概率论与数理统计(1.5_伯努利(Bernoulli)概型)
Ch1-5 事件的独立性和伯努力概型
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 请看下列两个练习。 设A, B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0， 2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
计算 n个独立事件并的概率公式:
设事件 A1 , A2 ,„, An 相互独立, 则
P( A1∪…∪An ) 1 P( A1 A2 „ An）
1 P ( A1 A2 „ An )
1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
也就是说: n个独立事件至少有一个发生的 概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。
k =0,1,2,…,n 证明与前面的例3类似
小概率事件
—— 若P(A) 0.01 则称A为小概率事件
小概率原理
——一次试验中小概率事件一般是不
会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.
女士品茶的故事
• 那是20世纪20年代后期，在英国剑桥一个夏日的午后，一 群大学的绅士和他们的夫人们，还有来访者，正围坐在户 外的桌旁，享用着下午茶。在品茶过程中，一位女士坚称： 把茶加进奶里，或把奶加进茶里，不同的做法，会使茶的 味道品起来不同。在场的一帮科学精英们，对这位女士的 “胡言乱语”嗤之以鼻。这怎么可能呢？他们不能想象， 仅仅因为加茶加奶的先后顺序不同，茶就会发生不同的化 学反应。然而，在座的一个身材矮小、戴着厚眼镜、下巴 上蓄着的短尖髯开始变灰的先生，却不这么看，他对这个 问题很感兴趣。 • 他兴奋地说道：“让我们来检验这个命题吧！”并开始策 划一个实验。在实验中，坚持茶有不同味道的那位女士被 奉上一连串的已经调制好的茶，其中，有的是先加茶后加 奶制成的，有的则是先加奶后加茶制成的。
概率论与数理统计贝努里概型
i 1
i 1
i 1
《概率统计》
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三、全概率公式及其推导
设试验Ｅ由先后相继的两个试验Ｅ1,Ｅ2构成, Ｅ1的样本空间
为Ω1，B1, B2 ,…, Bn为Ω1的一个划分，即B1∪B2 ∪…∪Bn= Ω1；
Ｅ2是在Ｅ１发生的条件下的试验,其样本空间为Ω2 。那么，对于
Ｅ2的任一事件A，有 n
P( A) P(Bi)P( A / Bi)
06 : A1 A2 A3 A4 A5 07 : A1 A2 A3 A4 A5 08 : A1 A2 A3 A4 A5 09 : A1 A2 A3 A4 A5
10 : A1 A2 A3 A4 A5
《概率统计》
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§１.6 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入 二、全概率公式与证明(现行教材) 三、全概率公式及其推导 四、全概率公式应用 五、贝叶斯公式及其应用
解： (1)恰有k粒种子出苗的概率为
P6(k)
C
k 6
0.67
k 0.33 6k
(k 0,1,2,3,4,5,6)
(2)至少有一粒出苗的概率为
6
P6 (k) 1 P6 (0) 1 C60 (0.67)0 (0.33)6 0.9987
k 1
(3)要保证出苗率为98%，只要1-Pn(0) ≥0.98即可。 解得，n=4。
C93 C132
C63 C132
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五、贝叶斯公式及其应用
1. 问题引入
引例. 设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、2箱， 且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现从中任 取1箱，再从该箱中任取1件产品，若取得的产品为次品，问该 产品是甲厂生产的概率是多少？
概率论与数理统计-基于R 第一章 第五节 伯努利概型
p的k次项.
故又称为二项概型。
例.从次品率为p=0.2的一批产品中，有放回抽取5件，每次抽 取一件，分别求抽到恰有3件次品以及至多3件次品的概率。
解: 记Ak={恰有k件次品}, k=0,1,2,…,5. A={恰有3件次品}, B={至多有3件次品},则
A A3 , B A0 A1 A2 A3 .
n次试验是相互独立的； 每次试验中P(A)=p不变.
