33数列的综合应用

(2)如果降低 p%的售车款为 10(1－p%)，那么一年后产生的 本金为 10(1－p%)×1.00812，而转入再投资所产生的本金为 10(1 －p%)(1＋2%)12，则依题意有
101－p%×1.00812<10.56， 10×1.00812<101－p%1＋2%12.
(2)不存在正整数 k，使得 Rk≥4k 成立． 下面证明： 对任意的正整数 n， 都有 Rn<4n 成立． 5 由(1)知 bn＝4＋ . n －4 －1 5 5 ∵b2k－1＋b2k＝8＋ ＋ 2k－1 －4 －1 －42k－1 5 20 ＝8＋ k － k 16 －1 16 ＋4 k 15×16 －40 ＝8－ k <8. k 16 －116 ＋4 ∴当 n 为偶数时，设 n＝2m(m∈N＋)．
方案 1：分 3 次付清，购买后 4 个月第 1 次付款，再过 4 个月第 2 次付 款，再过 4 个月第 3 次付款． 方案 2：分 12 次付清，购买后 1 个月第 1 次付款，再过 1 个月第 2 次 付款……购买后 12 个月第 12 次付款． 规定分期付款中每期付款额相同；月利率为 0.8%，每月利息按复利计
规定分期付款中每期付款额相同；月利率为 0.8%，每月利息按复利计 算，即指上月利息要计入下月的本金．
(1)试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少？ (2)若汽车销售公司将收回的售车款进行再投资，可获月增长 2%的收益，为此对一次性付款给予降价 p%的优惠，为保证一次 性付款经一年后的本金低于方案 1 和方案 2 中较少一种的付款总 额，且售车款再投资一年后的本金要高于车价款一年的本金，试 确定 p 的取值范围．
r (1 r )n a. 等额还款数为b，分n期还完，则 b n (1 r ) 1
题型一
等差数列与等比数列的综合应用
[例 1] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N
＋
)，其中 m 为常数，m≠－3，且 m≠0. (1)求证：{an}是等比数列； 3 (2)若数列{an}的公比满足 q＝f(m)且 b1 ＝a1 ，bn ＝ f(bn － 1)(n∈N ＋ ， 2
1.00811x2 万元，第 2 次付款的本金为 1.00810x2 万元，……第 12 次付款的 本金为 x2 万元，则 1.00811x2＋1.00810x2＋…＋1.008x2＋x2＝10×1.00812， 解得 x2≈0.88(万元)付款总额为 12×0.88＝10.56(万元) 显然，第二种方案付款总额较少．
－1
－2
Байду номын сангаас1－n
(2009 年高考四川卷)设数列{an}的前 n 项 和为 Sn， 对任意的正整数 n， 都有 an＝5Sn＋1 成立， 4＋an 记 bn＝ (n∈N＋)． 1－an (1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式； (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Rn， 是否存在正整数 k， 使得 Rk≥4k 成立？若存在，找出一个正整数 k；若 不存在，请说明理由；
又 an≠0，得 a1＝－2，此时 bn＝1－Sn＝3n，∴{bn}是首项为 3，公比为 3 的等比数列，∴{bn}能为等比数列，此时 a1＝－2. 方法三：设数列{bn}能为等比数列，即满足 b2 ＝bn－1·n＋1(n≥2，n∈N＋)， b n
的等比数列，∴{bn}能为等比数列，此时 a1＝－2. 方法三：设数列{bn}能为等比数列，即满足 b2 ＝bn－1·n＋1(n≥2，n∈N＋)， b n
注：计算结果保留三位有效数字，参考数据： 1.0083≈1.024,1.0084≈1.033,1.00811≈1.092,1.00812≈1.1,1.0211≈1. 243,1.0212≈1.268
[解析] (1)对于方案 1，设每次付款额为 x1 万元，那么四个月后，第 一次付款的本金为 1.0088x1 万元，第 2 次付款的本金为 1.0084x1 万元，第 3 次付款的本金为 x1 万元，则 1.0088x1＋1.0084x1＋x1＝10×1.00812. 解得 x1≈3.63(万元)．付款总额为 3×3.63＝10.89(万元)． 对方案 2，设每次付款为 x2 万元，那一个月后，第一次付款的本金为
数列的综合应用
要点梳理
忆一忆知识要点
1.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒 成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数 列中的相关问题． 2.数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的 应用,如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等. 3.解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将 实际问题转化成数学问题,弄清该数列的结构和特征. (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．
∴{bn}能为等比数列，此时 a1＝－2.
