M06简单的超静定问题

只有一个平衡方程，一次静不定 （2）列变形协调条件
C
P
(b)
a
C C
l
P
FB
l AC lBC l
l AC FA 2a EA
B
B
（3）列物理条件（胡克定律）
l AC
FB a EA
(d )
(c )
（4）建立补充方程，解出约束反力
FA 2a FB a EA EA
qa 4 FN a 3 wB1 8EI 3EI
a
FN
FN
B
对右半部，查表，可得B点挠度： a 3 FN a 3 FN wB 2 3EI 3EI 由于左右两部分是连接在一起的， C 所以它们在B点的挠度相等，即：
a
wB1 wB 2
得：
qa 4 FN a3 FN a 3 所以： 8EI 3EI 3EI
得：
2
7
7
8
N 9.86kN
因此，杆最大正应力
N 9.86 10 3 max 31.3MPa A ( 0.02 )2 4 DG梁C处弯矩最大，梁的 抗弯截面系数为185cm3
max
M max (30 9.86) 103 4 W 4 185 10 6 108.9 MPa
简单的超静定梁
MA
q A B l
FAx FAy
MA
3-3=0
q A B l
FAx FAy
4-3=1
FB
MA
q
简 单 的 超 静 定 梁
FAx
A
FAy
B
4－ 3＝1
l
FB
MA
q
A l
B FBx FBy
5－3＝2
FAx
FAy
MA
q B
MB
FAx
A
FAy
l FBy
FBx
6－ 3＝3
应用小变形概念可以推知某些未知量：
3 FN qa 16
取左半部受力分析，求解A处的约束力。
F 0 M 0
y
A
FA FN qa 0 1 2 M A FN a qa 0 2
B
得： FA
13 qa 16
得： M A 5 qa 2 16
MA
A
q
a来自百度文库
取右半部受力分析，求解C处的约束力。
F
y
0
求解超静定问题的基本方法——平衡、变形几何、 物理关系。现在的物理关系体现为力与变形关系。
超静定系统的相当系统——用多余约束力代替多余 约束，所得到的一个形式上的静定结构。
一般超静定问题的解法
（1）画受力图，列平衡方程，确定超静定次数。 （2）根据约束条件，作位移变形图，找出变形协调条件。 （3）将力与变形的物理关系（胡克定律）代入变形协调条 件，得到补充方程。
F
y
0
FB FA 0
(a)
l
FA FB 得 （2）列变形协调条件 lF
FA l lF EA
B
(b)