定理1.4伯努利定理（二项概率公式）： 设一次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，则n次
伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率pn(k)为
pn (k ) Cnk pk (1 p)nk
pn (k )
n
k
pk (1
第五节 伯努利概型
一、独立试验系列 二、二项概率公式
一、独立试验系列
独立重复试验：某个随机试验多次重复进行， 各次试验结果相互独立。
重复次数称为重数。 典型实例：多次投掷、有放回抽取。
二、二项概率公式
定义1.11、n重伯努利试验（或n次伯努利试验）
在相同条件下，重复n次做同一试验，每次试 验只有两个可能结果A,)
C
3 5
(0.2)3 (0.8)2
0.0512.
P(B) 1 P(B) 1 P( A4 ) P( A5 )
1 C54 (0.2)4 (0.8) C55 (0.2)5(0.8)0
0.9933.
例.甲、乙两名棋手比赛，已知甲每盘获胜的概率为p.假定每盘 棋胜负是相互独立，且不会出现和棋。在下列情况下，试求甲最 终获胜的概率。(1)采用三盘两胜制;(2)采用五盘三胜制。
伯努利概型和贝利努概型
伯努利概型和贝利努概型
伯努利概型和贝利努概型都是三种简单概型中的一个，相对伯努利概型是考研中概率题型中常考考点之一，并且考研中对伯努利概型的考察经常和实际问题相结合，所以考生对伯努利概型的掌握，不仅仅限于对符号和分布律的记忆了，也要理解伯努利概型，知道什么时候应该使用伯努利概型。
首先，我们先看看伯努利概型是怎样定义的：2021考研管综初数管综初数备考伯努利概型，关于伯努利概型中，最主要抓住的关键点三个：1.独立，2.重复，3.两种结果。
而其中两种结果可以通过人为的方式来规定，所以一般伯努利概型的问题，常常会解读出独立重复试验。
伯努利概型对考生的要求是要从题干中抽象出来伯努利概型的问题。
所以各位考生复习伯努利概型从这三个角度进行复习。
以上是为管综考研考生整理的“20XX考研管综初数强化备考：浅析伯努利概型”相关内容，希望整理的能有所帮助。
贝努里概型
解 恰有k粒种子出苗的概率为
P6 (k) C6k 0.67k0.336k , (k 0,1, 2, 3, 4, 5, 6).
K P6(k)
0
0.0013
1
0.0157
2
0.0798
其中 p + q = 1。
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次
不发生，由试验的独立性，有
P Ai1Ai2 L Aik Ai,k1L Ain pk (1 p)nk pk qnk .
在n次试验中，A发生k次的方式有Cnk 种。且任何两种 方式都是互不相容的，于是有
将E独立地重复n次的试验，称为n重贝努里试验。
如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等。
3. 贝努里公式
定理1 在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发 生的概率为p，0＜p＜1，则在n次试验中事件A恰好发 生k次（0≤k≤n）的概率为
Pn(k) Cnk pk qnk , k 0, 1, 2, , n
加了人寿保险，在一年里每人死亡的概率为0.002，每个参加保
险的人一年付120元保险费，而在死亡之时家属可在公司里领取
20000元，问（不计利息）
（1）A={保险公司亏本}的概率是多少？
（2）B={保险公司每年获利不少于100000元}的概率是多少？
解 若一年死亡X人，则保险公司支出20000X（元），一年 中保险公司收入为2500×120=300000（元），于是
1 P( A1 A2 An ) 1 (1 r)n 1, (n )
伯努利概型与全概公式
事件A发生了k次
Pn
(k)
C
k n
pk
qnk
共作n次试验
其中, p q 1, k 0,1,2,, n.
A发生的概率 A不发生的概率
概率论与数理统计
9
一枚硬币掷３次，恰有一次正面向上的概率为？
A 正面向上
C1
解 法 一 ：P
3
23
A 正面向下
解法二： P P( AAA AAA AAA) 3 1 (1)2 22
n
PB PAi PB | Ai i 1
概率论与数理统计
24
例2 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机 床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分 别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在 一起，求任取一个是次品的概率。
解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品 来自乙台机床”，A3表示“产品来自丙台机床”， B表 示“取到次品”。
14
例2 某射手每次击中目标的概率是0.6,如果 射击5次，求至少击中两次的概率.
