排列组合专题优秀课件
合集下载
17种排列组合方法【优质PPT】

※解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉, 容易产生重复和遗漏,应仔细分析重在哪里漏在 何处,因此必须掌握一些常用的解题方法.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五 位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置.
解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队,共有_A__22 _
种排法,再排小集团内部共有__A_22 _A_22 __种排法,由分步
计数原理共有_A _22_A_2_2 A__22 种排法.
小集团
1524
3
九正难则反,等价转化策略
例.从1楼2楼有17级楼梯,上楼时可以一步一级,也一步 两级,若要求11步走完这楼梯则,则有多少种不同的走法
三.排列组合混合问题先选后排策略
例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒 至少装一个球,共有多少不同的装法?
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C__52 种
方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不
同的盒内有_A__44种方法.
C 根据分步计数原理装球的方法共有__52_A__44 种方法.
分析:由题意知,这11步中,6步,一步走两级,5步走 一级,因此,要确定一种走法只需确定这11步中哪6步
C 练走习两.级在即3×可4,的故方不格同中的,走从法A走为到B的最6短路径4有62多少种? 11
B
C 3 35 7
A
十一.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏 或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯 方法有多少种?
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五 位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置.
解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队,共有_A__22 _
种排法,再排小集团内部共有__A_22 _A_22 __种排法,由分步
计数原理共有_A _22_A_2_2 A__22 种排法.
小集团
1524
3
九正难则反,等价转化策略
例.从1楼2楼有17级楼梯,上楼时可以一步一级,也一步 两级,若要求11步走完这楼梯则,则有多少种不同的走法
三.排列组合混合问题先选后排策略
例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒 至少装一个球,共有多少不同的装法?
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C__52 种
方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不
同的盒内有_A__44种方法.
C 根据分步计数原理装球的方法共有__52_A__44 种方法.
分析:由题意知,这11步中,6步,一步走两级,5步走 一级,因此,要确定一种走法只需确定这11步中哪6步
C 练走习两.级在即3×可4,的故方不格同中的,走从法A走为到B的最6短路径4有62多少种? 11
B
C 3 35 7
A
十一.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏 或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯 方法有多少种?
17种排列组合方法ppt课件

甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
种不同的排法
6
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
个有元A素55 中种间,包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排A好64 的不6
练习:从6个男同学和4个女同学中,选出3个男同学和 2个女同学,分别担任五项不同的工作,一共有多少 种不同的分配方法?
5
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进 行排列,同时对相邻元素内部进行自排.
个空隙中插入3个不亮的灯有__C__35 _种.
12
十二.元素相同问题隔板策略 例10.有10个三好学生名额,在分给7个班,每班至 少一个,有多少种分配方案?
解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排,相 邻名额之间形成9个空隙. 在9个空档中选6个 位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给 7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序
共有
A A55
4 6
种
相 独 独独相
7
六.固定顺序问题用除法策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
1除法:对于某几个元素顺序一定的排列问题,可 先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则 共有不同排法种数是: A77
A22
15
练习:某兴趣小组有9个人,现有3项不同的活动可以让
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
种不同的排法
6
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
个有元A素55 中种间,包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排A好64 的不6
练习:从6个男同学和4个女同学中,选出3个男同学和 2个女同学,分别担任五项不同的工作,一共有多少 种不同的分配方法?
5
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进 行排列,同时对相邻元素内部进行自排.
个空隙中插入3个不亮的灯有__C__35 _种.
12
十二.元素相同问题隔板策略 例10.有10个三好学生名额,在分给7个班,每班至 少一个,有多少种分配方案?
