职高数学排列组合解题思想方法
排列组合题解题思维方法
排列组合题解题思维方法排列组合题解题思维方法随着数学考试越来越接近，不少同学开始重点练习数学中的排列组合题目。
然而，面对这些比较抽象的题目，许多同学们都显得有些束手无策。
本文将介绍解决排列组合题目的思维方法，帮助大家深入理解和掌握排列组合知识。
一、排列组合基础概念1. 排列排列是指从$n$个不同元素中取出$r$（$r\leq n$）个不同元素进行排列的方式数，记作$A_n^r$，公式如下：$$A_n^r=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)$$2. 组合组合是指从$n$个不同元素中取出$r$（$r\leq n$）个不同元素进行组合的方式数，记作$C_n^r$，公式如下：$$C_n^r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$$二、解题思路1. 首先，要明确题目的含义。
排列组合题目在日常生活中并不多见，因此需要认真看题，理解题目的意思。
通常，排列组合题目的意思就是从一堆元素中选取一定数量的元素进行排序或组合，然后求解不同可能的结果数。
2. 紧接着，确定解题的方式。
对于排列组合题目，有一些比较典型的解法，如公式法、画图法、分类讨论法、化归法等。
需要根据题目的特点，选择合适的解题方式。
3. 确定解题的步骤。
排列组合题目通常有多个步骤，需要依次进行，一步步得出最终结果。
所以，需要仔细分析题目，确定整个解题过程中的每个步骤，防止出错。
4. 结合实际问题进行思考。
很多排列组合问题都是有实际意义的，例如隔板法、分配法、抽屉原理等。
通过把抽象的排列组合问题转化为实际问题，可以帮助我们更好地理解问题本质，从而提高解决问题的能力。
三、典型例题1. 从$n$个元素中取出$r$个元素，有多少种不同的排列方式？解：根据排列的定义，从$n$个元素中取出$r$个元素进行排列的方式数为$A_n^r$。
2. 从$n$个元素中取出$r$个元素，有多少种不同的组合方式？解：根据组合的定义，从$n$个元素中取出$r$个元素进行组合的方式数为$C_n^r$。
排列组合问题的解决方法
排列组合问题的解决方法排列组合问题是数学中的一个重要概念，也是许多实际问题中常见的一种情况。
在解决排列组合问题时，我们需要运用一定的方法和技巧，以得到准确的答案。
本文将介绍一些常见的解决排列组合问题的方法。
一、排列问题的解决方法排列是从若干个元素中选取一部分进行排序的问题。
在解决排列问题时，我们可以运用以下方法：1.全排列法：全排列法适用于待排元素个数较少的情况。
通过穷举待排元素的所有可能排列，我们可以得到准确的答案。
但当待排元素个数较多时，全排列法的计算量会变得非常大，不适用于实际问题。
2.递归法：递归法是解决排列问题的常用方法之一。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到排列问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的排列问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，可以使用排列组合公式P(n,m) = n! / (n-m)!来计算。
二、组合问题的解决方法组合是从若干个元素中选取一部分进行组合的问题。
在解决组合问题时，我们可以运用以下方法：1.枚举法：枚举法是解决组合问题的常用方法之一。
通过枚举待选元素的所有可能组合，我们可以得到准确的答案。
但同样地，当待选元素个数较多时，枚举法的计算量会非常大。
2.递归法：递归法同样适用于解决组合问题。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到组合问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的组合问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数，可以使用排列组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)来计算。
三、排列组合问题的综合应用在实际问题中，排列组合常常与其他数学概念和方法相结合，以解决更为复杂的问题。
排列组合解题方法和策略总结
排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。
以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。
2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。
3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。
4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。
根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。
5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。
根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。
6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。
通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。
7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。
通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。
8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。
解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。
通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。
同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
解决排列、组合问题的几种思想
解决排列、组合问题的几种思想刘星红排列、组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，解答排列、组合问题，首先要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时还要注意讲究一些策略和技巧，恰当地运用数学思想，可以使一些看似复杂的问题迎刃而解。
