2013年北约自主招生数学试题与答案(完整版)
2013年北约数学试题
2013年北约自主招生数学试题解析1、以2和321-为两根的有理系数多项式的次数最小是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．62、在66⨯的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）A ．720B ．20C ．518400D ．144003、已知522+=y x ，522+=x y ，求32232y y x x +-的值．4、如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，DN DM ,分别为ADC ADB ∠∠,的角平分线，试比较CN BM +与MN 的大小关系，并说明理由．5、设数列{}n a 满足11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S ，求2013a ．6、模长为1的复数z y x ,,满足0≠++z y x ，求zy x zxyz xy ++++．ＡＣＮ27、最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．8、已知i a ，2013,,3,2,1 =i 为2013个实数，满足02013321=++++a a a a ，且212a a -322a a -==…120132a a -=，求证02013321=====a a a a ．9、对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326---的值．10、已知有mn 个实数，排列成n m ⨯阶数阵，记作{}n m ij a ⨯使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的m i ,,3,2,1 =，当21j j <时，有21ij ij a a <；现将{}nm ij a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的n m ⨯阶数阵，记作{}nm ija ⨯'，即对任意的n j ,,3,2,1 =，当21i i <时，有j i j i a a 21''<，试判断{}n m ij a ⨯'中每一行的各数的大小关系，并加以证明．【参考答案】1、解析：显然)2)1)((2(32+--x x 为满足要求的多项式，其次数为5．若存在n 次有理系数多项式)(x f 以2和321-为两根，则)(x f 必含有因式)2)1)((2(32+--x x ，∴5≥n ，即最小次数为5．故选C ．2、解析：先排3个红色車，从6行中任取3行，有2036=C 种取法；在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法． 故停放方法共14400645620=⨯⨯⨯⨯种．故选D ．3、解析：∵32232y y x x +-)52()52)(52(2)52(++++-+=x y x y y x50)(154-+--=y x xy ，又由522+=y x ，522+=x y ，有)(222y x y x --=- ∴y x =或2-=+y x ．当y x =时，有522+=x x ，61±=x ，50)(154-+--y x xy 503042---=x x 7038--=x 7038--=x 638108±-=；当2-=+y x 时，5)2(22++-=x x ，1)2(=+x x50)(154-+--y x xy 20)2(4----=x x 80)2(4-+=x x 16-=．4、解析：延长ND 至E ，使ED ND =，连结ME BE ,，则BED ∆≌CND ∆，MED ∆≌MND ，MN ME =，由EM BE BM >+，得MN CN BM >+．5、解析：∵11=a ，24121+=+a a a ，∴52=a ；由 241+=+n n a S ，有2≥n 时，241+=-n n a S ，于是1144-+-=n n n a a a ，特征方程442-=x x 有重根2，可设n n c c a 2)(21⨯+=，将11=a ，52=a 代入上式，得411-=c ，432=c ，于是22)13(2)4143(-⨯-=⨯-=n n n n n a ，∴2011201326038⨯=a ． 6、解析：取1===z y x ，便能得到zy x zxyz xy ++++＝1．ＡＣＮ4下面给出证明，1===z z y y x x ，于是2z y x zx yz xy ++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=z y x zx yz xy z y x zx yz xy zy x zxyz xy z y x zx yz xy ++++⨯++++= 1111111=++++++++++++++++=xy x z x z x y z y z x x y x z x z x y z y z x ． ∴z y x zxyz xy ++++＝1． 7、解析：设满足条件的正整数为n 个．考虑模3的同余类，共三类，记为0，1，2．则这n 个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故4≤n ．当4=n 时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个．