解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排,相 邻名额之间形成9个空隙. 在9个空档中选6个 位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给 7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序
共有
A A55
4 6
种
相 独 独独相
7
六.固定顺序问题用除法策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
1除法:对于某几个元素顺序一定的排列问题,可 先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则 共有不同排法种数是: A77
A22
15
练习:某兴趣小组有9个人,现有3项不同的活动可以让
排列组合讲解ppt课件

知识铺垫
首先来了解下什么是两种计数原理?两种计数原理其实就是加法原理和乘法原 理,那么什么时候用加法?什么时候用乘法呢?标准就是判断你所要用的这种方 法能否独立完成一件事,如果可以那就用加法,如果不能那就用乘法。例如: 小王想要从甲到乙地,如果坐火车有3列车可选,如果做汽车有5班车可选,问 小王从甲到乙一共有多少种到达的方式?答案很显然是3+5=8,为什么用加法 呢?因为要完成的从甲地到乙地,首先3列火车可以独立完成,5班汽车也可独 立完成,每一种方式都能够独立完成这件事情则用加法。如果题目改成:小王 从甲到乙地,有3列火车可以从甲到丙地,有5班汽车可以从丙地到乙地,问小 王从甲到乙地一共有多少种方法?答案却为3×5=15,此时为什么用乘法了呢? 因为仅仅3列火车不能够独立完成小王从甲到乙地这件事情,要想完成还需要 从丙地中转后到乙地,所以分步完成用乘法。
例题展示
如果掌握了排列组合的题型特征和解题方法,你会发现这种题型还是 很好掌握的,希望同学们日后多多加强此类题型的练习,做到举一反 三。
谢谢
知识铺垫
为了方便各位更加深刻的理解和把握好两种计数原理,我们要从两道经典例题入手, 一起来看例题展示
例题展示
【例题1】小王外出游玩,准备选择一家宾馆进行入住,现在有7家经济型宾馆,5家 舒适型宾馆,3家豪华型宾馆可供小王选择,那么小王共有多少种不同的选择方式? A.12B.15C.18D.24 【答案】B 【中公解析】根据题目的描述可知,此题是在解决小王选择一家宾馆进行入住有多 少种不同的选择方式的事情。且小王可以选择3种类型的宾馆,如果只选择其中一种 类型的宾馆,比如选择豪华型宾馆能完成我们需要解决的事情,每一类选法都可完 成这件事情,故需分类。共有7+5+3=15种,答案为B。 【例题2】南阳中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体育教师2名。 现要从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训,问共有几种不同的选法?
排列组合问题17种方法ppt课件

C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法?
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐,并 且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法,
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排 各个元素的位置,一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 (6)每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
《高三排列组合复习》课件

3... times m}$
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序,组合不考虑顺 序;
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序,而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序;
在实际应用中,排列和组合各 有其适用场景,需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法,如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习,我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法,对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法,根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中,有时需要特别注意元素的顺序。例如,有5个不同的书和4 个不同的笔,要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”,则只要使用分组法,将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序,组合不考虑顺 序;
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序,而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序;
在实际应用中,排列和组合各 有其适用场景,需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法,如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习,我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法,对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法,根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中,有时需要特别注意元素的顺序。例如,有5个不同的书和4 个不同的笔,要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”,则只要使用分组法,将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点
排列组合公式演示文稿

(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
第十七页,共121页。
几个记号
下阶乘函数
[x]n x(x 1)(x n 1)
上阶乘函数 [x]n x(x 1)(x n 1)
[ ]n ( 1)( n 1)
Cn
n
[ ]n
n!
(
1)(
n!
n 1)
第十八页,共121页。
计算
例题
• 证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。
• 提示:k!个物体,其中k个物体属于第一类,k 个物体属于第二类,… ,k个物体属于第(k-1)! 类。
第三十二页,共121页。
推论
• 多项式(x1+x2+…+xr)n的展开式中有 的系x1数n1 x为2n2 xr。nr
(2x1 3x2 5x3 )6
• k=0时
第四十九页,共121页。
例题
• 书架上有1-24共24卷百科全书,从其中选5卷使
得任何两卷都不相继,这样的选法有多少种?
