导数压轴题型第1讲 距离最值问题(mathtype WORD精编版)
最近三年高考压轴题系列--导数题思路分析及考题总结
最近三年高考压轴题系列---导数思路分析及考题总结经历过高考的学生或者现在还在高中奋斗的学子应该都知道高考数学中有一个拦路虎般存在的难点，它就是导数，很多人可以说是谈导数色变，基本上碰见导数的题目也就是第一问简单写写然后就放弃了。
那么导数真的那么难吗？真的不可搞定吗？当然不是！！！题目之所以难，在于不可控！难在不确定！你不知道导数到底有多少种考法？多少种问法？每一种是怎么回事？有几种方法？每一种的方法是什么？方法之间的区别是什么？在短时间内该怎么去甄别用那种方法？这些问题你都不知道，你当然会恐惧。
那么接下来这个问题老秦帮你解决！下面是我总结导数在文科和理科层面上的考点及模型。
如下图！这个是文科的，内容相对简单！下面是理科的后续小编会逐一为大家分享，敬请期待！今天咱们先来谈一谈高考中考的最多的一种-----参数取值范围类问题！这类问题主要有下面四种方法。
第一：数形结合法------直线+曲线（例题：2019年新课标Ⅰ）这类方法核心，曲线中不含参数，参数在直线上，且直线过定点！第二：变换主元法（例题：2018年新课标Ⅰ）这类方法核心，主要在于多个参数，其中一个参数的范围确定，且单调性易求，简单而言，谁有范围，谁为自变量，求谁，谁为参数！第三：含参分类讨论法（例题：2017年新课标Ⅰ）这类方法核心，主要在于无法分离参数，且整体单调性讨论起来比较容易分类！第四：分离参数法----隐零点问题（例题：2019年郑州三模）这类方法核心，参数易分离，且分离后单调性讨论起来不难，而且导函数零点要么可以搞定，要么出现隐零点！2019年新课标Ⅰ文科------数形结合法（直线+曲线）已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．解：（1）证明：∵f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，∴f′（x）＝2cos x﹣cos x+x sin x﹣1＝cos x+x sin x﹣1，令g（x）＝cos x+x sin x﹣1，则g′（x）＝﹣sin x+sin x+x cos x＝x cos x，当x∈（0，）时，x cos x＞0，当x时，x cos x＜0，∴当x＝时，极大值为g（）＝＞0，又g（0）＝0，g（π）＝﹣2，∴g（x）在（0，π）上有唯一零点，即f′（x）在（0，π）上有唯一零点；（2）由（1）知，f′（x）在（0，π）上有唯一零点x0，使得f′（x0）＝0，且f′（x）在（0，x0）为正，在（x0，π）为负，∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0，π]递减，结合f（0）＝0，f（π）＝0，可知f（x）在[0，π]上非负，令h（x）＝ax，∵f（x）≥h（x），根据f（x）和h（x）的图象可知，∴a≤0，∴a的取值范围是（﹣∞，0]．2018年新课标Ⅰ文科----变换主元法已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．解：（1）∵函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′（x）＝ae x﹣，∵x＝2是f（x）的极值点，∴f′（2）＝ae2﹣＝0，解得a＝，∴f（x）＝e x﹣lnx﹣1，∴f′（x）＝，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）证明：当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）＝﹣lnx﹣1，则﹣，由﹣＝0，得x＝1，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴x＝1是g（x）的最小值点，故当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0，∴当a≥时，f（x）≥0．2017年新课标Ⅰ文科----含参讨论法已知函数f（x）＝e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．解：（1）f（x）＝e x（e x﹣a）﹣a2x＝e2x﹣e x a﹣a2x，∴f′（x）＝2e2x﹣ae x﹣a2＝（2e x+a）（e x﹣a），①当a＝0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，2e x+a＞0，令f′（x）＝0，解得x＝lna，当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，③当a＜0时，e x﹣a＞0，令f′（x）＝0，解得x＝ln（﹣），当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，综上所述，当a＝0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递增，（2）①当a＝0时，f（x）＝e2x＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（x）min＝f（lna）＝﹣a2lna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得：f（x）min＝f（ln（﹣））＝﹣a2ln（﹣）≥0，∴ln（﹣）≤，∴﹣2≤a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]2019年郑州三模------分离参数法（隐零点问题）设函数f（x）＝ae x﹣x，g（x）＝blnx．（Ⅰ）设h（x）＝f（x）+g（x），函数h（x）在（1，h（1））处切线方程为y＝2x﹣1，求a，b的值；（Ⅱ）若a＝1，k为整数，当x＞0时，（x﹣k）f'（x）+x+1＞0成立，求k的最大值．解：（Ⅰ）h（x）＝f（x）+g（x）＝ae x+blnx﹣x，，由题意可知，解得，b＝1；（Ⅱ）当x＞0时，（x﹣k）f'（x）+x+1＞0等价于．设，则，令R（x）＝e x﹣x﹣2，则R'（x）＝e x﹣1．当x＞0时，R'（x）＞0恒成立，R（x）在（0，+∞）上单调递增，又R（1）＜0，R（2）＞0，∴R（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，且x0∈（1，2），．∴F（x）单减区间为（0，x0），单增区间为（x0，+∞），∴F（x）在（0，+∞）的最小值为．∴k＜F（x0），故k max＝2．看完以后大家发现，其实各种方法也许都能搞定，但是区别在于是否能够在短时间内搞定，所以我经常和学生说，导数难的不是方法，而是对方法的选择，尤其是短时间内找到合适的方法。
2023年导数压轴题题型解法归纳无答案
导数压轴题-----题型解法归纳一、导数在高考中旳地位：常作为压轴题来考察，尤其是解答题，至少占到14分；当然在选择题或者是填空题里也会出现1～2道，因此高考试卷中它占到了20分左右旳比重二、导数可以结合考察旳知识点：1、数列；2、不等式与方程；3、函数；4、解析几何其中最常见旳就是和函数、不等式旳结合，处理此类题目旳汉族到思想是构造新函数，运用导数求解单调性，进而证明不等式或者最值又或者是参数旳范围等等。
三、题型归纳：（新题、难题、考察知识点总结）（一）基础题目小试身手1.（不等式、函数旳性质）已知函数mxx x f ++=21ln )(（Ⅰ）为定义域上旳单调函数，求实数旳取值范围；)(x f m （Ⅱ）当时，求函数旳最大值；1-=m )(x f （Ⅲ）当时，且，证明：1=m 10≤<≤a b 2)()(34<--<ba b f a f 2.（不等式恒成立问题）设函数.),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-=（Ⅰ）求函数f （x ）旳单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意旳不等式恒成立，求旳取值范围],2,1[++∈a a x a x f ≤)('a 3．（导数旳简朴应用）已知函数xx f ln )(= （Ⅰ）若，求旳极大值；)()()(R a xa x f x F ∈+=)(x F （Ⅱ）若在定义域内单调递减，求满足此条件旳实数kx x f x G -=2)]([)(旳取值范围k 4.（不等式旳证明）已知函数．x x x f -+=)1ln()((1)求函数旳单调递减区间；(2)若，求证：≤≤)(x f 1->x 111+-x )1ln(+x x5、（不等式、存在性问题）已知，，)0,[),ln()(e x x ax x f -∈--=xx x g )ln()(--=其中是自然常数，e Ra ∈（1）讨论时, 旳单调性、极值;1-=a )(x f （2）求证：在（1）旳条件下，21)()(+>x g x f （3）与否存在实数，使旳最小值是3，若存在，求出旳值；若不a )(x f a 存在，阐明理由。
高考必做导数压轴题
祝愿各位考生获得成功！ ◇导数专题目 录一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围 （51）（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84）七、导数结合三角函数 （85）书中常用结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1xx<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.一、导数单调性、极值、最值的直接应用1. （切线）设函数a x x f -=2)(.（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得33±=x .所以当33=x 时，)(x g 有最小值932)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='=曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12122x a x x +=，∴12111211222x x a x x a x x x -=-+=-∵a x >1，∴02121<-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x ax x a x x a x x =⋅>+=+=11111212222222 所以a x x >>21.2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
导数的应用函数的最值问题详解
导数的应用函数的最值问题详解在数学中，导数是一个重要的概念，它可以用于解决函数的最值问题。
函数的最值指的是函数取得的最大值或最小值。
本文将详细讨论导数的应用，特别是在函数的最值问题中的应用。
一、导数的基本概念在开始讨论导数的应用之前，我们首先需要了解导数的基本概念。
对于一个函数f(x)，它在点x处的导数表示为f'(x)，也可以理解为函数在该点的斜率或变化率。
导数可以通过求函数的极限来定义，即f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h。
二、函数的最值问题函数的最值问题是数学中常见的问题之一，根据不同的情况可以分为两类：函数在闭区间上的最值问题和函数在开区间上的最值问题。
对于闭区间上的最值问题，我们只需要考虑函数在该区间的端点和驻点（导数等于零的点）即可。
而对于开区间上的最值问题，我们还需要考虑函数在区间的边界处的极限情况。
三、使用导数解决最值问题的步骤解决函数的最值问题通常可以遵循以下步骤：1. 求出函数的导数f'(x)；2. 找出f'(x)的零点，即导数为零的点，以及可能的驻点；3. 求出函数在端点、零点和驻点处的函数值；4. 比较这些函数值，得出函数的最值。
四、函数最值问题实例为了更好地理解导数在最值问题中的应用，我们来看一个具体的例子。
考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1在闭区间[0,2]上的最值问题。
首先，我们求出函数的导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
接下来，我们找出f'(x)的零点。
通过求解3x^2 - 6x + 2 = 0，我们可以得到x = 1 ± √(2/3)。
将这两个零点分别记为x1和x2。
然后，我们计算函数在端点、零点和驻点处的函数值。
f(0) = 1，f(2) = 1，f(x1) ≈ 4.12，f(x2) ≈ -0.12。
最后，我们比较这些函数值。
函数的最大值为f(x1) ≈ 4.12，最小值为f(x2) ≈ -0.12。
2016高考(北师大版)数学(理)压轴大题巧突破一：利用导数研究函数的极值、最值问题(共14张PPT)
压轴大题巧突破（一）利用导数研究函数的极值、最值问题
教你如何规范解答
不失分
……8分
由于f (x1)＝
f (;0， f(x1)－f(x2)＝
从而f(x1)>|f(x2)|.② 所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}. 10分
a.当 0<a<2/3时③，f(0)>|f(2)|. 又f(x1)－f(0)＝
故|f(x)|max＝f(x1)＝
压轴大题巧突破（一）利用导数研究函数的极值、最值问题
教你如何规范解答
不失分
b.当2/3 ≤ a <1时③，| f (2)|＝f (2)，且f (2)≥f (0)． 又f (x1)－|f (2)|＝
所以当2/3 ≤a< 3/4时 ④，f (x1)>|f (2)|.
故f (x)max＝f (x1)＝ 当3/4 ≤a< 1时, ④ f (x1)≤|f (2)|.故f (x)max＝|f (2)|＝3a－1…13分
压轴大题巧突破（一）利用导数研究函数的极值、最值问题
教你如何化整为零
破难题
[典例] (2013·浙江高考)(14分) 已知a∈R，函数 f (x)＝ x3－3x2＋3ax－3a＋3. (1)求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当x∈[0,2]时，求| f (x) |的最大值． 【化整为零】 第(2)问基础问题3： 如何求f(x)在[0,2]上的极值？
压轴大题巧突破（一）利用导数研究函数的极值、最值问题
教你如何化整为零
破难题
[典例] (2013·浙江高考)(14分) 已知a∈R，函 数 f (x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3. (1)求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当x∈[0,2]时，求| f (x) |的最大值．
导数的距离问题专题
导数的距离问题专题1．设点P 在曲线x e y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为（ ） A.1ln2- B.)2ln 1(2- C.1ln2+ D.)2ln 1(2+答案：B.（2012全国新课标1卷理数12）2．设函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈.若存在0x ，使得04()5f x ≤成立，则实数a 成立，则实数a 的值为（ ）A ．15B ． 25C ． 12D ． 答案：A2．已知3,ln 3ln ln -==-bd c a ，则22)()(c d b a -+-的最小值为 （ ） A ．5103 B ．518 C ．516 D ．512 答案：B3.选B 答案54.（2015级绵阳一诊）若存在实数x ，使得关于x 的不等式222()12910x e a x ax a -+-+≤（其中e 为自然对数的底数）成立，则实数a 的取值集合为( )A ． 1{}9B ．1[,)9+∞C ．1{}10D ．1[,)10+∞ 答案: C ．5.设函数222()()()(R)4e a f x x a a -=+-∈，若关于x 的不等式1()5f x ≤有解，则实数a 的值为（ ） A.15 B.14 C. 0 D.12答案：A6.已知实数,,,a b c d 满足：2e a b a =-，4c d +=，其中e 是自然对数的底数，则22()()a c b d -+-的最小值为( )A.1B.18C. 20D.22答案：B7. 若实数,,,a b c d 满足22(eln )(3)0b a c d -+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为 答案：928.已知实数,a b 满足ln(1)30b a b ++-=，实数,c d 满足20d c -=，则22()()a c b d -+-的最小值为_________答案：19.已知实数,,,a b c d 满足2e 111a a cb d --==-,其中e 是自然对数的底数，则22()()ac bd -+-的最小值为( A )A.8B.10C.12D.18答案A10、 ( 2015年2月甘肃省部分普通高中高三第一次联考理12)已知实数满足其中是自然对数的底数, 则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．,,,a b c d 1112=--=-d c b e a a e 22()()a c b d -+-481218【答案】B【解析】试题分析：实数满足，， 因此点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线到直线上点的距离最小值的平方，求曲线平行于直线的切线， ，令，得，因此切点，切点到直线的距离，就是两曲线的最小距离，的最小值，故答案为B.考点：1、求切线方程；2、两点间的距离公式.11.已知ln ln3ln a c -=，3bd =，求22()()a c b d -+-的最小值 答案：185 12.（贵州省八校联盟2015届高三第二次联考试题数学理16）实数d c b a ,,,满足++-2a b ()0ln 322=-+d d c ，则22)()(c a d b -+-的最小值是.【答案】8【解析】试题分析：由题意可知，02=+-a b ，0ln 32=-+d d c . 点),(a b 满足方程02=+-y x ，点),(c d 满足方程0ln 32=-+x x y ，从而22)()(c a d b -+-可转化为直线02=+-y x 上的点到曲线0ln 32=-+x x y 的距离的平方. 令x x x f ln 3)(2+-=，则132)('=+-=x x x f ，解得1=x 或23-=x （舍），而1)1(-=f ，所以点)1,1(-到直线d c b a ,,,1112=--=-d c b e a a a e a b 2-=∴c d -=2()b a ,x e x y 2-=()d c ,x y -=2()()22d b c a -+-x e x y 2-=x y -=2xe x y 2-=x y -=2x e y 21-='121-=-='x e y 0=x ()2,0-x y -=22211220=+--=d ()()22d b c a -+-82=d02=+-y x 的距离222211=++=d 为直线02=+-y x 上的点到曲线0ln 32=-+x x y 的最小值，所以22)()(c a d b -+-的最小值为8. 考点：1、导数在研究函数中的应用；2、点到直线的距离公式。
专题11 导数中的极值偏移问题(全题型压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习
当1
x 1
x 2
时，不等式
x1
x2
2 显然成立；
当 0 x1 1， x2 2 时，不等式 x1 x2 2 显然成立；
当 0 x1 1， 0 x2 2 时，由（1）知 f (x) 在( 0, 1) 内单调递减，因为存在 x1 x2 ，使得 f x1 f x2 ，所以
1 x2 2 ， 要证 x1 x2 2 ，只要证 x1 2 x2 ， 因为1 x2 2 ，所以 0 2 x2 1，又 f (x) 在( 0, 1) 内单调递减，
所以 f x 有一个零点，故 B 错误；
对于 C，因为 f x 在 0, 单调递增，所以 x 0 时， f x f 0 1 ，
所以 k 1，故 C 错误；
对于 D，因为 f x 在 , 2 单调递减， 2, 在单调递增，
且 f x 唯一零点为 1，当 x 时， f x 0 且 f x 0 ，
3．（2023
春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数
f
x
x2 ax ex
，
aR
(1)若 a 2 ，求 f x 的单调区间；
(2)若
a
1，
x1，
x2
是方程
f
x
lnx 1 ex
的两个实数根，证明：
x1
x2
2
．
【答案】(1)单调递增区间为 2 2, 2 2 ，单调递减区间为 , 2 2 ， 2 2,
不妨设 0 x1 1 x2 ，∵ 0 x1 1，∴ 2 x1 1，
设 G x g x g 2 x ，则 G x lnx x2 x 1 ln 2 x 2 x2 2 x 1 lnx ln 2 x 2x 2 ，
G
x
专题1.12 导数-极值、最值问题(解析版)
②当1 ≤ t < 3 时， f (x) 在 (t,3) 上递减，在 (3, +∞) 上递增；
③当 t ≥ 3 时， f (x) 在 (t, +∞) 上递增； （2）因为 f (x) 在[m, m +1] 上的最大值为 f (m) ，
所以由（1）可得
1 ≤ m < 3
f
(m)
≥
f
(m
+1)
，解得1
专题 1.12 导数-极值、最值问题
1．高考对本部分的考查一般有三个层次： （1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将 导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．
h ( x) =x − (e −1) lnx −1，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即
可得到结论．
( ) 【解析】（1）令函数 g ( x) =
ex
+
1 ex
−a
−x3 + 3x
，
( ) 则 g′( x) = ex − e1x + 3a
x2 −1
．当
x…1
时，
ex
−
1 ex
> 0, x2 −1…0 ，
+
2a −1 x2
=− 2ax
−
x − (2a x2
− 1)
=− (x
− 1)(2ax x2
+
2a
− 1)
，
①当 a
=
0 时，ห้องสมุดไป่ตู้
mst数学导数压轴专题
mst数学导数压轴专题摘要：一、导数的基本概念与意义二、导数的计算方法与技巧三、导数在实际问题中的应用四、数学导数压轴题型解析五、解题策略与实战经验分享正文：一、导数的基本概念与意义导数是微积分的一个重要概念，它表示函数在某一点的变化率。
在数学学习中，导数有助于我们研究函数的性质、趋势以及与其他函数的关系。
掌握导数的概念和意义，有助于解决一系列实际问题。
二、导数的计算方法与技巧求导是解决导数问题的关键。
常见的求导方法有：直接求导法、链式法则、隐函数求导法、参数方程求导法等。
熟练掌握这些求导方法和技巧，能帮助我们更快地解决导数问题。
三、导数在实际问题中的应用导数在实际问题中有广泛的应用，如物理、化学、生物、经济学等领域。
通过导数，我们可以研究物体运动的加速度、反应速率、股票价格的变化等。
在实际问题中，导数可以帮助我们找到问题的关键，建立数学模型，进而解决实际问题。
四、数学导数压轴题型解析数学导数压轴题型主要包括以下几种：1.导数与函数的性质：如求函数的极值、最值、单调区间等；2.导数与几何：如求曲线切线、法线，研究曲线形状等；3.导数与微分：如求曲线长度、曲线围绕某点的曲率等；4.导数与实际问题：如求最优解、变化速率等。
五、解题策略与实战经验分享1.分析题目，确定求导方法；2.熟练运用求导公式和技巧；3.注意审题，挖掘已知条件；4.灵活运用数学知识，如三角函数、指数函数、对数函数等；5.解题过程中注意检验，确保答案的正确性；6.总结经验，提高解题速度和准确率。
通过以上步骤，我们可以更好地应对数学导数压轴题型，提高自己的解题能力。
mst数学导数压轴专题
mst数学导数压轴专题【原创实用版】目录1.MST 数学导数压轴专题简介2.导数的概念和意义3.导数的计算方法和技巧4.导数在实际问题中的应用5.MST 数学导数压轴专题的优势和价值正文【MST 数学导数压轴专题简介】MST 数学导数压轴专题是一门针对高中数学导数部分的课程，旨在帮助学生巩固和提高导数相关知识，以便在高考中取得优异成绩。
导数是微积分的基础，也是高中数学的重要组成部分，对于培养学生的数学思维和解决实际问题具有重要意义。
【导数的概念和意义】导数是函数在某一点处的变化率，表示函数在这一点的切线斜率。
导数在数学中有着广泛的应用，如求解函数的极值、曲率、变化率等。
导数的概念和意义可以从以下几个方面来理解：1.导数是函数在某一点的局部性质，可以反映函数在这一点的变化趋势。
2.导数是函数在某一点的瞬时变化率，可以表示函数在这一点的切线斜率。
3.导数可以用于求解函数的极值和最值，有助于解决实际问题。
【导数的计算方法和技巧】求导是导数研究的核心，常见的求导方法有：直接求导法、对数求导法、反函数求导法、隐函数求导法、参数方程求导法和复合函数求导法等。
在求导过程中，还需要注意以下几点：1.熟练掌握常见函数的导数公式，以便快速求解。
2.注意导数的符号，以便判断函数的单调性。
3.灵活运用求导法则，解决复杂问题。
【导数在实际问题中的应用】导数在实际问题中有着广泛的应用，如求解速度与加速度、最值问题、变化率、切线方程等。
在解决实际问题时，需要将导数的理论知识与实际问题相结合，运用导数解决实际问题。
【MST 数学导数压轴专题的优势和价值】MST 数学导数压轴专题具有以下优势和价值：1.针对性强，针对高考中的导数题目进行专项训练，提高学生的应试能力。
2.内容全面，涵盖了导数的概念、计算方法和实际应用，帮助学生全面掌握导数知识。
3.方法技巧丰富，提供多种求导方法和技巧，帮助学生解决复杂问题。
导数法求函数最值——以２０２２年新高考Ⅰ卷一道数学真题为例
