第01章向量代数与空间解析几何共62页文档
空间解析几何与向量代数
第八章 空间解析几何与向量代数一、基本要求及重点、难点1．基本要求（1）了解空间直角坐标系，熟悉坐标系中特殊点的坐标及两点间的距离公式。
（2）掌握向量概念，熟悉向量的线性运算。
（3）掌握向量的数量积和向量积概念、坐标表示，掌握向量平行和垂直的判别条件。
（4）掌握平面的点法式方程和一般式方程，会求点到平面的距离（5）掌握空间直线的对称式方程、参数式方程和一般式方程，会进行方程间的互化。
（6）会用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系。
（7）了解曲面方程的概念。
知道常用二次曲面（如球面、椭球面、旋转抛物面及圆锥面等）的方程及其图形。
（8）会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。
（9）了解空间曲线的参数式方程和一般式方程，会求简单空间曲线在坐标平面上的投影。
2．重点及难点（1）重点：理解向量的概念与各种运算，用向量代数方法掌握平面和空间直线方程。
（2）难点：用向量代数方法来研究平面与直线问题，培养空间图形的想象能力。
二、内容概述1．向量概念的基本要点（1）向量定义：既有大小又有方向的量。
（2）重要概念：单位向量、零向量、负向量、向径、自由向量、相等向量。
（3）向量的坐标表达式：{}z y x z y x a a a k a j a i a a ,,=++=，其中z y x a a a ,,分别为向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影。
（4）向量的模与方向余弦：222z y x a a a a ++=； 222cos zy x xx a a a a aa ++== α，222cos zy x y y a a a a a a ++== β， 222c o s z y x zz a a a a a a ++== γ2．投影定理（1）),cos(Prj b a b b a=（2）)(Prj )(Prj )(Prj )(Prj 2121n a a a n ab b b b b b+++=+++3．向量的线性运算设a {}z y x a a a ,,=，b {}z y x b b b ,,=，c{}z y x c c c ,,=（1）向量的加减法：平行四边形法则，三角形法则坐标表达式：b a+{}z z y y x x b a b a b a +++=,,（2）向量的数乘：设λ是数，则⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<>==00λλλλλ反向，当与同向，当与方向：大小：a a a a a坐标表达式：aλ{}z y x a a a λλλ,,=运算规律：a a )()(λμμλ=，a a a μλμλ+=+)(，b a b aλλλ+=+)( 4．向量的乘法（1）向量的数量积：定义式：),cos(b a b a b a=⋅坐标表达式：=⋅b az z y y x x b a b a b a ++运算规律：a b b a ⋅=⋅，b a b a ⋅=⋅)()(λλ，c a b a c b a⋅+⋅=+⋅)(常用应用：a a a⋅=， ba b a b a ⋅=),c o s(， ab a b a ⋅=Prj ，0=⋅⇔⊥b a b a（2）向量的向量积定义式：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=⨯确定。
第一章 向量代数与空间解析几何 第二节 向量的坐标表示
cos cos cos 1
2 2 2
特殊地：单位向量的方向余弦为
a 0 a {cos , cos , cos }. |a |
- 19 -
第二节
向量的坐标表示
第 七 章
2 向量的加减法、数乘向量的运算的坐标表达式 设 a { x 1 , y 1 , z 1 }, b { x 2 , y 2 , z 2 },
x , y , z 轴正向的单位向量.
k
R
M
j
Q
y
N
OR xi ,
同理存在
a xi yj zk
- 14 -
第二节
向量的坐标表示
称向量的这种表示法为按基本单位向量的坐标分解式。
第 七 章
x i , y j , z k 为 a 在三个坐标轴上的分向量， 分别称向量
u u 也是 , 且
过点 A 作平行 于轴 u 的数轴 u , 且与轴 u 同向，因此 A B 与 u 的夹角
2
,
投影为正；( 2 )
2
,
投影为零； 2 (4) 相等向量在同一轴上投影相等；
,
- 12 -
投影为负；
c
a
b
u
第二节
向量的坐标表示
2 2 2
x 2,
2
PP 1 2 PP 2 ,
x 1,
x 11 2
2
x 2
2
所求点为 ( 1 , 0 , 0 ), ( 1 , 0 , 0 ).
