统计学第8章回归分析
统计学中的回归分析
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统计学中的回归分析在统计学中,回归分析是一种重要的数据分析方法。
它用于探索自变量与因变量之间的关系,帮助我们理解变量之间的相互作用以及预测未来的趋势。
本文将介绍回归分析的基本概念、原理和应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。
自变量是我们在问题中感兴趣的变量,而因变量是我们想要预测或解释的变量。
回归分析可以帮助我们确定自变量如何影响因变量,并找到最佳的拟合曲线或平面来描述这种关系。
回归分析的基本假设是,自变量与因变量之间存在线性关系,并且观测误差服从正态分布。
基于这个假设,我们可以使用最小二乘法来拟合回归模型,使得观测值与预测值之间的残差平方和最小化。
二、回归分析的原理1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的回归分析方法,用于研究只包含一个自变量和一个因变量的情况。
我们可以通过绘制散点图来观察两个变量之间的关系,并使用最小二乘法拟合一条直线来描述这种关系。
2. 多元线性回归多元线性回归适用于包含多个自变量和一个因变量的情况。
通过拟合一个多元线性模型,我们可以同时考虑多个自变量对因变量的影响,并研究它们之间的相互作用。
3. 非线性回归非线性回归用于描述自变量与因变量之间的非线性关系。
在这种情况下,我们可以根据问题的特点选择适当的非线性回归模型,并使用最小二乘法进行参数估计。
三、回归分析的应用回归分析在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例:1. 经济学中的回归分析经济学家常常使用回归分析来研究经济现象。
例如,他们可以通过回归分析来研究GDP与各种经济指标之间的关系,以及利率、通胀率等因素对经济增长的影响。
2. 医学研究中的回归分析医学研究中的回归分析可以用于探索治疗方法与患者恢复速度之间的关系。
通过收集患者的相关数据,如年龄、性别、治疗时间等,可以建立多元线性回归模型来预测患者的康复时间。
3. 市场营销中的回归分析市场营销人员可以利用回归分析来确定产品价格与销量之间的关系。
2015年《统计学》第八章 相关与回归分析习题及满分答案
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2015年《统计学》第八章相关与回归分析习题及满分答案一、单选题1.相关分析研究的是( A )A、变量间相互关系的密切程度B、变量之间因果关系C、变量之间严格的相依关系D、变量之间的线性关系2.若变量X的值增加时,变量Y的值也增加,那么变量X和变量Y之间存在着(A )。
A、正相关关系B、负相关关系C、直线相关关系D、曲线相关关系3.若变量X的值增加时,变量Y的值随之下降,那么变量X和变量Y之间存在着(B)。
A、正相关关系B、负相关关系C、直线相关关系D、曲线相关关系4.相关系数等于零表明两变量(B)。
A.是严格的函数关系B.不存在相关关系C.不存在线性相关关系D.存在曲线线性相关关系5.相关关系的主要特征是(B)。
A、某一现象的标志与另外的标志之间的关系是不确定的B、某一现象的标志与另外的标志之间存在着一定的依存关系,但它们不是确定的关系C、某一现象的标志与另外的标志之间存在着严格的依存关系D、某一现象的标志与另外的标志之间存在着不确定的直线关系6.时间数列自身相关是指( C )。
A、两变量在不同时间上的依存关系B、两变量静态的依存关系C、一个变量随时间不同其前后期变量值之间的依存关系D、一个变量的数值与时间之间的依存关系7.如果变量X和变量Y之间的相关系数为负1,说明两个变量之间(D)。
A、不存在相关关系B、相关程度很低C、相关程度很高D、完全负相关8.若物价上涨,商品的需求量愈小,则物价与商品需求量之间(C)。
A、无相关B、存在正相关C、存在负相关D、无法判断是否相关9.相关分析对资料的要求是(A)。
A.两变量均为随机的B.两变量均不是随机的C、自变量是随机的,因变量不是随机的D、自变量不是随机的,因变量是随机的10.回归分析中简单回归是指(D)。
A.时间数列自身回归B.两个变量之间的回归C.变量之间的线性回归D.两个变量之间的线性回归11.已知某工厂甲产品产量和生产成本有直线关系,在这条直线上,当产量为10 00时,其生产成本为30000元,其中不随产量变化的成本为6000元,则成本总额对产量的回归方程为( A )A. y=6000+24xB. y=6+0.24xC. y=24000+6xD. y=24+6000x12.直线回归方程中,若回归系数为负,则(B) A.表明现象正相关B.表明现象负相关C.表明相关程度很弱D.不能说明相关方向和程度二、多项选择题1.下列属于相关关系的有(ABD )。
