1.1.1变化率问题教案

§1.1.1变化率问题

教学目标

1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33

4)(r r V π=

⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3

43)(π

V V r = 分析: 3

43)(π

V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为

)/(62.00

1)

0()1(L dm r r ≈--

⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为

)/(16.01

2)

1()2(L dm r r ≈--

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?

h

1

212)

()(V V V r V r --

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2

+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述

其运动状态?

思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v

在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)

0()5.0(s m h h v =--=

；

在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)

1()2(s m h h v -=--=

探究：计算运动员在49

65

0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2

+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49

65

(

h h =， 所以)/(0049

65)0()4965

(

m s h h v =--=

， 虽然运动员在49

65

0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，

并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1

212)

()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化

率

2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用

x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)

3． 则平均变化率为

=∆∆=∆∆x

f

x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212

思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=

∆∆x f

1

212)()(x x x f x f --表示什么? y

直线AB 的斜率

三．典例分析

例1．已知函数f (x )=x x +-2

的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点

)2,1(y x B ∆+-∆+-,则

=∆∆x

y

． 解：)1()1(22

x x y ∆+-+∆+--=∆+-，

∴x x

x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2

x y =在0x x =附近的平均变化率。

解：2

02

0)(x x x y -∆+=∆，所以x

x x x x y ∆-∆+=∆∆2

20)( x x x

x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02

0202022

所以2

x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02

四．课堂练习

1．质点运动规律为32

+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．

2.物体按照s (t )=3t 2

+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率. 3.过曲线y =f (x )=x 3

上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率. 五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业

x 1

x 2

O

f (x 1) △x = x 2-x 1 △y =f (x 2)-f (x 1)

x

253t

∆+