1.1.1变化率问题教案
1.1.1 变化率问题
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
【解析】 由题图可知，A 机关所对应的图像比较陡峭，B 机关所对应的图像比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率 都小于 0，故一定有 A 机关比 B 机关节能效果好．故选 B 项．
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
第一章 导数及其应用
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
要点 1 平均变化率
函数
y＝f(x)从
x1
到
x2
的平均变化率为Δy＝f（x2）－f（x1）．
Δx
x2－x1
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
探究 2 物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内的平均变化率即为物 体在这段时间内的平均速度．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
思考题 2 一质点作直线运动其位移 s 与时间 t 的关系 s(t) ＝t2＋1，该质点在[2，2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于 5，求 Δt 的取值范围．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
思考题 1 求函数 f(x)＝x3 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变
化率． 【解析】 函数 f(x)＝x3 在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）3－x03
1.1.1变化率问题与导数概念
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度 统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还 快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95 奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪 录，他的平均速度达到8.52m/s。
1.1.1 变化率问题
问题1
吹气球
的值为-13.1 .
探1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度 究 怎样表示？ ？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度， 由极限的观点可知：当t 0, 时，
h t0Байду номын сангаас t h t0 瞬时速度为： lim t 0 t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
观 察 ？
当△t趋近于0时，平均 速度有什么样的变化趋 势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从 小于2的一边，还是从大于2的一边趋近 v 于2时，平均速度 都趋近于一个确定 的值-13.1。
从物理的角度看： 时间间隔| △t |无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度。 所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
y f (x 2 ) f (x1 ) f (x 1 x) f (x 1 ) x x x 2 x1
问题: 平均变化率的几何意义是什么?
y f (x 2 ) f (x 1 ) x x 2 x1
y 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( x
)
A、3
B、3Δx-(Δx)2 D、3-Δx
C 、 3-(Δx)2
数学高中变化率教案
数学高中变化率教案
教学目标：
1. 理解变化率的概念。
2. 掌握求导数的方法。
3. 能够运用导数分析函数的变化率。
教学重点：
1. 变化率的定义和意义。
2. 求导数的方法和思路。
3. 利用导数分析函数的变化。
教学难点：
1. 求导数过程中的细节和技巧。
2. 应用导数解决实际问题。
教学准备：
1. 彩色板书笔和黑板。
2. 教学PPT。
3. 示例题目和练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师简要介绍变化率的概念，并举几个生活中的实例引导学生思考。
二、理论学习（15分钟）
1. 利用PPT介绍导数的概念和性质。
2. 分析导数的计算方法和求导的基本规则。
3. 通过示例解析导数的实际应用。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 教师布置几道导数计算的练习题，让学生尝试解答。
2. 学生互相讨论和分享解题思路，澄清疑惑。
四、小结与展示（5分钟）
教师总结本节课学习的重点内容，强调变化率的重要性，并展示几个导数应用的例题。
五、课堂作业（5分钟）
布置相关的作业题目，巩固学生对导数的理解和运用能力。
教学反思：
本节课注重引导学生理解变化率的概念，并通过实例和练习加深对导数的认识。
在教学过程中，要注重培养学生的分析和解决问题的能力，引导他们应用导数解决实际问题，提升数学思维能力。
函数的平均变化率
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RB . 数学 . 选修2-2
求函数的平均变化率 已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g (x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率． 【思路探究】 后代入公式求解． 先求自变量的增量和函数值的增量，然
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f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表
示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐 标为(x1，y1)．
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RB . 数学 . 选修2-2
图 1－1－1
1．若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变 量x和函数值y的改变量分别是多少？
【思路探究】 因为Δs 是质点在Δt 这段时间内的位移， Δs 所以 就是质点在Δt 这段时间内的平均速度． Δt
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【自主解答】 (1)由题设知，Δt＝3 s， Δs＝s(3)－s(0)＝24 m， Δs ∴平均速度为 v＝ ＝8 m/s. Δt (2)由题设知：Δt＝3－2＝1 s，Δs＝s(3)－s(2)＝12 m. Δs ∴平均速度为 v＝ ＝12 m/s. Δt