解: 由于每次射击是相互独立的,且只有击中与 未击中两种结果,故可以按5重伯努利概型计算
事件的概率.已知 p 0.6,q 0.4,则
5
P(至少击中两次) P(击中k次) k2
1 P(击中0次) P(击中1次)
3
P(B) p( Ai )P(B | Ai ) i 1
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02
0.0345
概率论与数理统计
25
例3 人们为了了解一支股票未来一定时期内价 格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素， 比如利率的变化。现在假设人们经分析估计利 率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下， 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不 变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该 支股票将上涨的概率。
概率论与数理统计-1.5伯努里概型
8
在n次试验中任意指定k次有Cnk种不同的指定法. 而这些不同的指定法都对应于事件A在n次独立试 验中发生k次一个可能结果(事件)，这些事件是互 不相容的，事件A在n次独立试验中发生k次为这 些事件之和. 因此有
Pn (k ) C p (1 p)
k n k
nk
,
k 0,1,2,, n.
9
且
Pn (0) Pn (1) Pn (n) Cn p (1 p )
k k k 0 n nk
( p q) 1
n
10
例: 设有8门大炮独立地同时向一目标各射击一次， 若有不少于2发炮弹命中目标时，目标就被击毁， 如果每门炮命中目标的概率为0.6，求目标被击毁 的概率. 解: 8门大炮独立地同时向一目标各射击一次，相 当于8重贝努里试验. 所求概率为
例如 ▲连续抛骰子10次，观察出现偶数点的次数；
▲某人打靶命中率为0.7，连续打靶15发子弹，观察命 中次数； ▲在次品率为0.1的一批产品中，有放回地每次任取1 件，重复8次，观察其中的次品数. 以上几例都是多重贝努里试验.
3
例1.5.1 设袋中装有3个红球，7个白球，从袋中任 取一球，有放回地抽取5次，试求事件“4次取到红 球” 的概率. 解 设A={4次取到红球}， Ai={第i次取到红球}
由于各次试验是相互独立的，故
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) ( ) ( ) 10 10
4
3
7
1
5
根据加法公式，所求的概率为
3 7
P( A) C ( ) ( ) 10 10
1.5独立性及伯努利概型 《概率论与数理统计》课件
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
概率论与数理统计0105
注1 如果二事件A与B独立，则 A与B, A与B, A与B 也是独立的.
注2 n 个事件 A1, A2 , , An 相互独立是指对其中的任意
k个事件 Ai1 , Ai2 , , Aik , 1 i1 i2 ik n
等式 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ) 总成立 2
Pn (m) Cnm pm (1 p)nm ( p 1 p)n 1
m0
m0
例4 设N件产品中有K 件是次品，N K 件是正品，现从 N
件中任意抽取1件产品，在检查过它是正品或是次品后再放回.
这样共抽取了 n 次，求事件 A { n 件产品中恰有 k 件次品}
的概率， k 0,1, 2, , n
另解 P(A B) 1 P(A B) =1 P( AB)
=1 P( A)P(B) 1 (1 0.9)(1 0.8)
=0.98.
3
例2 验收100件产品的方案如下：从中任取3件进行独立地测试， 如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收该批产品，设一 件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品经测试 后被断定为正品的概率为0.99. 并已知这100件产品中恰有4件 次品，求该批产品能被接收的概率.
