非线性规划问题的求解方法[优质ppt]
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非线性规划问题的求解方法[优质ppt]
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4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （ 1） 给 定 初 始 内 点 x (0) S ， 允 许 误 差 e>0，
障 碍 参 数 (1) ， 缩 小 系 数 b (0 ,1) ， 置 k= 1 ；
（ 2） 以 x (k1) 为 初 始 点 ， 求 解 下 列 规 划 问 题 ：
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
问题的转化技巧（近似为一个无约束规划）.
（二）拉格朗日乘子法 （三）可行方向法与广义简约梯度法 （四）SQP方法
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
内点法框图 kk1
x(0) S0 , 1 0, [0,1], 0, k 1
min
s.t.
f (x) kq(x) x S0
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4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （ 1） 给 定 初 始 内 点 x (0) S ， 允 许 误 差 e>0，
障 碍 参 数 (1) ， 缩 小 系 数 b (0 ,1) ， 置 k= 1 ；
（ 2） 以 x (k1) 为 初 始 点 ， 求 解 下 列 规 划 问 题 ：
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
问题的转化技巧（近似为一个无约束规划）.
（二）拉格朗日乘子法 （三）可行方向法与广义简约梯度法 （四）SQP方法
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
内点法框图 kk1
x(0) S0 , 1 0, [0,1], 0, k 1
min
s.t.
f (x) kq(x) x S0
第4章非线性规划43PPT课件
极值点。
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
定理4.3.2 （极值存在的充分条件） 设 f（X）是定义在n 维欧氏空间 E n 上的某一
开集R 上的实值函数，且 f（X）在R 上二次连续可 微，若存在 X * R , 使得 f (X*) 0,且 2 f ( X * )
出量为Q 。若产品价格为P =4，要素投入价格分别为
PK 4 , PL 3 , 试求该企业得到最大利润时要素投 投入水平。
解: 该企业的利润函数为 YP Q P K K P LL
11
12K3L24K3L
则有
11
m axY12K3L24K3L
6
由极值存在的必要条件
Y K
2 1
4K 3 L2
10
注1： 定理4.3.3 表明等式约束极值问题可以转化
为求拉格朗日函数 L( X , ) 的驻点，即满足
f (X) m ihi (X) 0
i1
hi (X) 0,i 1,2, ,m
的 X 和 。
（4.3.3）
11
例4.3.3 求解下列非线性规划问题
m inf(X)x12x1x2x2210x14x260
一邻域 N ( X ) 上可微，且矩阵 J ( X ) ( h 1 ( X ) , h 2 ( X ) ,, h m ( X ) ) n m （4.3.2）
的秩为 m，若 X 是最优解，则存在拉格朗日乘子
(1,2, , m ),使
m
XL (X , *) f(X ) i h i(X )0 i 1
s.t. h(X)x1x280 解：该问题为具有等式约束的非线性规划问题。
非线性规划基础.pptx
部最优解。
定理13.10 若目标函数f(x)是Rn上的连续可微凸函数，
则 f (x的) 充0分必要条件 为无x 约束优化问题
（13.4）的全局最优点和局部最优点。
第19页/共35页
• 例13.5 求函数f(x)的最优值点，即。
m in
xR n
f
(
x
)
(
x12
1)2
x12
x22
2x1
解： f (x) 0 x (1,0)T
凹函数
第8页/共35页
非凸非凹函数
凸函数具有如下性质
第9页/共35页
二、凸函数的判断
• 一元函数凸性的判断
f (x) 0 f (x1) f (x2 ) f (x2 )(x1 x2 )
第10页/共35页
• 多元函数凸性的判断
梯度：
f (x) ( f (x) ,, f (x) )T
x1
xn
H(
x1,x2
)
6x1 3
23
• 判定正定的方法：当一个n×n矩阵A的任意k阶顺
序主子式大于0时，则该矩阵为正定的。
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
x12
x1x2
x1xk
2 f (x)
H
(
k
x)
x2x1
2 f (x) x22
2 f (x) x2xk