本文就解决排列、组合问题的常见思想简单归纳如下。
一. 主元思想主元思想，就是对题目中的特殊元素、特殊位置优先考虑，抓住主要矛盾，从而达到解决问题的目的。
例1. 某单位安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙2人都不安排在5月1日和5月2日，则不同的安排方法有多少种？解析：确定特殊对象，找出主元，优先考虑主元。
可优先安排甲乙2人有A 52种安排法，再安排其他5人，有A 55种安排法，这样共有A A 52552400=（种）安排法。
二. 分类思想分类思想，就是当问题中的元素较多，取出的情况也较多时，可按要求分成互不相容的几类情况，从而避免遗漏和重复，使问题顺利得到解决。
例2. 如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给行政区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。
现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法有多少种？解析：因区域2和4、3和5不相邻，故分两类： （1）当2和4同色，3和5同色时，着色方法有A 43种；（2）当2和4、3和5其中之一同色时，着色方法有C C A 214133种。
这样着色方法共有A C C A 4321413372+=（种）。
例3. 某学校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有多少种？ 解：由题意知，甲和乙不同去分为三种情况：（1）甲去乙不去，丙去，则不同的选派方案有C A 5244240·（种）=； （2）甲不去乙去，丙不去，则不同的选派方案有C A 5344240·（种）=；（3）甲、乙都不去，则丙不去，此时不同的选派方案有A 54120=（种）。
排列组合问题的基本类型及解题方法
排列组合问题的基本类型及解题方法解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。
以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。
在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例1： 0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有24A 种，0在十位有1123A A 种；第二类，不含0，有1223A A 种。
故共有2111242323(A A A )+A A 30+=种。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有24A 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有111233A A A 种。
故共有21114233A +A A A =30（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减，例如在例1中也可以用此法解答：5个数字组成三位数的全排列为35A ，排好后发现0不能在首位，而且3和5不能排在末尾，这两种不合题意的排法要除去，故有30个偶数．（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．例2：5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有 解：由题意，可先安排甲，并按其进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有44A 种方法；（2）若甲在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有113333A A A 种站法；再根据分类计数原理，不同的站法共有：21134333A A A A 78+=种．（四）相邻问题：捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
解排列组合应用问题的十种思考方法
“解排列、组合应用问题”的思维方法一、优先考虑： 对有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。
例1．（1）由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。
（2） 由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个。
（3） 5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有 种。
二、“捆”在一起：有要求元素相邻（即连排）的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。
例2．（1） 有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有 种。
（2） 有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有 种。
三、插空档：有要求元素不相邻（即间隔排）的排列问题，可以制造空档插空。
例3．（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有 种陈列方法。
（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有 种。
四、减去特殊情况（即逆向思考）：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。
例4．（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有 个。
（2） 由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。
（3）集合A 有8个元素，集合B 有7个元素，B A 有4个元素，集合C 有3个元素且满足下列条件：Φ≠Φ≠⊂B C A C B A C ,,的集合C 有几个。
（4）从6名短跑运动员中选4人参加4⨯100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。
例5（1）用1、2、3、⋯9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有个。
（2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，其它每人一本，则共有种不同的奖法。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
