性时，“任意”“都有”等关键词的含义；能够从函数图象，或通过代数推理，得出函数的单调递增、单调递减区间；知道函数的单调性反映了现实世界中事物在量的增加或减小上的变化趋势.（3）会用函数单调性的定义，按一定的步骤证明函数的单调性；（4）会用函数最大值、最小值的定义，按一定的步骤求函数的最大（小）值.三、教学问题诊断分析学生已经学习了相关的知识，在这节复习课上，要巩固前面学习的相关内容，让学生进一步体会用数学的语言和符号化的方式表达数学概念，表达函数的概念、函数的性质等.作为复习课，在教学的过程中也要充分利用信息技术展示函数的对应关系、函数的单调变化规律、函数的最值等，也可以用表格形式加强自变量从小到大时函数值的大小变化趋势等，数形结合地提出问题，给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程，引导学生逐步抽象出函数单调性的定义，再通过辨析、练习帮助学生理解定义.另外，在教学的过程中，还要有一定的习题，让学生通过习题，自己体会函数的概念和函数的性质等，通过习题，体会这些概念和性质的应用，并体会一些内容的综合运用.根据以上分析，确定教学难点是：符号化的语言表述，对量词的使用和运用函数的单调性解决问题.四、教学支持条件分析为使学生更好地理解形式化定义，降低归纳定义过程中的难度，可利用计算工具，采用动态方式展现函数图象、展示变化规律等.五、教学过程设计（一）引入问题1：初中函数概念和高中函数概念的区别是什么？（1）请说出初中函数的定义；（2）请说出高中函数的定义；（3）辨析这两者有什么不同.师生活动：教师提出问题，前2个问题学生自主回答，第3个问题由学生之间讨论、分析并总结.设计意图：让学生复习函数的概念，并通过对比初中和高中的概念区别，进一步体会函数是建立在集合间的对应关系.（二）函数的概念和表示法的巩固师生活动：学生先独立思考，计算，黑板板书（或者利用信息技术将学生的书写过程展示）.设计意图：让学生体会在一个熟知的二次函数中，利用单调性解决数学问题.（四）课堂小结问题11：回答下列问题（1）在解决有关函数概念的问题，以及利用函数的概念解决其他问题的时候，有什么需要特别注意的问题吗？（2）在处理函数单调性的问题时，有什么需要注意的吗？师生活动：学生先独立思考，然后讨论，发表观点，教师进行归纳.设计意图：让学生进一步体会和注意，处理有关函数问题的时候，需要注意的问题.六、目标检测设计设计意图：本题通过绘制函数图象，能够观察出（也可以严格的证明）它是一个增函数，因此将f(2-a2)>f(a)转化为1-a2>a，解二次不等式得到结果. 这道题目将分段函数，函数的图象，函数的单调性充分综合，是检测学生综合运用本章知识分析和解决问题的能力.。
人教版高一数学必修一教案(3篇)
人教版高一数学必修一教案（3篇）篇一：人教版高一数学必修一教案篇一一、教学目标1.知识与技能：(1)通过实物操作，增强学生的直观感知。
(2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
(3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
(4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2.过程与方法：(1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3.情感态度与价值观：(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
(2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具(1)学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
(2)实物模型、投影仪。
四、教学过程(一)创设情景，揭示课题1、由六根火柴最多可搭成几个三角形？(空间：4个)2在我们周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？3、展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体。
问题：请根据某种标准对以上空间物体进行分类。
(二)、研探新知空间几何体：多面体(面、棱、顶点)：棱柱、棱锥、棱台；旋转体(轴)：圆柱、圆锥、圆台、球。
1、棱柱的结构特征：(1)观察棱柱的几何物体以及投影出棱柱的图片，思考：它们各自的特点是什么？共同特点是什么？(学生讨论)(2)棱柱的主要结构特征(棱柱的概念)：①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两上四边形的公共边互相平行。
(3)棱柱的表示法及分类：(4)相关概念：底面(底)、侧面、侧棱、顶点。
2、棱锥、棱台的结构特征：(1)实物模型演示，投影图片；(2)以类似的方法，根据出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念、分类以及表示。
棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。
人教A版数学必修一第三章章末复习课
近似值即为所求近似解.