-8-
第二节
向量的坐标表示
向量代数与空间解析几何
向量代数与空间解析几何在数学中，向量代数与空间解析几何是两个重要的分支。
它们分别研究了向量以及在空间中的几何问题。
本文将介绍向量代数以及空间解析几何的基本概念和应用。
一、向量代数1. 向量的定义与性质向量是带有方向和大小的量，通常用有向线段表示。
向量有很多种表示方法，如坐标表示、向量符号表示等。
向量运算包括加法、减法、数乘等，遵循相应的运算规则。
向量的性质包括共线、对称性、平行四边形法则等。
2. 向量的内积与外积向量的内积（点积）和外积（叉积）是向量代数中的重要运算。
内积表示了两个向量之间的夹角关系，具有交换律和分配律等性质。
外积表示了两个向量之间的垂直关系，其大小等于由两个向量所决定的平行四边形的面积。
3. 向量的坐标表示与线性组合向量可以通过坐标表示在坐标系中，分别用行向量和列向量表示。
向量的线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到新的向量。
线性组合有重要的几何意义，可以表示平面或空间上的任意点。
二、空间解析几何1. 点、直线与平面空间解析几何研究了点、直线和平面在空间中的性质和相互关系。
点在空间中由坐标表示，在三维坐标系中是一个有序三元组。
直线可以通过点和方向向量表示，平面可以通过点和法向量表示。
2. 直线与平面的位置关系直线和平面有多种位置关系，包括相交、平行、重合、相交于一点等。
这些关系可以通过直线或平面的方程进行判断和计算。
同时，直线与平面之间也存在着夹角的概念，用于描述它们之间的夹角关系。
3. 空间几何体的体积与面积在空间解析几何中，体积和面积是重要的度量指标。
常见的几何体包括球、圆柱、圆锥、棱台等。
通过合适的公式和方法，可以计算出这些几何体的体积和表面积。
三、应用向量代数与空间解析几何在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
1. 物理学中的力学分析向量代数可以用来描述物理学中的力和运动，如力的合成与分解、速度和加速度的分析等。
空间解析几何则可以用来描述物体在空间中的位置和运动轨迹。
第1章 向量代数与空间解析几何内容小结
m
n
p
（3）参数方程：若设 x x0 y y0 z z0 t,
m
n
p
则直线的参数方程为
x y
x0 y0
mt nt
．
z z0 pt
2.直线与直线、直线与平面的夹角
两直线的方向向量所成的不超过 的夹角称为两直线的夹角．直线和它在平面上的投 2
运算律：
○① 交换律 a b b a ；
○② 与数乘结合律 (a) b a (b) (a b) ；
○3 分配律 (a b) c a c bc ．
两向量夹角公式：设 a ax , ay , az ， b bx ,by ,bz ， ( a 0, b 0) ，则
曲线
f
x,
y
0
绕 y 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f
x2 z2 , y
0；
z0
曲线
f
x,
z
0
绕 x 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f
x,
y2 z2
0；
y0
曲线
f
x,
z
0
绕 z 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f
若点 A 的坐标为 (x1, y1, z1) ，点 B 的坐标为 (x2, y2, z2 ) ，则 AB 的分解表示为 AB axi ay j azk ，
AB 的坐标表示为 AB ax , ay , az ，
其中 ax x2 x1, ay y2 y1, az z2 z1分别为 AB 在 x, y, z 轴上的投影． i, j, k 分别为 沿 x, y, z 轴正向的单位向量，它们称为空间直角坐标系的基本单位向量．
高等数学之空间解析几何与向量代数12748-PPT精品文档
1 1 1 1
z
M
Q (0 , y,0 )
y
x P(x,0,0)
A (x, y,0 )
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二、空间两点间的距离
( x ,y , z ) , ( x ,y ,z ) 对两点 A 与B 则两点间的距离公式: 2 2 2 1 1 1
及B 等距 例3. 在 z 轴上求与两点 A ( 3 , 5 , 2 ) ( 4 , 1 , 7 ) 离的点 . 解: 设该点为 M M A M B , ( 0 , 0 ,z ) , 因为
( 4 ) 1 (7z) 3 2 5 2 ( 2z)2
14 故所求点为 解得 z 14 , M ( 0 , 0 , ). 9 9
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ;
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b b a
2 M M )2 (32 )2 6 2 3 (5 7) (21
2 6 2 2 ( 3 1 ) ( 5 4 ) ( 2 3 ) M M 1 3
M M M M 2 3 1 3
M M M 即 1 2 3为等腰三角形 .