二、独立试验序列
Pn (m) Cnm pm (1 p)nm (m 0,1,n)
1
§1.5 事件的独立性
一、事件的独立性 如果二事件中任一事件的发生不影响另一事件的概
率，则称它们是相互独立 的. 即
P(A | B) P(A)
定义 设 A 和 B 是两个事件，如果等式
P(AB) P(A)P(B)
1
C2nnΒιβλιοθήκη 1 22n98
概率伯努利概型
伯努利试验的概率：每 个试验的结果发生的概
率都是相同的
伯努利概型的性质
伯努利概型的数学期望
伯努利概型是一 种离散概率分布， 其概率函数为 P(X=k) = p^k * (1-p)^(n-k)， 其中p是成功的 概率，n是试验 次数。
伯努利概型的数 学期望E(X) = p * n，其中p是成 功的概率，n是 试验次数。
伯努利概型的概率分布可以表示为P(A)=p，P(A')=1-p，其中p是事件A发生的概率。
伯努利概型的分布函数
伯努利概型是概率论中一 种基本的概率模型，用于 描述随机变量服从伯努利
分布的情况。
伯努利分布是一种离散型 概率分布，其概率函数为
P(X=k) = p^k * (1p)^(1-k)，其中k为随机
02
伯努利概型的性质包括：期望值、方差、 标准差等，这些性质可以帮助我们分析 和评估伯努利概型在实际问题中的应用 效果。
04
伯努利试验的概率模型
A
B
C
D
伯努利试验：一种只有 两种可能结果的随机试
验
概率模型：描述伯努利 试验中各种结果发生的
概率
伯努利概型：一种特殊 的概率模型，其中每个 试验的结果只有两个可
变量，p为成功概率。
伯努利概型的分布函数F(x) 定义为P(X ≤ x)，其中x为
实数。
1
2
3
伯努利概型的分布函数F(x) 具有以下性质：F(0) = 0，
F(1) = p，F(∞) = 1。
伯努利概型的分布函数F(x) 可以用于计算伯努利概型 的期望、方差等统计量， 以及进行概率计算和统计
推断。
4
02
概率性：每个试验的结果都有一定的概率， 且概率之和为1
概率论伯努利定理公式
概率论伯努利定理公式好嘞，以下是为您生成的关于“概率论伯努利定理公式”的文章：在咱们学习概率论的这个奇妙世界里，伯努利定理公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多未知的大门。
先来说说伯努利定理公式到底是啥。
简单来讲，它描述的是在一系列独立重复的试验中，某一事件发生特定次数的概率。
这公式看起来可能有点复杂，一堆符号和数字搅和在一起，但其实只要咱们静下心来，一点一点拆解，也没那么可怕。
我记得有一次，我在课堂上讲这个公式的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这公式到底有啥用啊？”我笑了笑，决定给他举个有趣的例子。
我说：“假设咱们玩抛硬币的游戏，正面朝上算成功，反面朝上算失败。
每次抛硬币正面朝上的概率都是 0.5。
如果咱们抛 10 次，想知道恰好有 6 次正面朝上的概率是多少，这时候伯努利定理公式就派上用场啦。
”然后我就带着大家一起用公式算起来。
先确定试验次数 n = 10，成功的概率 p = 0.5，想要求的成功次数 k = 6。
代入公式，经过一番计算，得出了结果。
那学生恍然大悟：“哦！原来如此，这公式能算出这种好玩的概率啊！”其实在生活中，伯努利定理公式的应用可多了去了。
比如说抽奖，每次抽奖中奖的概率是一定的，咱们就可以用这个公式算算抽多少次能中几次奖的可能性有多大。
再比如生产线上产品的合格率，通过多次检测，也能利用伯努利定理公式来估计出现一定数量合格产品的概率。
学习伯努利定理公式的时候，可别死记硬背，得理解它背后的原理。
多做几道练习题，找找感觉，慢慢地就能熟练运用啦。
就像咱们学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，掌握不好平衡，但多练几次，就能轻松驾驭，在小路上自由驰骋。
学伯努利定理公式也是一样的道理，一开始可能觉得头疼，但只要坚持，多琢磨，就能发现其中的乐趣和用处。
总之，伯努利定理公式虽然有点小复杂，但只要咱们有耐心，有决心，就一定能把它拿下，让它成为咱们解决问题的有力工具。
相信在以后的学习和生活中，当咱们再遇到类似的概率问题时，就能自信地拿出这个公式，轻松应对，算出想要的结果，让概率的世界在咱们面前变得清晰明了！。
概率论与数理统计probability1.5
引例
事件的独立性
已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回
地取球两次,每次取1球.设第i次取得白球为事件 Ai ( i=1, 2 ) .求 P(A2 ) , P(A2 | A1 ) ,P(A2 | A1 )
因为是有放回地取球，无论第一次取的是 红球还是白球，第二次都是在5红3白中取 一球，取到白球的概率都是3/8 ,也就是说
例2. 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下
1 红 黑 黄 2 红 黑 3 红 黑 4 5 6 黑 黄 黄 黄 7 8 红
将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面出现的颜色。 设A:出现红色; B:出现黑色; C:出现黄色，试判断
P(AB) P(A)P(B), P(AC) P(A)P(C), P(BC) P(B)P(C), P(ABC) P(A)P(B)P(C)
所以不可能事件 与任意随机事件A相互独立.