完整版☆排列组合解题技巧归纳总结计划
摆列组合解题技巧概括总结教课内容1. 分类计数原理 ( 加法原理 )达成一件事，有n类方法，在第 1类方法中有m1 种不一样的方法，在第 2类方法中有m2 种不一样的方法，⋯，在第n类方法中有m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有：N m m L m1 2 n种不一样的方法．2. 分步计数原理〔乘法原理〕达成一件事，需要分红n 个步骤，做第 1 步有m1 种不一样的方法，做第 2 步有m2 种不一样的方法，⋯，做第n 步有m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有：N m m L m1 2 n种不一样的方法．3. 分类计数原理分步计数原理差别分类计数原理方法互相独立，任何一种方法都能够独立地达成这件事。
分步计数原理各步互相依存，每步中的方法达成事件的一个阶段，不可以达成整个事件．解决摆列组合综合性问题的一般过程以下 :1.仔细审题弄清要做什么事2. 如何做才能达成所要做的事 , 即采纳分步仍是分类, 或是分步与分类同时进行 , 确立分多少步及多少类。
3. 确立每一步或每一类是摆列问题( 有序 )仍是组合 ( 无序 )问题, 元素总数是多少及拿出多少个元素.4. 解决摆列组合综合性问题，常常类与步交错，所以一定掌握一些常用的解题策略一. 特别元素和特别地点优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5 能够构成多少个没有重复数字五位奇数 .解: 因为末位和首位有特别要求 ,应当优先安排 , 免得不合要求的元素占了这两个地点 .先排末位共有 13C而后排首位共有 1 4C最后排其余地点共有 3A4由分步计数原理得 1 1 3C4C3 A4 2881 C4 A 3 14 C3练习题:7 种不一样的花种在排成一列的花盆里 , 假定两种葵花不种在中间，也不种在两头的花盆里，问有多少不一样的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 , 此中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不一样的排法 .解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并当作一个复合元素，同时丙丁也当作一个复合元素，再与其它元素进行摆列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合问题基本类型及解题方法
排列组合问题基本类型及解题⽅法排列组合问题的基本模型及解题⽅法导语：解决排列组合问题要讲究策略，⾸先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(⽆序)，还是排列与组合混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利⽤两个基本原则进⾏“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满⾜两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独⽴，互不⼲扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类，以上解题思路分析，可以⽤顺⼝溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，⽤准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先⾏；⼀题多解，检验真伪。
注意以下⼏点：1、解排列组合应⽤题的⼀般步骤为：①什么事：明确要完成的是⼀件什么事（审题）；②怎么做：分步还是分类，有序还是⽆序。
2、解排列组合问题的思路（1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
3、基本模型及解题⽅法：(⼀)、元素相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例1、6名同学排成⼀排，其中甲，⼄两⼈必须排在⼀起的不同排法有（ C ）种。
A 、720B 、360C 、240D 、120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某⼏个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作⼀个“⼤”元素。
（2）、全不相邻问题插空法例2、要排⼀张有6个歌唱节⽬和4个舞蹈节⽬的演出节⽬单，任何两个舞蹈节⽬不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节⽬排好，其中不同的排法有6！，这6个节⽬的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节⽬有47A 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节⽬不得相邻的排法为4676A A 种例3、⾼三（⼀）班学要安排毕业晚会的4各⾳乐节⽬，2个舞蹈节⽬和1个曲艺节⽬的演出顺序，要求两个舞蹈节⽬不连排，则不同排法的种数是A 、1800B 、3600C 、4320D 、5040解：不同排法的种数为5256A A ＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插⼊，故叫插空法。
重庆中职 排列组合解题技巧和策略(最新版)
一．运用两个基本原理例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
二．特殊元素（位置）的“优先安排法”：特殊优先，一般在后例1．用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。
A．24个 B.30个 C.40个 D.60个例2．1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（）种．例3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（）种.例4．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？三．相邻问题用捆绑法：例5 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？例6．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．例7．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？例8．8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？例9． 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？四．不相邻问题用“插空法”：例10．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。