第五十页,共121页。
7、圆排列
• n个元素的r-无重圆排列数
• 圆排列与线排列的区别 • 计算
第五十一页,共121页。
例题
例1 把20个不同的钉子钉在鼓表面一周,订钉子的方式
• 求解方法1 • 求解方法2
第三十页,共121页。
例题
• 五条短划和八个点可以安排成多少种不同的方 式?
13! 5!8!
• 如果只用这十三个短划和点中的七个,则有 多少种不同的方式?
7! 7! 7! 7! 7! 7! + + + ++
排列组合公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

,k个物体属于第二类,… ,k个物体属于 第(k-1)!类。
推论
• 多项式(x1+x2+…+xn)r旳展开式中有
项
x x k1 k2 12
xnkn旳系数为
。
(2x1 3x2 5x3 )6
x13 x2 x32
(x1 x2 xr )n
n1 n1
,nn22,, nr 为nr 非 n负整数
组合数旳推广
Cnr
n! r!(n r)!
n(n
1)(n r!
r
1)
n r
R,r Z
r
(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
计算
1 2 3
1
2 3
1 2 0
53
例题
• 假如一种凸十边形无三条对角线在这个十边形旳 内部交于一点,问这些对角线被它们旳交点提成 多少条线段?
3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
例题
• 从为数众多旳一分币、二分币、一角币和二 角币中,能够有多少种措施选出六枚来?
• F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84
例题
• 某糕点厂将8种糕点装盒,若每盒有一打糕 点,求市场上能买到多少种该厂出品旳盒 装糕点?
• 某糕点厂将8种糕点装盒,若每盒有一打糕 点,且要求每种糕点至少放一块。求市场 上能买到多少种该厂出品旳盒装糕点?
多边形
例题
• 对角线旳条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线,可能相交在多边形内部,可能
交点为多边形旳顶点,可能无交点(交点在多边 形外) • 任选四个顶点,相应一种交点,每个对角线提成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
推论
• 多项式(x1+x2+…+xn)r旳展开式中有
项
x x k1 k2 12
xnkn旳系数为
。
(2x1 3x2 5x3 )6
x13 x2 x32
(x1 x2 xr )n
n1 n1
,nn22,, nr 为nr 非 n负整数
组合数旳推广
Cnr
n! r!(n r)!
n(n
1)(n r!
r
1)
n r
R,r Z
r
(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
计算
1 2 3
1
2 3
1 2 0
53
例题
• 假如一种凸十边形无三条对角线在这个十边形旳 内部交于一点,问这些对角线被它们旳交点提成 多少条线段?
3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
例题
• 从为数众多旳一分币、二分币、一角币和二 角币中,能够有多少种措施选出六枚来?
• F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84
例题
• 某糕点厂将8种糕点装盒,若每盒有一打糕 点,求市场上能买到多少种该厂出品旳盒 装糕点?
• 某糕点厂将8种糕点装盒,若每盒有一打糕 点,且要求每种糕点至少放一块。求市场 上能买到多少种该厂出品旳盒装糕点?
多边形
例题
• 对角线旳条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线,可能相交在多边形内部,可能
交点为多边形旳顶点,可能无交点(交点在多边 形外) • 任选四个顶点,相应一种交点,每个对角线提成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
(完整版)排列组合经典课件

好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素 进行排队再相把不相独邻元独素插入独中间相和两端
练习题
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节 目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么 不同插法的种数为( )
练习题
1. 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种? (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区
域不同色,现有4种可选颜色,则
不同的着色方法有_7_2__种
3
14 2
5
练习题 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?
练习题
5个男生3个女生排成一排,3个女生 要排在一起,有多少种不同的排法?
共有A
6 6
A
3 3
=4320种不同的排法.
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种,第二步将4舞蹈插入第一步排
十一.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2
3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.
有多少投法
解:从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应,利用实际
操作法,如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素 进行排队再相把不相独邻元独素插入独中间相和两端
练习题
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节 目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么 不同插法的种数为( )
练习题
1. 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种? (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区
域不同色,现有4种可选颜色,则
不同的着色方法有_7_2__种
3
14 2
5
练习题 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?