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
第13页/共35页
• 例13.4 判别下列函数的凸凹性
1） f (x1, x2 ) 2x12 x22 2x1x2 x1 1
2） f (x1, x2 ) x12 x22
解： 1）
H(
x1,x2
定理13.10 若目标函数f(x)是Rn上的连续可微凸函数，
则 f (x的) 充0分必要条件 为无x 约束优化问题
（13.4）的全局最优点和局部最优点。
第19页/共35页
• 例13.5 求函数f(x)的最优值点，即。
m in
xR n
f
(
x
)
(
x12
1)2
x12
x22
2x1
解： f (x) 0 x (1,0)T
凹函数
第8页/共35页
非凸非凹函数
凸函数具有如下性质
第9页/共35页
二、凸函数的判断
• 一元函数凸性的判断
f (x) 0 f (x1) f (x2 ) f (x2 )(x1 x2 )
第10页/共35页
• 多元函数凸性的判断
梯度：
f (x) ( f (x) ,, f (x) )T
x1
xn
H(
x1,x2
)
6x1 3
23
• 判定正定的方法：当一个n×n矩阵A的任意k阶顺
序主子式大于0时，则该矩阵为正定的。
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
x12
x1x2
x1xk
2 f (x)
H
(
k
x)
x2x1
2 f (x) x22
2 f (x) x2xk
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
第13页/共35页
• 例13.4 判别下列函数的凸凹性
1） f (x1, x2 ) 2x12 x22 2x1x2 x1 1
2） f (x1, x2 ) x12 x22
解： 1）
H(
x1,x2
非线性规划培训课件.ppt
k
xk
f(xk)
||f(xk)||
pk
0
2 2
1040 100.079968
1040
1
1.901.09083572
3.803.9178054
3.844158 30.8.13895704
格局部最优解。
精品
全局最优解的充分条件
定理 4.4.4 设 f : R n R ， x* Rn ，f 是 Rn 上的可微凸函 数。若有 f (x*) 0 ，则 x* 是(UMP)的全局最优解。 证：因为 f 是 Rn 上的可微凸函数，由凸函数的判别定理
4.2.3，可知 x Rn ，有 f x* x x* f x f x* 。 由于 f (x*) 0 ，因此 x Rn ， 0 f x f x* ，即
f x* tp f x* 。 取 t 充分小，可使 x* tp N x* ，与(1)矛盾。
精品
局部最优解的充分条件
定理 4.4.3 设 f : R n R 在点 x Rn 处的 Hesse 矩阵 2 f (x*)
存在。若 f x* 0 ，并且 2 f x* 正定，则 x* 是(UMP)的严
df
小点，因此
xk tpk dt
0。
令 xk tpk x1k tp1k , xnk tpnk ,, xnk tpnk u1, u2 ,, un u ，
由复合函数求导法则，
df xk tpk f u du1 f u du2 f u dun
即， t 0, ， f x tp f x。可知 p 是 f 在 x 处的下降
方向（定义 4.1.3）。
非线性规划PPT演示文稿
正是由于局部最优解的存在，使得非线性规划问 题的求解要比线性规划问题的求解复杂得多。当求 得一个最优解时，常常无法确定该解是否为全局最 优解。但是在某些情况下，可以保证所求得的解就 是全局最优解。下面7.2节、7.3节所介绍的边际收 益递减的二次规划和可分离规划就属于这种情况。
RUC, Information School, Ye Xiang
RUC, Information School, Ye Xiang
求总风险（方差）的一种简便方法
第7章 非线性规划
由于目标函数“总风险（方差）”的公式是非线性的，也 复杂，希望找到一种不容易出错且简便的办法
构造协方差矩阵（方差、协方差）
总风险（方差）=
❖
SUMPRODUCT（MMULT（投资组合,协方差矩阵）,投资
第7章 非线性规划
这种方法是将3.2节的成本收益平衡问题非 线性化。在这种情况下，成本是与投资有关 的风险，收益是投资组合的预期回报。
因此，该模型的一般表达形式为：
最小化 风险
约束条件 预期回报≥最低可接受水平
这个模型关注投资组合的风险和预期收益 之间的平衡。
RUC, Information School, Ye Xiang
例7.1 给定一根长度为400米
的绳子，用来围成一块矩形菜 地，问长和宽各为多少，使菜 地的面积最大？ 解：这是一个小学数学问题， 现在把它当作一个规划问题来 求解。
RUC, Information School, Ye Xiang
7.1 非线性规划基本概念 第7章 非线性规划
(1) 决策变量
7.2.2 运用非线性规划优化 有价证券投资组合
第7章 非线性规划
投资组合优化，就是确定投资项目中的一 组最优投资比例。这里所说的“最优”，可 以是在一定风险水平下使得投资回报最大， 也可以是在一定的投资回报水平下使得风险 最小。
