2chapter4(1)正交矩阵与正交变换.
正交矩阵与正交变换浅述
正交矩阵的特征值的模为1；
正交矩阵的实特征值为1或-1； 正交变换的特征值为1或-1。（正交变换见下页“几何性质”）
正交矩阵的几何性质
①标准正交基的过渡矩阵为正交矩阵，此即在力学中广泛应用的“正交变换矩阵”
n维欧氏空间 Vn ( R) 的一组标准正交基 1 , 2 ,, n
满足 (1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A 则 (1 , 2 ,, n )为标准正交基 ，即可推出 A为正交矩阵
正交矩阵的代数性质
性质①：转逆同型
由上式，AAT=ATA=1
又可据AA-1=A-1A=1得A是可逆矩阵；
故，对于正交矩阵，AT=A-1； 性质②：转置矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、Am 均为正交矩阵。 可利用性质①进行证明 性质③：行列式为±1 对ATA=1两边取绝对值，|A|2=|AT||A|=1; 即可得知 性质④：特征值的性质
②行列式取值决定空间变换种类
A为第一类的(旋转)，若|A|=1；(此即正交变换）
A为第二类变换的，若|A|=-1。 ③正交变换不改变向量的夹角和范数
即Ax,Ay>=<x,y>
||Ax||=||x||
有道是：“境自远尘皆入咏，物含妙理总堪寻”。 祝大家学好理论力学，深层次地体悟到数理之美！
正交矩阵与正交变换浅述
武汉大学 弘毅学堂 李奇正 2017年9月7日
正交矩阵的定义
T A (aij ) (1 ,2 , , n ) （1 ,2 , ,n ) R n n
A为正交矩阵
i ' j
1, i j, 1, i j , i j ' i, j 1,2,, n 0, i j, 0, i j ,
正交矩阵与正交化方法
正交矩阵与正交化方法正交矩阵是线性代数中的重要概念，是指满足矩阵的转置矩阵与原矩阵的乘积等于单位矩阵的方阵。
一、正交矩阵的性质正交矩阵具有以下几个重要性质：1.正交矩阵的行列式的值为±12.正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
3.正交矩阵的行向量（列向量）是相互正交的单位向量。
4.正交矩阵的任意两行（列）向量的内积等于0。
正交化方法是将一组线性无关的向量组通过线性变换，得到一组相互正交的向量组的过程。
常用的正交化方法有施密特正交化和正交分解法。
施密特正交化方法是基于施密特正交基的概念，通过一系列线性变换，将一组线性无关的向量组转化为一组正交基。
具体的步骤如下：a)选取第一个向量作为正交基的第一个元素。
b)对于向量组中的其他向量，通过将其与正交基的前面的向量进行正交投影，使其与前面的向量正交。
c)重复上述步骤，直到得到一组相互正交的基向量。
2.正交分解法正交分解法是将一个向量表示为一组正交基向量的线性组合的过程。
具体的步骤如下：a)选取一组正交基向量。
b)计算向量在每个正交基向量上的投影（即向量在每个基向量上的内积）。
c)将每个投影与对应的基向量相乘，并求和，得到向量的正交分解。
三、应用实例正交矩阵和正交化方法在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些应用实例：1.3D图形学正交矩阵在3D图形学中用于旋转和缩放三维物体。
通过将物体的顶点坐标与旋转矩阵相乘，可以实现对物体的旋转操作。
2.特征值问题正交矩阵在解决特征值问题中起到重要作用，可以通过正交变换将原始矩阵对角化，便于求解特征值和特征向量。
3.数据压缩正交矩阵在数据压缩领域具有重要应用。
通过正交变换将数据压缩到低维空间，可以降低数据的维度，提高数据传输和存储的效率。
4.信号处理正交矩阵在信号处理中有着广泛的应用，如正交频分复用技术（OFDM）和正交编码技术。
通过正交变换可以将多个信号进行隔离和恢复，提高信号传输的可靠性。
5.图像处理正交矩阵在图像处理中被用于图像压缩、降噪和图像分析等方面。
正交矩阵与正交变换
正交矩阵与正交变换正交矩阵和正交变换在数学和物理学领域具有重要的地位和应用。
它们被广泛用于描述旋转、镜像、对称性等问题。
本文将介绍正交矩阵和正交变换的概念、性质和应用。
一、正交矩阵的概念和性质正交矩阵是一个实矩阵，其列向量两两正交且长度为1。
简言之，正交矩阵的转置与逆矩阵相等。
正交矩阵的定义可以表示为：若矩阵A的转置与逆矩阵相等，则A为正交矩阵。
由正交矩阵的性质可知，正交矩阵的行向量也是两两正交且长度为1。
正交矩阵的性质还包括以下几点：1. 正交矩阵的行列式等于1或-1；2. 正交矩阵的任意两列（行）满足内积等于0，任意一列（行）的长度为1；3. 正交矩阵的转置等于逆矩阵。
正交矩阵的一个重要应用是在旋转变换中。
将一个向量乘以一个正交矩阵，相当于对该向量进行了旋转变换。
这是因为正交矩阵的列向量构成了一个正交基，可以用于表示旋转方向和角度。
二、正交变换的概念和性质正交变换是指在二维或多维空间中，保持长度和角度不变的线性变换。
正交变换可以由正交矩阵表示，应用于几何学、物理学、图形学等领域。
正交变换的一个典型例子是旋转变换。
通过定义旋转角度和旋转轴，可以得到对应的正交矩阵，然后将该矩阵应用于向量，实现向量的旋转。
正交变换的性质包括：1. 正交变换保持向量长度不变。
即对于向量x，有 ||Tx|| = ||x||，其中T表示正交变换。
2. 正交变换保持向量之间的夹角不变。
即对于向量x和y，有cos(θ) = cos(Tx, Ty)，其中θ表示向量x和y之间的夹角，Tx和Ty表示应用正交变换T后的向量。