解法探究２０２３年４月上半月㊀㊀㊀导数法求函数最值以２０２２年新高考Ⅰ卷一道数学真题为例◉南京师范大学附属中学江宁分校㊀李中阳㊀纪㊀晖㊀㊀摘要:运用导数求函数最值的方法具有普遍性,通常是找出该区间上导数值为０的点,不必判断出是极大值点还是极小值点,只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较,其中最大的就是函数的最大值,最小的就是函数的最小值．关键词:导数法;方法与步骤;真题再现;类题演练;方法与技巧㊀㊀ 最值 与 极值 是两个不同的概念, 最值 是函数定义域上的整体性质,而 极值 则是局部性质．求函数的最值类问题几乎涉及到了高中数学的每一个分支,加之又常常有附加条件与实际应用问题联系在一起,更增加了它的难度,成为高中学生眼中最难学的内容之一;又因为这类问题知识覆盖面广㊁综合性强㊁解题方法灵活,备受命题人的青睐[１],被编拟出各种形式的综合题型来 考基础㊁考能力 ,成为历年高考数学的热点问题．因此,很有必要让学生掌握一些常用的解题方法与技巧．最常用的求最值的方法有代数法㊁三角法㊁数形结合法和导数法[２]等．下面笔者结合２０２２年新高考Ⅰ卷的一道真题,介绍运用导数法求函数最值的方法与技巧．１方法与步骤设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,求f(x)最大值与最小值的一般步骤如下:图１①求f(x)在(a,b)上的极值;②将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值．如图１,f(x)的极值是局部概念,而最大(小)值则可作做整体概念,即在定义域内最大或最小;若函数在定义域(a,b)内只有一个极值点,则该点也是最值点．２真题再现(２０２２年新高考Ⅰ卷第２２题)已知函数f(x)＝e x－a x和g(x)＝a x－l n x有相同的最小值．(１)求a;(２)证明:存在直线y＝b,其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．解:(１)f(x)＝e x－a x的定义域为R,而fᶄ(x)＝e x－a．若aɤ０,则fᶄ(x)＞０,此时f(x)无最小值,故a＞０．函数g(x)＝a x－l n x的定义域为(０,＋ɕ),而gᶄ(x)＝a－１x＝a x－１x．当x＜l n a时,fᶄ(x)＜０,f(x)在(－ɕ,l n a)上为减函数;当x＞l n a时,fᶄ(x)＞０,f(x)在(l n a,＋ɕ)上为增函数．故f(x)m i n＝f(l n a)＝a－a l n a．当０＜x＜１a时,gᶄ(x)＜０,g(x)在(０,１a)上为减函数;当x＞１a时,gᶄ(x)＞０,g(x)在(１a,＋ɕ)上为增函数．故g(x)m i n＝g(１a)＝１－l n１a．因为f(x)＝e x－a x和g(x)＝a x－l n x有相同的最小值,所以１－l n１a＝a－a l n a,整理得到a－１１＋a＝l n a,其中a＞０．设g(a)＝a－１１＋a－l n a,a＞０,则gᶄ(a)＝２(１＋a)２－１a＝－a２－１a(１＋a)２ɤ０,所以g(a)为(０,＋ɕ)上的减函数．又g(１)＝０,故g(a)＝０的唯一解为a＝１,即１－a１＋a＝l n a的解为a＝１．２７Copyright©博看网. All Rights Reserved.２０２３年４月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀综上,a＝１．(２)由(１)可知,f(x)＝e x－x和g(x)＝x－l n x 的最小值为１－l n１＝１．当b＞１时,考虑方程e x－x＝b以及x－l n x＝b 的解的个数．设S(x)＝e x－x－b,则Sᶄ(x)＝e x－１．当x＜０时,Sᶄ(x)＜０;当x＞０时,Sᶄ(x)＞０．所以S(x)在(－ɕ,０)上为减函数,在(０,＋ɕ)上为增函数,故S(x)m i n＝S(０)＝１－b＜０．而S(－b)＝e－b＞０,S(b)＝e b－２b．设函数u(b)＝e b－２b,b＞１,则uᶄ(b)＝e b－２＞０,所以u(b)在(１,＋ɕ)上为增函数,故u(b)＞u(１)＝e－２＞０．因此S(b)＞０,故S(x)＝e x－x－b有两个不同的零点,即方程e x－x＝b有２个解．设T(x)＝x－l n x－b,则Tᶄ(x)＝x－１x．当０＜x＜１时,Tᶄ(x)＜０;当x＞１时,Tᶄ(x)＞０．所以T(x)在(０,１)上为减函数,在(１,＋ɕ)上为增函数,故T(x)m i n＝T(１)＝１－b＜０．而T(e－b)＝e－b＞０,T(e b)＝e b－２b＞０,故T(x)＝x－l n x－b有两个不同的零点,即方程x－l n x＝b 有２个解．由(１)讨论可知,当b＝１,函数y＝x－l n x－b和y＝e x－x－b都只有一个零点;当b＜１时,函数y＝x－l n x－b和y＝e x－x－b均无零点．故若存在直线y＝b与曲线y＝f(x),y＝g(x)有三个不同的交点,则b＞１．设h(x)＝e x＋l n x－２x,其中x＞０,则hᶄ(x)＝e x＋１x－２．设s(x)＝e x－x－１,x＞０,则sᶄ(x)＝e x－１＞０,所以s(x)在(０,＋ɕ)上为增函数,故s(x)＞s(０)＝０,即e x＞x＋１．因此,hᶄ(x)＞x＋１x－１ȡ２－１＞０,所以h(x)在(０,＋ɕ)上为增函数．又h(１)＝e－２＞０,h(１e３)＝e１e－３－２e３＜e－３－２e３＜０,故h(x)在(０,＋ɕ)上有且只有一个零点x０,且１e３＜x０＜１．当０＜x＜x０时,h(x)＜０,即e x－x＜x－l n x,亦即f(x)＜g(x);当x＞x０时,h(x)＞０,即e x－x＞x－l n x,亦即f(x)＞g(x)．因此,若存在直线y＝b与曲线y＝f(x),y＝g(x)有三个不同的交点,则b＝f(x０)＝g(x０)＞１．此时,y＝e x－x－b有两个不同的零点x１,x０(x１＜０＜x０);y＝x－l n x－b有两个不同的零点x０,x４(０＜x０＜１＜x４)．故e x－x１＝b,e x－x０＝b,x４－l n x４－b＝０, x０－l n x０－b＝０．所以x４－b＝l n x４,则e x－b＝x４,即e x－b－(x４－b)－b＝０,故x４－b为方程e x－x＝b的解．同理x０－b也为方程e x－x＝b的解．又因为e x－x１＝b可化为e x＝x１＋b,则x１－l n(x１＋b)＝０,即(x１＋b)－l n(x１＋b)－b＝０,故x１＋b为方程x－l n x＝b的解．同理x０＋b也为方程x－l n x＝b的解．所以x１,x０{}＝x０－b,x４－b{},且b＞１．故x０＝x４－b,x１＝x０－b,{即x１＋x４＝２x０．方法与技巧:本题算得上是一道压轴题,第(１)小题由导数知识可得函数的单调性,进而可求得相应的最小值,再根据最小值相等可求出a,解答中要注意分类讨论．第(２)小题,根据第(１)小题的结果可知,当b＞１时,方程e x－x＝b和x－l n x＝b的解的个数均为２,构建新函数h(x)＝e x＋l n x－２x,利用导数可得该函数只有一个零点,且可得f(x),g(x)的大小关系．根据存在直线y＝b与曲线y＝f(x),y＝g(x)有三个不同的交点可得b的取值,再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列．从本题解题思路可以看出,求函数的最值类问题,往往需要利用导数讨论函数的单调性,此时要注意对参数进行分类讨论,进而利用方程的特征找到两类根之间的关系．３类题演练例１㊀已知函数f(x)＝a x３＋x２＋b x(其中常数a,bɪR),g(x)＝f(x)＋fᶄ(x)是奇函数．(１)求f(x)的表达式;(２)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在[１,２]上的最大值与最小值．解:(１)由题意可得fᶄ(x)＝３a x２＋２x＋b,因此g(x)＝f(x)＋fᶄ(x)＝a x３＋(３a＋１)x２＋(b＋２)x＋b．因为函数g(x)是奇函数,所以g(－x)＝－g(x),即对任意实数x,恒有a(－x)３＋(３a＋１)(－x)２＋(b＋２)(－x)＋b＝－[a x３＋(３a＋１)x２＋(b＋２)x＋３７Copyright©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年４月上半月㊀㊀㊀b ],从而３a ＋１＝０,b ＝０,解得a ＝－１３,b ＝０．因此f (x )的表达式为f (x )＝－１３x ３＋x ２．(２)由(１)可知g (x )＝－１３x ３＋２x ,所以g ᶄ(x )＝－x ２＋２．令g ᶄ(x )＝０,解得x １＝－２,x ２＝－２．所以函数g (x )在[１,２]上单调递增,在[２,２]上单调递减．因此,g (x )在区间[１,２]上的最大值与最小值只能在x ＝１,２,２时取得．而g (１)＝５３,g (２)＝４２３,g (２)＝４３,故g (x )在区间[１,２]上的最大值为g (２)＝４２３,最小值为g (２)＝４３．方法与技巧:求函数在闭区间上的最值,关键是判断函数在该区间上的单调性,如果通过单调性可得出函数图象,进而求出最值,那就没必要比较端点值与极值的大小．例２㊀已知函数h (x )＝x ３＋a x ２＋１４a ２x ＋１(a ＞０)．(１)判断函数h (x )的单调性;(２)求函数h (x )在区间(－ɕ,－１]上的最大值．解:(１)由h (x )＝x ３＋a x ２＋１４a ２x ＋１,得h ᶄ(x )＝３x ２＋２a x ＋１４a ２．令h ᶄ(x )＝０,得x １＝－a ２,x ２＝－a６．a ＞０时,h (x )与h ᶄ(x )的变化情况如下:x(－ɕ,－a２)－a ２(－a ２,－a ６)－a６(－a ６,＋ɕ)h ᶄ(x )＋０－０＋h (x )单调递增单调递减单调递增㊀㊀所以函数h (x )的单调递增区间为(－ɕ,－a２)和(－a ６,＋ɕ),单调递减区间为(－a ２,－a６)．(２)当－a２ȡ－１,即０＜a ɤ２时,函数h (x )在区间(－ɕ,－１]上单调递增,所以函数h (x )在区间(－ɕ,－１]上的最大值为h (－１)＝a －１４a ２．当－a ２＜－１,且－a６ȡ－１,即当２＜a ɤ６时,函数h (x )在区间(－ɕ,－a２)上单调递增,在区间(－a ２,－１]上单调递减,所以函数h (x )在区间(－ɕ,－１]上的最大值为h (－a２)＝１．当－a６＜－１,即a ＞６时,函数h (x )在区间(－ɕ,－a ２)上单调递增,在区间(－a ２,－a６)上单调递减,在区间(－a６,－１]上单调递增．又因为h (－a ２)－h (－１)＝１－a ＋１４a ２＝１４(a －２)２＞０,所以函数h (x )在区间(－ɕ,－１]上的最大值为h (－a２)＝１．综上所述,当０＜a ɤ２时,函数h (x )的最大值为－１４a ２＋a ;当a ＞２时,函数h (x )的最大值为１．方法与技巧:解答本题的关键是分类讨论．所以,在解答含有参数的函数最值类问题时,一定要注重对参数的分类讨论,以确定函数单调性．若函数的定义域为开区间,且在定义域内只有一个极值点,则该极值点为最值点．４结论从上述典型例题的方法与技巧分析中可以看出,运用导数法求函数y ＝f (x )最值的步骤可概括为:①考虑函数的定义域并求f ᶄ(x )．②解方程f ᶄ(x )＝０,得到方程的根x ０(可能不止一个)．③如果在x ０附近的左侧f ᶄ(x )＞０,右侧f ᶄ(x )＜０,那么f ᶄ(x ０)是极大值;如果在x ０附近的左侧f ᶄ(x )＜０,右侧f ᶄ(x )＞０,那么f ᶄ(x ０)是极小值．参考文献:[１]陈勇．利用导数求函数的最值[J ]．大观周刊,２０１２(１):１３３．[２]张云．赏析利用导数求函数的极值㊁最值[J ]．中学生数理化(高考数学),２０２１(５):３Ｇ６．Z ４７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
导数中的“距离”问题(解析版)
导数中的“距离”问题【题型归纳目录】题型一：曲线与直线的距离题型二：曲线与点的距离题型三：曲线与圆的距离题型四：曲线与抛物线的距离题型五：曲线与曲线的距离题型六：横向距离题型七：纵向距离【典例例题】题型一：曲线与直线的距离例1.已知函数f (x )=(x +a )2+(ln x +ea )2，若存在x 0，使得f (x 0)≤4e 2+1，则实数a 的值是 ．【解答】解：∵f (x )=(x +a )2+(ln x +ea )2，∴函数f (x )可看作动点M (x ,ln x )与动点N (-a ,-ea )之间距离的平方，动点M 在y =ln x 的图像上，N 在y =ex 的图像上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y =ln x ，得y ′=1x =e ，则x =1e ，故曲线上的点M 1e ，-1 到直线y =ex 距离的最小值是d =2e 2+1，则f (x )≥4e 2+1，根据题意若存在x 0，使得f (x 0)≤4e 2+1，则f (x 0)=4e 2+1，此时N 恰为垂足，由K MN =-1e ，故-ea -(-1)-a -1e =-1e ，解得：a =e 2-1e 3+e ，故答案为：e 2-1e 3+e．例2.已知函数f (x )=(x +a )2+e x +a e 2，若存在x 0，使得f (x 0)≤4e 2+1，则实数a 的值为 ．【解答】解：函数f (x )=(x +a )2+e x +a e2，函数f (x )可以看作是动点M (x ,e x )与动点N -a ,-ae 之间距离的平方，动点M 在函数y =e x 的图象上，N 在直线y =1ex 的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y =e x 得，y ′=e x =1e ，解得x =-1，所以曲线上点M -1,1e 到直线y =1e x 的距离最小，最小距离d =2e 2+1，则f (x )≥4e 2+1，根据题意，要使f (x 0)≤4e 2+1，则f (x 0)=4e 2+1，此时N 恰好为垂足，由k MN =-a e -1e-a +1=-e ，解得a =e 2-1e 2+1．故答案为：e 2-1e 2+1．例3.若实数a ，b ，c ，d 满足(b +a 2-3ln a )2+(c -d +2)2=0，则(a -c )2+(b -d )2的最小值为 ．【解答】解：∵实数a ，b ，c ，d 满足(b +a 2-3ln a )2+(c -d +2)2=0，∴b +a 2-3ln a =0，c -d +2=0．分别设y =f (x )=3ln x -x 2(x >0)，y =x +2．设直线y =x +2与曲线y =3ln x -x 2(x >0)相切于点P (x 0，y 0)．则f ′(x )=3x -2x ，f ′(x 0)=3x 0-2x 0=1，解得x 0=1，∴y 0=-1．∴P (1,-1)．∴点P 到直线y =x +2的距离d =|1+1+2|2=22．则(a -c )2+(b -d )2的最小值为22．故答案为：22．例4.设函数f (x )=(x -a )2+(2ln x -2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数x 0a的值是 ．【解答】解：函数f (x )可以看作是动点M (x ,ln x 2)与动点N (a ,2a )之间距离的平方，动点M 在函数y =2ln x 的图象上，N 在直线y =2x 的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y =2ln x 得，y =2x=2，解得x =1，∴曲线上点M (1,0)到直线y =2x 的距离最小，最小距离d =25，则f (x )≥45，根据题意，要使f (x 0)≤45，则f (x 0)=45，此时N 恰好为垂足，由y =2x y =-12(x -1)可得N 15,25∴x0=1,a=15，实数x0a的值是5故答案为：5例5.已知函数f(x)=x2-2ax+e6x-6ae3x+10a2的最小值是110，则a的值是【解答】解：函数f(x)=x2-2ax+e6x-6ae3x+10a2 =(x2-2ax+a2)+(e6x-6ae3x+9a2)=(x-a)2+(e3x-3a)2，可得f(x)表示两点(x,e3x)，(a,3a)的距离的平方，即有函数y=e3x，y=3x图象上的两点距离的最小值的平方为1 10，设直线y=3x+t与函数y=e3x的图象相切，设切点为(m,n)，可得3=3e3m，解得m=0，即有切点为(0,1)，则(0-a)2+(1-3a)2=1 10，解得a=3 10，则a的值为0.3．例6.设函数f(x)=(x-a)2+4(ln x-a)2，其中x>0，a∈R．若存在正数x0，使得f(x0)≤45成立，则实数a的值是( )A.15B.25C.12D.1【解答】解：函数f(x)可以看作是动点M(x,ln x2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，动点M在函数y=2ln x的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2ln x得，y =2x=2，解得x=1，∴曲线上点M(1,0)到直线y=2x的距离d=255，则f(x)≥4 5，根据题意，要使f(x0)≤45，则f(x0)=45，此时N恰好为垂足，由k MN=2a-0a-1=-12，解得a=15．故选：A．例7.设函数f(x)=(x-a)2+(ln x2-2a)2，其中x>0，a∈R，存在x0使得f(x0)≤b成立，则实数b的最小值为( )A.15B.25C.45D.1【解答】解：函数f (x )可以看作动点P (x ，ln x 2)与点Q (a ,2a )的距离的平方，点P 在曲线y =2ln x 上，点Q 在直线y =2x 上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由y =2ln x 求导可得y ′=2x，令y ′=2，解得x =1，此时y =2ln 1=0，则M (1,0)，所以点M (1,0)到直线y =2x 的距离d =222+(-1)2=255即为直线与曲线之间最小的距离，故f (x )min =d 2=45．由于存在x 0使得f (x 0)≤b ，则f (x )min ≤b ，即b ≥45，故选：C ．例8.已知函数f (x )=12(x -2t )3+12x -ln t +1 3-32ax ，若对任意的正实数t ，f (x )在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.-∞，43B.-∞，92C.-∞，94D.-∞，165【解答】解：∵f (x )=12(x -2t )3+12x -ln t +1 3-32ax ，∴f ′(x )=32(x -2t )2+3212x -ln t +1 2-32a ，又对任意的正实数t ，f (x )在R 上都是增函数，∴f ′(x )=32(x -2t )2+3212x -ln t +1 2-32a ≥0在x ∈R 上恒成立，即a ≤(x -2t )2+12x -ln t +1 2在x ∈R 上恒成立，∵(x -2t )2+12x -ln t +1 2的几何意义为动点(2t ,ln t -1)到直线y =12x ，即x -2y =0上点的距离的平方，其最小值为(2t -2ln t +2)25．令g (t )=2(t -ln t +1)，g ′(t )=2(t -1)t，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0，当t ∈(1,+∞)时，g ′(t )>0，∴g (t )min =g (1)=4，则(2t -2ln t +2)25的最小值为165．∴实数a 的取值范围是-∞,165 ．故选：D ．例9.已知实数a ，b ，c ，d 满足|ln (a -1)-b |+|c -d +2|=0，则(a -c )2+(b -d )2的最小值为( )A.22B.8C.4D.16【解答】解：由题意可知，b =ln (a -1)，d =c +2，(a -c )2+(b -d )2的几何意义为曲线b =ln (a -1)上的点(a ,b )到直线d =c +2上的点(c ,d )连线的距离的平方，不妨设曲线y=ln(x-1)，直线y=x+2，设与直线y=x+2平行且与曲线y=ln(x-1)相切的直线方程为y=x+m，显然直线y=x+2与直线y=x+m的距离的平方即为所求，由y=ln(x-1)，得y =1x-1，设切点为(x0，y0)，则1x0-1=1y0=x0+my0=ln(x0-1)，解得x0=2m=-2y0=0，∴直线y=x+2与直线y=x+m的距离为|2+2|2=22，∴(a-c)2+(b-d)2的最小值为8．故选：B．题型二：曲线与点的距离例10.若点A(0,t)与曲线y=ln x上点B距离最小值为23，则实数t为( )A.ln2+3B.ln3+2C.12ln3+3D.12ln2+2【解答】解：设点B坐标为(x0，ln x0)，其中x0>0，∵y =1x，∴过点B的切线斜率为1x，∵当直线AB与过点B的切线垂直时，点A与点B间的距离最小，∴此时ln x0-tx0=-x0，∴ln x0-t=-x02，点A与点B间的距离最小值x02+(ln x0-t)2=x02+x04=23，即x04+x02-12=0，解得：x02=3，又∵x0>0，∴x0=3，∴t=ln x0+x02=ln3+3=12ln3+3，故选：C．例11.若点A(t,0)与曲线y=e x上点P的距离的最小值为23，则实数t的值为( )A.4-ln23B.4-ln22C.3+ln33D.3+ln32【解答】解：y=e x的导数为y′=e x，设P(m,e m)，可得过P的切线的斜率为e m，当AP垂直于切线时，AP取得最小值23，可得e mm-t=-1e m，且(m-t)2+e2m=23，可得(m-t)2-(m-t)-12=0，解得m -t =-3(4舍去)，即有e 2m =t -m =3，解得m =ln32，t =3+ln32，故选：D ．题型三：曲线与圆的距离例12.已知点P 为函数f (x )=ln x 的图象上任意一点，点Q 为圆x -e +1e2+y 2=1任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为( )A.e -e 2-1eB.2e 2+1-eeC.e 2+1-eeD.e +1e-1【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q e +1e ，0到函数f (x )=ln x 图象上一点的距离的最小值．设f (x )图象上一点(m ,ln m )，由f (x )的导数为f ′(x )=1x，即有切线的斜率为k =1m，可得ln m -0m -e +1e=-m ，即有ln m +m 2-e +1e m =0，由g (x )=ln x +x 2-e +1e x ，可得g ′(x )=1x +2x -e +1e ，当2<x <3时，g ′(x )>0，g (x )递增．又g (e )=ln e +e 2-e +1e⋅e =0，可得x =e 处点(e ,1)到点Q 的距离最小，且为1+1e 2，则线段PQ 的长度的最小值为1+1e2-1，即1+e 2-ee．故选：C ．例13.已知点P 为函数f (x )=ln x +e (x >2)图象上任意一点，点Q 为圆x -e +1e+1 2+y 2=1上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为( )A.1+e 2(1+e )-ee B.2e 2+1-ee C.e 2+1-e eD.e -e 2-1e【解答】解：设P (x ,ln x +e )，又圆x -e +1e +1 2+y 2=1的圆心为M e +1e+1,0 ，令g (x )=PM 2=x -e -1e -1 2+(ln x +e )2，g ′(x )=2x -2e +1e +1 +2e x +2ln xx，(x >2)．g ′′(x )=2--2e x 2+1-ln xx 2=2(x 2+1-ln x -e )x 2>0，∴g ′(x )单调递增，而g ′(e )=0．∴g (x )在(2,e )递减，在(e ,+∞)递增，∴g (x )min =g (e )=(1+e )2e 2+(1+e )2=(1+e 2)(1+e )2e 2，∴(PM )min =1+e 2(1+e )e，则线段PQ 的长度的最小值为1+e 2(1+e )e-1，故选：A ．例14.已知点P 为函数f (x )=ln x 的图象上任意一点，点Q 为圆x -e +1e 2+y 2=14上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为( )A.e -e 2-1eB.2e 2+1-e 2eC.e 2+1-e 2eD.e +1e -12【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心C e +1e ，0到函数f (x )=ln x 图象上一点的距离的最小值．设f (x )图象上一点(m ,ln m )，由f (x )的导数为f ′(x )=1x ，即有切线的斜率为k =1m，可得ln m -0m -e +1e=-m ，即有ln m +m 2-e +1e m =0，由g (x )=ln x +x 2-e +1e x ，可得g ′(x )=1x +2x -e +1e ，当2<x <3时，g ′(x )>0，g (x )递增．又g (e )=ln e +e 2-e +1e∙e =0，可得x =e 处点P (e ,1)到点Q 的距离最小，且为1+1e2，则线段PQ 的长度的最小值为1+1e2-12=2e 2+1-e2e ．故选：B ．例15.已知点P 为函数f (x )=e x 的图象上任意一点，点Q 为圆(x -1)2+y 2=1上任意一点，则线段PQ长度的最小值为( )A.2-1B.1C.2D.3-1【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q(1,0)到函数f(x)=e x图象上一点的距离的最小值．设f(x)图象上一点(m,e m)，由f(x)的导数为f′(x)=e x，即有切线的斜率为k=e m，可得e mm-1=-e-m，即有e2m+m-1=0，由g(x)=e2x+x-1，可得g′(x)=2e2x+1>0，g(x)递增．又g(0)=0，可得x=0处点(0,1)到点Q的距离最小，且为2，则线段PQ的长度的最小值为2-1，故选：A．题型四：曲线与抛物线的距离例16.设φ(a，b)=(a-b)2+ln a-b2 42+b24(a>0,b∈R)，当a，b变化时φ(a,b)的最小值为 ．【解答】解：设f(x)=ln x,g(x)=x24，则(a-b)2+ln a-b242表示函数f(x)上一点P(a,ln a)与函数g(x)上一点Q b,b24之间的距离，又函数g(x)=x24表示焦点为F(0,1)，准线为y=-1的抛物线，由抛物线的定义可得b24=|QF|-1，∴φ(a，b)=(a-b)2+ln a-b242+b24(a>0,b∈R)的几何意义即为|PQ|+|QQ′|=|PQ|+|QF|-1，作出示意图如下，由图观察可知，当点P运动至点P′，且FP′垂直于过点P′的函数f(x)=ln x的切线，点Q为线段FP′与函数g(x)=x24的交点时，|PQ|+|QF|-1最小，设P ′(x 0，y 0)，f ′(x )=1x，则y 0-1x 0⋅1x 0=-1y 0=ln x 0，解得x 0=1y 0=0，即P ′(1,0)，∴|PQ |+|QF |-1的最小值为|FP ′|-1=1+1-1=2-1．故答案为：2-1．例17.设D =(x -a )2+ln x -a 24 2+a 24+1．(a ∈R )，则D 的最小值为( )A.22B.1C.2D.2【解答】解：S =(x -a )2+ln x -a 242(a ∈R )，其几何意义为：两点(x ．ln x )，a ,a 24的距离的平方，由y =ln x 的导数为y ′=1x ，∴k =1x 1点a ,a 24 在曲线y =14x 2上，∴y ′=12x ，∴k =12x 2，令f (x )=ln x ，g (x )=14x 2，则D (x )=(x 1-x 2)2+[f (x1)-g (x 2)]2+g (x 2)+1，而g (x 2)+1是抛物线y =14x 2上的点到准线y =-1的距离，即抛物线y =14x 2上的点到焦点(0,1)的距离，则D 可以看作抛物线上的点(x 2，g (x 2))到焦点距离和到f (x )=ln x 上的点的距离的和，即|AF |+|AB |，由两点之间线段最短，得D 的最小值是点F (0,1)到f (x )=ln x 上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，这样就最小，即取B (x 0，ln x 0)，则f (x 0)∙ln x 0x 0=-1，垂直，则ln x 0-1=-x 02，解得x 0=1，∴F 到B (1,0)的距离就是点F (0,1)到f (x )=ln x 上的点的距离的最小值，∴D 的最小值为|DF |=2．故选：C ．题型五：曲线与曲线的距离例18.