2017高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.4.2幂函数对点训练理
高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质幂函数课件
解析
因为函数
f(x)＝x
1 2
在(0，＋∞)上是增函数，又
0<a<b<1b<1a，故选
C.
10 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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撬法·命题法 解题法
11 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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a>1，由 g(x)的图象知 0<a<1，矛盾，故 B 不符合；在 C 中，由 f(x)的图象知 0<a<1，由 g(x)的图象知 a>1，
矛盾，故 C 不符合；在 D 中，由 f(x)的图象知 0<a<1，由 g(x)的图象知 0<a<1，相符．
(2)因为
y＝x
2 3
在第一象限内是增函数，所以
a＝21
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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1 幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数． 2 五种幂函数图象的比较
5 撬点·基础点 重难点
9 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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1
3．已知 f(x)＝x 2 ，若 0<a<b<1，则下列各式中正确的是( )
A．f(a)<f(b)<fa1<fb1 B．f1a<fb1<f(b)<f(a)
高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数Ⅰ第4节二次函数与幂函数课件理新人教A版
第四节 二次函数与幂函数
栏
课 前 ·基 础 巩 固 1
目
导
课 堂 ·考 点 突 破 2
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解幂函数的概念.
2.结合函数 y＝x，y＝x2，y
幂函数一般不单独命题，常与指数、对数
＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，函数交汇命题；二次函数的图象与应用仍是 1.逻辑推理
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
图象
定义域 值域
(－∞，＋∞) 4ac4－a b2，＋∞
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
(－∞，＋∞) －∞，4ac4－a b2
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
单调性
在－∞，－2ba上单调递减； 在 6 ___－__∞__，__－__2b_a__上单调递增； 在 5 ___－__2b_a_，__＋__∞___上单调递 在－2ba，＋∞上单调递减 增
考点二 二次函数的图象与性质 |题组突破|
4．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3，0)，对称轴为 x ＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的 是( )
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
解析：选 B 因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac>0，即 b2>4ac，①正确；对称 轴为 x＝－1，即－2ba＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象知，当 x＝－1 时，y>0，即 a －b＋c>0，③错误；由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以 a<0，所 以 5a<2a，即 5a<b，④正确．故选 B．
[推荐学习]2017高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.4.2幂函数对点训练理
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2017高考数学一轮复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.4.2幂函数对点训练 理1．若幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33，则其定义域为( ) A ．{x |x ∈R ，且x >0}B ．{x |x ∈R ，且x <0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．R答案 A解析 设f (x )＝x α，∴3α＝33，α＝－12，f (x )＝x －12 ， ∴其定义域为{x |x >0}，选A 项．2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x13 ，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1D ．①y ＝x13 ，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1 答案 B解析 ②的图象关于y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项C 、D.①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A.选B.3．若f (x )＝x 23 －x － 12 ，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 令y 1＝x 23 ，y 2＝x － 12 ，则f (x )<0即为y 1<y 2.函数y 1＝x 23 ，y 2＝x － 12 的图象如图所示，由图象知：当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0,1)．4.已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)·x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________. 答案 －1解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －1＝1，－5m －3>0，解得m ＝－1.。
高考数学一轮复习 第2章《函数与导数》幂函数课件
考点分析
1.幂函数的意义 一般地,函数y= xα(α∈R) 叫做幂函数,其中x是自变 量,α是常数. 2.画幂函数图象的方法 (1)列表、描点、连线法. (2)先画出幂函数在第一象限的图象,再利用幂函数的性 质作出其余的图象.
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1
3.幂函数y=x,y=x2,y=x3, y x 2 ,
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＊对应演练＊
已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x): (1)是幂函数; (2)是幂函数,且是(0,+∞)上的增函数; (3)是正比例函数; (4)是反比例函数; (5)是二次函数.
(1)因为f(x)是幂函数, 故m2-m-1=1,即m2-m-2=0, 解得m=2或m=-1.
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【解析】 (1)设f(x)=xα,
∵其图象过( 2 ,2)点,故2=( 2 )α,
解得α=2,∴f(x)=x2.
设g(x)=xβ, ∵其图象过点(2, 1 ),
4
∴ 1 =2β,解得β=-2.
4
∴g(x)=x-2.
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(2)在同一坐标系中,作出f(x)=x2与g(x)=x-2的图象,如图 所示.
(1)3
5 2
和
3.1
5
2;
(2)
-
8
7 8
和
-
(
1
)
7 8
;
9
(3)(-
2
)
2 3
和
(
2
) 3;
3
6
(4)(4.1)
2
5 ,3.8
-2 3
和
(-1.9)
3
5.
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高考数学一轮复习 第二章 函数的概念、基本初等函数ⅰ 2.4 二次函数与幂函数课件 理
设 x1，x2 是实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则 x1， x2 的分布范围与系数之间的关系如表所示．
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第三页，共五十页。
根的分布(m＜n＜p 且 m，n，p 均为常数) x1＜x2＜m m＜x1＜x2 x1＜m＜x2
m＜x1＜x2＜n
图象
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，
故
只
要
Δ＞0，
f（5）>0
即可，解得 0<a＜14.故填0，14.
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类型一 求二次函数的解析式
已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1, f(－1) ＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的 解析式．
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解法一：(利用一般式)
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【点拨】本题巧妙地利用二次函数与 一次函数图象经过特殊点，结合排除法解 答．在遇到此类问题时，要牢记在二次函 数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 的正负决定 抛物线开口的方向，c 确定抛物线在 y 轴 上的截距，b 与 a 确定顶点的横坐标(或对 称轴的位置)．
时，f(x)在－∞，－2ba上是
；
；
，a＜0 时，开口
；
，a＜0 时，y∈
；
上是减函数，在
上是增函数；a＜0
，在－2ba，＋∞上是________．
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3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系
二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与 x 轴交点的横坐标)是
所以必有a＞0， －a＝－1.