用二分法逐次计算，列表如下：
题型三 函数模型及应用
ax b( x m) y cx d ( x ≥ m)
400 ∴k＝ ， 81
400 4 ∴流量速率 R 的表达式为 Rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ r . 81
高中数学课件
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第三章函数的应用
章末复习课
内容 索引
01
理网络 明结构
探题型 提能力
02
03
04
理网络·明结构
题型二 用二分法求函数的零点或方程的近似解 1.看清题目的精确度，它决定着二分法的结束. 2.根据f(a0)· f(b0)<0 确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再 确定初始区间. 3.初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同 的，但二分的次数相差较大. 4.取区间中点 c，计算中点函数值 f(c) ，确定新的零点区间，直到 所取区间(an，bn)中，an与bn按精确度要求取值相等，这个相等的
高一数学必修一第三章复习课
4．(2023·南京市高一检测)已知 f(x)＝11－＋xx22，那么 f(14)＋f(13)＋f(12)＋f(0)＋ f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)的值为________．
解析：因为 f(x)＋f(1x)＝11－ ＋xx22＋11－ ＋（ （11xx））22＝11－ ＋xx22＋xx22－＋11＝0， 所以 f(14)＋f(4)＝0，f(13)＋f(3)＝0，
5
知识体系·网络构建 专题突破·要点聚焦
[典型问题] 1．(2022·北京卷)函数 f(x)＝1x＋ 1－x的定义域为________． 解析：由题意得1x≠－0x≥ ，0， 解得 x≤1 且 x≠0.
答案：(－∞，0)∪(0，1]
6
知识体系·网络构建 专题突破·要点聚焦
2．设函数 f(x)＝ x－1，则 f(2x)＋f(4x)的定义域为( B )
13
知识体系·网络构建 专题突破·要点聚焦
[典型问题]
1．利用平移变换作函数图象
[典例1] 将函数y＝2(x＋1)2－3的图象向右平移1个单位长度，再向上平
移3个单位长度．所得的图象对应的函数解析式为( C )
A．y＝2(x＋2)2－6
B．y＝2x2－6
C．y＝2x2
D．y＝2(x＋2)2
[解析] 根据函数图象的平移规律得到平移后的图象对应的解析式为y＝
11
知识体系·网络构建 专题突破·要点聚焦
专题二 函数的图象 [重要提醒] 作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表；描点；连线． (2)变换法——熟知函数图象的平移、伸缩、对称、翻转． ①平移：y＝f(x)――左―加―右―减―→y＝f(x±h)； y＝f(x)――上―加―下―减―→y＝f(x)±k(其中 h>0，k>0)．
【优质文档】必修1教案第三章单元小结(二)
a
10.4b ，
45.8 a 24.0b
6
23.4
7
13.5
8
16.7
45.0
用计算器可得 a≈2.4， b≈1.8.
29.2 这样，我们得到一个函数模型； y = 2.4
34.1
9
24.0
45.8
+ 1.8x. 作出函数图象如图乙，可以发现，
例 2 解析：设经过 x 个月后，甲、乙两
甲方案为永久性治污方案，需一
方案总的本息分别为 1%) x
y， z，则 y = 100 (1 +
次投入 100 万元；乙方案为分期
z = 5 [1 + (1+1%) + (1+1%) 2 + ,
经典例题 治污方案，需每月投资 5 万元， +(1+1%) x–1]
第三章 单元小结（二）
（一）教学目标
1．知识与技能 . 整合函数模型及其应用的基本知识与基本方法 实际应用问题的技能 .
. 进一步提升研究函数和应用函数解决
2．过程与方法
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系
.
3．情感、态度与价值观 在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学 习品质 .
（ 5）幂函数型模型： y = axn + b. 例 3：【解析】（1）利用计算机几何画板 软件，描点如图甲 .
立了一个观察站，测量最大积雪
深度 x 与当年灌溉面积 y，现有
连续 10 年的实测资料，如下表
所示 .