RUC, Information School, Ye Xiang
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求总风险（方差）的一种简便方法
第7章 非线性规划
由于目标函数“总风险（方差）”的公式是非线性的，也 复杂，希望找到一种不容易出错且简便的办法
构造协方差矩阵（方差、协方差）
总风险（方差）=
❖
SUMPRODUCT（MMULT（投资组合,协方差矩阵）,投资
第7章 非线性规划
这种方法是将3.2节的成本收益平衡问题非 线性化。在这种情况下，成本是与投资有关 的风险，收益是投资组合的预期回报。
因此，该模型的一般表达形式为：
最小化 风险
约束条件 预期回报≥最低可接受水平
这个模型关注投资组合的风险和预期收益 之间的平衡。
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例7.1 给定一根长度为400米
的绳子，用来围成一块矩形菜 地，问长和宽各为多少，使菜 地的面积最大？ 解：这是一个小学数学问题， 现在把它当作一个规划问题来 求解。
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7.1 非线性规划基本概念 第7章 非线性规划
(1) 决策变量
7.2.2 运用非线性规划优化 有价证券投资组合
第7章 非线性规划
投资组合优化，就是确定投资项目中的一 组最优投资比例。这里所说的“最优”，可 以是在一定风险水平下使得投资回报最大， 也可以是在一定的投资回报水平下使得风险 最小。
运筹学―第六章非线性规划精品PPT课件
F1 1 Fn1 Fn2
, n 2,3,
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
23 3
…
Fn1
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Fn
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
… 233
hj (x) 0, j 1,...q
(NLP)
X
x
Rn
gi (x) hj (x)
0, i 1,..., p 0, j 1,..., q
约束集
如果(NLP)的约束集X是凸集，目标函数f是 X上的凸函数，则(NLP)叫做非线性凸规划， 或简称为凸规划。
凸规划的性质
定理 6.3 对于非线性规划(NLP)，若 gi ( x), i 1,..., p 皆为 Rn 上的凸函数， h j ( x), j 1,..., q 皆为线性函数， 并且 f 是 X 上的凸函数，则 NLP 是凸规划。
性质 6.2 设 S Rn 是非空凸集， f : Rn R 是凸函数， c R ，则集合
H S ( f , c) x S f ( x) c
是凸集。
凸函数的判 定
定理 6.1 设 S Rn 是非空开凸集， f : S R 可微，则
（1） f 是 S 上的凸函数的充要条件是
f ( x1 )T ( x 2 x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 ) ， x1 , x 2 S
试获得 n 组 与 t 之间的实验数据 (ti , i ) ，
i=1，2，…,n。试确定参数 c1 ， c 2 ， c 3 ，
《非线性规划模型》课件
一般形式的非线性规划
一般形式的非线性规划同时包含等式约束和不等式约束，目标函数和约束条 件均为非线性。
非线性规划的求解方法
1
牛顿法
通过使用二阶导数信息ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ迭代逼近最优解。
2
梯度下降法
利用目标函数梯度方向确定下降方向，逐步逼近最优解。
3
共轭梯度法
结合梯度信息，迭代快速逼近最优解。
粒子群算法及其应用
多解性
非线性规划模型可能存在多 个最优解，需要综合考虑问 题的不同方面。
计算复杂度
非线性规划求解过程通常需 要使用迭代算法，计算时间 较长。
不等式约束的非线性规划
当目标函数和约束条件都包含不等式关系时，我们称之为不等式约束的非线 性规划。
等式约束的非线性规划
当约束条件中包含等式关系，但目标函数仍为非线性函数时，我们称之为等 式约束的非线性规划。
《非线性规划模型》PPT 课件
非线性规划是一种优化问题求解方法，本课件将介绍非线性规划的定义、特 点以及不同约束形式下的求解方法，展示非线性规划在各个领域中的应用案 例。
什么是非线性规划
非线性规划是一种优化问题的求解方法，它考虑目标函数和约束条件为非线 性的情况。
非线性规划的特点
复杂性
非线性规划模型通常比线性 规划更加复杂，涉及更多变 量和限制条件。
粒子群算法模拟群体行为，通过协作和随机搜索找到最优解，广泛应用于非 线性规划问题。
遗传算法及其应用
遗传算法模拟生物进化过程，通过选择、交叉和变异等操作找到最优解，在非线性规划中有着广泛的应用。
一、非线性规划问题的几种求解方法1.罚函数法(外点法)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...)