三、正交矩阵与正交变换的应用正交矩阵和正交变换在众多学科和领域中具有广泛应用，以下列举几个常见的应用领域：1. 几何学中的坐标变换：正交变换可以实现向量在不同坐标系之间的转换，例如平移、旋转和缩放等操作。
2. 物理学中的对称性：正交矩阵和正交变换被用于描述物理系统的对称性，如空间反演、时间反演等。
3. 图形学中的变换：正交变换被广泛应用于图形学中的三维模型变换和视图变换，实现图形的旋转、缩放和投影等操作。
平面向量的正交变换和正交矩阵
平面向量的正交变换和正交矩阵正文：在数学中，平面向量的正交变换是指将一个向量通过特定的线性变换，使得变换后的向量与原向量相互垂直。
而这种变换可以通过一个特殊的矩阵来表示，即正交矩阵。
1. 平面向量的正交变换平面向量的正交变换是指将向量通过某种变换后，保持向量的长度不变，并且与原向量正交（垂直）。
其中常见的正交变换有旋转、镜像和剪切等。
1.1 旋转变换旋转变换是指将向量绕一个固定的点进行旋转。
对于平面向量(vector a, vector b)，可以将vector a绕向量vector b旋转θ角，得到新的向量vector c。
这个变换可以用下面的公式表示：vector c = cosθ * vector a + sinθ * vector b1.2 镜像变换镜像变换是指将向量通过某一条直线进行镜像。
对于平面向量(vector a, vector b)，可以将vector a关于vector b进行镜像，得到新的向量vector c。
这个变换可以用下面的公式表示：vector c = vector a - 2 * (vector a * vector b / vector b * vector b) * vector b1.3 剪切变换剪切变换是指将向量在某一个方向上进行拉伸或压缩。
对于平面向量(vector a, vector b)，可以将vector a在向量vector b方向上进行剪切，得到新的向量vector c。
这个变换可以用下面的公式表示：vector c = vector a + (vector a * vector b / vector b * vector b) * vector b2. 正交矩阵正交矩阵是一种特殊的方阵，其列向量两两正交，并且长度为1。
在平面向量的正交变换中，可以用正交矩阵来表示。
正交矩阵满足下面的条件：2.1 每一列向量都是单位向量，即长度为1；2.2 任意两列向量都是正交的，即互相垂直。
线性代数中的正交矩阵与正交变换
线性代数中的正交矩阵与正交变换线性代数是现代数学的基础理论之一，它在各个领域中起到了重要的作用。
其中，正交矩阵和正交变换是线性代数中的重要概念之一。
本文将深入探讨正交矩阵和正交变换的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、正交矩阵的定义与性质首先，我们来了解正交矩阵的定义。
在线性代数中，一个方阵A称为正交矩阵，当且仅当满足以下条件：1. A的转置矩阵A^T等于它的逆矩阵A^(-1)。
2. A的所有列向量互为正交向量。
3. A的所有列向量的模长都等于1。
基于上述定义，我们可以推导出正交矩阵的一些重要性质。
1. 正交矩阵的行向量以及列向量都是单位向量，即长度为1的向量。
2. 正交矩阵的行向量两两正交，列向量两两正交。
3. 正交矩阵的转置矩阵就是它的逆矩阵。
二、正交变换的概念与性质正交变换是指保持向量的长度和夹角不变的线性变换。
在线性代数中，我们可以通过正交矩阵进行正交变换。
具体而言，设A是一个正交矩阵，x是一个向量，那么正交变换可以表示为Ax。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换可以将一个向量映射为另一个向量，同时保持向量的长度和夹角不变。
2. 正交变换的矩阵一定是正交矩阵，即正交矩阵其实就是表示正交变换的矩阵。
3. 正交变换是线性变换的一种特殊情况，其满足线性变换的加法和数乘运算。
三、正交矩阵与正交变换在实际问题中的应用正交矩阵与正交变换在实际问题中有广泛的应用。
以下举例说明：1. 三维图形的旋转在三维计算机图形学中，我们经常需要对三维图形进行旋转操作。
而正交矩阵正好可以用来表示三维空间中的旋转。
通过构造一个特定的正交矩阵，我们可以实现对三维图形的旋转变换。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的方法。
正交矩阵在傅里叶变换中起到了重要作用，通过将输入信号与正交矩阵相乘，可以实现频域上的变换，提取信号的频谱信息。
3. 数据压缩与图像处理正交矩阵和正交变换也被广泛应用于数据压缩和图像处理领域。
线性代数中的正交变换与正交矩阵
线性代数中的正交变换与正交矩阵线性代数是一门研究向量空间及其运算规律的数学学科，正交变换和正交矩阵是其中重要的概念之一。
本文将介绍正交变换和正交矩阵的定义、性质以及其在线性代数中的应用。
一、正交变换的定义与性质正交变换是指一种保持向量内积不变的线性变换。
设V是一个n维向量空间，线性变换A:V→V是一个正交变换，当且仅当满足以下条件：1. 对于V中任意两个向量u、v，有(Au)·(Av) = u·v，其中·表示两个向量的内积；2. A是一个满秩的矩阵，即A的行与列都线性无关。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换保持向量的长度不变，即对于任意向量v，有||Av|| = ||v||，其中||v||表示向量的长度；2. 正交变换保持向量之间的夹角不变，即对于任意向量u、v，有夹角(Au, Av) = 夹角(u, v)，其中夹角(u, v)表示向量u和v之间的夹角；3. 正交变换的逆变换也是正交变换，即如果A是一个正交变换，则存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵；4. 正交变换的矩阵表示是一个正交矩阵。