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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是其定义域内不同的两
点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平
高中数学新人教版A版精品教案《1.1.1 变化率问题》
《变化率》教学设计教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“变化率”，一、教学内容分析导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。
教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质。
平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。
从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。
在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。
基于上述分析，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。
在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解瞬时变化率的内涵二、学生情况分析（一）、学生已有的认知基础1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。
并能从图像中看出函数变化的快与慢。
2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。
（二）可能存在的认知困难1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键，也是难点所在。
2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。
《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数学人教A版2-2第一章-
《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数学人教A 版2-2(配套备课资源)第一章11．1.1 变化率问题1．1.2 导数的概念一、基础过关1． 一物体的运动方程是s ＝3＋t2，则在一小段时刻[2,2.1]内相应的平均速度为 ( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2． 函数y ＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )A ．0B ．1C ．2D ．Δx 3． 设函数f(x)可导，则lim Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx 等于 ( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3)4． 一质点按规律s(t)＝2t3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( )A ．4B ．6C ．24D ．485． 函数y ＝3x2在x ＝1处的导数为 ( )A ．12B ．6C ．3D ．26． 甲、乙两厂污水的排放量W 与时刻t 的关系如图所示，治污成效较好的是( ) A ．甲 B ．乙C ．相同D ．不确定 7． 函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为______．二、能力提升 8． 过曲线y ＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.9． 函数f(x)＝1x2＋2在x ＝1处的导数f ′(1)＝__________. 10．求函数y ＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．11．求函数y ＝f(x)＝2x2＋4x 在x ＝3处的导数．12．若函数f(x)＝ax2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时刻单位：s) s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t2＋2 t ≥3 ①29＋3t －32 0≤t<3 ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．答案1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B7．－98．2.19．－210．解 因为Δy ＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx)2，因此函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2Δx 2Δx ＝－8－2Δx.11．解 Δy ＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2Δx 2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2Δx ＋16)＝16.12．解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c －a －c＝a(Δx)2＋2a Δx.∴f ′(1)＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0 a Δx 2＋2a Δx Δx＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a)＝2，即2a ＝2，∴a ＝1.13．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时刻变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 (m/s)． (2)求物体的初速度v0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0邻近的平均变化率为Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt ＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1邻近的平均变化率为Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt ＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3Δt －12)＝－12.即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
1.1.1变化率问题(教学设计)
1.1变化率与导数（教学设计）（1）1．1．1变化率问题教学目标：知识与技能目标：了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念。
过程与方法目标：通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概念的产生奠定基础。
