多元函数的基本概念

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求多元复合函数的偏导数时，可用连锁规则：具体做法
（1） 先画出复合函数的连锁图（如上页图）
（2） 连线图中从复合函数到达某自变量的路线有几条， 公式中就有几项相加.每条线有几段则该项就有几 个偏导数（或导数）因子相乘。
（3） 公式中的复合函数的中间变量、自变量只有一个时. d 求导记号用 ，多于一个时用 。 dx x
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（4） 利用一阶全微分形式的不变性质
dz f u du f v dv f w dw f u (u x dx u y dy ) f v (vx dx v y dy ) f w ( wx dx wy dy ) g ( x, y )dx h( x, y )dy u 则 g ( x, y ) x u h ( x, y ) y
法
x x0 y y0 z z0 线： f x x0 , y0 f y x0 , y0 1
在点M ( x0 , y0 )处的法向量: n f x x0 , y0 , f y x0 , y0 , 1
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第八章 多元函数微分法及其应用
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习题课结构
重点难点 基本概念 计算方法 定理结论
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典型例题
练习题
练习题 解答
一.本章的重点、难点、此次习题课达到的目的
重点：偏导数的概念；全微分的概念；多元函数求偏导数；多元 函数求极值。 难点：二元函数极限的计算；多元符合函数的求导法则、隐函数 求导法则的运用；条件极值的概念与拉格朗日数乘法的意义。 习题课达到的目的：使学生理解偏导数、全微分的概念，熟练掌 握偏导函数的计算方法。
max
f f y x
2
2
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三.计算方法
1.多元显函数z f x, y 偏导数的计算
对（或 x y）求偏导.把（或 y x）看成常量。
注意：分段表示的函数求偏导数时，各段上用公式求， 分段点处用定义求.一般而言，分段函数的偏 导数仍为分段函数.
F
X Y
z
X Y
注意：方程两边求导时， 1. x, y相互独立，z是x, y的函数.
时，方程f x ' 2.求二阶偏导数f xy
Fx ' 继续对y Fz '
.其他同理。 求偏导，z是x,y的函数，解出f xy
b. 方程F ( x, y) 0满足隐函数存在定理的条件 F ( x, y) 0确定函数 y=f（x）且
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以上公式可利用复合函数求导推得
方程F {x, y , f ( x, y )} 0两边分别对x, y求偏导 有Fx ' Fz ' f x ' 0 Fy ' Fz ' f y ' 0 得 得 fx ' fy ' F ' z x x Fz '
F ' z x y Fy '
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同理有
f x0 , y0 y f x0 , y0 y 0 y y 0 y f x x0 , y0 y f x x0 , y0 f xy x0 , y0 lim y 0 y f y x0 , y0 lim z y lim
f ( p ' ) f ( p）

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存在，（ = x 2 y 2） f f x，y）在P点沿方向l的方向导数存在,记为 . 称函数 （ l
f p ' f p f 既 lim 0 l 方向导数计算公式： 若z f x, y 在p x, y 是可微的
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i) AC B 2 0时,f 在点 x0 , y0 处取极限。且A< 0时为极大 值,A 0时为极小值。
ii ) AC B 2 0时,f x0 , y0 处不取极值。 iii ) AC B 2 0时,不能判断。
二元函数偏导数的几何意义。
f x x0 , y0 是曲线 {z f x , y 在点 x0 . y0 , f x0 , y0 的切线与 y y
0
x轴
正向夹角的正切 tan （即切线对 x轴的斜率）
3.全微分
若函数
z f ( x x, y y) f ( x , y ) Ax By o( )
设函数z f ( x, y )在点P( x, y )的某一邻域U( p) 内有定义。自点p引射线l , 设x轴正向到射线l的转角 为，并设p ' ( x x, y y )为l上另一点 若 lim
0
f ( x x, y y ) f ( x, y )

