(完整版)中考数学压轴题破解策略专题18《弦图模型》
中考数学压轴题模型
中考数学压轴题模型
中考数学压轴题模型一般包括以下几种类型：
1. 应用题模型：如运动问题、商贸问题、投资问题等。
考察学生对数学知识的应用能力，需要学生能够将问题转化为数学模型，解决实际问题。
2. 推理证明题模型：如图形推理、数列推理、等式证明等。
考察学生的逻辑推理和证明能力，需要学生能够使用数学运算和推理方法进行论证和证明。
3. 不等式题模型：如一元一次不等式、一元二次不等式、线性规划等。
考察学生对不等式的理解和运用能力，需要学生能够解决一元一次或二次不等式，并在具体情境中进行合理的不等式约束。
4. 几何题模型：如平行线与三角形的性质、相似三角形、圆的性质等。
考察学生的几何形象思维和几何性质的理解能力，需要学生能够利用几何性质进行推理和解题。
以上仅为常见的中考数学压轴题模型，具体题目形式和难度会根据不同地区和年份的考试要求而有所变化。
为应对这些题型，建议学生平时要通过大量的练习和理解相关知识点，提高解题能力和思维灵活性。
弦图与垂直模型-【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型(全国通用)(解析版)
弦图与垂直模型解题策略模型1：垂直模型如图：∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC.，结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.三垂直图形变形如图③、图④，这也是由弦图演变而来的.模型2：弦图模型如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG,CG⊥DH,DH⊥AE,AE⊥BF, 则：△ABE≌△BCF≌△CDG ≌△DAH.经典例题【例1】．(2021·全国·八年级专题练习)如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上(不与点A，O重合)的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．(1)求证：PE=PB；(2)如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；(3)用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．PF的长为定值2；(3)PC=PA+ 2EC．理由见解析．【分析】(1)做辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明△BMP≅△PNE即可求解．(2)如图，连接OB，通过证明△OBP≅△FPE，得到PF=OB，则PF为定值是2．(3)根据△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得PA=2PM，PC=2NC，整理可得结论．【详解】(1)证明：如图①，过点P作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N．∵PB⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠MPB+∠EPN=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=90°．∵AD∥MN，∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90，∵∠MPB+∠MB P=90°，∴∠EPN=∠MB P．在Rt△PNC中，∠PCN=45°，∴△PNC是等腰直角三角形，∴PN=CN，∴BM=CN=PN，∴△BMP≌△PNE(ASA)，∴PB=PE．(2)解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．理由：如图2，连接OB．∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB=90°，∴∠AOB=∠EFP=90°，∴∠OBP+∠BPO=90°．∴∠BPE=90°，∴∠BPO+∠OPE=90°，∴∠OBP=∠OPE．由(1)得PB=PE，∴△OBP≌△FPE(AAS)，∴PF=OB．=2．∵AB=2，△ABO是等腰直角三角形，∴OB=22∴PF的长为定值2．(3)解：PC=PA+2EC．理由：如图1，∵∠BAC=45°，∴△AMP是等腰直角三角形，∴PA=2PM．由(1)知PM=NE，∴PA=2NE．∵△PCN是等腰直角三角形，∴PC=2NC=2(NE+EC)=2NE+2EC=PA+2EC．【点睛】本题主要考查了四边形综合应用，通过对三角形全等的证明找出边之间的关系，准确分析代换求解是解题的关键．【例2】．(2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校九年级阶段练习)正方形ABCD中，点E、F在BC、CD 上，且BE=CF，AE与BF交于点G．(1)如图1，求证AE⊥BF；(2)如图2，在GF上截取GM=GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN=2BN；【答案】(1)见解析；(2)见解析；【分析】(1)根据正方形的性质得AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，用SAS证明△ABE≌△BCF，得∠BAE =∠CBF，根据三角形内角和定理和等量代换即可得；(2)过点B作BH⊥BN，交AN于点H，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS证明△A GB≌△AGM，得∠BAG=∠MAG，根据角平分线性质得∠BHA=∠GAN=45°，则△HBN是等腰直角三角形，用SAS证明△ABH≌△CBN，得AH=CN，在Rt△HBN中，根据勾股定理即可得；【详解】解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE=∠CBF，∵∠AEB+∠BAE=180°-∠ABC=180°-90°=90°，∴∠AEB+∠CBF=90°，∴∠E GB=180°-(∠AEB+∠CBF)=180°-90°=90°，∴AE⊥BF；(2)如图所示，过点B作BH⊥BN，交AN于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AC，∠ABC=∠HBN=90°，∵∠HBN=∠HBA+∠ABN=90°，∠ABC=∠CBN+∠ABN=90°，∴∠HBA=∠CBN，由(1)得，AE⊥BF，∴∠A GB=∠AGM=90°，∴∠HBG=∠AGM=90°,∴HB⎳AE，∴∠BHA=∠EAN，在△A GB和△AGM中，AG=AG∠A GB=∠AGMGB=GM∴△A GB≌△AGM(SAS)，∴∠BAG=∠MAG，∵AN平分∠DAM，∴∠DAN=∠MAN，∴∠BAG+∠MAG+∠MAN+∠DAN=90°，2∠MAG+2∠MAN=90°，∠MAG+∠MAN=45°，∠GAN=45°，∴∠BHA=∠GAN=45°，∴∠BNH=180°-∠HBN-∠BHA=180°-90°-45°=45°，∴△HBN是等腰直角三角形，∴BH=BN，在△ABH和△CBN中，BH=BN∠HBA=∠CBNAB=CB∴△ABH≌△CBN(SAS)，∴AH=CN，在Rt△HBN中，根据勾股定理HN=BH2+BN2=2BN，∴AN+CN=AN+AH=HN=2BN；【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．【例3】．(2021·云南曲靖·八年级期末)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G．(1)求证：AE=BG；(2)如图2，连接AG、GE，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，试判断四边形MNPQ的形状，并说明理由；(3)如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'=1，正方形的边长为3，求线段OF的长．【答案】(1)见解析；(2)四边形MNPQ为正方形，理由见解析；(3)10 6【分析】(1)由四边形ABCD为正方形，可得∠ABC=∠BCD=90°，推得∠ABG+∠CBG=90°，由BG⊥AE，可得∠BAE+∠ABG=90°，可证△ABE≅△BCG ASA即可；(2)M、N为AB、AG中点，可得MN为△ABG的中位线，可证MN⎳BG，MN=12BG，由点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，可得PQ是△BEG的中位线，MQ为△ABE的中位线，NP为△AEG的中位线，可证PQ⎳BG，PQ=12BG，MQ⎳AE，MQ=12AE，NP⎳AE，NP=12AE，可证四边形MNPQ为平行四边形．再证四边形MNPQ为菱形，最后证MN⊥MQ即可；(3)延长AO交BC于点S，由对称性可得BF=B'F，AB'=BS=1，AO=SO，由勾股定理可求AS=10，可得AO=12AS=102，设AF=x，在Rt△AB'F中，12+(3-x)2=x2，解得x=53，在Rt△AOF中，可求OF=106．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴∠ABG+∠CBG=90°，∵BG⊥AE，∴∠AHB=90°，∴∠BAE+∠ABG=90°，∴∠BAE=∠CBG，在△ABE与△BCG中，∠BAE=∠CBGAB=BC∠ABC=∠BCD，∴△ABE≅△BCG ASA，∴AE=BG．(2)解：四边形MNPQ为正方形，理由如下：∵M、N为AB、AG中点，∴MN为△ABG的中位线，∴MN⎳BG，MN=12BG，∵点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，∴PQ是△BEG的中位线，MQ为△ABE的中位线，NP为△AEG的中位线，，∴PQ⎳BG，PQ=12BG，MQ⎳AE，MQ=12AE，NP⎳AE，NP=12AE，∴MN=PQ，MQ=NP，∴四边形MNPQ为平行四边形．∵AE=BG，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形，∵BG⊥AE，MQ⎳AE，∴MQ⊥BG，∵MN⎳BG，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为正方形．(3)解：延长AO交BC于点S，由对称性可知BF=B'F，AB'=BS=1，AO=SO，在Rt△ABS中，AS=AB2+BS2=10，∴AO=12AS=102，设AF=x，则BF=B'F=3-x，在Rt△AB'F中，12+(3-x)2=x2，x=53，∴AF=53，在Rt△AOF中，2=106．OF=AF2-AO2=53 2-102【点睛】本题考查正方形性质与判定，等角的余角性质三角形全等判定与性质，三角形中位线判定与性质，勾股定理，根据勾股定理建构方程，解拓展一元一次方程等知识，掌握以上知识是解题关键．【例4】．(2021·河南商丘·八年级期中)在平面直角坐标系中，点A的坐标为4,0，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC．(1)如图1，若OB=3，则点C的坐标为______；(2)如图2，若OB=4，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；(3)如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF．连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长度．【答案】(1)点C(3，7)；(2)证明见详解过程；(3)2．【分析】(1)如图1，过点C作CH⊥y轴，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得CH=OB=3，BH=AO=4，可求解；(2)过点E作EF⊥x轴于F，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得BO=DF=4，OD=EF，由等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，∠EAF=∠AEF=45°，可得结论；(3)由(1)可知△ABO≌△BCG，可得BO=GC，AO=BG=4，再由“AAS”可证△CPG≌△FPB，可得PB=PG=2．(1)如图1，过点C作CH⊥y轴于H，∴∠CHB=∠ABC=∠AOB=90°，∴∠BCH+∠HBC=90°=∠HBC+∠ABO，∴∠ABO=∠BCH，在△ABO和△BCH中，∠CHB=∠AOB∠BCH=∠ABOBC=AB，∴△ABO≌△BCH(AAS)，∴CH=OB=3，BH=AO=4，∴OH=7，∴点C(3，7)，故答案为：(3，7)；(2)过点E作EF⊥x轴于F，∴∠EFD=∠BDE=∠BOD=90°，∴∠BDO+∠EDF=90°=∠BDO+∠DBO，∴∠DBO=∠EDF，在△BOD和△DFE中，∠BOD=∠EFD∠DBO=∠EDFBD=ED，∴△BOD≌△DFE(AAS)，∴BO=DF=4，OD=EF，∵点A的坐标为(4，0)，∴OA=OB=4，∴∠BAO=45°，∵OA=DF=4，∴OD=AF=EF，∴∠EAF=∠AEF=45°，∴∠BAE=90°，∴BA⊥AE；(3)过点C作CG⊥y轴G，由(1)可知：△ABO≌△BCG，∴BO=GC，AO=BG=4，∵BF=BO，∠OBF=90°，∴BF=GC，∠CGP=∠FBP=90°，又∵∠CPG=∠FPB，∴△CPG≌△FPB(AAS)，∴BP=GP，∴BP=12BG=2．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．【例5】．(2021·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习)如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)如图2，连接BD，若BE=42，DG=22，求tan∠DBG的值．【答案】(1)见解析；(2)1 2【分析】(1)由正方形的性质结合已知条件，利用ASA判定三角形全等即可；(2)过点G作GH⊥BD垂足为H，由全等求得CG=CE，进一步结合图形求得BC和CG的长，然后在RT△BDC中求得GH和BH的长，最后在RT△BHG中，利用tan∠DBG=HGBH，即可求得答案．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG=∠DCE=90°，BC=CD，∵BF⊥DE，∴∠DFG=∠BCG=90°，∵∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE．在△BCG和△DCE中，∠CBG=∠CDE BC=CD∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，(2)解：过点G作GH⊥BD垂足为H，∵△BCG≌△DCE，∴CG=CE，∵BE=BC+CE=42，DG=CD-CG=22，∴BC=CD=32，CG=CE=2，在RT△BDC中，∵∠BCD=90°，∴BD=CD2+BC2=322+322=6，∵∠DHG=45°，∠DHG=90°，DG=22，∴DHDG=sin45°=2 2，∴DH=2，∴GH=DH=2，∵BH=BD-DH，∴BH=6-2=4，在RT△BHG中，∵∠BHG=90°，∴tan∠DBG=HGBH，∴tan∠DBG=12【点睛】本题考查三角形全等的证明，直角三角形中锐角三角函数的定义等相关知识点，熟练掌握数形结合思想解题是重点．培优训练一、解答题1.(2022·江苏·八年级课时练习)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)由图1，证明：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系(不必说明理由)．【答案】(1)证明见解析；(2)DE=AD-BE，证明过程见解析；(3)DE=BE-AD，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，进而得到DE=CE+DC=AD+BE即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC≌△CEB，进而得到DE=CE-DC=AD-BE即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC≌△CEB，进而得到DE=DC-CE=BE-AD即可．【详解】解：(1)证明：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵AD⊥MN，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD，又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90∘，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD=CE，DC=BE，∵直线MN经过点C，∴DE=CE+DC=AD+BE；(2)DE，AD，BE的等量关系为：DE=AD-BE，理由如下：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中∠CAD=∠BCE∠ADC=∠BEC=90∘AC=CB，∴△ADC≌△CEB AAS∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；(3)当MN旋转到图3的位置时，DE、AD、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD，理由如下：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中∠CAD=∠BCE∠ADC=∠BEC=90∘AC=CB，∴△ADC≌△CEB AAS∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．2.(2022·全国·八年级专题练习)如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为AB上一点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E，连接AE，过点A作AE的垂线交CE于点F．(1)如图1，求∠AEC的度数；(2)如图2，连接BF，且∠ABF-∠EAB=15°，求证：BF=2CF；(3)如图3，在(2)的条件下，G为DF上一点，连接AG，若∠AGD=∠EBF，AG=2，求CF的长．【答案】(1)45°；(2)见解析；(3)2【分析】(1)先证明∠EAB=∠FAC, ∠AEB=∠AFC,再证明△ABE≅△ACF,再利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质可得答案；(2)利用全等三角形的性质先求解∠EBF=60°，证明BE=CF, 再求解∠EFB=30°，从而可得结论；(3)如图，过A作AM⊥EF于M, 交BF于N, 连接EN, 证明△BEN为等边三角形，再证明△AGM≅△ENM，再利用全等三角形的性质可得答案.【详解】解：(1)∵∠BAC=90°，AE⊥AF,∴∠EAB+∠DAF=∠DAF+∠FAC=90°,∠EAF=90°,∴∠EAB=∠FAC,∵BE⊥CE,∴∠BED=90°,∴∠AEB=∠BED+∠AEF=90°+∠AEF=∠AFC, 即∠AEB=∠AFC,∴△ABE≅△ACF，∴AE=AF，∠AEC=45°．(2)∵△ABE≅△ACF，∴∠ABE=∠ACF,BE=CF,∴∠AEB=∠AFC=90°+45°=135°,∴∠EBA+∠EAB=45°,∵∠ABF-∠EAB=15°,∴∠ABF=15°+∠EAB,∴∠EBF=∠EBA+∠ABF=∠EBA+∠EAB+15°=60°,∴∠BFE=90°-60°=30°,∴BF=2BE，∵BE=CF，∴BF=2CF．(3)如图，过A作AM⊥EF于M, 交BF于N, 连接EN,∵AE=AF,AM⊥EF,AE⊥AF,∴EM=MF=AM,NE=NF,∴∠NEF=∠NFE=30°,∴∠ENB=∠NEF+∠NFE=60°,∴∠EBN=∠ENB=60°,∴△BEN为等边三角形，∠ENF=120°,∴BE=BN=12BF=FN=EN，∵∠AGD=∠EBF=60°, AM⊥EF,∴∠ENM=12∠ENF=60°,∵AM=EM,∠AMG=∠EMN=90°,∠AGM=∠ENM=60°,∴△AGM≅△ENM，∴AG=EN=2，∴CF=BE=2．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等腰斜边的一半，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，熟练的应用以上知识解题的关键.3.(2020·北京市第十三中学九年级期中)已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．(1)如图1，点D是BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．①若∠BAD=α，求∠DBE的大小(用含α的式子表示)；②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．(2)如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．①依题意补全图2；②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．【答案】(1)①∠DBE=45°-α；②AE-BE=2EC，证明见解析；(2)①补全图形见解析；②EB-EA= 2EC．【分析】(1)①根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，即可求出∠CAD=45∘-α．