二、正交矩阵的定义与性质正交矩阵是指行列式的值为1或-1的实矩阵。
设A是一个n×n的矩阵，如果A满足以下条件，则称A是一个正交矩阵：1. A的转置矩阵A^T与A的乘积等于单位矩阵，即A^T × A = I；2. A的行（或列）向量构成一组标准正交基。
正交矩阵具有以下重要性质：1. 正交矩阵乘积依然是一个正交矩阵，即如果A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；2. 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即如果A是一个正交矩阵，则A^T是其逆矩阵；3. 正交矩阵的行（或列）向量是一组标准正交基，即正交矩阵的行（或列）向量互相正交且长度为1；4. 正交矩阵的行列式的值为1或-1，即|A| = 1或|A| = -1。
三、正交变换与正交矩阵的应用正交变换和正交矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
正交变换与正交矩阵
正交变换与正交矩阵正交变换是线性代数中的重要概念，它在图像处理、三维计算机图形学和信号处理等领域中得到广泛应用。
而正交矩阵则是与正交变换密切相关的基本概念。
本文将详细介绍正交变换和正交矩阵的概念、性质以及应用，并探讨它们之间的关系。
一、正交变换的概念正交变换是指保持向量内积和向量长度不变的线性变换。
假设$V$是一个$n$维实内积空间，对于任意的向量$\mathbf{x},\mathbf{y} \in V$和标量$a$，满足以下条件的线性变换$T$称为正交变换：1. 向量内积不变：$(T\mathbf{x}) \cdot (T\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$2. 向量长度不变：$||T\mathbf{x}|| = ||\mathbf{x}||$二、正交矩阵的定义与性质正交矩阵是一种特殊的方阵，满足以下条件：1. 矩阵的列向量是正交的单位向量。
2. 矩阵的行向量也是正交的单位向量。
3. 矩阵的转置等于其逆矩阵。
正交矩阵的性质如下：1. 正交矩阵的行列式的绝对值等于1。
2. 正交矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵。
3. 正交矩阵乘积仍为正交矩阵。
4. 正交矩阵具有保持向量内积和向量长度不变的性质。
三、正交变换与正交矩阵的关系正交变换可以用正交矩阵来表示，反之亦然。
对于给定的正交变换$T$，存在一个正交矩阵$Q$，使得$\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$，其中$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$表示向量。
四、正交变换与正交矩阵的应用正交变换与正交矩阵在许多领域中有着广泛的应用。
以下列举了几个典型的应用：1. 图像处理：正交变换可以用于图像的平移、旋转和缩放等操作，以及图像的主成分分析等。
2. 三维计算机图形学：正交变换可以实现三维物体的旋转、平移和投影等操作，用于生成逼真的视觉效果。
3. 信号处理：正交变换可以用于信号的滤波、降噪和频谱分析等，提高信号的质量和准确性。
4.1正交矩阵与正交变换
3.怎样构造正交矩阵
1 1 2 2 1 1 2 , 2 为前两列的正交阵 例4.1.3求以1 . 1 2 1 2 2 1 1 12 1n T T T 2 1 2 2 2 n E T T T n 1 n2 nn
1, 当 i j; i ij 0, 当i j
T j
i , j 1,2,, n
例1
判别下列矩阵是否为正交阵．
1 9 2 8 9 4 9 8 9 1 9 4 9 4 9 4 . 9 7 9
1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 2 , 13 1 2 1
4.1 正交矩阵与正交变换 1. 正交矩阵
定义4
若n阶方阵A满足 AT A E (或AAT E ) 即A1 AT , 则 称A为 正交矩阵.
2.判别矩阵为正交矩阵的方法
定理
A为正交矩阵的充要条件是 A的列(行)向量都 是单位向量且两两正交．
证明 A AT a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2
4 9 4 9 7 9
1 9 8 9 4 9
4 9 4 9 7 9
1 9 8 9 4 9
8 9 1 9 4 9
4 9 1 4 0 9 0 7 9
E a1n a11 a 21 a 2 n a12 a 22 a nn a1 n a 2 n
a n1 an2 E a nn
正交变换的原理及应用
正交变换的原理及应用一、什么是正交变换？正交变换是线性代数中的一个重要概念，它是指对向量进行一系列矩阵变换的过程，这些变换中每一步都是正交的。
正交变换在许多领域中有广泛的应用，包括图像处理、信号处理、数据压缩等。
在数学上，正交变换是指一个变换矩阵满足两两正交、且行列式为1的特殊矩阵。
正交矩阵的特点是它的转置等于它的逆，即OT=O^-1，其中O为正交矩阵。
二、正交变换的原理正交变换可以通过矩阵乘法来实现。
给定一个向量x，进行一次正交变换可以表示为：y = Ox其中，O是一个正交矩阵，y是变换后的向量。
正交变换保持向量的长度和角度不变，因此在二维平面上，正交变换可以实现旋转、缩放、反射等操作。
三、正交变换的应用正交变换在许多领域中都有广泛的应用。