练习题
5个男生3个女生排成一排,3个女生 要排在一起,有多少种不同的排法?
共有A
6 6
A
3 3
=4320种不同的排法.
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种,第二步将4舞蹈插入第一步排
十一.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2
3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.
有多少投法
解:从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应,利用实际
操作法,如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
数学精华课件:排列组合问题

(插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法, 把其余4四人依次 依次插入共有 把其余4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法
练习题 10人身高各不相等,排成前后排,每排5 10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要 人身高各不相等 求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
小集团排列问题中, 小集团排列问题中,先整体后局 小集团 再结合其它策略进行处理。 部,再结合其它策略进行处理。 3 1245
计划展出10幅不同的画 其中1幅水彩画 1.计划展出 幅不同的画 其中 幅水彩画 4 计划展出 幅不同的画,其中 幅水彩画,4 幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 幅油画 5幅国画 排成一行陈列 要求同一 品种的必须连在一起, 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两 2 5 4 A2 A5 A4 那么共有陈列方式的种数为_______ 端,那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和5女生站成一排照像 男生相邻 女 男生和5 男生相邻,女 男生和 女生站成一排照像,男生相邻 2 5 5 生也相邻的排法有_______种 生也相邻的排法有 A2 A5 A5 种
练习题 1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 1.10个相同的球装5个盒中, 10个相同的球装 4 有多少装法? 个,有多少装法?
C
9
十.正难则反总体淘汰策略 例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 从 这十个数字中取出三 个数,使其和为不小于10的偶数 的偶数,不同的 个数,使其和为不小于 的偶数 不同的 取法有多少种? 取法有多少种? 这问题中如果直接求不小于10的偶数很 解:这问题中如果直接求不小于 的偶数很 困难,可用总体淘汰法 这十个数字中有5 可用总体淘汰法。 困难 可用总体淘汰法。 这十个数字中有5 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶 而它的反面往往比较简捷, 而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的 3 C5 数的取法有____,只含有1 ____,只含有 数的取法有____,只含有1个偶数的取法 反面,再从整体中淘汰. 反面,再从整体中淘汰. 1 2 3 1 2 CC5 和为偶数的取法共有_________ _____,和为偶数的取法共有 CC5+ C 5 5 有_____,和为偶数的取法共有_________ 5 再淘汰和小于10的偶数共 的偶数共___________ 再淘汰和小于 的偶数共 9 3 1 2 符合条件的取法共有___________ 符合条件的取法共有CC5+ C 5 - 9 5
第二节排列组合-PPT课件

1 4 2 3 3 2 4 1 ( 种 ) ……………… C C C C C C C C 2 6 4 ..6′ 4 6 46 4 6 46
方法二:“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 (1)分步.(2)可分类也可用间接法.(3)可分类也可
用间接法.(4)分类. 解 (1)第一步:选3名男运动员,有 C 63 种选法. 第二步:选2名女运动员,有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
(2)方法一:“至少有1名女运动员”包括以下几种情况: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为:
参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共
有种.
解析: 星期五有2人参加,则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ,星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列,有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种,则共有 A 32
答案: 60 题型四 基本组合问题 【例4】(14分)有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1名参加; (4)既要有队长,又要有女运动员.
=2 880A(种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题,充分体现了元素分析 法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、 直接法、间接法(排除法)、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人
方法二:“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 (1)分步.(2)可分类也可用间接法.(3)可分类也可
用间接法.(4)分类. 解 (1)第一步:选3名男运动员,有 C 63 种选法. 第二步:选2名女运动员,有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
(2)方法一:“至少有1名女运动员”包括以下几种情况: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为:
参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共
有种.
解析: 星期五有2人参加,则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ,星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列,有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种,则共有 A 32
答案: 60 题型四 基本组合问题 【例4】(14分)有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1名参加; (4)既要有队长,又要有女运动员.