情感、态度与价值观目标：通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的铁钻研精神。
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景、新课引入为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．师生互动、新课讲解 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？ （2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？ （3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 例1（tb11500601）求下列问题的平均变化率（1）已知函数f(x)=x+1 ，求x 取从1到2时的平均变化率； （2）已知函数f(x)=1x，求x 取从1到2时的平均变化率； （3）已知函数f(x)=lnx ，求x 取从1到2时的平均变化率； （4）已知函数f(x)=sinx ，求x 取从1到2时的平均变化率。
sect;1.1.1—2变化率问题、导数的概念
§1.1.1—2变化率问题、导数的概念※ 典型例题[解析]0000000()()[()]()lim lim ()()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.故选B1. 解:B 计算0lim x ∆→(1)(1)s s t s tt∆+∆-=∆∆即可2. 【解题思路】计算连续函数()y f x =在点0x x =处的瞬时变化率实际上就是()y f x =在点0x x =处的导数.:解析：加速度v =tt ts t s t t ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆225)5(lim )5()5(limlim →∆=t (10+Δt )=10 m /s.※ 当堂检测：1. B2. B3. C4. 18 ；5. 1 ；6.．3 ；一、选择题 1．[答案] C[解析] 由定义，f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近的常数，故应选C.2．[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 2，x ＝1， ∴Δy ＝f (1＋Δx )2－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2·Δx ＋(Δx )2 ∴Δy Δx ＝2＋Δx 当Δx →0时，ΔyΔx →2 ∴f ′(1)＝2，故应选B. 3．[答案] D[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt ，∴s ′(5)＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (40＋4Δt )＝40.故应选D.4．[答案] C[解析] 由导数的定义可知C 错误．故应选C. 5．[答案] D[解析] 当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D.6．[答案]C [解析] li m x →a f (x )－f (a )x －a＝li m x →a 1x －1ax －a＝li m x →aa －x (x －a )·xa ＝－li m x →a 1ax ＝－1a2二、填空题7．[答案] －11，－112[解析] li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－11；li m x →x 0f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝－12m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－12f ′(x 0)＝－112.8． [答案] 0[解析] ∵Δy ＝⎝⎛⎭⎫1＋Δx ＋11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1＋11＝Δx －1＋1Δx ＋1＝(Δx )2Δx ＋1，∴Δy Δx ＝Δx Δx ＋1.∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 ΔxΔx ＋1＝0.三、解答题9．[解析] 由导数定义有f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝li m Δx →0Δx (2x 0＋Δx )Δx＝2x 0，10．解析] 位移公式为s ＝12at 2∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－1220＝at 0Δt ＋12(Δt )2∴Δs Δt ＝at 0＋12Δt ， ∴li m Δt →0Δs Δt ＝li m Δt →0 ⎝⎛⎭⎫at 0＋12a Δt ＝at 0，已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， ∴at 0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.11．[解析] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋3－12－3Δx＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.§1.1.3导数的几何意义※ 典型例题【解题思路】：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值； 点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。
2020版高中数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率
【解析】质点在2到2+Δt之间的平均速度为
［(2 t)2 1］ 22 1 4t (t)2
v
4 t.
t
t
又 v≤5,即4+Δt≤5,
所以Δt≤1.
又Δt>0,
所以Δt的取值范围为(0,1]. 答案:(0,1]
【易错误区案例】 求解函数的平均变化率问题 【典例】函数y=2x2+3x在[1,2]内的平均变化率为_-_9_.
y x
f x2 f x1
x2 x1
公式中Δx与Δy可能同号,也可能异号.
(3)×.函数值的改变量应是f(x0+Δx)-f(x0).
2.若已知函数f(x)=x2-1的图象上一点(1,0)及附近一 点(1+Δx,Δy),则Δy的值为________. 【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)= (1+Δx)2-1=(Δx)2+2Δx. 答案:(Δx)2+2Δx
33 3
所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.
【方法技巧】 比较平均变化率的方法步骤
(1)求出两不同点处的平均变化率. (2)作差(或作商),并对差式(或商式)作合理变形,以 便探讨差的符号(或商与1的大小). (3)下结论.
【补偿训练】一质点做直线运动,其位移s与时间t的 关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的 平均速度不大于5,则Δt的取值范围是______.
为 f x1 f x2 ?