M1
M2
M3
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a
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3. 向量与数的乘法
• 坐标轴 • 坐标面
Ⅳ
yoz面
向量代数与空间解析几何12160PPT精品文档70页
dM 1M 2?
在 直 角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d2M 1P 2P2 N N22 M ,
M 1 P x 2 x 1, PN y2y1, N2M z2z1,
zR
M 1•
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
•M 2
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
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定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故ba.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a ,
故 0,即.
则 ()a0
“
” 已知 b＝ a , 则
C(x,o,z)
o x 无忧PPT整理发布 P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
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二、空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
zR
M 1•
P o
•M 2
Q N
a
a
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2、向量的线性运算
1. 向量的加法
平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
三角形法则:
a ab
向量代数与空间解析几何—空间解析几何(高等数学课件)
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
向量代数和空间解析几何
向量代数和空间解析几何向量代数和空间解析几何是数学中非常重要的概念，既可以处理经典几何问题，又可以用于表达数学模型。
它们在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面都有着广泛的应用。
向量代数是计算机科学家和数学家在处理空间问题时最常使用的方法。
它利用向量来描述空间中的点、直线和平面。
向量代数可以用来计算空间的大小、形状、方向、坐标变换等概念。
向量代数涉及的内容主要有线性代数系统、矩阵运算、向量空间等。
它在科技计算机图形学、建模和科学仿真中被广泛使用。
空间解析几何是在几何学中一类研究空间几何结构的重要分支学科。
它被广泛应用于工程、机械、制图学等方面，是解决建筑、室内装潢、雕塑、建筑园林设计、制图学等问题的基础学科。
主要内容有平面几何和立体几何，包括平面的直线、圆弧、多边形等，立体的点、直线、面等概念。
空间解析几何主要用来解决解空间几何图形的问题，是几何学中一类重要的问题。
向量代数和空间解析几何之间有着千丝万缕的联系，它们都是分析和处理空间几何图形的重要工具。
向量代数主要用来解决空间的大小、形状、方向等问题，而空间解析几何则主要用于处理空间中的点、直线和平面等结构。
它们的结合可以清楚的表示空间的量化和定义，是建立数学模型的基础和工具。
向量代数和空间解析几何在科技、计算机图形学、建模和科学仿真方面都有着广泛的应用。
它们可以帮助我们更准确地表示和分析空间问题，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。
综上所述，向量代数和空间解析几何是数学中重要的概念，可以在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面得到广泛应用，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。
它们的结合可以更为清楚地表示和分析空间几何图形，为建立数学模型提供基础。
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z
R
k M 1•
向 向向
•M 2
量 量量 在 在在
Q x yz
x
P
o
j
i
N
轴
y上
axx2x1
的 投
轴 上 的 投
轴 上 的 投
ay y2y1
az z2z1 影 影
影
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
利用坐标作向量的线性运算
a { ax,ay,az},b{bx,by,bz},
a b { a x b x , a y b y ,a z b z }
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k a b { a x b x , a y b y ,a z b z }
按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
在三个坐标轴上的分向量：a x i,a yj,a zk ,
向量的坐标： ax, ay, az,
向量的坐标表达式：
a { a x ,a y ,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 } 特殊地： O M {x ,y ,z}
三、向量的坐标表示
1. 起点在原点的向量(向径)OM
z zC
设点 M(x,y,z)
以 i, j,k分别表示沿x, y, z
k
轴正向的单位向量, 称为基本单
位向量. rOM = OA + AN +NM
《高等数学》向量代数和空间解析几何
a∥ b
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
i j k a b ax ay az
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(3) 二次曲面
椭球面
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数 z
x
y
抛物面
z
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
o
y
3、空间曲线 （1） 空间曲线的一般方程
高等数学《空间解析几何(第1章)》课件
构成__半__径__为__1_的__球_； 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
大学__数学专业__空间解析几何__第一章__向量代数
证 必要性 设三矢量 a， b ， c可 以 构成三角形 ABC， 即 有AB a , BC
A B
b, CA c， 那 么AB＋BC＋CA＝AA 0, 即a b c 0
充 分性 设a b c 0 ， 作AB a , BC b, 那 么AC a b, 所 以AC c 0, 从 而c是 AC的 反矢 量， 因 此 c＝ CA ，所以 a， b ， c可 构成 一个 三 角形 ABC .