根据三角形的内角和即可求出∠DBE=∠CAD=45∘-α；②过点C作CR⊥CE交AE于R，然后证明△ACR≌△BCE，得到AR=BE，CR=CE，即可得到△CER 是等腰直角三角形，ER=2CE，由此即可求解；(2)①根据题目要求作图即可；②过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F.根据三角形的内角和定理得到∠CAF=∠CBE，证明△ACF ≌△BCE.根据全等三角形的性质有AF=BE，CF=CE．根据等腰直角三角形的性质有EF=2EC．则有 AF-EA=2EC，即可求出线段EA，EB和EC之间的数量关系．【详解】解：(1)①如图1中，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵∠BAD=α，∴∠CAD=45°-α．∵∠ACB=90°，BE⊥AD，∠ADC=∠BDE，∴∠DBE=∠CAD=45°-α；②结论：AE-BE=2EC．理由：如图，过点C作CR⊥CE交AE于R．∴∠ACB=∠RCE=90°，∴∠ACR=∠BCE，∵∠CAR+∠ADC=90°，∠CBE+∠BDE=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠CAR=∠CBE，在△ACR和△BCE中，∠ACR=∠BCECA=CB∠CAR=∠CBE，∴△ACR≌△BCE(ASA)，∴AR=BE，CR=CE，∴△CER是等腰直角三角形，∴ER=2CE，∴AE-BE=AE-AR=ER=2EC．(2)①补全图形，如图2所示：②猜想：当D 在BC 边的延长线上时，EB -EA =2EC ；理由如下：过点C 作CF ⊥CE ，交AD 的延长线于点F ，如图3所示：则∠ECF =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD =90°，∴∠ECF +∠ACE =∠ACB +∠ACE ，即∠ACF =∠BCE ，∵∠CAF +∠ADB =90°，∠CBE +∠ADB =90°，∴∠CAF =∠CBE ，在△ACF 和△BCE 中，∠ACF =∠BCEAC =BC ∠CAF =∠CBE，∴△ACF ≌△BCE (ASA )，∴AF =BE ，CF =CE ．∵∠ECF =90°，∴△CEF 是等腰直角三角形，∴EF =2EC ，即AF -EA =2EC ．∴EB -EA =2EC ．【点睛】考查等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等，难度一般，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．4.(2021·四川省成都市七中育才学校七年级期中)已知：△ABC 中，∠ACB =90°，AC =CB ，D 为直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AC 右侧作AE ⊥AD ，且AE =AD ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，过点E 作EH ⊥AC 于H ，连接DE ．求证：EH =AC ；(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交CA 的延长线于点M ．求证：BM =EM ；(3)当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M，若2AC=5CM，请求出S△ADBS△AEM的值．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)43或47【分析】(1)由“AAS”可证△AHE≌△DCA，可得EH=AC，即可求证；(2)过点E作EN⊥AC，交CA延长线于N，由“AAS”可证△ANE≌△DCA，可得AC=EN=BC，由“AAS”可证△ENM≌△BCM，可得BM=EM；(3)AC=5a，CM=2a，分三种情况：当点D在线段BC上，点D在线段BC的延长线上，点D在线段CB的延长线上，由全等三角形的性质可求得相应线段的长，再由三角形的面积公式可求解．【详解】证明(1)∵AE⊥AD，∠ACB=90°，∴∠EAH=90°-∠CAD，∠ADC=90°-∠CAD，∴∠EAH=∠ADC，在△AHE与△DCA中∠AHE=∠ACB=90°∠EAH=∠ADCAE=AD，∴△AHE≌△DCA(AAS)，∴EH=AC；(2)如图2，过点E作EN⊥AC，交CA延长线于N，∵AE⊥AD，∠ACB=90°，∴∠EAN=90°-∠CAD，∠ADC=90°-∠CAD，∴∠EAN=∠ADC，在△ANE与△DCA中，∠ANE=∠DCA=90°∠ENA=∠ACDAN=AD∴△ANE≌△DCA(AAS)，∴EN=AC，又∵AC=BC，∴EN=BC，又在△ENM与△BCM中，∠EMN=∠BMC∠N=∠BCA=90°EN=BC∴△ENM≌△BCM(AAS)，则BM=EM；(3)如图，当点D 在线段BC 上时，∵2AC =5CM ，∴可设AC =5a ，CM =2a ，由(1)得：△AHE ≌△DCA ，则AH =CD ，EH =AC =BC =5a ，由∵∠EHM =∠BCM =90° ，∠BMC =∠EMH ，∴△MHE ≌△MCB (AAS )，∴CM =HM ，即HM =CM =2a ，∴AH =AC -CM -HM =5a -2a -2a =a ，∴AM =AH +HM =3a ，CD =AH =a ，EH =AC =5a ， BD =BC -CD =4a ，∴S △ADB S △AEM =12BD ×AC 12AM ×EH =12×4a ×5a 12×3a ×5a =43；如图，点D 在CB 延长线上时，过点E 作EN ⊥AC ，交AC 延长线于N ，∵2AC =5CM ，∴可设AC =5a ，CM =2a ，∵EN ⊥AC ，AE ⊥AD ，∴∠ANE =∠EAD =∠ACB =90° ，∴∠EAN =90°-∠CAD ，∠ADC =90°-∠CAD ，∴∠EAN =∠ADC ，在△ANE 与△DCA 中，∠ANE =∠DCA =90°∠ENA =∠ACDAN =AD∴△ANE ≌△DCA (AAS )，∴EN =AC ，AN =CD ，又∵AC =BC ，∴EN =BC ，又在△ENM 与△BCM 中，∠EMN =∠BMC∠N =∠BCA=90°EN =BC∴△ENM ≌△BCM (AAS )，∴CM =NM =2a ，NE =BC =AC =5a ，∴AN =AC +CM +MN =9a ，AM =AC +CM =7a ，AN =CD =9a ，∴BD =4a ，∴S △ADB S △AEM =12BD ×AC 12AM ×EN =12×4a ×5a 12×7a ×5a =47，点D 在BC 延长线上由图2得：AC <CM ，∴2AC =5CM 不可能，故舍去综上：S △ADB S △AEM的值为43 或47【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．5.(2022·江苏·八年级课时练习)在△ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，点D 为直线BC 上的一个动点(不与B 、C 重合)，连结AD ，将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90°，使点A 旋转到点E ，连结EC ．(1)如果点D 在线段BC 上运动，如图1：求证：∠BAD =∠EDC(2)如果点D 在线段BC 上运动，请写出AC 与CE 的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E 作EF ⊥BC 交直线BC 于F ，如图2所示，通过证明△DEF ≌△ABD ，可推证△CEF 等腰直角三角形，从而得出AC 与CE 的位置关系，请你写出证明过程．(3)如果点D 在线段CB 的延长线上运动，利用图3画图分析，(2)中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)垂直，理由见解析；(3)成立，证明见解析【分析】(1)根据直角三角形的性质证明即可；(2)过点E 作EF ⊥BC 交直线BC 于F ，如图2所示，通过证明△DEF ≌△ABD ，可推证△CEF 等腰直角三角形，从而得出AC 与CE 的位置关系；(3)如图3所示，过点E 作EF ⊥DC 于F ，证明△ABD ≌△DFE ，进一步可证明AC ⊥EC【详解】解：(1)证明：∵∠B =90°∴∠BDA +∠BAD =90°∵∠ADE=90°∴∠BDA+∠EDC=90°∴∠BAD=∠EDC(2)垂直∵EF⊥BC∴∠EFD=90°∵∠B=90°∴∠EFD=∠B在△ABD和△DFE中∠BAD=∠FDE∠B=∠DFEAD=DE∴△ABD≌△DFE AAS∴AB=DF，BD=EF∵AB=BC∴BC=DF，∴BC-DC=DF-DC即BD=CF．∴EF=CF又∵∠EFC=90°∴∠ECF=45°，且∠ACB=45°∴∠ACE=180°-90°=90°即AC⊥CE．(3)(2)中的结论仍然成立如图3所示，过点E作EF⊥DC于F ∵∠ABD=90°∴∠EDF=∠DAB=90°-∠ADB在△ABD和△DFE中∠DAB=∠EDF∠ABD=∠DFEAD=DE∴△ABD≌△DFE AAS∴DB=EF，AB=DF=BC∴BC-BF=DF-BF即FC=DB∴FC=EF∴∠DCE=45°∴∠ACE=∠DCE+∠ACB=90°∴AC⊥EC．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明△ABD≌△DFE是解本题的关键．6.(2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学八年级开学考试)如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC= 90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．(1)如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，直接写出线段EF、BE、CF的数量关系是______；(2)如图2，过A的直线与斜边BC相交时，探究线段EF、BE、CF的数量关系并加以证明；(3)在(2)的条件下，如图3，直线FA交BC于点H，延长BE交AC于点G，连接BF、FG、HG，若∠AHB=∠GHC，EF=CF=6，EH=2FH，四边形ABFG的面积是90，求△GHC的面积．【答案】(1)数量关系为：EF=BE+CF；(2)数量关系为：EF=BE-CF．证明见详解；(3)S△GHC=15．【分析】(1)数量关系为：EF=BE+CF．利用一线三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC(AAS)可得BE=AF，AE=CF即可；(2)数量关系为：EF=BE-CF．先证∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°，可得∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC(AAS)，可得BE=AF，AE=CF即可；(3)先由(2)结论EF=BE-CF；EF=CF=6，求出BE=AF=12，由EH=2FH，可求FH=2，EH=4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG=2×90AF=18012=15，再求EG=3，AH=10，分别求出S△ACF=12AF⋅FC=36，S△HCF=12HF⋅FC=6，S△AGH=12AH⋅EG=15，利用面积差即可求出．【详解】解：(1)数量关系为：EF=BE+CF．∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°，∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°，∴∠EBA=∠FAC，在△EBA和△FEC中，∵∠AEB=∠CFA ∠EBA=∠FAC AB=CA，∴△EBA≌△FAC(AAS)，∴BE =AF ，AE =CF ，∴EF =AF +AE =BE +CF ；(2)数量关系为：EF =BE -CF ．∵BE ⊥AF ，CF ⊥AF ，∠BAC =90°，∴∠BEA =∠AFC =90°，∠EBA +∠EAB =90°，∠EAB +∠FAC ==90°，∴∠EBA =∠FAC ，在△EBA 和△FEC 中，∵∠AEB =∠CFA∠EBA =∠FAC AB =CA，∴△EBA ≌△FAC (AAS )，∴BE =AF ，AE =CF ，∴EF =AF -AE =BE -CF ；(3)∵EF =BE -CF ；EF =CF =6，∴BE =AF =EF +CF =6+6=12，∵EH =2FH ，EH +FH =EF =6，∴2FH +FH =6，解得FH =2，∴EH =2FH =4，S 四边形ABFG =12AF ⋅BG =90，∴BG =2×90AF =18012=15，∴EG =BG -BE =15-12=3，AH =AE +EH =6+4=10，∵S △ACF =12AF ⋅FC =12×12×6=36，S △HCF =12HF ⋅FC =12×2×6=6，S △AGH =12AH ⋅EG =12×10×3=15，∴S △GHC =S △ACF -S △HCF -S △AGH =36-6-15=15．【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键．7.(2021·江苏泰州·八年级期末)如图，正方形ABCD 边长为4，点G 在边AD 上(不与点A 、D 重合)，BG 的垂直平分线分别交AB 、CD 于E 、F 两点，连接EG ．(1)当AG =1时，求EG 的长；(2)当AG 的值等于时，BE =8-2DF ；(3)过G 点作GM ⊥EG 交CD 于M①求证：GB 平分∠AGM ；②设AG =x ，CM =y ，试说明16xy -4x -4y-1的值为定值．【答案】(1)178；(2)8-43(3)①见解析；②16xy -4x -4y-1=0，理由见解析【分析】(1)根据EF 是线段BG 的垂直平分线，BE =EG ，设EG =EB =x ，则AE =AB -BE =4-x ，再由勾股定理求解即可；(2)过点F 作FH ⊥AB 于H ，连接FB ，FG ，由BE =8-2DF ，CF =CD -DF =4-DF ，得到BE =2CF ，先证明四边形BCFH 是矩形，得到CF =HB ，则BH =EH =FC ，设AG =x ，BE =y ，则AE =4-y ，GD =4-x ，CF =12y ，DF =4-12y 由AE 2+AG 2=EG 2，GD 2+DF 2=GF 2，BC 2+FC 2=BF 2，可以得到4-y 2+x 2=y 2①，4-x 2+4-12y 2=42+12y 2②，联立①②求解即可得到答案；(3)①先证明∠EBG =∠E GB ，然后根据ABG +∠A GB =90°，∠E GB +∠BGM =90°，即可得到∠A GB =∠BGM ；②连接BM ，过点B 作BH ⊥GM ，由角平分线的性质得到BH =AB =4，由S 正方形ABCD =S △ABG +S △MB G +S △BCM +S △CDM =4×4=16，可以得到2x +2GM +2y +124-x 4-y =16，由勾股定理可以得到DM 2+GD 2=GM 即4-x 2+4-y 2=4-xy 4 ，最后解方程即可得到答案．【详解】解：(1)∵EF 是线段BG 的垂直平分线，∴BE =EG ，∵四边形ABCD 是正方形，且边长为4，∴AB =4，∠A =90°，设EG =EB =x ，则AE =AB -BE =4-x ，∵AE 2+AG 2=EG 2，∴4-x 2+12=x 2，解得x =178，∴EG =178；(2)如图所示，过点F 作FH ⊥AB 于H ，连接FB ，FG∵EF 是线段BG 的垂直平分线，∴BF =FG ，∵BE =8-2DF ，CF =CD -DF =4-DF ，∴BE =2CF ，∵四边形ABCD 是正方形，FH ⊥AB ，∴∠HBC =∠C =∠BHF =90°，∴四边形BCFH 是矩形，∴CF =HB ，∴BH =EH =FC ，设AG =x ，BE =y ，则AE =4-y ，GD =4-x ，CF =12y ，DF =4-12y ∵AE 2+AG 2=EG 2，GD 2+DF 2=GF 2，BC 2+FC 2=BF 2，∴4-y 2+x 2=y 2①，4-x 2+4-12y 2=42+12y 2②，联立①②解得x =8-43或x =8+43(舍去)，∴当AG =8-43时，BE =8-2DF ，故答案为：8-43；(3)①∵EF 是线段BG 的垂直平分线，∴EG =BE ，∴∠EBG =∠E GB ，∵四边形ABCD 是正方形，EG ⊥GM ，∴∠A =∠EGM =90°，∴∠ABG +∠A GB =90°，∠E GB +∠BGM =90°，∴∠A GB =∠BGM ，∴BG 平分∠AGM ；②如图，连接BM ，过点B 作BH ⊥GM ，由(3)①得BG 平分∠AGM ，∴BH =AB =4，∵AG =x ，CM =y ，∴DG =4-x ，DM =4-y ，∵S 正方形ABCD =S △ABG +S △MB G +S △BCM +S △CDM =4×4=16，∴12AG ·AB +12GM ·BH +12CM ·BC +12DM ·GD =16，∴2x +2GM +2y +124-x 4-y =16，∴GM =4-xy 4，∵DM 2+GD 2=GM ，∴4-x 2+4-y 2=4-xy 4 ∴16-8x +x 2+16-8y +y 2=16-2xy +x 2y 216∴x +y 2-8x +y +16=x 2y 216，∴x +y -4 2=x 2y 216，∴x +y -4=±xy 4，当x +y -4=xy 4时，则4x +4y -16=xy ，∴y =16-4x 4-x =4(不符合题意)，∴4x +4y -16=-xy∴16xy -4x -4y-1=0．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8.(2021·全国·八年级专题练习)已知，如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ，当点D 在线段BC 的反向延长线上，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧时．(1)求证：△ABD ≌△ACF ；(2)若正方形ADEF 的边长为22，对角线AE ，DF 相交于点O ，连接OC ，求OC 的长度．【答案】(1)证明见解析； (2)OC =2【分析】(1)由题意易得AD =AF ，∠DAF =90°，则有∠DAB =∠FAC ，进而可证AB =AC ，然后问题可证；(2)由(1)可得△ABD ≌△ACF ，则有∠ABD =∠ACF ，进而可得∠ACF =135°，然后根据正方形的性质可求解．【详解】(1)证明：∵四边形ADEF 为正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，又∵∠BAC =90°，∴∠DAB =∠FAC ，∵∠ABC =45°，∠BAC =90°，∴∠ACB =45°，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABD≌△ACF(SAS)；(2)解：由(1)知△ABD≌△ACF，∴∠ABD=∠ACF，∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，∴∠ACF=135°，由(1)知∠ACB=45°，∴∠DCF=90°，∵正方形ADEF边长为22，∴DF=4，∴OC=12DF=12×4=2．【点睛】本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．9.(2021·安徽安庆·八年级期末)如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°(即∠EBE'=90°)，得到△CBE′(点A的对应点为点C)延长AE交CE于点F，连接DE．(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由．(2)如图2，若DA=DE，请猜想线段CF于FE'的数量关系并加以证明．(3)如图1，若AB=17，CF=3，请直接写出DE的长．【答案】(1)正方形，理由见解析；(2)CF=FE'，证明见解析；(3)5【分析】(1)由旋转的特征可得到∠E′=∠AEB=90°、∠EBE′=90°、BE′=BE，再由∠BEF=180°-∠AEB =90°，可判定四边形BE′FE是正方形；(2)过点D作DG⊥AE于点G，由DA=DE得AG=12AE，再证明△ADG≌△BAE，且由四边形BE′FE是正方形，得到FE′=AG=12CE′，可证得结论；(3)过点D作DG⊥AE于点G，由旋转及四边形BE′FE是正方形可得如下关系：AE=CE′=FE′+CF= FE′+3=BE+3，在Rt△BAE中根据勾股定理求出BE、AE的长，由(1)可知，△ADG≌△BAE，得到DG=BE，AG=BE，再由勾股定理求出DE的长．【详解】解：(1)四边形BE′FE是正方形．理由如下：由旋转得，∠E′=∠AEB=90°，∠EBE′=90°，∵∠BEF=180°-∠AEB=90°，∴四边形BE′FE是矩形，由旋转得，BE′=BE，∴四边形BE′FE是正方形．(2)CF=FE'，证明：如图2，过点D作DG⊥AE于点G，则∠DGA=∠AEB=90°，∵DA=DE，∴AG=12AE，∵四边形ABCD是正方形，∴DA=AB，∠DAB=90°，∴∠BAE+∠DAG=90°，∵∠ADG+∠DAG=90°，∴∠ADG=∠BAE，在△ADG和△BAE中∠ADG=∠BAE∠AGD=∠AEBAD=AB，∴△ADG≌△BAE(AAS)，∴AG=BE；∵四边形BE′FE是正方形，∴BE=FE′，∴AG=FE′，由旋转得，AE=CE′，∴12AE=12CE′，∴FE′=12AE=12CE′，∴CF=FE'．(3)如图3，过点D作DG⊥AE于点G，∵BE=FE′，CF=3，∴AE=CE′=FE′+CF=FE′+3=BE+3，∵AE2+BE2=AB2，且AB=17，∴(BE+3)2+BE2=(17)2，解得，BE=1或BE=-4(不符合题意，舍去)，∴AE=1+3=4，由(2)得，△ADG≌△BAE，∴DG=AE=4，AG=BE=1，∴GE=AE-AG=4-1=3，∵∠DGE=90°，∴DE=DG2+GE2=42+32=5．