这样的八位数共有( )个．例11．4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？例12．排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？例13．5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？例14．马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？五．顺序固定用“除法”：例16．6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？例17．4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。
排列组合问题的解题思路和解题方法
排列组合问题的解题思路和解题方法排列组合问题是公务员考试当中经常考察的一种题型，也是很多考生理解的不是很清晰的一类题型，所以通过几篇文章详细分析一下排列组合问题的解题思路和解题方法，希望对考生的备考有所帮助。
解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。
下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 ( ）A．120种 B．96种 C．78种 D．72种分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A 44=24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有3*3*3*2*1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。
解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。
二、特殊元素与特殊位置优待法对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例2、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）（A） 280种（B）240种（C）180种（D）96种分析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有14C种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有35A种不同的选法，所以不同的选派方案共有14C35A=240种，选B。
三、插空法、捆绑法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
解决排列组合问题的常用方法
（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；
（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；
（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；
（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；
（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）
⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为 ；（非等分，有序）
⑶是指定人应得数量的均匀问题：方法数为 ；（等分有序）
⑷是分堆的非均匀问题（与⑴等价）：方法数为 ；（非等分无序）
⑸是分堆的均匀问题：方法数为 ；（等分无序）
⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为 ；（局部等分有序）
⑺是部分均匀地分堆的问题：方法数为 （局部等分无序）
（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5=25个；③三位数共有5×5×4=100个．因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个．
（5）分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3=120个；
②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个；
③千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个；
2、从 五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和．
解：形如 的数共有 个，当这些数相加时，由“ ”产生的和是 ；形如 的数也有 个，当这些数相加时，由“ ”产生的和是 ；形如 的数也有 个，当这些数相加时，由“ ”产生的和应是 ．这样在所有三位数的和中，由“ ”产生的和是 ．同理由 产生的和分别是 ， ， ， ，因此所有三位数的和是 ．
排列组合问题解题思路
1、文氏图：
在文氏图中,以下图形的含义如下：
矩形：其内部的点表示全集的所有元素；
矩形内的圆（或其它闭曲线）：表示不同的集合；
圆（或闭曲线）内部的点：表示相应集合的元素。
2、三交集公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+A∩C-A∩B∩C
六．顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素
与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
七．分排问题用直接法：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排方
法来处理。
八．试验：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。
例.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4，的方格中，每方格填 1 个，方格标号
