高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.6 数学归纳法(理)
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第六节 数学归纳法
【知识梳理】
数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤
进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取__________(n0∈N*)时命题
成立.
第一个值n0
(2)(归纳递推)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,
证明当______时命题也成立. n=k+1
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对____________ 从n0开始的所
(2)注意点:由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一 要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分 利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程. 易错提醒:数学归纳法强调步骤“程式化”,要充分利用 归纳假设,否则就不是数学归纳法.
【变式训练】设f(n)= 1111(n∈N*). 23 n
【解析】用来自百度文库学归纳法证明不等式
1 1 1 1 9(n∈N*且n>1)时,
第n 一1步n : 不2等n 式3 的左边3 是n10
答案:
11 1 1. 21 22 23 24
11 1 1 21 22 23 24
考向一 利用数学归纳法证明等式
【典例1】(2016·宜春模拟)求证1111 1 1
(1111 1 1 )( 1 1 ) 2 3 4 2k1 2k 2k1 2k2
( 1 1 1 )( 1 1 ) k1 k2 2k 2k1 2k2
1 1 1 1 . k2 k3 2k1 2k2
即当n=k+1时，等式也成立.
综合(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.
【规律方法】数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路:用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”, 弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始 值n0是多少.
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(选修2-2P99习题B组T1改编)在应用数学归纳法证
明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验n等
1
于( )
2
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.三角形是边数最少的凸多边形,故第一步 应检验n=3.
2.(选修2-2P96习题2.3A组T1(3)改编)用数学归纳法证 明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的过程中,第二步 n=k时等式成立,则当n=k+1时,应得到 ( ) A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1 C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1 D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1
__________都成立,上述证明方法叫做数学归纳法. 有正整数n
【特别提醒】 1.数学归纳法证题时,误把第一个值n0认为是1,如证明 多边形内角和定理(n-2)π时,初始值n0=3.
2.数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意: (1)必须利用归纳假设作基础. (2)证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法. (3)解题时要搞清从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了 哪些项.
13 35 右边=
左边=右边,等式成立.
1 1, 13 3
1 1, 211 3
(2)假设当n=k(k∈N*且k≥1)时等式成立,
即则有当n1 = 1 k3 + 1时3 1,52k11 2k12k k 1,
1133152k112k12k112k3
k
1
k2k31
2k2 3k1
2k1 2k12k3 2k12k3 2k12k3
=(kk+11)[ff(kk+11) -(k1+1])=k(k+1)[f(k+1)-1],
k1
所以当n=k+1时结论仍然成立. 综合(1)(2)可知,对一切n≥2,n∈N*,等式成立.
【加固训练】
1.用数学归纳法证明:对任意的n∈N*, 1 1
【证2n明1】12(n1)1当 n=21n时n1,.左边=
(n∈N*).
2 3 4 2n1 2n
11
1
【n解题1导n引2】根据2n数学归纳法证明等式的步骤进行证
明.
【规范解答】(1)当n=1时,左边= 1 1 1 ，
右边=
1
1
左边=右边.
，
22
11 2
(2)假设n=k时等式成立，
即 1111 1 1 2 3 4 2k1 2k
则k当1n1=kk+11时2，21k,
即1+a+a2+…+ak-1= 1 a k ，
那么n=k+1时,左边=11+aa+a2+…+ak-1+ak=
+ak
1 ak
1 a 所1以a等k1 式 aa k也a成k1立1 .1 aa k1右 边 ,
)
A.1项
B.k项
C.2k-1项 D.2k项
【解析】选D.
112132k111(112132k11) 共增21k加了2k12k1项.2k111,
4.(2016·武汉模拟)用数学归纳法证明不等式 1 1 1 1 9(n∈N*且n>1)时,第一步:
不n 等1式n的2 左边n 是3_____3_n__1 .0
【解析】选D.由条件知,左边从20,21到2n-1都是连续的, 因此当n=k+1时,左边应为1+2+22+…+2k-1+2k,而右边应 为2k+1-1.
感悟专题 试一试
3.(2016·延安模拟)利用数学归纳法证明不等式
<f(n)(n≥2,n∈N*)的过程,由n=k到
1n=k12+113时,左边2n1增1加了 (
2kk132kk111,
所以当n=k+1时,等式也成立, 由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式都成立.
2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an-1= 1 a n (a≠1,n∈N*).
【证明】(1)当n=1时,左边=1,右边=
1
1
a
a=1,等式成立.
1 a
(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,
求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*).
【证明】(1)当n=2时,左边=f(1)=1,
右边= 左边=右2(1边,12等1式) 成1，立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时,结论成立, 即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1], 那么,当n=k+1时, f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k
【知识梳理】
数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤
进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取__________(n0∈N*)时命题
成立.