第三十五页，共五十九页。
输入(shūrù)参数的几点说明
模型中如果没有(méi yǒu)A,b,Aeq,beq,lb,ub的限制，则以空矩阵[ ]作为 参数传入； nonlcon：如果包含非线性等式或不等式约束，则将这些函数
第二十八页，共五十九页。
第二步：求
最优的目标 函数 (k) (mùbiāo)
function r=fungetlamada(lamada) %关于(guānyú)lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
主程序main1.m（续）
while sqrt(sum(d.^2))>=yefi lamada=fminsearch(‘fungetlamada’,la mada);%求最优步长lamada
x0=x0-lamada*fun1gra(x0);%计算x0 d=fun1gra(x0);%计算梯度 k=k+1;%迭代(dié 次数 dài) end disp('x='),disp(x0),disp('k='),disp (k),disp('funobj='),disp(2*x0(1)^2+ x0(2)^2)
第八页，共五十九页。
程序3：辅助(fǔzhù)函数程序fun2min.m
第三十五页，共五十九页。
输入(shūrù)参数的几点说明
模型中如果没有(méi yǒu)A,b,Aeq,beq,lb,ub的限制，则以空矩阵[ ]作为 参数传入； nonlcon：如果包含非线性等式或不等式约束，则将这些函数
第二十八页，共五十九页。
第二步：求
最优的目标 函数 (k) (mùbiāo)
function r=fungetlamada(lamada) %关于(guānyú)lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
主程序main1.m（续）
while sqrt(sum(d.^2))>=yefi lamada=fminsearch(‘fungetlamada’,la mada);%求最优步长lamada
x0=x0-lamada*fun1gra(x0);%计算x0 d=fun1gra(x0);%计算梯度 k=k+1;%迭代(dié 次数 dài) end disp('x='),disp(x0),disp('k='),disp (k),disp('funobj='),disp(2*x0(1)^2+ x0(2)^2)
第八页，共五十九页。
程序3：辅助(fǔzhù)函数程序fun2min.m
非线性规划问题的求解方法60页PPT
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
非线性规划问题的求解方法 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
பைடு நூலகம்23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
非线性规划问题的求解方法 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
பைடு நூலகம்23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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3、问题：
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
如何将此算法模块化？
外点法框图： kk1
初始 x(0),1 0,1 0,k1
以x(k)为初始点 , 解
min f ( x) k p( x)
得到 x (k 1)
No
k1k
kp(x(k1)) yes
停 x (k 1) f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)
a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; else m(k+1)=c*m(k);
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
内点法框图 kk1
x(0) S0 , 1 0, [0,1], 0, k 1
min
s.t.
f (x) kq(x) x S0
从 x ( k )出发 ,
求得 x ( k 1)
No
k1 k
kq(x(k1))
yes
停
x(k1) opt
最速下降法（负梯度法） Newton法 共轭梯度法 拟Newton法 变尺度法
二.有约束问题
（一）罚函数法（SUMT） 1、算法思想： 将有约束优化问题转化为一系列无约束优化问题 进行求解.(Sequential Unconstrained Minimization Technique-SUMT） 2、算法类型： 外点法（外惩法） 内点法（内惩法）
4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （ 1） 给 定 初 始 内 点 x (0) S ， 允 许 误 差 e>0，
障 碍 参 数 (1) ， 缩 小 系 数 b (0 ,1) ， 置 k= 1 ；
（ 2） 以 x (k1) 为 初 始 点 ， 求 解 下 列 规 划 问 题 ：
内点法的matlab程序：
m=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50); syms x1 x2 e; m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3; f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15; fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1 =diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2'); for k=1:100 x1=a(k);x2=b(k);e=m(k); for n=1:100 f1=subs(fx1); f2=subs(fx2); f11=subs(fx1x1); f12=subs(fx1x2);
指寻求 n元实函数f在整个n维向量空间Rn上的最优值点的方法。无约 束最优化方法大多是逐次一维搜索的迭代算法。这些迭代算法的基本
思想是：在一个近似点处选定一个有利搜索方向,沿这个方向进行一 维寻查,得出新的近似点。然后对新点施行同样手续，如此反复迭代, 直到满足预定的精度要求为止。根据搜索方向的取法不同，可以有各 种算法。
三.Matlab求解有约束问题
运行输出：
x= 24.0000 12.0000 12.0000
fval = -3.4560e+03
（二）非负条件下线性最小二乘lsqnonneg
（三）有约束线性最小二乘lsqlin
（四）非线性最小二乘lsqnonlin
求解x,使得下式最小
运行输出：
x= 0.2578 0.2578
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• ans =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
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小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
问题的转化技巧（近似为一个无约束规划）.
（二）拉格朗日乘子法 （三）可行方向法与广义简约梯度法 （四）SQP方法
min f ( x ) ( k ) B ( x )
s.t. x S
， 令 x (k) 为 所 求 极 小 点
（ 3） 如 果 (k)B (x (k) ) e ， 则 停 止 计 算 ， 得 到 结 果x (k) ，
(k 1) b (k )
（ 4） 否 则 令
， 置 k= k+ 1 ， 返 回 （ 2 ）。
resnorm = 124.3622
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