2019年浙江大学自主招生试题数学试题

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浙江大学2019年自主招生数学试题

1.已知7

π

α=

,求cos cos2cos3ααα-+的值.2.已知{1,2,3,4}S =,若1324||||a a a a -+-的平均数为最简分数q p

,其中1234,,,a a a a S ∈,则p q +的值为

3.动圆过定点(,0)a ,且圆心到y 轴的距离为2a ,则圆心的轨迹是(

)A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.无法确定

4.一枚质地均匀的硬币,扔硬币10次,正面朝上次数多的概率为

5.已知2221x y z ++=,求yz +的最小值.

6.已知()p n 为n 次的整系数多项式,若(0)p 和(1)p 均为奇数,则(

A.()p n 无整数根

B.()p n 可能有负整数根

C.()p n 无解

D.忘了

7.3.abc 的数,求a b c ++的值.8.已知n *∈N ,下列说法正确的是(

A.若3n k ≠,k ∈N ,则7|21n -

B.若3n k =,k ∈N ,则7|21n -

C.若3n k ≠,k ∈N ,则7|21

n + D.若3n k =,k ∈N ,则7|21

n +

9.复数12||||1z z ==12()z z ≠,满足|1i ||1i |k k z z +++--=(1,2)k =,求12z z .10.若1x >,且满足2213x x +

=,求5

5

1x x -.11.已知点(,)a b 在椭圆22

143

x y +=上,求234a b ++的最大值与最小值的和.

12.若将19表示为若干个正整数的和,则这些正整数的积的最大值为13.数列{}n a 满足11a =,143n n S a +=+,求20192018a a -的值.

14.定义在R 上的偶函数()f x 满足1

(1)2f x +=

+,求121

()2

f .

15.若p 、q 是方程22650x x a a ++-=的两根,且满足38q p p +=,则a 的可能取值有多少个?

16.△ABC 的顶点(,0)A p -,(,0)B p ,其内心在直线x q =上,且0p q >>,则顶点C 的轨迹方程为

参考答案

1.令35cos cos cos 777

πππα=++,则352sin

2sin cos 2sin 2sin cos 7777777

a πππππππ=++,由积化和差公式可知:242642sin sin sin sin sin sin 777777

a ππππππ

=+-+-,化简可得:1

2

a =

.2.易知1324||||a a a a -+-的最小值为0,最大值为6,则平均数为1234567

62

+++++=,

∴9p q +=.

3.∵圆心到y 轴的距离为2a ,∴圆心在直线2x a =或2x a =-上,且圆心的轨迹是一个动圆截直线,所截的图像依然还是一条直线,∴圆心的轨迹为直线,故无答案.

4.易知:678910

101010101010193

2512

C C C C C P ++++==

.

5.由常见不等式可知:222

231144

x y y z yz =+++≥-1yz +≥-,

当且仅当2x y =-

,1

2

z y =-yz +的最小值为1-.6.设2012()n n p n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,

∵(0)p 和(1)p 为奇数,则0a 为奇数,12n a a a ++⋅⋅⋅+为偶数,假设()p n 有整数根,设0()0p x =,易知00|x a ,则0x 为奇数,情形一:当1a ,2a ,⋅⋅⋅,n a 全是偶数时,则此时易知:0()p x 为奇数,

情形二:当1a ,2a ,⋅⋅⋅,n a 中有奇数时,而12n a a a ++⋅⋅⋅+为偶数,则奇数必定时成对出现,则此时0()p x 还是为奇数,综上:()p n 无整数根,故选A.

7.易知3a =,1b =,6c =,则10a b c ++=.8.情形一:当3n k =,*k ∈N 时,

则111

2181(71)177

7n k k k k k k k k k C C C ---=-=+-=++⋅⋅⋅+,此时7|21n -,则B 正确;情形二:当31n k =-,*k ∈N 时,

则1118(71)121117771)222

k k n

k k k k k k k

C C C --+-=-=-=++⋅⋅⋅+-,此时7|21n -不成立;情形三:当32n k =-,*k ∈N 时,

则11

18(71)132111777)4444

k k n

k k k k k k k C C C --+-=-=-=++⋅⋅⋅+-,此时7|21n -不成立,则A 错误,同理可得,C 、D 错误,综上:选B.

9.设1cos isin z αα=+,2cos isin z ββ=+,

sin cos 0αα+=,同理可得:sin cos 0ββ+=,∴1324k παπ=

+,2724

k π

βπ=+,12,k k ∈Z ,而12cos()isin()z z αβαβ=+++,∴12i z z =.

10.∵2213x x +=,则4

4

17x x

+=,11x x -=,而4534531111()()x x x x x x x x +-=---,又3232

111()(1)4x x x x x x

-=-++=,∴55

1

11x x -

=.

11.设2cos a α=,b α=,

则2344cos 4)4[4a b αααϕ++=++=++∈-+,∴234a b ++的最大值与最小值的和为8.12.设分拆中有x 个2,y 个3,则2319x y +=,当2x =时,此时乘积最大,乘积为2523972⨯=,

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