8、解析：设212a a -322a a -==…120132a a -=k =，若0=k ，则212a a =，322a a =，…，201320122a a =，120132a a =， 于是0222212011121112013321=+++++=++++a a a a a a a a a ， ∴01=a ，进而02013321=====a a a a ．若0>k ，则212a a -，322a a -，…，120132a a - 这2013个数去掉绝对值号后只能取k 和k -两值，又212a a -+-+322a a …201320122a a -+0212013=-+a a ， 即这2013个数去掉绝对值号后取k 和k -两值的个数相同，这不可能． 9、解析：42cos 122cos 122cos 4)22cos 1(32cos 322336+++=+=θθθθθ， θθθ2cos 32cos 46cos 3+-=-，62cos 124cos 62+-=-θθ， θθ2cos 152cos 15-=-，各式相加，得102cos 154cos 66cos cos 326=---θθθθ．10、解析：数阵{}nm ija ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．下面用反证法给出证明．若在第p 行存在)1(''+>q p pqa a，令)1()1('++=q i q k k a a ，其中m k ,,3,2,1 =，{}{}m i i i i m ,,3,2,1,,,,321 =，则当p t ≤时，)1(+≤q i qi t ta a )1('+=q t a <≤+)1('q p a pq a '即在第q 列中至少有p 个数小于pq a '，也就是pq a '在数阵{}n m ij a ⨯'中的第q 列中至少排在第1+p 行，这与pq a'排在第p 行矛盾．所以数阵{}n m ij a ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．。
2013年三大联盟自主招生数学试题及答案
ak al am an
a1 k 1 d a1 l 1 d a1 m 1 d a1 n 1 d k l mn k l mn ≥ mn 2 2 因此命题得证，
b2013 0 ，进而易得 a1 a2
b2013 mx m 2013 x m 2x 2013 ．
a2013 0 ．
（理科第 9 题，文科第 9 题） 对任意 ，求 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2 的值． 【解析】 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2
1 2 【解析】 B．
AB BC CA 的模等于（ A BC
）
A．
B． 1
C． 3
D．不能确定
A B C A B C
A B C A B C
3 AB AC BA BC C A CB
AB BC CA AB BC CA
（理科第 7 题，文科第 8 题） 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论． 【解析】 至多可以找到 4 个，如 1, 3 , 7 , 9 ． 下面证明不能找到 5 个符合题意的正整数． 考虑它们模 3 的余数，设余数为 0 、 1 、 2 的分别有 a 、 b 、 c 个，则 1° 若 a 、 b 、 c 均不为零，则存在三个数，它们的和为 3 的倍数，一定不是质数； 2° 若 a 、 b 、 c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同． 此时它们的和为 3 的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到 5 个符合题意的正整数． （理科第 8 题，文科第 10 题） 实数 a1 , a2 ,
2013年北约自主招生数学试题及答案解析版
证明: a1 a2 a3 a2013 0 .
【证明】:观察可知 a1 a2 a3 a2013 0 ,
即 (2a2 a1) (2a3 a2 ) (2a2013 a2012 ) (2a1 a2013) 0 ……①
所以方程 (x2 2)[(1 x)3 2] 0 的次数最小,其次数为 5,故选 C.
2.在 6 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色和 3 辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆
车,每辆车只占一格,共有
种停放方法.
A. 720
B.
20
C. 518400 D. 14400
【解】红色车选
3
列有
B
A. BM CN MN
B. MN CN MN C. BM CN MN
M
D
D.无法确定 【解】如图,在 DA 取 DE DB ,连接 ME, NE, MN
则显然可证 ME MB, EN NC ,
A
N
C
B
且有 ME NE MN ,即 BM CN MN , 上述不等式当且仅当 MED DEN 180 , 也即 B C 180 , 这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到, 也即选 A.
an 2n1
3 ,且 a1 2 20
1;
所以
an1 2n
1
3 n ,故令 n 2
2012 时,得 a2013
22012
3019 ,故选
A.