=2 880A(种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题,充分体现了元素分析 法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、 直接法、间接法(排除法)、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人
排列与组合ppt课件

C34C11A22
C24C22
A
2 2
A22
)=84种.
探究提高 排列、组合综合题目,一般是将符合 要求的元素取出(组合)或进行分组,再对取出的 元素或分好的组进行排列.其中分组时,要注意 “平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标 准. 知能迁移3 已知10件不同产品中有4件是次品,现 对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止. (1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第 十次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法 数是多少? (2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品, 则这样的不同测试方法数是多少?
女生或没有女生,故可用间接法进行,
∴有 C152 C15 C74 C57=596种选法. (5)分三步进行:
第一步:选1男1女分别担任两个职务为 C17·C15 ;
第二步:选2男1女补足5人有
C
2 6
·
C14
种;
第三步:为这3人安排工作有
A
3 3
.
由分步乘法计数原理共有
C17 C15 C62 C14 A33 =12 600种选法.
列数公式即可.但要看清是全排列还是选排列;有
限制条件的排列问题,常见类型是“在与不在”、
“邻与不邻”问题,可分别用相应方法.
解 (1)从7个人中选5个人来排列,
有
A
5 7
=7×6×5×4×3=2
520种.
(2)分两步完成,先选3人排在前排,有 A种37方法,
余下4人排在后排,有 种A方44法,故共有
所以共有2
C
4 8
+
C83
=196种选法.
9分
方法二 间接法:
从10人中任选5人有C150种选法.
排列组合基本原理.课件

排列和组合之间可以 通过组合数公式进行 转换。
排列和组合都是从n 个不同元素中取出m 个元素进行操作,计 算公式不同。
02
排列组合基本原理
伯努利原理
01
02
03
伯努利原理的内容
在n个独立事件中,每个 事件发生的概率为p,则 至少有一个事件发生的概 率为1-(1-p)^n。
应用
在保险业中,伯努利原理 常被用于计算保险概率, 例如汽车保险、健康保险 等。
03
排列的应用
排列的常见应用场景
01
彩票中奖概率计算
02
03
04
计算机科学中的排列算法
统计学中的样本排列
金融领域中的投资组合优化
排列在组合物件中的运用
密码学中的排列组合 计算机程序中的随机数生成
组合物件中的排列问题,如拼图、魔方等
排列在解决其他问题中的运用
数学竞赛中的排列题目 密码破译中的排列分析
计算机程序中的算法优化问题
04
组合的应用
组合的常见应用场景
彩票中奖概率计算
在计算彩票中奖概率时,通常需要考虑从数百万个彩票号 码中选取特定组合的情况,这时就需要使用组合的原理来 计算。
投资组合风险与收益评估
在投资领域,投资者需要根据不同资产的风险和收益特性 构建投资组合,以实现风险分散和资产保值增值,这里的 投资组合构建就需要用到组合的原理。
注意事项
伯努利原理在独立事件的 情况下适用,如果事件之 间存在依赖关系,则该原 理可能不成立。
容斥原理
Hale Waihona Puke 01容斥原理的内容
在计算多个集合的并集时,需要考虑重复计算的问题。通过将各个集合
单独求和,再减去重复计算的集合,即可得到正确的并集结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
于是,小于10000且含有数字1的自然数共有99996561=3438个.
排列的定义
数学上,把若干元素,按照任何一种顺序排成 一列,叫做排列。
如果两个排列满足下列条件之一,它们就被认 为是不同的排列:
1.所含元素不全相同 2.所含元素相同,但顺序不同。
相异元素不重复的排列
从 n个不同的元素中,取出r个不重复的元素, 按次序排成一列,当r<n时,称为从n个中取r个的 一种选排列。
当n=r时,叫做n个不同元素的全排列. n个不同元素的全排列数Pnn =n!
例2.3个人站成一排照相,共有多少种不同的排 列方法?
