五年级奥数第25讲-置换问题(教)

学科教师辅导讲义学员编号：年级：五年级课时数：3学员姓名：授课主题授课类型教学目标辅导科目：奥数学科教师：第25讲-等量代换T同步课堂P实战演练S归纳总结1、学会分析题意并且熟练的找出题目中存在的量之间的关系；2、掌握置换问题的解题思路与方法。

授课日期及时段T（T extbook-Based）——同步课堂知识梳理置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。

“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。

解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。

解答置换问题应注意下面两点：1，根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；2，把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。

典例分析例1、20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，求苹果和梨的单价。

【解析】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，则20千克苹果相当于25千克梨，这样就把两种数量转化为一种数量了，先计算梨的单价是：132÷（25＋30）＝2.4（元）苹果的单价：（132-2.4×30）÷20=3（元）例2、3只小花猫的重量等于1只狗的重量，1只小花猫等于3只鸭的重量，1只狗重9千克，1只猫与1只鸭各重多少千克？【解析】抓住突破口，利用倒推逐步推理．3只猫等于1只狗的重量，1只狗重9千克，3只猫也就重9千克，9÷3=3（千克），所以1只猫就等于3千克．1只猫等于3只鸭的重量，1只猫重3千克，3只鸭也就重3千克．3÷3=1（千克），所以1只鸭等于1千克．例3、一只小猴重4千克，一只小猴的重量等于两只小兔的重量，两只小兔的重量等于4只小猫的重量．一只小兔和一只小猫的重量共多少千克？【解析】一只小猴的重量等于两只兔子的重量，这样可以求出一只兔子的重量．而两只兔子的重量等于4只小猫的重量，可以求出一只小猫的重量．最后一只小兔和一只小猫的总重量就求出来了．一只兔子的重量：4÷2=2(千克），一只小猫的重量：4÷4=1(千克)，一只小兔和一只小猫的总重量：2+1=3(千克)例4、某菜站运来西红柿和黄瓜共重1660千克，已知运来的西红柿的重量比黄瓜重量的3倍少60千克，菜站运来的西红柿和黄瓜各多少千克？【解析】由题意可知：西红柿的重量=3×黄瓜的重量-60kg西红柿的重量+黄瓜的重量=1660kg3×黄瓜的重量+黄瓜的重量=1660kg+60kg因此：黄瓜的重量=1720÷4=430kg；西红柿的重量=1660-430=1230kg。

例5、一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。

那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？【解析】甲5小时+乙3小时=甲3小时+乙9小时可得出甲2小时=乙6小时即甲1小时=乙3小时所以甲做1小时后,乙需要时间：2×3+9=15小时例6、小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的钱能买8支笔和4块橡皮，或买6支笔和12块橡皮。

结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？【解析】根据等量代换少买了2支笔多买了8块橡皮,一支笔的钱可以买四块橡皮,故有：8支笔+4块橡皮=6支笔+12块橡皮因此：2支笔=8块橡皮，所以：全部买笔：8+4÷8×2=9（支）例7、5辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比汽车玩具贵8元。

这两种玩具的单价各是多少元？【解析】一架飞机玩具比一辆玩具汽车贵8元，所以5架飞机玩具比5辆玩具汽车贵8×5=40（元）5辆玩具汽车与3架飞机玩具价钱一样所以2架飞机玩具的价钱是40元，1架飞机玩具的价钱是40÷2=20（元）玩具汽车的价钱是20-8=12（元）例8、小华要称1粒米的重量，天平自带的砝码只有1克，2克，4克，8克，16克，32克，64克各一个．⑴1粒米远远没有1克，小华该怎么办?⑵小华要称100克的米，天平应放哪几个砝码?【解析】⑴小华可以用1克的砝码去称1克米，天平平衡的时候，再去数一数有几粒米，就可以说多少粒米是1克．如果数出有10粒米．这10粒米就是1克的米，也就是1克，一粒米就是0.1克．⑵使用大的砝码64克，再考虑加哪几个?100=64+32+4，应放64克，32克，4克的砝码．例9、一段上好的绸布可做24件同样的上衣和12条同样的裙子，或者做18件同样的上衣和20条同样的裙子。

那么全做上衣能做多少件？【解析】由题意可知：24件上衣+12条裙子=18件上衣+20条裙子因此：6件上衣=8条裙子故全做上衣：24+12÷8×6=33（件）P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练课堂狙击1、一个苹果和一个犁共重250克，一个苹果和一个桔子共重180克，一个梨和一个桔子共重230克，算一算，一个苹果，一个梨，一个桔子各重多少克？【解析】梨和桔子重230g+一个苹果和一个梨共重250g=2梨和1苹果1桔子=480g因为苹果和桔子共重180g所以梨=（480-180）÷2=150g因为一个苹果和一个梨共重250g所以苹果=250-150=100g因为苹果和桔子共重180g所以桔子=180-100=80g因此：梨150g,苹果100g,桔子80g.2、6只鸡和8只羊共重78千克，已知5只鸡的重量和2只羊的重量相等。

求每只鸡和每只羊的重量。

【解析】由题意知：6只鸡+8只羊=78kg5只鸡=2只羊所以：8只羊=20只鸡，因此：每只鸡=3kg，每只羊=7.5kg3、一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。