lF
B
FB
（3）列物理条件（胡克定律）
(c )
横截面应力为：
FA E A l
（4）建立补充方程，解出约束反力
FA l EA
EA FA FB l
67 MPa(压)
这就是装配应力
§6.3 扭转超静定问题
扭转超静定问题的解法，同拉压超静定问题 的解法相同，同样是综合考虑静力、几何、物理 关系三个方面
例4 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用， 试求:杆两端支座的约束力偶矩。 解：静力平衡方程为：
mA mB m 0
MA
q l FAy FBx
FAx
FAx ＝FBx
FBy
应用对称性分析可以推知某些未知量：
MA
q B
MB
FAx
A
FAy
l
FBy
FBx
FAx= FBx= 0 , FAy= FBy= q l / 2 , MA=MB
平衡方程:
FAx=0 FAy+FBy - ql=0
MA+FByl-ql/2=0
变形协调方程：
变形协调条件为：
m
(1)
A
AB AC CB 0
即：
a
C
b
B
mA
(2)
A
m
C
mB
B
mA a mB b 0 GI p GI p
由(1)、(2)得：
b mA m ab
a mB m ab
§6.4
简单超静定梁
关于超静定梁的基本概念 静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数
C
0 FC FN
FA
B
FN FN
a
M
a 0 0 M C FN
3 得： FC qa 16 3 2 得：M C qa 16
C
MC
FC
例6 图示结构，悬臂梁 AB 与简支梁 DG 均用 No18 工字钢制成， BC 为圆截面钢杆，直径 d=20mm ，梁与杆的均弹性模量均为 E=200GPa 。如载荷 F=30kN ，试计算梁内的最大弯曲正应力与 杆内的最大正应力，以及横截面C的铅垂位移。
q B A
MA
l q l
MB
A或 B 0
A A q A M A A M B 0
例5
试求图示梁的约束力。设抗弯刚度EI为常数。
q
A B
C
解： 把结构分为两部分来求解。由于
a
a
q
A B
轴力很小，可以忽略不计。 对左半部，查表，并利用叠加 原理可得B点挠度：
（4）联立平衡方程和补充方程，求出未知的约束力和内力。
变形协调条件
超静定系统的变形是系统的，而不是单个的某一个杆 件的变形，故为了维护其系统性，组成系统的各个构件的 变形应该是统一的，协调的。 由协调的变形条件可列出补充方程，谓之变形协调条件。
找出变形协调条件是解决超静定问题的关键。
§6.2 拉压超静定问题
（4）建立补充方程，解出约束反力
FA l l T EA
100 MPa(压)
FA FB T EA 这就是温度应力
例 3 已知：l=1.5m， A =20cm2 E =200GPa, δ=0.5mm 求：杆横截面上的应力。 解： （1）列平衡方程
A
A
FA
C
A
D
B
A
FN 2 FAx A
FAy
D
FP N1
B
FN1
FN2
FN3
C
C
P B
P
D P
三个未知力，只有两个平衡方程。
一次超静定。
四个未知力，只有三个平衡方程。 一次超静定。
例1
已知：P， A ，E 。 求：AB两端的约束力。
y A
(a)
A
2a
FA
（1）列平衡方程 解：
F
y
0
FA FB P 0
等于独立的平衡方程数
超静定问题与超静定结构——未知力个数多于独立
的平衡方程数
超静定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差 多余约束——保持结构静定之外多余的约束
解超静定梁的一般步骤
（1）确定超静定次数。 （2）选定便于计算的基本静定梁（相当系统）。 （3）把解除的多余约束用未知的约束力来代替。
（4）变形比较：基本静定梁与原超静定梁在多余约 束力作用处、沿约束力方向的变形进行比较，建立变 形协调方程。 （5）求出多余约束力。然后可以进行和静定梁完全 相同的强度、刚度计算。
A
A
FA
T
l
T
解： （1）列平衡方程
F
y
0
得 （2）列变形协调条件
FB FA 0 FA FB
(a)
B
B
FB
lF
lT
lF lT
FA l lF EA
(b)
横截面应力为：
(c )
（3）列物理条件（胡克定律）
lT l T
FA T E A
横截面C的垂直位移为：
wC 1.21102 4.02 107 9.86 103 8.14 mm
代入数据得：
wC 1.21102 4.02 107 N
BC杆的伸长：
N 1.4 EA 1.4 N 200 10 9

4
2.23 10 8 N
( 0.02 )2
由变形协调条件：
wC wB Δ
1.2110 4.02 10 N 8.03 10 N 2.23 10 N
解： 把结构分成三部分。
根据作用力与反作用力原理，N BC
NCB NCB N N BC
4 5 4 I 1660 cm 1 . 66 10 m 查表：No18工字钢，
N 23 8 N B处的挠度： wB 代入数据得：wB 8.03 107 N 3EI 3EI C处的挠度： ( F N ) 43 4( F N ) wC 48EI 3EI
wB=wB(q)+wB(FBy)=0
物理关系：
wB(q)=ql4/8EI wB(FBy)= - FByl 3 /3EI
结果：由平衡方程、变形协调方程、物理关 系联立解出
FAx=0 ,
FAy =5ql /8 ,
2/8 M = ql FBy =3ql /8 , A
静定系统的选取与变形协调条件的建立
q B A l
第六章简单的超静定问题
§6.1 超静定问题及其解法
基本概念 多余约束 多余未知力 超静定次数 在超静定问题中，存在的多于维持系 统平衡所必需的支座或杆件。 与多于约束相对应的支座约束力或内力。 未知量数目与独立平衡方程数之差。
静定与超静定的辩证关系——多余约束的两种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束， 前者使问题变为不可解，后者使问题变为可解。
MA
q B A FAy l
MB
FAx
FBx FBy
ql B B q B B M B 0 2 ql w B w B q w B w B M B 0 2
静定系统的选取与变形协调条件的建立
2FA FB
由(a)和（d）联立可得：
FA
P
，F B
2P
装配应力和温度应力
温度应力：在超静定结构中，由于温度变化而引 起的构件内的附加应力。 装配应力：在超静定结构中，由于杆件制造长度不 精确而在安装过程中引起的构件内的附加应力。
注意：
温度应力、装配应力均产生于超静定结构中。
例 2 已知：l=1.5m， A =20cm2 E =200GPa, ΔT=40oC 12.5 106 / C 求：杆横截面上的应力。