5.在 ABC 中, D 为 BC 中点, DM 平分 ADB 交 AB 于点 M , DN 平分 ADC 交 AC 于 N ,
2013年北约自主招生数学试题(精校word版,无答案)-历年自主招生考试数学试题大全
2013-03-16
（时间90分钟，满分100分）
1．（10分）集合 ， 为 的子集，若集合 中元素满足以下条件：①任意数字都不相等；②任意两个数之和不为9。
（1） 中两位数有多少？三位数有多少？
（2） 中是否有五位数？六位数？
（3）若将集合 的元素按从小到大的顺序排列，第 个数为多少？
历年自主招生考试数学试题大全
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（3）若所取出的4个球颜色相同，求恰好全黑的概率。
5．（15分） ， ， ，求证：
（1）对 ，总存在正 整数 ，使 满足 ；
（2） ， ，对任意 总存在 使得 时， 。
6．（15分） 是两两不相等且大于 的正整数，若 ，求 的所有值。
7．（15分）已知
求证：（1）对 ， ；
（2）若 ，求证： 单调递减且 。
2．（15分） ， ，求 与 的值。
3．直线 与 上两点 、 ，
（1）求 中点 的轨迹 ；学-科网
（2）若曲线 与 相切于两点，求证两个切点在定直线上，并求过两切点的切线方程。
4．（15分）7个红球，8个黑球，从中任取4个球
（1）求取出的球中恰有1个是红球的概率；
（2
“北约”“华约”自主招生数学模拟试题
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题（满分150分）5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA uu u v 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅I ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量3,1)a =-v ,13(,22b =v .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+-v v v ,tan d ma b θ=-+u v v v ,且c d ⊥v u v .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22Λ+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅I 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-U2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21Λ。
2013年北约自招数学模拟试题1
2013年自主招生数学仿真试题—北约（ 考试时间：90分钟，总分100分）一、选择题（每题4分，共40分）1.设][x 表示不超过x 的最大正整数。
若][,][x N x M ==（其中1≥x ），则一定有______【A 】N M > 【B 】N M = 【C 】N M < 【D 】以上答案都不对 2.过椭圆123:22=+y x C 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使)1(||||≥=λλPH HQ 。
当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是_________【A 】]33,0( 【B 】]23,33( 【C 】)1,33[ 【D 】)1,23( 3.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止。
设甲在每局中获胜的概率为32，乙在每局中获胜的概率为31，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的数学期望)(X E 为_______ 【A 】81241 【B 】81266 【C 】81274 【D 】243670 4.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边c b a ,,成等比数列，则B C B A C A cos cot sin cos cot sin ++的取值范围是______【A 】),0(+∞ 【B 】)215,0(+ 【C 】)215,215(+- 【D 】),215(+∞- 5.已知2013321,,,,x x x x 是2013个正数，且1111111112013321=++++++++x x x x ，则2013321,,,,x x x x 这2013个正数中________【A 】小于1的数最多只有1个 【B 】肯定有比2012大的数【C 】肯定有比2012小的数 【D 】必有一个数为2013 6.若,31,1,2=++≤∈z z z C z 则z 的值的个数为_______【A 】0 【B 】1 【C 】2 【D 】37.如果θθθθsin cos cos sin 33->-，且)2,0(πθ∈，那么角θ的取值范围是______【A 】)4,0(π 【B 】)43,2(ππ 【C 】)45,4(ππ 【D 】)2,45(ππ 8.有4种不同颜色的小球各5个，从这20个小球中任取5个，取出的这5个小球中，恰有2种或3种颜色的所有取法有________【A 】2400种 【B 】10 500种 【C 】9150种 【D 】9300种9.如果若11<++ba ab ，则a 与b _________ 【A 】一个大于1，一个小于1 【B 】两个都大于1【C 】两个都小于1 【D 】两个的积都小于110.已知R x i x k x x f i k ∈-++=∑∑==,||||)(2012120121，且)1()23(2-=+-a f a af ，则a 的值的个数为________【A 】0 【B 】1 【C 】2 【D 】无数个二、解答题（每题12分，共60分）11、若121,,,,+n n x x x x 均为小于1的非负实数.证明：其中一定存在两个数，其差的绝对值小于n1.12、在四边形ABCD 中，.1,2,3,4====AD CD BC AB（1）若四边形ABCD 为圆内接四边形，求四边形ABCD 的面积；（2）求四边形ABCD 的最大面积。
2013年自招数学答案
2013年高中自主招生考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共24分）ABDC CABC 二、填空题：（每小题4分，共32分）9. 0 10. 161 11. 26 12. ﹙0，1﹚ 13. 1 14.28 15. 22 16. 6, n (n +1) 三、解答题：（10大题，共94分）17. （5分）解：原式=919)3(2)3()9)(9(2+•-+•++-a a a a a a =32+a ………………………………………3分 当33-=a 时，原式=332 …………………………………………………………5分 18.（5分）解：由|1-a |+2+b =0，得a =1，b =-2. ……………………………………………2分由方程x 1-2x =1得2x 2+x -1=0解之，得x 1=-1，x 2=21.…………………………………………4分 经检验，x 1=-1，x 2=21是原方程的解. …………………………………………………………5分 19.