1. 图像处理图像处理中经常使用正交变换对图像进行变换和分析。
其中最常用的正交变换是傅里叶变换和小波变换。
傅里叶变换将图像从时域转换到频域，可以用于图像的滤波、去噪等操作。
小波变换则可以将图像分解成不同尺度的频谱，用于图像的压缩和特征提取。
2. 信号处理正交变换在信号处理中有广泛的应用。
傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，用于信号的频谱分析和滤波。
小波变换则可以对非平稳信号进行分析和处理，广泛应用于语音信号处理、图像处理等。
3. 数据压缩正交变换在数据压缩中也有着重要的应用。
例如，JPEG图像压缩算法中使用了离散余弦变换（DCT），将图像从空域转换到频域，然后将高频系数进行量化和编码，从而实现图像的压缩。
4. 量子力学正交变换在量子力学中是一个基本概念。
量子力学中的态矢量可以通过正交变换表示为不同的基矢量的线性组合。
正交变换可以将一个物理态从一个表象转换到另一个表象，描述其在不同基矢量下的表示。
5. 机器学习在机器学习中，正交变换被广泛应用于特征提取和降维。
主成分分析（PCA）是一种常用的正交变换方法，它通过找到数据中方差最大的方向进行特征提取和降维。
总结正交变换是一种重要的线性代数概念，它通过矩阵乘法对向量进行变换。
正交矩阵与正交变换
正交矩阵与正交变换正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与正交变换密不可分。
正交矩阵是一个方阵，其列向量是单位正交的，即彼此正交且模长为1。
正交变换是指将空间中的向量通过某种线性变换映射到另一个向量空间，并保持向量间的角度和长度关系不变。
正交矩阵正交矩阵是一个方阵，满足以下条件： 1. 矩阵的每一列都是单位正交的，即列向量之间两两正交，且每个列向量的模长为1。
2. 矩阵的每一行也是单位正交的，即行向量之间两两正交，且每个行向量的模长为1。
3. 矩阵的转置等于其逆，即A T=A−1。
正交矩阵的性质：1. 正交矩阵的行列式的值为1或-1。
2. 正交矩阵是可逆的，其逆矩阵也是正交的。
3. 正交矩阵的转置也是正交矩阵。
4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
正交矩阵在许多领域中有重要的应用，如图像处理、信号处理、几何变换等。
通过正交矩阵，我们可以实现旋转、镜像、投影等线性变换，从而处理和分析各种数据。
正交变换正交变换是指保持向量间的长度和夹角关系不变的线性变换。
在几何学中，正交变换是保持欧几里德空间中距离和内积不变的变换。
常见的正交变换包括旋转、镜像和投影等。
正交变换的特点： 1. 正交变换是保长度性的，即向量的长度在变换前后保持不变。
2. 正交变换是保角度性的，即向量之间的夹角在变换前后保持不变。
正交变换在图形学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。
通过正交变换，我们可以实现坐标系之间的转换、数据的降维和压缩等操作，为数据处理和分析提供了便利。
总结正交矩阵与正交变换是线性代数和几何学中重要的概念，它们在数据处理、图像处理、物理学等领域有着广泛的应用。
正交矩阵具有列向量和行向量单位正交的特性，而正交变换是保持向量长度和夹角不变的线性变换。
通过深入了解正交矩阵与正交变换，我们可以更好地理解和应用线性代数的知识，为问题求解和数据处理提供更多可能性。
线性代数中的正交变换与正交矩阵
线性代数中的正交变换与正交矩阵线性代数是数学的一个重要分支，其中的正交变换与正交矩阵是其核心概念之一。
本文将详细探讨正交变换与正交矩阵的定义、性质以及应用。
一、正交变换的定义和性质在线性代数中，正交变换指的是在向量空间中保持向量长度和夹角不变的线性变换。
具体而言，给定一个向量空间V和其上的内积，一个线性变换T称为正交变换，如果对于任意的向量x和y，其满足内积不变性：⟨Tx, Ty⟩ = ⟨x, y⟩正交变换具有以下性质：1. 正交变换保持向量的长度不变，即对于向量x，有∥Tx∥ =∥x∥。
2. 正交变换保持向量之间的夹角，即对于向量x和y，有⟨Tx, Ty⟩= ⟨x, y⟩。
3. 若正交变换T将向量x映射为零向量，则原向量x也为零向量。
二、正交矩阵的定义和性质正交矩阵是一个满足以下条件的方阵：1. 矩阵的每一列都是单位向量。
2. 任意两列之间的内积等于零，即矩阵的列向量两两正交。
3. 矩阵的每一行都是单位向量。
4. 矩阵的转置等于其逆矩阵，即A^T A = AA^T = I。
正交矩阵具有以下性质：1. 正交矩阵的行向量组也为正交向量组。
2. 正交矩阵的列向量组也为正交向量组。
3. 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
4. 正交矩阵的行列式的值为±1。
三、正交变换与正交矩阵的应用正交变换和正交矩阵在许多领域中都有广泛的应用，以下列举其中的几个重要应用：1. 几何变换：正交变换可以用来进行平移、旋转和镜像等几何变换操作。
例如，二维平面上的旋转可以通过乘以一个旋转矩阵实现。
2. 物体建模：在计算机图形学中，正交矩阵常用于表示物体的旋转和缩放变换，用来实现物体模型的变换和渲染。
3. 信号处理：正交矩阵可以用来对信号进行变换和分析，如傅里叶变换和卡拉OK变换。
4. 数据压缩：正交矩阵可以用于数据压缩领域，例如JPEG图像压缩中的离散余弦变换。
5. 特征值问题：正交变换与正交矩阵在求解特征值问题中起到关键作用，例如用于主成分分析和奇异值分解等。
线性代数中的正交矩阵与正交变换
线性代数中的正交矩阵与正交变换线性代数是研究向量空间及其上的线性变换的数学分支。