第一个值n0
(2)(归纳递推)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,
证明当______时命题也成立. n=k+1
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对____________ 从n0开始的所
(2)注意点:由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一 要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分 利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程. 易错提醒:数学归纳法强调步骤“程式化”,要充分利用 归纳假设,否则就不是数学归纳法.
【变式训练】设f(n)= 1111(n∈N*). 23 n
【解析】用来自百度文库学归纳法证明不等式
1 1 1 1 9(n∈N*且n>1)时,
第n 一1步n : 不2等n 式3 的左边3 是n10
答案:
11 1 1. 21 22 23 24
11 1 1 21 22 23 24
考向一 利用数学归纳法证明等式
【典例1】(2016·宜春模拟)求证1111 1 1
(1111 1 1 )( 1 1 ) 2 3 4 2k1 2k 2k1 2k2
( 1 1 1 )( 1 1 ) k1 k2 2k 2k1 2k2
1 1 1 1 . k2 k3 2k1 2k2
即当n=k+1时，等式也成立.
综合(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.
【规律方法】数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路:用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”, 弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始 值n0是多少.
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(选修2-2P99习题B组T1改编)在应用数学归纳法证
明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验n等
1
于( )
2
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.三角形是边数最少的凸多边形,故第一步 应检验n=3.
2.(选修2-2P96习题2.3A组T1(3)改编)用数学归纳法证 明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的过程中,第二步 n=k时等式成立,则当n=k+1时,应得到 ( ) A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1 C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1 D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1
__________都成立,上述证明方法叫做数学归纳法. 有正整数n
【特别提醒】 1.数学归纳法证题时,误把第一个值n0认为是1,如证明 多边形内角和定理(n-2)π时,初始值n0=3.
2.数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意: (1)必须利用归纳假设作基础. (2)证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法. (3)解题时要搞清从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了 哪些项.
13 35 右边=
左边=右边,等式成立.
1 1, 13 3
1 1, 211 3
(2)假设当n=k(k∈N*且k≥1)时等式成立,
即则有当n1 = 1 k3 + 1时3 1,52k11 2k12k k 1,
1133152k112k12k112k3
k
1
k2k31
2k2 3k1
2k1 2k12k3 2k12k3 2k12k3
=(kk+11)[ff(kk+11) -(k1+1])=k(k+1)[f(k+1)-1],
k1
所以当n=k+1时结论仍然成立. 综合(1)(2)可知,对一切n≥2,n∈N*,等式成立.
【加固训练】
1.用数学归纳法证明:对任意的n∈N*, 1 1
【证2n明1】12(n1)1当 n=21n时n1,.左边=
(n∈N*).
2 3 4 2n1 2n
11
1
【n解题1导n引2】根据2n数学归纳法证明等式的步骤进行证
明.
【规范解答】(1)当n=1时,左边= 1 1 1 ，
右边=
1
1
左边=右边.
，
22
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(2)假设n=k时等式成立，
即 1111 1 1 2 3 4 2k1 2k
则k当1n1=kk+11时2，21k,
即1+a+a2+…+ak-1= 1 a k ，
那么n=k+1时,左边=11+aa+a2+…+ak-1+ak=
+ak
1 ak
1 a 所1以a等k1 式 aa k也a成k1立1 .1 aa k1右 边 ,
)
A.1项
B.k项
C.2k-1项 D.2k项
【解析】选D.
112132k111(112132k11) 共增21k加了2k12k1项.2k111,
4.(2016·武汉模拟)用数学归纳法证明不等式 1 1 1 1 9(n∈N*且n>1)时,第一步:
不n 等1式n的2 左边n 是3_____3_n__1 .0
【解析】选D.由条件知,左边从20,21到2n-1都是连续的, 因此当n=k+1时,左边应为1+2+22+…+2k-1+2k,而右边应 为2k+1-1.
感悟专题 试一试
3.(2016·延安模拟)利用数学归纳法证明不等式
<f(n)(n≥2,n∈N*)的过程,由n=k到
1n=k12+113时,左边2n1增1加了 (
2kk132kk111,
所以当n=k+1时,等式也成立, 由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式都成立.
2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an-1= 1 a n (a≠1,n∈N*).
【证明】(1)当n=1时,左边=1,右边=
1
1
a
a=1,等式成立.
1 a
(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,
求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*).
【证明】(1)当n=2时,左边=f(1)=1,
右边= 左边=右2(1边,12等1式) 成1，立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时,结论成立, 即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1], 那么,当n=k+1时, f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k