（6分）(1) 被抽查的居民中，人数最多的年龄段是21~30岁 ……………………………1分(2)总体印象感到满意的人数共有400×83%=332 (人)31~40岁年龄段总体印象感到满意的人数是：332(5412653249)66-++++=(人) 图略 ……………………………………………………3分(3) 31~40岁年龄段被抽人数是2040080100⨯=(人) 总体印象的满意率是66100%82.5%83%80⨯=≈ ； 41~50岁被抽到的人数是1540060100⨯=人,满意人数是53人, 总体印象的满意率是5388.3%88%60=≈ ； ∴41~50岁年龄段比31~40岁年龄段对博览会总体印象的满意率高. ………………………6分20.（6分）解：过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，设AB =x 米，在Rt △DEC 中，∠DCE =30°，CD =200，∴DE =100，CE =1003.在Rt △ABC 中，∠ACB =45°，∴BC=x 米.则AF =AB －BF =AB －DE =x －100，DF =BE =BC ＋CE =x ＋1003.在Rt △AFD 中，∠ADF =30°，tan30°=FD AF ， ∴333100100=+-x x . ∴473)33(100≈+=x （米）.……………………………………5分答：山AB 的高度约为473米.……………………………………………6分21．（6分）解：（1）画树状图得：∴点Q 所有可能的坐标有6个：（0，﹣2），（0，0），（0，1），（﹣2，，﹣2），（﹣2，0），（﹣2， 1）.………………………2分（2）∵点Q 在y 轴上的有：（0，﹣2），（0，0），（0，1），∴点Q 在y 轴上的概率为：21.…4分 （3）∵⊙O 的半径是2，∴在⊙O 外的有（﹣2，1），（﹣2，﹣2），在⊙O 上的有（0，﹣2），（﹣2，0）. ∴过点Q 能作⊙O 切线的概率为：3264=.…………………………………………………6分 22．（7分）解：（1）由图象知：线段BC 经过点（20，500）和（40，600），∴设解析式为：Q =kt +b ， ∴⎩⎨⎧=+=+6004050020b k b k ，解得⎩⎨⎧==4005b k ，∴解析式为：Q =5t +400（20＜t ＜40）……………2分 （2）设乙水库的供水速度为x 万m3/h ，甲为y 万m 3/h ， ∴⎩⎨⎧-=--=-600400)2(40500600)(20y x y x ，解得⎩⎨⎧==1015y x ， ∴乙水库供水速度为15万m 3/h 和甲水库一个排灌闸的灌溉速度10万m 3/h ；………… 5分（3）∵正常水位的最低值为a =500-15×20=200，∴（400-200）÷（2×10）=10h ，∴10小时后降到了正常水位的最低值．……………………………………………………… 7分23．（8分）（1）∵∠B 、∠F 同对劣弧AP ，∴ ∠B =∠F∵BO =PO ，∴∠B =∠BPO ∴∠F =∠BPF ，∴AF ∥BE …………………………3分（2）∵∠C PE = ∠B PO =∠B =∠EA P ，∠C =∠C ，∴△P C E ∽△ACP ，∴APAC PE PC =. ∵∠EA P =∠B ，∠E P A =∠A P B =90°，∴△EA P ∽△A B P ， ∴APAB PE AE =. 又∵AC =AB ，∴PEAE PE PC = ∴CP =AE ． …………………………………………………8分 24.（8分）解：（1）BE ＝GH ； ……………………………………………………………………1分（2）EF ＝GH ； …………………………………………………………………………………………2分（3）过点A 作m 的平行线交BC 于点F ′，过点D 作n 的平行线交AB 于点G ′．∵ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°．∴四边形AEFF ′是平行四边形，四边形DHGG ′是平行四边形，∴EF ＝AF ′，GH ＝DG ′，且EF ∥AF ′，GH ∥DG ′，又∵EF ⊥GH ∴AF ′⊥DG ′．∴∠BAF ′＋∠AG ′D ＝90°．又∵∠BAF ′＋∠AF ′B ＝90°，∴∠AG ′D ＝∠AF ′B ．………………………………………………5分 在△ADG ′和△ABF ′中，⎪⎩⎪⎨⎧='∠='∠︒=∠=∠AB AD B F A D G A ABC DAB 90∴△ADG ′≌△ABF ′ ，∴AF ′＝DG ′ ，∴EF ＝GH ．…8分25.（9分）解：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．…………………………2分（2）当4.55.49.02=+-x x 时，即0544592=+-x x ，21=x ，32=x .从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建2公顷大棚． ………………………5分（3）方法一：设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+………………………8分∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．………………9分 方法二：设三年的收益为W （万元）W =225.99)5.10(9.09.189.0)3.039.07.2(5.73222+--=+-=⨯---⨯x x x x x x ………8分 ∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益． ……………9分26. （12分）解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点O 、A 、C ，可得c =0，∴⎩⎨⎧=+=+1242b a b a ，解得a =，b =，∴抛物线解析式为x x y 27232+-=． （2）设点P 的横坐标为t ，∵PN ∥CD ，∴△OPN ∽△OCD ， 可得PN =2t ，∴P （t ，2t ）， ∵点M 在抛物线上，∴M （t ，t t 27232+-）． 如解答图1，过M 点作MG ⊥AB 于G ，过P 点作PH ⊥AB 于H ，AG =y A ﹣y M =2-（t t 27232+-）=227232+-t t ，BH =PN =2t ． 当AG =BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形，∴227232+-t t =2t ， 化简得3t 2﹣8t +4=0，解得t 1=2（不合题意，舍去），t 2=32， ∴点P 的坐标为（32，31），∴存在点P （32，31），使得四边形ABPM 为等腰梯形． （3）如解答图2，△AOB 沿AC 方向平移至△A ′O ′B ′，A ′B ′交x 轴于T ，交OC 于Q ，A ′O ′交x 轴于K ，交OC 于R ．求得过A 、C 的直线为y =﹣x +3，可设点A ′的横坐标为a ，则点A ′（a ，﹣a +3），易知△OQT ∽△OCD ，可得QT =2a ， ∴点Q 的坐标为（a ，2a ）． 解法一：设A B 与OC 相交于点J ，∵△ARQ ∽△AOJ ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴AJQ A OB HT /=. ∴HT =a a a OB AJ Q A -=⨯---=⋅21212213/， KT =)3(2121/a T A -=， a a a y y Q A Q A 2332)3(//-=-+-=-=． S 四边形RKTQ =S △A ′KT ﹣S △A ′RQ =KT •A /T ﹣A /Q •HT=)2)(233(21)3(2321+----⋅-⋅a a a a =83)23(2143232122+--=-+-a a a ∵＜0，∴在线段AC 上存在点A /（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH③则KT=④由△A′KT∽△A′O′B′，得，由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，∴点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+.∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（x Q﹣x R）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。