在线性代数的学习中，正交矩阵与正交变换是重要概念。
本文将介绍正交矩阵与正交变换的基本定义、性质以及应用，并探讨它们在实际问题中的重要性。
一、正交矩阵的定义与性质在线性代数中，一个方阵称为正交矩阵，如果它的转置矩阵等于它的逆矩阵。
也就是说，对于一个n阶方阵A，如果满足A^T * A = I （单位矩阵），则称A为正交矩阵。
正交矩阵具有一些重要的性质：1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量：对于正交矩阵A的每一行（列）向量，它们的模长都为1，即 ||A_i|| = 1，其中A_i表示矩阵A 的第i行（列）向量。
2. 正交矩阵的行（列）向量两两正交：对于正交矩阵A的任意不同的两个行（列）向量A_i和A_j，它们的内积为0，即 A_i * A_j = 0。
3. 正交矩阵的行（列）向量构成一组正交基：正交矩阵的行（列）向量线性无关且构成一组正交基。
这意味着用正交矩阵的行（列）向量作为基向量，可以表示出整个向量空间中的任意向量。
二、正交变换的定义与性质正交变换是指在n维欧几里德空间中，通过一个正交矩阵A对向量进行变换的线性变换。
正交变换的具体定义是：对于一个n维向量x，经过正交矩阵A的变换，得到变换后的向量y=A*x。
正交变换的一些重要性质如下：1. 正交变换保持向量的模长：对于任意向量x，经过正交变换后得到的向量y，它们的模长是相等的，即 ||y|| = ||x||。
2. 正交变换保持向量的夹角：对于两个向量x和y，它们的夹角在经过正交变换后保持不变，即 <x, y> = <A*x, A*y>。
3. 正交变换保持向量的正交关系：对于两个正交向量x和y，经过正交变换后它们仍然是正交的，即 <A*x, A*y> = 0。
正交变换在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，正交变换可以用于实现物体的旋转、缩放和平移等操作。
正交矩阵与正交变换
sin 1 0 cos 0 1
2 1 6 1 6 6 1 3 1 1 0 3 1 0 3
所以 A为正交阵
BB
T
0 2 6 1 3
0 1 0
0 0 1
cos AA sin
T
0 2 B 6 1 3
1 2 1 6 1 3
1 2 1 6 1 3
sin cos cos sin
1 2 1 6 1 3 1 0 2 1 1 6 2 1 1 3 2
第三节 正交矩阵与正交变换
一 正交矩阵: p115定义4 若n阶方阵A满足
A A I
T
AT A1
正交阵必可逆 反之？
则称A为n阶正交矩阵 注:此时 A AT I也成立
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铃
例1 证明
cos A sin
sin cos
为正交阵 证明
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所以 C不是正交阵
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铃
二 方阵为正交矩阵的条件 定理 方阵A为正交矩阵 A的列向量组是一组规范（标准）正交基 或 A的行向量组是一组规范（标准）正交基
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铃
例1
验证下列矩阵是否为正交矩阵.
1 2 1 3 1 2 1
B 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2n
正交变换与正交矩阵
二、等价条件 定理 2.1 设 A 是 n 维欧氏空间 V 的一个线性变换 , 则下列命题等价: 1)A是正交变换； 2)A保持向量的长度不变,即对于V，|A|=||； 3)A把V的标准正交基变为V的标准正交基； 4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 证：1）2）对于V,由(A，A)=(，), 即得： |A|=||
3)4）设1，2，…，n是V的标准正交基, A(1，2，…，n)=(A1，A2，…，An) = (1，2，…，n)A 由3), A1，A2，…，An是V的标准正交基, 故A可看作是由标准正交基1，2，…，n到标 准正交基A1，A2，…，An的过渡矩阵,A是正 交矩阵.
1
1 A A 1 A A 1 AT AT 1 A A 及 T T A A A A A A 2 2 A A 2 2 1 2 AT A 0 E 0 T 2 0 2A A 0 E
4)1）设1，2，…，n是V的标准正交基,且A 在此基下的矩阵A为正交矩阵. 由 (A1 ， A2 ， … ， An)= (1 ， 2 ， … ， n)A,知A1，A2，…，An也是V的标准正交基, 设=x11+x22+…+xnn,=y11+y22+…+ynn, 则 A=x1A1+x2A2+…+xnAn A=y1A1+y2A2+…+ynAn (A,A)= x1y1+x2y2+…+xnyn (,)= x1y1+x2y2+…+xnyn 所以 (A，A)=(，),故A为正交变换.
2）3）设1，2，…，n是V的任一标准正交 基,记i+j=V. 由|A|=||或(A，A)=(,)得 (A(i+j)，A(i+j))=(i+j， i+j） 而 (A(i+j)，A(i+j)) =(Ai，Ai)+2(Ai，Aj)+(Aj，j) =(i，i)+2(i，j)+(j，j) (i+j， i+j）=(i，i)+2(i，j)+(j，j) 0, i j ( A i , A j ) ( i , j ) 1, i j 故 A1，A2，…，An是V的一组标准正交基.
