概率论第六章课后习题答案

习题六

1．设总体X 的概率密度为(1)01

(;)0

x x f x θ

θθ⎧+<<=⎨

⎩其它

，其中1θ>-，12,,X X

,n X 为来自总体X 的样本，求参数θ的矩估计量。

解：总体的一阶原点矩为2

1

)1();()(1

11++=

+===⎰⎰++∞

∞

-θθθθθdx x dx x xf X E v ，而样本的一阶原点矩为X X n A n

i i ==∑=1

11，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶

原点矩，即有

X =++2

1θθ，由此得θ的矩估计量为.112ˆX X --=θ

3．设总体~(0,)X U θ，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本观测值为：

0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6

试求参数θ的矩估计值。

解：总体的一阶原点矩为2

)(1θ

=

=X E v ，而样本的一阶原点矩为

X X n A n i i ==∑=111，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有X =2

θ

，

由此得θ的矩估计量为X 2ˆ=θ

，其矩估计值为 68.2)6.10.25.18.02.12.27.16.03.15.0(10

1

22ˆ=+++++++++⨯==x θ

6．设12,,

,n x x x 为来自总体X 的一组样本观测值，求下列总体概率密度中θ

的最大似然估计值。

（1）101

(;)0

x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩其它（0θ>）；

（2）10(;)0x

x e x f x α

αθθαθ--⎧>⎪=⎨

⎪⎩

其它

（α已知）；

（3）⎪⎩

⎪

⎨⎧≤>=-000);(2

2

22x x e x x f x θθθ

解：（1）似然函数为

⎪⎩⎪⎨⎧=<<==∏∏=-=)

,,2,1(100

);()(1

11n i x x x f L i n i i n

i i 其它，，

θθθθ 因为0不是)(θL 的最大值，考虑),,2,1(10,)(1

1n i x x L i n

i i =<<=∏=-θθθ

两边取对数，得 ∑=-+=n

i i x L 1

]ln )1([ln ln θθ

解方程

0)ln 1

(ln 1=+-=∑=n

i i x d L d θ

θ，即0ln 1=+∑=n i i x n θ 解得∑=-=n

i i

x

n

1

ln ˆθ

，即为θ的最大似然估计值。

（2）似然函数为

⎪⎩

⎪⎨⎧=>==∏∏

=--=),,2,1(00);()(1

11n i x e

x x f L i n i x i n

i i i 其它，，αθαθαθθ 因为0不是)(θL 的最大值，考虑),,2,1(0,)(1

1n i x e

x L i n

i x i i =>=∏=--α

θαθαθ

两边取对数，得 ∑=--++=n

i i i x x L 1

]ln )1(ln [ln ln αθααθ

解方程

0)1(ln 1=-=∑=n

i i x d L d α

θ

θ，即01=-∑=n i i x n αθ 解得∑==

n

i i x n

1

ˆα

θ，即为θ的最大似然估计值。

（3）似然函数为

⎪⎩

⎪⎨⎧=>==∏∏=-=),,2,1(00);()(12212

2

n i x e x x f L i n i x i n

i i i 其它，，

θθθθ

因为0不是)(θL 的最大值，考虑),,2,1(0,)(1

22

2

2n i x e

x L i n

i x i

i =>=∏

=-

θθ

θ

两边取对数，得 ∑=--=n

i i i x

x L 1

22

)2ln 2(ln ln θθ

解方程 0)2(ln 1

32

=+-=∑=n i i

x d L d θθθ，即012123=+-∑=n i i x n θθ 解得n

x

n

i i

2ˆ1

2

∑==θ

，即为θ的最大似然估计值。

8．若总体X 服从参数为λ的泊松分布，即

()!

x

P X x e x λλ-==

，1,2,x =；0λ>

12,,

,n x x x 为样本观测值，求参数λ的矩估计值和最大似然估计值。

解：（1）总体的一阶原点矩为λ==)(1X E v

而样本的一阶原点矩为X X n A n

i i ==∑=1

11，用样本的一阶原点矩估计总体的

一阶原点矩，即有X =+1θ，由此得θ的矩估计量为.1ˆ-=X θ （2）似然函数为()1

!

i

x n

i i e L x λ

λλ-==∏

取对数()1

ln (ln ln !)n

i i i L x x λλλ==--∑

解方程

1ln ()

(1)0n

i i x d L d λλλ

==-=∑ 得11n i i x x n λ===∑

所以，参数λ的最大似然估计量为ˆX λ

= 15．设某种电子元件的使用寿命服从正态分布，任抽9个测得其寿命（单位：h ）如下：

3540，4130，3210，3700，3650，2950，3670，3830，3810

试在以下两种条件下，求该批电子元件的平均寿命置信水平为99%的置信区间。