【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形．10.(2021·湖北鄂州·八年级期末)如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE⎳MN交AD于E，连接EM，CN，DN．(1)求证：DM=MN．(2)求证：EM⎳CN．(3)若AE=1，BN=32，求DN的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)52【分析】(1)在边DA上截取线段DF，使DF=MB连MF，证明△MDF≌△N MB即可求解；(2)由(1)△MDF≌△N MB，证明四边形EMNC为平行四边形即可求解；(3)过N作NQ⊥AP垂足为Q，由(2)知，△EDC≌△MAD；得到AD-DE=AB-AM，AE=MB，BN平分∠CBP所以∠NBQ=45°，可知三角形NBQ是等腰直角三角形，再用勾股定理即可求出和MN和DN．【详解】(1)证明：在边DA上截取线段DF，使DF=MB连MF．∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=AD;∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°∴∠CBP=180°-∠ABC=90°∵BN平分∠CBP∴∠CBP=45°∴∠NBM=∠ABC+∠CBN=90°+45°=135°∵DF=MB,AD=AB∴AD-DF=AB-MB∴AF =AM在Rt △FAM 中,AF =AM ,∴∠AFM =∠AMF =45°∴∠MFD =180°-∠AFM =135°∴∠MFD =∠NBM∵∠DMN =90°∴∠N MB +∠DMA =180°-90°=90°∵∠DMA +∠MDF =90°∴∠N MB =∠MDF在△MDF 和△N MB 中∠MFD =∠NBADF =MB∠MDF =∠NMB∴△MDF ≌△N MB (ASA )∴DM =MN ．(2)如图，设DM 与CE 的交点为H ，∵四边形ABCD 是正方形∴AD =DC ,∠DAM =∠CDE =90°∵∠DMN =90°,CE ⎳MN∴∠DHC =90°,∴∠HDC +∠DCH =90°∴∠HDC +∠ADM =90°∴∠DCE =∠ADM ,在△EDC 和△MAD 中，∠CDE =∠DAMAD =DC∠DCE =∠ADM∴△EDC ≌△MAD (ASA )．∴EC =DM 又DM =MN ，∴EC =MN 又EC ⎳MN ．∴四边形EMNC 为平行四边形．∴EM ⎳CN ．(3)解：如图所示，过N 作NQ ⊥AP 垂足为Q ．由(2)知，△EDC ≌△MAD∴DE =MA ，又AD =AB∴AD -DE =AB -AM 即AE =MB =1∵BN平分∠CBP所以∠NBQ=45°，∴三角形NBQ是等腰直角三角形，在Rt△NBQ中，设BQ=x，则NQ=BQ=x，即x2+x2=(32)2，∴x=3．∴NQ=3，MQ=1+3=4，在Rt△MQN中，MN=32+42=5，又∵在Rt△DMN中，MN=5，DM=5，∴DN=52+52=52．【点睛】此题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定和判定以及勾股定理的应用，掌握它们的性质和判定是解题的关键．11.(2022·广东·塘厦初中八年级期中)四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)如图，求证：矩形DEFG是正方形；(2)若AB=4，CE=22，求CG的长度；(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．【答案】(1)见解析；(2)22；(3)∠EFC=130°或40°【分析】(1)作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；(2)通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题；(3)分两种情形：①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，求得∠DEC=45°+40°=85°，得到∠CEF=5°，根据角的和差得到∠EFC=130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，根据三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】(1)证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA=∠BCA，∴EQ=EP，∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，∴∠QEF =∠PED ，在△EQF 和△EPD 中，∠QEF =∠PEDEQ =EP ∠EOF =∠EPD，∴△EQF ≌△EPD (ASA )，∴EF =ED ，∴矩形DEFG 是正方形；(2)如图2中，在Rt △ABC 中，AC =2AB =42，∵CE =22，∴AE =CE ，∴点F 与C 重合，此时△DCG 是等腰直角三角形，∴四边形DECG 是正方形，∴CG =CE =22；(3)①如图3，当DE 与AD 的夹角为40°时，∠DEC =45°+40°=85°，∵∠DEF =90°，∴∠CEF =5°，∵∠ECF =45°，∴∠EFC =130°，②如图4，当DE 与DC 的夹角为40°时，∵∠DEF =∠DCF =90°，∴∠EFC =∠EDC =40°，综上所述，∠EFC =130°或40°．【点睛】此题考查了正方形的判定以及性质，涉及了全等三角形的证明、等腰直角三角形等性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．12.(2021·山西·八年级期末)综合与实践：如图1，在正方形ABCD 中，连接对角线AC ，点O 是AC 的中点，点E 是线段OA 上任意一点(不与点A ，O 重合)，连接DE ，BE ．过点E 作EF ⊥DE 交直线BC于点F．。
勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
1．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．例．如图所示，有一正方体纸盒，在点C1处有一只小虫，它要爬到点A吃食物．应该沿着怎样的路线才能使行程最短？解：如图，把侧面或上面展开与正面组成一矩形，连接AC1，则AC1就是行程最短的路线．2.赵爽弦图模型我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2．称为勾股定理．把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论证明：由图2得，大正方形面积＝4×＝（a +b ）2，整理得b 2+c 2+2ab ＝2ab +c 2，∴c 2＝a 2+b 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．考点一：行程最短问题 【例1】．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm ，底面半径等于4cm ，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 cm ．（π取3）➢变式训练【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10cm ，母线长为40cm ，C 为母线P A 的中点，一只蚂蚁欲从点B 处沿圆锥的侧面爬到点C处，则它爬行的最短距离是 cm ．例题精讲【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是cm．【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．考点二：弦图模型的应用【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是．➢变式训练【变式2-1】．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是．【变式2-2】．如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为．1．如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（）A．5＜S≤6B．6＜S≤7C．7＜S≤8D．8＜S≤92．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan ∠ADE的值为（）A．B．C．D．3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．304．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为4，大正方形面积为74，直角三角形中较小的锐角为θ，那么tanθ的值是（）A．B．C．D．5．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（）A．B．C．D．6．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为．7．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是．8．将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1﹣S2＝．9．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为．10．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E 的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为cm2．12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的，在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径作，再以CD为直径作半圆交于点E，若边长AB＝10，则△CDE的面积为．13．图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）．现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为．14．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连接AC，交BG于点P，交DE 于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP﹣S△CGP＝，③DH+HC＝4，④HC＝2+，以上说法正确的是.（填写序号）15．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，（1）请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？（1）如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．16．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理；（2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝．17．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．。
九年级数学几何模型压轴题专题练习(解析版)
九年级数学几何模型压轴题专题练习（解析版）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.如图 1,在 Rt∆ΛSC 中，Z4 = 90o, AB=AC f点 D, E 分别在边 AB, AC 上，AD=AE f连接DC,点M, P, N分别为DE, DC, BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_,位置关系是_；（2〉探究证明：把AADF绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接BD, CE,判断APMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把AADF绕点A在平面内自由旋转，若AD=4, AB=IO f请直接写出APMN面积的最人值.【答案】（I）PM=PΛ∕, PM丄PN；（2） APMN是等腰直角三角形.理由见解析；（3）49 S A.PMN⅜⅛大=.【解析】【分析】（1）由已知易得加=C利用三角形的中位线得出PM = ；CE , PN = ；BD,即可2 2得出数量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出ZDPM = ZDc4,最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出MBQ三AACE,得出皮） = CE,同（1）的方法得出PM=-BD i2PN = LBD t即可得出PM = PN,同（1）的方法由2ZMPN = ZDCE+ ZDCB+ ZDBC= ZACB+ ZABC ,即可得出结论；（3〉方法1：先判断出MN最人时，APMN的面积最大，进而求出AN, AM,即可得出MN最）＜=AM + AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2：先判断出BD最大时，WMN的面积最大，而Br）最人是AB + AD = 14,即可得出结论.【详解】解：（1）•••点P, N是BC, CD的中点，.∙.PN□BD, PN = -BD,2•••点P, M是CD，DE的中点，..PM//CE9 PM=丄CE ,2∙.∙AB=AC, AD=AE^:.BD = CE ,:.PM = PN,-PN//BD f.∙. ZDPN = ZADC,'：PMIlCE.:.ZDPM = ZDCA,∙.∙ ZfiAC = 90。
赵爽弦图模型-学生版--中考数学专题专练
赵爽弦图模型模型讲解◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF= GD=AH，则四边形EHGF是正方形.◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则四边形ORQP是正方形.◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，则:(1)S正方形ABCD =4SΔAEH十S正方形EFGH;(2)S正方形EFGH =4SΔHPE十S正方形OPQR;(3)S正方形ABCD -S正方形EFGH=S正方形EFGH-S正方形OPQR.(4)2S正方形EFGH =S正方形ABCD十S正方形OPQR注：常见的勾股数组合①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;1(2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习)如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=10，大正方形面积为25，则小正方形边长为()A．3B．2C．5D．32(2023春·河北沧州·八年级校考阶段练习)如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是()A．121B．144C．169D．1963(2022秋·福建三明·八年级统考期末)某大会会标如图所示，它是由相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则a+b2的值()A．13B．19C．25D．1694(2021秋·贵州六盘水·八年级统考阶段练习)如图，这是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF=1，AH=3，那么AB等于()A．4B．5C．9D．105(2023春·全国·八年级专题练习)如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案．已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边(a>b)，则下列说法：①a2+b2=25，②a-b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是()A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④6(2023春·全国·八年级专题练习)用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a,b a<b，斜边长为c．(1)结合图①，求证：a2+b2=c2；(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH=6．求该图形的面积．7(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a -3ab -4+6b 因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式=2a -3ab -4-6b =a 2-3b -22-3b =2-3b a -2解法二：原式=2a -4 -3ab -6b =2a -2 -3b a -2 =a -2 2-3b【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)【类比】(1)请用分组分解法将x 2-a 2+x +a 因式分解；【应用】(2)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和b (a >b )，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a 4-2a 3b +2a 2b 2-2ab 3+b 4因式分解，再求值．8(2023春·全国·八年级专题练习)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形(如图1)与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图2)．(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：；(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求证(1)中的定理结论；(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．(用m，n表示)9(2020秋·广东佛山·八年级统考期中)我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图①)，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a，b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．(1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图②)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．(2)如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．10(2022春·安徽芜湖·八年级统考期中)图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．(1)在Rt△ABCC中，AC=a，BC=b，∠ACB=90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求a+b2；(2)在(1)的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长(图中实线部分)．。
中考模型解题之弦图模型
5．（2０11）如图,四边形ＡＢCD,Ｍ为BC边的中点.若∠B=∠ＡMD=
∠C=45°，AB=8,CＤ=9，则AD的长为(）
ﻩA．３B.4C.5Ｄ.6
6.(2011荆州)如图,P为线段AB上一点，ＡＤ与BC交干Ｅ,∠CPD=∠A＝∠B，BC交PD于F,AD交PC于G,则图中相似三角形有（）
中考模型解题-之-弦图模型
———————————————————————————————— 作者：
—————————————————————————————一、知识提要
1.弦图基本模型
模型一:
模型二：
2.弦图模型之变形
二、专项训练
【板块一】弦图基本模型
1.如图,Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D,DE⊥AC,垂足为Ｅ,求证： .
A．1对B．2对C．３对ﻩD．4对
7.在△ABＣ中,ＡＣ=BC，∠ＡCB=90°，点M是AC上的一点，点N是ＢC上的一点,沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的Ｐ点,
求证:MC:NC=AP:PB．
2.如图,梯形ＡBCD中,AB//ＤC,∠B＝9０°,E为ＢC上一点，且AＥ⊥ＥＤ.若ＢC＝12,DC=7，BＥ：ＥC=1：2,则ＡＢ的长为____________．
3.在△ＡBＣ中,AB= ，AC=４,BC＝2，以AB为边向△ABＣ外作△ABＤ,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.