正交矩阵与正交变换的性质与应用
正交矩阵与正交变换的性质与应用正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在几何和物理学等领域中具有广泛的应用。
正交矩阵的性质及其在正交变换中的应用使其成为了相关领域中必不可少的工具。
本文将从正交矩阵的定义开始，详细介绍正交矩阵的性质，并讨论其在几何变换以及信号处理领域中的应用。
正交矩阵是一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。
用数学符号表示，如果一个方阵A满足A^T * A = I，那么A就是一个正交矩阵，其中A^T表示A的转置，I表示单位矩阵。
正交矩阵具有许多重要的性质。
首先，正交矩阵的逆矩阵是它的转置。
也就是说，对于一个正交矩阵A，A^T * A = A * A^T = I，则A的逆矩阵A^(-1) = A^T。
这一性质使得正交矩阵在求解线性方程组和计算矩阵的逆等问题中非常有用。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一组标准正交基。
这就意味着正交矩阵可以用来描述坐标系的旋转和反射变换。
正交变换是一种保持向量长度和角度不变的变换，它在几何学中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，正交矩阵被用来进行三维物体的旋转和放缩操作。
通过将对象的顶点坐标与正交矩阵相乘，可以得到旋转后的新坐标。
正交矩阵在信号处理领域也有着重要的应用。
例如，离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的计算通常使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法来加速运算。
而FFT算法的核心思想就是利用正交矩阵的性质，将O(n^2)的计算复杂度降低到O(nlogn)。
此外，正交矩阵还可以用于编码和解码的错误检测和纠正。
在通信系统中，为了保证传输的数据能够正确无误地到达接收端，常常需要使用一些冗余的编码技术。
而正交矩阵的性质使得其在错误检测和纠正方面有着良好的效果。
综上所述，正交矩阵具有重要的性质和广泛的应用。
它不仅可以用来进行几何变换和信号处理，还可以应用于编码和解码等领域。
正交矩阵与正交变换的性质及应用
正交矩阵与正交变换的性质及应用程祥河南大学数学与信息科学学院 开封 475004摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广. 关键词:正交矩阵;正交变换;性质1.1 正交矩阵的的定义及其判定定义1 n 阶实矩阵A , 若满足E A A =', 则称A 为正交矩阵. 性质1 A 为正交矩阵1'-=⇔A A .性质2 A 为正交矩阵⇔'1,,,1,2,,0,,i j i j i j n i j αα=⎧==⎨≠⎩.的列向量为A i α.性质3 A 为正交矩阵⇔'1,,1,2,...0,,i j i j i j n i j ββ=⎧===⎨≠⎩.的行向量为A i β.1.2 正交矩阵的性质性质1]3[ 若A 为正交矩阵则*'1,,A A A -均为正交矩阵. 证明 有E A A A A E A A A A ====---1''11''''')()(,)()(,E A A A A ==*''**)()(,可得*'1,,A A A -均为正交矩阵.性质2 若A 为正交矩阵则11)det(-=或A 证明 对E A A ='两边同取行列式,可得1))(det(2=A ,故11)det(-=或A .性质3]4[ 若B A ,为正交矩阵，则AB 也为正交矩阵. 证明 有E AA A ABB AB AB ===''''))((, 可得AB 为正交矩阵.性质4 正交矩阵的特征值的模为1.证明 设A 为正交矩阵，复数λ为其任一特征值X 为其对应的特征向量，即X AX λ=，0≠X两边取转置'''X A X λ=，由此得X X AX A X λλ'''=,有E A A ='可得X X X X '2'λ=,从而1=λ.性质5 正交矩阵的实特征值为1±.性质6]5[ 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1. 证明 设A 为n 阶正交矩阵且1)det(=A ，n 为奇数 则''')()1()1(A E A E A A A A E n n --=--=-=-A E n --=)1(A E --=, 故0=-A E ,即A 有特征值1.性质7 行列式为-1的正交矩阵必有特征值-1. 证明 设A 为正交矩阵且1)det(-=A 则''')(A E A A E A A A A A E +=+=+=+A E +-=, 故0=+A E ,即A 有特征值-1.性质8]6[ 设λ为正交矩阵A 的特征值，则1-λ也为A 的特征值. 证明 因λ为A 的特征值故存在特征向量λααα=A 使得 从而λαα''A A A =,得αλα1'-=A ,即1-λ为'A 的特征值, 从而1-λ也为A 的特征值.性质9]8[ 设A 为一n 阶正交矩阵，有一特征值为)0(≠+ββαi ，相应的特征向量为iy x +，则.0,'''==xy y y x x 证明 有))(()(iy x i iy x A ++=+βα, 得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αββαy xy x A ,两边转置得⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''y x A y x αββα, 令y x Z y y Y x x X ''',,===,故⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Y Z Z X Y Z Z Xαββααββα, 计算可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--+--+Y Z Z XZ X Y Y X Z Z Y X Z Z Z Y X αββααββααββααββα2)()(222222222, 比较第一行元素可知Z Y X αββα2)1(22=+-,)()1(22Y X Z -=-+αβαβ,又A 为正交矩阵，有性质4知122=+βα,代入并注意到0≠β有)(2Y X Z -=-βα, )(2Y X Z -=αβ,可得0))((22=-+Y X βα即Y X =,易得0=Z ,从而0,'''==xy y y x x .下面举具体例子说明正交矩阵上述性质的应用.例1]1[ 证明：不存在正交矩阵22,B AB A B A +=使得. 证明 设有正交矩阵22,B AB A B A +=使得,则'22''',,B A B A B A 以及都是正交矩阵, 且B A B A B A B A +=-='22',,故B A B A +-,为正交矩阵,从而B A A B E B A B A E '-'-='--=2))((, B A A B E B A B A E '+'+='++=2))((,两式相加，得E E 42=,矛盾 故得证.