《统计学》线性回归模型

由此,可定义统计量: R2=
SSR SST
R2称为“可决系数”,显然,0≤R2≤1。当R2
接近于1时,回归平方和SSR在总的平方和SST
中所占的比重大,说明自变量对因变量的影响较
大;反之,当R2接近与0时,回归平方和SSR在
总的平方和SST中所占的比重小,说明自变量对
因变量的影响较小。综上所述,R2越接近与1,
47
检验步骤如下:
统计假设:H0: 0=0 H1: 1 0
计算回归系数
的t值
0
t= ˆ1 1
ˆ n
x2 (xi x)2
在原假设H0成立时,t服从自由度为n-2的t分布。
48
对给定的显著性水平 ,决策规则是:
若|t|>
t
2
(n 2) ,
则拒绝接受原假设H0;
若|t|< t (n 2) ,则接受原假设H0。
4
函数关系:变量之间依一定的函数形 式形成的一一对应关系称为函数关系。 若两个变量分别记作y和x,则当y 与 x之间存在函数关系时,x值一旦被指 定,y值就是唯一确定的。函数关系 可以用公式确切的反映出来,一般记 为y=f(x)。
5
例如,某种商品的销售额(y) 与销售量(x)之间的关系,在销 售价格(p)一定的条件下,只要 给定一个商品销售量,就有一 个唯一确定的商品销售额与之 对应,用公式表示为y=p(x)。
点的偏差平方和。
取直线y=
0
1x
使得
Q( 0,1)达到最小
即 Q( 0, 1)=Q( 0, 1),z用y=来估计
回归直线,这种方法称为最小二乘法。
20
为求与 0, 1分别对应的最小二乘估计0, 1,
概率论课件_高教版_第八章_方差分析与回归分析
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MS A 168.00 F 20.56 MS e 8.17
查附表在f1=3,f2=12时, F0.05=3.49,F0.01=5.95 实得 F> F0.01或 P<0.01,说明药剂处理有统计意义。
四、单因素方差分析模型参数的估计 当方差分析结果为否定原假设时,就需要估计模型的有 关参数 ,下面就讨论方差分析模型参数的估计。 单因素方差分析的模型 为 xij i ij i 1,2, , r 2 ~ N ( 0 , ), 且相互独立 j 1,2, , m ij 其中为总以平均效应, i为因素A的第i个水平Ai 对试验指标 的作用; ij为随机因素对试验指标 值的影响。需要估计的 参数 有 , i , 2。不难证明这些参数的 极大似然估计量为: 1 r m 1 m 1 r m ˆ i xij ˆ xij xij rm i 1 j 1 m j rm i 1 j 1 1 r m 1 2 2 ˆ ˆ) ( xij SSe rm i 1 j 1 rm
Tr
T
xr
x
其中xij是因素A第i水平下第j次重复试验结果 , m r m r T T Ti xij xi T xij Ti x . m rm j 1 i 1 j 1 i 1
单因素方差分析的统计模型
试验数据xij满足 xij i ij i 1,2,, r 2 ~ N ( 0 , ),且相互独立 j 1,2,, m ij 其中为总以平均效应, i为因素A的第i个水平Ai 对试验指 标的作用 ; ij为随机因素对试验指标 值的影响。
鸡重/g-1000
60 80 1 2 12 9 28
Ti
MBA管理统计学(中科大万红燕)第八章回归分析和相关分析
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2010-7-23
销售额
12
第二节 相关分析
例1解:
xi = 2139, ∑ yi = 11966, ∑ xi2 = 179291 ∑ yi2 = 6947974, ∑ xi y i = 1055391, n = 30 ∑ r= n∑ xi yi ∑ xi ∑ yi (∑ xi ) 2 n∑ yi2 (∑ yi ) 2
2010-7-23
4
第一节 相关与回归分析的基本概念
三.相关分析与回归分析
相关分析和回归分析是研究现象之间相关关系 的两种基本方法. 相关分析:研究两个或两个以上随机变量之间 相关关系密切程度和相关方向的统计分析方法. 回归分析:研究某一随机变量(因变量)与其 他一个或几个变量(自变量)之间数量变动关 系形式的统计分析方法.