3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则
A 与 B、A 与 B、A 与 B
也相互独立.
证明其一： A,B 相互独立 A,B 相互独立
证明 由于 AB A AB
且
AB A
（差事件的概率） P(AB) P(A AB) P(A) P(AB)
2）与两个随机事件相互独立类似：
如果 A1 , A2 , , An 这 n 个随机事件相互独立，则
Ai1 , Ai2 , Aim , Aim1 , , Ain 这n个随机事件也相互独立。
其中 i1 , i2 , in 是 1, 2, , n 的一个排列, 1 m n
注意：在
解： 显然 P(A) P(B) P(C) 4 1
8
2
1 P(ABC) 8
概率论与数理统计1.5
例3(续) 3(续
由此可见
P ( AB ) = P( A)P(B )
P ( AC ) = P ( A)P (C )
P (BC ) = P (B )P (C ) 但是
1 1 P( ABC ) = ≠ = P( A)P(B )P(C ) 4 8
这表明A、 、 这三个事件是 这三个事件是两两相互独立 这表明 、B、C这三个事件是两两相互独立 但不是相互独立的． 的，但不是相互独立的．
称多个或可数无穷多个试验的集合为试验序列。 称多个或可数无穷多个试验的集合为试验序列。 试验序列 如果一个试验序列的各试验的结果之间是相互独立 则称该试验序列为一个独立试验序列 独立试验序列。 的，则称该试验序列为一个独立试验序列。 称只有两个基本结果的试验为伯努利试验 伯努利试验。 称只有两个基本结果的试验为伯努利试验。 有些试验的基本结果虽然不只两个， 有些试验的基本结果虽然不只两个，但若我们感兴 趣的是某个事件A是否发生，那么可以把A 趣的是某个事件A是否发生，那么可以把A作为一个基本 结果， 的对立事件作为另一个基本结果， 结果，A的对立事件作为另一个基本结果，从而也可归 结为伯努利试验。若试验结果是A发生，那么我们称试 结为伯努利试验。若试验结果是A发生，那么我们称试 发生的概率则称为成功概率 成功概率。 验成功， 验成功，而A发生的概率则称为成功概率。 由一个伯努利试验独立重复进行所形成的试验序列 称为伯努利试验序列 如果重复的次数是n 伯努利试验序列， 称为伯努利试验序列，如果重复的次数是n，则称该试 验序列为n重伯努利试验。 验序列为n重伯努利试验。
P( A1 + A2 + ⋯ + An ) = 1 − P( A1 A2 ⋯ An )
= 1 − P( A1 ) P( A2 ) ⋯ P( An ) = 1 − (1 − 0.7 )n = 1 − 0.3 n
大学_新编概率论与数理统计(肖筱南著)课后答案下载
新编概率论与数理统计(肖筱南著)课后答案下载新编概率论与数理统计(肖筱南著)特色及评论第一章随机事件及其概率1 随机事件及其运算一、随机现象与随机试验二、样本空间三、随机事件四、随机事件间的关系与运算习题1-12 随机事件的概率一、概率的统计定义二、概率的古典定义习题1-2(1)三、概率的几何定义四、概率的公理化定义与性质习题1-2(2)3 条件概率与全概率公式一、条件概率与乘法公式二、全概率公式与贝叶斯(bayes)公式习题1-34 随机事件的独立性一、事件的相互独立性二、伯努利(bernoulli)概型及二项概率公式习题1-45 综合例题一、基本概念的理解二、几种典型的古典概型问题三、有关概率加法公式的应用四、条件概率和乘法公式五、全概率公式和贝叶斯公式的应用六、独立性的性质与应用七、二项概率公式的应用总习题一第二章随机变量及其分布1 离散型随机变量及其分布律一、随机变量的定义二、离散型随机变量及其分布律三、常见的离散型随机变量的分布习题2-12 随机变量的分布函数一、分布函数的概念二、分布函数的性质习题2-23 连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量的.