例2 设1)(,0,≤+=+*B A r B A n B A 证明阶正交方阵且为 证明 因B A ,为正交方阵，故1,±=='A E A A ,又A B B A -==+估,0,从而12-=-='='A B A B A ,得B A '有特征值-1,故0)1('='+-='--B A AA B A E n ,即0,0)1()1('=+=+-='+-B A B A A B A A n n ,因此1)(≤+*B A r .例3]1[ 设1=A A 为一三阶正交方阵且证明：存在一实数31,≤≤-k k 使得023=-+-E kA kA A .证明 设321λλλ，，的三个特征值分别为A 则32131322123213)()()(λλλλλλλλλλλλλλλλλ-+++++-=-=A E f , 因为A 为奇数阶正交矩阵且1=A , 故A 有特征值1，不妨设11=λ则122321===A λλλλλ,于是32313221323211,1λλλλλλλλλλλλλ++=++++=++,从而1)(23-+-=-=λλλλλk k A E f ,其中),(13232为实数或共轭虚数λλλλ++=k , 有因正交矩阵的特征值的模为1, 故323232)(λλλλλλ+≤+≤+-,得2232≤+≤-λλ,于是31≤≤-k ,从而023=-+-E kA kA A ,31≤≤-k .例4]7[有椭球面1222222=++cz b y a x 的中心，引三条两两垂直的射线，分交曲面于点321,,P P P ，设332211,,r OP r OP r OP ===.证明：222232221111111c b a r r r ++=++. 证明 设i i i i OP νμλ,,的方向余弦为， 31≤≤i 则()i i i i i i i r r r P νμλ,,点坐标为，且1222=++i i i νμλ,代入曲面方程可得22222221c b a r ii i iνμλ++=, 故223222122322212232221232221111c b a r r r νννμμμλλλ++++++++=++, 有321,,OP OP OP 两两垂直可得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333222111νμλνμλνμλ为正交矩阵, 故1,1,1232221232221232221=++=++=++νννμμμλλλ,从而有222232221111111c b a r r r ++=++. 2.1正交变换的定义及等价条件定义2：欧氏空间V 的线性变换T 称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的V ∈βα,，都有),(),(βαβα=T T .正交变换可以从几个不同的方面来加以刻画.定理]2[ 设T 是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面的四个命题是相互等价的：(1) T 是正交变换；（2）T 保持向量的长度不变，即对于ααα=∈T V ,；（3）如果n εεε ,,21是标准正交基，那么n T T T εεε,,,21 也是标准正交基；（4）T 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 2.2正交变换的性质和应用由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此正交矩阵性质可以平 移到正交变换上来.下面通过具体例子说明其应用.例5]2[ 设T 是欧氏空间的一个变换，证明：如果T 是保持内积不变.即对于),(),(,,βαβαβα=∈T T V ，那么它一定是线性的，因而它是正交变换. 证：先证：.)(βαβαT T T +=+由条件得,0),(2),(),(),(2),(2),(),(2),(),()),((2)),((2))(),(())(,)((=++++-+-++=++++-+-++=--+--+βαββααββααβαβαβαβαββααββααβαβαβαβαβαβαβαT T T T T T T T T T T T T T T T T T从而,)(,0)(βαβαβαβαT T T T T T +=+=--+再证：).()(ααkT k T =同理，由于.).()(,0)()(0),(),(),(),(),()),(())(,())(),(())()(),()((222是线性变换，得证故T T k k T T k k T k k k k k k T T k T k T k k T T k k T k T kT k T kT k T αααααααααααααααααααααααα==-=+--=+--=--例6 设m ααα,,,21 与m βββ,,,21 是n 维欧氏空间V 的两组向量，证明：存在正交变换T 使),,1(m i T i i ==βα的充要条件是m j i j i j i ,,1,),,(),( ==ββαα 证明 设有正交变换).,1(,m i T T i i ==βα使得，则 .,,1,),,(),(),(m j i T T j i j i j i ===ββαααα证 设.,,1,),,(),(m j i j i j i ==ββαα成立.令),,,,(),,,,(212211m m L V L V βββααα ==则.2211⊥⊥⊕=⊕=V V V V V但易知m m m m k k k k ββααϕ++→++ 11111:是1V 到2V 的同构映射.于是dim )(1V =)dim (2V .从而得，)dim()dim(21⊥⊥=V V ,令2ϕ为⊥1V 到⊥2V 得一个同构映射，则对,V ∈γ令⊥∈∈+=12,1121,V V γγγγγ,易知2211:γϕγϕγ+→T 是V 的正交变换且由0+=i i αα得m i T i i i ,,1,021 ==+=βϕαϕα例7]1[设21,T T 是n 维欧氏空间V 的两个线性变换，))(,(),(2211V T T T T ∈∀=ααααα，证明：存在T TT T V =1使得的正交变换.证明 令)(),(2211V T V V T V ==则易知)(:211V T T ∈∀−→−αααϕ,是的一个同构映射与21V V ，因此有)dim ()dim (212211⊥⊥⊥⊥=⊕=⊕=V V V V V V V 得,令知的一个同构映射，则易与是⊥⊥212V V ϕ),,(:2211212211V V V T ∈∈∈+=+−→−ααααααϕαϕα,是V 的正交变换，且对任意V ∈β有，而0,)(11111+==∈αααT T V V T T故ααϕαα21111)()(T T T T TT ===,因此T TT =1.参考文献[1]杨子胥. 高等代数精选习题[M].高等教育出版社，2008.[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].高 等教育出版社，2003.9.[3]刘志明.关于正交矩阵性质的探讨[J].重庆师范学院学报(自然科学版),2000，第17卷增刊.[4]吴险峰，张晓林.正交矩阵的进一步探讨[J].齐齐哈尔大学学报，2008，第14卷第6期.[5]戴立辉，王泽文，刘龙章.正交矩阵的若干性质[J].华东地质学院学报，2002，第25卷第3 期.[6]涂文彪.正交矩阵的进一步推广及性质[J].蒙自师专学报，1992，总22期. [7]吕林根，许子道.解析几何(第四版)[M].高等教育出版社，2006.5.[8]胡邦.研究生入学考试考点解析与真题详解[M] .电子工业出版社，2008.。