高考数学一轮复习专题训练—幂函数与二次函数
幂函数与二次函数考纲要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.(2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象 (抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减函数1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)由于幂函数的解析式为f (x )＝x α，故y ＝2x 13不是幂函数，(1)错误. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式. (4)对称轴x ＝－b 2a ，当－b2a 不在给定定义域内时，最值不是4ac －b 24a，故(4)错误.2.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B.1C.32D.2答案 C解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1. 又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22， 所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32.3.已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为________. 答案 2 2解析 f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫x －m 42＋m 28＋3，∵0≤m ≤4，∴0≤m4≤1，∴当x ＝m4时，f (x )取得最大值，∴m 28＋3＝4，解得m ＝2 2.4.(2021·全国大联考)不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞) B.(－1，4)C.(4，＋∞)D.(－∞，－1)∪(4，＋∞)答案 A解析 不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12等价于x 2＋1>3x ＋5≥0， 解得－53≤x <－1或x >4.所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞). 5.(2020·贵阳质检)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，40]B.[40，64]C.(－∞，40]∪[64，＋∞)D.[64，＋∞)答案 C解析 f (x )图象的对称轴x ＝k8，且f (x )在[5，8]上是单调函数， ∴k 8≥8或k8≤5，解之得k ≥64或k ≤40. 6.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 答案 －1解析 由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3. 又y ＝x α在(0，＋∞)上递减， ∴α<0，取α＝－1.考点一 幂函数的图象和性质1.若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 C解析 设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，C 正确.2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减，则实数m ＝( )A.2B.－1C.4D.2或－1答案 A解析 依幂函数定义，m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，当m ＝－1时，f (x )＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，舍去. ∴m ＝2.3.(2021·衡水中学调研)已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫13，b ＝f (ln π)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <cC.b <c <aD.b <a <c答案 A解析 由于f (x )＝(m －1)x n 为幂函数， 所以m －1＝1，则m ＝2，f (x )＝x n . 又点(2，8)在函数f (x )＝x n 的图象上，所以8＝2n ，知n ＝3，故f (x )＝x 3，且在R 上是增函数， 又ln π>1>2－12＝22>13， 所以f (ln π)>f (2－12)>f ⎝⎛⎭⎫13，则b >c >a .4.(2021·郑州质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2， 当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2.感悟升华 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴. 考点二 二次函数的解析式【例1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解 法一 (利用“一般式”) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.感悟升华 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练1】 (1)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)，且有最小值－1，则f (x )＝________.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 (1)x 2＋2x (2)x 2－4x ＋3解析 (1)设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ， 由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称.又y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2， 所以f (x )＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f (x )与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0). 因此设f (x )＝a (x －1)(x －3). 又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上， 所以3a ＝3，则a ＝1.故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3. 考点三 二次函数的图象和性质角度1 二次函数的图象【例2】 (1)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A.②④B.①④C.②③D.①③(2)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则( ) A.f (m ＋1)≥0 B.f (m ＋1)≤0C.f (m ＋1)>0D.f (m ＋1)<0答案 (1)B (2)C解析 (1)因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确. 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误.结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误. 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .根据抛物线开口向下，知a <0，所以5a <2a ， 即5a <b ，④正确.(2)因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示.由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0>－12，所以f (m ＋1)>f (0)>0.感悟升华 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.角度2 二次函数的单调性与最值【例3】 (2021·西安模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值. 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增.∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a. ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上递减.∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.感悟升华 (1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.(2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.角度3 二次函数中的恒成立问题【例4】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0， 即－4<m <0.∴－4<m ≤0.∴所求m 的取值范围是(－4，0].(2)法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立.就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 法二 当x ∈[1，3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1，3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，∴只需m <67即可. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 感悟升华 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【训练2】 (1)(2021·长春五校联考)已知二次函数f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，若f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，且f (m )≥f (0)恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，0]B.[0，6]C.[6，＋∞)D.(－∞，0]∪[6，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 (1)B (2)(－∞，－1)解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)，∵f (3＋x )＝f (3－x )，∴a (3＋x )2＋b (3＋x )＋c ＝a (3－x )2＋b (3－x )＋c ，∴x (6a ＋b )＝0，∴6a ＋b ＝0，∴f (x )＝ax 2－6ax ＋c ＝a (x －3)2－9a ＋c .又∵f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a <0，∴f (x )的图象是以直线x ＝3为对称轴，开口向下的抛物线，∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，∴实数m的取值范围是[0，6].(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f (x )min ＝1，当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.A 级 基础巩固一、选择题1.若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A.1或3B.1C.3D.2答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.2.(2021·河南名校联考)函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是( )答案 C解析 ∵当0≤x ≤1时，y ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34，又当x >1或x <0时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54，因此，结合图象，选项C 正确. 3.(2020·成都诊断)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 4f (2)的值为( ) A.14B.－14C.2D.－2答案 A解析 设幂函数为f (x )＝x α，由于点⎝⎛⎭⎫12，22在幂函数的图象上，所以22＝⎝⎛⎭⎫12α，解得α＝12，则f (x )＝x 12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.4.(2021·西安检测)已知函数f (x )＝x －3，若a ＝f (0.60.6)，b ＝f (0.60.4)，c ＝f (0.40.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b 答案 B解析 ∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又y ＝f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，∴b <a <c .5.已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]答案 B解析 由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，∴1≤t ≤ 2.6.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b ＝( )A.0B.1C.12D.2 答案 A解析 BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0. 二、填空题7.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，则实数a ＝________. 答案 15解析 设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12. 因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15. 8.(2021·青岛联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a >1)的定义域和值域都为[1，a ]，则b ＝________.答案 5解析 f (x )＝x 2－2ax ＋b 的图象关于x ＝a 对称，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，又f (x )的值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－2a ＋b ＝a ，f （a ）＝a 2－2a 2＋b ＝1. 消去b ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝2(a >1)，从而得b ＝3a －1＝5.9.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 的值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立， 又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x<1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. 三、解答题10.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6].(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).11.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1， 故k 的取值范围是(－∞，1). B 级 能力提升12.(2021·江南十校调研)已知幂函数f (x )＝mx 1＋n 是定义在区间[－2，n ]上的奇函数，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，则( ) A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.a <b <c 答案 A解析 根据f (x )＝mx 1＋n 是幂函数，且在区间[－2，n ]上是奇函数，得m ＝1，且－2＋n ＝0，解得n ＝2，∴f (x )＝x 3，且在定义域[－2，2]上是单调增函数.又0<π4<2π7<π2，∴cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7， ∴f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7<f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7<f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，即b <a <c . 13.(2019·上海春招)如图，正方形OABC 的边长为a (a >1)，函数y ＝3x 2的图象交AB 于点Q ，函数y ＝x －12的图象交BC 于点P ，则当|AQ |＋|CP |最小时，a 的值为________.答案 3解析 依题意得Q ⎝⎛⎭⎫a 3，a ，P ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，则|AQ |＋|CP |＝a 3＋1a ＝a 3＋1a ，记a ＝t (t >1)，f (t )＝|AQ |＋|CP |，则f (t )＝t 3＋1t ，所以f (t )＝t 3＋1t ≥213， 当且仅当t 3＝1t ，即t 2＝3时取等号，此时a ＝ 3. 14.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立.所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1).。
2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4二次函数与幂函数文档
1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0). ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0). (2)二次函数的图像和性质2.(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. (2)幂函数的图像比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图像过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数.( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )(4)函数122y x 是幂函数.( × )(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.( √ ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数.( × )1.若关于x 的方程x 2＋mx ＋14＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A.(－1,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－2,2)答案 B解析 ∵方程x 2＋mx ＋14＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝m 2－4×14×1>0，即m 2>1，解得m <－1或m >1，故选B.2.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.3.如图所示为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像，则|OA |·|OB |等于( )A.ca B.－c aC.±c aD.无法确定 答案 B解析 |OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝⎪⎪⎪⎪c a ＝－ca(∵a <0，c >0).4.已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________. 答案 [1,2]解析 如图，由图像可知m 的取值范围是[1,2].5.(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减. 答案 12y x-= (0，＋∞)题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.解 方法一 (利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二 (利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的图像的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 (利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.(1)二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________________________________________________________________________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.答案 (1)f (x )＝12x 2－2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图像过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.∴f (x )＝12x 2－2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图像关于y 轴对称， ∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4， 故f (x )＝－2x 2＋4.题型二 二次函数的图像与性质命题点1 二次函数的单调性例2 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]，(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间.解 (1)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的图像的对称轴为x ＝－2a2＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上为单调函数，只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6. 故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞). (2)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，x >0，其图像如图所示.