一.一元线性回归模型的建立 设因变量y(通常是随机变量)和一个自变量 (非随机变量)X之间有某种相关关系.在x的 不全相同的取值点x1,x2,…,xn作为独立观 察得到y的个观察值y1,y2,… ,yn记为( x1, y1 )( x2 , y2 ), … ,(xn , yn ). 根据这组数据寻求X与Y之间关系. 设一元线性回归模型为:yi=a+bxi+ ei
r=0.955248
2010-7-23 14
第二节 相关分析
25000 税收收入(亿元 亿元) 20000 15000 10000 5000 0
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000
GDP(亿元)
2010-7-23
15
第二节 相关分析
二.有序数据的相关系数(等级相关系数)
2010-7-23
8
第八章-相关与回归分析
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第八章相关与回归分析一1. 进行相关分析,要求相关的两个变量(A. 都是随机的B.C. 一个是随机的,一个不是随机的D.2. 相关关系的主要特征是(A.B. 某一现象的标志与另一标志之间存在着一定的关系,但它们不是确定的关系C.D. 某一现象的标志与另一标志之间存在着函数关系3. 相关分析是研究(A. 变量之间的数量关系B.C.变量之间相互关系的密切程度D.4. 相关关系的取值范围是(A. r=0B. -1≤r≤0C. 0≤r≤1D. -1≤r≤15. 现象之间相互依存关系的程度越低,则相关系数(A. 越接近于0B. 越接近于-1C. 越接近于1D. 越接近于0.56. 当所有观察值都落在回归直线上,则x与y之间的相关系数()。
A. r=0B. -1<r<1C. |r|=1D. 0<r<17. 在回归直线中,若b<0,则x与y之间的相关系数(A. r=0B. r=1C. 0<r<1D. -1<r<08. 在回归直线中,b表示(A. 当x增加一个单位,y增加a的数量B. 当y增加一个单位时,x增加bC. 当x增加一个单位时,y的平均增加量D. 当y增加一个单位时,x9. 当相关系数r=0时,表明(A. 现象之间完全无关B.C. 现象之间完全相关D.10. r值越接近于-1,表明两变量间(A. 没有相关关系B. 线性相关关系越弱C. 负相关关系越强D.11. 下列直线回归方程中,肯定错误的是(A. y=2+3x,r=0.88B. y=4+5x,r=0.55C. y=-10+5X,R=-0.90D. y=-100-0.9x,r=-0.8312. 正相关的特点是(A.B.C.D.13. 下列现象的相关密切程度高的是(A. 某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87B. 流通费用率与商业利润率之间的相关系数为-0.94C. 商品销售额与商业利润率之间的相关系数为0.51D. 商品销售额与流通费用率之间的相关系数为-0.8114. 计算估计标准误差的依据是(A. 因变量的数列B.C. 因变量的回归变差D.15. 两个变量间的相关关系称为(A. 单相关B. 复相关C. 无相关D.16. 从变量之间相关的方向看,可分为(A. 正相关与负相关B.C. 单相关与复相关D.17. 从变量之间相关的表现形式看,可分为()。
统计学第八章练习题
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第八章相关与回归分析一、填空题8.1.1客观现象之间的数量联系可以归纳为两种不同的类型,一种是_____________ ,另一种是__________________ 。
8.1.2回归分析中对相互联系的两个或多个变量区分为__________________ 和___________ 。
8.1.3 _____________ 是指变量之间存在的严格确定的依存关系。