P3 3
=3!=6
例3、求有多少个没有重复数字且能被5整除 的四位奇数。
要能被5整除又是奇数,所以个位上数字只能 是5,有1种选法,由于5已用过,又不可能是0,所以 千位上数有P18种选法,已用过2个数,所以百位、十 位上的数有P28种选法。
排列组合专题
1.加法原理: 如果完成一项工作有两类相互独立的方式A和B,在方式
A中有m种完成任务的途径,在方式B中有n种完成任务的途 径,则完成这项工作的总的途径有m+n种.
2.乘法原理: 如果完成一项工作有两个连续的步骤A和B,在步骤A
中有m种不同的方式,在步骤B中有n种不同的方式,则完成 这项工作的总的方法有m*n种.
例3、
如图,一方形花坛分成编号为①,②,③,④四块,现 有红、黄、蓝、紫四种颜色的花供选种,要求每块只种一种 颜色的花,且相邻的两块种不同颜色的花。如果编号为①的 已经种上红色花,那么其余三块不同的种法有 21 种。
编号为②的有三种选择,对于编号为③ 的,可以分成以下二类: 1、若编号为④的与编号为②的同色,则编 号为③的有三种选择。这种情况下共有3×3 种方案。 2、若编号为④的与编号为②的不同色,则 编号为③的有二种选择,编号为④的有二种 选择。这种情况下共有3×2×2种方案。
例8、求正整数1400的正因数的个
数.
因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个 数的一些质因数的积,因此,我们先把1400分解成质因数的 连乘积1400=23527.所以这个数的任何一个正因数都是由2, 5,7中的若干个相乘而得到(有的可重复)。
于是取1400的一个正因数,这件事情是分如下三个步骤 完成的:
所以可分三类:
5×2 + 5×3 + 2×3=31
例7、
在所有的三位数中,有且只有两个数字相同 的三位数共有多少个?
(1)△△□, (2)△□△, (3)□△□,
( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) 类 中 每 类 都 是 9×9 种 , 共 有 9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的 三位数。
例1、
从1到4这4个数码中不重复地任取3个构成一 个三位数,求这样的三位数一共有多少个?
分析:构成三位数的过程可以看成是由连续的三步完成: 第一步:取百位上的数字,共有4种方法 第二步:取十位上的数字,共有3种方法(即不能取百位上已 经取走的数码) 第三步:取个位上的数字,共有2种方法(即不能取百位和十 位上已经取走的数码) 因此由乘法原理,这样的三位数一共有:4*3*2=24种.
(1)取23的正因数是20,21,22,23,共3+1种;
(2)取52的正因数是50,51,52,共2+1种;
(3)取7的正因数是70,71,共1+1种.
所以1400的正因数个数为
(3+1)×(2+1)×(1+1)=24.
例9、
从1到300的自然数中,完全不含有数字3的 有多少个?
将0到299的整数都看成三位数,其中数字3不 出现的,百位数字可以是0,1或2三种情况。十位 数字与个位数字均有九种,因此除去0共有
例2、
一个三位数,如果它的每一位数字都不小于另一 个三位数对应数位上的数字,就称它“吃掉”后一个 三位数,例如543吃掉432,543吃掉543,但是 543不能吃掉534。那么能吃掉587的三位数共有多 少个?
百位上有5、6、7、8、9五种选择,十位上有8、9两种选 择,个位上有7,8,9三种选择,所以共有5×2×3=30(个) 三位数。
如:从a,b,c这三个字母中,每次取出2个,有多少种排列方法? 第一步:确定左边的字母,在三个字母中任取一个,有3种方法; 第二步:确定右边的字母,从剩下的2个字母中选取一个,有2种 方法; 根据乘法原理,共有3×2=6种不同的排法.
ab ac ba bc ca cb
一般地,从n个不同的元素中取出r个元素的
P P 选排列数用 r 表示,则 r =n!/(n-r)!
n
n
例1.全国足球甲级(A组)联赛共有14队参 加,每队都要与其它各队在主、客场分别比赛一 次,共进行多少场比赛?