【板块二】弦图模型之变形
中考数学几何模型之弦图模型(解析版)
中考数学几何模型：弦图模型名师点睛拨开云雾开门见山弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH ⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.注意局部弦图（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.包含“一线三垂直”典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面积.变式练习>>>1．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE，以CE为边作正方形CEFG，点D，F在直线CE的同侧，连接BF，若AE=1，求BF的长.例题2. 如图，以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF，该正方形的中心为点O，连接AO.若AB=4，AO=62，求AC的长.变式练习>>>2．如图，点A，B，C，D，E都在同一条直线上，四边形X，Y，Z都是正方形，若该图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是___________.例题3. 如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，D 为△ABC 外一点，满足∠CBD=90°，BC=BD ，若=4.5ACD S △，求AC 的长.变式练习>>>3．点P 是正方形ABCD 外一点，PB=10cm ，△APB 的面积是60cm 2，△CPB 的面积是30cm 2．求正方形ABCD 的面积.例题4. 在边长为10的正方形ABCD 中，内接有6个大小相同的正方形，P 、Q 、M 、N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积.变式练习>>>4．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为1+．【解答】解：在△AOM和△BAN中，，∴△AOM≌△BAN（AAS），∴AM＝BN＝，OM＝AN＝，∴OD＝+，BD＝﹣，∴B（+，﹣），∴双曲线y＝（x＞0）同时经过点A和B，∴（+）•（﹣）＝k，整理得：k2﹣2k﹣4＝0，解得：k＝1±（负值舍去），∴k＝1+；故答案为：1+．例题5. 如图，在等腰Rt △ACB 和等腰Rt △DCE 中，∠AXB=∠DCE=90°，连接AD ，BE ，点I 在AD 上， （1）若IC ⊥BE ，求证：I 为AD 中点； （2）若I 为AD 中点，求证：IC ⊥BE例题6. 在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为2y x b =+，其与x 轴交于点A,与y 轴交于点B ，在直线l 移动的过程中，直线y=4上是否存在点P ，使得△PAB 是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标，如不存在，请说明理由.达标检测领悟提升强化落实1. 如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，则S2的值是．【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，故答案为：．2. 我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图1）．它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．在弦图中（如图2），已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，对角线BD分别交AH，CF于点P、Q．在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M，N，且MN经过点O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4．则△APD的面积为5．【解答】解：如图，连接FH，作EK∥MN，OL⊥DG∵四边形ABCD是正方形，且BD＝2MN＝4∴MN＝2，AB＝2∵四边形EFGH是正方形∴FO＝HO，EH∥FG∴∠HMO＝∠FNO，∠MHO＝∠NFO，且FO＝HO∴△MHO≌△FNO（AAS），∴MH＝FN∵MH＝3ME，∴MH＝FN＝3EM，EH＝EF＝4EM∴EK∥KN，EH∥FG，∴四边形EMNK是平行四边形∴MN＝EK＝2，KN＝EM，∴FK＝2EM∵EF2+FK2＝EK2，∴16EM2+4EM2＝20，∴EM＝1，∴EH＝4，∵AD2＝（AE+4）2+DH2，且AE＝DH∴DH＝AE＝2，∴AH＝6∵PH∥OL，∴，∴PH＝1，∴AP＝5，∴S△APD＝×5×2＝5故答案为53．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（正方形的各边都相等，各角均为90°）（1）判断CE与BG的关系，并说明理由；（2）若BC＝3，AB＝5，则AEG面积等于6．【解答】解：（1）如图，∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，∴∠BPC+∠ABG＝90°，∴CE⊥BG；（2）延长GA，过E作EQ⊥AQ，∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAG+∠BAC＝180°，∵∠EAG+∠EAQ＝180°，∴∠EAQ＝∠BAC，∴EQ＝AE•sin∠EAQ＝AB•BC＝3，∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝＝4，∴AEG面积＝AG•EQ＝×4×3＝6．4．【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A＝1，PB＝2，PC ＝3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．【解答】解：（1）思路一、如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝2，∵AP＝1，∴AP2+PP'2＝1+8＝9，∵AP'2＝32＝9，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝，∵AP＝3，∴AP2+PP'2＝9+2＝11，∵AP'2＝（）2＝11，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．5．如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上一点，AD＝BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF．①求证：AF+AB＝BC②判断FD与DC的关系并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：①∵AD＝BC，∴AD＝AB+BD，AF＝BD，∴AF+AB＝BC．②∵AF⊥AB，∴∠F AD＝90°，又∵∠DBC＝90°，∴∠F AD＝∠DBC，∵AF＝BD，AD＝BC，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝CD，∠ADF＝∠BCD，∴∠BDC+∠ADF＝∠BDC+∠BCD＝90°，即DF⊥DC；（2）解：作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠F AD＝∠DBC，在△F AD与△DBC中，，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△F AD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB，∵∠BDC+∠DCB＝90°，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD＝45°，∵AF∥CE，且AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD＝∠FCD＝45°．6．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为；（直接写出结果）【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝6，BC＝CD＝3，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．【解答】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DP A＝90°，∴∠AQT＝∠DP A．∴△PDA∽△QAB，∴，∴；（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得，；∴，故答案为；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝6，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝3+x，RD＝6﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2＝9①，在Rt△ARD中，（3+x）2+（6﹣y）2＝36②，由②﹣①得x＝2y﹣3③，解方程组，得（舍去），或，∴AR＝3+x＝，∴＝＝．7．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB 为边作正方形ABFE，EP⊥l于P．求证：2EP+AD＝2CD．【解答】证明：作AH⊥BC于H，延长EP交AH于G，∵l是AD的垂直平分线，∴AM＝MD＝AD，l∥AH，又∵四边形ABCD是直角梯形，∴四边形AHCD是矩形，∴AH＝CD，∵PE⊥l，∴EG⊥AH，∴四边形AGPM是矩形，∴GP＝AM＝AD，∴∠AHB＝∠AGE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，在正方形ABFE中，AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABH和△EAG中，，∴△ABH≌△EAG（AAS），∴AH＝EG，∴CD＝GP+PE＝AD+PE，即2CD＝AD+2PE．8．提出问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（1）探索CE与BG的关系；（2）探究△ABC与△AEG面积是否仍然相等？说明理由．（3）如图2，学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，已知△CDG 是直角三角形，∠CGD＝90°，DG＝3m，CG＝4m，四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，则这个六边形花圃ABIHFE的面积为74m2．【解答】解（1）CE＝BG，CE⊥BG；理由：∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，∴∠BPC+∠ABG＝90°，∴CE⊥BG；即：CE＝BG，CE⊥BG；（2）如图1，过点E作EH⊥AG交GA延长线于H；∴∠EHA＝∠90°＝∠BCA，∵∠EAH+∠BAH＝90°，∠BAC+∠BAH＝90°，∴∠EAH＝∠BAC，在△EHA和△BCA中，，∴△EHA≌△BCA，∴EH＝BC，∵AC＝AG∴S△ABC＝AC×BC＝AC×EH，S△AGE＝AG×EH＝AC×EH，∴S△ABC＝S△AGE，（3）∵在Rt△CDG中，DG＝3m，CG＝4m，∴CD＝5m，∵四边形ABCD，CIHG、GFED均为正方形∴CG＝GH＝4，DG＝FG＝3，同（2）的方法得出S△BCI＝S△CDG，S△ADE＝S△CDG∴S六边形花圃ABIHFE＝S正方形ABCD+S△BCI+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△ADE+S△SDG ＝S正方形ABCD+S△CDG+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△CDG+S△CDG＝S正方形ABCD+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+3S△CDG＝CD2+CG2+GH×FG+DG2+3×CG×DG＝52+42+×4×3+32+×4×3＝25+16+6+9+18＝74（m2）．故答案为74m2．9．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1＝d3＝1，d2＝2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为．（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽＝2：1，求矩形ABCD的宽．（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A 顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED＝90°∴∠DGC＝90°，∵四边形ABCD为正方形∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∵∠ADE+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠ADE，∵l3∥l4，∴∠1＝∠DCG，∠ADE＝∠DCG，在△AED与△DGC中，，∴△AED≌△GDC（AAS），∴AE＝GD＝1，ED＝GC＝3，∴AD＝＝，故答案为：；（2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，则BE＝1，BF＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠FBC＝90°，∵∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠FBC＝∠EAB，当AB＜BC时，AB＝BC，∴AE＝BF＝，∴AB＝＝；如图3当AB＞BC时，同理可得：BC＝，∴矩形的宽为：，；（3）如图4过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，∵∠OAE′＝30°，则∠E′FN＝60°∵AE′＝AE＝1，故E′O＝，E′N＝，E′D′＝，由勾股定理可知菱形的边长为：＝＝．10．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG （点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝1；①求点F到AD的距离；②求BF的长；（3）若BF＝3，请直接写出此时AE的长．【解答】解：（1）作FH⊥AB于H，如图1所示：则∠FHE＝90°，∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD＝CD＝4，EF＝CE，∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°，∴∠FEH＝∠CED，在△EFH和△CED中，，∴△EFH≌△CED（AAS），∴FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，∴BH＝AB+AH＝8，∴BF＝＝＝4；（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图2所示：则FM＝AH，AM＝FH，①∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝3，同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，即点F到AD的距离为3；②∴BM＝AB+AM＝4+3＝7，FM＝AE+EH＝5，∴BF＝＝＝；（3）分三种情况：①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD于点H，交BC延长线于K．如图3所示：同（1）得：△EFH≌△CED，∴FH＝DE＝AE+4，EH＝CD＝4，∴FK＝8+AE，在Rt△BFK中，BK＝AH＝EH﹣AE＝4﹣AE，由勾股定理得：（4﹣AE）2+（8+AE）2＝（3）2，解得：AE＝1或AE＝﹣5（舍去），∴AE＝1；②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，如图4所示：同理得：AE＝2+或2﹣（舍去）．③当点E在AD上时，可得：（8﹣AE）2+（4+AE）2＝90，解得AE＝5或﹣1，5＞4不符合题意．综上所述：AE的长为1或2+．。
决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品 专题18 创新型与新定义综合问题(教师版含解析)
决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品 专题18创新型与新定义综合问题【考点1】几何综合探究类阅读理解问题【例1】综合与实践：阅读理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 75︒的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 如图1，作Rt ABC ∆，使90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 至点D ，使BD BA =，连接AD .设1AC =，则2BD BA ==，3BC =.tan 75tan DC DB BC DAC AC AC +︒=∠==23231+==+.请解决下列问题：(1)类比求解：求出tan 22.5︒的值；(2)问题解决：如图2，某住宅楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22.5︒时，住宅在建筑物的墙上留下高3m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45︒时，住宅楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离(B ，F ，C 在一条直线上).求住宅楼AB 的高度(结果保留根号)；(3)探究发现：如图3，小明用硬纸片做了两个直角三角形，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =；在Rt DEF ∆中，90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =.他将DEF ∆的斜边DF 与ABC ∆的斜边AC 重合在一起，并将DEF ∆沿CA 方向移动.在移动过程中，D ，F 两点始终在CA 边上(移动开始时点F 与点C 重合).探究在DEF ∆移动过程中，是否存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒？如果存在，直接写出CD 的长度；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)21-；(2)住宅楼的高为()823m +.(3)存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒，CD 的长为22+.【分析】 (1)如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，即可解决问题；(2)在Rt ABF ∆中，设AB 为x m 得出13BC BF FC x =+=+，在Rt AEM ∆中，根据tan 22.5AM ME ︒=列出关于x 的方程32113x x -=-+求解即可； (3)因为在Rt DEF ∆中，90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =，所以=2FE ；假设在DEF ∆移动过程中，存在某个位置使得22.5ECD ∠=︒，因为45EFD ∠=︒，所以CF=FE=2，所以CD 的长为22+.【详解】(1)如图，延长CB 至点D ，使BD BA =，连接AD .在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45ABC ∠=︒，设1AC =，则1BC AC ==.∴2222112BD BA BC AC ==+=+=∴tan 22.5tan AC AC ADC DC BD BC ︒=∠==+ ()()2121212121-===++-.(2)如图，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M .在Rt ABF ∆中，45AFB ∠=︒，设AB 为x m .∴BF AB x ==.∴13BC BF FC x =+=+.∵在Rt AEM ∆中，22.5AEM ∠=︒，∴3AM AB BM AB CE x =-=-=-，13ME BC x ==+. ∵tan 22.5AM ME ︒=， ∴32113x x -=+. ∴()()1321022132222222x ==--+ 16268232==. 答：住宅楼的高为()823m .(3)存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒，理由如下：当22.5ECD ∠=︒时，∵45EFD ∠=︒，∴∠ECF=∠CEF，∴CF=EF，∵90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =，∴2EF =22CD CF DF =+=+.【点睛】本题考查了学生综合运用数学知识的能力，解题的方法不唯一，可让学生采用不同的方法求解，培养学生的思维能力. 【变式1-1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．【答案】(1)四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析.(2)见解析.(3)GE=73．【解析】(1)四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；(2)如图1，∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；(3)连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG ACGAB CAE AB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB≌△CAE(SAS)，∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG2，BE2，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE73【名师点睛】(1)根据垂直平分线的判定定理证明即可；(2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可；(3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．【变式1-2】综合与实践正方形内“奇妙点”及性质探究定义：如图1，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D为圆心，DA为半径作AC，与半圆O 交于点P.我们称点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．性质探究：如图2，连接DP 并延长交AB 于点E ，则DE 为半圆O 的切线．证明：连接OP OD ，．由作图可知，DP DC OP OC ==，，又OD OD =．.OPD OCD SSS ∴≌（）90OPD OCD ∴∠=∠=︒，∴DE 是半圆O 的切线．问题解决：(1)如图3，在图2的基础上，连接OE .请判断∠BOE 和CDO ∠的数量关系，并说明理由；(2)在(1)的条件下，请直接写出线段DE BE CD ，，之间的数量关系；(3)如图4，已知点P 为正方形ABCD 的一个“奇妙点”，点O 为BC 的中点，连接DP 并延长交AB 于点E ，连接CP 并延长交AB 于点F ，请写出BE 和AB 的数量关系，并说明理由；(4)如图5，已知点E F G H ，，，为正方形ABCD 的四个“奇妙点”．连接AG BH CE DF ，，，，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．【答案】(1)BOE CDO ∠=∠，理由见解析；(2)DE BE CD =+；(3)14BE AB =，理由见解析；(4)答案不唯一，如：ABH 的面积等于正方形EFGH 的面积；正方形EFGH 的面积等于正方形ABCD 面积的15等． 【分析】(1)先提出猜想，在图2以及上面结论的基础上，根据全等三角形的性质、四边形的内角和、邻补角的性质可得出BOP PDC ∠=∠，再由边边边定理可证得POE BOE ≌，然后利用全等三角形的性质、等式性质可得证结论；(2)由(1)可知OPD OCD ≌、POE BOE ≌，根据全等三角形的性质、线段的和差即可得到结论；(3)先提出猜想，添加辅助线构造出直角三角形，由(1)可知BOE CDO ∠=∠，则其正切值相等，再根据正方形的性质即可得证结论；(4)根据前面的结论结合赵爽弦图可证得 1===5RtDFC Rt DAG Rt ABH Rt BCE EFGH ABCD S S S S S S ==正方形正方形，即可提出猜想． 