必修5不等式专题复习
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当x＜0时，y＝x＋ =－（－x－ ）≤－2 =－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
43.（1）解 ，
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。
（2）
当 ，即x＝2时取等号 当x＝2时， 的最大值为8。
44.解析一：
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
题型六：利用基本不等式证明不等式
19.已知 为两两不相等的实数，求证：
20.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
21.已知a、b、c ，且 。求证：
题型七：均值定理实际应用问题：
22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
（6）解： ，
当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时，
（7）解：x ＝x ＝ x·
下面将x， 分别看成两个因式：
x· ≤ ＝ ＝ 即x ＝ ·x ≤
（8）解：法一：a＝ ，ab＝ ·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2 ＝8
∴ab≤18∴y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。
17.（用耐克函数单调性）求函数 的值域。
18.（条件不等式）
（1）若实数满足 ，则 的最小值是.
（2）已知 ，且 ，求 的最小值。
（3）已知x，y为正实数，且x2＋ ＝1，求x 的最大值.
（4）已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.
12.若不等式 对 的所有实数 都成立，求 的取值范围.
13.已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。
（三）基本不等式
题型五：求最值
14.（直接用）求下列函数的值域
（1）y＝3x2＋ （2）y＝x＋
15.（配凑项与系数）
（1）已知 ，求函数 的最大值。
（2）当 时，求 的最大值。
16.（耐克函数型）求 的值域。
（一）解不等式
题型三：解不等式
5.解不等式
6.解不等式 。
7.解不等式
8.不等式 的解集为{x|-1＜x＜2}，则 =_____, b=_______
9.关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为
10.解关于x的不等式
题型四：恒成立问题
11.关于x的不等式ax+ax+1＞0恒成立，则a的取值范围是_____________
必修5不等式专题复习
不等式与不等关系
题型一：不等式的性质
1.对于实数 中，给出下列命题：
① ；② ；
③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；
⑦ ；⑧ ，则 。
其中正确的命题是______
题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
2.设 ， ， ，试比较 的大小
3.比较1+ 与 的大小
4.若 ，则 的大小关系是.
61.解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元
62.则x，y必须满足 ，
63.目标函数为z＝15x＋10y
64.
65.在可行区內的顶点附近z＝f ( x，y )的最大值，
66. 所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。
67.
精心搜集整理，只为你的需要
30. ；
31.当 或 时，1+ ＞ ；当 时，1+ ＜ ；当 时，1+ ＝
32.∵ ∴
（
∴R>Q>P。
33.
34. 或 ；
35. ）；
36.不等式 的解集为{x|-1＜x＜2}，则 =___-6____, b=__6_____
37. ）.
38.解：当a＝0时，不等式的解集为 ；2分
当a≠0时，a(x－ )(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－ )(x－1)＞0
题型九：实际问题
28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大又利润最大为多少
复习――不等式的基本知识参考答案
高中数学必修内容练习---不等式
29.②③⑥⑦⑧；
不等式的解集为 ；6分
当0＜a＜1时，1＜ ，不等式的解集为 ；8分
当a＞1时， ＜1，不等式的解集为 ；10分
当a＝1时，不等式的解为φ．12分
39._____0≤x＜4________
40. ）
4Fra Baidu bibliotek.
42.解：（1）y＝3x2＋ ≥2 ＝ ∴值域为[ ，+∞）
（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2 ＝2；
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2 ∴30－ab≥2
令u＝ 则u2＋2 u－30≤0， －5 ≤u≤3
∴ ≤3 ，ab≤18，∴y≥
47.已知 为两两不相等的实数，求证：
48.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
49.已知a、b、c ，且 。求证：
证明： a、b、c ， 。 。同理 ， 。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。当且仅当 时取等号。
50. 解： 若设污水池长为x米，则宽为 （米）
51.水池外圈周壁长： （米）
52.中间隔墙长： （米）
53.池底面积：200（米2）
54.目标函数：
55.≥
56.4
57.