设点P在曲线y=12e x上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )A.1-ln2B.2(1-ln2)C.1+ln2D.2(1+ln2)【解答】解：∵y=12e x，该函数的定义域为R，值域为(0,+∞)，x=ln2y，∴函数y=12e x与y=ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y=x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y=x与y=12e x上点的最小距离的2倍．设y=12e x上点(x0，y0)处的切线与直线y=x平行，则12e x_0=1，∴x0=ln2，y0=1，∴点(x0，y0)到y=x的距离为|ln2-1|2=22(1-ln2)，则|PQ|的最小值为22(1-ln2)×2=2(1-ln2)．故选：B．例19.设点P在曲线y=e2x上，点Q在曲线y=12ln x上，则|PQ|的最小值为( )A.22(1-ln2)B.2(1-ln2)C.2(1+ln2)D.22(1+ln2)【解答】解：y=e2x与y=12ln x互为反函数，它们图象关于直线y=x对称；又y =2e2x，由直线的斜率k=2e2x0=1，得x0=-12ln2，y0=e2x0=12，所以切线方程为x-y+12+ln2=0，则原点到切线的距离为d=24(1+ln2)，|PQ|的最小值为2d=22(1+ln2)．故选：D．例20.设点P在曲线y=2e x上，点Q在曲线y=ln x-ln2上，则|PQ|的最小值为( )A.1-ln2B.2(1-ln2)C.2(1+ln2)D.2(1+ln2)【解答】解：∵解：∵y=2e x与y=ln x-ln2互为反函数，先求出曲线y=2e x上的点到直线y=x的最小距离．设与直线y=x平行且与曲线y=2e x相切的切点P(x0，y0)．y ′=2e x ，∴2e x 0=1，解得x 0=ln12=-ln2∴y 0=2eln 12=1．得到切点P (-ln2,1)，到直线y =x 的距离d =|-ln2-1|2=2(1+ln2)2，|PQ |的最小值为2d =2(1+ln2)，故选：D ．例21.设点P 在曲线y =e x +1上，点Q 在曲线y =-1+ln x 上，则|PQ |最小值为( )A.2B.22C.2(1+ln2)D.2(1-ln2)【解答】解：∵y =e x +1与y =-1+ln x 互为反函数，先求出曲线y =e x +1上的点到直线y =x 的最小距离．设与直线y =x 平行且与曲线y =e x +1相切的切点P (x 0，y 0)．y ′=e x +1，e x 0+1=1，解得x 0=-1．∴y 0=e -1+1=1．得到切点P (-1,1)，到直线y =x 的距离d =|-1-1|2=2．∴|PQ |最小值为22．故选：B ．例22.设满足方程(2a ln a -b )2+(c 2-mc +3+d )2=0的点(a ,b )，(c ,d )的运动轨迹分别为曲线M ，N ，若在区间1e ，e内，曲线M ，N 有两个交点(其中e =2.71828⋯是自然对数的底数)，则实数m 的最大值为( )A.4B.4+2ln3C.e +2+3eD.1e+3e -2【解答】解：∵(2a ln a -b )2+(c 2-mc +3+d )2=0，∴2a ln a -b =0，c 2-mc +3+d =0，依题意，曲线M :y =2x ln x ，曲线N :y =-x 2+mx -3，其中曲线N 可化为：y =-x -m 2 2+m 24-3，其图象如图，要使在区间1e ，e内曲线M ，N 有两个交点，则必有曲线N 在x 取e 时y 的值需小于或等于2e ln e =2e ，故要使得m 最大，只需2e =-e 2+me -3，解得：m =e 2+2e +3e =e +2+3e ，故选：C ．题型六：横向距离例23.已知直线y=b与函数f(x)=2x+3和g(x)=ax+ln x分别交于A，B两点，若AB的最小值为2，则a+b= ．【解答】解：设A(x1，b)，B(x2，b)，可设x1<x2，则2x1+3=ax2+ln x2=b，∴x1=12(ax2+ln x2-3)，∴|AB|=x2-x1=1-12ax2-12ln x2+32，令y=1-1 2ax-12ln x+32，则y′=1-12a-12∙1x=(2-a)x-12x(x>0)，由|AB|的最小值为2，可得2-a>0，函数在0,1 2-a上单调递减，在12-a，+∞上单调递增，∴x=12-a时，函数y取得极小值，且为最小值2，即有1-1 2a∙12-a-12ln12-a+32=2，解得a=1，由x2=1，则b=ax2+ln x2=1+ln1=1，可得a+b=2．故答案为：2．例24.已知直线y=b与函数f(x)=2x+5和g(x)=ax+ln x的图象分别交于A、B两点，若|AB|的最小值为3，则2a-b= ．【解答】解：设A(x1，b)，B(x2，b)，x2>0，则2x1+5=ax2+ln x2=b，则x1=12(ax2+ln x2-5)，则|AB|=x2-x1=x2-12(ax2+ln x2-5)=12[(2-a)x2-ln x2+5]，设h(x)=(2-a)x-ln x+5，x>0，则h′(x)=2-a-1 x，∵|AB|的最小值为3，∴h′(x)=0的根为x=12-a，且函数h(x)在12-a，+∞上递增，则-∞,12-a上递减，则函数的最小值为h12-a=12-a×(2-a)-ln12-a+5=6即1-ln12-a+5=6即ln12-a=0，则12-a=1得2-a=1，a=1，此时x2=1，则b=1+ln1=1，即2a-b=2-1=1，故答案为：1例25.设直线y=a与函数f(x)=e x，g(x)=x的图象分别交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A.2-12ln2B.12-12ln2C.2+12ln2D.12+12ln2【解答】解：∵直线直线y=a与函数f(x)=e x，g(x)=x的图象分别交于A，B两点，∴A(ln a,a)，B(a2，a)，其中a2>ln a，且a>0，∴|AB|=a2-ln a，设函数h(a)=a2-ln a，h′(a)=2a-1a，a>0，令h′(a)=0，解得a=2 2，当h′(a)>0，即a>22时，函数在22，+∞单调递增，当h′(a)<0，即0<a<22时，函数在0,22单调递减，故a=22时，函数有最小值，最小值为h22=12--12ln2，故线段AB的长度的最小值为12+12ln2．故选：D．例26.已知函数f(x)=e2x，g(x)=ln x+12的图象分别与直线y=b交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A.1B.e12C.2+ln22 D.e-ln3 2【解答】解：由题意，A12ln b，b，B e b-12，b，其中e b-12>12ln b，且b>0，所以|AB|=e b-12-12ln b，令h(x)=ex-12-12ln x，(x>0)，则h′(x)=e x-12-12x=0时，解得x=12，所以0<x<12时，h′(x)<0；x>12时，h′(x)>0，则h(x)在0,1 2上单调递减，在12，+∞上单调递增，所以当x=12时，|AB|min=2+ln22，故选：C．题型七：纵向距离例27.直线x=a(a>0)分别与直线y=3x+3，曲线y=2x+ln x交于A、B两点，则|AB|最小值为 ．【解答】解：令f(x)=3x+3-2x-ln x=x-ln x+3，则f′(x)=1-1 x，∴当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x=1时，即a=1时，f(x)取得最小值f(1)=4，∴|AB|的最小值为4．故答案为：4．例28.直线x=a分别与曲线y=2(x+1)，y=x+ln x交于A、B两点，则|AB|的最小值为( )A.3B.2C.324D.32【解答】解：令f(x)=2x+2-x-ln x=x-ln x+2，则f′(x)=1-1 x，∴当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x=1时，即a=1时，f(x)取得最小值f(1)=3，∴|AB|的最小值为3．故选：A．例29.直线x=a(a>0)分别与曲线y=2x+1，y=x+ln x相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A.1B.2C.2D.3【解答】解：令f(x)=2x+1-x-ln x=x-ln x+1，则f′(x)=1-1 x，∴当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x=1时，即a=1时，f(x)取得最小值f(1)=2，∴|AB|的最小值为2．故选：B．【过关测试】一、单选题1.若x、a、b为任意实数，若(a+1)2+(b-2)2=1，则(x-a)2+(ln x-b)2最小值为( )A.22B.9C.9-42D.22-1【答案】C【解析】由题可知，问题可转化为圆(x+1)2+(y-2)2=1上动点到函数y=ln x图像上动点距离的最小值，即求函数y=ln x上动点到圆心-1,2距离的最小值，数形结合可知当y=ln x在m,ln m处的切线与m,ln m和-1,2连线垂直时为最小值，据此求出m的值，即可得到答案．【详解】由(a+1)2+(b-2)2=1可得a,b在以-1,2为圆心，1为半径的圆上，(x-a)2+(ln x-b)2表示点a,b与点x,ln x的距离的平方，即表示圆(x+1)2+(y-2)2=1上动点到函数y=ln x图像上动点距离的平方．设m,ln m为y=ln x上一点，且在m,ln m处的y=ln x的切线与m,ln m和-1,2连线垂直，可得ln m-2 m+1⋅1m=-1，即有ln m+m2+m=2，由f m=ln m+m2+m在m>0时递增，且f1 =2，可得m=1，即切点为1,0，圆心与切点的距离为d=(1+1)2+(0-2)2=22，由此可得(x-a)2+(ln x-b)2的最小值为(22-1)2=9-42．故选：C．2.已知实数a ,b ,c ,d 满足a =e b -1，c =ln (d -1)，则(a -c )2+(b -d )2的最小值为( )A.12B.1C.2D.2【答案】D【解析】理解原代数式的含义，转化为函数形式，再分析其几何意义，构造函数即可求解.【详解】∵a =e b -1,c =ln d -1 ,∴a -c 2+b -d 2=e b -1-ln d -1 2+b -1 -d -1 2 ，令b -1=x 1,d -1=x 2 ，则a -c 2+b -d 2=e x 1-ln x 2 2+x 1-x 2 2，其几何意义为点A x 1,e x 1与点B x 2,ln x 2 之间距离的平方，设f x =e x ,g x =ln x ，则点A 和B 分别在f x 和g x 的图像上，如下图，显然f x 和g x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，则A 与B 的最短距离必然在直线y =x 的垂线上，点A 与点B 关于y =x 对称，不妨设B x ,ln x ，则A ln x ,x ，AB 2=2x -ln x 2 ，设h x =x -ln x ，h x =1-1x =x -1x，当x >1,h x >0 ，0<x <1,h x <0 ，在x =1处取得最小值h 1 =1 ，即h x ≥1>0 ，∴当h x 取最小值时，即是AB 2 取得最小值，AB 2 的最小值为2×12=2 ；故选：D .3.设直线x =t 与函数f x =2x 2,g x =ln x 的图像分别交于点M ,N ，则MN 的最小值为( )A.12+ln2 B.3ln2-1C.e 2-1 D.12【答案】A【解析】列出|MN |的表达式，利用导数方法，分析其单调性求最小值即可．【详解】由题意M (t ,2t 2)，N (t ,ln t )，所以MN =2t 2-ln t ，令h (t )=2t 2-ln t ，则h(t )=4t -1t =4t 2-1t，当0<t <12时，h (t )<0，当t >12时，h (t )>0，所以h (t )min =h 12 =12+ln2，即|MN |的最小值为12+ln2，故选：A .4.已知函数f x =ln x +1，g x =2e x -12，若f m =g n 成立，则m -n 的最小值是A.12+ln2 B.e -2C.ln2-12D.e -12【答案】A【解析】分析：设f(m)=g(n)=t，则t>0，把m,n用t表示，然后令h(t)=m-n，由导数求得h(t)的最小值．详解：设f(m)=g(n)=t，则t>0，m=e t-1，n=ln t2+12=ln t-ln2+12，∴m-n=e t-1-ln t+ln2-12，令h(t)=e t-1-ln t+ln2-12，则h'(t)=e t-1-1t，h"(t)=e t-1+1t2>0，∴h'(t)是(0,+∞)上的增函数，又h'(1)=0，∴当t∈(0,1)时，h'(t)<0，当t∈(1,+∞)时，h'(t)>0，即h(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，h(1)是极小值也是最小值，h(1)=12+ln2，∴m-n的最小值是12+ln2．故选A．点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求b-a的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数h(t)的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．5.设D=x-a2+ln x-a2 42+a24+1.a∈R，则D的最小值为() A.22 B.1 C.2 D.2【答案】C【解析】由题可得：设f(x)=ln x,g(x)=14x2，所以D为g(x)上任意一点到f(x)上任一点及抛物线焦点的距离之和，所以距离表达式为x2+(ln x-1)2,令h(x)=x2+(ln x-1)2，h'(x)=2x+ln x-1x，显然在[0,1]递减，[1,+∞)递增所以h(x)min=h(1)=2，故x2+(ln x-1)2最小值为2点睛：本题的解题关键是要将题意转化为抛物线上的点到ln x上的点距离与焦点的距离之和，然后借助导数求最值即可解决问题，此题较难6.已知直线y=a分别与直线y=2x-2和曲线y=2e x+x相交于点A，B，则线段AB长度的最小值为( )A.123+ln2B.3-ln2C.2e-1D.3【答案】A【解析】根据题意设两交点分别为A(x1,a)，B(x2,a)，可得，x1=1+e x2+12x2，长度|AB|=x1-x2=1+e x2-12x2，考查函数g x =1+e x-12x求最值即可得解.【详解】已知直线y=a与直线y=2x-2，曲线y=2e x+x分别交点A，B，设A(x1,a)，B(x2,a)，则有2x1-2=2e x2+x2，变形可得x1=12(2+2e x2+x2)=1+e x2+12x2，又由|AB|=x1-x2=1+e x2+12x2-x2=1+e x2-12x2，设g x =1+e x-12x，g x =e x-12，则当x<ln 12时，g x <0，函数g x 在-∞,ln12为减函数，当x>ln 12时，g x >0，函数g x 在ln12,+∞为增函数，则g x =1+e x-12x有最小值g ln12，且g ln12=1+12-12ln12=3+ln22>0，则AB≥3+ln22，即线段AB长度的最小值是3+ln22.故选：A.7.已知函数f x =e x2，g x =ln x2+1，对任意x1∈R，存在x2∈0,+∞，使得f x1=g x2，则x2-x1的最小值为( )A.1B.2C.3D.2【答案】D【解析】设t=x2换元，问题转化为对任意t1∈R，存在t2∈0,+∞，使得F t1 =G t2 ，则t2-t1的最小值，利用t1,t2的关系把t2-t1转化为一元函数，然后求最小值．【详解】设t=x2，设F(t)=e t，G(t)=ln t+1，t1=x12,t2=x22，对任意t1∈R，存在t2∈0,+∞，使得F t1 =G t2 ，即e t1=ln t2+1，t2=e e t1-1，所以t2-t1=e e t1-1-t1，t1∈R，令h(x)=e e x-1-x，h (x)=e e x-1⋅e x-1=e e x+x-1-1，易知φ(x)=e x+x-1是增函数，φ(0)=0，x<0时，φ(x)<0，h (x)<0，h(x)递减，x>0时，φ(x)>0，h (x)>0，h(x)递增，所以x=0时，h(x)min=h(0)=1，所以t2-t1的最小值是1，x2-x1=2(t2-t1)的最小值是2．故选：D．【点睛】本题考查用导数求最值，解题关键是化二元函数为一元函数，题中解法是换元后直接利用F(t1)=G(t2)把t2用t1表示，然后转化为一元函数，另外也可以设f(x1)=g(x2)=t(t>0)，把x1,x2都用t表示，化为t的一元函数，然后由导数得最小值．8.已知曲线C1:y=e x上一点A x1,y1，曲线C2:y=1+ln x-mm>0上一点B x2,y2，当y1=y2时，对任意x1，x2，都有AB≥e恒成立，则m的最小值为( )A.1B.eC.e-1D.e+1【答案】C【解析】根据题中条件，得到e x 1=1+ln x 2-m ，x 2-x 1≥e ，推出0<1+ln x 2-m ≤e x 2-e ，x 2>m +1e；证明ln x ≤x -1，得到1+ln x 2-m ≤x 2-m ，推出x 2-m ≤e x 2-e ，分离参数得m ≥x 2-e x 2-e ，构造函数求出x 2-e x 2-e 的最大值，即可得出结果.【详解】因为当y 1=y 2时，对于任意x 1，x 2都有AB ≥e 恒成立，所以有：e x 1=1+ln x 2-m ，x 2-x 1≥e ，∴0<1+ln x 2-m ≤e x 2-e ，∴x 2>m +1e，令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-x x，所以当x ∈0,1 时，g x >0，则g x 单调递增；当x ∈1,+∞ 时，g x <0，则g x 单调递减；因此g x ≤g 1 =0，即ln x ≤x -1显然恒成立；因为x 2-m >1e，所以ln x 2-m ≤x 2-m -1，即1+ln x 2-m ≤x 2-m ；为使1+ln x 2-m ≤e x 2-e 恒成立，只需x 2-m ≤e x 2-e 恒成立；即m ≥x 2-e x 2-e 恒成立；令f x = x -e x -e ，则f x =1-e x -e ，由f x >0解得x <e ；由f x <0解得x >e ；所以f x 在-∞,e 上单调递增；在e ,+∞ 上单调递减；所以f x max =f e =e -1；∴m ≥e -1，因此m 的最小值为e -1.故选：A【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将问题转化为不等式0<1+ln x 2-m ≤e x 2-e 恒成立求参数范围的问题，根据ln x ≤x -1，只需x 2-m ≤e x 2-e ，分离参数后，即可根据导数的方法求解.9.已知函数f (x )=e x -3，g (x )=12+ln x2，若f (m )=g (n )成立，则n -m 的最小值为( )A.1+ln2B.ln2C.2ln2D.ln2-1【答案】D【解析】令t =f (m )=g (n )，得到m ,n 关于t 的函数式，进而可得n -m 关于t 的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求n -m 的最小值.【详解】令t =f (m )=g (n )，则e m -3=t ，12+ln n2=t ，∴m =3+ln t ，n =2e t -12，即n -m =2et -12-3-ln t ，若h (t )=2et -12-3-ln t ，则h (t )=2e t -12-1t(t >0)，∴h (t)=0，有t=12，当0<t<12时，h (t)<0，h(t)单调递减；当t>12时，h (t)>0，h(t)单调递增；∴h(t)min=h12 =ln2-1，即n-m的最小值为ln2-1.故选：D.【点睛】关键点点睛：令t=f(m)=g(n)确定n-m关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.10.已知函数f x =ln x+1，g x =4e x-12，若f m=g n成立，则m-n的最小值是( )A.12+ln2B.12+2ln2C.ln2-12D.e-12【答案】B【解析】设ln m+1=4e n-12=t,t>0，m-n=e t-1-12-lnt4，构造函数h t =e t-1-12-lnt4，利用导函数求出最小值即可得解.【详解】由题设f m=g n ，即ln m+1=4e n-12=t,t>0，所以m=e t-1,n=12+lnt4，m-n=e t-1-12-lnt4，令h t =e t-1-12-lnt4，h t =e t-1-1t，h t =e t-1+1t2>0，所以h t =e t-1-1t在t∈0,+∞单调递增，且h 1 =0，所以由h t =e t-1-1t>0得t∈1,+∞，由h t =e t-1-1t<0得t∈0,1，所以h t =e t-1-12-lnt4在t∈0,1单调递减，t∈1,+∞单调递增，所以h t min=h1 =12+2ln2即m-n的最小值12+2ln2.故选：B【点睛】此题考查利用导函数求最值，关键在于根据题意准确转化，对于导函数的零点不易求解的情况，考虑“试根”结合单调性解不等式.11.设动直线x=t与曲线y=e x以及曲线y=ln x分别交于P，Q两点，PQmin表示PQ的最小值，则下列描述正确的是( )A.PQmin=2 B.322<PQmin<52C.2<PQmin<322 D.PQmin>3【答案】B【解析】根据条件将PQ表示为函数的形式，然后利用导数研究对应函数的单调性并分析PQmin的取值范围.【详解】根据条件可知P t ,e t ,Q t ,ln t ，所以PQ =e t -ln t ，不妨令F (x )=e x -ln x x >0 ，则F (x )=e x -1x ，又因为F 12 =e -2<0,F 22 =e 22-2>e -32>0，所以存在x 0∈12，22 ，使得F (x 0)=e x 0-1x 0=0，所以F x 在0,x 0 上递减，在x 0，+∞ 上递增，所以F (x )在x 0处取得最小值，且F (x 0)=e x 0-ln x 0=1x 0+x 0，根据对勾函数的单调性可知：y =x +1x 在12，22 上单调递减，所以322<1x 0+x 0<52，所以有322<|PQ |min <52，故选：B ．【点睛】本题考查利用导数解决函数的最值问题，对学生的转化与化归能力要求较高，其中对于极值点范围的分析是一个重点，难度较难.12.设F (a ,b )=a -b 24 2+e a -b 2+b 24，(a ,b ∈R )，则F (a ,b )的最小值是( )A.2-1 B.2-2 C.22 D.1【答案】A【解析】函数表示点A a ,e a 和B b 24,b的距离加上B 的横坐标，根据抛物线定义转化求AF -1最小值，设函数g x =x -1 2+e 2x ，计算得到g x min =g 0 =2，得到答案.【详解】F (a ,b )=a -b 24 2+e a -b 2+b 24，函数表示点A a ,e a 和B b 24,b的距离加上B 的横坐标，画出f x =e x 和y 2=4x 的图像，如图所示：故AB +BC =AB +BD -1=AB +BF -1≥AF -1，当ABF共线时等号成立.设g x =x -1 2+e 2x ，则g 'x =2e 2x +2x -2，g '0 =0，且g ''x =4e 2x +2>0恒成立，故g 'x 单调递增，故当x >0时，g 'x >0，g x 单调递增；当x ≤0时，g 'x ≤0，g x 单调递减；g x min =g 0 =2，故AF -1≥2-1.综上所述：F (a ,b )的最小值是2-1.故选：A .【点睛】本题考查了函数的最值问题，转化为对应的几何意义是解题的关键.13.已知函数f x =e 4x -1,g x =12+ln 2x ，若f m =g n 成立，则n -m 的最小值为( )A.2ln2-13 B.1+2ln23C.1+ln24D.1-ln24【答案】C【解析】设e 4m -1=12+ln 2n =k k >0 ，则m =14+ln k 4,n =12e k -12，令h k =n -m =12e k -12-ln k 4-14，∴h 'k =12e k -12-14k ，又h 'k =12e k -12-14k是增函数，h '12 =0,∴h k 在0,12 上递减，在12,+∞ 上递增，∴h k min =h 12 =1+ln24，即n -m 的最小值为1+ln24，故选C .【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题. 求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求函数的最值即可.14.直线y =a 分别与曲线y =x 2-ln x ,y =x -2交于点P 、Q ，则PQ 的最小值为A.2B.2C.1D.6【答案】A【解析】试题分析:设P x 1,a ,Q x 2,a ,则x 12-ln x 1=x 2-2∴x 2=x 12-ln x 1+2,∴PQ =x 2-x 1=x 12-ln x 1-x 1+2,令y =x 2-ln x -x +2,则y =2x -1x -1=2x 2-x -1x =x -1 2x +1 x x >0 ,函数在0,1 上单调递减,在0,+∞ 上单调递增,∴x =1时,函数的最小值为2，所以A 选项是正确的.考点：导数与函数的单调性．二、填空题15.若a >0,b >0，则(a -2b )2+(ln a -b )2+b 的最小值是_______．【答案】2-1【解析】由目标式的形式：(a -2b )2+(ln a -b )2可看作P (a ,ln a ),Q (2b ,b )两点的距离，而b 可看作Q (2b ,b ),H (2b ,0)两点的距离，问题转化为|PQ |+|QH |的最小值；P 是y =ln x 上的点，对于Q 在坐标系存在F (0,1),G (2b ,-1)使得|QF |=|QG |=|QH |+1，可联想抛物线：以F (0,1)为焦点，y =-1为准线的抛物线x 2=4y ，即问题最终为求抛物线x 2=4y 上一点到定点F (0,1)与y =ln x 上的一点的距离之和最小，结合抛物线、函数图象及利用导数求最小值.【详解】由T =(a -2b )2+(ln a -b )2+b ，记P (a ,ln a ),Q (2b ,b ),H (2b ,0),F (0,1),G (2b ,-1)，则T =PQ +QH =PQ +QG -1=PQ +QF -1，即原问题转化为抛物线x 2=4y 上Q 到定点F (0,1)与y =ln x 上的P 的距离之和最小，PQ +QF -1≥PF -1，当且仅当P ,Q ,F 共线时等号成立.令f (a )=PF 2=a 2+(ln a -1)2，则f (a )=2a +2(ln a -1)a =2aa 2+ln a -1 且a >0，由于y =a 2+ln a -1单调增，则a =1是f (a )唯一零点，即有f (a )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，则f (a )≥f (1)=2，即PF 最小值为2.则T ≥PF -1≥2-1．故答案为：2-1.【点睛】本题考查了利用几何法求代数式的最值，综合抛物线的性质、两点距离公式、数形结合、导数研究函数最值的应用，属于难题.16.