又∵x ∈[－4,6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数.命题点2 二次函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2,3]，则函数f (x )的最大值为________. 答案 8解析 f (x )＝(x －1)2－1，∵－2≤x ≤3(如图)，∴[f (x )]max ＝f (－2)＝8. 引申探究已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值. 解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，当－2<a ≤1时，y min ＝a 2－2a ， 当a >1时，y min ＝－1.命题点3 二次函数中的恒成立问题例4 (1)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________.(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________.答案 (1)⎝⎛⎭⎫12，＋∞ (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 (1)由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. (2)2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立. 当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 思维升华 (1)二次函数最值问题解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5].(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， 所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图像的对称轴为直线x ＝－a ， 因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， 所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞).题型三 幂函数的图像和性质例5 (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B.1C.32D.2(2)若12(21)m +>122(1)m m +-，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C.(－1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2答案 (1)C (2)D解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22， 所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. (2)因为函数y ＝12x 的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12.解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2， 综上所述，5－12≤m <2. 思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴.(1)已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)·x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.(2)若12(1)a +<12(32)a -，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)－1 (2)[－1，23)解析 (1)∵函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数； 当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数. ∴m ＝－1.(2)易知函数y ＝12x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解之得－1≤a <23.3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例 (12分)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值.思维点拨 参数a 的值确定f (x )图像的形状；a ≠0时，函数f (x )的图像为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系.规范解答解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.[2分](2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图像的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .[3分]①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a ，1]上递增.∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.[6分]②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图像的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减.∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.[9分](3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图像的开口方向向下， 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.[11分]综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2， a <1，－1a ，a ≥1.[12分]温馨提醒 (1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a 的符号进行讨论，又对对称轴进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论. (2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论.[方法与技巧]1.二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式.(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式.(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便. 2.研究二次函数的性质要注意： (1)结合图像分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论. 3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较. [失误与防范]1.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.2.幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( ) A.－b 2aB.－baC.cD.4ac －b 24a答案 C解析 因为f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1，x 2关于对称轴x ＝－b 2a 对称，所以x 1＋x 2＝－ba .因此，f (x 1＋x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫－b a 2＋b ·⎝⎛⎭⎫－b a ＋c ＝c . 2.函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( ) A.－1 B.2 C.3D.－1或2答案 B解析 f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数⇒m 2－m －1＝1⇒m ＝－1或m ＝2.又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.3.设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，且f (m )<0，则( ) A.f (m ＋1)≥0 B.f (m ＋1)≤0 C.f (m ＋1)>0 D.f (m ＋1)<0答案 C解析 ∵f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，∴f (x )的大致图像如图所示.由f (m )<0，得－1<m <0， ∴m ＋1>0，∴f (m ＋1)>f (0)>0.4.若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A.－1 B.1 C.2 D.－2答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 5.二次函数f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫0，32，且f ′(x )＝－x －1，则不等式f (10x )>0的解集为( ) A.(－3,1) B.(－lg3,0) C.⎝⎛⎭⎫11000，1 D.(－∞，0)答案 D解析 由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋32(a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，∵f ′(x )＝－x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－1，b ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－1，∴f (x )＝－12x 2－x ＋32，令f (x )>0，得－3<x <1，∵10x >0，∴不等式f (10x )>0可化为0<10x <1，∴x <0，故选D.6.一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像可能是( )答案 C解析 若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，故可排除D ； 对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，因此选C.7.当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________________.答案 h (x )>g (x )>f (x )解析 如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图像，由此可知，h (x )>g (x )>f (x ).8.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________.答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0， 解得a ＝3或a ＝－1.9.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R ).(1)若函数f (x )的图像过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围. 解 (1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a . 因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0. 所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－(k －2)24.由g (x )的图像知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，所以所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞).10.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围. 解 要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a ). (1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时a 不存在.(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4， 故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4， 综上得－7≤a ≤2.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A.f (x 1)＝f (x 2) B.f (x 1)<f (x 2) C.f (x 1)>f (x 2)D.f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 答案 B解析 函数的对称轴为x ＝－1， 设x 0＝x 1＋x 22，由0<a <3得到－1<1－a 2<12.又x 1<x 2，用单调性和离对称轴的远近作判断得f (x 1)<f (x 2).12.已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是________. 答案 (－∞，1)解析 当x >1时，恒有f (x )<x ，即当x >1时，函数f (x )＝x α的图像在y ＝x 的图像的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图像，由图像可知α<1时满足题意.13.已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫23＝______. 答案 －19解析 由题意得：|f (0)|≤1⇒|n |≤1⇒－1≤n ≤1； |f (1)|≤1⇒|2＋n |≤1⇒－3≤n ≤－1， 因此n ＝－1， ∴f (0)＝－1，f (1)＝1.由f (x )的图像可知：要满足题意，则图像的对称轴为直线x ＝0，∴2－m ＝0，m ＝2， ∴f (x )＝2x 2－1，∴f ⎝⎛⎭⎫23＝－19. 14.若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________.答案 (－∞，2]解析 f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，则t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，结合二次函数图像可知，a 4≤12，所以a ≤2.15.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R ). (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围. 解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立.又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0].。
高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质函数的综合应用课件
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2．下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是( )
A．v＝1100·ex
B．v＝100ln x
C．v＝x100
D．v＝100×2x
解析 只有 v＝1100·ex 和 v＝100×2x 是指数函数，并且 e>2，所以 v＝1100·ex 的增大速度最快，故选 A.
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第二章 函数的概念及其基本性质
1 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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第9讲 函数模型及函数的综合应用
2 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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考点二 函数的综合应用
的条件，得ff2－<20<，0，
2x2－1－2x－1<0， 即－2x2－1－2x－1<0，
解得 x∈
72－1，
32＋1.
12 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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【解题法】 函数综合性问题的解题思路 (1)与不等式联系：利用函数的单调性解不等式，利用函数的最值求不等式中有关参数问题． (2)与数列联系：数列是一种特殊的函数，以函数的观点解决数列的最值问题是常用的解题方法，要注 意自变量取值为正整数这一限制条件． (3)与解析几何联系：利用题设条件得到的等量关系，确定函数关系式，明确自变量，借助曲线本身对 自变量的限定，确定函数的定义域，然后求解函数的值域，从而明确一些范围问题的解决． (4)函数与方程的综合问题：研究方程的解实质是确定函数图象与 x 轴交点的位置问题，可以看作是函 数图象的一种特殊状态，这类问题考查的热点是方程解的讨论或方程解的条件，常以二次方程或对数方程 中含有参数的问题出现，关键是运用相关知识和方法把问题转化为混合组处理，尤其注意等价转化．
高考数学一轮复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.4.1 二次函数对点训练 理
2017高考数学一轮复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.4.1二次函数对点训练 理1.如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析 由已知得f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8，又对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f ′(x )≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0f，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，n ≥0m ＋2n ≤182m ＋n ≤12，画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0，当n ≠0时，m ＝tn.由线性规划的相关知识知，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝tn 相切时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧－t n 2＝－126－12n ＝tn，解得n ＝6，t ＝18，所以(mn )max ＝18，选B.2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.3．两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a2b，显然－b 2a 与－a2b同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧，只有D 满足．故选D. 4．若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2]解析 f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，结合抛物线图象可知，a 4≤12，所以a ≤2.5.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________． 答案 2或－1解析 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，在x ∈[0,1]时， 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，1－a ＝2.解得a ＝2或a ＝－1.6．对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b＋5c的最小值为________． 答案 －2解析 设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，由已知得关于b 的方程(t －b )2－b (t －b )＋4b 2－c＝0有解，即6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0有解．故Δ＝9t 2－24(t 2－c )≥0，所以t 2≤85c ，所以|t |max ＝210c 5，此时c ＝58t 2，b ＝14t ，2a ＝t －b ＝3t 4，所以a ＝3t8.故3a －4b ＋5c ＝8t －16t ＋8t2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－1t＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122－2≥－2. 7．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 在同一坐标系中分别作出函数f (x )与y ＝a |x －1|的图象，由图知，当a ＝0时，两函数的图象只有2个交点，当a <0时，两图象没有交点，故必有a >0.若曲线y ＝－x 2－3x (－3≤x ≤0)与直线y ＝－a (x －1)(x ≤1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0得a ＝1(a ＝9舍去)，因此当0<a <1时，f (x )的图象与y ＝a |x －1|的图象有4个交点；若曲线y ＝x 2＋3x (x >0)与直线y ＝a (x －1)(x >1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0可得a ＝9(a ＝1舍去)，因此当a >9时，f (x )的图象与y ＝a |x －1|的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a 的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．。
2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第4讲 二次函数性质的再研究与幂函数课件 理
解析
(1)由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，
解得 n＝1 或 n＝－3，当 n＝1 时，函数 f(x)＝x－2 为 偶函数，其图象关于 y 轴对称，且 f(x)在(0，＋∞) 上是减函数，所以 n＝1 满足题意；当 n＝－3 时， 函数 f(x)＝x18 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，而 f(x)在(0， ＋∞)上是增函数， 所以 n＝－3 不满足题 意，舍去.故选 B.