平行于同一直线的一组矢量
a // b
零矢量与任何共线的矢量组共线.
定义1.1.5 平行于同一平面的一组矢量 叫做共面矢量. 零矢量与任何共面的矢量组共面.
a
c d
§1.2、向量的加法
定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
a
M
M2
1
a 或 M1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. 向量的大小. | a | 或 | M 1 M 2 向量的模长： |, a
向量的大小. | a | 或 | M 1 M 2 向量的模长： |
a
M
M2
特别:
模长为1的向量A OA n OA 1 A1 A2 An 1 An .
A1 A2 O An-1 An A4 A3
这种求和的方法叫做多边形法则.
ab a b
O
a
A
b
B
三角不等式
向量代数与空间解析几何课件
空间曲线
空间中的曲线可以由三个 参数方程表示，例如球面 和抛物面。
曲面
曲面可以由两个或三个参 数方程表示，例如球面和 圆柱面。
空间解析几何中的常见问题与解决方法
求解点到直线的距离
使用点到直线距离公式，将点坐标和直线方程代入公式计 算。
求解两直线交点
将两直线的方程联立求解，得到交点的坐标。
判断两线是否平行或垂直
向量的数量积
01
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作a·b
。
02
向量数量积的性质
数量积满足交换律、结合律、数乘律和分配律。
03
向量数量积的应用
在物理学中，向量数量积常用于描述力的做功、动量等物理量；在解析
几何中，向量数量积可用于计算向量的长度和向量的投影等。
向量的向量积
02
空间几何基础
空间直角坐标系
空间直角坐标系的定义
坐标轴上的单位向量
空间直角坐标系是三维空间中的一个 固定坐标系，由三个互相垂直的坐标 轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
与x轴、y轴和z轴正方向同向的单位向 量分别记为i、j、k，它们的模都为1， 且满足i×j=k，j×k=i，k×i=j。
空间点的坐标表示
在空间直角坐标系中，任意一点P的 位置可以用三个实数x、y、z来表示， 这三个实数称为点P的坐标。
向量的线性组合
向量线性组合的定义
如果向量a和b满足a=λb（λ为实数），则称向量a是向量b的线性 组合。
向量线性组合的性质
线性组合满足交换律、结合律和数乘律。
向量线性组合的应用
在物理学、工程学等领域中，向量线性组合常用于描述力的合成与 分解、速度和加速度的合成等。
高等数学二第一章向量代数与空间解析几何
(4) 两向量平行的充要条件.
设非零向量 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz),
则 a // b a = b (为常数)
即ax =bx, ay =by, az =bz,
a = M1M2 = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
M1 M 2 a2x ay2 az2
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 (2)
由此得 两点间距离公式：
M1 M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 (3)
§1 向量的概念及向量的表示
一、向量的基本概念
(一) 向量的概念
1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.
(或矢量)
2.向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量.
a
B
以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. A 以A为起点, B为终点的向量, 记为AB, a , a . 向量AB的大小叫做向量的模. 记为 ||AB|| 或 || a || .
A a1
a1 a2 B
a2
C
A
B
C
u
推论:
Pr ju (a1 a2 an ) Pr jua1 Pr jua2 Pr juan
定理4: 实数与向量 a的乘积在轴u上的投影， 等于乘以向量 a 在该轴上的投影。
即 Pr ju (a) Pr jua
即: (4 0)2 (1 0)2 (7 z)2
(3 0)2 (5 0)2 (2 z)2
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a
( >0)
a
( <0)
当 = 0时, ao,它的方向可以是 . 任意的
2. 数与向量的乘积的运算规律:
(1) 结合律: ( u a ) u (a ) (u ) a
(2) 分配律: (( a u ) b a ) a a u a b
定理1:两个非零向量 a与b平行 (方向相同或相反)
A a1
a1a2
C
B
a2
A
B
C
u
推论: P j u ( a 1 a 2 r a n ) P j u a 1 P j u a r 2 P r j u a n
定理4: 实数与向量 a的乘积在轴u上的投影， 等于乘以向量 a在该轴上的投影。 .
即 P ju (r a )P ju a r
存在唯一实数，使得 a b .
结论: 设 a表示与非零向量 a同向的单位向量.
则 a ||a ||a
或
a||a1||a||aa ||
例1:在试平用行a四和 边b形表A示B向CD量中M,A设,MABB,=MC和a,MADD.=
b
其中, M是平行四边形对角线的交点. 解: 由 a b= AC = 2MC
ab
a
bcc
b
a2
a1
3.向量减法.