已知实数a ,b 满足(a +2)2+(b -3)2=2，则对任意的正实数x ，(x -a )2+(ln x -b )2的最小值为_______.【答案】8【解析】求出圆心C -2,3 到曲线y =ln x 上的点的距离最值后可求(x -a )2+(ln x -b )2的最小值.【详解】因为实数a ,b 满足(a +2)2+(b -3)2=2，故P a ,b 在圆C ：(x +2)2+(y -3)2=2上.而C -2,3 ，设g x =x +2 2+ln x -3 2，则g x 表示C 到曲线y =ln x 上的点的距离的平方.又g x =2×x 2+2x +ln x -3x，因为h x =x 2+2x +ln x -3在0,+∞ 为增函数，且h 1 =0，故当x ∈0,1 时，h x <0即g x <0；当x ∈1,+∞ 时，h x>0即g x >0；故g x 在0,1 上为减函数，在1,+∞ 为增函数，故g x 的最小值为g 1 =18.故C -2,3 到曲线y =ln x 上的点的距离最小值为32，而圆C 的半径为2，故圆C 上的点到曲线y =ln x 上的点的距离最小值为22，故(x -a )2+(ln x -b )2的最小值 为22 2=8.故答案为：8.【点睛】思路点睛：与圆有关的最值问题，往往需要转化到圆心到几何对象的最值问题来处理，另外注意代数式对应的几何意义.17.设F a ,b =a -b 24 2+e a -b 2+b 24a ,b ∈R ，则F a ,b 的最小值为______________．【答案】2-1【解析】设点A a ,e a、B b 24,b ，则F a ,b 表示AB 再加上点B 的横坐标，利用抛物线的定义可得出F a ,b =AF -1(其中F 为抛物线y 2=4x 的焦点)，利用导数求出AF 的最小值，即可得解.【详解】∵F a ,b =a -b 24 2+e a -b 2+b 24a ,b ∈R .设点A a ,e a 、B b 24,b ，则F a ,b 表示AB 再加上点B 的横坐标，其中点B 为抛物线y 2=4x 上的一点，该抛物线的焦点为F 1,0 ，准线为x =-1.作出函数y =e x 与抛物线y 2=4x 的图象如下图所示：过点B 作抛物线y 2=4x 的准线的垂线，垂足为点D ，设BD 交y 轴于点C ，则F a ,b =AB +BC =AB +BD -1=AB +BF -1≥AF -1，当且仅当A 、B 、F 三点共线时，等号成立，下面利用导数求出AF 的最小值，AF =a -1 2+e 2a ，构造函数g x =x -1 2+e 2x ，其中x ∈R ，g x =2x -2+2e 2x ，g 0 =0且函数g x 单调递增，当x <0时，g x <0；当x >0时，g x >0.所以，函数g x 的单调递减区间为-∞,0 ，单调递增区间为0,+∞ .∴g x min =g 0 =2，∴AF min =2，因此，F a ,b 的最小值为2-1.故答案为：2-1.【点睛】关键点点睛：本题从代数式的几何意义出发，利用数形结合思想转化为折线段和的最小值问题来求解，同时又考查了抛物线定义的应用，在求解AF 的最值时，充分利用了导数来求解.18.已知点M 在圆C :x 2+y 2-4y +3=0上，点N 在曲线y =1+ln x 上，则线段MN 的长度的最小值为____________．【答案】2-1【解析】由题可得C 0,2 ，圆C 的半径r =1．设N t ,1+ln t t >0 ，令f t =|CN |2，首先求得f t 的最小值，然后求解线段MN 的长度的最小值即可.【详解】由题可得C 0,2 ，圆C 的半径r =1．设N t ,1+ln t (t >0)，令f t =|CN |2，则f t =t 2+1-ln t 2(t >0)，所以ft =2t +21-ln t -1t =2t 2+ln t -1 t ．令φt =t 2+ln t -1(t >0)，易知函数φt 在0,+∞ 上单调递增，且φ1 =0，所以当0<t <1时，f t <0；当t >1时，f t >0，所以f t 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以f t min =f 1 =2．因为MN ≥CN -1≥2-1，所以线段MN 的长度的最小值为2-1．【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，导函数求解函数的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.设φ(a ,b )=(a -b )2+ln a -b 24 2+b 24(a >0,b ∈R )，当a ，b 变化时，φ(a ,b )的最小值为_______.【答案】2-1.【解析】函数表示点A a ,ln a 和B b ,b 24的距离加上B 的纵坐标，计算得到AB +BC ≤AF -1，设函数g x =x 2+ln x -1 2，计算得到g x min =g 1 =2，得到答案.【详解】φ(a ,b )=a -b 2+ln a -b 24 2+b 24，函数表示点A a ,ln a 和B b ,b 24 的距离加上B 的纵坐标，画出f x =ln x 和y =x 24的图像，如图所示：故AB +BC =AB +BD -1=AB +BF -1≤AF -1，当ABF共线时等号成立.设g x =x 2+ln x -1 2，则g 'x =2ln x -1x+2x ，g '1 =0，当x >1时，2ln x -1x >-2，故g 'x =2ln x -1x +2x >0，函数单调递增；当0<x <1时，2ln x -1x <-2，故g 'x =2ln x -1x +2x <0，函数单调递减.g x min =g 1 =2，故AF -1≤2-1.综上所述：φ(a ,b )的最小值是2-1.故答案为：2-1.【点睛】本题考查了函数的最值问题，转化为对应的几何意义是解题的关键.20.已知P ,Q 分别为函数f (x )=12e x -12，g (x )=ln (2x )+12上两点，则P ,Q 两点的距离|PQ |的最小值是__________．【答案】0【解析】根据函数f x =12e x -12与函数g x =ln 2x +12互为反函数，可知P 、Q 两点间的最短距离为点P 到直线y =x 的最短距离d 的2倍，利用导数求出d 即可．【详解】∵函数f x =12e x -12与函数g x =ln 2x +12互为反函数，∴函数f x =12e x -12与函数g x =ln 2x +12的图象关于直线y =x 对称，设φx =12e x -12-x ，则φ'x =12e x -12-1令φ'x =0,得x =ln2+12，又φ'x 为增函数∴φx 在-∞，ln2+12 在单调递减，在ln2+12，+∞ 在单调递增∴φx 的最小值为φln2+12 =12-ln2=ln e -ln 4<0即∃x 0∈R ，使得φx 0 =0即函数f x 图象与直线y =x 有交点，即函数f x =12e x -12与函数g x =ln 2x +12的图象有公共点在直线y =x 上故PQ 的最小值是0故答案为：0．【点睛】本题考查反函数的概念，导数的几何意义，两个图象的位置关系，属于中档题．21.设点P ,Q 分别是曲线y =xe -2x 和直线y =x +2上的动点, 则P ,Q 两点间的距离的最小值是________．【答案】2【解析】试题分析：因为y =f x =xe -2x ,f 'x =e -2x 1-2x ，由f 'x =1得x =0，f 0 =0，即曲线y =xe -2x 在0,0 处的切线与直线y =x +2平行，所以0,0 到直线的距离就是P ,Q 两点间的距离的最小值，由点到直线的距离公式得d =212+12=2，故答案为2．考点：1、利用导数求切点坐标；2、点到直线的距离公式及转化与划归思想的应用．【方法点睛】本题主要考查利用导数求切点坐标、点到直线的距离公式及转化与划归思想的应用．属于难题．数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．以便将问题转化为我们所熟悉的知识。
导数中的“距离”问题(解析版)
导数中的“距离”问题类型一一直一曲型距离问题例1.已知函数22)()()(ea e a x x f x+++=，若存在实数0x 使得不等式14)(20+≤e x f 成立，则实数a 的取值范围为解法1：（几何意义）设点,(),,(ea a Q e x P x--，则)(x f 的几何意义是点Q P ,间距离的平方，即2)(PQ x f =，其中点P 在曲线xe y =上，点Q 在直线l ：exy =即0=-ey x 上方法1：（切线法）设直线'l ∥l 且与曲线xe y =相切，切点为),(me m A ，xe y ='，所以e e m 1=，解得1-=m ，所以)1,1(e A -，进而14)12()()(222min 2min +=+==e e PQ x f ，即14)(2+≥e xf ，要使存在实数0x 使得不等式14)(20+≤e x f 成立，则14)(20+=e x f ，此时10-=x ，11-=⋅e k AQ 即1111-=⋅+-+e a e a e ，解得1122+-=e e a 方法2：（点到直线的距离公式）2222212214)111(1(1()(e e x x e x e e e e x x f x x +=+-++≥+-=+⋅-≥+，当且仅当1-=x 且l PQ ⊥时等号成立，此时)1,1(eP -，e a e a e k PQ -=+-+=111122+-=⇒e e a 解法2：（权方和不等式）易知1+≥x e x，所以21≥-+x ex 当且仅当1-=x 时等号成立222122112211222141)(1)()()(1)()()()(e e x e e a e a x e a e a x e a e a x x f x x x x+≥+-=+++--≥++--=+++=+++当且仅当2111e a e x x +=+-+且1-=x 即1-=x ，1122+-=e e a 时等号成立又存在实数0x 使14)(20+≤e x f 成立，所以14)(20+=e x f ，所以10-=x ，1122+-=e e a 方法小结：权方和不等式：设),,3,2,1(0,n i b a i i =>（1）若0>m 或1-<m ，则mn m n m n m n m m m m b b b a a a b a b a b a )()(211211212111++++++≥+++++++（2）若01<<-m ，则mn m n m n m n m m m m b b b a a a b a b a b a )()(211211212111++++++≤+++++++ 上述两种情况当且仅当nn b a b a b a === 2211时等号成立解法3：（变换主元+判别式）由题意知不等式=)(0x f 220)()(0eae a x x+++142+≤e 有解a x e a e e x )(21012220+++⇔-01422200≤+-++e e x x 有解，所以2220114)(40ee x e x +⋅-+=∆-0)14(22200≥+-+⋅ee x x ，化简得4)(2010≤-+x e x 而由1+≥x e x可知4)(2211≥-⇒≥-++x e x e x x ，当且仅当1-=x 时等号成立所以10-=x ，且0=∆，即方程0141)1(2)1(222222=+-++--+e e e a e a e 有两相等的实根所以1122+-=e e a 方法小结：将不等式变换主元，把不等式转化为关于a 的不等式有解，通过判别式得到0x 的不等式，进而得到0x 的值及取等号的条件解法4：（变换主元+二次函数最值）22)()()(e a e a x x f x+++=a x e a ee x )(211222+++=-x e x 22++141)(14)(4)(14222122212222+≥+-=+⨯+-++⨯≥+-e e x e e e x e e x e e x x x，当且仅当1-=x 且1)(212++-=-e x e e a x 即1122+-=e e a 时等号成立，又存在实数0x 使14)(20+≤e x f 成立，所以14)(20+=e x f ，10-=x ，1122+-=e e a 练习1.设函数222)2(ln )()(a x a x x f -+-=，其中0>x ，R a ∈，若存在0x ，使得54)(0≤x f 成立，则实数a 的值为解法1：（几何意义）222)2(ln )()(a x a x x f -+-=表示曲线x y ln 2=上动点)ln ,(2x x M和直线l ：x y 2=上动点)2,(a a N 间的距离的平方由x y ln 2=得x y 2'=，令22=x 解得1=x ，所以曲线上点)0,1(M 到直线x y 2=的距离最小，最小距离为5522122=+=d ，所以54)(≥x f 恒成立，当且仅当1=x 时等号成立又存在0x ，使得54)(0≤x f 成立，所以54)(0=x f ，此时10=x ，且l MN ⊥，所以21102-=--=a a k MN，解得51=a 解法2：（权方和不等式）因为14)ln 2222(1)ln 22(4)22()(22+-+-≥-+-=x a a x x a a x x f 545)ln (42≥-=x x ，当且仅当1ln 22422x a a x -=-且1=x 即51=a ，1=x 时等号成立即54)(min =x f ，而存在0x ，使得54)(0≤x f 成立，所以10=x ，51=a 练习2.若对任意的实数t ，函数ax e x t x x f t 3)()()(33--+-=在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为解法1：（几何意义）由题意03)(3)(3)(22'≥--+-=a e x t x x f t 即a e x t x t ≥-+-22)()(对R x ∈恒成立，令22)()()(t e x t x x g -+-=，则min)(x g a ≤而)(x g 表示点直线x y =上的点),(x x P 与曲线xe x h =)(上的点),(te t Q 间的距离的平方，设曲线xe y =的与直线x y =平行的切线的切点为),(00y x ，则xe x h =)('，所以1)(00'==x e x h ，解得00=x ，所以切线方程为1+=x y ，两平行线间的距离为21=d 所以2121()(2min ==x g ，所以21≤a ，即实数a 的取值范围为21,(-∞解法2：（权方和不等式）11)(1)(1)()()()(22222+-+-≥-+-=-+-=x e t x x e t x e x t x x g t t t 212)(2≥-=t e t ，当且仅当11xe t x t -=-且0=t 即21=x ，0=t 时等号成立，所以21)(min =x g ，所以实数a 的取值范围为21,(-∞练习3.已知不等式2)ln ()(22≥+-+-a n m n m 对任意R m ∈，),0(+∞∈n 恒成立，则实数a 的取值范围为解析：（几何意义）不等式表示直线x y =上的点),(m m P 与曲线a x x f -=ln )(上的点)ln ,(a n n Q -间的距离的平方大于等于2，设曲线)(x f y =的与直线x y =平行的切线的切点为),(00y x ，x x f 1)('=，则111)(000'=⇒==x x x f ，所以切线的方程为1-=+x a y 即1--=a x y ，所以两平行线间的距离为21+=a d ，所以22)1(2≥+a ，解得1≥a 或3-≤a （舍，此时直线与曲线相交），所以实数a 的取值范围为),1[+∞注：此题也可转化为直线a x y +=与曲线x x f ln )(=间的距离的平方大于等于2练习4.若存在实数x 使得关于x 的不等式10129)(222≤+-+-a ax x a e x 成立，则实数a 的取值范围为解法1：（几何意义）设=)(x f 22229)(a ax x a e x +-+-，则=)(x f 22)()33(a x a e x -+-表示曲线3)(x e x f =上的点3,(xe x P 与直线03=-y x 上的点)3,(a a Q 间的距离的平方，设曲线3)(x e x f =的与直线x y 31=平行的切线的切点为3,(00x e x ，则313)(00'==x e x f ，解得00=x ，所以101101()(2min ==x f ，此时PQ 与直线03=-y x 垂直，所以1310313-=⨯--a a ⇒101=a 所以存在实数x 使得关于x 的不等式10129)(222≤+-+-a ax x a e x 成立，则101=a 解法2：（权方和不等式）利用权方和不等式有1)(9)(29)(22222x a a e a ax x a e x x -+-=+-+-10110)(19)(22≥-=+-+-≥x e x a a e x x ，当且仅当19xa a e x -=-且0=x 即101=a 时等号成立，又存在实数x 使得关于x 的不等式10129)(222≤+-+-a ax x a e x 成立，所以101=a 类型二两曲型距离问题例2.设),0(4)4(ln )(),(2222R b a b b a b a b a F ∈>+-+-=，当b a ,变化时，),(b a F 的最小值为解法1：（几何意义+均值不等式）设)4,(),ln ,(2b b B a a A ，点A 在曲线x x f ln )(=上，点B 在曲线42x y =上，则222)4(ln )(b a b a -+-表示B A ,两点间的距离，42b 表示点B 到抛物线42x y =的准线1-=y 的的距离减1，可转化为到抛物线的焦点)1,0(F 的距离减1，即1),(-+=BF AB b a F 1-≥AF ，当且仅当F B A ,,三点共线时等号成立，而=2AF 22222)2ln 1(2)ln 1()1(ln a a a a a a -+≥-+=-+22)11(2=+≥，所以12),(-≥b a F ，当且仅当1=a ，222-=b 时等号成立，所以12),(min -=b a F 注：2AF 的最小值的求法也可以用权方和不等式：=2AF 1)ln 1(1)1(ln 2222a a a a -+=-+22)11(11)ln 1(22=+≥+-+≥a a ，当然也可以用导数求，过程留给大家解法2：（均值不等式）4ln 4224)ln 4()(),(222222b a b b a b a b b a b a F +-+-≥+-+-=44ln 2222b b b a a +-+-=，因为1ln ≥-a a ，11)12(422-≥--=-b b b ，所以04ln 2≥-+-b b a a ，所以≥),(b a F 4)4ln (2222b b b a a +-+-4)41(2222b b b +-+≥121211222)1412(222-=+-+⨯≥+-+=b b ，当且仅当1=a 且)12(2-=b 时等号成立，所以12),(min -=b a F 练习1.若b a x ,,均为任意实数，且满足1)3()2(22=-++b a ，则22)(ln )(b x a x -+-的最小值为（）A.23 B.18C.123- D.2619-练习2.设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则PQ 的最小值为（）A.2ln 1- B.)2ln 1(2- C.2ln 1+ D.)2ln 12+练习3.已知函数d cx bx x x f +++=23)(d c b ,,(为常数)，当)1,0(∈x 时，)(x f 有最大值，当)2,1(∈x 时，)(x f 有最小值，则22)3()21(-++c b 的取值范围是（）A.)5,237(B.)55(C.)25,437(D.)25,5(类型三综合应用例3.若实数d c b a ,,,满足0)2()ln 3(222=+-++-d c b a a ，则acd c b a 22222-+++bd 2-的最小值为（）A.2B.2C.22 D.8解法1：（均值不等式）由0)2()ln 3(222=+-++-d c b a a 得⎩⎨⎧+=-=2ln 32c d a a b 所以ac d c b a 22222-+++bd 2-22222)ln 32()()()(a a c c a d b c a -+++-=-+-=2)ln 32()2ln 32(22222a a a a a c c a -++=-+++-⨯≥，设x x x x f ln 32)(2-++=，则xx x f 312)('-+=)0(>x ，易知)('x f 在),0(+∞上递增0)1('=f ，所以当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 递减，当),1(+∞∈x 时，0)('>x f ，)(x f 递增，所以4)1()(min ==f x f 所以ac d c b a 22222-+++bd 2-的最小值为8，故选D解法2：（切线法）由0)2()ln 3(222=+-++-d c b a a 得⎩⎨⎧+=-=2ln 32c d a a b 所以ac d c b a 22222-+++bd 2-22222)2ln 3()()()(---+-=-+-=c a a c a d b c a 表示曲线2ln 3)(x x x f -=上的点)ln 3,(2a a a P -与直线l ：2+=x y 上的点)2,(+c c Q 的距离的平方，设)(x f 的与直线l 平行的切线的切点为)ln 3,(2000x x x A -，而x x x f 23)('-=，所以1123)(0000'=⇒=-=x x x x f ，即切点)1,1(-A ，其到直线l 的距离为2224==d ，所以ac d c b a 22222-+++bd 2-的最小值为8)22(2=，故选D 练习1.已知点P 为函数x x f ln )(=的图像上任意一点，点Q 为圆1)1(22=+--y ee x 上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为练习2.已知直线b y =与函数32)(+=x x f 和x ax x g ln )(+=分别交于B A ,两点，若AB 最小值为2，则=+b a。
(完整版)导数与函数极值、最值问题(解析版).docx
【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大.【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数 f (x) 的定义域并求出函数 f ( x) 的导函数 f ' (x) ；第二步求方程 f ' ( x)0 的根；第三步判断 f ' ( x) 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值 .例 1已知函数 f ( x)1ln x，求函数 f x的极值. x【答案】极小值为 1 ，无极大值.【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令 f ' ( x)0 ，可解出其极值点，然后根据导函数大于 0、小于 0 即可判断函数 f ( x) 的增减性，进而求出函数 f (x) 的极大值和极小值．【变式演练1】已知函数f ( x)x 322在 x1处有极值10，则等于（）ax bx a f (2)A ． 11 或 18B． 11C． 18D．17 或 18【答案】 C【解读】试卷分析： f (x)3x22axb , 3 2a b 0b 3 2aa 4 或 a 3 1 ab a 210a 2 a 12 0b 11．b 3当a 3时 , f ( ) 3(x 1)2 0, 在 x 1处 不 存 在 极 值 ．当a 4 时 ，b 3xb 11f (x)3x 2 8x 11 (3x 11)( x 1) ， x( 11 ,1), f ( x) 0 ；x (1, ), f ( x) 0,符合题意．所3以a 4． f (2)816 22 16 18 ．故选 C ．b11考点：函数的单调性与极值．【变式演练 2】设函数 f xln x1 ax2 bx ，若 x 1 是 f x的极大值点，则 a 的取值范围为2（ ）A ．1,0B ． 1,C ． 0,D ．, 1 U 0,【答案】 B 【解读】考点：函数的极值．【变式演练 3】函数 f x1 x 31 ( m 1) x2 2(m 1)x在 ( 0,4) 上无极值，则 m _____.( ) 32【答案】 3 【解读】试卷分析：因为 f (x)1 x 3 1(m 1)x 2 2(m 1) x ，32所以 f '(x)x 2(m 1)x 2(m 1) x 2 x m 1 ，由 f ' x 0 得 x 2 或 x m 1，又因为函数 f ( x) 1 x31(m 1) x22(m 1)x 在 (0,4) 上无极值，而2 0,4，所以只有m1 2 ，m 332时， f x在 R 上单调，才合题意，故答案为 3 .考点： 1、利用导数研究函数的极值； 2、利用导数研究函数的单调性 .【变式演练 4】已知等比数列 { a n} 的前 n 项和为S n2n 1k ，则f ( x)x3kx22x 1的极大值为（）A ． 2B．5C． 3 D ．7 22【答案】 B【解读】考点： 1、等比数列的性质； 2、利用导数研究函数的单调性及极值．【变式演练5】设函数 f (x) x3(1a) x2ax 有两个不同的极值点x1， x2，且对不等式f ( x1) f ( x2 )0 恒成立，则实数 a 的取值范围是．【答案】(, 1] U1, 22【解读】试卷分析：因为 f (x1) f (x2 )0 , 故得不等式x13x23 1 a x12x22 a x1 x20 ,即x1 x2x123x1x2 1 a x122x1 x2 a x1x2 0 , x2x2由于 f ' x3x2 2 1 a x a, 令 f ' x 0得方程 3x2 2 1 a x a 0, 因x x 2 1a4 a2 a 1 0 ,123，代入前面不等式 , 并化简得故x1 x2a31a2a25a 2 0 ,解不等式得a 1 或1a 2 ，因此,当a 1 或1a 2时 , 不等式22f x1 f x20 成立 ,故答案为(, 1] U1,2 .2考点： 1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法 .【变式演练 6】已知函数 f x x3ax2x 2 a0的极大值点和极小值点都在区间1,1 内,则实数 a 的取值范围是．【答案】 3 a 2【解读】考点：导数与极值．类型二求函数在闭区间上的最值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步求出函数 f ( x) 在开区间 ( a,b) 内所有极值点；第二步计算函数 f ( x) 在极值点和端点的函数值；第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例 2 若函数 f x e x x2mx ，在点 1, f 1 处的斜率为 e 1．（ 1）求实数 m 的值；（ 2）求函数 f x在区间1,1 上的最大值．【答案】（） m1；（）f x max e .12【解读】试卷分析：（ 1）由f (1) e 1解之即可；（ 2）f x e x 2 1为递增函数且f 1 e 1 0, f 1 e13 0 ,所以在区间( 1,1)上存x在 x 0 使 f ( x 0 ) 0 ，所以函数在区间 [ 1,x 0 ] 上单调递减，在区间 [ x 0 ,1] 上单调递增，所以f xmaxmax f1 , f 1，求之即可 .试卷解读： （1）f x ex2，∴f 1 e 2 m，即e 2 m e 1，解得m 1 ；x m实数 m 的值为 ；1（ ）x 21为递增函数，∴ f1 e 1 0, f 1e 13 0 ，2 f x ex存在 x 01,1 ，使得 f x 00 ，所以 fxmaxmax f1 , f 1 ，f1 e 12, f 1e ，∴f x maxf 1e考点： 1.