【详解】解：(1)结论：BOE CDO ∠=∠理由如下：∵OPD OCD ≌∴90OPD OCD ∠=∠=︒，POD COD ∠=∠，12CDO PDO PDC ∠=∠=∠ ∴360180POC PDC OPD OCD ∠+∠=-∠-∠=︒︒∵180POC BOP ∠+∠=︒∴BOP PDC ∠=∠在Rt POE △和Rt BOE △中∵OE OE =，OP OB =∴POE BOE ≌∴12POE BOE BOP ∠=∠=∠ ∵12CDO PDO PDC ∠=∠=∠ ∴BOE CDO ∠=∠；(2)∵由(1)可知，OPD OCD ≌、POE BOE ≌∴DP CD =，PE BE =∵DE DP PE =+∴DE BE CD =+∴线段DE 、BE 、CD 之间的数量关系是DE BE CD =+；(3)结论：14BE AB = 理由：连接OE 、OD ，如图：由(1)可知，BOE CDO ∠=∠∵90B OCD ∠=∠=︒∴tan tan BOE CDO ∠=∠∵点O 为BC 的中点 ∴12BE OC BO DC == ∴11112224BE BO BC BC ==⨯= ∵四边形ABCD 是正方形∴AB BC =∴14BE AB =； (4)延长DF 交BC 于点O ，连接DE 、OE ，如图：∵由前面的结论可知OED OCD ≌∴DE DC =∵此图为赵爽弦图即DF CE ⊥∴EF CF =同理可得FG DG =、GH AH =、HE BE =∵四边形EFGH 是正方形∴EF FG GH HE ===∴EF FG GH HE CF DG AH BE =======∴在Rt EHQ 和Rt DGQ 中，()90EQH DQG QHE QGD EH DG ⎧∠=∠⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩对顶角相等∴()Rt EHQ Rt DGQ AAS ≌∴Rt EHQ Rt DGQ S S =∴Rt DEFEFGH S S =正方形∴1===5Rt DFC Rt DAG Rt ABH Rt BCEEFGH ABCD S S S S S S==正方形正方形∴答案不唯一，例如，ABH的面积等于正方形EFGH的面积；正方形EFGH的面积等于正方形ABCD面积的15等等．【点睛】本题属于新定义问题，涉及到的知识点有全等三角形的判定和性质、正方形的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数、邻补角的性质、对顶角的性质、线段的和差等知识点，考查了创新能力和知识的迁移能力，有一定的难度．【考点2】代数类新定义及阅读理解型问题【例2】阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，以此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1、a2、a3，…，a n，…，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，期中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：(1)等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______．(2)如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d……，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+(______)d(3)求﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项？并说明理由．【答案】(1)5，25；(2)n﹣1；(3)第2018项，理由见解析．【分析】(1)根据题目中的材料，可以得到等差数列5，10，15，…的公差d和第5项的值；(2)根据题目中推导，可以得到等差数列的通项公式；(3)根据题意和题目中的数据，利用(2)中的结论，可以得到等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的公差和通项公式，从而可以求得﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项.【详解】解：(1)由题意可得，d＝15﹣10＝5，第5项是：15+5+5＝25，故答案为：5，25；(2)如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+(n﹣1)d，故答案为：n﹣1；(3)﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项，理由：等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…，∴d＝﹣7﹣(﹣5)＝﹣7+5＝﹣2，∴a n＝﹣5+(n﹣1)×(﹣2)＝﹣2n﹣3，令﹣2n﹣3＝﹣4039，解得，n＝2018，即﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项.【点睛】此题考查数的计算规律，解题的关键是读懂题意，理解等差数列及等差数列公差的定义，由此正确计算各等差数列中的公差，得到数据的计算规律由此解决问题.【变式2-1】(2019•随州)若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c．【基础训练】(1)解方程填空：①若2x+3x=45，则x=__________；②若7y–8y=26，则y=__________；③若93t+58t=131t，则t=__________；【能力提升】(2)交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被__________整除，mn–nm一定能被__________整除，mn•nm–mn一定能被__________整除；(请从大于5的整数中选择合适的数填空)【探索发现】(3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325，则用532–235=297)，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；②设任选的三位数为abc(不妨设a＞b＞c)，试说明其均可产生该黑洞数．【答案】(1)①2．②4．③7．(2)11；9；10．【解析】(1)①∵mn=10m+n，∴若2x+3x=45，则10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为：2．②若7y–8y=26，则10×7+y–(10y+8)=26，解得y=4，故答案为：4．③由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若93t+58t=131t，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案为：7．(2)∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11(m+n)，∴则mn+nm一定能被11整除，∵mn–nm=10m+n–(10n+m)=9m–9n=9(m–n)，∴mn–nm一定能被9整除．∵mn•nm–mn=(10m+n)(10n+m)–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10(10mn+m2+n2)∴mn•nm–mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．(3)①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，972–279=693，963–369=594，954–459=495，954–459=495，…故答案为：495．②当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a+10b+c–(100c+10b+a)=99(a–c)，结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，∴a–c≤9，∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，故都可以得到该黑洞数495．【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．【变式2-2】阅读下列材料：小明为了计算220172018+++++的值，采用以下方法：12222设220172018S12222=+++++①则220182019=++++②2S2222②-①得2019-=-2S S21∴2201720182019S1222221=+++++=-(1)291222++++= ;(2)210333+++= ;(3)求2n1a a a++++的和(0a>，n是正整数，请写出计算过程).【答案】(1)1021-; (2)11312-; (3)n+1或n11a1Sa+--=.【解析】【分析】(1)利用题中的方法设S=1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S=2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；(2)利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可；(3)利用(2)的方法计算．【详解】(1)设S=1+2+22+ (29)则2S=2+22+ (210)②-①得2S-S=S=210-1∴S=1+2+22+…+29=210-1；故答案为210-1(2)设S=3+3+32+33+34+…+310 ①，则3S=32+33+34+35+…+311 ②，②-①得2S=311-1，所以S=11312-，即3+32+33+34+ (310)11312-；故答案为11312-；(3)设S=1+a+a2+a3+a4+..+a n①，则aS=a+a 2+a 3+a 4+..+a n +a n+1②，②-①得：(a-1)S=a n+1-1，a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1；a 不等于1时，a-1才能做分母，所以S=111n a a +--， 即1+a+a 2+a 3+a 4+..+a n =111n a a +--. 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．【考点3】函数类新定义综合型问题【例3】已知函数12y kx k =+与函数2223,y x x =-+定义新函数21y y y =-(1)若2,k =则新函数y = ；(2)若新函数y 的解析式为22,y x bx =+-则k = ，b = ； (3)设新函数y 顶点为(),m n ．①当k 为何值时，n 有最大值，并求出最大值；②求n 与m 的函数解析式；(4)请你探究：函数1y 与新函数y 分别经过定点,A B ，函数2223y x x =-+的顶点为C ，新函数y 上存在一点D ，使得以点,,,A B C D 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k 的值．【答案】(1)261-+x x ；(2)5,12-；(3)①当32k =-时，174n =最大值；②24=--+n m m ；(4)1712=k 或1712k =-或3512k =- 【分析】(1)将k=2代入函数，然后用21y y -得到新函数；(2)先求出新函数，然后比较2个函数，利用对应位置的系数相同可求得；(3)①先用k 表示新函数的定点，得出m 、n 和k 的关系式，再利用配方法求得n 最大时k 的值； ②已求得m 、n 关于k 的关系式，将1k m =-代入n 中，化简可得m 、n 的关系式；(4)先求出定点A 、B 、C ，如下图，存在3处D 可构成平行四边形，利用平行四边形的特点求出点D 的坐标，进而得出k 的值．【详解】(1)当k=2时1222=42y x x =⋅⋅++221=2342y y y x x x =--+--=261-+x x(2)2221232kx (22)(3)y y y x x k x k x k =-=-+--=-++-∵新函数的解析式为：22,y x bx =+-∴b=(22)k -+，－2=(3－k)解得：k=5，b=－12(3)①新函数()2213y x k x k =-++-项点为(),m n . ()22132y x k k k ∴=----+.21,3 2.m k n k k =+⎧∴⎨=--+⎩ 223173224n k k k ⎛⎫∴=--+=-++ ⎪⎝⎭ 当32k =-时，174n =最大值 ∴新函数y 的顶点的绿坐标有最大值，最大值为174②21,3 2.m k n k k =+⎧⎨=--+⎩将1k m =-代入232n k k =--+得:24n m m ∴=--+(4)∵点A 是12y kx k =+的定点坐标1(21)y x k =+，当x=12-时，y=0 ∴A(12-，0)∵点B 是新函数2(22)(3)y x k x k =-++-上的定点2(21)(23)y x k x x =--+-+当x=12-时，y=174∴点B(12-，174) ∵点C 是2223y x x =-+的定点22(1)2y x =-+∴C(1，2)∵四边形ABCD 是平行四边形，存在如下图3种情况：根据平行四边形的性质，易知：图1中，点D(1，94-) 图2中，点D(1，254) 图3中，点D(-2，94) 当点D(1，94-)时，代入新函数2(22)(3)y x k x k =-++- 解得：k=1712同理可得1712k =-或3512k =-∴1712=k 或1712k =-或3512k =- 【点睛】本题考查二次函数的综合，难点在第(4)问，解题关键是先确定定点A 、B 和顶点C 的坐标，根据平行四边形的性质得出点D 的坐标．【变式3-1】特例感知(1)如图1，对于抛物线211y x x =--+，2221y x x =--+，2331y x x =--+，下列结论正确的序号是_________；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点(0,1)C ；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移12个单位得到； ③抛物线1y ，2y ，3y 与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念(2)把满足21n y x nx =--+(n 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在(2)中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，…，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：1C ，2C ，3C ，…，n C ，其横坐标分别为：1k --，2k --，3k --，…，k n --(k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，连接n n C A ，11n n C A --，判断n n C A ，11n n C A --是否平行？并说明理由.【答案】(1)①②③(2)①2,124n n n P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，21y x =+． 21k +③不平行，直线n n C A 的斜率(比例系数)为k n +，与n 取值有关(若两直线平行，则斜率会相等).【解析】(1)①当x =0,1231y y y ===，所以正确；②123,,y y y 的对称轴分别是直线112x =-，21x =-，332x =-，所以正确； ③123,,y y y 与1y =交点(除了点C )横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．(2)①2224124n n n y x nx x +⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，所以顶点24,24n n n P ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 令顶点n P 横坐标2n x =-，纵坐标244n y +=，22241142n n y x +⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭， 即：n P 顶点满足关系式21y x =+. ②相邻两点之间的距离相等．理由：根据题意得；()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++， ∴C n C n –1两点之间的铅直高度=()2211k nk k k nk k --++---+=． C n C n –1两点之间的水平距离=1()1k n k n --+---=．∴由勾股定理得C n C n –12=k 2+1，∴C n C n –121k +.③n n C A 与11n n C A --不平行．理由：根据题意得：()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++， (),1n A n -，()11,1n A n --+．过C n ，C n –1分别作直线y =1的垂线，垂足为D ，E ，所以D (–k –n ，1)，E (–k –n +1，1).在Rt △DA n C n 中，tan ∠DA n C n =()2211()n n k nk C D k nk k n A D n k n k---++===+----， 在Rt △EA n –1C n –1中，tan ∠EA n –1C n –1=()22111111(1)n n k nk k C E k nk k k n A E n k n k-----+++-===+--+---+， ∵1k n +-≠k n +，∴tan ∠DA n C n ≠tan ∠EA n –1C n –1，∴n n C A 与11n n C A --不平行．【变式3-1】(2019•山东威海)(1)阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数y =1x的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ．分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数y =1x的图象于点D ．点E ，F ，G 的横坐标分别为n ﹣1，n ，n +1(n >1)． 小红通过观察反比例函数y =1x 的图象，并运用几何知识得出结论： AE +BG =2CF ，CF >DF ， 由此得出一个关于11n -，11n +，2n，之间数量关系的命题： 若n >1，则__________．(2)证明命题小东认为：可以通过“若a ﹣b ≥0，则a ≥b ”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明(1)中的命题．【解析】(1)∵AE+BG=2CF，CF>DF，AE=11n-，BG=11n+，DF=1n，∴11n-+11n+>2n．故答案为：11n-+11n+>2n．(2)方法一：∵11n-+11n+﹣2n=22222(1)(1)n n n n nn n n++--+-+=2(1)(1)n n n-+，∵n>1，∴n(n﹣1)(n+1)>0，∴11n-+11n+﹣2n>0，∴11n-+11n+>2n．方法二：∵11112n nn+-+=221nn->1，∴11n-+11n+>2n．【名师点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式3-2】定义一种新运算：a⊕b＝a(a b) b(a b)⎧≤⎨>⎩(1)请写出函数y＝x⊕1的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象；(2)观察(1)中图象，探究得到y的最小值是．【答案】(1)y ＝x(x 0)x(0x 1)1(x 1)-<⎧⎪⎨⎪>⎩，图象见解析； (2)0．【解析】【分析】(1)根据新运算可得到y= ()()111x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩＞ ，分别讨论x ＜0和0≤x≤1时，去绝对值符号，即可得到函数y=x ⊕1的解析式，在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，即可得到答案，(2)观察(1)中图象，即可得到当x=0时，y 有最小值，即可得到答案．【详解】解：(1)根据题意得：y ＝()()111x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩＞， 当x ＜0时，|x |＝﹣x ，当0≤x ≤1时，|x |＝x ，即y ＝()x(x 0)x 0x 11(x 1)-<⎧⎪⎨⎪>⎩，该函数图象如下图所示：(2)由图象可知：当x ＝0时，y 有最小值0．故答案为：(1)()()()00111x x x x x -⎧⎪≤≤⎨⎪⎩＜＞，图象见解析；(2)0．【点睛】本题考查函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是正确观察函数图象．【考点4】变换操作类阅读型问题【例4】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1) 概念理解：如图1，在四边形ABCD 中，添加一个条件，使得四边形ABCD 是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件： ．(2) 问题探究：如图2，小红画了一个ABC Rt ∆，其中90ABC ∠=︒，2AB =，1BC =，并将ABC Rt ∆沿B ∠的平分线BB '方向平移得到'''C B A ∆，连结AA '、BC '．小红要使平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，应平移多少距离(即线段BB '的长)？(3) 应用拓展：如图3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB AD =，90BAD BCD ∠+∠=︒，AC 、BD 为对角线，2AC =．试探究BC 、CD 、BD 的数量关系．【答案】(1)DA=AB(答案不唯一)；(2)应平移2或5或2或1422的距离；(3)BC2+CD2=2BD2．【解析】试题分析：(1)由“等邻边四边形”的定义易得出结论；(2)①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；(3)由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．解：(1)AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB(任写一个即可)；(2)①正确，理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形；②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC=，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，(I)如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；(II)如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；(III)当A′C′=BC′=时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=∠ABC=45°，∴∠BB′D=′∠ABB′=45°∴B′D=B，设B′D=BD=x，则C′D=x+1，BB′=x，∵在Rt△BC′D中，BD2+(C′D)2=(BC′)2∴x2+(x+1)2=()2，解得：x1=1，x2=﹣2(不合题意，舍去)，∴BB′=x=(Ⅳ)当BC′=AB=2时，如图4，与(Ⅲ)方法一同理可得：BD2+(C′D)2=(BC′)2，设B′D=BD=x，则x2+(x+1)2=22，解得：x1=，x2=(不合题意，舍去)，∴BB′=x=；(3)BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，∵AB=AD，∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，∴△ABF≌△ADC，∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，∴∠BAD=∠CAF，==1，∴△ACF∽△ABD，∴==，∴BD，∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣(∠BAD+∠BCD)=360°﹣90°=270°，∴∠ABC+∠ABF=270°，∴∠CBF=90°，∴BC2+FB2=CF2=(BD)2=2BD2，∴BC2+CD2=2BD2．考点：1．阅读理解题；2．平移，旋转的图形变换性质；3．三角形全等、相似的判定与性质；4．勾股定理的运用．【变式4-1】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.(1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称、；(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O(0,0)、A(3,0)、B(0,4)，点C 为图中所给方格中的另一个格点，四边形OACB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点C 的坐标；(3)如图2，将∆ABC( BC >AB )绕顶点B 按顺时针方向旋转60︒，得到∆DBE ，连接AD 、DC ，四边形ABCD 是勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边，求∠DCB 的度数.【答案】(1)矩形，正方形(答案不唯一)；(2)C(3,4)，(4,3)；(3)∠DCB=30°.【解析】【分析】(1)根据矩形与正方形的性质可得答案；(2)利用勾股定理可得AB=5，然后在格点中找满足OC=5的点即可；(3)连接CE，根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE，则BC=BE，因为∠CBE=60°，所以△BCE是等边三角形，则BC=CE，∠BCE=60°，根据勾股四边形的定义与勾股定理的逆定理可得∠DCE=90°，则可得∠DCB的度数.