概率密度二、连续型随机变量的性质三、离散型随机变量与连续型随机变量的比较习题2-34 几种常见的连续型随机变量的分布一、均匀分布二、指数分布三、正态分布习题2-45 随机变量函数的分布一、离散型情形二、连续型情形习题2-56 二维随机变量及其联合分布函数一、二维随机变量的概念二、联合分布函数的定义及意义三、联合分布函数的性质习题2-67 二维离散型随机变量一、联合分布律二、边缘分布律三、条件分布律习题2-78 二维连续型随机变量一、联合概率密度二、边缘概率密度三、两种重要的二维连续型分布四、条件概率密度习题2-89 随机变量的相互独立性一、随机变量相互独立的定义二、离散型随机变量相互独立的充分必要条件三、连续型随机变量相互独立的充分必要条件四、二维正态变量的两个分量相互独立的充分必要条件习题2-910 两个随机变量的函数的分布一、离散型情形二、连续型情形习题2-1011 综合例题一维部分一、基本概念的理解二、求随机变量概率分布中的未知参数三、求分布律四、求分布函数五、已知常见分布，求相关概率六、随机变量函数的分布二维部分一、基本概念的理解二、二维离散型随机变量三、二维联合分布函数四、二维联合概率密度总习题二第三章随机变量的数字特征1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、数学期望的性质习题3-12 方差一、方差的定义二、常见分布的方差三、方差的性质习题3-23 协方差与相关系数一、协方差二、相关系数三、相关系数的意义习题3-34 矩与协方差矩阵习题3-45 综合例题一、基本概念的理解二、数学期望和方差的应用三、有关数字特征的计算总习题三第四章大数定律与中心极限定理第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析新编概率论与数理统计(肖筱南著)本书目录《新编概率论与数理统计(第2版)/21世纪高等院校教学规划系列教材》是根据教育部__新颁布的全国高校理工科及经济类“概率论与数理统计课程教学基本要求”并参考“理学、工学、经济学硕士研究生入学考试大纲”进行编写的。
概率论与数理统计之古典概型和伯努利概型
概率论与数理统计之古典概型和伯努利概型
概率与数理统计是考研数学的一大模块，一般常出现在填空题、选择题、计算题和证明题中，下面是我对古典概型、几何概型、伯努利概型进行分析，希望大家在基础复习阶段就能记住，打好基础。
古典型概率：
当试验结果为有限n个样本点,且每个样本点的发生具有相等的可能性，如果事件A由n(A)个样本点组成，则事件A的概率为P（A)=n(A)/n=A所包含的样本点数/样本点总数
称有限等可能试验中事件A 的概率P(A)为古典型概率。
几何型概率：
几何型概率
n重伯努利试验：
n重伯努利试验
题型一：古典概型的计算
例1：一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率是多少？
解题思路：应用古典概型计算。
解：分别计算出总样本个数和事件A的样本个数
题型二：几何概型的计算
例2：（2017年考研真题)在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于0.5的概率是多少。
解题思路：几何概型的计算。
解：分别计算出总样本空间对应区域的面积和事件A对应区域的面积。
概率论与数理统计(1.5_伯努利(Bernoulli)概型)
Pk pq
2013年4月25日星期四
k 1
1 1 k 1 (1 ) . m m
解 设 10 台机床中正在开动着的机床台数为 X ，则
1 4 P( X k ) C 5 5
k 10
5 5 k 10
k
10 k
1 4 P( X 5) P( X k ) C 5 5 k 0 k 0
2013年4月25日星期四 5
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k
10 k
0.994.