8.1.4 变量之间客观存在的非严格确定的依存关系,称为_____________________ 。
8.1.5按 ____________ 的多少不同,相关关系可分为单相关、复相关和偏相关。
8.1.6两个现象的相关,即一个变量对另一个变量的相关关系,称为。
8.1.7在某一现象与多个现象相关的场合,当假定其他变量不变时,其中两个变量的相关关系称为____________________________ 。
8.1.8按变量之间相关关系的 _______________ 不同,可分为完全相关、不完全相关和不相关。
8.1.9按相关关系的 ____________________ 不同可分为线性相关和非线性相关。
8.1.10 线性相关中按_________________ 可分为正相关和负相关。
8.1.11 研究一个变量与另一个变量或另一组变量之间相关方向和相关密切程度的统计分析方法,称为__________________ 。
8.1.12当一个现象的数量由小变大,另一个现象的数量也相应由小变大,这种相关称为。
8.1.13当一个现象的数量由小变大,而另一个现象的数量相反地由大变小,这种相关称为。
8.1.14 当两种现象之间的相关只是表面存在,实质上并没有内在的联系时,称之为__________________ 。
8.1.15根据相关关系的具体形态,选择一个合适的数学模型来近似地表达变量间平均变化关系的统计分析方法,称为_____________________ 。
第8章 直线回归与相关
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散点图可直观地,定性地表示了两个变量之间 散点图可直观地, 的关系.为了探讨它们之间的规律性, 的关系.为了探讨它们之间的规律性,还必须 根据观测值将其内在关系定量地表达出来. 根据观测值将其内在关系定量地表达出来.
上一张 下一张 主 页 退 出
若呈因果关系的两个相关变量y 依变量) 若呈因果关系的两个相关变量y(依变量)与 x(自变量)间的关系是直线关系,,那么,根 自变量)间的关系是直线关系,,那么, ,,那么 据n对观测值所描出的散点图,如图6-1(b)和 对观测值所描出的散点图,如图6 所示. 图6-1(e)所示. 由于依变量y 由于依变量y的实际观测值总是带有随机误 差,因而依变量y的实际观测值yi可用自变量x的 因而依变量y的实际观测值y 可用自变量x 实际观测值x 表示为: 实际观测值xi表示为:
统计学上采用相关分析 统计学上采用相关分析 ( correlation analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 的关系. 的关系. 对两个变量间的直线关系进行相关分析 称为简单相关分析 也叫直线相关分析 简单相关分析( 直线相关分析); 称为简单相关分析(也叫直线相关分析); 对多个变量进行相关分析时,研究一个 对多个变量进行相关分析时, 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 分析; 分析;研究其余变量保持不变的情况下两 个变量间的线性相关称为偏相关分析 偏相关分析. 个变量间的线性相关称为偏相关分析.
二, 直线回归
1 直线回归方程的建立 2.1.1数学模型 2.1.1数学模型
对于两个相关变量,一个变量用x表示,另 对于两个相关变量,一个变量用x表示, 一个变量用y表示, 一个变量用y表示,如果通过试验或调查获得两 个变量的n对观测值:( 个变量的n对观测值:(x1,y1),(x2, :(x ),(x y2),……,(xn,yn) ),……,( ,(x 为了直观地看出x 为了直观地看出x和y间的变化趋势,可将 间的变化趋势, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点,作出散 见图6 点图 (见图6-1).