x1 x2
提示:能.若从x1变为x2,平均变化率为
若从x2变为x1,平均变化率为
而 f x2 =f x1 f x.1 f x2
f x1 f,
教学设计5：1.1.1变化率问题
说教学设计《平均变化率》大家好，我说课的题目是《平均变化率》，我将从教材、目标、教法、教学过程和评价反馈分析五个方面进行陈述。
一、教材分析《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。
新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式。
而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法，分别从代数上的减小区间长度,使区间长度逼近于一个点和几何上的减小割线两点间的距离,使割线逐渐逼近于切线,这两个数形结合的角度定义导数.这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，最重要的是能够突出了导数概念的本质。
而我今天说课的内容《平均变化率》又是《导数及其应用》的第一课时，对下一步瞬时变化率和导数概念的形成起到重要的奠基作用。
二、目标分析在讲课的过程中，我们要让学生有一个经历、体会、运用、感受的过程。
于是，我将本堂课的教学目标定为：（1）知识与技能目标要求学生能通过大量实例直观感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率的实际意义和数学意义.为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
（2）过程与方法目标通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；（3）情感、态度、价值观感受数学模型在刻画客观世界中的作用，进一步领会变量数学的思想方法，提高能力。
根据课标要求，结合实际情况，我确定平均变化率的概念及其形成过程为教学重点，通过实例理解平均变化率的实际意义和数学意义是本节课的难点。
三、教法分析启发式教学与探究式学习相结合。
通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。
《3.1.1变化率问题》教学案
3.1.1《变化率问题》教学案教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义.教学重点：1. 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一、创设情景(1) 让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？(2) 学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值．让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习．二．新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率问题：老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(πV V r =分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时，气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时，气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.)如何计算运动员的平均速度？并分别计算0≤t ≤0.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．(1)让学生亲自计算和思考，展开讨论；(2)老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.(3)得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；(二)平均变化率概念:引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示， 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆， )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2，同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆x f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么？ (1) 师生一起讨论、分析，得出结果；(2) 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx =x 2-x 1；②求函数的增量Δf =f (x 2)-f (x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x f x x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x 2= x 1+Δx ；③Δf =Δy =y 2-y 1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy ________． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-， ∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2．求2x y =在0x x =附近的平均变化率.解：2020)(x x x y -∆+=∆，所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2020)( x x xx x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 __________． 2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动，求在4s 附近的平均变化率.3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P (1，1)和Q (1+Δx ，1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率.五．回顾总结让学生进行课堂小结.(1) 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，即随着气球体积的增大，比值气球膨胀率越来越小；(2) 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态；(3) 函数的平均变化率的概念 ；(4) 求函数的平均变化率的步骤；(5) 课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？(6) 思考问题方法：从实际生活到数学语言，数学概念．。
高中数学人教A版选修-学案第一章
Δs
Δt
∴在 t＝2 时，瞬时速度为 △li mx－0 Δt ＝4a,4a＝8，∴a＝2.
10．已知函数 f(x)＝Error!求 f′(4)·f′(－1)的值．
1
1
解：当 x＝4 时，Δy＝－
＋ 4＋Δx
4
1 ＝2－
1
4＋Δx－2 ＝
4＋Δx 2 4＋Δx
＝ 2
4＋Δx
Δx 4＋Δx＋2
.
7
Δy
②lim ΔΔyt＝lim[3t21＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t12＝48，
故函数 y＝t3＋3 在 t1＝4 处的导数是 48，
即 y′|t1＝4＝48.
1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量ΔΔyy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率Δx＝f
x0＋Δx －f Δx
x0
；
(3)求极限 lim ΔΔxy.
2．瞬时变化率的变形形式
f x0＋Δx －f x0
lim
Δx
f x0－Δx －f x0
＝lim
－Δx
f x0＋nΔx －f x0
＝lim
nΔx
f x0＋Δx －f x0－Δx
＝lim
2Δx
＝f′(x0)．
[活学活用]
求函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数．
解
：因为
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
Δs 3Δt－ Δt
＝ Δt
Δt
2
＝3－Δt，lim
Δs＝lim Δt
(3－Δt)＝3.
∴物体的初速度为 3.
1.1.1函数的平均变化率
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx， x0])的平均变化率．
1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域
本 课
内不同的两点，记Δx＝ x1－x0 ，Δy＝y1－y0＝f(x1)－
A. 2Δt＋4 B. －2Δt＋4 C. 2Δt－4 D. －2Δt－4
解析：ΔΔst＝4－21＋ΔtΔ2t－4＋2×12
＝－4Δt－Δt 2Δt2
＝－2Δt－4. 答案：D
例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月 该婴儿体重的平均变化率．
本 课 时
y＝f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x) 的平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1
栏 目
为割线 AB 的斜率．
开 关
x1，x2 是定义域内不同的两点，因此 Δx≠0，但 Δx 可正也可
负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应 Δx＝x2－x1 的改变量，Δy 的值可
你能从数学的角度来反映山坡的 平缓和陡峭程度吗？
怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A 是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在 的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).