年序
1 2 3 4 5
最大积雪 深度 x (cm) 15.2 10.4 21.2 18.6 26.4
人教版数学高一学案 第三章 章末复习课 (2)
学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用.1.知识网络2.要点归纳(1)函数的零点与方程的根的关系：①方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.②确定函数零点的个数有两个基本方法：借助函数单调性和零点存在性定理研究图象与x 轴的交点个数；通过移项，变形转化成两个函数图象的交点个数进行判断.(2)二分法①图象都在x轴同侧的函数零点不能(填“能”或“不能”)用二分法求.②用二分法求零点近似解时，零点区间(a，b)始终要保持f(a)·f(b)<0；③若要求精确度为0.01，则当|a－b|<0.01时，便可判断零点近似值为a(或b).(3)在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、对数函数、幂函数三者中增长最快的是指数函数，增长最慢的是对数函数.(4)函数模型①给定函数模型与拟合函数模型中求函数解析式主要使用待定系数法.②建立确定性的函数模型的基本步骤是审题，设量，表示条件，整理化简，标明定义域.③所有的函数模型问题都应注意变量的实际意义对定义域的影响.类型一 函数的零点与方程的根的关系及应用例1 已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是____________. 答案 x 1＜x 2＜x 3解析 令x ＋2x ＝0，得2x ＝－x ； 令x ＋ln x ＝0，得ln x ＝－x ；在同一坐标系内画出y ＝2x ，y ＝ln x ，y ＝－x 的图象，如图可知x 1＜0＜x 2＜1.令h (x )＝x －x －1＝0，则(x )2－x －1＝0， 所以x ＝1＋52，即x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522＞1. 所以x 1＜x 2＜x 3.反思与感悟 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点.(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.跟踪训练1 若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)答案 C解析 显然f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由条件可知f (1)·f (2)＜0，即(2－2－a )(4－1－a )＜0， 即a (a －3)＜0，解得0＜a ＜3.类型二 用二分法求函数的零点或方程的近似解例2 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎝⎛⎭⎫12，34答案 C解析 ∵f (x )是R 上的增函数且图象是连续的，且f (0)＝e 0＋4×0－3＜0，f (1)＝e ＋4－3＞0.∴f (x )在(0,1)内有唯一零点.f (14)＝14e ＋4×14－3＝14e －2＜0，f (12)＝12e ＋4×12－3＝12e －1＞0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫14，12内存在唯一零点.反思与感悟 (1)根据f (a 0)·f (b 0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间.(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大.(3)取区间中点c ，计算中点函数值f (c )，确定新的零点区间，直到所取区间(a n ，b n )中，|a n －b n |<ε，那么区间(a n ，b n )内任意一个数都是满足精确度ε的近似解.跟踪训练2 已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)，当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝__________. 答案 2 解析 ∵a ＞2，∴f (x )＝log a x ＋x －b 在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝log a 2＋2－b ，f (3)＝log a 3＋3－b . ∵2＜a ＜3＜b ＜4，∴0＜log a 2＜1，－2＜2－b ＜－1. ∴－2＜log a 2＋2－b ＜0.又1＜log a 3＜2，－1＜3－b ＜0， ∴0＜log a 3＋3－b ＜2，即f (2)＜0，f (3)＞0. 又∵f (x )在(0，＋∞)上是单调函数， ∴f (x )在(2,3)内必存在唯一零点. 类型三 函数模型及应用例3 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 解 (1)令y ＝0 ，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ＝20⎝⎛⎭⎫k －1k 2＋2≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米. (2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔ 存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔ 判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. 所以当它的横坐标a 不超过6时，可击中目标.反思与感悟 在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y ＝0时求x 的最大值)非常重要.另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响.跟踪训练3 某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时. 答案 24解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，两式相除可得e 22k ＝14，故e 11k ＝12，故e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝24，即该食品在33℃的保鲜时间是24小时.1.已知函数f(x)＝a x－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点有()A.0个B.1个C.2个D.至少1个答案D解析在同一坐标系中作出函数y＝a x与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图(1)，当0＜a＜1时，如图(2)，故选D.2.如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()答案D解析由晨练的图象可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据四个选项可知只有选项D符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越来越小，选项D也符合.故选D.3.若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)·(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.4.设函数f(x)＝log3x＋2x－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________.答案(log32,1)5.已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______.答案21.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围.2.函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题.3.函数建模的基本过程如图。