解析
(1)由 A，C，D 知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，
b ∴对称轴 x＝－ ＞0，知 A，C 错误，D 符合要求.由 B 知 2a b f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－ ＜0，B 错误. 2a
(2)作出二次函数 f(x)的草图，对于任意 x∈[m， m＋1]，都有
f（m）＜0， f(x)＜0，则有 f（m＋1）＜0，
1 ， 2
2 ，则 k＋α＝( 2 B.1
) 3 C.2 D.2
1α 2 2 所以 2 ＝ 2 ， 2，
1 A.2
解析
1 由幂函数的定义知 k＝1.又 f2＝
1 3 解得 α＝ ，从而 k＋α＝ . 2 2
答案 C
4.(2016· 汉中模拟)已知函数 h(x)＝4x2－kx－8 在[5，20]上是 单调函数，则 k 的取值范围是( A.(－∞，40] C.(－∞，40]∪[160，＋∞) )
＞1， 即 0＜a＜1 时， 函数 f(x)的图象的对称轴在[0， 1]的右侧， ∴f(x)在[0，1]上递减.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
(3)当 a＜0 时，函数 f(x)的图象的开口方向向下，且对 1 称轴 x＝a＜0，在 y 轴的左侧，∴f(x)在[0，1]上递减. ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述， a－2，a＜1， f(x)min＝ 1 － ，a≥1. a
2017高考数学一轮复习课件：第2章 函数的概念与性质、基本初等函数 第5讲
考点三 二次函数的图象与性质(高频考点) 高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合， 且常以选择题形式出现，难度偏大，属中高档题． 高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下三个命题角 度： (1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的最值问题； (3)一元二次不等式恒成立问题．
第二章 函数的概念与性质、基本初等函数
第5讲 二次函数与幂函数
第一页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
1．幂函数 (1)定义：形如___y＝__x_α_(α_∈__R__) ____的函数称为幂函数，其中
底数 x 是自变量，α为常数．
(2)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当 α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)， 且在(0，＋∞)上单调递增； ③当 α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞) 上单调递减．
第十二页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
考点一 幂函数的图象及性质 (1)(2016·温州八校联考)幂函数 y＝f(x)的图象过点 (4，2)，则幂函数 y＝f(x)的图象是( C )
(2)当 0<x<1 时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2 的大小关系 是_____h_(x_)_>_g_(_x_)>__f(_x_)____．
第七页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
1．(必修 1 P79 习题 2.3T1 改编)设 α∈－1，1，12，3，则使 函数 y＝xα的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为( A )
A．1，3
B．－1，1
C．－1，3
D．－1，1，3
2．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值
高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质二次函数课件
是其核心．因此，利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略.
8 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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1．思维辨析 (1)形如 y＝ax2＋bx＋c 的函数一定是二次函数．( × )
(2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × ) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是4ac4－a b2.( × )
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第二章 函数的概念及其基本性质
1 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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第4讲 二次函数与幂函数
2 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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3 撬点·基础点 重难点
∴f(x)＝13x2＋1，x∈－23，23，
其值域为y1≤y≤2371
.
11 撬点·基础点 重难点
撬法·命法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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撬法·命题法 解题法
12 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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[考法综述] 高考中以考查二次函数的图象、单调性、最值为主，有二次不等式恒成立问题以及二 次方程根的分布问题等．
13 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
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命题法 二次函数的图象及性质的应用 典例 (1)如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为 x＝－1.给出 下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第四节 二次函数与幂函数课后作业 理-人教版高三
【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第四节 二次函数与幂函数课后作业 理[全盘巩固]一、选择题1．(2016·枣庄模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2|x |，若f (－a )＋f (a )≤2f (2)，则实数a 的取值X 围是( )A ．[－2,2]B ．(－2,2]C ．[－4,2]D ．[－4,4]2．(2016·某某模拟)已知f (x )＝ax 2－x －c ，若f (x )>0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (－x )的大致图象是( )A B C D3．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值X 围是( )A ．[0，＋∞) B．(－∞，0] C ．[0,4] D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)4．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a 的取值X 围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－2355．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝ax 2＋b |x |＋c (a ≠0)有四个单调区间，则实数a ，b ，c 满足( )A ．b 2－4ac >0，a >0 B ．b 2－4ac >0 C ．－b 2a >0 D ．－b2a <0二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是________．7．已知二次函数f (x )是偶函数，且f (4)＝4f (2)＝16，则函数f (x )的解析式为________． 8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值X 围是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值X 围． 10．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，某某数a 的取值X 围．[冲击名校]1．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a的个数为( )A ．8B ．6C ．4D ．22．已知函数f (x )满足f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max(p ，q )表示p ，q 中的较大值，min(p ，q )表示p ，q 中的较小值)，记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝()A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16 D ．163．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，若∀x 1∈[－1,2]，∃x 2∈[－1,2]，f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值X 围是________．4．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值X 围．5．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)．若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，某某数a 的取值X 围．答 案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选A 由f (x )＝x 2＋2|x |，f (2)＝8知，f (－a )＋f (a )＝2a 2＋4|a |≤16，解得a ∈[－2,2]．2．解析：选C 法一：由f (x )>0的解集为(－2,1)，可得a ＝－1，c ＝－2，所以f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，故选C.法二：由f (x )>0的解集为(－2,1)，可知函数f (x )的大致图象为选项D ，又函数f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，所以f (－x )的大致图象为选项C.3．解析：选C 由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.4．解析：选C 法一：令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意知f (x )的图象与x 轴在[1,5]上有交点，又f (0)＝－2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f 5≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤0，5a ＋23≥0，∴－235≤a ≤1.法二：方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，即方程x ＋a －2x ＝0，也即方程a ＝2x－x在区间[1,5]上有根，而函数y ＝2x －x 在区间[1,5]上是减函数，所以－235≤y ≤1，则－235≤a ≤1.5．解析：选C x >0时，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，此时f (x )应该有两个单调区间，∴对称轴x ＝－b 2a >0；x <0时，f (x )＝ax 2－bx ＋c ，对称轴x ＝b2a<0，∴此时f (x )有两个单调区间，∴当－b2a>0时，f (x )有四个单调区间． 