3．排列与组合的应用题 历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素 的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的，而解决它们的方法还是有规律 可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。 一般方法有：直接法和间接法。 （1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序， 据乘法原理，可用占位法。 （2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。 特殊方法： （1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。 （2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。 （3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。 （4）其它方法。
排列组合中的数学思想方法
排列组合中的数学思想方法一、分类讨论的思想许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题。
分而治之，各个击破。
例1、已知集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素，求同时满足下面两个条件的集合C的组合方法；（1），且C中含有3个元素；（2）。
分析：该题是1986年的高考题，可算是高考试题里“数数”问题第一例，此题单纯利用集合的概念及运算显然无法解决。
因C中的三个元素的取法不止一类，故可考虑分类解之。
解：因为A、B各有12个元素，含有4个元素，所以中元素的个数是（个）。
其中，属于A的元素有12个，属于B而不属于A的元素有8个，要使，则组成C中的元素至少有一个含在A中，集合C的组合方法是（1）只含A中1个元素的有种；（2）含A中2个元素的有种；（3）含A中3个元素的有种。
故所求的集合C的组合方法共有种二、等价转化的思想很多“数数”问题的解决，如果能跳出题设所限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，就可以使问题的解决呈现出“柳暗花明”的格局。
1、具体与抽象的转化例2、某人射击7枪，击中5枪，问击中与未击中的不同顺序情况有多少种？分析：设击中用“1”表示，未击中用“0”表示，那么我们考虑的问题就转化为下列问题：数列中有5项是1，两项是0，不同的数列数目有多少个？解：（1）两个“0”不相邻的情况有种；（2）两个“0”相邻的情况有种。
故击中和未击中的不同顺序情况有种。
2、不同数学概念之间的转化例3、连结正方体8个顶点的直线中，为异面直线的有多少对？分析：正面求解或反面考虑（利用补集）虽然可行，但容易遗漏或重复。
注意到这样一个事实，每一个三棱锥对应着3对异面直线，因而转化为计算以正方体的顶点为顶点，可以组成的三棱锥的个数。
解：从正方体的8个顶点中任取4个，有种取法，其中4点共面的有12种（6个表面正方形，6个对角面长方形）。
排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结一、排列组合解题概述排列组合解题是一种常见的数学解题方法，它是从实际问题中抽象出的数学思路，即利用数学的思想研究问题的中可能的不同情况。
它是指将从某概念领域中抽出的元素，按一定规则进行排列组合，以求出符合要求的所有可能情况，并且再对这些可能情况进行比较选择。
二、关于排列组合解题的技巧1、熟悉必要的知识排列组合解题一般有四种情形，分别是无重复排列，有重复排列，无重复组合，有重复组合。
读者在学习排列组合解题技巧时要先熟练掌握这四种情形的基本概念。
2、理解问题为正确解决排列组合解题，必须结合问题本身，仔细阅读题干，弄清所求的具体内容，讨论其间的联系和规律，并把握到全局。
3、合理分类将题目中的个体或要素，按某种形式或方法进行分类，这样就可以有效地缩小解题范围，把问题转化成容易求解的形式。
4、计算概率排列组合解题究竟有多少种可能，有时可以利用数学概率公式，计算概率，从而辅助解题，快速缩小解题步骤，提高解题效率。
5、模拟实验在排列组合解题过程中，可以采用模拟实验的方法，通过模拟试验来找出具体的结果情况，以有效节约解题时间。
6、求解问题求解排列组合解题有三种方法：因式分解法、基本计算法和穷举法。
因式分解法是把问题分解为几个不同的小问题进行全面求解；基本计算法就是用一定的数学计算技巧，用必要的算式和穷举函数，来对复杂的问题进行求解；穷举法就是把所有可能的情况都列出来，逐一筛查出正确的结果。
三、总结排列组合的解题方法，是从实际问题中抽象出的数学思路，它可以帮助我们把复杂的问题转化为容易解答的数学计算。
其具体解题技巧也有很多，这就要求读者先有足够的数学知识，精确把握问题，合理地分类，根据题意来确定使用穷举法、因式分解法、基本计算法等，以最短时间最高效地解决问题。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法.排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标：1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一。
特殊元素和特殊位置优先策略：例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3^1种方法，然后排首位共有C4^1种方法，最后排其它位置共有A4^3种方法，根据分步计数原理得到答案为C4^1 × C3^1 × A4^3 = 288.入问题或空位法来解决。
排列组合原理思维方法
排列组合原理思维方法
排列组合是数学中一个重要的概念，用于解决计数问题。
在实际问题中，可以应用排列组合原理来辅助思考、分析和解决问题。
以下是一些常用的思维方法：
1. 确定问题类型：首先要明确问题属于排列还是组合类型。
如果要求确定一组物体的顺序，则是排列问题；而如果只需要选择一组物体，而不考虑顺序，则是组合问题。
2. 确定问题的约束条件：明确问题中给出的条件和限制，例如需要从几个元素中选择，是否可以重复选择等等。
3. 计算总数：根据问题的类型和约束条件，利用排列组合公式计算可能的总数。
排列公式为n!，组合公式为C(n,m)。
4. 考虑重复元素：如果问题中包含重复的元素，需要对重复元素进行处理。
可以使用组合公式减去重复的情况，或者使用排列公式除以重复元素的阶乘。
5. 考虑不可行情况：在计算总数时，要考虑是否存在一些不可行的情况，需要从总数中减去这些不可行的情况。