(1)负向量:与 a模相同而方向相反的向量,
称为 a的负向量.记作 a.
(2)向量减法.
a
规定: a b a ( b )
a
平行四边形法则. 点重将合a, 、 作b 以 之a 一和 平b 移 为, 使邻起边 的平行四边形, 对角线向量, 为 ab .
特别: 模为1的向量称为单位向量.
模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的.
3.自由向量 当向 a 与 b ,量 大小相等且方向相同,
称 a 与 b 相 .记 等 a作 b
a
b
自由向量：只有大小、方向,而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质.
(二) 向量的加减法 1、向量加法 (可1)平平移设行至有四a 重边、 合形b)(.若法作起则以点a 不、 重b 为合邻, 边的平行四边形, 对角线向量, 称为a与b的和, 记作ab. (的的为2b) 起起三a点 点将角与 到aa形 、 法bb .之 的 的则ab一终终平点点行重所移合引动的, 则向,使由量
§1 向量的概念及向量的表示
一、向量的基本概念
(一) 向量的概念
1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.
(或矢量) 2.向量的几何表示法:
用一条有方向的线段来表示向量.
B a
以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. A 以A为起点, B为终点的向量, 记为AB, a, a . 向量AB的大小叫做向量的模. 记为 ||AB|| 或 ||a||.
二. 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
(一) 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的建立
z
y
o
y
o
x
x
z
x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个 空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点 O叫做坐标原点.
2. 坐标面. 由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为
坐标面, 分别叫x y面. y z面、z x面, 它们将空间分
(2) 若 a,b反向，则 (a,b)
(3) 若 a,b不平行，则 (a,b)(0,)
4. 向量的投影性质.
定理 2. (投影定理) 设向量AB与轴u的夹角为
则
PrjuAB = || AB ||·cos
A
A
B
B1
B
u
定理3: 两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在
该轴上的投影的和。 即 P j u ( a 1 r a 2 ) P j u a 1 P r j u a 2 r
显然
即 PjruAB x
当AB与u轴同向时， PrjuAB || AB|| ；
当AB与u轴反向时， PrjuAB || AB||
3. 两向量的夹角
设有非零向量 a,b(起点同).
b
(
a,
b)
规定：
a
a,b正向间位于0到之间的那个夹角为 a,b的夹角,
记为
(
a,
b)
或
(
b,
a)
(1) 若 a,b同向，则 (a,b) 0
a ab规律.
b
(1)交换律: a b b a
a a b b a a
b
a b c
(2)结合律:
( a b ) c a ( b c ) 例如:
a4
s a 1 a 2 a 3 a 4 s a3
三角形法则. 将a 、 b 之一平移, 使起 点终重点合作,一由向b量的, 终即点为向aa b 的.
ab
b
ab
a b
a
ab
b
(三) 数与向量的乘法
1. 定义 实数与向量 a的乘积 a 为一个向量.
其中: ||a | || ||a | ||
当 > 0时, 当 < 0时,
a a 与 与 a a 同 反;;向 向a
2. 向量在轴上的投影. 定义 设有向线段AB的起点A和终点B在轴u
上的投影分别为点A 和B . 称有向线段A B 为
向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.
B A
A'
B'
u
如果向量e为与轴u
的正方向的单位向量，
A
则向量 AB 的投影向量
e
A'
A'B' 有：
ABxe
B
B'
u
则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作 PrjuAB
有MC = 12(ab)
D
C
MA = MC 12(ab)
b
M
又 ba= BD = 2MD
A
a
B
有MMBD==M12D(b a )1 2(b a )1 2(a b )
(四) 向量在轴上的投影
1. 点在轴上投影
设有空间一点A及轴
A
u, 过A作u轴的垂直平面,
u A'
平面与u轴的交点A'叫做
点A在轴u上的投影.
成八个卦限.
z
III
II
IV x VIII
I 0
VII V
y VI
(二) 空间向量的表示
1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示.
z
M < > (x, y, z)
zR
O
x P
x
M y y 记: 点M为M (x, y, z)
Q
特别: (1) 若点M在yz面上, 则 x = 0; 在zx面上, 则 y = 0; 在xy面上, 则 z = 0. (2) 若点M在 x 轴上, 则 y = z = 0