【详解】解：(1)矩形；正方形(答案不唯一)；(2)，则C点坐标如图为：(3,4)，(4,3)；(3)连接CE，由旋转的性质得：△ABC ≌△DBE ，则BC=BE ，AC=BD ，∵∠CBE=60°，∴△BCE 是等边三角形，∴BC=CE ，∠BCE=60°，∵四边形ABCD 为勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边， ∴， ∴，∴∠DCE=90°，∴∠BCD=∠DCE ﹣∠BCE=90°﹣60°=30°.【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，全等三角形-旋转，等边三角形的判定等，解此题的关键在于准确理解题中勾股四边形的定义，利用勾股定理及其逆定理进行证明.与计算.【变式4-2】根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．①四条边成比例的两个凸四边形相似；(__________命题)②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(__________命题)③两个大小不同的正方形相似．(__________命题)(2)如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，11AB A B =11BC B C =11CD C D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． (3)如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．【解析】(1)①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为假，假，真．(2)如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且11BC B C =11CD C D ， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ， ∵11AB A B =11BC B C =11CD C D ，∴11BD B D =11AB A B ， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1，∴∠ABD =∠A 1B 1D 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1， ∴11AD A D =11AB A B ，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1， ∴11AB A B =11BC B C =11CD C D =11AD A D ，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．(3)如图2中，∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似，∴DE AE =EF AB ， ∵EF =OE +OF ，∴DE AE =OE OF AB+， ∵EF ∥AB ∥CD ，∴DE AD =OE AB ，DE OC OF AD AB AB==， ∴DE AD +DE AD =OE AB +OF AB ，∴2DE AD =DE AE， ∵AD =DE +AE ，∴2DE AE +=1AE， ∴2AE =DE +AE ，∴AE =DE ，∴21S S =1． 【名师点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．1．阅读理解：已知两点1122,,()(),M x y N x y ，则线段MN 的中点(),K x y 的坐标公式为：122x x x +=，122y y y +=．如图，已知点O 为坐标原点，点()30A -,，O 经过点A ，点B 为弦PA 的中点．若点(),P a b ，则有,a b 满足等式：229a b +=．设(),B m n ，则,m n 满足的等式是( )A ．229m n +=B ．223922m n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()222323m n ++= D ．()222349m n ++=【答案】D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求得点B 的坐标，然后代入,a b 满足的等式进行求解即可. 【详解】∵点()30A -,，点(),P a b ，点(),B m n 为弦PA 的中点， ∴32a m -+=，02b n +=， ∴23,2a m b n =+=， 又,a b 满足等式：229a b +=， ∴()222349m n ++=， 故选D ． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式．2．阅读理解：解方程2||20x x --=．解：(1)当0x ≥时，原方程可以化为220x x --=，解得122,10x x ==-<(不合题意，舍去)；(2)当0x <时，原方程可以化为220x x +-=，解得122,10x x =-=>(舍去)，∴原方程的解为122,2x x ==-．那么方程2|1|10x x ---=的解为( )A ．120,1x x ==B ．122,1x x =-=C ．121,2x x =-=D ．121,2x x ==【答案】B 【分析】根据绝对值的定义当x≥1时方程为x 2-x+1-1=0，求出方程的解；当x ＜1时方程为x 2+x-1-1=0，求出方程的解，即可求出答案． 【详解】当x≥1时，方程为x 2-x+1-1=0，∴x 1=0(舍去)，x 2=1；当x ＜1时，方程为x 2+x-1-1=0， ∴x 1=-2，x 2=1(舍去)， ∴方程的解是x 1=-2，x 2=1． 故选：B ． 【点睛】此题考查绝对值，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解题的关键．3．阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a b c d称为22⨯阶行列式，并且规定：a b a d b c c d=⨯-⨯，例如：323(2)2(1)62412=⨯--⨯-=-+=---.二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为：xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；其中1122a b D a b =，1122xc b D c b =，1122ya c D a c =.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组213212x y x y +=⎧⎨-=⎩时，下面说法错误的是( )A ．21732D ==-- B ．14x D =-C ．27yD =D ．方程组的解为23x y =⎧⎨=-⎩【答案】C 【解析】【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得. 【详解】A 、D=2132-=2×(-2)-3×1=﹣7，故A 选项正确，不符合题意； B 、D x =11122-=﹣2﹣1×12=﹣14，故B 选项正确，不符合题意；C 、D y =21312=2×12﹣1×3=21，故C 选项不正确，符合题意；D 、方程组的解：x=147x D D -=-=2，y=217y D D =-=﹣3，故D 选项正确，不符合题意，故选C ．【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.4．将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m 组第n 个数字，则m +n ＝_____． 【答案】65 【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m 、n 的值，然后即可得到m +n 的值． 【详解】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)…， ∴第m 组有m 个连续的偶数， ∵2020＝2×1010， ∴2020是第1010个偶数， ∵1+2+3+ (44)44(441)2⨯+＝990，1+2+3+…+45＝45(451)2⨯+＝1035，∴2020是第45组第1010－990＝20个数， ∴m ＝45，n ＝20， ∴m +n ＝65． 故答案为：65． 【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键． 5．观察下列各式：11111122⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，请利用你发现的规律，计算：2222222211111111111112233420182019+++++++++⋯+++，其结果为____． 【答案】201820182019． 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】2222222211111111111112233420182019++++++++++++11111111122320182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111201812233420182019=+-+-+-++- 201820182019=，故答案为201820182019．【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．6．右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，……，第n 个数记为n a ，则4200a a +=_________．【答案】20110 【分析】根据所给数据可得到关系式()12n n n a +=，代入即可求值．由已知数据1，3，6，10，15，……，可得()12n n n a +=， ∴445102a ⨯==，200200201201002a ⨯==， ∴420020100+10=20110+=a a ． 故答案为20110． 【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键． 7．阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵()2≥0，∴a-2，∴a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立． 结论：在a+b(a 、b 均为正实数)中，若ab 为定值P ，则a+b，当且仅当a=b 时，a+b 有最小值．根据上述内容，回答下列问题：(1)若x ＞0，只有当x= 时，4x+有最小值为 ．(2)探索应用：如图，已知A(-2，0)，B(0，-3)，点P 为双曲线y=(x ＞0)上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状． (3)已知x ＞0，则自变量x 为何值时，函数y=取到最大值，最大值为多少？【答案】(1)，12；(2)最小值为12，四边形ABCD 是菱形；(3)．。
专题18《弦图模型》
3．略． 【提示】 显然四边形 EHBC 为矩形，所以 FH＝BC＝AB，所以△PAB≌△FHE（ ASA）．所 以 HF＝AP．
7
则四边形 ABSR 是平行四边形． 因为∠ABC＝90°， 所以四边形 ABSR 是矩形． 所以∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS． 因为 AM⊥DN． 所以由（1）中的结论可得 DN ＝ AR ．
AM AB 设 SC＝x，DS＝y，则 AR＝BS＝5＋x．RD＝10－y ， 所以在 Rt△CSD 中，x2＋y2＝25． 在 Rt△ARD 中．（5＋x）2＋（10－y）2＝100．
边形 OMND 为矩形，易证△AOM≌△ABN，所以 AM＝BN＝ 2 ，OM＝AN＝ k ，BD＝ k － 2 ，
2
2
OD＝ k ＋ 2 ，所以点 B（ k ＋ 2 ， k － 2 ），根据双曲线表达式，有（ k ＋ 2 ）·（ k
2
2
2
2
2
＋ 2 ）＝k，解得 k＝1＋ 5 ．
2．∠APD＝45°，为固定值． 【提示】 如图，过点 A 作 AF⊥AB，并截取 AF＝BD，连结 DF，CF．可得 AF∥CE，AF＝CE， 所以四边形 AFCE 是平行四边形，所以 FC∥AE，∠APD＝∠FCD．易证△DAF≌△CBD．则∠1 ＝∠2，FD＝DC．从而∠APD＝∠FCD＝45°．
联立方程组
(5
x2 y2 25 x)2 (10 y)2
102
，
x 5
x 3
得
y
0
（舍），或
y
． 4
所以 AR＝5＋x＝8， 所以 DN ＝ AR ＝ 8 ＝ 4 ．
AM AB 10 5
进阶训练 1．如图，在平面直角坐标系中，经过点 A 的双曲线，y＝ k （k＞0）同时经过点 B．且 x
第6讲弦图模型(解析版)
中考数学几何模型6：弦图模型名师点睛拨开云雾开门见山弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH ⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.注意局部弦图（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.包含“一线三垂直”典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面积.变式练习>>>1．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE，以CE为边作正方形CEFG，点D，F在直线CE的同侧，连接BF，若AE=1，求BF的长.例题2. 如图，以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF，该正方形的中心为点O，连接AO.若AB=4，AO=62，求AC的长.变式练习>>>2．如图，点A，B，C，D，E都在同一条直线上，四边形X，Y，Z都是正方形，若该图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是___________.例题3. 如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，D 为△ABC 外一点，满足∠CBD=90°，BC=BD ，若=4.5ACD S △，求AC 的长.变式练习>>>3．点P 是正方形ABCD 外一点，PB=10cm ，△APB 的面积是60cm 2，△CPB 的面积是30cm 2．求正方形ABCD 的面积.例题4. 在边长为10的正方形ABCD 中，内接有6个大小相同的正方形，P 、Q 、M 、N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积.变式练习>>>4．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为1+．【解答】解：在△AOM和△BAN中，，∴△AOM≌△BAN（AAS），∴AM＝BN＝，OM＝AN＝，∴OD＝+，BD＝﹣，∴B（+，﹣），∴双曲线y＝（x＞0）同时经过点A和B，∴（+）•（﹣）＝k，整理得：k2﹣2k﹣4＝0，解得：k＝1±（负值舍去），∴k＝1+；故答案为：1+．例题5. 如图，在等腰Rt △ACB 和等腰Rt △DCE 中，∠AXB=∠DCE=90°，连接AD ，BE ，点I 在AD 上， （1）若IC ⊥BE ，求证：I 为AD 中点； （2）若I 为AD 中点，求证：IC ⊥BE例题6. 在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为2y x b =+，其与x 轴交于点A,与y 轴交于点B ，在直线l 移动的过程中，直线y=4上是否存在点P ，使得△PAB 是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标，如不存在，请说明理由.达标检测领悟提升强化落实1. 如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，则S2的值是．【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，故答案为：．2. 我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图1）．它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．在弦图中（如图2），已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，对角线BD分别交AH，CF于点P、Q．在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M，N，且MN经过点O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4．则△APD的面积为5．【解答】解：如图，连接FH，作EK∥MN，OL⊥DG∵四边形ABCD是正方形，且BD＝2MN＝4∴MN＝2，AB＝2∵四边形EFGH是正方形∴FO＝HO，EH∥FG∴∠HMO＝∠FNO，∠MHO＝∠NFO，且FO＝HO∴△MHO≌△FNO（AAS），∴MH＝FN∵MH＝3ME，∴MH＝FN＝3EM，EH＝EF＝4EM∴EK∥KN，EH∥FG，∴四边形EMNK是平行四边形∴MN＝EK＝2，KN＝EM，∴FK＝2EM∵EF2+FK2＝EK2，∴16EM2+4EM2＝20，∴EM＝1，∴EH＝4，∵AD2＝（AE+4）2+DH2，且AE＝DH∴DH＝AE＝2，∴AH＝6∵PH∥OL，∴，∴PH＝1，∴AP＝5，∴S△APD＝×5×2＝5故答案为53．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（正方形的各边都相等，各角均为90°）（1）判断CE与BG的关系，并说明理由；（2）若BC＝3，AB＝5，则AEG面积等于6．【解答】解：（1）如图，∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，∴∠BPC+∠ABG＝90°，∴CE⊥BG；（2）延长GA，过E作EQ⊥AQ，∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAG+∠BAC＝180°，∵∠EAG+∠EAQ＝180°，∴∠EAQ＝∠BAC，∴EQ＝AE•sin∠EAQ＝AB•BC＝3，∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝＝4，∴AEG面积＝AG•EQ＝×4×3＝6．4．【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A＝1，PB＝2，PC ＝3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．【解答】解：（1）思路一、如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝2，∵AP＝1，∴AP2+PP'2＝1+8＝9，∵AP'2＝32＝9，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝，∵AP＝3，∴AP2+PP'2＝9+2＝11，∵AP'2＝（）2＝11，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．5．如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上一点，AD＝BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF．①求证：AF+AB＝BC②判断FD与DC的关系并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：①∵AD＝BC，∴AD＝AB+BD，AF＝BD，∴AF+AB＝BC．②∵AF⊥AB，∴∠F AD＝90°，又∵∠DBC＝90°，∴∠F AD＝∠DBC，∵AF＝BD，AD＝BC，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝CD，∠ADF＝∠BCD，∴∠BDC+∠ADF＝∠BDC+∠BCD＝90°，即DF⊥DC；（2）解：作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠F AD＝∠DBC，在△F AD与△DBC中，，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△F AD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB，∵∠BDC+∠DCB＝90°，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD＝45°，∵AF∥CE，且AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD＝∠FCD＝45°．6．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为；（直接写出结果）【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝6，BC＝CD＝3，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．【解答】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DP A＝90°，∴∠AQT＝∠DP A．∴△PDA∽△QAB，∴，∴；（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得，；∴，故答案为；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝6，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝3+x，RD＝6﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2＝9①，在Rt△ARD中，（3+x）2+（6﹣y）2＝36②，由②﹣①得x＝2y﹣3③，解方程组，得（舍去），或，∴AR＝3+x＝，∴＝＝．7．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB 为边作正方形ABFE，EP⊥l于P．求证：2EP+AD＝2CD．【解答】证明：作AH⊥BC于H，延长EP交AH于G，∵l是AD的垂直平分线，∴AM＝MD＝AD，l∥AH，又∵四边形ABCD是直角梯形，∴四边形AHCD是矩形，∴AH＝CD，∵PE⊥l，∴EG⊥AH，∴四边形AGPM是矩形，∴GP＝AM＝AD，∴∠AHB＝∠AGE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，在正方形ABFE中，AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABH和△EAG中，，∴△ABH≌△EAG（AAS），∴AH＝EG，∴CD＝GP+PE＝AD+PE，即2CD＝AD+2PE．8．提出问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（1）探索CE与BG的关系；（2）探究△ABC与△AEG面积是否仍然相等？说明理由．（3）如图2，学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，已知△CDG 是直角三角形，∠CGD＝90°，DG＝3m，CG＝4m，四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，则这个六边形花圃ABIHFE的面积为74m2．【解答】解（1）CE＝BG，CE⊥BG；理由：∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，∴∠BPC+∠ABG＝90°，∴CE⊥BG；即：CE＝BG，CE⊥BG；（2）如图1，过点E作EH⊥AG交GA延长线于H；∴∠EHA＝∠90°＝∠BCA，∵∠EAH+∠BAH＝90°，∠BAC+∠BAH＝90°，∴∠EAH＝∠BAC，在△EHA和△BCA中，，∴△EHA≌△BCA，∴EH＝BC，∵AC＝AG∴S△ABC＝AC×BC＝AC×EH，S△AGE＝AG×EH＝AC×EH，∴S△ABC＝S△AGE，（3）∵在Rt△CDG中，DG＝3m，CG＝4m，∴CD＝5m，∵四边形ABCD，CIHG、GFED均为正方形∴CG＝GH＝4，DG＝FG＝3，同（2）的方法得出S△BCI＝S△CDG，S△ADE＝S△CDG∴S六边形花圃ABIHFE＝S正方形ABCD+S△BCI+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△ADE+S△SDG ＝S正方形ABCD+S△CDG+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△CDG+S△CDG＝S正方形ABCD+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+3S△CDG＝CD2+CG2+GH×FG+DG2+3×CG×DG＝52+42+×4×3+32+×4×3＝25+16+6+9+18＝74（m2）．故答案为74m2．9．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1＝d3＝1，d2＝2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为．（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽＝2：1，求矩形ABCD的宽．（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A 顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED＝90°∴∠DGC＝90°，∵四边形ABCD为正方形∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∵∠ADE+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠ADE，∵l3∥l4，∴∠1＝∠DCG，∠ADE＝∠DCG，在△AED与△DGC中，，∴△AED≌△GDC（AAS），∴AE＝GD＝1，ED＝GC＝3，∴AD＝＝，故答案为：；（2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，则BE＝1，BF＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠FBC＝90°，∵∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠FBC＝∠EAB，当AB＜BC时，AB＝BC，∴AE＝BF＝，∴AB＝＝；如图3当AB＞BC时，同理可得：BC＝，∴矩形的宽为：，；（3）如图4过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，∵∠OAE′＝30°，则∠E′FN＝60°∵AE′＝AE＝1，故E′O＝，E′N＝，E′D′＝，由勾股定理可知菱形的边长为：＝＝．10．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG （点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE＝1；①求点F到AD的距离；②求BF的长；（3）若BF＝3，请直接写出此时AE的长．【解答】解：（1）作FH⊥AB于H，如图1所示：则∠FHE＝90°，∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD＝CD＝4，EF＝CE，∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°，∴∠FEH＝∠CED，在△EFH和△CED中，，∴△EFH≌△CED（AAS），∴FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，∴BH＝AB+AH＝8，∴BF＝＝＝4；（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图2所示：则FM＝AH，AM＝FH，①∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝3，同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，即点F到AD的距离为3；②∴BM＝AB+AM＝4+3＝7，FM＝AE+EH＝5，∴BF＝＝＝；（3）分三种情况：①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD于点H，交BC延长线于K．如图3所示：同（1）得：△EFH≌△CED，∴FH＝DE＝AE+4，EH＝CD＝4，∴FK＝8+AE，在Rt△BFK中，BK＝AH＝EH﹣AE＝4﹣AE，由勾股定理得：（4﹣AE）2+（8+AE）2＝（3）2，解得：AE＝1或AE＝﹣5（舍去），∴AE＝1；②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，如图4所示：同理得：AE＝2+或2﹣（舍去）．③当点E在AD上时，可得：（8﹣AE）2+（4+AE）2＝90，解得AE＝5或﹣1，5＞4不符合题意．综上所述：AE的长为1或2+．。