统计学中的回归分析
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统计学中的回归分析回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法,用于研究自变量和因变量之间的关系。
通过回归分析,我们可以探索并量化自变量对因变量的影响程度。
在本文中,我们将介绍回归分析的基本概念、原理以及应用,并分析其在统计学中的重要性。
一、回归分析的基本概念与原理回归分析是一种可以预测因变量值的统计方法。
一般来说,我们将自变量和因变量表示为数学模型中的变量,并通过回归分析来建立他们之间的关系。
最常见的回归分析方法是线性回归,它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
线性回归的基本原理是通过最小化预测值和观测值的差异来确定自变量对因变量的影响。
回归分析利用已知数据集来拟合一个线性模型,并通过模型中的回归系数来量化自变量对因变量的影响。
回归系数表示自变量每单位变化对因变量的预期变化。
二、回归分析的应用领域回归分析在统计学中有广泛的应用,以下是其中几个重要的应用领域:1. 经济学:回归分析被广泛用于经济学研究中,以了解经济变量之间的关系。
例如,通过回归分析可以研究收入与消费之间的关系,为经济决策提供依据。
2. 社会科学:回归分析在社会科学研究中也得到了广泛应用。
例如,通过回归分析可以研究教育水平与收入之间的关系,分析各种社会因素对人们行为的影响。
3. 医学研究:回归分析被广泛用于医学研究中,以分析各种因素对健康状况的影响。
例如,通过回归分析可以研究饮食习惯与患病风险之间的关系。
4. 金融领域:回归分析在金融领域也得到了广泛应用。
例如,通过回归分析可以研究利率、汇率等因素对股票市场的影响,为投资决策提供参考。
三、回归分析的重要性回归分析在统计学中扮演着重要的角色,具有以下几个重要性:1. 揭示变量间的关系:通过回归分析,我们可以揭示不同变量之间的关系。
通过量化自变量对因变量的影响,我们可以了解其具体作用,并用于预测和决策。
2. 预测和模型建立:回归分析可以用于预测未来的因变量值。
通过建立回归模型,我们可以根据自变量的取值来预测因变量的值,为决策和规划提供依据。
第8章 相关与回归分析
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4、在相关关系中,变量之间是平等关系,不存在自变量和因变量。 、在相关关系中,变量之间是平等关系,不存在自变量和因变量。
而在回归分析中必须明确划分自变量和因变量。 而在回归分析中必须明确划分自变量和因变量。
8-9
统计学
STATISTICS
8.2 简单线性相关与回归分析
8 - 10
STATISTICS
8-5
统计学
STATISTICS
(三)从变量相关关系变化的方向看 从变量相关关系变化的方向看 变化的方向 正相关: A 正相关:变量同方向变化 , 即同增同减 (A) 同增同减 负相关:变量反方向变化, 负相关:变量反方向变化, 即一增一减 (B) B 一增一减 从变量相关的程度 相关的程度看 (四)从变量相关的程度看
完全相关 (B) 不完全相关 (A) 不相关 (C)
8-6
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
C
35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15
统计学
STATISTICS
三、回归分析
回归一词的由来: 回归一词的由来:
8 - 13
见第218页例题 页例题 见第 页例
统计学
STATISTICS
相关系数的特点: 相关系数的特点:
1、r 的取值范围是 − 1 ≤ r ≤ 1 。 、 2、r<0时,β<0 为负相关;r>0时, β>0 为正相关。 为负相关; 为正相关。 、 时 时 3、|r|=1,为完全相关。r =1,为完全正相关;r = -1, 、 ,为完全相关。 ,为完全正相关; , 为完全负正相关。 为完全负正相关。 4、r = 0,不存在线性相关。 、 线性相关。 ,不存在线性相关 5、|r|越趋于 表示两变量线性关系越密切;|r|越趋于 、 越趋于 表示两变量线性关系越密切; 越趋于 越趋于1表示两变量线性关系越密切 越趋于0 表示两变量线性关系越不密切。 表示两变量线性关系越不密切。 线性关系越不密切 6、r是一个随机变量。 、 是一个随机变量 是一个随机变量。
