八年级奥数测试题

奥数测试题(130分）

1、方程x 2+3x+1=0的两个根为α、β，求βα+αβ的值。

2.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程的一个根，求菱形ABCD 的面积。

3.已知3-=+b a ，1=ab ，求=+b a 83

4．已知实数m 、n 满足0142=--m m ，0142=--n n (m ≠n)求

=+m n n m 5.一元二次方程(m+1)x 2+2mx+m-3=0有两个不相等的实数根,并且这两个根又不互为相反数,(1)求m 的取值范

围;

(2)当m 在取值范围内取得最小偶数时,方程的两根为x 1,x 2,求(3x 12)(1-4x 2)的值.

6.小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错

常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道

原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

7.某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件

（1）要使每天获得利润700元，请问售价应定为多少。

（2）要使每天所获利润最大，请问售价应定为多少。

8．已知：二次函数22

24y x mx m =-+的图像与x 轴有两个交点A 、B ，顶点为C ，若△ABC 的面积为42，求m 的值。

9.已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个．

10.如图，P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形三个顶点A 、B 、C 的距离分别为

PA ＝1，PB ＝2，PC ＝3。求正方形ABCD 面积。

01272=+-x x 2

y ax bx c =++x (20)-，1(0)x ，112x <

420a b c -+=0a b <<20a c +>210a b -+>

11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交

于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于

C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么

是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的

坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P

点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

12．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边

的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13．将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

⑴求证：DG⊥BE；

⑵如图2，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B恰好落在线段DG上，求此时BE的长；

⑶如图3，将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE交于点H，求△GHE与△BHD面积之

和的最大值并说明理由．