中考数学几何专项复习题-11弦图模型知识精讲
弦图模型知识精讲1.证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于，如图所示：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，∴∠HDA＝∠EAB，∵∠ADH＋∠HAD＝90°，∴∠EAB＋∠HAD＝90°，∴∠DAB＝90°∵AB＝AD，∴四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2，∵EF＝FG＝GH＝HE＝b－a，∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是一个边长为(b－a)的正方形，它的面积等于(b－a)2，，∴a2＋b2＝c2.2.证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于，如图所示：∵Rt△HAE≌Rt△EBF，∴∠AHE＝∠BEF，∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AEH＋∠BEF＝90°，∴∠HEF＝180°－90°＝90°，∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2，∵Rt△GDH≌Rt△HAE，∴∠HGD＝∠EHA.∵∠HGD＋∠GHD＝90°，∴∠EHA＋∠GHD＝90°，又∵∠GHE＝90°，∴∠DHA＝90°＋90°＝180°，∵四边形EFGH是一个边长为（a＋b）的正方形，它的面积等于（a＋b）2，，∴a2＋b2＝c2.3.证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于，如图所示：∵Rt△EAD≌Rt△CBE，∴∠ADE＝∠BEC.∵∠AED＋∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠BEC＝90°，∴∠DEC＝180°－90°＝90°，∴△DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于又∵∠DAE＝90°，∠EBC＝90°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是一个直角梯形，它的面积等于，a2＋b2＝c2.4.证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S，则：∵△ABH≌△HEF，∴∠BAH＝∠EHF，∴∠BAH＋∠AHB＝∠EHF＋∠AHB＝90°，∴∠AHF＝90°，∴四边形AHFI是正方形，，∴，∴a2＋b2＝c2.5.证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上，且Rt△GEF≌Rt△EBD，∴∠EGF＝∠BED，∵∠EGF＋∠GEF＝90°，∴∠BED＋∠GEF＝90°，∴∠BEG＝180°－90°＝90°又∵AB＝BE＝EG＝GA＝c，∴四边形ABEG是一个边长为c的正方形，∴∠ABC＋∠CBE＝90°，∵Rt△ABC≌Rt△EBD，∴∠ABC＝∠EBD.∴∠EBD＋∠CBE＝90°，即∠CBD＝90°，又∵∠BDE＝90°，∠BCP＝90°，BC＝BD＝a，∴四边形BDPC是一个边长为a的正方形，同理，四边形HPFG是一个边长为b的正方形，设多边形GHCBE的面积为S，则，，∴a2＋b2＝c2.。
中考数学压轴题专项汇编专题弦图模型
专题18 弦图模型破解策略1．内弦图ABCDBFCGCGDHDHAEAEBFABEBCFCDGDAH．≌△在正方形⊥中，≌△⊥，，⊥则△，⊥≌△，如图，ABCBFC＝90°＝∠因为∠证明ABEFBCFBCFCB－90°．＝∠所以∠＋∠＋∠ABEFC B．＝∠所以∠ABBABEBCF，．所以△又因为＝≌△C ABEBCFCDGDAH．同理可得△≌△≌△≌△ADGFHECB2．外弦圈ABCDMNPQABCD边上，且，如图，在正方形在正方形中，点，，MUPQQBMMCNNDPPAQ．≌△≌△四边形≌△为正方形，则△BQMNC＝90°，因为∠＝∠＝∠证明BQMQMBQMBNMC＝90°，＋∠＝∠所以∠＋∠BQMNM C．＝∠所以∠QMMNQBMMCN．，所以△又因为＝≌△QHMMCNNDPPAQ．同理可得△≌△≌△≌△PADQNCMB3．括展ABHABHBEAHE．所以⊥）如图，在Rt△中．∠＝90°，于点1 （ABEBHEAH B．≌△≌△△QBMBLKQBBLQMBK，所以＝，⊥Rt△）如图，在（ 2Rt △和中，QBMBLK．△≌△7/ 1AEHBBKBLKQM＝90°，，⊥证明因为∠KQMBKBIKBL十∠所以∠＋∠90°＝∠＝KQMB所以∠，＝∠BLQB＝又因为．BLKQBM≌△所以△．QKELMB例题讲解CEADCEEABCD，以的正方形，点4所在的直线上，连结1 四边形在边是边长为例AEADCECEFGDFBFE，上时，1．为边，作正方形当点（点＝，在线段在直线的同侧），连结BF求的长．FEADGCBHFADADFH交，解如图，过点的延长线于点作⊥KFHBC交．延长的延长线于点CEFGABCD和四边形是正方形，因为四边形CDEHEDADFHECDFEHAE－4＝3，．＝根据“弦图模型”可得△≌△，所以＝＝＝EDDHHKCDHKCDCKEH＝－因为为矩形，所以1＝＝4，＝．＝CKBCBKHKFKFH＝．5＝＋．，所以＝十＝72274BKFK?BF＝所以＝7/ 2FDEAHGKCBACBACBCDCBDS，求．45°，若5如图，△＝为等腰直角三角形，∠＝90°，∠4＝例2ACD△的长．DBCAFDFBFEBDBBEACE⊥如图，过点解．作作⊥交于点，过点的延长线于点CEBBFD由“外弦图模型”可得△，≌△CEBF＝．所以EFAEBEAC，所以易证＝＝，112ACEFSAC，＝4·＝．所以＝5ACD△22AC从而＝3．FDBECA 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探例3 究，提出下列问题，请你给出证明．BCGHADFEFEFABCDCHABCDF，，）如图（11，在矩形中，于点⊥，，分别交，分别交ADEF HG．求证：于点＝ABGHEF CDBNAMMNBC上，若，点，分别在边122＝（）如图，在满足（）的条件下，又，⊥GHBN11＝．，则AM15DNADABABCABCDCDBCAM，＝10＝＝90°，，在四边形33（）如图中，∠＝，－⊥，57 / 3DN ABMNBC分别在边上，求，点的值．，AM DNDDFFCCMGGMHHBBBNEAAAE3图2图1图AAPEFCDPBBQGHADQ．作作∥．交∥于点于点，过点，交（解 1））如图4．过点ABCD是矩形．因为四边形ABDCADB C．∥∥，所以AEFPBHGQ都是平行四边形，，四边形所以四边形APEFGHBQ．＝＝，所以CHEF．⊥又因为APBQ．所以⊥QATAQT＝90＋∠°．所以∠ABCD是矩形，因为四边形DABD＝90°，所以∠＝∠DAPDPA＝90°，所以∠＋∠AQTDP A．所以∠＝∠PDAQA B．所以△∽△APAD＝所以，BQABADEF＝．所以GHABPFCDGQTHAEBEFGHAMBN．）因为（ 2⊥，⊥7/ 4ADADBNEF＝，所以由（1＝）中的结论可得．AMGHABAB11EFBN．所以＝＝15GHAM BCPBCDABA，交3）如图5．过点的直线于点作平行于且平行于的直线，交过点（S．的延长线于点ABSR是平行四边形．则四边形ABC＝90°，因为∠ABSR是矩形．所以四边形RSRSABARBS．，1090°，＝所以∠＝＝∠＝＝AMDN．因为⊥DNAR＝）中的结论可得．所以由（1AMAB SCxDSyARBSxRDy，－．，＝，则＝＝10＝设5＝＋22yCSDx 25＋．所以在Rt△＝中，22yxARD 100＋＝）＋（10－．在 Rt△）中．（522?25x??y程组，联立方?ARx＝8＋5，所以＝DNAR84＝＝所22210??x)?(10?y)(5?x?35?x???得（舍），或．??y?0y?4??以＝．AMAB105DSRCMBNA进阶训练k kAy＞0）同时经过点B．如图，在平面直角坐标系中，经过点 1的双曲线，＝（．且x7 / 5kABAOBAAOB°，则．点．∠在点＝的左侧，点＝∠__ __＝45的横坐标为2y AB xO BCEABADBDABC上的一点，且上的点，．＝是直线 2．如图，巳知∠＝90°，C是直线APDPAEDCCEB 请求出它的度，，∠相交于点＝的度数是一个固定的值吗？若是，D．直线数；若不是，请说明理由．APBECDABCDPADADBP的垂直平分线分别 3．如图，在正方形上，且不与中，点，在重合．CDABEFQEEHABHEHBPMHF．求证：作⊥与，过点于点．交于点交，于，两点，垂足为AP．＝ECDPQBHAF7/ 6参考答案：型弦图模：专题18．＋1 1．5NAMABAMBDxyBDDM，则四，过点，轴于点【提示】过点轴于点作作⊥交于点，直线⊥kk BDOMANOMNDAOMABNAMBN，＝为矩形，易证△＝≌△＝，所以－＝，＝边形，2222kkkkk BOD （）有（所以点·（＋＋，）－，根据双曲线表达式，＝＋，222222222kk＋，解得．＝）＝＋152y ANMB xO DAPD45．∠°，为固定值．＝ 2CEAFCFAFCEAFAABAFBDDF，【提示】如图，过点．可得作⊥，，并截取∥＝＝，连结，CBDAFAPDFCAFCEFCAE1D所以四边形D是平行四边形，所以∥．易证△，∠≌△＝∠．则∠FCDDAPDFD°．，2＝∠＝＝C．从而∠45＝∠AFPBE12C3D3．略．ASAFHEBCABPABFHEHBC．所≌△）（显然四边形【提示】为矩形，所以＝＝，所以△APHF．以＝7/ 7。
2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题(含解析)
2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题（含解析）一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。
类型一：三垂直模型1.（雅礼）如图，点A 是双曲线()80y x x=<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，使2OA OB =，当点A 在双曲线()80y x x =<上运动时，点B 在双曲线ky x=上移动，则k 的值为.【解答】解：过A 作AC ⊥y 轴于点C ，过B 作BD ⊥y 轴于点D ，∵点A 是反比例函数y ＝（x ＜0）上的一个动点，点B 在双曲线y ＝上移动，∴S △AOC ＝×|﹣8|＝4，S △BOD ＝|k |，∵OB ⊥OA ，∴∠BOD +∠AOC ＝∠AOC +∠OAC ＝90°，∴∠BOD ＝∠OAC ，且∠BDO ＝∠ACO ，∴△AOC ∽△OBD ，∵OA ＝2OB ，∴＝（）2＝，∴＝，∴|k |＝2．∴k ＜0，∴k ＝﹣2，故答案为：﹣2．2.（青竹湖）如图，︒=∠90AOB ，反比例函数()04<-=x xy 的图象过点()a A ,1-，反比例函数xky =()0,0>>x k 的图象过点B ，且x AB //轴，过点B 作OA MN //，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，交双曲线x ky =于另一点，则OBC ∆的面积为.【解答】解：∵反比例函数的图象过点A （﹣1，a ），∴a ＝﹣＝4，∴A（﹣1，4），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE＝4，OE＝1，∵AB∥x轴，∴BF＝4，∵∠AOB＝90°，∴∠EAO+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，∴∠EAO＝∠BOF，∴△AEO∽△OFB，∴＝，∴OF＝16，∴B（16，4），∴k＝16×4＝64，∵直线OA过A（﹣1，4），∴直线AO的解析式为y＝﹣4x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y＝﹣4x+b，∴4＝﹣4×16+b，∴b＝68，∴直线MN的解析式为y＝﹣4x+68，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，∴M（17，0），N（0，68），解得，或，∴C（1，64），﹣S△OCN﹣S△OBM＝﹣﹣＝510，∴△OBC的面积＝S△OMN故答案为510．3．（广益）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为．【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，∵∠OAB＝90°，∴∠OAM+∠BAN ＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BAN＝∠AOM，∴△AOM∽△BAN，∴＝，∵点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，∴A（2，），B（k，1），∴OM＝2，AM＝，AN＝﹣1，BN＝k﹣2，∴＝，解得k1＝2（舍去），k2＝8，∴k的值为8，故答案为：8．4．（长沙中考2020）在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ADE ∆沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：ABF FCE∆∆:（2）若23,4AB AD ==，求EC 的长；（3）若2AE DE EC -=，记,BAF FAE αβ∠=∠=，求tan tan αβ+的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE ，∴△ABF ∽△FCE ．（2）解：∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴AF=AD=4，∴()22224232AF AB --，∴CF=BC-BF=AD-BF=2，由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴CE CF BF AB =，∴2223CE =，∴EC=233（3）解：由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴∠CEF=∠BAF=α，∴tan α+tan β=BF EF CE EFAB AF CF AF+=+，设CE=1，DE=x ，∵2AE DE EC -=，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，2244AE DE x -=+∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF AF EF =2144x x x x -=+(211121x x x xx ++-+ ，∴112x x +=，∴1x x =-x 2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，213x -=，EF=x=2，AF=2244AE DE x -=+=23tan α+tan β=CE EF CF AF +33323．5.（广益）矩形ABCD中，8AB=，12AD=，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；（2）如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图2【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠BEP＝90°，由折叠知，∠DPE＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠CPD＝90°，∴∠BEP＝∠CPD，∵∠B＝∠C＝90°，∴△EBP∽△PCD；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝12，由折叠知，PE＝AE，DP＝AD＝12，在Rt△DPC中，CP＝＝4，∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4，在Rt△PBE中，PE2﹣BE2＝BP2，∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4）2，∴AE＝18﹣6；（2）如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x，∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴＝，∴＝，∴BF＝3．6．（长郡）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知点Q 是射线OC 上一点，182OQ =，点P 是x 轴正半轴上一点，tan 1POC ∠=，连接PQ ，A 经过点O 且与QP 相切于点P ，与边OC 相交于另一点D ．(1)若圆心A 在x 轴上，求A 的半径；(2)若圆心A 在x 轴的上方，且圆心A 到x 轴的距离为2，求A 的半径；(3)在（2）的条件下，若10OP <，点M 是经过点O ，D ，P 的抛物线上的一个动点，点F 为x 轴上的一个动点，若满足1tan 2OFM ∠=的点M 共有4个，求点F 的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵圆心A 在x 轴上，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，∴PQ ⊥x 轴，OP 为直径，∵tan ∠POC ＝1，，∴PQ ＝OP ，∵在Rt △OPQ 中，．∴OP ＝18．∴⊙A 的半径为9；（2）如图所示，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点Q 作QB ⊥x 轴于B ，连接AP ，∵PQ是⊙A的切线，∴AP⊥PQ，则∠APQ＝90°，∵AM⊥x轴，QB⊥x轴，∴∠AMP＝∠PBC＝90°，∴∠PAM＝90°﹣∠APM＝∠QPB，∴△APM∽△PBQ，∴，∵tan∠POC＝1，QB＝18，∴OB＝QB＝18，∵AM＝2，设MP＝MO＝x，∴PB＝18﹣2x，∴，解得x＝3或x＝6，∴MO＝3或MO＝x，∴A（3，2）或A（6，2），∴AP＝＝或AP＝＝2．∴半径为或2．（3）∵OP＜10，∴BO＝3，P（6，0），∴A（3，2），∵tan∠POC＝1，设D（a，a），∵，∴（3﹣a）2+（2﹣a）2＝13，解得：a＝0或a＝5，∴D（5，5），设抛物线解析式为y＝ax2+bx，将点P（6，0），D（5，5）代入得，，解得：，∴y＝﹣x2+6x，∵点F可能在点O的左边或点P的右边，，则|K FM|＝，设直线MF：或，联立，，得或，当或，解得：或，∴直线MF：或，令y＝0，解得：或，∴或．7.（麓山国际）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为；（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．＝AC•AB，【解答】解：（1）如图1，设∠A＝90°，AC≤AB，S△ABC①若AC＝，i）AB＝AC＝2，∴S＝，ii）BC＝AC＝2，则AB＝，∴S＝，②若AB＝，i）AB＝AC，即AC＝，∴S＝，ii）BC＝AB＝2，则AC＝∴S＝，③若BC＝，若AB＝AC＝＝1，∴S＝，若AB＝AC，AB＝，，S＝××＝，故答案为：或1或或或．（2）证明：如图2，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴BC＝2CD，∠BCD＝90°﹣∠B＝60°，∵∠ACB＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°，∴Rt△ACD中，AD＝CD，∴AC＝，∴，∴△ABC是智慧三角形．（3）∵△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，∴BC＝AB，∵△ABC是直角三角形，∴AB不可能为斜边，即∠ACB≠90°∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°①当∠ABC＝90°时，过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥EB于F，过C作CG⊥x轴于G，如图3，∴∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°，∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△BCF∽△ABE，∴，设AE＝a，则BF＝AE＝a，∵A（3，0），∴OE＝OA+AE＝3+a，∵B的纵坐标为，即BE＝，∴CF＝BE＝2，CG＝EF＝BE+BF＝，B（3+a，），∴OG＝OE﹣GE＝OE﹣CF＝3+a﹣2＝1+a，∴C（1+a，），∵点B、C在在函数y＝上（x＞0）的图象上，∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝1，∴k＝，②当∠BAC＝90°时，过C作CM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，如图4，∴∠CMA＝∠ANB＝∠BAC＝90°，∴∠MCA+∠MAC＝∠MAC+∠NAB＝90°，∴∠MCA＝∠NAB，∴△MCA∽△NAB，∵BC＝，∴2AB2＝BC2＝AB2+AC2，∴AC＝AB，∴△MCA≌△NAB（AAS），∴AM＝BN＝，∴OM＝OA﹣AM＝3﹣，设CM ＝AN ＝b ，则ON ＝OA +AN ＝3+b ，∴C （3﹣，b ），B （3+b ，），∵点B 、C 在在函数y ＝上（x ＞0）的图象上，∴（3﹣）b ＝（3+b ）＝k解得：b ＝，∴k ＝18+15，综上所述，k 的值为或。
人教版八年级下册第18章平行四边形——弦图模型及半角模型专题(PDF版,无答案)
（一）弦图模型【基本图形】已知正方形ABCD,过B,D两点分别向过点C的直线作垂线,垂足分别为点E,F,则△BCE≌△CDF1.如图,l1,,l2,l3,l4是同一平面内的四条平行直线,且每相邻的两条平行直线间的距离为h,正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上且正方形ABCD的面积是25(1)证明△ABE,△FBE△EDF,△CDF的面积相等； (2)求h的值。