二、填空题6．解析：由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.答案：1或27．解析：由题意可设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则f (4)＝16a ＋c ＝16,4f (2)＝4(4a ＋c )＝16a ＋4c ＝16，解得a ＝1，c ＝0，故f (x )＝x 2.答案：f (x )＝x 28．解析：∵当x ≥0时，f (x )＝x 2，且f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )在R 上是增函数，又f (x ＋t )≥2f (x )＝f (2x )，∴x ＋t ≥2x ，∴t ≥(2－1)x .∵x ∈[t ，t ＋2]，∴t ≥(2－1)(t ＋2)，∴t ≥ 2.答案：[2，＋∞) 三、解答题9．解：(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)． (2)f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立， 转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]， 则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值X 围为(－∞，1)． 10．解：2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当a ＝0时，适合；当a ≠0时，x ＝0时，有－3<0恒成立；x ≠0时，a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12，且a ≠0.综上，实数a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12. [冲击名校]1．解析：选A 由题意知， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，其图象如图所示．令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点． ．2．解析：选C 取a ＝－2，则f (x )＝x 2＋4，g (x )＝－x 2－8x ＋4，画出它们的图象，如图所示．则H 1(x )的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H 2(x )的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4＝y ，－x 2－8x ＋4＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝20，∴A ＝4，B ＝20，A －B ＝－16.3．解析：由题意得g (x )min ≤f (x )min 且g (x )max ≥f (x ) max ，f (x )在区间[－1,2]上的最大值f (x ) max ＝f (－1)＝3，f (x )在区间[－1,2]上的最小值f (x ) min ＝f (1)＝－1.由于g (x )＝ax ＋2(a >0)在区间[－1,2]上单调递增，则g (x ) min ＝g (－1)＝－a ＋2，g (x ) max ＝g (2)＝2a ＋2，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≤－1，2a ＋2≥3，解得a ≥3.答案：[3，＋∞)4．解：(1)f (x )＝a (x －1) 2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f 3＝5，f 2＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f3＝2，f 2＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值X 围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．5．解：∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2. ∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]， 总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x ) max －f (x ) min ≤4，得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值X 围是[2,3]．。
北师大版版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数二次函数与幂函数教学案理
一、知识梳理１．幂函数（１）定义：形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x２，y＝x３，y＝x错误!，y＝x—１.（２）五种幂函数的图象（３）性质１幂函数在（0，＋∞）上都有定义；２当α>0时，幂函数的图象都过点（１，１）和（0，0），且在（0，＋∞）上单调递增；３当α<0时，幂函数的图象都过点（１，１），且在（0，＋∞）上单调递减．２．二次函数（１）二次函数解析式的三种形式１一般式：f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）．２顶点式：f（x）＝a（x—m）２＋n（a≠0）．３零点式：f（x）＝a（x—x１）（x—x２）（a≠0）．（２）二次函数的图象和性质解析式f（x）＝ax２＋bx＋c（a>0）f（x）＝ax２＋bx＋c（a<0）图象定义域（—∞，＋∞）（—∞，＋∞）值域错误!错误!单调性在错误!上递减；在错误!上递增在错误!上递增；在错误!上递减对称性函数的图象关于x＝—错误!对称１．幂函数的图象和性质（１）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．（２）幂函数的图象过定点（１，１），如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（３）当α>0时，y＝xα在[0，＋∞）上为增函数；当α<0时，y＝xα在（0，＋∞）上为减函数．２．一元二次不等式恒成立的条件（１）ax２＋bx＋c>0（a≠0）恒成立的充要条件是错误!（２）ax２＋bx＋c<0（a≠0）恒成立的充要条件是错误!二、教材衍化１．已知幂函数f（x）＝k·xα的图象过点错误!，则k＋α＝________．解析：因为函数f（x）＝k·xα是幂函数，所以k＝１，又函数f（x）的图象过点错误!，所以错误!错误!＝错误!，解得α＝错误!，则k＋α＝错误!.答案：错误!２．如图是１y＝x a；２y＝x b；３y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为________．解析：根据幂函数的性质可知a<0，b>１，0<c<１，故a<c<b.答案：a<c<b３．函数g（x）＝x２—２x（x∈[0，３]）的值域为________．解析：由g（x）＝x２—２x＝（x—１）２—１，x∈[0，３]，得g（x）在[0，１]上是减函数，在[１，３]上是增函数．所以g（x）min＝g（１）＝—１，而g（0）＝0，g（３）＝３．所以g（x）的值域为[—１，３]．答案：[—１，３]一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝２x错误!是幂函数．（）（２）如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（）（３）当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．（）（４）二次函数y＝ax２＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是错误!.（）（５）二次函数y＝ax２＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．（）（6）在y＝ax２＋bx＋c（a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（）答案：（１）×（２）√（３）×（４）×（５）×（6）√二、易错纠偏错误!错误!（１）二次函数图象特征把握不准；（２）二次函数的单调性规律掌握不到位；（３）忽视幂函数的定义域；（４）幂函数的图象掌握不到位．１．如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax２＋bx的大致图象是________（填序号）．解析：由函数的解析式可知，图象过点（0，0），故４不正确．又a<0，b>0，所以二次函数图象的对称为x＝—错误!>0，故３正确．答案：３２．若函数y＝mx２＋x＋２在[３，＋∞）上是减函数，则m的取值范围是________．解析：因为函数y＝mx２＋x＋２在[３，＋∞）上是减函数，所以错误!，即m≤—错误!.答案：错误!３．已知幂函数f（x）＝x—错误!，若f（a＋１）<f（１0—２a），则a的取值范围为________．解析：由题意知错误!解得３<a<５．答案：（３，５）４．当x∈（0，１）时，函数y＝x m的图象在直线y＝x的上方，则m的取值范围是________．答案：（—∞，１）幂函数的图象及性质（自主练透）１．幂函数y＝f（x）的图象经过点（３，错误!），则f（x）是（）Ａ．偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数Ｂ．偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数Ｃ．奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数Ｄ．非奇非偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数解析：选Ｃ．设幂函数f（x）＝xα，代入点（３，错误!），得错误!＝３α，解得α＝错误!，所以f（x）＝x错误!，可知函数为奇函数，在（0，＋∞）上单调递增．２．幂函数f（x）＝xa２—１0a＋２３（a∈Z）为偶函数，且f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数，则a等于（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．５Ｄ．6解析：选Ｃ．因为a２—１0a＋２３＝（a—５）２—２，f（x）＝x（a—５）２—２（a∈Z）为偶函数，且在区间（0，＋∞）上是减函数，所以（a—５）２—２<0，从而a＝４，５，6，又（a—５）２—２为偶数，所以只能是a＝５，故选Ｃ．３．若a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，则a，b，c的大小关系是（）Ａ．a<b<cＢ．c<a<bＣ．b<c<aＤ．b<a<c解析：选Ｄ．因为y＝x错误!在第一象限内是增函数，所以a＝错误!错误!>b＝错误!错误!，因为y ＝错误!错误!是减函数，所以a＝错误!错误!<c＝错误!错误!，所以b<a<c.４．若幂函数y＝x—１，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（）Ａ．—１<m<0<n<１Ｂ．—１<n<0<mＣ．—１<m<0<nＤ．—１<n<0<m<１解析：选Ｄ．幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在（0，＋∞）上为增函数，且0<α<１时，图象上凸，所以0<m<１；当α<0时，y＝xα在（0，＋∞）上为减函数，不妨令x＝２，根据图象可得２—１<２n，所以—１<n<0，综上所述，选D.错误!幂函数的性质与图象特征的关系（１）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．（２）判断幂函数y＝xα（α∈R）的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．（３）若幂函数y＝xα在（0，＋∞）上是增加的，则α>0，若在（0，＋∞）上是减少的，则α<0．二次函数的解析式（师生共研）（一题多解）已知二次函数f（x）满足f（２）＝—１，f（—１）＝—１，且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一：（利用一般式）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）．由题意得错误!解得错误!所以所求二次函数的解析式为f（x）＝—４x２＋４x＋7．法二：（利用顶点式）设f（x）＝a（x—m）２＋n（a≠0）．