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【例 23】 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行 对抗赛．校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与 一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为 0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方 案： (1) 双方各出 3 人； (2) 双方各出 5 人； (3) 双方各出 7 人． 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利．问： 对系队来说，哪一种方案有利？
伯努利（Bernoulli） 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)
2013年4月25日星期四 1
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§1.5 伯努利(Bernoulli)概型
2013年4月25日星期四
2
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定义 13 设有两个试验 E1 和 E2 ，假如试验 E1 的任意一个 结果(事件)与试验 E2 的任意一个结果(事件)都是相互 独立的，则称这两个试验相互独立．类似地，假如 n 个 试验 E1 , E2 ,, En 满足： E1 的任意一个结果、 E2 的任意 一个结果… En 的任意一个结果都是相互独立的，则称试 验 E1 , E2 ,, En 相互独立．如果这 n 个试验还是相同的， 则称其为 n 重独立重复试验．如果在 n 重独立重复试验 中，每次试验的可能结果为两个： A 或 A ，则称这种试 验为 n 重伯努利试验．
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k
10 k
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【例 23】 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行 对抗赛．校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与 一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为 0.6．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方 案： (1) 双方各出 3 人； (2) 双方各出 5 人； (3) 双方各出 7 人． 三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利．问： 对系队来说，哪一种方案有利？
k 3 7
5 k
(3) P X 4 C 0.4 0.6
k 4 k 7 k
7k
由此可知第一种方案对系队最为有利(此时，对校队 最为不利)．
2013年4月25日星期四 7
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【例 24】 某人有一串 m 把外形相同的钥匙，其中只有 一把能打开家门．有一天该人酒醉后回家，下意识地每 次从 m 把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第 k 次才 把门打开的概率多大？
2013年4月25日星期四
3
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在 n 重伯努利试验中主要考察两类事件的概率： (1)事件 A 在第 k 次试验中首次“发生”的概率； (2) n 次试验中事件 A 恰有 k 次“发生”的概率．
定 理 2 在 n 重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 P( A) p ， P( A) 1 p q (其中 0 p 1 )，则 (1)事件 A 在第 k 次试验中首次“发生”的概率为 k 1 k 1 P p(1 p) pq , (k 1, 2,3, n) . k (2)事件 A 恰好发生 k 次的概率为 k k P (k ) Cn pk (1 p)nk Cn pk qnk , (k 0,1, 2,, n) . n
解 设 10 台机床中正在开动着的机床台数为 X ，则
1 4 P( X k ) C 5 5
k 10
5 5 k 10
k
10 k
1 4 P( X 5) P( X k ) C 5 5 k 0 k 0
《概率论与数理统计》
*****大学理学院数学系
伯努利（Bernoulli） 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)
2013年4月25日星期四 1
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§1.5 伯努利(Bernoulli)概型
2013年4月25日星期四
2
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定义 13 设有两个试验 E1 和 E2 ，假如试验 E1 的任意一个 结果(事件)与试验 E2 的任意一个结果(事件)都是相互 独立的，则称这两个试验相互独立．类似地，假如 n 个 试验 E1 , E2 ,, En 满足： E1 的任意一个结果、 E2 的任意 一个结果… En 的任意一个结果都是相互独立的，则称试 验 E1 , E2 ,, En 相互独立．如果这 n 个试验还是相同的， 则称其为 n 重独立重复试验．如果在 n 重独立重复试验 中，每次试验的可能结果为两个： A 或 A ，则称这种试 验为 n 重伯努利试验．
2013年4月25日星期四
4
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【例 22】 金工车间有 10 台同类型的机床，每台机床配 备的电动机功率为 10 千瓦，已知每台机床工作时，平 均每小时实际开动 12 分钟，且开动与否是相互独立 的．现因当地电力供应紧张，供电部门只提供 50 千瓦 的电力给这 10 台机床，问这 10 台机床能够正常工作的 概率为多大？
2013年4月25日星期四
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解 设系队得胜人数为 X ，则在上述三种方案中，系队 胜利的概率分别为
(1) P X 2 C 0.4 0.6
k 2 5 k 3 k k 5 k
3
3 k
0.352. 0.317. 0.290.
(2) P X 3 C 0.4 0.6
8
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内容小结
2013年4月25日星期四
9
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习题A
2013年4月25日星期四
10
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解 因为该人每次从 m 把钥匙中任取一把(试用后不做记 号又放回)， 所以能打开家门的一把钥匙在每次试用中恰 1 被选中的概率为 ，易知这是一个伯努利试验．第 k 次 m 才把门打开，意味着前面的 k 1 次都没有打开，由定理 2 即得
Pk pq
2013年4月25日星期四
k 1
1 1 k 1 (1 ) . m m