58.1
59. 。
60.5
（四）线性规划
题型八：目标函数求最值
23.满足不等式组 ，求目标函数 的最大值
24.已知实系数一元二次方程 的两个实根为 、 ,并且 , ．则 的取值范围是
25.已知 满足约束条件： ,则 的最小值是
26.已知变量 （其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为。
27.已知实数 满足 如果目标函数 的最小值为 ，则实数 等于（）
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
45.解：令 ，则
因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。
因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。
所以，所求函数的值域为 。
46.（条件不等式）
（5）解： 都是正数， ≥
当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是6．
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
43.（1）解 ，
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。
（2）
当 ，即x＝2时取等号 当x＝2时， 的最大值为8。
44.解析一：
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
题型六：利用基本不等式证明不等式
19.已知 为两两不相等的实数，求证：
20.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
21.已知a、b、c ，且 。求证：
题型七：均值定理实际应用问题：
22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
（6）解： ，
当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时，
（7）解：x ＝x ＝ x·
下面将x， 分别看成两个因式：
x· ≤ ＝ ＝ 即x ＝ ·x ≤
（8）解：法一：a＝ ，ab＝ ·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2 ＝8
∴ab≤18∴y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。
17.（用耐克函数单调性）求函数 的值域。
18.（条件不等式）
（1）若实数满足 ，则 的最小值是.
（2）已知 ，且 ，求 的最小值。
（3）已知x，y为正实数，且x2＋ ＝1，求x 的最大值.
（4）已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.
12.若不等式 对 的所有实数 都成立，求 的取值范围.
13.已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。
（三）基本不等式
题型五：求最值
14.（直接用）求下列函数的值域
（1）y＝3x2＋ （2）y＝x＋
15.（配凑项与系数）
（1）已知 ，求函数 的最大值。
（2）当 时，求 的最大值。
16.（耐克函数型）求 的值域。
（一）解不等式
题型三：解不等式
5.解不等式
6.解不等式 。
7.解不等式
8.不等式 的解集为{x|-1＜x＜2}，则 =_____, b=_______
9.关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为
10.解关于x的不等式
题型四：恒成立问题
11.关于x的不等式ax+ax+1＞0恒成立，则a的取值范围是_____________
必修5不等式专题复习
不等式与不等关系
题型一：不等式的性质
1.对于实数 中，给出下列命题：
① ；② ；
③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；
⑦ ；⑧ ，则 。
其中正确的命题是______
题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
2.设 ， ， ，试比较 的大小
3.比较1+ 与 的大小
4.若 ，则 的大小关系是.
61.解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元
62.则x，y必须满足 ，
63.目标函数为z＝15x＋10y
64.
65.在可行区內的顶点附近z＝f ( x，y )的最大值，
66. 所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。
67.
精心搜集整理，只为你的需要
30. ；
31.当 或 时，1+ ＞ ；当 时，1+ ＜ ；当 时，1+ ＝
32.∵ ∴
（
∴R>Q>P。
33.
34. 或 ；
35. ）；
36.不等式 的解集为{x|-1＜x＜2}，则 =___-6____, b=__6_____
37. ）.
38.解：当a＝0时，不等式的解集为 ；2分
当a≠0时，a(x－ )(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－ )(x－1)＞0
题型九：实际问题
28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大又利润最大为多少
复习――不等式的基本知识参考答案
高中数学必修内容练习---不等式
29.②③⑥⑦⑧；
不等式的解集为 ；6分
当0＜a＜1时，1＜ ，不等式的解集为 ；8分
当a＞1时， ＜1，不等式的解集为 ；10分
当a＝1时，不等式的解为φ．12分
39._____0≤x＜4________
40. ）
4Fra Baidu bibliotek.
42.解：（1）y＝3x2＋ ≥2 ＝ ∴值域为[ ，+∞）
（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2 ＝2；
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2 ∴30－ab≥2
令u＝ 则u2＋2 u－30≤0， －5 ≤u≤3
∴ ≤3 ，ab≤18，∴y≥
47.已知 为两两不相等的实数，求证：
48.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
49.已知a、b、c ，且 。求证：
证明： a、b、c ， 。 。同理 ， 。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。当且仅当 时取等号。
50. 解： 若设污水池长为x米，则宽为 （米）
51.水池外圈周壁长： （米）
52.中间隔墙长： （米）
53.池底面积：200（米2）
54.目标函数：
55.≥
56.4
57.
58.1
59. 。
60.5
（四）线性规划
题型八：目标函数求最值
23.满足不等式组 ，求目标函数 的最大值
24.已知实系数一元二次方程 的两个实根为 、 ,并且 , ．则 的取值范围是
25.已知 满足约束条件： ,则 的最小值是
26.已知变量 （其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为。
27.已知实数 满足 如果目标函数 的最小值为 ，则实数 等于（）
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
45.解：令 ，则
因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。
因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。
所以，所求函数的值域为 。
46.（条件不等式）
（5）解： 都是正数， ≥
当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是6．