第4章流体动力学资料

u 2g ' h c 2g ' h
h 2
气（ρ） -液（ρ’）
p1 ' gh p2 gh
u 2g ' h c 2g ' h
过流断面的压强分布
为推导总流的伯努利方程作准备
均匀流 渐变流
非均匀流 急变流
uu 0 uu 0
流线平行 流线近于平行
均匀流 急变流 渐变流
过流断面的选取——均匀流、渐变流
0
gz p u2 c
2
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
c
（3）物理意义
z p
g
——单位重量流体的总势能（m）
——位置水头+压强水头 u2
——单位重量流体的动能（m） 2g
——速度水头
z p u2 c
g 2g
单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）
2.粘性流体元流的伯努利方程
X 1 p 0
x
Y 1 p 0
y
f
1
p
0
Z 1 p 0
z
（2）运动微分方程
f
1
p
du
u
u u
dt t
欧拉运动微分方程
分量式
X
1
p x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
（1）
Y
1
p y
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
（2）
Z
1
p z
uz t
dx
p y
dy
p z
dz
只有重力 gdz
不可压缩恒定流
1
dp
d
p
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
d
ux2
u
2 y
2
u
2 z
d
u2 2
Xdx
Ydy
Zdz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
积分
gdz
d
p
d
u2 2
2.有能量输入（Hi）或输出（H0）的伯努利方程
z1
p1
g
1v12
2g
Hi
z2
p2
g
2v22
2g
H0
hw
3.有分流（或汇流）的伯努利方程
z1
p1
g
v12 2g
z2
p2
g
v22 2g
hw12
1
2
2
z1
p1
g
v12 2g
z3
p3
g
v32 2g
hw13
1
3 3
4.水头线
总水头线 测压管水头线
水流轴线 基准线
1.过流断面的压强分布
p1A glAcos p2A
l cos z1 z2
百度文库
z1
p1
g
z2
p2
g
c
——服从流体静力学规律
ΔA
l
p1
θG p2
z2 0
z1 0
2.例 pB gh ' gh pB ' gh gh
pA pB pC
3.急变流压强的分布
FI
沿惯性力方向，压强增加、流速减小
10m
解：水温40℃，汽化压强为7.38kPa 大气压强 pa 97.3103 10m
g 992 .2 9.807
作水头线
总水头线 H
测压管水头线
2
0
20
例 文丘里流量计 能量方程（忽略损失）
z1
p1
g
v12 2g
z2
p2
g
v22 2g
连续性方程
v1A2 v2 A2
v1
1
d1 d2 4 1
2g
z1
p1
g
z2
p2
g
Q v1A1
d12 4
d1 d2 4 1
2g
z1
p1
g
z2
p2
g
K
h
仪器常数K
h
Q K h μ——流量系数（0.96~0.98）
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
（3）
常与连续性微分方程 ux uy uz 0 联立 x y z
2.粘性流体运动微分方程（粘性作用→切应力）
f
1
p
2u
du
u
u u
dt t
——纳维-斯托克斯方程（N-S方程）
分量式
X
1
p x
2u x
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
总流的伯努利方程
1.总流的伯努利方程
推导：
元流的伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw '
两边同乘以ρgdQ，积分
z1
p1
g
u12 2g
g d Q
z2
p2
g
u22 2g
hw 'gdQ
（1）势能积分
z
p
g
gdQ
z
p
g
gdQ
z
p
g
gQ
（2）动能积分
u2 2g
gdQ
u2 2g
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与 管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
H
0
0
v22 2g
hw
1
1
v2 2gH hw 4.43m / s
Q v2 A2 0.35m3 / s
流体动力学
皖西学院
INDEX • 流体的运动微分方程(Euler运动微分方程 、
Navier-Stokes方程 )
• 元流的伯努利方程 • 过流断面的压强分布 • 总流的伯努利方程 • 气体的伯努利方程 • 动量方程
流体的运动微分方程
Euler运动微分方程
1.理想流体运动微分方程
（1）平衡微分方程
ux z
Y
1
p y
2uy
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
2u z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
元流的伯努利方程
1.理想流体元流的伯努利方程
（1）推导方法一
将（1）、（2）、（3）各式分别乘以dx、dy、
dz，并相加
Xdx
Ydy
Zdz
1
p x
gudA
1 2g
g
u 3dA
v3 gA v2 gQ
2g
2g
u3dA
v3A
——动能修正系数
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
（3）水头损失积分
hw ' gdQ hwgQ
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
——总流的伯努利方程
总流的伯努利方程与元流的伯努利方程区别 （1）z1、z2——总流过流断面上同一流线上的两个 计算点相对于基准面的高程； （2）p1、p2——对应z1、z2点的压强（同为绝对压 强或同为相对压强）； （3）v1、v2——断面的平均流速
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw '
——能量守恒 3.方程适用范围
恒定流、不可压缩、质量力是重力的元流
4.应用：皮托管测流速 p1 u 2 p2
g 2g g
h p2 p1
g g
1
u 2gh c 2gh
c——流速系数（1~1.04）
水（ρ）-水银（ρ’） p1 ' gh p2 gh
注意：
水（ρ）-水银（ρ’） 气（ρ）-液（ρ’）
h ' h
h ' h
关于气蚀： 低压区产生汽化，高压区气泡破灭空化，它造成流 量减小，机械壁面造成疲劳破坏，这种有害作用称 气蚀（空蚀） 关于计算气蚀的例子： 大气压强97.3kPa，粗管径 d=150mm，水温40℃，收 缩管直径应限制在什么条 件下，才能保证不出现空 化？（不考虑损失）