任何二个队进行一次主场比赛和一场客场比 赛,相当于从14个元素中任取2个元素的一个排 列,共需进行的比赛场次是
P2 14 =14!/12!=14*13=182
例4、
用红、黄、绿、蓝、黑五种颜色涂在如 下图所示的ABCDE五区域,颜色可重复使用, 但同色不相邻,涂法有几种?
AC同色:5*4*4*1*4
AC的10垄田地中,选择二垄分别种植 A,B两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长, 要求A,B两种作物的间隔不少于6垄,不同的选法 共有______种。分析:采取分类的方法。
3×9×9-1=242(个).
例10、
在小于10000的自然数中,含有数字1的数有 多少个?
不妨将0至9999的自然数均看作四位数,凡位数不到 四位的自然数在前面补0,使之成为四位数。
先求不含数字1的这样的四位数共有几个,即有0,2, 3,4,5,6,7,8,9这九个数字所组成的四位数的个数。 由于每一位都可有9种写法,所以,根据乘法原理,由这九 个数字组成的四位数个数为9×9×9×9=6561。
第一类:A在第一垄,B有3种选择; 第二类:A在第二垄,B有2种选择; 第三类:A在第三垄,B有一种选择, 同理A、B位置互换 , 共12种。
例6、
某小组有10人,每人至少会英语和日语的一门, 其中8人会英语,5人会日语,从中选出会英语与会 日语的各1人,有多少种不同的选法?
由于8+5=13>10,所以10人中必有3人既会英 语又会日语。(5+2+3)
排列的定义
数学上,把若干元素,按照任何一种顺序排成 一列,叫做排列。
如果两个排列满足下列条件之一,它们就被认 为是不同的排列:
1.所含元素不全相同 2.所含元素相同,但顺序不同。
相异元素不重复的排列
从 n个不同的元素中,取出r个不重复的元素, 按次序排成一列,当r<n时,称为从n个中取r个的 一种选排列。
当n=r时,叫做n个不同元素的全排列. n个不同元素的全排列数Pnn =n!
例2.3个人站成一排照相,共有多少种不同的排 列方法?
P3 3
=3!=6
例3、求有多少个没有重复数字且能被5整除 的四位奇数。
要能被5整除又是奇数,所以个位上数字只能 是5,有1种选法,由于5已用过,又不可能是0,所以 千位上数有P18种选法,已用过2个数,所以百位、十 位上的数有P28种选法。
排列组合专题
1.加法原理: 如果完成一项工作有两类相互独立的方式A和B,在方式
A中有m种完成任务的途径,在方式B中有n种完成任务的途 径,则完成这项工作的总的途径有m+n种.
2.乘法原理: 如果完成一项工作有两个连续的步骤A和B,在步骤A
中有m种不同的方式,在步骤B中有n种不同的方式,则完成 这项工作的总的方法有m*n种.
例3、
如图,一方形花坛分成编号为①,②,③,④四块,现 有红、黄、蓝、紫四种颜色的花供选种,要求每块只种一种 颜色的花,且相邻的两块种不同颜色的花。如果编号为①的 已经种上红色花,那么其余三块不同的种法有 21 种。
编号为②的有三种选择,对于编号为③ 的,可以分成以下二类: 1、若编号为④的与编号为②的同色,则编 号为③的有三种选择。这种情况下共有3×3 种方案。 2、若编号为④的与编号为②的不同色,则 编号为③的有二种选择,编号为④的有二种 选择。这种情况下共有3×2×2种方案。
例8、求正整数1400的正因数的个
数.
因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个 数的一些质因数的积,因此,我们先把1400分解成质因数的 连乘积1400=23527.所以这个数的任何一个正因数都是由2, 5,7中的若干个相乘而得到(有的可重复)。
于是取1400的一个正因数,这件事情是分如下三个步骤 完成的:
所以可分三类:
5×2 + 5×3 + 2×3=31
例7、
在所有的三位数中,有且只有两个数字相同 的三位数共有多少个?