北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案
综合性大学自主选拔录取联合考试自然科学基础——理科试卷数学部分（北约）一、选择题（每小题8分，合计48分）1．圆心角为3π的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．A ．B ．7πC ．D ．解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263r ππ=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为267r πππ+=．2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．A ．1070B ．2014C ．2100D ．4200解：433106321002C C C N ==． 3．已知2()2()()33a b f a f b f ++=，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，所以*()21()f n n n N =-∈．4．若2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．A ．01a ≤≤B ．C ．D ．0a ≤或1a ≥解：由题知，{}2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+，故2(2)40a a ∆=--≥，解得：0a ≤或1a ≥．5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1xy xy+有（ B ）． A ．最大值174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174-解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，故1()()4f xy f ≥，即1174xy xy +≥，当且仅当12x y ==-时取等号． 6．已知22()arctan14x f x C x +=+-在(,)44ππ-上为奇函数，则C =（ B ）． A ．0 B ．arctan 2- C ．arctan 2 D ．不存有解：由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-，此时()()f x f x +-22arctan14x x +=-22arctan 214x C x -+++4arctan()2arctan 203=--=，故arctan 2C =-符合题意．二、解答题（每题18分，共72分）7．证明：0tan3R ∉．证明：设0tan 3Q ∈，则0tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q ∈⇔∈⇔∈⇔=+∈，这与0tan 303Q =矛盾． 8．已知实系数二次函数()f x 和()g x ，若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根，方程()0f x =有两个不等的实根，求证：方程()0g x =没有实根． 解：设2()f x ax bx c =++，2()g x dx ex f =++，0ad ≠，所以2()4()()b e a d c f -=--，2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，所以223124b e ac df +=+，又240b ac ->，所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<，所以方程()0g x =没有实根．9．已知1a ，2a ，…，13a 成等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：0，72，163是否能够同时在M 中？并证明你的结论．解：设该数列的公差为d ，∴p ∃，q ，*r N ∈，130a pd +=，173()2a p q d ++=，1163()3a p q r d +++=，∴2111q r =，∴21q ≥，11p ≥，又0123p ≥++=，∴35p q r ++≥， 又12111033p q r ++≤++=，与上式矛盾，故0，72，163不能够同时在M 中．10．i x （1i =，2，…，n ）为正实数，且11nii x==∏，求证：1)1)nn i i x =≥∏．解：由AM GM -不等式得：11(n i n =≥，11(ni n =≥两式相加得：1≥，故1)1)nn i i x =≥∏．。
2013年自主招生数学试题及答案
2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
2013、2014年华约北约卓越自主招生数学试题
2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
2010-2013北约自主招生数学笔试试题及答案(精校版+完整版)
2010年“北约”自主招生数学试题1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分）3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）2011北约自主招生数学试题∎1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。
∎2求过抛物线2，交点的直线方程。
∎3、等差数列满足=，，这个数列的前n项和为，数列中哪一项最小，并求出这个最小值。
∎4、∆ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为∆ABC的内角，求证：C≤。
∎ 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？∎6、和是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。
∎7、求f(x)=的最小值。
2012年“北约”自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -；4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析
8
4
(II) 直线 l1 : x 1 , l2 : y
x
m ,D(1,4),
( x 1)2
椭圆 Q:
(y
2)2
1
8
4
①若 l2 过点 F1 或 D,由 F1 ,D 两点既在直线 l1 上 , 又在椭圆 Q上 , 但不在 F2 的轨迹上 ,
知 l2 与 F2 的轨迹只有一个公共点 , 不合题意 .