方法二：设数列{bn}能为等比数列，则 b1，b2，b3 成等比数列， ∴b2＝b1·3，∵Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝a1·n－1，bn＝1－Sn， b 3 2 ∴b2＝1－4a1，b1＝1－a1，b3＝1－13a1，∴(1－4a1)2＝(1－a1)(1－13a1)，
解得 4<p<13.2.
例4
(2010 年高考安徽卷)设 C1， 2， Cn， C …， …
是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 x 轴的正 3 半轴上， 且都与直线 y＝ x 相切． 对每一个正整数 3 n，圆 Cn 都与圆 Cn＋1 相互外切，以 rn 表示圆 Cn 的 半径，已知{rn}为递增数列．
又∵bn＝1－Sn，bn－1＝1－(Sn－an)，bn＋1＝1－(Sn＋an＋1)， ∴(1－Sn)2＝(1－Sn＋an)(1－Sn－an＋1)， ∴(1－Sn)2＝(1－Sn)2＋(an－an＋1)(1－Sn)－anan＋1，
a11－3n 1－ 即－2an· ＝anan＋1，将 an＝a1·n－1 代入得 a1＝－2， 3 1－3
则 Rn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2m－1＋b2m)<8m＝4n； 当 n 为奇数时，设 n＝2m－1(m∈N＋)， 则 Rn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2m－3＋b2m－2)＋b2m－1 <8(m－1)＋4＝8m－4＝4n. ∴对一切的正整数 n，都有 Rn<4n. ∴不存在正整数 k，使得 Rk≥4k 成立． 5 (3)证明：由(1)知 bn＝4＋ . n －4 －1 25×16n 5 5 ∴cn＝b2n－b2n－1＝ 2n ＋ 2n－1 ＝ n 4 －1 4 ＋1 16 －116n＋4
2
292 315 －29x＋183)＝20x－ 4 ＋ . 4
因 x∈N＋，故 x＝7 时，S 有最小值 S＝780(m)．
答：将旗集中以第 7 面小旗处，所走路程最短为 780m.
题型三
以等比数列为模型的实际应用题
[例 3] 某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式， 对购买 10 万元一辆的轿车在一年内将款全部付清的前提下， 可以 选择以下两种分期付款的方案购车：
[解析] (1)由题意可得 2Sn＝an＋1－a1， ∴当 n≥2
2Sn＝an＋1－a1， 时，有 2Sn－1＝an－a1，
两式相减，得 an＋1＝3an(n≥2)，
又 a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，∴{an}是首项为 a1，公比为 3 的等比数列， ∴an＝a1·n－1. 3
例5
(3)记 cn＝b2n－b2n－1(n∈N＋)， 设数列{cn}的前 n 项和 3 为 Tn，求证：对任意正整数 n，都有 Tn< . 2
1 【解】 (1)当 n＝1 时，a1＝5a1＋1，∴a1＝－ . 4 又∵an＝5Sn＋1，an＋1＝5Sn＋1＋1. 1 ∴an＋1－an＝5an＋1，即 an＋1＝－ an. 4 1 ∴数列{an}成等比数列，其首项 a1＝－ ，公比 q＝ 4 1 － . 4 1n 4＋－ 4 1n ∴an＝(－ ) .∴bn＝ . 4 1n 1－－ 4
a11－qn 1 1 n 1 1 n (2)方法一： n＝ ∵S ＝－ a1＋ a1· ， n＝1－Sn＝1＋ a1－ a1· ， 3 ∴b 3 2 2 2 2 1－q 1 要使{bn}为等比数列，当且仅当 1＋ a1＝0，即 a1＝－2，此时 bn＝3n， 2 ∴{bn}是首项为 3，公比为 3 的等比数列．
1 1 1 得 bnbn－1＋3bn＝3bn－1⇒b － ＝ . b n－ 1 3 n
1 ∴b 是 n
n－1 n＋2 1 1 1 为首项， 为公差的等差数列，∴b ＝1＋ ＝ ，当 n＝1 3 3 3 n
3 时也符合此式，故有 bn＝ . n＋2
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，其中 an≠0，a1 为常数，且－a1，Sn， an＋1 成等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝1－Sn，问是否存在 a1，使数列{bn}为等比数列？若存在， 则求出 a1 的值；若不存在，请说明理由．
总的路程：S＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋20×2＋20×1＋20 ＋20×2＋…＋20×(13－x) x－1x－2 13－x14－x ＝10(x－1)＋20× ＋20× 2 2 ＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1)＋(13－x)(14－x)]
＝10(2x
要点梳理
忆一忆知识要点
4. 数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定 量时，该模型是等差模型，增加(或减少) 的量就是公 差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是 一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的 数就是公比． (3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，
1 n≥2)，求证：b 为等差数列，并求 bn. n