高中数学 第三章单元小结(二)全册精品教案 新人教A版必修1
第三章单元小结（二）（一）教学目标1．知识与技能.整合函数模型及其应用的基本知识与基本方法. 进一步提升研究函数和应用函数解决实际应用问题的技能.2．过程与方法通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系.3．情感、态度与价值观在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.（二）教学重点与难点重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识能力（三）教学方法动手练习与合作交流相结合. 在整合知识中构建体系，在综合练习中提升能力.（四）教学过程注：1 + q+ q2+…+q n=11(1)1nqqq+-≠-.例3 为了估计上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y，现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序最大积雪深度x (cm)灌溉面积y (公顷)1 15.2 28.62 10.4 21.13 21.2 40.54 18.6 36.65 26.4 49.8故工厂投产23个月后，甲方案优于乙方案，投产1至22个月乙方案优于甲方案.【评析】不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，函数模型可以处理生产生活中很多实际问题.常见的函数模型有：（1）一次函数型模型：y = kx + b (k ≠0)；（2）二次函数型模型：y = ax2+bx+c(a ≠0)；（3）指数函数型模型：y= a·b x+ c；（4）对数函数型模型：y= m·log a x+ n；（5）幂函数型模型：y = ax n + b.例3：【解析】（1）利用计算机几何画板软件，描点如图甲.（2）从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y = a + bx.取其中的两组数据(10.4, 21.1)，例3 我国农业科学家研究玉米的生长阶段与植株高度的函数关系的例子，这里我们再进一步研究此例，引导大家学习建立数学模型的方法.下表给出了某地区玉米在不同生长阶段的高度数据：量之间的关系；（2）利用得出的关系式列表；（3）与表中实际数据比较，说出关系式给出的一些信息.【解】（1）作出函数图形，如图所示.函数的图形近似于“S”形.以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图象，但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相象.下面我们来考虑给出第1至第25个生长阶段的一个指数函数关系式.假设指数函数为y = a e bx，并且通过点（2，0.85）和（23，112.73）. 把这两个点的坐标代入函数关系式，解方程组得a = 0.534，b = 0.233.因此，用指数函数近似得到的关系式为y = f (x) = 0.534e 0.233x.（2）由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下：实际得到的数据相差很小，后面除第23生长阶段外的其它生长阶段数据相差较大.这个指数函数在玉米生长后几个阶段增长较快，与实际数据中稳定于某一数值附近不符.要得到效果更好的关系式，我们需要更多的数学知识.人们在实际生活中发现生物种群的增长也有类似玉米株高生长的“S ”形曲线. 如SARS （非典型肺炎）病的传播，时间与病例数的关系，科学家们研究发现这类曲线近似于以下函数： y =1r xk ce -+.这类函数称为Logistic 模型.对于玉米生长的这组数据，也可以建立Logistic 模型，玉米的整个生长过程近似于函数y =0.233001393.06xe -+.Logistic 模型在现实生活中有很多应用. 例如，它可以预测生物生长状况，这对我们了解生物生长发育情况，控制和预防疾病都有很大的帮助.。
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课题：第三章单元复习
课型：复习课
教学目标
了解方程的根与函数零点的关系，理解函数零点的性质，掌握二分法，会用二分法求方程的近似解，了解直线上升、指数爆炸、对数增长，会进行指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较，能熟练进行数学建模，解决有关函数实际应用问题。
教学重点
应用函数模型解决有关实际问题.
教学难点
二分法求方程的近似解，指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较.
教具准备
多媒体、课时讲义.
教学过程
一、知识回顾
（一）第三章知识点
1.函数的零点，方程的根与函数的零点，零点的性质.
2.二分法，用二分法求函数零点的步骤.
3.几类不同增长的函数模型（直线上升、指数爆炸、对数增长），指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较.
4.函数模型，解决实际问题的基本过程.
（二）方法总结
1.函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题.
2.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛，求解此类问题常有三种途径：
（1）利用求根公式；
（2）利用二次函数的图象；
（3）利用根与系数的关系.
无论利用哪种方法，根的判别式都不容忽视，只是由于二次函数图象的不间断性，有些问题中的判别式已隐含在问题的处理之中.
3.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数y =f （x ）定义在区间D 上，求它在D 上的一个变号零点x 0的近似值x ，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x －x 0|≤ε.
（1）在D 内取一个闭区间［a ，b ］ D ，使f （a ）与f （b ）异号，即f （a ）·f （b ）＜0.
令a 0=a ，b 0=b .
（2）取区间［a 0，b 0］的中点，则此中点对应的横坐标为
x 0=a 0+21（b 0－a 0）=2
1（a 0+b 0）.
计算f （x 0）和f （a 0）.