6. 使用计算工具：对于复杂的问题，可以使用计算工具（如计算器或电脑程序）来进行排列组合的计算，以避免计算错误。
7. 验证结果：在得到排列组合的结果之后，可以通过验证部分具体情况来确保结果的正确性。
总之，排列组合原理思维方法主要是通过确定问题类型、约束条件，计算总数并考虑重复元素和不可行情况来求解问题。
利用排列组合思维解题
利用排列组合思维解题在数学领域中，排列组合是一种非常重要的思维工具。
它可以帮助我们解决各种问题，从概率统计到组合优化，无所不包。
本文将探讨如何利用排列组合思维解题，并通过实例来加深理解。
一、排列组合的基本概念在开始之前，我们先来回顾一下排列组合的基本概念。
排列是指从一组元素中选取若干个元素，按照一定的顺序进行排列的方式。
组合则是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑顺序的方式。
举个例子来说明，假设有4个人A、B、C、D，我们要从中选取2个人作为队员，可以有以下几种情况：- 排列：AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC- 组合：AB、AC、AD、BC、BD、CD二、利用排列组合解决问题1. 概率统计问题排列组合在概率统计问题中有着广泛的应用。
例如，有一批产品，其中有3个次品和7个良品，我们要从中随机选取3个产品进行检验。
我们可以利用组合的思想来计算不同结果的概率。
根据组合的定义，我们可以知道，从10个产品中选取3个产品的组合数为C(10,3) = 120。
而其中包含3个次品的组合数为C(3,3) = 1，包含2个次品的组合数为C(3,2) = 3，包含1个次品的组合数为C(3,1) = 3。
因此，检验结果为全部良品的概率为1/120，为2个良品和1个次品的概率为3/120，为1个良品和2个次品的概率为3/120。
2. 组合优化问题组合优化问题是指在给定一组元素的情况下，找到最优的组合方式。
例如，假设有一组数字{1, 2, 3, 4, 5}，我们要找到其中3个数字的组合，使得它们的和最大。
我们可以利用排列组合的思想来解决这个问题。
首先，我们可以列举出所有可能的组合，得到：- 1+2+3=6- 1+2+4=7- 1+2+5=8- ...- 3+4+5=12通过比较这些组合的和，我们可以得出最大和为12，对应的组合为3、4、5。
因此，最优的组合方式是选取数字3、4和5。
三、排列组合的应用技巧除了基本的排列组合概念，还有一些应用技巧可以帮助我们更好地解题。
排列组合的几中常用方法
一、排列和组合的概念排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列。
组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。
二、七大解题策略1.特殊优先法特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）（A） 280种（B）240种（C）180种（D）96种正确答案：【B】解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C(4,1)=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A(5,3)=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有C(4,1)×A(5,3)=240种，所以选B。
2．科学分类法问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。
对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。
同时明确分类后的各种情况符合加法原理，要做相加运算。
例：某单位邀请10为教师中的6为参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有（）种。
A.84B.98C.112D.140正确答案【D】解析：按要求：甲、乙不能同时参加分成以下几类：a.甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C（8，5）=56种；b．乙参加，甲不参加，同（a）有56种；c．甲、乙都不参加，那么从剩下的8位教师中选出6位，有C（8，6）=28种。
故共有56+56+28=140种。
3.间接法即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。
中职数学排列组合的解题方法
中职数学排列组合的解题方法摘要：为提高中职学生解决排列组合问题的能力，试就排列组合的典型题型进行归类分析。
选题综合了排列组合的一些常用解题方法，并巧妙的应用于解题当中。
关键词：排列；组合；解题方法Abstract: in order to improve the secondary students solve the permutation and combination problem ability, to try to arrange a combination of typical questions classified analysis. The topic selection comprehensive to arrange a combination of some of the most common problem solving method, and the application of problem solving in clever.Keywords: arrangement; Combination; Problem solving method中职教学中，排列组合问题一直是重点，也是难点，更是春季高考和三二分段学生中职升高职转段考试的必考内容，尤其从2012年开始，春季高考和3+2转段考试题型以及考试内容发生了很大的变化。
自2009级的学生（2012年参加高考或转段考试）开始使用中等职业教育课程改革国家规划新教材，而新教材中增加了概率与统计的内容，占到考试比例的18%，这让作为概率基础的排列组合显得尤为重要。
对于中职学生来说，排列组合题型多，如何分析解答排列组合问题成了一个难点，针对这种情况，本文就解决排列组合问题的一些技巧进行总结归纳。
基本知识的掌握掌握好“分类计数原理”和“分步计数原理”，这两个原理是排列组合的基础性原理。
“分类计数原理”是指完成一件事，有类方式，在第1类方式中有种不同的方法，在第2类方式中有种不同的方法，……，在第类方式中有种不同的方法。
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特殊元素优先考虑
先考虑甲
甲在中间4个位置中选一个，有 4 种排法；
剩下的5个人排在5个位置有 A55排法.