平面向量的坐标正交变换与正交变换矩阵
平面向量的坐标正交变换与正交变换矩阵平面向量的坐标正交变换是指通过线性变换将一个平面上的向量的坐标表示从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。
正交变换是指在向量变换的过程中保持向量间的内积不变的线性变换。
在平面向量的坐标正交变换中，我们可以利用矩阵的形式来表示变换的过程。
这样的矩阵被称为正交变换矩阵，它具有一些特殊的性质，可以有效地描述向量的变换。
首先，我们来探讨平面向量在直角坐标系中的表示。
在二维平面中，我们通常采用笛卡尔坐标系来表示向量，其中一个向量分为横坐标和纵坐标两个分量。
设一个向量V在直角坐标系下的表示为(Vx, Vy)，其中Vx表示横坐标分量，Vy表示纵坐标分量。
假设我们有一个正交变换矩阵A，将向量V的表示从直角坐标系变换到另一个坐标系下的表示。
那么向量V在新坐标系下的表示为(A * V)，其中A * V表示矩阵A与向量V的乘积。
在平面向量的坐标正交变换中，正交变换矩阵A具有以下性质：1. 矩阵A的逆矩阵与其转置相等，即A的逆矩阵等于A的转置，记作A^-1 = A^T。
这意味着正交变换矩阵是正交矩阵。
2. 正交变换矩阵的行向量和列向量都是单位向量，即每个向量的模长为1。
3. 正交变换矩阵的行向量两两正交，即任意两个行向量的内积为0。
4. 正交变换矩阵的列向量两两正交，即任意两个列向量的内积为0。
通过正交变换矩阵A，我们可以实现向量在坐标系之间的转换。
如果我们知道一个向量在直角坐标系下的表示(Vx, Vy)，想要求它在新坐标系下的表示，我们可以利用正交变换矩阵A进行如下计算：(A * V) = (A * Vx, A * Vy)，其中(A * Vx, A * Vy)表示向量在新坐标系下的表示。
下面我们举例说明平面向量的坐标正交变换与正交变换矩阵的应用。
例1：设有一个平面向量V(3, 4)，求它在正交变换矩阵A = [1 0; 0 -1] 下的表示。
解：正交变换矩阵A的转置为A^T = [1 0; 0 -1]，由于A是正交矩阵，所以A的逆矩阵等于其转置，即A^-1 = A^T = [1 0; 0 -1]。
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教学要求：
1. 了解正交变换与正交矩阵的概念以及它们的 性质.
一. 正交矩阵的定义与性质 二. 正交变换
一. 正交矩阵的定义与性质 1. 定义 若n阶方阵 A满足 AA E,则称 A为正交矩阵. 2. 性质 (1) A 1; ( AA E, AA 1, A 2 1.) (2) A, B为正交矩阵,则AB也是正交矩阵;
an1
a12 a22
an2
a1n
a2n
(1,2 ,
,n)
ann
a11
则
A
a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
1 2
n
1
AA E 2 1,2, ,n E
n
(11,11 )1(2 1,2 ) 1n (1,n )
(22,11 )2(2 2,2
ex3. 求以1 (1,1,1,1),2 (1,1,1,1)
为前两列的正交矩阵.
Method1.取3 (1,0,0,0),4 (0,0,0,1)
显然1,2,3 ,4线性无关.
正交化, 取1 1 (1,1,1,1),
则2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
(1,1,1,1),
3
3
(3 , (1,
1 ) 1 )
1
(3 , (2,
2) 2)
2
(1 2
,
1 ,0,0), 2
4
(04,0,((1241,,,12)11.))
1
(4 , 2 ) (2, 2 )
2
(4 , 3 ) (3, 3 )
3
单位化,
p1
(1 2
,
1 2
,
1, 2
1 ), 2
p2
(1, 2
1 2
,
1 2
,
1 ), 2
p3 (
2 , 2
(
2, 2
2 ,0,0), 2
p4
(0,0,
2 , 2
2 ). 2
1 12
1
2 1
2 2 2
0
0
P 2 2 2
.
1 2
1 2
0
2 2
1 2
1 2
0
2 2
二. 正交变换 定义. 若P为正交矩阵, 则线性变换y=Px称为正交变换. 定理. 正交变换不改变向量的长度, 也不改变两向量间
的内积及夹角. Proof. 设y Px为正交变换, 则 PP E,
2 ,0,0), 2
p4 (0,0,
2, 2
2 ). 2
1 1 2
12
2 1
2 2
0
0
P 2 2
2
.
1 2
1 2
0
2 2
1 2
1 2
0
2 2
Method2.
设 ( x1, x2, x3, x4 )与1,2正交,则
x1 x2 x3 x4 0
x1
x2
x3
x4
0
A 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1
)
2 n
(2E,
n
)
E
(nn,11) n(2 n,2 ) nn (n,n )
(iபைடு நூலகம்
,
j
)
1, 0,
i j i j
i, j 1,2, , n.
ex1. 下列矩阵是不是正交矩阵：
1
2 1
(1)
6 1
2
2
3
11
22 11
62
1 0 2
2 2
3
2
是
Solution.
1
2 5
6 0
,
2
( ( AB)( AB) B( AA)B BB E.) (3) A是正交矩阵 A1 A; ( AA E.) (4) A是正交矩阵 A也是正交矩阵;
( ( A)A AA AA1 E.)
(5) 方阵A是正交矩阵 A的列( 行)向量组是正交的单位向量组.
Proof.
a11
设
A
a21
6
3 0 4 (2) 1 1 2.
2 0 1 不是
ex2. 若A为正交矩阵,则A*也是正交矩阵. Proof. A为正交矩阵, A1 A, A 1.
又 A* A A1 A A,
( A* )A* A A1 A A1
A A A A1
A A A A1 A 2 AA1
E.
y yy (Px)Px
xPPx xx x . The end
x1 x2
x2 x2
x3
x4
x4 x4
x1 1 0
x2 x3
x2
1 0
x4
0 1
x4 0 1
取3 (1,1,0,0),4 (0,0,1,1).
单位化,
p1
(1 2
,
1 2
,
1, 2
1 ), 2
p2
(1, 2
1 2
,
1 2
,
1 ), 2
p3