2019年高考数学(文科)二轮复习专题5 第1讲 直线与圆

2

x B

第 1 讲 直线与圆

高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考

的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判

断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.

真 题 感 悟

1.(2016· 全国Ⅱ卷)圆 x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0 的圆心到直线 ax ＋y －1＝0 的距离为 1，则 a ＝

( )

4

A.－3

C. 3

3

B.－4

D.2

解析 圆 x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0 化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1，4).

由题意得 d ＝ |a ＋4－1| a 2＋1

4

＝1，解得 a ＝－3.

答案 A

2.(2016· 山东卷)已知圆 M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线 x ＋y ＝0 所得线段的长度是 2 2，则

圆 M 与圆 N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1 的位置关系是(

)

A.内切

C.外切

B.相交

D.相离

解析 圆 M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为 x 2＋(y －a )2＝a 2，

a

a 2

由题意，d ＝

，所以有 a 2＝ 2 ＋2，解得 a ＝2.

所以圆 M ：x 2＋(y －2)2＝22，圆心距为 2，半径和为 3，半径差为 1，所以两圆相交.

答案 B

3.(2016· 全国Ⅰ卷)设直线 y ＝x ＋2a 与圆 C ：2＋y 2－2ay －2＝0 相交于 A ， 两点，若|AB |＝2 3，

⎝ 2 ⎭ ⎝ 2⎭ |C 1－C 2|

|Ax 0＋By 0＋C |

(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为 － 2 ，－2⎪，半径为 r ＝

则圆 C 的面积为________.

解析 圆 C 的标准方程为 x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为 C (0，a )，点 C 到直线 y ＝x ＋2a 的距离

为 d ＝|0－a ＋2a | 2 |a | ⎛2 3⎫2 ⎛ |a | ⎫2

＝ .又由|AB |＝2 3，得 ⎪ ＋ ⎪ ＝a 2＋2，解得 a 2＝2，所以圆 C 的面

2

积为 π(a 2＋2)＝4π.

答案 4π

4.(2017· 天津卷)设抛物线 y 2＝4x 的焦点为 F ，准线为 l .已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y

轴的正半轴相切于点 A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________.

解析 由题意知该圆的半径为 1，设圆心 C (－1，a )(a >0)，则 A (0，a ).

→

→

又 F (1，0)，所以AC ＝(－1，0)，AF ＝(1，－a ).

→

→ 由题意知AC 与AF 的夹角为 120°，得 cos 120°

＝ －1 1× 1＋a 2

1 ＝－2，解得 a ＝ 3.

所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y － 3)2＝1.

答案 (x ＋1)2＋(y － 3)2＝1

考 点 整 合

1.两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线 l 1，l 2 的斜率 k 1，k 2 存在，则 l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的 直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式

(1)两平行直线 l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0 与 l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 间的距离 d ＝

.

A 2＋

B 2

(2)点(x 0，y 0)到直线 l ：Ax ＋By ＋C ＝0 的距离 d ＝ A 2＋B 2 .

3.圆的方程

(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为 r .

⎛ D E ⎫ ⎝ ⎭

2

△

S OAB 的最小值为________.

D 2＋

E 2－4F

.

4.直线与圆的位置关系的判定

(1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：d r ⇔

相离.

(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 Δ 来讨论位置关系：

Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.

热点一 直线的方程

【例 1 】 (1)设 a ∈R ，则“a ＝－2”是直线 l 1：ax ＋2y －1＝0 与直线 l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0

平行的( )

A.充分不必要条件

C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(2017· 山东省实验中学二模)过点 P (2，3)的直线 l 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A ，B 两点，

O 为坐标原点，则

解析 (1)当 a ＝－2 时，l 1：－2x ＋2y －1＝0，l 2：x －y ＋4＝0，显然 l 1∥l 2.

当 l 1∥l 2 时，由 a (a ＋1)＝2 且 a ＋1≠－8 得 a ＝1 或 a ＝－2，

所以 a ＝－2 是 l 1∥l 2 的充分不必要条件.

x y

(2)依题意，设直线 l 的方程为a ＋b ＝1(a >0，b >0).

∵点 P (2，3)在直线 l 上.

2 3

∴a ＋b ＝1，则 ab ＝3a ＋2b ≥2 6ab ，

故 ab ≥24，当且仅当 3a ＝2b (即 a ＝4，b ＝6)时取等号.

因此 1

△S AOB ＝2ab ≥12，即 △S AOB 的最小值为 12.

答案 (1)A (2)12

探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用 A 1B 2－A 2B 1＝0 建立方程求出参数的值后，

要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.