②若 l2 不过 F1 ,D 两点 ( m 1, m 3 ). 则 l 2 与 l1必有一个公共点 E, 且点 E不在椭圆 Q上 ,
(I) 求点 F2 的轨迹方程 ;
(II)
是否存在直线 y x m 与点 F2 的轨迹有 且只
有两个公共点 ?若存在 , 求实数 m 的值 , 若不存在 , 请说明理由 .
5. 已知 a， b 均为正整数，且 a b, sin 证：对一切 n N * ， An 均为整数
2ab a 2 b 2 (其中 0
当 t ( , 1) , g' (t ) 0 , g(t ) 为增函数 ; 当 t ( 1,1) 时 , g' (t ) 0 , g (t ) 为减函数 ;
当 t (1, ) 时 , g '(t ) 0 , g (t) 为增函数 .
所以当 t
值
1
.
2
1, 即
时 , m g (t) 有极 大值 1 ; 当 t 1, 即
4
2
4．解 :(I) F1 (1,0) , AF1 BF2 2 2 , 设 F2( x, y) 则
时 , m g(t) 有极小 4
AF1 AF2 BF1 BF2 2a 0 , 去掉绝对值号有两种情况 , 分别得 F2 的轨迹
2013北约数学试题
6.复数ABC的模均为1（A+B+C≠0），则复数 的模为
A. B. 1 C. 3 D.ABC均不正确
7.求最多有多少两两不相同的正整数，其中任意三个数的和为质数？证明你的结论。
8.
9.已知ai, i=1,2,3,…,2013为2013个实数，满足a1+a2+a3+…+a2013=0且|a1- 2a2|=|a2–2a3|=…=|a2013-2a1|.求证a1=a2=a3=…=a2013=0
2013北约数学试题（回忆）
共10道题6道选择4道大题（共120分）
1.以√2和1 -3√2为根的方程最小次数为
A2 B 3 C 6 D无法确定
2.在6×6的棋盘中，分别有3个完全相同的红色棋子和黑色棋子。则六个棋子不在同一行或同一列的可能摆放情况有多少种
3.数列{an}中，a1=1, Sn=4(an- 1),则a2013的值为
4.在ABC中，D是BC的中点，DM平分∠ADB交AB于M，DN平分∠ADC交AC于N，则BM，CN和MN的关系怎样？
A. BM+CN＞Mபைடு நூலகம் B.BM+CN＜MN C.BM+CN=MN D.关系不确定
5.已知x2=2y+5,y2=2x+5（x≠y）。求x3-2x2y2+y3的值
2013年“北约”自主招生训练题二
2013年“北约”自主招生训练题二1、函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .2、设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.3、圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ．4、在三棱锥A B C D -中，已知A C B C B A ∠=∠，A C D A D C B C D B D C ∠=∠=∠=∠θ=，且cos 10θ=．已知棱A B的长为，则此棱锥的体积为 ．5、设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ．6、已知平面上两定点A （－3，0），B （0，－4），P 为曲线12(0)y x x=>上任意一点，过点P作PC ⊥x 轴，PD ⊥y 轴，垂足分别为C,D ，则四边形ABCD 面积S 的最小值为 7、函数()2f x x =-__________________________.8、函数22*()sincos()kkf x x x k N =+∈的最小值为9、设O 是平面上一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||A C A BO P O A A C A B λλ-=+，其中[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹为_________________. 10、函数21)(2+-=x x x f 的值域是__________________。
11、若ABC ∆为锐角三角形，满足)cos(sin sin B A BA +=，则A tan 的最大值是___________。
12、将9,,2,1 随机填入右图正方形ABCD 的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左至右顺次成等差数列的概率P=__________。
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2.