因为f（２）＝f（—１），所以抛物线的对称轴为x＝错误!＝错误!.所以m＝错误!.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f（x）＝a错误!错误!＋8．因为f（２）＝—１，所以a错误!错误!＋8＝—１，解得a＝—４，所以f（x）＝—４错误!错误!＋8＝—４x２＋４x＋7．法三：（利用零点式）由已知f（x）＋１＝0的两根为x１＝２，x２＝—１，故可设f（x）＋１＝a（x—２）（x＋１），即f（x）＝ax２—ax—２a—１．又函数有最大值8，即错误!＝8．解得a＝—４或a＝0（舍去），所以所求函数的解析式为f（x）＝—４x２＋４x＋7．错误!求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：１．已知二次函数f（x）＝x２—bx＋c满足f（0）＝３，对任意的x∈R.都有f（１＋x）＝f（１—x）成立，则f（x）的解析式为____________．解析：由f（0）＝３，得c＝３，又f（１＋x）＝f（１—x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝１对称，所以错误!＝１，所以b＝２，所以f（x）＝x２—２x＋３．答案：f（x）＝x２—２x＋３２．已知二次函数y＝f（x）的顶点坐标为（—错误!，４9），且方程f（x）＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f（x）＝a错误!错误!＋４9（a≠0），方程a错误!２＋４9＝0的两个根分别为x１，x２，则|x１—x２|＝２错误!＝7，所以a＝—４，所以f（x）＝—４x２—１２x＋４0．答案：f（x）＝—４x２—１２x＋４0二次函数的图象与性质（多维探究）角度一二次函数的图象已知abc>0，则二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c的图象可能是（）【解析】A项，因为a<0，—错误!<0，所以b<0．又因为abc>0，所以c>0，而f（0）＝c<0，故A错．B项，因为a<0，—错误!>0，所以b>0．又因为abc>0，所以c<0，而f（0）＝c>0，故B错．C项，因为a>0，—错误!<0，所以b>0．又因为abc>0，所以c>0，而f（0）＝c<0，故C错．D项，因为a>0，—错误!>0，所以b<0，因为abc>0，所以c<0，而f（0）＝c<0，故选Ｄ．【答案】D角度二二次函数的单调性函数f（x）＝ax２＋（a—３）x＋１在区间[—１，＋∞）上是减少的，则实数a的取值范围是________．【解析】当a＝0时，f（x）＝—３x＋１在[—１，＋∞）上单调递减，满足条件．当a≠0时，f（x）的对称轴为x＝错误!，由f（x）在[—１，＋∞）上是减少的知错误!解得—３≤a<0．综上，a的取值范围为[—３，0]．【答案】[—３，0]【迁移探究】（变条件）若函数f（x）＝ax２＋（a—３）x＋１的减区间是[—１，＋∞），求a为何值？解：因为函数f（x）＝ax２＋（a—３）x＋１的减区间为[—１，＋∞），所以错误!解得a＝—３．角度三二次函数的最值问题设函数f（x）＝x２—２x＋２，x∈[t，t＋１]，t∈R，求函数f（x）的最小值．【解】f（x）＝x２—２x＋２＝（x—１）２＋１，x∈[t，t＋１]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝１．当t＋１<１，即t<0时，函数图象如图（１）所示，函数f（x）在区间[t，t＋１]上为减函数，所以最小值为f（t＋１）＝t２＋１；当t≤１≤t＋１，即0≤t≤１时，函数图象如图（２）所示，在对称轴x＝１处取得最小值，最小值为f（１）＝１；当t>１时，函数图象如图（３）所示，函数f（x）在区间[t，t＋１]上为增函数，所以最小值f（t）＝t２—２t＋２．综上可知，f（x）min＝错误!角度四二次函数中的恒成立问题已知a是实数，函数f（x）＝２ax２＋２x—３在x∈[—１，１]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．【解析】２ax２＋２x—３<0在[—１，１]上恒成立．当x＝0时，—３<0，成立；当x≠0时，a<错误!错误!错误!—错误!，因为错误!∈（—∞，—１]∪[１，＋∞），当x＝１时，右边取最小值错误!，所以a<错误!.综上，实数a的取值范围是错误!.【答案】错误!错误!解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点（１）抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．（２）要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”（作草图），再“定量”（看图求解）．（３）由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．１．（２0２0·河南省实验中学模拟）已知函数f（x）＝３x２—２（m＋３）x＋m＋３的值域为[0，＋∞），则实数m的取值范围为（）Ａ．{0，—３} Ｂ．[—３，0]Ｃ．（—∞，—３]∪[0，＋∞）Ｄ．{0，３}解析：选Ａ．函数f（x）＝３x２—２（m＋３）x＋m＋３的值域为[0，＋∞），所以Δ＝[—２（m＋３）]２—４×３×（m＋３）＝0，所以m＝—３或m＝0，所以实数m的取值范围为{0，—３}，故选Ａ．２．已知函数f（x）＝x２＋２ax＋３，x∈[—４，6]．（１）当a＝—２时，求f（x）的最值；（２）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[—４，6]上是单调函数．解：（１）当a＝—２时，f（x）＝x２—４x＋３＝（x—２）２—１，由于x∈[—４，6]，所以f（x）在[—４，２]上是减少的，在（２，6]上是增加的，所以f（x）的最小值是f（２）＝—１，又f（—４）＝３５，f（6）＝１５，故f（x）的最大值是３５．（２）由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴是x＝—a，所以要使f（x）在[—４，6]上是单调函数，应有—a≤—４或—a≥6，即a≤—6或a≥４，故a的取值范围是（—∞，—6]∪[４，＋∞）．分类讨论思想在二次函数问题中的应用已知函数f（x）＝ax２—２x（0≤x≤１），求函数f（x）的最小值．【解】（１）当a＝0时，f（x）＝—２x在[0，１]上是减少的，所以f（x）min＝f（１）＝—２；（２）当a>0时，f（x）＝ax２—２x的图象开口向上且对称轴为x＝错误!.１当0<错误!≤１，即a≥１时，f（x）＝ax２—２x的对称轴在（0，１]内，所以f（x）在错误!上是减少的，在错误!上是增加的．所以f（x）min＝f错误!＝错误!—错误!＝—错误!；２当错误!>１，即0<a<１时，f（x）＝ax２—２x的对称轴在[0，１]的右侧，所以f（x）在[0，１]上是减少的．所以f（x）min＝f（１）＝a—２；（３）当a<0时，f（x）＝ax２—２x的图象开口向下且对称轴x＝错误!<0，在y轴的左侧，所以f（x）＝ax２—２x在[0，１]上是减少的，所以f（x）min＝f（１）＝a—２．综上所述，f（x）min＝错误!错误!二次函数是单峰函数（在定义域上只有一个最值点的函数），x＝—错误!为其最值点的横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况的最值，建立方程求解参数．已知函数f（x）＝ax２＋２ax＋１在区间[—１，２]上有最大值４，求实数a的值．解：f（x）＝a（x＋１）２＋１—a.（１）当a＝0时，函数f（x）在区间[—１，２]上的值为常数１，不符合题意，舍去；（２）当a>0时，函数f（x）在区间[—１，２]上是增函数，最大值为f（２）＝8a＋１＝４，解得a＝错误!；（３）当a<0时，函数f（x）在区间[—１，２]上是减函数，最大值为f（—１）＝１—a＝４，解得a＝—３．综上可知，a的值为错误!或—３．[基础题组练]１．已知函数f（x）＝—x２＋４x＋a，x∈[0，１]，若f（x）有最小值—２，则a的值为（）Ａ．—１Ｂ．0Ｃ．１Ｄ．—２解析：选Ｄ．函数f（x）＝—x２＋４x＋a的对称轴为直线x＝２，开口向下，f（x）＝—x２＋４x＋a在[0，１]上是增加的，则当x＝0时，f（x）的最小值为f（0）＝a＝—２．２．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax２＋bx＋c在同一直角坐标系中的图象大致是（）解析：选Ｃ．若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而—错误!<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除Ｂ．故选Ｃ．３．已知a，b，c∈R，函数f（x）＝ax２＋bx＋c，若f（0）＝f（４）>f（１），则（）Ａ．a>0，４a＋b＝0 Ｂ．a<0，４a＋b＝0Ｃ．a>0，２a＋b＝0 Ｄ．a<0，２a＋b＝0解析：选Ａ．由f（0）＝f（４），得f（x）＝ax２＋bx＋c图象的对称轴为x＝—错误!＝２，所以４a＋b＝0，又f（0）>f（１），f（４）>f（１），所以f（x）先减后增，于是a>0，故选Ａ．４．幂函数y＝x m２—４m（m∈Z）的图象如图所示，则m的值为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．因为y＝x m２—４m（m∈Z）的图象与坐标轴没有交点，所以m２—４m<0，即0<m<４．又因为函数的图象关于y轴对称，且m∈Z，所以m２—４m为偶数，因此m＝２．５．已知幂函数f（x）＝（n２＋２n—２）·x n２—３n（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n的值为（）Ａ．—３Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．１或２解析：选Ｂ．由于f（x）为幂函数，所以n２＋２n—２＝１，解得n＝１或n＝—３，当n＝１时，函数f（x）＝x—２为偶函数，其图象关于y轴对称，且f（x）在（0，＋∞）上是减函数，所以n＝１满足题意；当n＝—３时，函数f（x）＝x１8为偶函数，其图象关于y轴对称，而f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以n＝—３不满足题意，舍去．故选Ｂ．6．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝３，与y轴交于点（0，３），则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a（x—３）２，又图象与y轴交于点（0，３），所以３＝9a，即a＝错误!.所以y＝错误!（x—３）２＝错误!x２—２x＋３．答案：y＝错误!x２—２x＋３7．若f（x）＝—x２＋２ax与g（x）＝错误!在区间[１，２]上都是减函数，则实数a的取值范围是________．解析：因为f（x）＝—x２＋２ax在[１，２]上是减函数，所以a≤１，又因为g（x）＝错误!在[１，２]上是减函数，所以a>0，所以0<a≤１．答案：（0，１]8．已知二次函数f（x）满足f（２＋x）＝f（２—x），且f（x）在[0，２]上是增函数，若f（a）≥f （0），则实数a的取值范围是________．解析：由f（２＋x）＝f（２—x）可知，函数f（x）图象的对称轴为x＝错误!＝２，又函数f（x）在[0，２]上是增加的，所以由f（a）≥f（0）可得0≤a≤４．答案：[0，４]9．已知函数f（x）＝x２＋（２a—１）x—３．（１）当a＝２，x∈[—２，３]时，求函数f（x）的值域；（２）若函数f（x）在[—１，３]上的最大值为１，求实数a的值．解：（１）当a＝２时，f（x）＝x２＋３x—３，x∈[—２，３]，对称轴x＝—错误!∈[—２，３]，所以f（x）min＝f错误!＝错误!—错误!—３＝—错误!，f（x）max＝f（３）＝１５，所以函数f（x）的值域为错误!.（２）对称轴为x＝—错误!.１当—错误!≤１，即a≥—错误!时，f（x）max＝f（３）＝6a＋３，所以6a＋３＝１，即a＝—错误!满足题意；２当—错误!>１，即a<—错误!时，f（x）max＝f（—１）＝—２a—１，所以—２a—１＝１，即a＝—１满足题意．综上可知，a＝—错误!或—１．１0．已知二次函数f（x）满足f（x＋１）—f（x）＝２x，且f（0）＝１．（１）求f（x）的解析式；（２）当∈[—１，１]时，函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝２x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．解：（１）设f（x）＝ax２＋bx＋１（a≠0），由f（x＋１）—f（x）＝２x，得２ax＋a＋b＝２x.所以，２a＝２且a＋b＝0，解得a＝１，b＝—１，因此f（x）的解析式为f（x）＝x２—x＋１．（２）因为当x∈[—１，１]时，y＝f（x）的图象恒在y＝２x＋m的图象上方，所以在[—１，１]上，x２—x＋１>２x＋m恒成立；即x２—３x＋１>m在区间[—１，１]上恒成立．