lim
0
2.二元函数偏导数
设函数z f x, y 在点P0 x0 , y0 的某一邻域内有定义当 . y固定在 f x0 x, y0 f x0 , y0 存在，称z f x, y 在 x 0 x x0 , y0 关于x的偏导数存在. f x0 x, y0 f x0 , y0 zx 记 f x x0 , y0 lim lim x 0 x x0 x y0而极限 lim
6. 求多元函数极值
1
设z f ( x, y )在点 x0 , y0 的某邻域内存在直到二阶连续偏导， 且 x0 , y0 为f ( x, y)的驻点 记 A=f xx x0 , y0 , B f xy x0 , y0 , C f yy x0 , y0
则
若f x, y 在点p x, y 的偏导f x , f y 存在.则f x, y 在点p 沿x轴正向e1 {1, 0}, y轴正向e2 {0,1}，x轴负方向 e '1 {1, 0}，y轴负方向e '2 {0, 1}的方向导数存在
f f f cos sin l x y
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Fx dy dx Fy
F（x，y，u，v）=0 c. 如果方程组 满足隐函数存 G（x，y，u，v）=0 在定理条件则方程组可确定u , v是x, y的函数，这时， 若 ( F , G ) Fu J= (U , V ) Gu Fv Gv 0
则：方程组中的每个方程两边对x求偏导数， u v u v 得到新方程组，解出 , 同理可得 , x x y y
z z0 0
M
5. 曲面的切平面与法线
若曲面由方程F ( x, y, z ) 0给出，则曲面在点M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的法向量为 n Fx M 0 , Fy M 0 , Fz M 0
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切平面：Fx M 0 x x0 Fy M
4. 空间曲线的切线和法平面方程
（ 1）若向量曲线由方程x t , y t , z w t 给出 则曲线上对应于t t0的点M ( x0 , y0 , z0 )的切向量为
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t0）， t0）， t0） T { （ （ （ }
z f x, y 在点
x, y
的全增量
z
可表为
A, B 其中
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2 2 x y x , y x , y 与 无关，仅与 有关，
4.方向导数
称函数在点（x, y)可微，而函数 z f ( x, y)在点（x, y)的微分 dz=Ax By y z 全微分公式: dz dx dy x y
2.多元复合函数求偏导
若z f u.v.w .其中u u x, y .v v x, y .w w x, y 那么.xz f [u x, y , v x, y , w x, y ]的偏导公式为 x U z f u f v f w Z v x u x v x w x W y
切线方程： x-x0 y y0 z z0 t0） t0） t0） （ （ （
F ( x, y, z ) 0 若曲线为 G ( x, y, z ) 0 曲线的切向量为
Fy T G y
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t0 )(x-x0）+ (t0 )(y-y0 ) ( z z0 ) 0 法平面方程： （
3. 隐函数求导
a. 如果方程F ( x, y, z ) 0满足隐函数存在定理的条件 可由方程F ( x, y, z ) 0确定z是x, y的函数：z f ( x, y)
F'y F 'x z z ' ' x Fz y Fz 注意：求F ' x、F ' y,、F ' z时，将x, y, z看作相互独立的。
5.梯度
梯度的模： gradf ( x, y )
f f y x
2
2
梯度与x轴正向转角的正切为
f y 梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，它的
tan
f x
模为方向导数的最大值， 即 f l gradf ( x, y )
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二基本概念 .
1.二元函数连续
设函数f x, y 在区域D内有定义，P0 x0 , y0 是D的内点 或边界点，且P0 D, 如果 lim f x, y f x0 , y0 则称函数
x x0 y y0
f x, y 在点P0 x0 , y0 连续.
Fz Gz
M
,
Fz Gz
Fx Gx
M
,
Fx Gx
Fy Gy
M

切线：
x x0 Fy Fz Gy Gz

M
y y0 Fz Fx Gz Gx

M
z z0 Fx Fy Gx Gy
M
Fy Fz 法平面： Gy Gz
x x0
M
Fz Gz
Fx Fy y y0 G G Gx M x y Fx
法向量的方向余弦为
cos cos r
fx 1 f
2 x f 2 y
, cos
fy 1 f 2x f 2 y
1 1 f 2x f 2 y
有 cos 2 cos 2 cos 2 r 1
注意：根号前要取“+”号都取“+”号，表示法线的一个方向。 根号前要取“-? 号都取“-? 号，表示法线的另一个方向。
f 且 fx e1 f f e2
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y
f fx e1 f e2 f
设函数z f ( x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导 f f 数,称 i j为函数z f ( x, y)在点p( x, y)的梯度. x y
记 gradf ( x, y ) f f i j x y
法 线：
y y0 Fz M 0 z z0 0
x x0 y y0 z z0 Fx M 0 Fy M Fz M 0
特殊：若由z f ( x, y)给出，则在点M ( x0 , y0 )处
切平面：f x x0 , y0 x x0 f y x0 , y0 y y0 z z0 0