2 为两根的有理系数多项式的次数最小为 5.
2． 在 6 × 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色车和 3 辆完全有几种停放方法？ A. 720 B. 20
3
C. 518400
D. 14400
解析:先从 6 行中选取 3 行停放红色车,有 C6 种选择.最上面一行的红色车位置有 6 种选择；最上面一行的
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所以
AB + BC + CA 的模长为 1. A+ B +C
7．最多能取多少个两两不等的正整数, 使得其中任意三个数之和都为素数 . 解析:所有正整数按取模 3 可分为三类: 3k 型、 3k + 1 型、 3k + 2 型. 首先, 我们 可以证明, 所取 的数最多 只能取到 两类 .否则 ,若三 类数都有 取到 ,设所 取 3 k 型数 为
3 a , 3 k + 1 型数为 3b + 1 , 3 k + 2 型数为 3c + 2 ,则 3a + (3b +1) + (3c + 2) = 3( a + b + c +1) ,不可能为素数.
所以三类数中,最多能取到两类. 其次,我们容易知道,每类数最多只能取两个.否则,若某一类 3k + r(r
8 ．设实数 a1 , a2 ,⋯ , a2013 的和为零,且 a1 − 2a2 = a2 − 2 a3 = a3 − 2 a4 = ⋯ = a2012 − 2 a2013 = a a , 2013 − 2 1 求证: a1 = a2 = a3 = ⋯ = a 2013 = 0 .
解析:据条件知 ( a1 − 2a2 ) + ( a2 − 2 a3 ) + ( a3 − 2 a4 ) + ⋯ + ( a2013 − 2 a ,（1） 1 ) = −( a 1 + a 2 + a 3 + ⋯+ a 2013 ) = 0 另一方面,令 a1 − 2a2 = a2 − 2 a3 = a3 − 2 a4 = ⋯ = a2013 − 2 a1 = m , 则
2013 年北约自主招生数学试题与答案
1． 以 2 和 1 −
3
2 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？ B. 3
2
A. 2
C. 5
3
D. 6 2 和 1 − 3 2 .于是
解析:显然,多项式 f ( x ) = ( x − 2) ⎡ ⎣ (1 − x ) − 2⎤ ⎦ 的系数均为有理数,且有两根分别为 知,以 2 和 1 −
⎧ 4a + 2c + e = 0 2 = 0⇒ ⎨ . ⎩ 2b + d = 0
g 1 − 3 2 = −(7a + b − c − d − e) − (2 a + 3b + 2 c + d )3 2 + (6a + 3b+ c )3 4 = 0
⎧7 a + b − c − d − e = 0 ⇒⎨ . ⎩ 2a + 3b + 2c + d = 0 ⎧ 4a + 2c + e = 0 ⎪ 2b + d = 0 ⎪ ⎪ 即方程组: ⎨ 7a + b − c − d − e = 0 ⎪ 2a + 3b + 2c + d = 0 ⎪ ⎪ ⎩ 6a + 3b + c = 0
解析:根据公式 z =
B. 1
C. 2
AB + BC + CA 的模长. A+ B +C D.无法确定
z ⋅ z 知, A ⋅ A = 1, B ⋅ B = 1, C⋅ C = 1.于是知: AB+ BC+ CA AB+ BC+ CA ⋅ A+ B +C A+ B +C
AB + BC + CA = A+ B +C
D.无法确定
解析:根据条件知: 4 an +1 + 2 = S n + 2 = an + 2 + Sn +1 = an + 2 + 4 an + 2 ⇒ an + 2 = 4 an +1 − 4 an . 又根据条件知: a1 = 1, S2 = a1 + a2 = 4 a1 + 2 ⇒ a2 = 5 .
n −1
.即 an +1 − 2an = 3 ⋅ 2
n −1
.
an +1 an 3 a + 1 an 3 a − n = ,即 n = n + .令 cn = n ,则 n +1 n +1 2 2 4 2 2 4 2n 3 a 1 1 3 3n −1 3n − 1 n .所以 an = cn +1 = cn + , c1 = 1 = ,于是知 cn = + (n −1) = , 2 = (3n − 1) ⋅ 2 n − 2 . 4 2 2 2 4 4 4
3
2 为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于 5.