现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载多少袋面粉？【解析】由题意可知：40袋大米+40袋面粉=10袋大米+100袋面粉所以：30袋大米=60袋面粉即：1袋大米=2袋面粉一辆卡车最多能载10×2+100=120面粉现在卡车上已载有20袋大米,最多还能载：120-20×2=80袋面粉4、李老师第一次买回5个篮球和3个排球，用去318元．第二次又买回7个篮球和6个排球，用去510元．问：一个篮球和一个排球的价格各是多少元？【解析】可引导学生读题、审题，找出此题与例7的不同之处,并转化成例7的模型．此题有篮球单价与排球单价两个未知数量，而从题里所给条件分析，两次购买篮球与排球的数量各不相同，不能直接用消去法消去哪一个未知数，所以解题关键是使篮球或排球中的某一对未知数变换得相同，则可消去其中一个．通过比较，第一次购买的排球为3个；第二次购买的排球为6个，恰为第一次的2倍．若将第一次购买的排球、篮球各扩大2倍，付的钱也扩大2倍，则能使购买的排球个数与第二次购买的排球个数相同，从而设法消去排球这个未知数量，先求出每个篮球的价格，再求每一个排球的价格．5个篮球3个排球318元10个篮球6个排球636元⨯2 10个篮球6个排球636元-7个篮球3个篮球6个排球510元126元列式：(318⨯2-510)÷(5⨯2-7)=126÷3=42(元)……篮球的单价．(318-42⨯5)÷3=108÷3=36(元)……排球的单价．5、2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等，一支圆珠笔比一支钢笔便宜6元钱，两种笔的单价各是多少元？【解析】由题意可知：2支钢笔=3支圆珠笔1支圆珠笔比1支钢笔便宜6元，故：2支圆珠笔比2支钢笔便宜12元，所以：1圆珠笔=12元，1支钢笔=18元。

6、加工10件同样的上衣和4条同样的裤子需用布19.4米，加工6件同样的上衣和5条同样的裤子需用布14.5米，加工一件上衣和一条裤子各需用布多少米？【解析】由题意可知：10件上衣+4条裤子=19.4（米）6件上衣+5条裤子=14.5（米）所以：30件上衣+12条裤子=58.2（米）30件上衣+25条裤子=72.5（米）上下两式子相减得到：13条裤子=14.3（米）由此得出：1条裤子=1.1（米）因此：1件上衣=（14.5-1.1×5）÷6=1.5（米）课后反击1、一壶水可以灌满2个热水瓶，一个热水瓶的水可以冲4杯茶，一杯茶重250克，算一算，一壶水重多少克？合多少千克？【解析】由题意可知：一只热水瓶可以倒满4杯茶：4×250=1000g一壶水=两热水瓶=1000×2=2000g2、第一只茶壶能装10大杯水，第二只茶壶可以装15小杯水．已知5大杯水与9小杯水同样多，哪个茶壶大？【解析】读题，抓住大杯数目，引导学生进行扩倍来解决题目．因为5大杯水与9小杯水同样多，那么10大杯水就等于18小杯的水，而现在只有15小杯的水，10大杯水和15小杯水比较，10大杯水要多一些，所以第3、汽车从甲地开往乙地，行完全程用了3小时，返回时用了4小时，已知这辆汽车去时比返回时每小时快12千米。

甲乙两地相距多少千米？【解析】由题意可知：3×去的速度=4×返回速度去的速度比返回的速度快12千米所以：3×去的速度比3×返回的速度快36千米因此：返回速度=36千米，甲乙两地的距离=4×36=144千米。

4、2份点心和1杯饮料共26元；1份点心和3杯饮料共18元。

1份点心和1杯饮料各多少元？【解析】由题意可知：1份点心和3杯饮料共18元2份点心和1杯饮料共26元那么：2份点心和6杯饮料共18×2=36元饮料：（36-26）÷（6-1）=2元点心:（26-2）÷2=12元5、甲乙两人加工某种零件，甲做15小时，乙做8小时，共加工1600个，甲做10小时，乙做7小时共加工1100个。

甲乙两人每小时各加工多少个零件？【解析】由题意可知：15小时甲+8小时乙=1600个10小时甲+7小时乙=1100个因此：5小时甲+1小时乙=500个，得出：35小时甲+7小时乙=3500个所以：25小时甲=2400个，1小时甲=96个，1小时乙=500-96×5=20个6、甲、乙两人共储蓄32元，乙、丙两人共储蓄30元，甲、丙两人共储蓄22元．三人各储蓄多少元？【解析】可先让学生自己去思考，教师巡视指正．此题要求三个未知数，甲储蓄多少元？乙储蓄多少元？丙储蓄多少元？关系较为复杂，为了化繁为简，采用消去法来解．首先用加减消去法消去乙和丙，只剩下甲，然后求出甲储蓄多少元，再求乙、丙各储蓄多少元．解法1：甲+甲乙→32元丙→22元（2甲）乙丙→54元-乙丙→30元2甲→24元由2倍甲储蓄为24元，可求出甲储蓄多少元．列表：(32+22-30)÷2=24÷2=12(元)……甲储蓄款．32-12=20(元)……乙储蓄款，30-20=10(元)……丙储蓄款．此题也可用另一种方法求解．解法2：甲乙+乙丙+甲丙=32+22+30=84(元)，即2倍的(甲+乙+丙)等于84元．甲+乙+丙=84÷2=42(元)．42-32=10(元)……丙储蓄款，42-30=12(元)……甲储蓄款，直击赛场1、(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)★+■=24，■+●=30，●+★=36．■=_________●=________★=_______.【解析】(24+30+36)÷2=45，所以■表示的数为：45-36=9，●表示的数为：45-24=21，★表示的数为：45-30=15．(Summary-Embedded)——归纳总结名师点拨解答此类应用题时要根据题目中所给的条件，找出相等的量，然后再进行等量代换。