共有 4 A55 种排法.
04 排列组合解题思想方法
6人站成1排，甲不能排在排头和排尾有 480 排法.
特殊位置优先考虑
先考虑排头和排尾
从5个人中选取2个排在排头和排尾有 A52种排法； 剩下的4个人排中间4个位置有 A44 排法. 共有 A52 A44 种排法.
05 排列组合解题思想方法
6人站成1排，甲、乙、丙3人A必须站在一起的种数有 144 .
捆绑法 相邻问题
甲乙丙
将3人捆绑在一起看成一个整体，与其他3个人排在4个位
置有 A44 种排法.
再将甲、乙、丙内部相互交换排在3个位置有 A33 排法.
共有 A44 A33 种排法.
06 排列组合解题思想方法
02 排列组合解题思想方法 一块木板上钉有9个钉子，排成三行三列，以其中的任意3个钉子
为顶点，可以组成的三角形的个数为 76 . 排除法 从9个钉子中选出3个钉子有 C93 选法.
排除：共线的3点有 8 种；
共有有C93 8 种排法.
03 排列组合解题思想方法
6人站成1排，甲不能排在排头和排尾有 480 排法.
01 排列组合解题思想方法
若11位同学排队照相，第1排5人，第2排6人，则不同的排法
有
A11 11
种.
直接法
第一步，从11人中选出5人排在第一排有 A151种排法. 第二步，从11人中选出6人排在第二排有 A161种排法. 第二步，剩下的6人排在第二排有 A66 种排法. 共有 A151 A161 种排法. 共有 A151 A66 A1111 种排法.
02 排列组合解题思想方法
从1,2,3,4、5五个数字中每次取两个，分别作为对数的底数和真
数，用此五个数字总可以得到 13 种不同的对数值.
排除法
对数 loga N (a 1)
选a有4种选法，再选N有4种选法，因此对数有16种选法.
排除：相等的对数 log2 1 log3 1 log4 1 log5 1 共有有16 3 种排法.
不能同时关掉相邻的两盏或三盏 不亮的要隔开，也就是不相邻
插空法
亮亮亮亮亮亮 。
5个位置中选3个位置插入不亮的灯，有C
3 5
种选法.
01 排列组合解题思想方法
若11位同学排队照相，第1排5人，第2排6人，则不同的排法
有
A11 11
种.
直接法
第一步，从11人中选出5人排在第一排有 A151种排法. 第二步，剩下的6人排在第二排有 A66 种排法. 共有 A151 A66 A1111 种排法.
11人排在11个位置共有 A1111种排法.
6人站成1排，甲、乙、丙3人不能站在一起的种数有 144 .
插空法 不相邻问题
甲乙丙
。
将3人排在3个位置有 A33 种排法.
再将甲、乙、丙插在相邻的空位及两旁的4个位置
上，有 A43 排法.
共有 A33 A43 种排法.
06 排列组合解题思想方法
马路上有9盏灯，编号为1,2,3，…9，为节约用电而不影响正常使 用，要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也 不能关掉两端的路灯，问满足要求的关灯方法有多少种？