(3)实质： 函数值 的改变量与 自变量 的改变量 之比 .
(4)作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])上变化的快慢.
1.1.1函数的平均变化率
以用起点、 以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之
由此我们引出函数平均变化率的概念。 由此我们引出函数平均变化率的概念。 函数平均变化率的概念
函数平均变化率的概念： 函数平均变化率的概念： 一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定 一般地，已知函数 ， 义域内不同的两点， 义域内不同的两点，记△x=x1－x0， △y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0). － △ － 则当△x≠0时 则当△x≠0时，商
= 2x0 + ∆x
由上式可以看出， 取定值时， 由上式可以看出，当x0取定值时，△x 取不同的值，函数的平均变化率不同， 取不同的值，函数的平均变化率不同，当 取定值， 取不同的值时， △x取定值，x0取不同的值时，该函数的平 取定值 均变化率也不一样。 均变化率也不一样。 例如， 取正值，并不断增大时， 例如，x0取正值，并不断增大时，该函 数的平均变化率也不断地增大， 数的平均变化率也不断地增大，曲线变得 越来越陡峭。 越来越陡峭。
2. 一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一 一质点运动的方程为 － 段时间[1， 内的平均速度为 内的平均速度为（ 段时间 ，2]内的平均速度为（ C ） A．－ ．－4 ．－ C． －6 ． B．－ ．－8 ．－ D．6 ．
3. 将半径为 的球加热，若球的半径增加 将半径为R的球加热 的球加热， 等于（ △R，则球的表面积增加△S等于（ B ） ，则球的表面积增加△ 等于 A． 8πR∆R ． B． 8πR∆R + 4π (∆R ) ．
1.1.1 函数的平均变化率
微积分主要与四类问题的处理相关: 微积分主要与四类问题的处理相关 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度 加速度等 速度与 求物体在任意时刻的速度与加速度等; 曲线的切线; 二、求曲线的切线 求已知函数的最大值与最小值 最大值与最小值; 三、求已知函数的最大值与最小值 四、求长度、面积、体积和重心等。 长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（ 函数增减、变化快慢、最大（小）值等问 题最一般、最有效的工具。 题最一般、最有效的工具。
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§1.1.1变化率问题
教学目标
1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33
4)(r r V π=
⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3
43)(π
V V r = 分析: 3
43)(π
V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(62.00
1)
0()1(L dm r r ≈--
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(16.01
2)
1()2(L dm r r ≈--
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?
h
1
212)
()(V V V r V r --
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2
+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述
其运动状态?
思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v
在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)
0()5.0(s m h h v =--=
；
在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)
1()2(s m h h v -=--=
探究：计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2
+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)0()4965
(
m s h h v =--=
， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，
并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1
212)
()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化
率
2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用
x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)
3． 则平均变化率为
=∆∆=∆∆x
f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212
思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=
∆∆x f
1
212)()(x x x f x f --表示什么? y
直线AB 的斜率
三．典例分析
例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点
)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x
y
． 解：)1()1(22
x x y ∆+-+∆+--=∆+-，
∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2
x y =在0x x =附近的平均变化率。
解：2
02
0)(x x x y -∆+=∆，所以x
x x x x y ∆-∆+=∆∆2
20)( x x x
x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02
0202022
所以2
x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02
四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s (t )=3t 2
+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率. 3.过曲线y =f (x )=x 3
上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率. 五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业
x 1
x 2
O
f (x 1) △x = x 2-x 1 △y =f (x 2)-f (x 1)
x
253t
∆+。