导数的几何意义； 2.导数与函数的单调性、最值 .【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围 .【变式演练 7】已知 f ( x)x x 1.e（ 1）求函数 y f (x) 最值；（ 2）若 f ( x 1 ) f ( x 2 )( x 1 x 2 ) ，求证： x 1 x 2 0 .【答案】（1） f ( x) 取最大值 f ( x)max f (0) 1，无最小值；（ 2）详见解读 .【解读】e x (x 1) e xx 试卷解读：（ 1）对 f (x) 求导可得 f ( x)2xx ，ee令 f ( x)xx 0 得 x=0.e当 x (0, ) 时， f (x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减，当 x=0 时， f ( x) 取最大值f ( )f (0) 1，无最小值.x max（ 2）不妨设 x 1 x 2 ，由（ 1）得当 x ( ,0) 时， f (x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增；当 x (0, ) 时， f (x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减，若 f (x 1 )f ( x 2 ) ，则 x 1 0 x 2 ，考点： 1.导数与函数的最值； 2.导数与不等式的证明 .【变式演练 7】已知函数 f ( x) xln x ， g (x)x 2 ax 2 .（Ⅰ）求函数 f ( x) 在 [t, t 2](t0) 上的最小值；（Ⅱ）若函数 y f ( x) g ( x) 有两个不同的极值点 x 1, x 2 ( x 1 x 2 ) 且 x 2 x 1 ln 2 ，求实数 a 的取值范围 .1 ，12ln 2 ln(ln 2) 1 .【答案】（Ⅰ） f (x)minee；（Ⅱ） a133t ln t, te【解读】试卷分析：（Ⅰ）由 f ' ( x) ln x 10 ，得极值点为 x1，分情况讨论 0 t1及 t1时，函eee数 f (x) 的最小值；（Ⅱ）当函数 yf ( x) g(x) 有两个不同的极值点，即 y 'ln x2x 1 a 0有两个不同的实根 x 1, x 2 (x 1 x 2 ) ，问题等价于直线 y a 与函数 G( x)ln x 2x 1 的图象有两个不同的交点，由 G(x) 单调性结合函数图象可知当 aG ( x)min1) ln 2 时， x 1 , x 2 存在，且 G (2x 2 x 1 的值随着 a 的增大而增大， 而当 x 2 x 1 ln 2 时，由题意ln x 1 2x 1 1 a 0ln x 2 2x 2 1 a， x 2 4x 1代入上述方程可得 x 2 4x 14ln 2 ，此时实数 a 的取值范围为 a2ln 2 ln(ln 2) 1 .333试卷解读：（Ⅰ）由 f ' (x) ln x 10 ，可得 x1 ，e① 0 t1时，函数 f ( x) 在 (t, 1) 上单调递减，在 ( 1,t2) 上单调递增，eee函数 f ( x) 在 [t, t 2](t 0) 上的最小值为 f ( 1)1 ，ee②当 t1时， f ( x) 在 [t, t 2] 上单调递增，ef (x)minf (t ) t ln t ，1 ，1f (x)minee ；t ln t ,t 1e两式相减可得 lnx 12( x 1 x 2 )2ln 2x 2x 2 4x 1 代入上述方程可得 x 24x 14ln 2 ，3此时 a2ln 2 ln(ln 2) 1 ，33所以，实数 a 的取值范围为 a2ln 2 ln(ln 2) 1 ；33考点：导数的应用．【变式演练 8】设函数 f x ln x1 .（ 1）已知函数 F xf x1 x23 x1,求 F x 的极值；42 4（ 2）已知函数 G xf xax 22a 1 x a a 0 ,若存在实数 m2,3 ,使得当 x0,m 时,函数 G x 的最大值为 G m ,求实数 a 的取值范围 .【答案】（1）极大值为 0 ，极小值为 ln 23；（2） 1 ln 2,.4【解读】F x , F ' x 随 x 的变化如下表 :x0,111,222,F ' x00F x Z0]ln 23Z 4当 x 1 时函数 F x 取得极大值 F 10 。
(完整word)导数题型方法总结(绝对经典)(可编辑修改)
第一章(完整word)导数题型方法总结(绝对经典)(word版可编辑修改)
第二章
第三章
第四章编辑整理：
第五章
第六章
第七章
第八章
第九章尊敬的读者朋友们：
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第十二章
时取“1
f
解：函数的定义域为(Ⅰ)当m ＝4时，f （x )＝ Error!x 3－x 2＋10x ，R ＝x 2－7x ＋10，令 ， 解得或。
()f x '()0f x '>5,x >2x <令 ， 解得()0f x '<25
x <<
1)2-112222112AOH S ∆-=⨯⨯-⨯⨯
解:由题知:f (x)3ax '=（Ⅰ)由图可知函数f 得332c d a b =⎧⎨++⎩（Ⅱ）依题意
= – 3 ()2f '
【例题1】：已知两个函数
232
()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k =+-=++∈-。
导数压轴小题汇编
导数压轴小题(01)12【图像法】设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ D ）A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e图像法】已知函数()m +-=mx xe x f x，若()0<x f 的解集为（a,b ）,其中b<0;不等式在（a,b ）中有(03)16【切线应用】若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为 .答案： 32{f ′(m )=0f (m )=0(04)12【导数的切线法】设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为( A ) 【此题也是多变量转化+等与不等转化】 f′(x )=g′(x) ⇒ x =aA ．B ．C ．D ． 构造F(b)=−12a 2−a 2lna (05)11【导数的切线法】若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数()sin cos g xa x x x =-的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l⊥，则实数a 的取值范围为(D ) −2+2√2≤∃k l 2<0 A ．⎤⎥⎣⎦B ．1⎡-⎢⎣⎦C.21⎛⎡⎤--∞+∞ ⎢⎥⎝⎦⎣⎦，D ．(][),11,-∞-+∞(06)12【导数的切线法】已知实数满足，实数满足，则的最小值为（ A ） 【距离模型+转化法】A ．1B ．2C ．3D ．4 (07)12【导数的切线法】若直线kx −y −k +1=0 (k ∈R)和曲线E ：y =ax 3+bx 2+53(ab ≠0)的图像交于A( x 1 y 1 ) B ( x 2 y 2 ) C ( x 3 y 3 ) (x 1<x 2<x 3)三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点（b, a ）可作曲线E 的( B )条切线 (咋读题目一头雾水，无思路！) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(08)16【导数的直接应用】若f(x)是定义在R 上的可导函数，且满足(x −1)f′(x)≥0，则必有（ D ） A ．f(0)+ f (2)<2f(1) B ．f(0)+ f (2)>2f(1)C ．f(0)+ f (2)≤2f(1)D ．f(0)+ f (2)≥2f(1) 【易选B 】 (09)12 【导数的直接应用】若函数f (x )=e x (sinx +acosx )在(π4，π2)上单调递增，则实数的取值范围是（ A ）(A) (B) (C) (D)()()02232>-=a axx x f ()b x a x g +=ln 2221e 221e e 1223-e ,a b ln(1)30b a b ++-=,c d 20d c -+=22()()a c b d -+-a (],1-∞(),1-∞[)1,+∞()1,+∞(10)12【利用对称中心破题】已知函数, 则的值为（ B ） （A ） （B ） （C ） （D ）(11)12【利用对称中心破题】已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（ B ） （A ）2016 （B ）1008 （C ）504 （D ）0 (12)12【利用对称中心破题】已知函数()())221ln3cos 1x x x f x x ++=+，且()20172016f =，则()2017f -=( A )A ．2014-B ．2015-C ．2016-D ．2017-(13)12【利用对称中心破题】已知函数()2ln f x x x =-与()()()()21222g x x m m R x =-+-∈-的图象上存在关于()1,0对称的点，则实数m 的取值范围是( D ) 注意题干中是存在而不是任意 f (x )=−g (2−x ) A.(),1ln 2-∞- B.(],1ln 2-∞- C. ()1ln 2,-+∞ D.[)1ln 2,-+∞(14)16【通过构造函数破题】已知函数（为自然对数的底数），若对任意的正数，当时，都有成立，则实数m 的取值范围为 .答案：[0,+∞)(15)12【通过构造函数破题】已知函数2)1ln()(x x a x f -+=，在区间（0，1）内任取两个实数p ，q ，且q p <，若不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是( B ) A ．（15，)+∞ B ．[15，)+∞ C ．（-∞，6） D ．（-∞，6] (16)11【直接法】已知直线与函数的图象交于两点AB ，若中点为点，则的大小为（ B ） A.B. C. 1 D. 2 (17)12【函数性质+K 法】已知函数f(x)=x +sinx (x ∈R)，且f (y 2−2y +3)+f(x 2−4x +1)≤0，则当y ≥1时，y x+1的取值范围是（ A ） A ．B ．C ．D ．(18)12【考查函数性质】已知函数22()(8)12(0)f x x a x a a a =++++-<，且2(4)(28)f a f a -=-，则*()4()f n an N -∈的最小值为（ A ） 提示： a 2−4+2a −8=0()32331248f x x x x =-++201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑050410082016()ln xf x e m x =+,m R e ∈12,x x 12x x >()()1212f x f x x x ->-l ())()ln ln 1f x x =--AB 1,2P m ⎛⎫⎪⎝⎭m 1312A.374B.358C.328D.274(19)12.【分离参数法+隐含零点】已知函数f (x )=x +xlnx ,若k ∈Z ,并且k(x −1)<f(x)对任意的x >1恒成立，则k 的最大值为（B ） 提示：隐含零点必然用到导函数的零点的等量代换A. 2B. 3C.4D.5(20)8【考查函数的零点＋嵌套函数】已知函数⎩⎨⎧≥+--<-=1,2)2(1,)1(log )(25x x x x x f ，则方程a x x f =-+)21(的实根个数不可能为(B) 考查作图能力＋双勾函数，特别要注意双勾函数的二个拐点，本题当a=0 有３个，a=1时有７个，一共有２.３．４．６．７．８六种情况B. A ．8个 B ．7个 C ．6个D ．5个(21)12【考查函数的零点】定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，()ln 1f x x x =-+， 若函数()()g x f x mx =+有7个零点，则实数m 的取值范围为（ A ） 函数的性质－对称中心要掌握哦！画出图像A. 1ln 21ln 2ln 21ln 21(,)(,)8668----⋃B. ln 21ln 21(,)68--C. 1ln 21ln 2(,)86-- D. 1ln 2ln 21(,)86-- (22)10【考查函数的零点】设函数()21cos ,12,01x x f x x x π⎧+>⎪=⎨⎪<≤⎩，函数()()10g x x a x x =++>，若存在唯一的0x ，使得()()(){}min ,h x f x g x =的最小值为()0h x ，则实数a 的取值范围是( A ) 好好琢磨一下本题！A. 2a <-B. 2a ≤-C. 1a <-D. 1a ≤- 画出图像(23)12【考查函数的零点】已知函数()xe f x kx x=-（e 为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是（ B ） 分参后求导画出图像（画图像注意x<0部分） A ．(0,2)B ．2(0,)4eC ．(0,)eD ．(0,)+∞ 【分离参数法】(24)16【转化法+零点】已知函数()2ln (6)f x a x x a x =++-在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 (0,2) 本题还需注意是相交，相切不行！求导后，分离ａ，转化为双勾函数！(25)11【图像法+转化法+零点】函数()())ln 00x x f x x x ⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩与()()112g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ B ） 画出f(x)图像，再画出y =12|x |＋1图像 实际转化为ln(−x)=12(−x −a +1)有解 A ．(],32ln 2-∞- B ．[)32ln 2,-+∞ C.),e ⎡+∞⎣D ．(,e -∞(26)12【考查函数的零点】定义在(1，+∞)上的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x ∈(1，+∞)恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)当x ∈(1，2]时，f(x)=2﹣x ；记函数g(x)= f(x)﹣k (x ﹣1)，若函数g (x )恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ C ） A ．[1，2）B ．4[,2]3C ．4[,2)3D ．4(,2)3f(x)图像容易画错(27)12【多变量转化+等与不等转化】已知函数n x m x g x x f ++==)32()(,ln )(，若对任意的),0(+∞∈x ,总有)()(x g x f ≤恒成立，记n m )32(+的最小值为),(n m f ，则),(n m f 最大值为（ C ）A. 1B. e 1C.21e D. e1 (28)12【多变量转化+等与不等转化】已知不等式(2)2xe a x b -+≥- 恒成立，则52b a -+的最大值为( A ) A ． ln 3- B ．ln 2- C ．1ln3-- D ．1ln2--失败：直接求导f ′(x )=e x−(a +2)(x ∈R);一般要对原函数作一下处理！分a +2>< =0三种情况讨论(29)12【多变量转化+等与不等转化】对于任意0b >，a R ∈，不等式[][]222(2)ln (1)b a b a m m --+--≥-恒成立，则实数m 的最大值为（ B ） 本质是平行线间距离A ．．2 C. e D ．3(30)11【嵌套函数+零点图像法】函数f (x )={|log 2|4x −1|| x ≠14 ,0 x =14若方程af 2(x )+bf (x )+c =0有8个不同的实根，则此8个实根之和是（ D ） 适合高一学生做A. 52 B. 4 C.114D. 2(31)10【嵌套函数法】已知函数()132,1,1x e x f x x x x -⎧<=⎨+≥⎩，则()()2f f x <的解集为( B ) 适合高一学生做A ．(1−ln2 ,+∞)B ．(−∞ ,1−ln2 ) C. (1−ln2 ,1) D ．(1 ,1+ln2)(32)12【导数＋嵌套函数法+分离参数】函数22()3,()2xf x x x ag x x =-++=-,若[()]0f g x ≥对[0,1]x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是（ C ）A.[,)e -+∞B.[ln 2,)-+∞C.[2,)-+∞D.1(,0]2-(33)11【导数＋嵌套函数法＋定义域与值域的关系】已知函数2)(+⋅+=-xxe a e xf （R a ∈，e 为自然对数的底数），若)(x f g =与))((x f f y =的值域相同，则a 的取值范围是（ A ）A ．0<aB ．1-≤aC ． 40≤<aD ．0<a 或40≤<a (34)12【导数＋嵌套函数法+分离参数】已知函数)0()1(21)(2>++-+⋅=a a x a x a e e x f x ，其中e 为自然对数的底数.若函数)(x f y =与)]([x f f y =有相同的值域，则实数a 的最大值为（ B ）A ．eB ．2 C. 1 D ．2e (35)12【导数＋嵌套函数法＋导函数零点】已知函数()3213f x x ax bx c =-+++有两个极值点12,x x ，若()112x f x x <<，则关于x 方程()()()220f x af x b --=的实根个数不可能为（ D ）． 多研究研究 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (36)12【导数＋嵌套函数法＋导函数零点】已知函数()3213f x x ax bx c =-+++有两个极值点12,x x ，若x 1=f(x 1)，则关于x 方程()()()220f x af x b --=的实根个数为（ B ）． 多研究研究 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5(37)12【嵌套函数法＋零点】已知偶函数f(x)满足f (x +4)=f(4−x)，且当x ∈(0,4]时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式f 2(x )+af (x )>0在[−200 ,200]则实数a 的取值范围是（ D ）A. 1(ln2,ln6)3--B. 1(ln2,ln6]3--C. 13ln2(ln6,)34--D.13ln2(ln6,]34--(38)12【导数极值点常规处理手段－转化法】已知函数()ln x f x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ A ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,e C.1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),e -∞f ′(x )=1+lnx −ae x =0有2解⇔g (x )=a =1+lnx e x有2解 g’(x )=1x−1−lnx e x且g’(1)=0lim g (x )n →+∞=0(39)12【5点法+向量法】将函数34y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移3个单位，得函数()34y x πϕϕπ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象(如图) ，点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=，则()tan ϕθ-的值为（ A ）A ．23-．23-13．13(40)12【分析法】已知函数f (x )＝e x −ax −1，g (x )=lnx −ax +a ，若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)＜0，则实数a 的取值范围为（ ）A 、(ln2，e 2―12) B 、(ln2，e ―1) C 、[1，e ―1) D 、[1，e 2―12)(41)12【导函数构造法】设定义在R 上的可导函数f′(x)的导函，若f(3)=1，且 3 f(x)+x f′(x)＞ln(x +1)，则不等式(x −2017)3 f(x −2017)﹣27＞0的解集( D )A ．（2014，+∞）B ．（0，2014）C ．（0，2020）D ．（2020，+∞）(42)12【导函数2次构造法】已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(2)()'()0x f x xf x ++>，则（ A ）A.()0f x > B ．()0f x < C ．()f x 为减函数 D ．()f x 为增函数(43)12【导函数2次构造法】定义在R 上的函数)(x f 满足：xe x xf x f •=-')()(，且21)0(=f ，则)()(x f x f '的最大值为（ D ）A ．0B ．21C ．1 D.2 (44)12【导函数构造法】已知偶函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x <时有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++--<的解集为( B )A ．(),2012-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2016-∞-D ．()20160-，(45)12【导函数构造法】设函数()f x 满足()()232'xx f x x f x e +=，()228e f =，则[)2,x ∈+∞时，()f x 的最小值为（ D ）A.22eB.232eC.24eD.28e 【导函数构造法，特殊1题】 (46)12【导函数构造法】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为'()f x ，若对任意的正实数x ，都有'()2()0xf x f x +>恒成立，且1f =，则使2()2x f x <成立的实数x 的集合为（ C ）A ．(,(2,)-∞+∞ B ．( C ．(-∞ D ．)+∞(47)10【导函数构造法】已知函数()f x 为R 上的可导函数，其导函数为'()f x ，且满足()'()1f x f x +<恒成立，(0)2018f =，则不等式()20171x f x e -<+的解集为（ A ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞ C.(,)e +∞ D ．(,)e -∞(48)12【导函数构造法】已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意实数x 均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且(1)y f x e =+-是奇函数，则不等式()0x xf x e ->的解集是（ D ）A ．(,)e -∞B ．(,)e +∞ C. (,1)-∞ D ．(1,)+∞(49)12【导函数构造法】已知定义域为Ｒ的函数f(x)的导函数为f′(x) ，并且满足f ′(x )>f (x )+1，则下列正确的是（ A ） 构造为：g (x )=f(x)e x+e −xA . f (2018)−ef(2017)>e-1 B. f (2018)−ef(2017)<e-1 C. f (2018)−ef(2017)>e+1 D. f (2018)−ef(2017)<e+1(50)16【导函数类极值零点最值】.关于的方程有两个不等实根，则实数的取x ()22174ln 0k x x k x-+-+=k值范围是 ．(51)12【导函数类极值零点最值】已知函数()(ln )f x x x ax =-有极值，则实数a 的取值范围是（ A ）A ．1(,)2-∞B ．1(0,)2C ．1(,]2-∞ D ．1(0,]2 【转化法】(52)12【导函数类极值零点最值】已知函数()221x f x e ax bx =-+-，其中,,a b R e ∈为自然对数的底数.若()()10,f f x '=是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（ A ）A ．()223,1e e -+ B ．()23,e -+∞C. ()2,22e-∞+ D ．()2226,22ee -+ 觉得有问题(53)12【导函数类极值零点最值】已知a R ∈，若1()()x f x a e x=+在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a 的取值范围是（ B ）A ．0a <B ．0a >C ．1a ≤D ．0a ≥ 【导数应用】 (54)12【分析结构+换元法】若存在正实数m ，使得关于x 的方程()()224ln ln 0x a x m ex x m x ++-+-=⎡⎤⎣⎦有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(),0-∞ B ．），（e 210 C. ),21()0,(+∞-∞e D ．),21(+∞e(55)16【函数性质+单调性】定义在x R ∈上的函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，且()2f x -是偶函数，若对一切实数x ，不等式()()2sin 2sin 1f x f x m ->--恒成立，则实数m 的取值范围为____________． 答案：2m <-或4m >(56)11【函数性质法-单调性+奇偶性】已知函数，若，则实数的取值范围是（ D ） A ． B ． C. D ．(57)10【函数性质法】已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，且对于任意1x ，2[0,1]x ∈，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<，设82()11a f =，50()9b f =-，24()7c f =，则下列结论正确的是（ B ） A ．a b c >> B ．b a c >> C.b c a >> D ．c a b >> (58)10【函数性质-周期函数法】设函数(0)()sin f x x =，定义(1)(0)()'()f x f f x ⎡⎤=⎣⎦，(2)(1)()'()f x f f x ⎡⎤=⎣⎦，…，()(1)()'()n n f x f f x -⎡⎤=⎣⎦，则(1)(2)(3)(2017)(15)(15)(15)(15)f f f f ︒+︒+︒++︒…的值是（ A ）A．4 B．4C ．0D ．