统计学原理第8章相关与回归分析[精]
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估计标准误差就是因变量的估计值yc与实际值y之间差异 公 的平均程度。记为Syx,它的基本公式为:
式
或
式中,Syx表示估计标准误差;下标yx表示y依x的回归方程; y是因变量的实际值;yc是因变量的估计值。
例8.4以例8.1的资料计算估计标准误差。
步骤: 1.设计一张计算表,将已知x的值代入回归方程求出对应的yc的值 2.计算离差y-yc并加以平方求和 3.求出估计标准误差Syx。
数关系。
当r=0时,表示x与y完全没有线性相关。
当0<|r|<1时,表示x与y存在着一定的线性相关。一般分四个
等级,判断标准如下:
若0<|r|<0.3,则称x与y为微弱相关;
若0.3<|r|<0.5, 则称x与y为低度相关;
若0.5<|r|<0.8, 则称x与y为显著相关;
若0.8<|r|<1, 则称x与y为高度相关。
8.3.2简单直线回归方程
a, b是待定参数 利用最小二乘法 得到a,b求值,再反解得到方程式
建立回归直线的过程:列计算表,求出∑xy,∑x2,∑y2,x,y; 计算Lxy,Lxx和Lyy的值;求出b和a的值并写出方程
例 8.2某工厂某产品的产量与单位成本资料见表8.2,试 求单位成本依产量的回归直线方程。
★ 填空题 (1) 现象之间的相关关系,从相关因素的个数看,可分为()和();从相关的形式
的两个回归方程。() (9) 估计标准误差指的就是因变量的估计值yc与实际值y之间的平均误差程度。() (10) 在任何相关条件下,都可以用相关系数r说明变量之间相关的密切程度。() (11) 若变量x与y的相关系数r1=-0.8,变量p与q的相关系数r2=-0.92,由于r1>r2,
卫生统计学课件---直线相关与回归
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3、相关的显著性程度与相关的密切程度不同
相关的显著程度(即统计意义的程度)和相 关的密切程度是两个不同的概念。变量间 相关的显著性越高,概率越小,在判断变 量间具有相关关系时,犯第一类错误的可 能性越小。而相关的密切程度高低,是相 关系数具有统计意义的前提下,根据相关 系数绝对值的大小来判断的。
4、作回归分析时要恰当确定自变量与因变量
2、求у和 χ
∑X 47.28χ= ==4.7Fra bibliotek8n 10
∑Y 1392.2
у= =
=139.22
n 10
3、计算离均差平方和∑(X-χ)2及离均差积和 ∑(X-χ)(Y-у)
∑(X-χ)2= ∑X2-(∑X)2/n=224.31- (47.28)2/10=0.77
∑(X-χ)(Y-у)= ∑XY-∑X∑Y/n =6594.26-47.28×1392.2/10=11.94 4、计算回归系数b和截距a
二、直线回归
(一)直线回归的概念 直线回归又称简单回归,是描述和分析两变量间线
性依存关系的一种统计方法。两个变量之间有一 定的数量关系,但又非函数关系,称作回归关系。 如前所述,20岁男青年红细胞数与血红蛋白含量 的关系,只知道两者存在正相关关系,但不能说, 红细胞数是多时,血红蛋白一定是多少。如果想 要进一步由红细胞数估计血红蛋白含量,需要再 作回归分析。直线回归分析的主要任务就是找出 最合适的直线回归方程,以确定一条最接近于各 实测点的直线,来描述两个变量之间的回归关系。 直线回归的表达式为
计算步骤如下:
(1)作散点图:见下图。由散点图可见,10 名男青年的红细胞数与血红蛋白含量有直 线趋势。
10名男青年红细胞数与血红蛋白含量的关系
148 146 144 142 140 138 136 134 132 130
统计学原理第八章相关分析与回归分析

21
例1:P354页,第1题
企业 产量 X 单位成 XY
X2
Y2
序号 (4件) 本(元)Y
1
2
52
104
4
2704
2
3
54
162
9
2916
3
4
52
208
16
2704
4
4
48
192
16
2304
5
5
48