4 3 2 3
若存在一个次数不超过 4 的有理系数多项式 g ( x) = ax + bx + cx + dx + e ,其两根分别为 2 和 1 − 其中 a , b , c , d ,e 不全为 0,则: g
2,
( 2 ) = (4a + 2c + e) + (2b + d )
= −38x − 70 = −108 − 38 6 .
当 x = y = 1− 6 时
x 3 − 2 x 2 y 2 + y 3 = −4 xy − 15( x + y ) − 50 = −4x 2 − 30 − 50 = −4(x 2 + 2x − 5) − 38x − 70. x 2 + y 2 = (2 y + 5) − (2 x + 5) = 2( y − x) ⇒ x + y = −2 = −38x − 70 = −108 + 38 6 .
= 0、 1、 2) 型的数至少取到三个,
设其中三个分别为 3a + r、 3b + r、 3 c + r ,则 (3a + r ) + (3b + r ) + (3c + r ) = 3( a + b + c + r ) ,不可能为素数. 所以每类数最多只能取两个. 结合上述两条,我们知道最多只能取 2 × 2 = 4 个数,才有可能满足题设条件. 另一方面,设所取的四个数为 1、7、5、11,即满足题设条件. 综上所述,若要满足题设条件,最多能取四个两两不同的正整数.
②若 x ≠ y ,则根据条件知: x 2 + y 2 = (2 y + 5) − (2 x + 5) = 2( y − x) ⇒ x + y = −2 , 于是 x 2 + y 2 = (2 y + 5) − (2x + 5) = 2(x + y ) + 10 = 6,
进而知 xy =
( x + y )2 − (x 2 + y 2 ) = −1 .于是知 x 3 − 2 x 2 y 2 + y 3 = 4 xy − 15( x + y ) − 50 = − 16 . 2
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红色车位置选定后,中间一行的红色车位置有 5 种选择；上面两行的红色车位置选定后,最下面一行的红色 车 位 置 有 4 种 选 择 。 三 辆 红 色 车 的 位 置 选 定 后 , 黑 色 车 的 位 置 有 3 ！ =6 种 选 择 。 所 以 共 有
3 C6 × 6 × 5 × 4 × 6 = 14400 种停放汽车的方法.
a1 − 2a2、a2 − 2 a3、a3 − 2 a4 、 ⋯、a2013 − 2 a1 中每个数或为 m ,或为 − m .
设其中有 k 个 m , (2013 − k ) 个 − m ,则:
( a1 − 2 a2 ) + ( a2 − 2a3 ) + ( a3 − 2 a4 ) + ⋯+ ( a2013 − 2 a1 ) = k × m+ (2013− k )× (− m) = (2k − 2013)m （2）
于是知: a2013 = (3 × 2013 −1) ⋅ 2 2011 = 3019 ⋅ 2 2012 .
5．如图, ∆ABC 中, AD 为 BC 边上中线 , DM , DN 分别 ∠ADB, ∠ADC 的 角平分线,比较 BM + CN 与 MN 的大小关系. +CN >MN A. BM BM+ CN> B. MN +CN<MN +CN=MN C. BM BM+ D. 无法确定 解析:如图, 延长 ND 到 E , 使得 DE = DN , 连接 BE、ME . 易知 ∆BDE ≅ ∆ CDN , 所以 CN = BE . 又因为
由 （1） 、 （2） 知: (2k − 2013)m = 0 （3）
而 2 k − 2013 为奇数,不可能为 0,故 m = 0 .于是 a1 = 2a2 , a2 = 2a3 , a3 = 2a4 ,⋯, a2012 = 2a2013 , a2013 = 2a1 . 从而知 a1 = 2
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所以数列 { an } : a1 = 1, a2 = 5, a n +2 = 4 a n +1 − 4 a n . 又 an +2 = 4an +1 − 4an ⇔ an +2 − 2 an +1 = 2( an +1 − 2 an ) .令 bn = an +1 − 2 an , 则 bn +1 = 2bn , b1 = a2 − 2 a1 = 3 ,所以 bn = 3 ⋅ 2 对 an +1 − 2an = 3 ⋅ 2 n −1 ,两边同除以 2 n +1 ,有