2.已知:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,设∠BCD=∝，以D为旋转中心,将腰DC逆时针旋转90°至DE,连接AE、CE(1)当a=45°时,求△EAD的面积(2)当a=30°时,求△EAD的面积(3)当0°<a<90时,猜想△EAD的面积与a大小有何关系?若有关,写出△EAD的面积S与a的关系式;若无关,请证明。
3.(1)已知:如图1,△ABC中,分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF,直线AN⊥BC于N,若EP⊥AN 于P,FQ⊥AN于Q.①判断线段EP、FQ的数量关系,并证明;②求证：BC=2AP.(2)如图2,梯形ABCD中,AD∥BC,分别以两腰AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF,线段AD的垂直平分线交线段AD于点M,交BC于点N,若EP⊥MN于P, FQ⊥MN于Q.(1)中结论还成立吗?请说明理由。
【变式训练】如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．4．如图,直角梯形ABCD 中,AD/BC,∠ADC=90°,是AD 的垂直平分线,交AD 于点M,以腰AB 为边作正方形ABFE ， EP ⊥l 于点P.求证:2EP+AD=2CD（二）半角模型半角模型【用旋转和对称（翻折）的方法解决问题】ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ， 则有以下基本结论（需记忆）：①.∠MAN=45°；②.；③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.同样，在正方形ABCD 中,若已知∠MAN=45°，则会有：①.MN=BM +DN; ②;③.AM 、AN 分别平分∠BMN和∠DNM;④若继续作AH ⊥MN 于点H ,则有AH=AB.1.在正方形ABCD 中，已知∠MAN=45°，若M、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动，试探究线段MN 、BM 、DN 之间ABC CMN 2=∆ABC CMN 2=∆P C G F B Q A DE的数量关系.k、m、n为边长的三角形的形状是什么并试着证明你的猜想。
三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型(学生版)
三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。
弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。
弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。
一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。
广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。
模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。
图1图2图3(2)外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。
(3)内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH =S正方形ABCD+S正方形PQMN.1(2023秋·湖北·九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2=ab+10，那么图中小正方形的面积是()A.2B.3C.4D.52(2022·安徽安庆·八年级期末)汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD =45，则△ADE的面积为()A.24B.6C.25D.2103(2023·山西八年级期末)如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.24B.52C.61D.764(2022·杭州九年级月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是()A.S1=2B.S2=3C.S3=6D.S1+S3=85(2023·广东·九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1>S2，则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是模型2. 勾股树模型6(2022·福建·八年级期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是．7(2022·浙江·乐清市八年级期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是()A.S 甲=S 丁B.S 乙=S 丙C.S 甲-S 乙=S 丁-S 丙D.S 甲+S 乙=S 丙+S 丁8(2022·河南八年级期末)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，⋯按照此规律继续下去，则S 9的值为()A.126B.127C.128D.1299(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．10(2023·浙江八年级期中)如图，以Rt △ABC 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为S 1、S 2，Rt △ABC 的面积S 3．若S 1=4，S 2=8，则S 3的值为．11(2022春·浙江温州·九年级校考开学考试)如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连接KN 交AG 于点M ，若S 1S 2=916，则tan ∠ACB 为()A.12B.23C.34D.51212(2023·贵州遵义·统考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB =90°，分别以Rt △ABC 的三条边为边向外作正方形，连接BE ，DG 、BE ，交AC 于点Q ，若∠BAC =30°，BC =2，则四边形EQGD 的面积是．13(2023秋·浙江·八年级专题练习)【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】(1)请叙述勾股定理；(2)验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：(以下图形均满足验证勾股定理所需的条件)【探索发现】(3)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(4)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．课后专项训练1(2022·云南九年级一模)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础上增加了8个正方形，⋯⋯，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是()A.12B.32C.64D.1282(2022·浙江初三期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC=8，则BC的长为()图1图2A.42B.6C.254D.1323(2023·浙江·杭州八年级阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1-S2=12，S△ABC=4，则正方形BCFG的面积为()A.16B.18C.20D.224(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF 的长为()A.9B.92C.32D.35(2022·四川成都·模拟预测)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.最大正方形与直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积6(2023春·广东潮州·九年级校考期末)我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD 的面积的大小为()A.144B.100C.49D.257(2023春·湖北武汉·八年级统考期末)大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD ，中空的部分是小正方形EFGH ，连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ，若GO =GP ，则直角三角形的边CG 与BG 之比是()A.12B.25C.2-1D.3-28(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC 为等边三角形，AD 、BE 、CF 围成的△DEF 也是等边三角形．已知点D 、E 、F 分别是BE 、CF 、AD 的中点，若△ABC 的面积为14，则△DEF 的面积是()A.1B.2C.3D.49(2023·河北石家庄·校考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，连接BE，DG，BE交AC于点Q．若∠BAC=30°，BC=2，则四边形EQGD的面积是()B.23C.53+3D.3A.53+3210(2023·江苏扬州·统考中考真题)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为．11(2022秋·四川成都·八年级校考期中)“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票(如图1)，欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，连接EB,CM,DG,CM分别与AB,BE相交于点P,Q．若∠ABE=30°，则DGQM的值为.12(2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中)如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：(1)S1、S2、S3满足的数量关系是．(2)现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则S△ACB=．13(2023·湖北孝感·统考三模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为．14(2022·山东临沂·统考二模)中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1(如图1)，则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形A n B n C n D n的面积为(用含n的式子表示，n为正整数)．15(2023·浙江台州·八年级校考期中)如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O(正方形两条对角线的交点)，则Ⅱ中有水部分的面积为．16(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2=．17(2023·江苏徐州·统考二模)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接AC，若AG平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为2，则正方形ABCD的面积为．18(2023·陕西渭南·统考二模)魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形ABCD、四边形BFGH和四边形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，则BF的长为．19(2022·宁夏吴忠·统考一模)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为．20(2023·山东济宁·统考二模)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=；②b与c的关系为，a与d的关系为．21(2022·湖南·八年级课时练习)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长24，OC=3，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3，若S1+S2+S3=40，求S2．22(2023·广东深圳·校联考三模)中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC=3，斜边AB=5，则中间小正方形的边长CD=，连接BD，△ABD的面积为．知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC=90°，BP=10时，△PAB的面积为．拓展延伸：如图③，已知∠MBN=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．(1)已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF=BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．(2)在(1)的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB=10，CF=2时，直接写出线段DE的长．。
中考数学压轴题模型
中考数学压轴题模型
1. 平面几何题模型：如求图形的面积、周长，判断点是否在线段上等。
2. 空间几何题模型：如求空间图形的体积、表面积，两条直线的夹角等。
3. 复杂方程式求解题模型：如解方程组、方程的根，求解不等式等。
4. 函数图像题模型：如求函数的最值、零点，确定函数的定义域、值域等。
5. 三角函数题模型：如求三角函数的值，解三角方程，利用三角函数解实际问题等。
6. 统计与概率题模型：如求概率、频数等。
7. 数列问题模型：如求数列的通项公式、前n项和，计算设置数列等。
8. 算术问题模型：如解决排列组合、方程关系、时间问题等。
9. 解决实际问题的建模与计算模型：如运用数学知识解决实际问题，进行建模和计算。
10. 证明题模型：如证明几何定理，运用数学理论推导出结论等。
中考数学几何模型之弦图模型（解析版）
中考数学几何模型之弦图模型（解析版）中考数学几何模型：弦图模型名师点睛拨开云雾开门见山弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH ⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.注意局部弦图（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.包含“一线三垂直”典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面积.变式练习>>>1．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE，以CE为边作正方形CEFG，点D，F在直线CE的同侧，连接BF，若AE=1，求BF的长.例题2. 如图，以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF，该正方形的中心为点O，连接AO.若AB=4，AO=62，求AC的长.变式练习>>>2．如图，点A，B，C，D，E都在同一条直线上，四边形X，Y，Z都是正方形，若该图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是___________.例题3. 如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，D 为△ABC 外一点，满足∠CBD=90°，BC=BD ，若=4.5ACD S △，求AC 的长.变式练习>>>3．点P 是正方形ABCD 外一点，PB=10cm ，△APB 的面积是60cm 2，△CPB 的面积是30cm 2．求正方形ABCD 的面积.例题4. 在边长为10的正方形ABCD 中，内接有6个大小相同的正方形，P 、Q 、M 、N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积.变式练习>>>4．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为1+．【解答】解：在△AOM和△BAN中，，∴△AOM≌△BAN（AAS），∴AM＝BN＝，OM＝AN＝，∴OD＝+，BD＝﹣，∴B（+，﹣），∴双曲线y＝（x＞0）同时经过点A和B，∴（+）?（﹣）＝k，整理得：k2﹣2k﹣4＝0，解得：k＝1±（负值舍去），∴k＝1+；故答案为：1+．例题 5. 如图，在等腰Rt △ACB 和等腰Rt △DCE 中，∠AXB=∠DCE=90°，连接AD ，BE ，点I 在AD 上，（1）若IC ⊥BE ，求证：I 为AD 中点；（2）若I 为AD 中点，求证：IC ⊥BE例题6. 在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为2y x b =+，其与x 轴交于点A,与y 轴交于点B ，在直线l 移动的过程中，直线y=4上是否存在点P ，使得△PAB 是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标，如不存在，请说明理由.。
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专题18《弦图模型》
破解策略
1．内弦图
如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．证明因为∠ABC＝∠BFC＝90°
所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°．
所以∠ABE＝∠FC B．
又因为AB＝B C．所以△ABE≌△BCF，
同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．
D
C
2．外弦圈
如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且
四边形MUPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．
证明因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°，
所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°，
所以∠BQM＝∠NM C．
又因为QM＝MN，所以△QBM≌△MCN．
同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．
N
Q
D
A
3．括展
（1）如图，在Rt△ABH中．∠ABH＝90°，BE⊥AH于点E．所以
△A BE≌△BHE≌△AH B．
（2）如图，在Rt △QBM和Rt△BLK中，QB＝BL，QM⊥BK，所以
△QBM≌△BLK．
证明因为∠BLK＝90°，QM⊥BK，
所以∠KBL＋∠QMB＝∠KBI十∠K＝90°
所以∠QMB＝∠K，
又因为QB＝BL．
所以△QBM≌△BLK．
例题讲解
例1四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE 为边，作正方形CEFG（点D，F在直线CE的同侧），连结BF．当点E在线段AD上时，AE ＝1，求BF的长．
G
解如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，
延长FH交BC的延长线于点K．
因为四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
根据“弦图模型”可得△ECD≌△FEH，所以FH＝ED＝AD－AE＝3，EH＝CD＝4．因为CDHK为矩形，所以HK＝CD＝4，CK＝DH＝EH－ED＝1．
所以FK＝FH十HK＝7，BK＝BC＋CK＝．
5．
所以BF
G
例2 如图，△BCD 为等腰直角三角形，∠CBD ＝90°，∠BAC ＝ 45°，若S △ACD ＝
4．5，求AC 的长．
D
C
A
解 如图，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，过点D 作DF ⊥BF 交EB 的延长线于点F ． 由“外弦图模型”可得△BFD ≌△CEB ， 所以BF ＝CE ．
易证AE ＝BE ，所以AC ＝EF ， 所以S △ACD ＝12AC ·EF ＝1
2
AC 2＝4．5， 从而AC ＝3．
E
A
C
D
例 3 某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行
探究，提出下列问题，请你给出证明．
（1）如图1，在矩形ABCD 中，EF ⊥CH ，EF 分别交AB ，CD 于点F ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ．H 求证：
EF GH ＝AD
AB
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，若
EF
GH
＝1115，则BN AM
＝ ． （3）如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝ CD －5，AM ⊥DN ，
点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求
DN
AM
的值． 图3
图2
图1
N
M
B A
N
M C G
H
H
G
C
解 （1））如图4．过点A 作AP ∥EF ．交CD 于点P ，过点B 作BQ ∥GH ，交AD 于点Q ． 因为四边形ABCD 是矩形． 所以AB ∥DC ，AD ∥B C ．
所以四边形AEFP ，四边形BHGQ 都是平行四边形， 所以AP ＝EF ，GH ＝BQ ． 又因为CH ⊥EF ． 所以AP ⊥BQ ．
所以∠QAT ＋∠AQT ＝90°． 因为四边形ABCD 是矩形， 所以∠DAB ＝∠D ＝90°， 所以∠DAP ＋∠DPA ＝90°， 所以∠AQT ＝∠DP A ． 所以△PDA ∽△QA B ． 所以AP BQ ＝AD
AB
， 所以
EF GH ＝AD AB
． P
T Q
H
G F
E
B
D C
A
（2）因为EF ⊥GH ，AM ⊥BN ．
所以由（1）中的结论可得EF
GH
＝
AD
AB
，
BN
AM
＝
AD
AB
．
所以BN
AM
＝
EF
GH
＝
11
15
．
（3）如图5．过点D作平行于AB的直线，交过点A且平行于BC的直线于点P，交BC 的延长线于点S．
则四边形ABSR是平行四边形．
因为∠ABC＝90°，
所以四边形ABSR是矩形．
所以∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．
因为AM⊥DN．
所以由（1）中的结论可得DN
AM
＝
AR
AB
．
设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5＋x．RD＝10－y，所以在Rt△CSD中，x2＋y2＝25．
在Rt△ARD中．（5＋x）2＋（10－y）2＝100．
联立方程组
22
222
25
(5x)(10y)10
x y
⎧+=
⎨
++-=
⎩
，
得
5
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
（舍），或
3
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
所以AR＝5＋x＝8，
所以DN
AM
＝
AR
AB
＝
8
10
＝
4
5
．
N
M
S
R D
C
B A
进阶训练
1．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线，y＝k
x
（k＞0）同时经过点B．且
点A 在点B 的左侧，点A
AOB ＝∠OBA ＝45°，则k ＝__ __．
2．如图，巳知∠ABC ＝90°，D 是直线AB 上的点，AD ＝B C ．E 是直线BC 上的一点，且
CE ＝B D ．直线AE ，DC 相交于点P ，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；
若不是，请说明理由．
E
P
D
C
B
A
3．如图，在正方形ABCD 中，点P 在AD 上，且不与A ，D 重合．BP 的垂直平分线分别交CD ，AB 于E ，F 两点，垂足为Q ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ．EH 与BP 交于点M ．求证：HF ＝AP ．
H
F
E
Q P
D
C
B
A
参考答案：
专题18： 弦图模型 1．1
．
【提示】过点A 作AM ⊥y 轴于点M ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，直线AM ，BD 交于点N ，则四边形OMND 为矩形，易证△AOM ≌△ABN ，所以AM ＝BN
OM ＝AN
，BD
，
OD
所以点B
，根据双曲线表达式，有
·
k ，解得k ＝1
．
2．∠APD ＝45°，为固定值．
【提示】 如图，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF ＝BD ，连结DF ，CF ．可得AF ∥CE ，AF ＝CE ，所以四边形AFCE 是平行四边形，所以FC ∥AE ，∠APD ＝∠FC D ．易证△DAF ≌△CB D ．则∠1＝∠2，FD ＝D C ．从而∠APD ＝∠FCD ＝45°．
F
3
21
A
B
C
D
P
E
3．略．
【提示】 显然四边形EHBC 为矩形，所以FH ＝BC ＝AB ，所以△PAB ≌△FHE （ ASA ）．所以HF ＝AP ．。