所以令g（x）＝x２—３x＋１＝错误!错误!—错误!，因为g（x）在[—１，１]上的最小值为g（１）＝—１，所以m<—１．故实数m的取值范围为（—∞，—１）．[综合题组练]１．（２0２0·湖南４月联考）定义在R上的函数f（x）＝—x３＋m与函数g（x）＝f（x）＋x３＋x ２—kx在[—１，１]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（—∞，—２] Ｂ．[２，＋∞）Ｃ．[—２，２] Ｄ．（—∞，—２]∪[２，＋∞）解析：选Ｂ．易知定义在R上的函数f（x）＝—x３＋m是减少的，所以函数g（x）＝x２—kx＋m 在[—１，１]上是减少的，所以抛物线的对称轴x＝错误!≥１，所以k≥２．故选Ｂ．２．（２0２0·湖北荆州质量检查（一））若对任意的x∈[a，a＋２]，均有（３x＋a）３≤8x３，则实数a的取值范围是（）Ａ．（—∞，—２] Ｂ．（—∞，—１]Ｃ．（—∞，0] Ｄ．[0，＋∞）解析：选Ｂ．因为（３x＋a）３≤8x３，y＝x３在R上递增，所以３x＋a≤２x，可得x≤—a，即x∈（—∞，—a]，因为对任意的x∈[a，a＋２]，均有（３x＋a）３≤8x３成立，所以[a，a＋２]是（—∞，—a]的子集，所以a＋２≤—a，所以a≤—１，即a的取值范围是（—∞，—１]，故选Ｂ．３．如图是二次函数y＝ax２＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（—３，0），对称轴为x＝—１．给出下面四个结论：１b２>４ac；２２a—b＝１；３a—b＋c＝0；４５a<b.其中正确的是（）Ａ．２４Ｂ．１４Ｃ．２３Ｄ．１３解析：选Ｂ．因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b２—４ac>0，即b２>４ac，１正确；对称轴为x＝—１，即—错误!＝—１，２a—b＝0，２错误；结合图象，当x＝—１时，y>0，即a—b＋c>0，３错误；由对称轴为x＝—１知，b＝２a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以５a<２a，即５a<b，４正确．故选Ｂ．４．已知y＝f（x）是偶函数，当x>0时，f（x）＝（x—１）２，若当x∈错误!时，n≤f（x）≤m恒成立，则m—n的最小值为____________．解析：当x<0时，—x>0，f（x）＝f（—x）＝（x＋１）２，因为x∈错误!，所以f（x）min＝f（—１）＝0，f（x）max＝f（—２）＝１，所以m≥１，n≤0，m—n≥１．所以m—n的最小值是１．答案：１５．已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a＞0，b∈R，c∈R）．（１）若函数f（x）的最小值是f（—１）＝0，且c＝１，F（x）＝错误!求F（２）＋F（—２）的值；（２）若a＝１，c＝0，且|f（x）|≤１在区间（0，１]上恒成立，试求b的取值范围．解：（１）由已知c＝１，a—b＋c＝0，且—错误!＝—１，解得a＝１，b＝２，所以f（x）＝（x＋１）２.所以F（x）＝错误!所以F（２）＋F（—２）＝（２＋１）２＋[—（—２＋１）２]＝8．（２）由题意知f（x）＝x２＋bx，原命题等价于—１≤x２＋bx≤１在（0，１]上恒成立，即b≤错误!—x且b≥—错误!—x在（0，１]上恒成立．又当x∈（0，１]时，错误!—x的最小值为0，—错误!—x的最大值为—２．所以—２≤b≤0．故b的取值范围是[—２，0]．。
高考数学大一轮复习 第二章 函数 2.4 幂函数与二次函数教案(含解析)-人教版高三全册数学教案
§2.4幂函数与二次函数考情考向分析以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为填空题，中档难度．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝x y＝x2y＝x312y x y＝x－1图象性质定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域R R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，写出f (x )≥0恒成立的条件． 提示 a >0且Δ≤0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( × )(2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ ) (3)函数122yx 是幂函数．( × )(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (5)当n <0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数．( × ) 题组二 教材改编2．[P89练习T3]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________.答案 32解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12α.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．[P40练习T3]已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－3]解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3. 题组三 易错自纠 4．幂函数21023a a f x x －＋＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a ＝________. 答案 5解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，2(5)2a f x x －－＝(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6， 又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5.5．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减， ∴y min ＝2－6＋3＝－1.6．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，∴m ∈(0,1)，∴m －1<0，∴f (m －1)>0.题型一 幂函数的图象和性质1．已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 答案 1解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．2．若四个幂函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c，y ＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 a >b >c >d解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d .3．若1133(1)(32)a a －－＋－，则实数a 的取值X 围是____________．答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 解析 不等式1133(1)(32)a a －－＋－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.4．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表，则不等式f (|x |)≤2的解集是________.x 112 f (x )122答案 [－4,4]解析 由题意知，22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，∴f (x )＝12x ，∴f (|x |)＝12x ，由12x ≤2，得|x |≤4，故－4≤x ≤4.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 题型二 求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________． 答案 f (x )＝x 2－2x ＋3 解析 由f (0)＝3，得c ＝3， 又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b2＝1，∴b ＝2， ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . 思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)， 又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线xf (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (xf (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象例2设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值X 围是________． 答案 [0,2]解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)， 则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.命题点2 二次函数的单调性例3函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值X 围是________． 答案 [－3,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值X 围为[－3,0]． 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3.命题点3 二次函数的最值例4已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，某某数a 的值． 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a <12即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题例5 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值X 围为____________． 答案 (－∞，－1)解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1. (2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________． 答案 2解析 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2. 思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值X 围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路的关键都是求函数的最值或值域． 跟踪训练2(1)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为________． 答案 92解析 易知函数y ＝(3－a )(a ＋6)的两个零点是3，－6，图象的对称轴为a ＝－32∈[－6,3]，y ＝(3－a )(a ＋6)的最大值为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋32·⎝⎛⎭⎪⎫－32＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫922，则(3－a )(6＋a )的最大值为92.(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4， 当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值X 围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意得a >2x －2x2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．例设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数， 所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.24m my x－＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为________．