1(59)12【函数性质-周期函数法】若函数)(x f y =，M x ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有)()(T x f x af +=恒成立，此时T 为)(x f 的假周期，函数)(x f y =是M 上的a 级假()4,7()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩()()()21f a f a f -+≤a (][),11,-∞-+∞[]1,0-[]0,1[]1,1-周期函数，若函数)(x f y =是定义在区间[)∞+，0内的3级假周期且2=T ，当，)2,0[∈x ⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-=)21)(2()10(221)(f 2x x f x x x 函数m x x x x g +++-=221ln 2)(，若[]8,61∈∃x ，)0(2∞+∈∃，x 使0)()(12≤-x f x g 成立，则实数m 的取值范围是（ C ）A ．]213,(-∞ B ．]12,(-∞ C ．]39,(-∞ D ．),12[+∞ (60)12【函数解析式】（文）若，则等于（ C ）A ．－2B ．－4C ．2D ．0 (61)11【函数解析式】已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭，则()2f -=( C ) A. 72-B. 92C. 72D.92-(62)11【函数解析式】已知函数满足，若在上为偶函数，且其解析式为，则的值为（ B ）A ．-1B ．0 C.D ． (63)11【函数性质法】已知单调函数()f x ，对任意的x R ∈都有[()2]6f f x x -=．则(2)f =( C )A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8(64)12【三角函数】在锐角三角形ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若2sin a b C =，则tan A+ tan B+tan C的最小值是( C ) 【三角函数难题】A. 4B.(65)12【不等式法】记},,min{c b a 为c b a ,,中的最小值，若y x ,为任意正实数，则}1,1,2min{xy y x M +=的最大值是（ D ）A ．21+B ．2C ． 22+D ．3(66)16【图像+分析法】已知函数f (x )=sinx −acosx 图像的一条对称轴为x=34π,记函数f (x )的两个极值点分别为x 1,x 2;则⌈x 1+x 2⌉的最小值为_____π2 _______ (67)10【分析法】已知函数()1cos 626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若存在123,,,,n x x x x 满足12306n x x x x π≤<<<<≤且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()()1122,n n f x f x n n N *-+-=≥∈，则n 的最小值为（ C ）A. 6B. 10C. 8D. 12 (68)11【线性规划法+平行线】若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|34||349|x y a x y -++--的()y g x =(2)()g x g x +=-()y f x =(2,0)(2,0)--2log ,02()(),20x x f x g x x <<⎧=⎨-<<⎩(2017)g -1212-取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（ D ） A. 4a ≤- B. 46a -≤≤ C. 4a ≤-或6a ≥ D. 6a ≥ (69)10【泰勒四鬼法】（理）若,则下列不等式恒成立的是（ C ）A ．B ．C ．D ．(70)12【图像法+零点】已知(),01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是( B )A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. (),e -∞- C. (),e +∞ D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(71)12【图像法+零点】定义在R 上的函数f(x)，满足,01[,210[,2)(22⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈+=），），x x x x x f 且f(x+1)=f(x-1)，若g(x)=3-x 2log ，则函数F(x ）=f(x ）-g(x ）在()∞+，0内的零点个数有( B )A.3个B.2个C.1个D.0个(72)12【图像法+零点】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=)0(12)0(1)(2x x x x exx f x ，若函数1))((--=a x f f y 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ B ）A ．]3,2()11,1(⋃+eB. }13{]3,2()11,1(ee +⋃⋃+C. }13{)3,2[)11,1(ee +⋃⋃+ D. ]3,2()21,1(⋃+e(73)12【图像法+零点】已知函数34)(,||)(2+-=+--=x x x g a a x x f ，若方程|)(|)(x g x f =恰有2个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ A ） A ．1313(,)(,+228∞）B ．113513(,)+282⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．]813,23[]2135,21( - D ．)813,23[]2135,21( -(74)12【图像法+零点】定义在)1,1(-上的函数)(x f 满足1)1(1)(+-=x f x f ，当]0,1(-∈x 时， 111)(-+=x x f ，若函数m mx x f x g ---=21)()(在)1,1(-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是( C ) A ．)169,41( B ． )169,41[ C ．11[,)42 D ．11(,)42(75)16【图像法+零点】已知函数()222,0,4,0.3x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，函数()()()24g x f x f x ax a =+-+有三个零点，则实数a 的取值范围为 ．答案：44,913⎡⎫--⎪⎢⎣⎭(76)12【图像法+零点】设函数1222,2()1130,2x x f x x x x +⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩≤，若互不相等的实数,,,a b c d 满足()()()f a f b f c ===()f d ，则2222a b c d +++的取值范围是（ B ）A．2,146) B ．(98,146) C．2,266)D ．(98,266)(77)12【图像法+零点】设函数21,2()5,2xx f x x x ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩≤，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ B ） 【图像法+均值不等式】 A ．(16,32) B ．(18,34)C ．(17,35)D ．(6,7)(78)12【图像法+零点】已知函数2,0()e ,xx x f x x >⎧=⎨⎩≤0，()e x g x =（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为( D )A ．1(1ln 2)2- B ．1ln 22+ C ．1ln2-D ． 1(1ln 2)2+(79)12【图像法+零点】已知函数2,0()e ,xx x f x x >⎧=⎨⎩≤0，()e x g x =（e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为 ( D )A ．1(1ln 2)2- B ．1ln 22+ C ．1ln2- D ．1(1ln 2)2+(80)12【图像法+零点】已知f (x )为偶函数，对任意x ∈R , f (x )=f (2−x )恒成立，且当０≤x ≤１时，f (x )＝2−2x 2;设函数g (x )= f (x )−log 3x 则g (x )的零点的个数为（ C ）A. 6B. 7C. 8D. 9(81)11【零点】已知函数h (x )=xlnx 与函数g (x )=kx −1的图像在区间[1e ,e]上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ B ）A. [1+1e,e −1] B. (1, 1+12] C. (1, e-1) D. (1, +∞)(82)12【导数＋零点】若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( A )A.1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- (83)11【零点】已知函数2||33()()(3)(3)3x x f x g x b f x x x -≤⎧⎪==--⎨-->⎪⎩，，函数，，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ） A. 11(,)4-+∞ B. 11(3,)4--C. 11(,)4-∞- D. (3,0)- (84)12【零点】已知关于的方程，，若对任意的，该方程总存在唯一的实数解，则实数a 的取值范围是（ B ） A.B.C.D.(85)12【零点】已知当x ∈(1,+∞)时；关于x 的方程xlnx+(2−k)xk=−1有唯一实数解，则k 值所在的范围（ A ）A.( 3,4 )B.( 4, 5 )C. ( 5 , 6 )D. ( 6, 7 )(86)10【零点】已知函数f (x )={2018x x ≥0 –x x <0 则关于x 的方程f [f(x)]=t 给出下列五个命题： ① 存在实数t 使得方程没有实数根 ② 存在实数t 使得方程恰有1个实数根③ 存在实数t 使得方程恰有2个不同实数根 ④ 存在实数t 使得方程恰有3个不同实数根 ⑤ 存在实数t 使得方程恰有4个不同实数根 其中正确命题个数是（ B ）A. 4B. 3C. 2D. 1(87)12【考查二次函数值域】已知函数()()33f x x a x a =--+(0)a >在[]1,b -上的值域为[]22,0a --，则b 的取值范围是（ A ）A ．[]0,3B ．[]0,2C ．[]2,3D ．(]1,3-(88)16【外接球与内切球】.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为 6 cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ．,,,E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH △△△△分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,,ABE BCF CDG ADH △△△△，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．16．答案：27解析：如下图，连结OE 交AB 于点I ，设,,,E F G H 重合于点P ．正方形的边长为(0)x x >，则2x OI =，62x IE =-．因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以6222x x-=⋅，解得4x =．设该四棱锥的外接球的球心为Q ，外接球半径为R ，则OC OP ===，222)R R =+，解得R =，外接球的体积34327V π==．(89)12 【导数法】设函数，则关于函数说法错误的是（ C ） A ．在区间，内均有零点 B ．与的图象有两个交点 C. ，使得在，处的切线互相垂直 D ．恒成立(90)12【极值点偏移】已知函数()xf x e ax =-有两个零点12,x x ，12x x <，则下面说法正确的是（ D ）A ．122x x +<B ．a e <C ．121x x >D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<(91)12【均值不等式】.若0,0,1x y x y >>+=，则2222x y x y +++的最小值为( A ) A.14B. 2C. 4D.12(92)12【恒成立－分离参数法】已知函数f (x )=ax +xlnx (a ∈R)的图像在点x =1e处的切线斜率为 1.当k ∈Z 时， 不等式 f (x )−kx +k >0在x ∈(1,+∞)上恒成立，则k 的最大值是（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 4(93)12【等和线】在平行四边形ABCD 中，AB=1 AD=2 ∠BAD =π3,动点P 在以点C 为圆心并且与BD 相切的圆上，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则λ+μ 的最大值为 （ D ） A. 1 B. √5 C. 2√2 D. 3 (94)（12）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，存在(]0,t e ∈，使得()()f t g t -的最小值为3，则函数()ln g x x =图象上一点P 到函数()f x ax =图象上一点Q 的最短距离为（ D ）()3xf x e x =-()y f x =(0,1)(1,)+∞ln y x =1x R ∀∈2x R ∃∈()y f x =1x x =2x x =()1f x ≥-F ABD CPOQA ．1eB ．41e +41e + D ．41e +(95)12【函数综合】定义在实数集R 上的奇函数()f x 满足(+2)=-()f x f x ，且当[1,1]x ∈-时，()f x x =，则下列四个命题：① (2018)0f =； ②函数f(x)的最小正周期为2； ② 当x ∈[−2018 , 2018]时，方程1()2f x =有2018个根； ④方程5()log ||f x x =有5个根. 其中真命题的个数为（ C ）A ． 1B ． 2 C. 3 D ．4(96)10【函数性质与数列】已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且满足)()23(x f x f =-，2)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且12+=na n S nn（{}n a S n 为的前项和n ），则=)(5a f （ D ） A ．3- B ．2- C ．3 D ．2(97)12【存在与任意】设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则k 的取值范围是（ C ）A ．92ln 21,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．92ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 92ln 21,10+⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦(98)15【存在与任意】已知函数()sin f x x x =-，若2(2)()f a f a -+≥0，则实数a 的取值范围是 ．54+(99)15【存在与任意】若函数3()f x x x =+，若2(2)()f a f a -+≥0，则实数a 的取值范围是 54(100)16【存在与任意】已知函数xxx f ln )(=，-=)(x g e ax x +2(e 是自然对数的底数)，对任意的∈1x R ，存在]2,31[2∈x ，有)()(21x g x f ≤，则a 的取值范围为 . ),2[+∞(101)12【导数综合】已知函数x x x x f cos sin )(-=，现有下列结论： ①当],0[π∈x 时，0)(≥x f ；②当πβα<<<0时,αββαsin sin ⋅>⋅；③若m x x n <<sin 对)2,0(π∈∀x 恒成立，则n m -的最小值等于π21-； ④已知]1,0[∈k ，当)2,0(π∈i x 时，满足k x x ii =|sin |的i x 的个数记为n ，则n 的所有可能取 值构成的集合为}.3,2,1,0{ 其中正确的个数为( C )A.1B.2C.3D.4 (102)12对于满足0<b <3a 的任意实数a,b ;函数f (x )=ax 2+bx +c 总有两个不同的零点，则a+b−c a的取值范围（）A. (1 , 74] B. (1 ,2] C. [1 ,+∞) D. (2 ,+∞)(103)15．记{}⎩⎨⎧<≥=ba b b a a b a ,,,max ，设{}82,4max 22+-+-=x y y x M ,，若对一切实数y x ,, m m M 22-≥ 恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．(104)12.记{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，则11min 2,,M x y y x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值为( D )A. 1+2(105)12【导数+隐含零点】已知函数f (x )=xlnx +12x 2, x 0是函数f(x)的极值点。
【2023高考数学复习强化】专题12 导数中的“距离”问题(教师版)
专题12 导数中的“距离”问题【题型归纳目录】 题型一：曲线与直线的距离 题型二：曲线与点的距离 题型三：曲线与圆的距离 题型四：曲线与抛物线的距离 题型五：曲线与曲线的距离 题型六：横向距离 题型七：纵向距离 【典例例题】题型一：曲线与直线的距离例1．已知函数22()()()f x x a lnx ea =+++，若存在0x ，使得024()1f x e +，则实数a 的值是 ． 【解答】解：22()()()f x x a lnx ea =+++，∴函数()f x 可看作动点(,)M x lnx 与动点(,)N a ea --之间距离的平方，动点M 在y lnx =的图像上，N 在y ex =的图像上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由y lnx =，得1y e x '==，则1x e=， 故曲线上的点1(M e ，1)-到直线y ex =距离的最小值是d =则24()1f x e +，根据题意若存在0x ，使得024()1f x e +， 则024()1f x e =+，此时N 恰为垂足， 由1MNK e =-，故(1)11ea e a e---=---，解得：231e a e e -=+， 故答案为：231e e e-+．例2．已知函数22()()()x a f x x a e e =+++，若存在0x ，使得024()1f x e +，则实数a 的值为 ．【解答】解：函数22()()()x af x x a e e=+++，函数()f x 可以看作是动点(,)x M x e 与动点(,)aN a e--之间距离的平方，动点M 在函数x y e =的图象上，N 在直线1y x e=的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由x y e =得，1x y e e'==，解得1x =-， 所以曲线上点1(1,)M e -到直线1y x e =的距离最小，最小距离d =则24()1f x e +， 根据题意，要使024()1f x e +，则024()1f x e =+， 此时N 恰好为垂足，由11MNa e e k e a --==--+，解得2211e a e -=+． 故答案为：2211e e -+．例3．若实数a ，b ，c ，d 满足222(3)(2)0b a lna c d +-+-+=的最小值为 ． 【解答】解：实数a ，b ，c ，d 满足222(3)(2)0b a lna c d +-+-+=， 230b a lna ∴+-=，20c d -+=．分别设2()3(0)y f x lnx x x ==->，2y x =+．设直线2y x =+与曲线23(0)y lnx x x =->相切于点0(P x ，0)y ． 则3()2f x x x'=-，0003()21f x x x '=-=，解得01x =，01y ∴=-．(1,1)P ∴-．∴点P 到直线2y x =+的距离d==的最小值为 故答案为：例4．设函数22()()(22)f x x a lnx a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得04()5f x 成立，则实数0x a 的值是 ．【解答】解：函数()f x 可以看作是动点2(,)M x lnx 与动点(,2)N a a 之间距离的平方， 动点M 在函数2y lnx =的图象上，N 在直线2y x =的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由2y lnx =得，22y x'==，解得1x =，∴曲线上点(1,0)M 到直线2y x =的距离最小，最小距离d =，则4()5f x ， 根据题意，要使04()5f x ，则04()5f x =，此时N 恰好为垂足，由21(1)2y xy x =⎧⎪⎨=--⎪⎩可得12(,)55N ∴011,5x a ==，实数0x a的值是5 故答案为：5例5．已知函数2632()2610x x f x x ax e ae a =-+-+的最小值是110，则a 的值是 【解答】解：函数2632()2610x x f x x ax e ae a =-+-+22632(2)(69)x x x ax a e ae a =-++-+ 232()(3)x x a e a =-+-，可得()f x 表示两点3(,)x x e ，(,3)a a 的距离的平方，即有函数3x y e =，3y x =图象上的两点距离的最小值的平方为110， 设直线3y x t =+与函数3x y e =的图象相切， 设切点为(,)m n ，可得333m e =，解得0m =， 即有切点为(0,1)， 则221(0)(13)10a a -+-=， 解得310a =， 则a 的值为0.3．例6．设函数22()()4()f x x a lnx a =-+-，其中0x >，a R ∈．若存在正数0x ，使得04()5f x 成立，则实数a 的值是( ) A ．15B ．25C ．12D ．1【解答】解：函数()f x 可以看作是动点2(,)M x lnx 与动点(,2)N a a 之间距离的平方， 动点M 在函数2y lnx =的图象上，N 在直线2y x =的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由2y lnx =得，22y x'==，解得1x =，∴曲线上点(1,0)M 到直线2y x =的距离d =， 则4()5f x ， 根据题意，要使04()5f x ，则04()5f x =，此时N 恰好为垂足，由20112MN a k a -==--，解得15a =． 故选：A ．例7．设函数2()()(f x x a ln =-+ 222)x a -，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得0()f x b 成立，则实数b 的最小值为( ) A ．15B ．25C ．45D ．1【解答】解：函数()f x 可以看作动点(P x ，ln 2)x 与点(,2)Q a a 的距离的平方，点P 在曲线2y ln = x 上，点Q 在直线2y x =上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由2y ln = x 求导可得2y x'=，令2y '=，解得1x =，此时2y ln = 10=，则(1,0)M ，所以点(1,0)M 到直线2y x =的距离d ==即为直线与曲线之间最小的距离，故24()5min f x d ==． 由于存在0x 使得0()f x b ，则()min f x b ，即45b ， 故选：C ．例8．已知函数33113()(2)(1)222f x x t x lnt ax =-+-+-，若对任意的正实数t ，()f x 在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，4]3B ．(-∞，9]2C ．(-∞，9]4D ．(-∞，16]5【解答】解：33113()(2)(1)222f x x t x lnt ax =-+-+-，223313()(2)(1)2222f x x t x lnt a ∴'=-+-+-，又对任意的正实数t ，()f x 在R 上都是增函数，223313()(2)(1)02222f x x t x lnt a ∴'=-+-+-在x R ∈上恒成立，即221(2)(1)2a x t x lnt -+-+在x R ∈上恒成立，221(2)(1)2x t x lnt -+-+的几何意义为动点(2,1)t lnt -到直线12y x =，即20x y -=上点的距离的平方，其最小值为2(222)5t lnt -+．令()2(1)g t t lnt =-+，2(1)()t g t t-'=， 当(0,1)t ∈时，()0g t '<，当(1,)t ∈+∞时，()0g t '>， ()ming t g ∴=（1）4=，则2(222)5t lnt -+的最小值为165． ∴实数a 的取值范围是16(,]5-∞． 故选：D ．例9．已知实数a ，b ，c ，d 满足|(1)||2|0ln a b c d --+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为( ) A．B ．8C ．4D ．16【解答】解：由题意可知，(1)b ln a =-，2d c =+，22()()a c b d -+-的几何意义为曲线(1)b ln a =-上的点(,)a b 到直线2d c =+上的点(,)c d 连线的距离的平方， 不妨设曲线(1)y ln x =-，直线2y x =+，设与直线2y x =+平行且与曲线(1)y ln x =-相切的直线方程为y x m =+，显然直线2y x =+与直线y x m =+的距离的平方即为所求， 由(1)y ln x =-，得11y x '=-，设切点为0(x ，0)y ， 则00000111(1)x y x m y ln x ⎧=⎪-⎪⎪=+⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得00220x m y =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴直线2y x =+与直线y x m =+=22()()a c b d ∴-+-的最小值为8． 故选：B ．