(1)△△□, (2)△□△, (3)□△□,
( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) 类 中 每 类 都 是 9×9 种 , 共 有 9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的 三位数。
例1、
从1到4这4个数码中不重复地任取3个构成一 个三位数,求这样的三位数一共有多少个?
分析:构成三位数的过程可以看成是由连续的三步完成: 第一步:取百位上的数字,共有4种方法 第二步:取十位上的数字,共有3种方法(即不能取百位上已 经取走的数码) 第三步:取个位上的数字,共有2种方法(即不能取百位和十 位上已经取走的数码) 因此由乘法原理,这样的三位数一共有:4*3*2=24种.
(1)取23的正因数是20,21,22,23,共3+1种;
(2)取52的正因数是50,51,52,共2+1种;
(3)取7的正因数是70,71,共1+1种.
所以1400的正因数个数为
(3+1)×(2+1)×(1+1)=24.
例9、
从1到300的自然数中,完全不含有数字3的 有多少个?
将0到299的整数都看成三位数,其中数字3不 出现的,百位数字可以是0,1或2三种情况。十位 数字与个位数字均有九种,因此除去0共有
例2、
一个三位数,如果它的每一位数字都不小于另一 个三位数对应数位上的数字,就称它“吃掉”后一个 三位数,例如543吃掉432,543吃掉543,但是 543不能吃掉534。那么能吃掉587的三位数共有多 少个?
百位上有5、6、7、8、9五种选择,十位上有8、9两种选 择,个位上有7,8,9三种选择,所以共有5×2×3=30(个) 三位数。
如:从a,b,c这三个字母中,每次取出2个,有多少种排列方法? 第一步:确定左边的字母,在三个字母中任取一个,有3种方法; 第二步:确定右边的字母,从剩下的2个字母中选取一个,有2种 方法; 根据乘法原理,共有3×2=6种不同的排法.
ab ac ba bc ca cb
一般地,从n个不同的元素中取出r个元素的
P P 选排列数用 r 表示,则 r =n!/(n-r)!
n
n
例1.全国足球甲级(A组)联赛共有14队参 加,每队都要与其它各队在主、客场分别比赛一 次,共进行多少场比赛?
任何二个队进行一次主场比赛和一场客场比 赛,相当于从14个元素中任取2个元素的一个排 列,共需进行的比赛场次是
P2 14 =14!/12!=14*13=182
例4、
用红、黄、绿、蓝、黑五种颜色涂在如 下图所示的ABCDE五区域,颜色可重复使用, 但同色不相邻,涂法有几种?
AC同色:5*4*4*1*4
AC的10垄田地中,选择二垄分别种植 A,B两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长, 要求A,B两种作物的间隔不少于6垄,不同的选法 共有______种。分析:采取分类的方法。
3×9×9-1=242(个).
例10、
在小于10000的自然数中,含有数字1的数有 多少个?
不妨将0至9999的自然数均看作四位数,凡位数不到 四位的自然数在前面补0,使之成为四位数。
先求不含数字1的这样的四位数共有几个,即有0,2, 3,4,5,6,7,8,9这九个数字所组成的四位数的个数。 由于每一位都可有9种写法,所以,根据乘法原理,由这九 个数字组成的四位数个数为9×9×9×9=6561。
第一类:A在第一垄,B有3种选择; 第二类:A在第二垄,B有2种选择; 第三类:A在第三垄,B有一种选择, 同理A、B位置互换 , 共12种。
例6、
某小组有10人,每人至少会英语和日语的一门, 其中8人会英语,5人会日语,从中选出会英语与会 日语的各1人,有多少种不同的选法?
由于8+5=13>10,所以10人中必有3人既会英 语又会日语。(5+2+3)