概率论与数理统计(1.5_伯努利(Bernoulli)概型)

《概率论与数理统计》
*****大学理学院数学系
伯努利（Bernoulli） 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)
2013年4月25日星期四 1
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§1.5 伯努利(Bernoulli)概型
2013年4月25日星期四
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定义 13 设有两个试验 E1 和 E2 ，假如试验 E1 的任意一个 结果(事件)与试验 E2 的任意一个结果(事件)都是相互 独立的，则称这两个试验相互独立．类似地，假如 n 个 试验 E1 , E2 ,, En 满足： E1 的任意一个结果、 E2 的任意 一个结果… En 的任意一个结果都是相互独立的，则称试 验 E1 , E2 ,, En 相互独立．如果这 n 个试验还是相同的， 则称其为 n 重独立重复试验．如果在 n 重独立重复试验 中，每次试验的可能结果为两个： A 或 A ，则称这种试 验为 n 重伯努利试验．
k 3 7
5 k
(3) P X 4 C 0.4 0.6
k 4 k 7 k
7k
由此可知第一种方案对系队最为有利(此时，对校队 最为不利)．
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【例 24】 某人有一串 m 把外形相同的钥匙，其中只有 一把能打开家门．有一天该人酒醉后回家，下意识地每 次从 m 把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第 k 次才 把门打开的概率多大？
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内容小结
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习题A
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解 设系队得胜人数为 X ，则在上述三种方案中，系队 胜利的概率分别为
(1) P X 2 C 0.4 0.6
k 2 5 k 3 k k 5 k
3
3 k
0.352. 0.317. 0.290.
(2) P X 3 C 0.4 0.6
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3Fra Baidu bibliotek
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在 n 重伯努利试验中主要考察两类事件的概率： (1)事件 A 在第 k 次试验中首次“发生”的概率； (2) n 次试验中事件 A 恰有 k 次“发生”的概率．
定 理 2 在 n 重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 P( A) p ， P( A) 1 p q (其中 0 p 1 )，则 (1)事件 A 在第 k 次试验中首次“发生”的概率为 k 1 k 1 P p(1 p) pq , (k 1, 2,3, n) . k (2)事件 A 恰好发生 k 次的概率为 k k P (k ) Cn pk (1 p)nk Cn pk qnk , (k 0,1, 2,, n) . n
解 设 10 台机床中正在开动着的机床台数为 X ，则
1 4 P( X k ) C 5 5
k 10
5 5 k 10
k
10 k
1 4 P( X 5) P( X k ) C 5 5 k 0 k 0
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【例 22】 金工车间有 10 台同类型的机床，每台机床配 备的电动机功率为 10 千瓦，已知每台机床工作时，平 均每小时实际开动 12 分钟，且开动与否是相互独立 的．现因当地电力供应紧张，供电部门只提供 50 千瓦 的电力给这 10 台机床，问这 10 台机床能够正常工作的 概率为多大？
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k
10 k
0.994.
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【例 23】 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行 对抗赛．校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与 一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为 0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方 案： (1) 双方各出 3 人； (2) 双方各出 5 人； (3) 双方各出 7 人． 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利．问： 对系队来说，哪一种方案有利？
解 因为该人每次从 m 把钥匙中任取一把(试用后不做记 号又放回)， 所以能打开家门的一把钥匙在每次试用中恰 1 被选中的概率为 ，易知这是一个伯努利试验．第 k 次 m 才把门打开，意味着前面的 k 1 次都没有打开，由定理 2 即得
Pk pq
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k 1
1 1 k 1 (1 ) . m m