题型二：曲线与点的距离例10．若点(0,)A t 与曲线y lnx =上点B距离最小值为t 为( ) A ．23ln +B ．32ln +C ．1332ln +D ．1222ln +【解答】解：设点B 坐标为0(x ，0)lnx ，其中00x >，1y x'=，∴过点B 的切线斜率为01x ，当直线AB 与过点B 的切线垂直时，点A 与点B 间的距离最小，∴此时000lnx tx x -=-，∴200lnx t x -=-， 点A 与点B即4200120x x +-=，解得：203x =，又00x >，∴0x =∴20013332t lnx x ln =+==+，故选：C ．例11．若点(,0)A t 与曲线x y e =上点P的距离的最小值为t 的值为( ) A ．243ln -B ．242ln -C ．333ln +D ．332ln +【解答】解：x y e =的导数为x y e '=， 设(,)m P m e ，可得过P 的切线的斜率为m e ， 当AP 垂直于切线时，AP取得最小值可得1m m e m t e=--，= 可得2()()120m t m t ----=， 解得3(4m t -=-舍去）， 即有23m e t m =-=，解得32ln m =， 332ln t =+， 故选：D ．题型三：曲线与圆的距离例12．已知点P 为函数()f x lnx =的图象上任意一点，点Q 为圆221[()]1x e y e-++=任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为( )ABCD ．11e e+-【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心1(Q e e+，0)到函数()f x lnx =图象上一点的距离的最小值． 设()f x 图象上一点(,)m lnm ， 由()f x 的导数为1()f x x'=， 即有切线的斜率为1k m=， 可得1()lnm m m e e-=--+， 即有21()0lnm m e m e+-+=，由21()()g x lnx x e x e =+-+，可得11()2()g x x e x e'=+-+，当23x <<时，()0g x '>，()g x 递增． 又g （e ）21()0lne e e e e=+-+⋅=，可得x e =处点(,1)e 到点Q则线段PQ1．故选：C ．例13．已知点P 为函数()(2)f x lnx e x =+>图象上任意一点，点Q 为圆221[(1)]1x e y e-+++=上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为( ) ABCD【解答】解：设(,)P x lnx e +，又圆221[(1)]1x e y e -+++=的圆心为1(1,0)M e e ++，令2221()(1)()g x PM x e lnx e e ==---++，122()22(1)e lnxg x x e e x x'=-++++，(2)x >． 2222212(1)()20e lnx x lnx e g x x x x -+--''=--+=>，()g x ∴'单调递增，而g '（e ）0=．()g x ∴在(2,)e 递减，在(,)e +∞递增， ()ming x g ∴=（e ）222222(1)(1)(1)(1)e e e e e e +++=++=，()minPM ∴=，则线段PQ1， 故选：A ．例14．已知点P 为函数()f x lnx =的图象上任意一点，点Q 为圆2211[()]4x e y e -++=上任意一点，则线段PQ长度的最小值为( )ABCD ．112e e +-【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心1(C e e+，0)到函数()f x lnx =图象上一点的距离的最小值．设()f x 图象上一点(,)m lnm ， 由()f x 的导数为1()f x x '=，即有切线的斜率为1k m=， 可得1()lnm m m e e-=--+， 即有21()0lnm m e m e+-+=，由21()()g x lnx x e x e =+-+，可得11()2()g x x e x e'=+-+，当23x <<时，()0g x '>，()g x 递增． 又g （e ）21()0lne e e e e=+-+=，可得x e =处点(,1)P e 到点Q则线段PQ12=故选：B ．例15．已知点P 为函数()x f x e =的图象上任意一点，点Q 为圆22(1)1x y -+=上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为( ) A1B ．1CD1【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心(1,0)Q 到函数()x f x e =图象上一点的距离的最小值． 设()f x 图象上一点(,)m m e ， 由()f x 的导数为()x f x e '=， 即有切线的斜率为m k e =，可得1mm e e m -=--，即有210m e m +-=，由2()1x g x e x =+-，可得2()210x g x e '=+>，()g x 递增． 又(0)0g =，可得0x =处点(0,1)到点Q则线段PQ 1， 故选：A ．题型四：曲线与抛物线的距离例16．设(a ϕ，2)(0,)4b b a b R =>∈，当a ，b 变化时(,)a b ϕ的最小值为 ．【解答】解：设2(),()4x f x lnx g x ==()f x 上一点(,)P a lna 与函数()g x 上一点2(,)4b Q b 之间的距离，又函数2()4x g x =表示焦点为(0,1)F ，准线为1y =-的抛物线，由抛物线的定义可得2||14b QF =-，(a ϕ∴，2)(0,)4b b a b R =>∈的几何意义即为||||||||1PQ QQ PQ QF +'=+-，作出示意图如下，由图观察可知，当点P 运动至点P '，且FP '垂直于过点P '的函数()f x lnx =的切线，点Q 为线段FP '与函数2()4x g x =的交点时，||||1PQ QF +-最小，设0(P x '，0)y ，1()f x x '=，则00000111y x x y lnx-⎧⋅=-⎪⎨⎪=⎩，解得0010x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)P '，||||1PQ QF ∴+-的最小值为||111FP '-==．1．例17．设214a D =+．()a R ∈，则D 的最小值为( ) AB ．1 CD ．2【解答】解：222()()()4a S x a lnx a R =-+-∈，其几何意义为：两点(x ．)lnx ，2(,)4a a 的距离的平方，由y lnx =的导数为1y x'=，11k x ∴=点2(,)4a a 在曲线214y x =上，12y x ∴'=，212k x ∴=， 令()f x lnx =，21()4g x x =，则2()()1D x g x =+，而2()1g x +是抛物线214y x =上的点到准线1y =-的距离， 即抛物线214y x =上的点到焦点(0,1)的距离， 则D 可以看作抛物线上的点2(x ，2())g x 到焦点距离和到()f x lnx =上的点的距离的和， 即||||AF AB +，由两点之间线段最短，得D 的最小值是点(0,1)F 到()f x lnx =上的点的距离的最小值， 由点到直线上垂线段最短，这样就最小， 即取0(B x ，0)lnx ， 则000()1lnx f x x '=-，垂直， 则2001lnx x -=-，解得01x =，F ∴到(1,0)B 的距离就是点(0,1)F 到()f x lnx =上的点的距离的最小值，D ∴的最小值为||DF =．故选：C ．题型五：曲线与曲线的距离例18．设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线(2)y ln x =上，则||PQ 的最小值为( )A ．1ln - 2B ln - 2)C ．1ln + 2D ln + 2)【解答】解：12x y e =，该函数的定义域为R ，值域为(0,)+∞，2x ln y =，∴函数12xy e =与(2)y ln x =互为反函数， 其图象关于直线y x =对称，两曲线上点之间的最小距离就是y x =与12x y e =上点的最小距离的2倍．设12x y e =上点0(x ，0)y 处的切线与直线y x =平行，则_0112x e =， 02x ln ∴=，01y =，∴点0(x ，0)y 到y x =2)ln =-，则||PQ 2)22)ln ln -⨯=-． 故选：B ．例19．设点P 在曲线2x y e =上，点Q 在曲线12y lnx =上，则||PQ 的最小值为( )A 2)ln -B 2)ln -C 2)ln +D 2)ln + 【解答】解：2x y e =与12y lnx =互为反函数，它们图象关于直线y x =对称；又22x y e '=，由直线的斜率0221x k e ==，得0122x ln =-，02012x y e ==， 所以切线方程为1202x y ln -++=，则原点到切线的距离为2)4d ln =+，||PQ 的最小值为22)d ln =+． 故选：D ．例20．设点P 在曲线2x y e =上，点Q 在曲线2y lnx ln =-上，则||PQ 的最小值为( )A ．12ln -B 2)ln -C ．2(12)ln +D 2)ln +【解答】解：解：2x y e =与2y lnx ln =-互为反函数，先求出曲线2x y e =上的点到直线y x =的最小距离． 设与直线y x =平行且与曲线2x y e =相切的切点0(P x ，0)y ．2x y e '=，021x e ∴=，解得0122x ln ln ==-12021ln y e∴==．得到切点(2,1)P ln -，到直线y x =的距离d =，||PQ 的最小值为22)d ln =+，故选：D ．例21．设点P 在曲线1x y e +=上，点Q 在曲线1y lnx =-+上，则||PQ 最小值为( )A B ．C 2)ln +D 2)ln -【解答】解：1x y e +=与1y lnx =-+互为反函数，先求出曲线1x y e +=上的点到直线y x =的最小距离． 设与直线y x =平行且与曲线1x y e +=相切的切点0(P x ，0)y ．1x y e +'=，011x e +=，解得01x =-．1101y e -+∴==．得到切点(1,1)P -，到直线y x =的距离d =||PQ ∴最小值为故选：B ．例22．设满足方程222(2)(3)0alna b c mc d -+-++=的点(,)a b ，(,)c d 的运动轨迹分别为曲线M ，N ，若在区间1[e，]e 内，曲线M ，N 有两个交点（其中 2.71828e =⋯是自然对数的底数），则实数m 的最大值为( ) A ．4B ．423ln +C ．32e e++D ．132e e+-【解答】解：222(2)(3)0alna b c mc d -+-++=， 20alna b ∴-=，230c mc d -++=，依题意，曲线:2M y xlnx =，曲线2:3N y x mx =-+-，其中曲线N 可化为：22()324m m y x =--+-，其图象如图，要使在区间1[e，]e 内曲线M ，N 有两个交点，则必有曲线N 在x 取e 时y 的值需小于或等于22elne e =， 故要使得m 最大，只需223e e me =-+-，解得：22332e e m e e e++==++，故选：C ．题型六：横向距离例23．已知直线y b =与函数()23f x x =+和()g x ax lnx =+分别交于A ，B 两点，若AB 的最小值为2，则a b += ．【解答】解：设1(A x ，)b ，2(B x ，)b ，可设12x x <， 则12223x ax lnx b +=+=， 1221(3)2x ax lnx ∴=+-，2122113||(1)222AB x x a x lnx ∴=-=--+，令113(1)222y a x lnx =--+，则111(2)11(0)222a x y a x x x--'=--=>，由||AB 的最小值为2，可得20a ->， 函数在1(0,)2a -上单调递减，在1(2a-，)+∞上单调递增， 12x a∴=-时，函数y 取得极小值，且为最小值2， 即有11113(1)222222a ln a a --+=--，解得1a =， 由21x =，则22111b ax lnx ln =+=+=， 可得2a b +=． 故答案为：2．例24．已知直线y b =与函数()25f x x =+和()g x ax lnx =+的图象分别交于A 、B 两点，若||AB 的最小值为3，则2a b -= ．【解答】解：设1(A x ，)b ，2(B x ，)b ，20x >， 则12225x ax lnx b +=+=， 则1221(5)2x ax lnx =+-，则212222211||(5)[(2)5]22AB x x x ax lnx a x lnx =-=-+-=--+，设()(2)5h x a x lnx =--+，0x >， 则1()2h x a x'=--， ||AB 的最小值为3， ()0h x ∴'=的根为12x a =-，且函数()h x 在1(2a -，)+∞上递增，则1(,)2a -∞-上递减， 则函数的最小值为111()(2)56222h a ln a a a=⨯--+=--- 即11562lna -+=-即102ln a =-，则112a=-得21a -=，1a =， 此时21x =，则111b ln =+=， 即2211a b -=-=， 故答案为：1例25．设直线y a =与函数()x f x e =，()g x =A ，B 两点，则||AB 的最小值为( ) A ．1222ln -B ．11222ln -C ．1222ln +D ．11222ln +【解答】解：直线直线y a =与函数()x f x e =，()g x =A ，B 两点， (,)A lna a ∴，2(B a ，)a ，其中2a lna >，且0a >，2||AB a lna ∴=-，设函数h （a ）2a lna =-， h '（a ）12a a=-，0a >，令h '（a ）0=，解得2a =，当h '（a ）0>，即2a >时，函数在(2)+∞单调递增，当h '（a ）0<，即0a <时，函数在单调递减，故a =时，函数有最小值，最小值为11(2)22h ln =--， 故线段AB 的长度的最小值为11222ln +．故选：D ．例26．已知函数2()x f x e =，1()2g x lnx =+的图象分别与直线y b =交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为( ) A ．1B ．12eC ．222ln + D ．32ln e -【解答】解：由题意，1(2A lnb ，)b ，12(b B e -，)b ，其中1212b e lnb ->，且0b >，所以121||2b AB e lnb -=-，令121()2x h x e lnx -=-，(0)x >， 则121()02x h x ex -'=-=时，解得12x =， 所以102x <<时，()0h x '<；12x >时，()0h x '>， 则()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(2，)+∞上单调递增，所以当12x =时，22||2min ln AB +=， 故选：C ．题型七：纵向距离例27．直线(0)x a a =>分别与直线33y x =+，曲线2y x lnx =+交于A 、B 两点，则||AB 最小值为 ． 【解答】解：令()3323f x x x lnx x lnx =+--=-+， 则1()1f x x'=-， ∴当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴当1x =时，即1a =时，()f x 取得最小值f （1）4=，||AB ∴的最小值为4．故答案为：4．例28．直线x a =分别与曲线2(1)y x =+，y x lnx =+交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为( )A ．3B ．2C D ．32【解答】解：令()222f x x x lnx x lnx =+--=-+， 则1()1f x x'=-， ∴当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴当1x =时，即1a =时，()f x 取得最小值f （1）3=，||AB ∴的最小值为3．故选：A ．例29．直线(0)x a a =>分别与曲线21y x =+，y x lnx =+相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为( )A ．1B ．2CD 【解答】解：令()211f x x x lnx x lnx =+--=-+， 则1()1f x x'=-，∴当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴当1x =时，即1a =时，()f x 取得最小值f （1）2=，||AB ∴的最小值为2．故选：B ． 【过关测试】一、单选题1．若x 、a 、b 为任意实数，若22(1)(2)1a b ++-=，则22()(ln )x a x b -+-最小值为( )A ．B ．9C ．9-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，问题可转化为圆22(1)(2)1x y ++-=上动点到函数y ＝ln x 图像上动点距离的最小值，即求函数y ＝ln x 上动点到圆心1,2距离的最小值，数形结合可知当y ＝ln x 在(),ln m m 处的切线与(),ln m m 和1,2连线垂直时为最小值，据此求出m 的值，即可得到答案． 【详解】由22(1)(2)1a b ++-=可得(),a b 在以1,2为圆心，1为半径的圆上，22()(ln )x a x b -+-表示点(),a b 与点(),ln x x 的距离的平方，即表示圆22(1)(2)1x y ++-=上动点到函数y ＝ln x 图像上动点距离的平方． 设(),ln m m 为y ＝ln x 上一点，且在(),ln m m 处的y ＝ln x 的切线与(),ln m m 和1,2连线垂直，可得ln 2111m m m-⋅=-+， 即有2ln 2m m m ++=，由()2ln f m m m m =++在0m >时递增，且()12f =，可得m ＝1，即切点为()1,0，圆心与切点的距离为d由此可得22()(ln )x a x b -+-的最小值为21)9=- 故选：C ．2．已知实数a b c d ,,,满足1b a e -=，ln(1)c d =-，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．12B ．1CD ．2【答案】D 【解析】 【分析】理解原代数式的含义，转化为函数形式，再分析其几何意义，构造函数即可求解. 【详解】()()()()()()222211e ,ln 1,e ln 111b b a c d a c b d d b d --⎡⎤==-∴-+-=--+---⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ， 令121,1b x d x -=-= ，则()()()()12222212e ln x a c b d x x x -+-=-+-，其几何意义为点A ()11,e xx 与点()22,ln B x x 之间距离的平方，设()()e ,ln xf xg x x == ，则点A 和B 分别在()f x 和()g x 的图像上，如下图，显然()f x 和()g x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，则A 与B 的最短距离必然在直线y =x 的垂线上，点A 与点B 关于y =x 对称，不妨设(),ln B x x ，则()ln ,A x x ，()222ln AB x x =- ，设()ln h x x x =- ，()'111x h x x x-=-= ， 当()'1,0x h x >> ，()'01,0x h x <<< ，在x =1处取得最小值()11h = ，即()10h x ≥> ，∴当()h x 取最小值时，即是2AB 取得最小值，2AB 的最小值为2212⨯= ；故选：D.3．设直线x t =与函数()()22,ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则MN 的最小值为（ ）A ．1ln 22+B ．3ln 21-C ．e 12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】列出||MN 的表达式，利用导数方法，分析其单调性求最小值即可． 【详解】由题意2(,2)M t t ，(,ln )N t t ，所以2ln 2M t N t =-，令2()2ln h t t t =-，则2141()4t h t t t t-'=-=，当102t <<时，()0h t '<，当12t >时，()0h t '>，所以min 11()ln 222h t h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 即||MN 的最小值为1ln 22+，故选：A.4．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D 12【答案】A 【解析】 【详解】分析：设()()f m g n t ==，则0t >，把,m n 用t 表示，然后令()h t m n =-，由导数求得()h t 的最小值． 详解：设()()f m g n t ==，则0t >，1t m e -=，11ln ln ln 2222t n t =+=-+，∴11ln ln 22t m n et --=-+-，令11()ln ln 22t h t e t -=-+-，则11'()t h t et -=-，121"()0t h t e t-=+>，∴'()h t 是(0,)+∞上的增函数， 又'(1)0h =，∴当(0,1)t ∈时，'()0h t <，当(1,)t ∈+∞时，'()0h t >，即()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()h 1是极小值也是最小值， 1(1)ln 22h =+，∴m n -的最小值是1ln 22+． 故选A ．点睛：本题易错选B ，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求b a -的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数()h t 的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．5．设214a D =+.()a R ∈，则D 的最小值为AB ．1CD ．2【答案】C 【解析】 【详解】由题可得：设21()ln ,()4f x xg x x ==，所以D 为()g x 上任意一点到()f x 上任一点及抛物线焦点的距离之和，令22()(ln 1)h x x x =+-，ln 1'()2x h x x x -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，显然在[0,1]递减，[1,)+∞递增所以min ()(1)2h x h ==点睛：本题的解题关键是要将题意转化为抛物线上的点到lnx 上的点距离与焦点的距离之和，然后借助导数求最值即可解决问题，此题较难6．已知直线y a =分别与直线22y x =-和曲线2x y e x =+相交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为（ ） A ．()13ln 22+ B ．3ln 2- C ．21e - D ．3【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设两交点分别为1(,)A x a ，2(,)B x a ，可得，212112x x e x =++，长度21221||12xAB x x e x =-=+-，考查函数()112xg x e x =+-求最值即可得解.【详解】已知直线y a =与直线22y x =-，曲线2x y e x =+分别交点A ，B ，设1(,)A x a ，2(,)B x a ，则有212222x x e x -=+，变形可得221221122()122x x x e x e x =++=++，又由221222211||1122xx AB x x e x x e x =-=++-=+-， 设()112x g x e x =+-，()12xg x e '=-，则当1ln2x <时，()0g x '<，函数()g x 在1,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为减函数，当1ln 2x >时，()0g x '>，函数()g x 在1ln ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增函数，则()112xg x e x =+-有最小值1ln 2g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且11113ln 2ln 1ln 022222g +⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭， 则3ln 22AB +≥， 即线段AB 长度的最小值是3ln 22+. 故选：A.7．已知函数()2x f x e =，()ln 12xg x =+，对任意1x ∈R ，存在()20,x ∈+∞，使得()()12f x g x =，则21x x -的最小值为（ ）A ．1 BC D ．2【答案】D 【解析】 【分析】 设2xt =换元，问题转化为对任意1t ∈R ，存在()20,t ∈+∞，使得()()12F t G t =，则21t t -的最小值，利用12,t t 的关系把21t t -转化为一元函数，然后求最小值． 【详解】 设2xt =，设()t F t e =，()ln 1G t t =+，1212,22x x t t ==，对任意1t ∈R ，存在()20,t ∈+∞，使得()()12F t G t =，即12ln 1te t =+，112te t e -=，所以11211t e t t e t --=-，1t R ∈，令1()xeh x e x -=-，11()11xxe x e x h x e e e -+-'=⋅-=-，易知()1x x e x ϕ=+-是增函数，(0)0ϕ=，0x <时，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 递减，0x >时，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 递增，所以0x =时，min ()(0)1h x h ==，所以21t t -的最小值是1，21212()x x t t -=-的最小值是2． 故选：D ． 【点睛】本题考查用导数求最值，解题关键是化二元函数为一元函数，题中解法是换元后直接利用12()()F t G t =把2t 用1t 表示，然后转化为一元函数，另外也可以设12()()f x g x t ==（0t >），把12,x x 都用t 表示，化为t 的一元函数，然后由导数得最小值．