判断：①如果f （x 0）=0，则x 0就是f （x ）的零点，计算终止；
②如果f （a 0）·f （x 0）＜0，则零点位于区间［a 0，x 0］内，令a 1=a 0，b 1=x 0；
③如果f （a 0）·f （x 0）＞0，则零点位于区间［x 0，b 0］内，令a 1=x 0，b 1=b .
（3）取区间［a 1，b 1］的中点，则此中点对应的横坐标为
x 1=a 1+21（b 1－a 1）=2
1（a 1+b 1）. 计算f （x 1）和f （a 1）.
判断：①如果f （x 1）=0，则x 1就是f （x ）的零点，计算终止；
②如果f （a 1）·f （x 1）＜0，则零点位于区间［a 1，x 1］上，令a 2=a 1，b 2=x 1.
③如果f （a 1）·f （x 1）＞0，则零点位于区间［x 1，b 1］上，令a 2=x 1，b 2=b 1.
……
实施上述步骤，函数的零点总位于区间［a n ，b n ］上，当|a n －b n |＜2ε时，区间［a n ，b n ］的中点x n =2
1（a n +b n ）. 就是函数y =f （x ）的近似零点，计算终止.这时函数y =f （x ）的近似零点与真正零点的误差不超过ε.
4.对于直线y=kx+b（k≥0），指数函数y=m·a x（m＞0，a＞1），对数函数y=log b x（b＞1），
（1）通过实例结合图象初步发现：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快.
（2）通过计算器或计算机得出多组数据结合函数图象（图象可借助于现代信息技术手段画出）进一步体会：直线上升，其增长量固定不变；
指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的.随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大得惊人，所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容.
对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升.
5.在区间（0，+∞）上，尽管函数y=a x（a＞1），y=log a x （a＞1），y=x n（n＞0）都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个‘档次’上，随着x的增大，y=a x（a＞1）的增长速度越来越快，会远远超过y=x n（n＞0）的增长速度，而y=log a x（a＞1）的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，a x＞x n＞log a x.
6.实际问题的建模方法.
（1）认真审题，准确理解题意.
（2）从问题出发，抓准数量关系，恰当引入变量或建立直角坐标系.运用已有的数学知识和方法，将数量关系用数学符号表示出来，建立函数关系式.
（3）研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出解答.
必须说明的是：
（1）通过建立函数模型解决实际问题，目的是通过例题培养同学们应用数学的意识和分析问题的能力.
（2）把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题所得出的关于实际问题的数学描述，即为数学模型.
7.建立函数模型，解决实际问题的基本过程：
二、例题讲解
【例1】作出函数y=x3与y=3x－1的图象，并写出方程x3=3x－1的近似解.（精确到0.1）
解：函数y=x3与y=3x－1的图象如下图所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.
因此，这三个交点的横坐标就是方程x 3=3x －1的解. 由图象可以知道，方程x 3=3x －1的解分别在区间（－2，－1）、（0，1）和（1，2）内，那么，对于区间（－2，－1）、（0，1）和（1，2）分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为x 1≈－1.8，x 2≈0.4，x 3≈1.5.
【例2】 分别就a =2，a =45和a =2
1画出函数y =a x ，y =log a x 的图象，并求方程a x =log a x 的解的个数.
思路分析：可通过多种途径展示画函数图象的方法. 解：利用Excel 、图形计算器或其他画图软件，可以画出函数的图象，如下图所示.
根据图象，我们可以知道，当a =2，a =45和a =2
1时，方程a x =log a x 解的个数分别为0，2，1.
【例3】 根据上海市人大十一届三次会议上的政府工作报告，1999年上海完成GDP （国内生产总值）4035亿元，
2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需________年.（按：1999年本市常住人口总数约为1300万）
思路分析：抓住人均GDP 这条线索，建立不等式. 解：设需n 年，由题意得
n n %)08.01(13000000%)91(4035+⨯+⨯≥1300000040352⨯， 化简得n n
%)08.01(%)91(++≥2，解得n ＞8.
答：至少需9年.
三、课堂练习
教科书P 112复习参考题A 组1～6题.
四、课堂小结
1.函数与方程的紧密联系，体现在函数y =f （x ）的零点与相应方程f （x ）=0的实数根的联系上.
2.二分法是求方程近似解的常用方法，应掌握用二分法求方程近似解的一般步骤.
3.不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律.指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的现实世界中不同增长规律的函数模型.
五、作业布置
教科书P 112复习参考题A 组7，8，9. B 组1，2
课后记：。