答案 2解析 ∵24m m y x －＝(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点， ∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ， ∴m 2－4m 为偶数，∴m ＝2. 2．若幂函数2268(44)m m f x m m x －＋＝－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为________．答案 1解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0， 解得m ＝1.3．(2019·某某省某某中学月考)若函数f (x )＝x 2－2ax －1在(－∞，5]上单调递减，则实数a 的取值X 围是________．答案 [5，＋∞)解析 由题意可得－－2a2≥5，解得a ≥5.4．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为________________． 答案 {x |x >4或x <0}解析 函数f (x )＝ax 2＋(b －2a )x －2b 为偶函数，则b －2a ＝0，故f (x )＝ax 2－4a ＝a (x －2)(x ＋2)，因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.根据二次函数的性质可知，不等式f (2－x )>0的解集为{x |2－x >2或2－x <－2}＝{x |x <0或x >4}．5．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________.解析 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－2)解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2.7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝12x ，h (x )＝x －2，当0<x <1时，f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．答案 h (x )>g (x )>f (x )解析 分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象如图所示，可知h (x )>g (x )>f (x )．8．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________．答案 f (x )＝－4x 2－12x ＋40 解析 设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49(a ≠0)， 方程a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝2－49a＝7， 所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 9．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值X 围是______．解析 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.10．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0， 解得－22<m <0. 11．已知函数22k k f x x －＋＋＝(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f (2)<f (3)，∴－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q，4q 2＋14q 处取得． 而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q≥0， ∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178， g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.∴存在q ＝2满足题意． 12．(2018·某某省如皋中学考试)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴的交点坐标为(0,1)，且满足f (1－x )＝f (1＋x )．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝x f (x )，m >0，求函数g (x )在[0，m ]上的最大值．解 (1)因为图象与y 轴的交点坐标为(0,1)，所以c ＝1，因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)因为f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，所以g (x )＝x |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ，x ≥1，x －x 2，x <1.作出函数g (x )的图象如图所示．当0<m ≤12时，g (x )max ＝g (m )＝m －m 2； 当12<m ≤1＋22时，g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14； 当m >1＋22时，g (x )max ＝g (m )＝m 2－m ， 综上，g (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ m －m 2，0<m ≤12，14，12<m ≤1＋22，m 2－m ，m >1＋22.y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是________．(填序号)答案 ①④解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a＝－1,2a －b ＝0，②错误； 结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立， 即m <－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立， 令y ＝x ＋4x ，x ∈(1,2)，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数． ∴4<y <5，∴－5<－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x <－4， ∴m ≤－5.方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值X 围是__________． 答案 [－2,0]解析 当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m 2≤0，即m ≤0； 当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m 2≤1，即m ≥－2. 综上，实数m 的取值X 围是[－2,0]．16．是否存在实数a ∈[－2,1]，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，当－2≤a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1； 当0<a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－2，f (－1)＝2，得a 不存在；综上可得，存在实数a 满足题目条件，a ＝－1.。
2017版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第三节二次函数与幂函数课件文
[ 点评 ]
在研究二次函数在闭区间上的最值或值域问题时，
最好是作出二次函数的大致图象.特别是遇到对称轴固定而区 间变化或对称轴变化而区间固定这两种情形时，要利用函数
图象，找出讨论时的分类标准.
幂函数的图象和性质问题的突破方法
比较幂值大小的常见类型及解决方法 (1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较； (2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较；
(0，0)，(1，1)
►(3)[幂函数概念易误点：系数为 1，指数为常数]已知幂函数 f(x) 1 的图象过点(27，3)，则 f8＝________. 1 α α 解析 设 f(x)＝x ，则 3＝27 ，解得 α＝ ， 3
1 1 11 1 所以 f(x)＝x3，f8＝83＝2.
第三节 二次函数与幂函数
知识点一 二次函数 1.二次函数解析式的三种常用表达形式
2 (1)一般式：f(x)＝ ax ＋bx＋c(a≠0) ；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，(h，k)是顶点； (3)两根式(或因式分解式 )：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1，x2分别是f(x)＝0的两实根.
(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两
个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小.
在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根 的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在 同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解.
【例 3】 (1)(2016· 湖南长沙一中检测)已知幂函数 f(x)＝k· xα 的 1 2 图象过点 ， ，则 k＋α＝( ) 2 2
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2017高考数学一轮复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.4.2
幂函数对点训练 理
1．若幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，33，则其定义域为( ) A ．{x |x ∈R ，且x >0}
B ．{x |x ∈R ，且x <0}
C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}
D ．R 答案 A
解析 设f (x )＝x α，∴3α＝3
3，α＝－12，f (x )＝x －12 ， ∴其定义域为{x |x >0}，选A 项． 2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
A ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1
B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1
C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1
D ．①y ＝x 13 ，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1
答案 B
解析 ②的图象关于y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项C 、D.①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A.选B.
3．若f (x )＝x 23
－x － 12 ，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 令y 1＝x 23
，y 2＝x － 12 ，则f (x )<0即为y 1<y 2.函数y 1＝x 23 ，y 2＝x － 12 的
图象如图所示，由图象知：当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0,1)．
4.已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________. 答案 －1 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－m －1＝1，－5m －3>0，
解得m ＝－1.。