8．已知曲线1:x C y e =上一点()11,A x y ，曲线()()21ln 0:y x C m m =+->上一点()22,B x y ，当12y y =时，对任意1x ，2x ，都有AB e ≥恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．1BC ．1e -D ．1e +【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件，得到()121ln xe x m =+-，21x x e -≥，推出()2201ln x e x m e -<+-≤，21x m e>+；证明ln 1≤-x x ，得到()221ln x m x m +-≤-，推出22x ex m e --≤，分离参数得22x em x e-≥-，构造函数求出22x ex e--的最大值，即可得出结果. 【详解】因为当12y y =时，对于任意1x ，2x 都有AB e ≥恒成立，所以有：()121ln xe x m =+-，21x x e -≥，()2201ln x e x m e -∴<+-≤，21x m e∴>+，令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=， 所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 因此()()10g x g ≤=，即ln 1≤-x x 显然恒成立；因为21x m e->，所以()22ln 1x m x m -≤--，即()221ln x m x m +-≤-；为使()221ln x ex m e -+-≤恒成立，只需22x ex m e--≤恒成立；即22x em x e-≥-恒成立；令()x e f x x e -=-，则()1x e f x e -=-'， 由()0f x '>解得x e <；由()0f x '<解得x e >；所以()f x 在(),e -∞上单调递增；在(),e +∞上单调递减； 所以()()max 1f x f e e ==-；1m e ∴≥-，因此m 的最小值为1e -.故选：A 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于将问题转化为不等式()2201ln x ex m e -<+-≤恒成立求参数范围的问题，根据ln 1≤-x x ，只需22x ex m e--≤，分离参数后，即可根据导数的方法求解.9．已知函数3()x f x e -=，1()ln 22xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln2+ B ．ln 2C ．2ln 2D ．ln21-【答案】D 【解析】 【分析】令()()t f m g n ==，得到,m n 关于t 的函数式，进而可得n m -关于t 的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求n m -的最小值. 【详解】令()()t f m g n ==，则3m e t -=，1ln 22nt +=，∴3ln m t =+，122t n e -=，即1223ln t n m e t --=--， 若12()23ln t h t et -=--，则121()2(0)t h t et t-'=->， ∴()0h t '=，有12t =， 当102t <<时，()0h t '<，()h t 单调递减；当12t >时，()0h t '>，()h t 单调递增； ∴min 1()()ln 212h t h ==-，即n m -的最小值为ln21-.故选：D. 【点睛】关键点点睛：令()()t f m g n ==确定n m -关于t 的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值. 10．已知函数()ln 1f x x =+，()124x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+B ．12ln 22+C ．1ln 22-D 12【答案】B【解析】 【分析】设124ln 1,0n e m t t -==+>，11ln 24t t m n e --=--，构造函数()11ln 24t th t e -=--，利用导函数求出最小值即可得解. 【详解】由题设()()f m g n =，即124ln 1,0n e m t t -==+>，所以11,ln 24t tm n e -==+，11ln 24t t m n e --=--，令()11ln 24t th t e-=--，()11t h e t t -'=-，()2110t h t e t -''=+>，所以()11t h e t t-'=-在()0,t ∈+∞单调递增，且()10h '=，所以由()110t h t e t -'=->得()1,t ∈+∞，由()110t h t e t-'=-<得()0,1t ∈， 所以()11ln 24t th t e-=--在(]0,1t ∈单调递减，[)1,t ∈+∞单调递增， 所以()()min 112ln 22h t h ==+ 即m n -的最小值12ln 22+.故选：B 【点睛】此题考查利用导函数求最值，关键在于根据题意准确转化，对于导函数的零点不易求解的情况，考虑“试根”结合单调性解不等式.11．设动直线x =t 与曲线x y e =以及曲线ln y x =分别交于P ，Q 两点，min PQ 表示PQ 的最小值，则下列描述正确的是（ ）A ．min 2PQ =B ．min 522PQ <<C ．min 2PQ <<D ．min 3PQ >【答案】B 【解析】 【分析】根据条件将PQ 表示为函数的形式，然后利用导数研究对应函数的单调性并分析min PQ 的取值范围. 【详解】根据条件可知()(),,,ln t P t e Q t t ，所以ln tPQ e t =-，不妨令()()e ln 0xF x x x =->，则1()e x F x x'=-，又因为1320,0222F F ⎛⎛⎫''=<=>> ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以存在012x ⎛∈ ⎝⎭，，使得0001()e 0x F x x '=-=， 所以()F x 在()00,x 上递减，在()0+x ∞，上递增， 所以()F x 在0x 处取得最小值，且000001()e ln xF x x x x =-=+，根据对勾函数的单调性可知：1y x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递减，00152x x +<min 5||2PQ <， 故选：B ． 【点睛】本题考查利用导数解决函数的最值问题，对学生的转化与化归能力要求较高，其中对于极值点范围的分析是一个重点，难度较难.12．设2(,)4b F a b =，(),a b ∈R ，则(,)F a b 的最小值是（ ）A 1B ．2CD ．1【答案】A 【解析】 【分析】函数表示点(),aA a e 和2,4bB b ⎛⎫⎪⎝⎭的距离加上B 的横坐标，根据抛物线定义转化求1AF -最小值，设函数()()221x g x x e =-+，计算得到()()min 02g x g ==，得到答案.【详解】2(,)4b F a b =，函数表示点(),aA a e 和2,4bB b ⎛⎫⎪⎝⎭的距离加上B 的横坐标，画出()xf x e =和24y x =的图像，如图所示：故111AB BC AB BD AB BF AF +=+-=+-≥-，当ABF 共线时等号成立.设()()221x g x x e =-+，则()2'222xg x e x =+-，()'00g =，且()2''420xg x e =+>恒成立，故()'g x 单调递增，故当0x >时，()'0g x >，()g x 单调递增；当0x ≤时，()'0g x ≤，()g x 单调递减；()()min 02g x g ==，故11AF -≥.综上所述：(,)F a b 1. 故选：A .【点睛】本题考查了函数的最值问题，转化为对应的几何意义是解题的关键. 13．已知函数()()()411,ln 22x f x e g x x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．2ln213- B ．12ln23+ C ．1ln24+ D ．1ln24- 【答案】C 【解析】 【详解】 设()()411ln 202m en k k -=+=>，则121ln 1,442k k m n e -=+=，令()121ln 1244k k h k n m e -=-=--，()1211'24k h k e k -∴=-，又()1211'24k h k e k-=-是增函数，()1'0,2h h k ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，()min 11ln 224h k h +⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，即n m -的最小值为1ln 24+，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题. 求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求函数的最值即可.14．直线y a =分别与曲线2ln ,2y x x y x =-=-交于点P Q 、，则PQ 的最小值为A．2 B C ．1 D【答案】A 【解析】 【详解】 试题分析:设,则,21PQ x x ∴=-2111ln 2x x x =--+,令,则,函数在上单调递减,在上单调递增,时,函数的最小值为，所以A 选项是正确的.考点：导数与函数的单调性． 二、填空题15．若0,0a b >>b 的最小值是_______．1 【解析】(,ln ),)P a a Q b 两点的距离，而b 可看作),Q b H 两点的距离，问题转化为||||PQ QH +的最小值；P 是ln y x =上的点，对于Q 在坐标系存在(0,1),1)F G -使得||||||1QF QG QH ==+，可联想抛物线：以(0,1)F 为焦点，1y =-为准线的抛物线24x y =，即问题最终为求抛物线24x y =上一点到定点(0,1)F 与ln y x =上的一点的距离之和最小，结合抛物线、函数图象及利用导数求最小值. 【详解】由T b =，记(,ln ),),(0,1),1)P a a Q b H F G -，则11T PQ QH PQ QG PQ QF =+=+-=+-，即原问题转化为抛物线24x y =上Q 到定点(0,1)F 与ln y x =上的P 的距离之和最小，11PQ QF PF +-≥-，当且仅当,,P Q F 共线时等号成立. 令222()(ln 1)f a PF a a ==+-，则()22(ln 1)2()2ln 1a f a a a a a a-'=+=+-且0a >， 由于2ln 1y a a =+-单调增，则1a =是()f a '唯一零点，即有()f a 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则()(1)2f a f ≥=，即PF则11T PF ≥-≥．1. 【点睛】本题考查了利用几何法求代数式的最值，综合抛物线的性质、两点距离公式、数形结合、导数研究函数最值的应用，属于难题.16．已知实数,a b 满足22(2)(3)2a b ++-=，则对任意的正实数x ，22()(ln )x a x b -+-的最小值为_______. 【答案】8 【解析】 【分析】求出圆心()2,3C -到曲线ln y x =上的点的距离最值后可求22()(ln )x a x b -+-的最小值. 【详解】因为实数,a b 满足22(2)(3)2a b ++-=，故(),P a b 在圆C ：22(2)(3)2x y ++-=上. 而()2,3C -，设()()()222ln 3g x x x =++-，则()g x 表示C 到曲线ln y x =上的点的距离的平方. 又()22ln 32x x x g x x++-'=⨯，因为()22ln 3h x x x x =++-在()0,∞+为增函数，且()10h =，故当()0,1x ∈时，()0h x <即()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x >即()0g x '>；故()g x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞为增函数，故()g x 的最小值为()118g =.故()2,3C -到曲线ln y x =上的点的距离最小值为而圆C C 上的点到曲线ln y x =上的点的距离最小值为故22()(ln )x a x b -+-的最小值 为(28=.故答案为：8.【点睛】思路点睛：与圆有关的最值问题，往往需要转化到圆心到几何对象的最值问题来处理，另外注意代数式对应的几何意义.17．设()()2,,4b F a b a b R =∈，则(),F a b 的最小值为______________．1 【解析】设点(),aA a e 、2,4bB b ⎛⎫⎪⎝⎭，则(),F a b 表示AB 再加上点B 的横坐标，利用抛物线的定义可得出(),1F a b AF =-（其中F 为抛物线24y x =的焦点），利用导数求出AF 的最小值，即可得解.【详解】()()2,,4b F a b a b R =∈.设点(),aA a e 、2,4bB b ⎛⎫⎪⎝⎭，则(),F a b 表示AB 再加上点B 的横坐标，其中点B 为抛物线24y x =上的一点，该抛物线的焦点为()1,0F ，准线为1x =-.作出函数x y e =与抛物线24y x =的图象如下图所示：过点B 作抛物线24y x =的准线的垂线，垂足为点D ，设BD 交y 轴于点C ，则(),111F a b AB BC AB BD AB BF AF =+=+-=+-≥-，当且仅当A 、B 、F 三点共线时，等号成立，下面利用导数求出AF 的最小值，AF =构造函数()()221x g x x e =-+，其中x ∈R ，()2222x g x x e '=-+，()00g '=且函数()g x '单调递增，当0x <时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>.所以，函数()g x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+.()()min 02g x g ∴==，min AF ∴=(),F a b 1.1.【点睛】关键点点睛：本题从代数式的几何意义出发，利用数形结合思想转化为折线段和的最小值问题来求解，同时又考查了抛物线定义的应用，在求解AF 的最值时，充分利用了导数来求解.18．已知点M 在圆22:430C x y y +-+=上，点N 在曲线1ln y x =+上，则线段MN 的长度的最小值为____________．1【解析】【分析】由题可得()0,2C ，圆C 的半径1r =．设()(),10N t lnt t +>，令()2||f t CN =，首先求得()f t 的最小值，然后求解线段MN 的长度的最小值即可.【详解】由题可得()0,2C ，圆C 的半径1r =．设(),1(0)N t lnt t +>，令()2||f t CN =，则()()221(0)f t t lnt t =+->， 所以()()()2211221t lnt f t t lnt t t +-⎛⎫=+--= ⎪⎝'⎭． 令()2t t lnt ϕ=+ 1(0)t ->，易知函数()t ϕ在()0,+∞上单调递增，且()10ϕ=，所以当01t <<时，()0f t '<；当1t >时，()0f t '>，所以()f t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()12min f t f ==．因为11MN CN ≥-，所以线段MN 1．【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，导函数求解函数的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．设2(,)(0,)4b a b a b R ϕ=>∈，当a ，b 变化时，(,)a b ϕ的最小值为_______.1.【解析】【分析】函数表示点(),ln A a a 和2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离加上B 的纵坐标，计算得到1AB BC AF +≤-，设函数()()22ln 1g x x x =+-，计算得到()()min 12g x g ==，得到答案. 【详解】2(,)4b a b ϕ=， 函数表示点(),ln A a a 和2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离加上B 的纵坐标， 画出()ln f x x =和24x y =的图像，如图所示：故111AB BC AB BD AB BF AF +=+-=+-≤-，当ABF 共线时等号成立.设()()22ln 1g x x x =+-，则()ln 1'22x g x x x-=+，()'10g =， 当1x >时，ln 122x x ->-，故()ln 1'220x g x x x-=+>，函数单调递增； 当01x <<时，ln 122x x -<-，故()ln 1'220x g x x x -=+<，函数单调递减. ()()min 12g x g ==，故11AF -.综上所述：(,)a b ϕ1.1.【点睛】本题考查了函数的最值问题，转化为对应的几何意义是解题的关键.20．已知,P Q 分别为函数121()2x f x e -=，1()ln(2)2g x x =+上两点，则,P Q 两点的距离||PQ 的最小值是__________．【答案】0【解析】【分析】根据函数()1212x f x e -=与函数()()1ln 22g x x =+互为反函数，可知P 、Q 两点间的最短距离为点P 到直线y=x 的最短距离d 的2倍，利用导数求出d 即可．【详解】∵函数()1212x f x e -=与函数()()1ln 22g x x =+互为反函数， ∴函数()1212x f x e -=与函数()()1ln 22g x x =+的图象关于直线y=x 对称， 设()121φ2x x e x -=-，则()121φ'12x x e -=-。
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距离最值问题一、 曲线上的点到直线上的点的距离最小值曲线()ln 2y x =上任意一点P 到直线2y x =的距离的最小值是_________.曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( )A． B ．2 C．解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1，∴22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.设点P 在曲线xe y 21=，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则PQ 最小值为__________. 【答案】)2ln 1(2-【解答】反函数，转成曲线到直线y x =距离最小值的两倍(2019秋 龙岩期中)已知实数a ，b 满足240a lna b --=，c R ∈，则22()(2)a c b c -++的最小值为() A B ．95C D ．15【解答】x 代换a ，代换，则，满足：，即，以代换，可得点，满足．因此求的最小值，即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方．设直线与曲线相切于点，，y b x y 240x lnx y --=24(0)y x lnx x =->x c (,2)x x -20x y +=22()(2)a c b c -++24y x lnx =-20x y +=20x y m ++=24()y x lnx f x =-=0(P x 0)y，则，解得，切点为． 点到直线的距离，则的最小值为． 故选：． 已知实数,,,a b c d 满足2111a a e cb d --==-其中e 是自然对数的底数，则22()()a c b d -+-的最小值为( )A ．8B ．10C ．12D ．18【答案】A【解析】221112a a b a e a e cb d d c⎧=---==⇔⎨-=-⎩ 22()()a c b d -+-的几何意义为点(),a b 到点(),c d 的距离的平方即求曲线()2xf x x e =-上一点到直线2y x =-上一点的距离的最小值的平方设切点为()00,x y ，则切线斜率0121x k e =-=-，故00x =，即切点为()0,2-故min d ==2min 8d =若实数d c b a ,,,满足022ln 42=+-+-+d c a a b ，则()()22d b c a -+-的最小值为_______. 【答案】5(2018 绵阳一诊 理12)若存在实数x ，使得关于x 的不等式()22212910xea x ax a -+-+≤(其中e 为自然对数的底数)成立，则实数a 的取值集合为( )A.19⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.110⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.1,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解答】C原不等式可以化为()221310x e a x a ⎛⎫-+-≤ ⎪⎝⎭ 即点,3x e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭到点,3a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方小于110 4()2f x x x'=-0004()22f x x x '=-=-01x =∴(1,1)P ∴P 20x y +=d ==∴22()()a c b c -++295=B故可以看成直线13y x =上一点到曲线()3xe f x =的距离2110d ≤而min d 的最小值计算方式如下设曲线上一点为00,3x e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在该点的切线斜率为()00'3x ef x =，令其等于13 则00x =，即切点为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故min d =2110d =，其它的距离的平方均是大于110故点,3a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭应该是过10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线13y x =的垂线的垂足计算方式如下：13313y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得110x =，即110a =二、 函数值相等的两点之间的距离(2019 泉州质检)已知直线a y =分别与函数1+=x e y 和1-=x y 交于B A ,两点，则BA ,之间的最短距离是( )A.3ln 22- B.5ln 22- C.3ln 22+ D.5ln 22+ 解析：选D设()()12,,,A x a B x a ，其中12x x <，故11x e a +=则2211ln 1AB x x a a =-=+-+设()2ln 2f x x x =-+，则()2121'2x f x x x x -=-=故()f x在0,,⎛⎫↓+∞↑ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则min 5ln 222AB f ==+⎝⎭已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,1210),1ln()(x x x x x f ，若2121),()(x x x f x f ≠=，则21x x -的范围是_______.【答案】[)2,2ln 23-【解析】设()()12f x f x m ==，由()f x 图象可知，120x x ≤<，且01m <≤则()12112ln 1x m x m⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，故(]()1221122210,1m m x x x x e m e m m -=-=--+=-+∈ 设()(]()210,1xg x e x x =-+∈，则()'2x g x e =-故()g x 在()()0,ln 2ln 2,1↓↑故()()min ln 232ln 2g x g ==-，()()(){}{}max max 0,1max 2,12g x g g e ==-= 故[)1232ln 2,2x x -∈-三、 曲线上的点到一定点的距离最值(2018秋 龙岩期末)已知P 为函数y lnx =图象上任意一点，点Q 为圆222(1)1x y e +--=上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为 ．【解答】解：圆222(1)1x y e +--=的圆心坐标为：2(0,1)C e +． y lnx =对x 求导可得：1y x'=． 设与曲线y lnx =相切的切点为0(M x ，0)lnx ，且满足CM 与切线垂直． 则2000111lnx e x x --=-g ， 化为：220010lnx x e +--=， 令22()1g x lnx x e =+--在(0,)+∞上单调递增，且g （e ）0=．0x e ∴=．∴切点为：(,1)e ．∴线段PQ长度的最小值11=．故答案为：1．(实外2020届理)设21()4a D a R =+∈，则D 的最小值为______.【解析】表示点(),ln x x 到点2,4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，设函数()()2ln ,4x f x x g x ==，则214a +表示抛物线上的点2,4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离故D 表示抛物线的交点()0,1F 到曲线()f x 上一点的距离的最小值设切点为()00,ln P x x ，对应的切线为l ，则当FP l ⊥时，距离最小，计算如下 即000ln 111x x x -⋅=-，即200ln 10x x +-= 设()2ln 1h x x x =+-，易知()h x 在定义域上单调增，且()10h =故上述方程只有一个解01x =，此时()1,0P，故min D (2019春 黄州区校级月考)设()44ln ),(2222b b a b a b a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=ϕ(a ＞0，b ∈R )，当a ，b 变化时),(b a ϕ的最小值为___________． 1 【解析】与上题一致设2D a =+，(e 为自然对数的底数)，则D的最小值为______. 1 【解析】与上题一致。