240
25
2304
6
6
∑
24
46
276
36
2116
300
1182
106 15048
即:∑X=24,∑Y=300, ∑XY=1182,
• 2) X倚Y的直线方程的确定
• 根据最小平方法的原理:(x xc )2 最小值
• 将xc = c + dy代入上述公式中,分别对c和d 求一阶偏导数,并令偏导数等于0,就可以
得出两个正规方程:
x nc dy yx cy dy2
d
nyx y n y2 (
x
y )2
c x dy
举例:P355,第4题。
• 偏相关:在复相关中,当假定其他变量不 变时,其中两个变量间的相关关系称为偏 相关。例如,在假定人们收入水平不变的 条件下,某种商品的需求与其价格水平的 关系就是一种偏相关。
9
三、相关分析与回归分析
• (一)相关分析 • 是用一个指标(相关系数)来表明现象
之间相互依存的密切程度。 • (二)回归分析 • 是根据相关关系的具体形态,选择一个
• 曲线相关:如果现象之间的相关关系近似 地表现为某种曲线形式时,就称这种相关 关系为曲线相关。
概率论与数理统计教程 第8章

MSe= Se/fe
总和
ST
fT=n1
对给定的,可作如下判断:
若F F1 (fA ,fe) ,则说明因子A不显著。 该检验的p值也可利用统计软件求出,若 以Y记服从F(fA ,fe)的随机变量,则检验的 p 值为 p=P(YF)。
如果 F >F1 (fA ,fe),则认为因子A显著;
由定理8.1.2,若H0成立,则检验统计量F服从自由度为fA和fe的F分布,因此拒绝域为W={FF1 (fA ,fe)},通常将上述计算过程列成一张表格,称为方差分析表。
表8.1.3 单因子方差分析表
来源
平方和
自由度
均方和
F比
因子
SA
fA=r1
MSA= SA/fA
F= MSA/ MSe
误差
Se
第八章 方差分析与回归分析
§8.1 方差分析 §8.2 多重比较 §8.3 方差齐性分析 §8.4 一元线性回归 §8.5 一元非线性回归
§8.1 方差分析
8.1.1 问题的提出 实际工作中我们经常碰到多个正态总体均值的比较问题,处理这类问题通常采用所谓的方差分析方法。
例8.1.1 在饲料养鸡增肥的研究中,某研究所提出三种饲料配方:A1是以鱼粉为主的饲料,A2是以槐树粉为主的饲料,A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果,特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组,每组各喂一种饲料,60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示:
模型(8.1.3)可以改写为 (8.1.8) 假设(8.1.1)可改写为 H0 :a1 =a2 =…=ar =0 (8.1.9)
8.1.5 参数估计
在检验结果为显著时,我们可进一步求出总均值 、各主效应ai和误差方差 2的估计。
统计学原理第8章相关与回归分析

此x与y间相关的程度比较高。()
27
同步练习
★ 判断题 (1) 根据结果标志对因素标志的不同反映,可以把现象间数量上的依存关系划分为
函数关系和相关关系。() (2) 正相关指的就是因素标志和结果标志的数量变动方向都是上升的。() (3) 相关系数是测定变量间相关密切程度的唯一方法。() (4) 只有当相关系数接近于1时,才能说明两变量之间存在高度相关系数。() (5) 若变量x的值减少,y的值也减少,说明变量x与y之间存在相关关系。() (6) 回归系数b和相关系数r都可以来判断现象之间相关的密切程度。() (7) 若回归直线方程为:yc=160-2.3x,则变量x与y之间存在负的相关关系。() (8) 回归分析中,对于没有明显因果关系的两个变量x与y,可以建立y依x和x依y的
D产量每增加1000件时,单位成本下降78元
E产品的产量随生产用固定资产价值的减少而减少
(4) 测定现象间有无相关关系的方法是()。
A编制相关表 B绘制相关图 C对客观现象作定性分析
D计算估计标准误系数时,()。
A相关的两个变量都是随机的
B相关的两个变量是对等的关系
C相关的两个变量一个是随机的,一个是可以控制的量
特点 在进行回归分析时,必须根据研究目的确定相关的变量中谁为自变 量,谁为因变量。 回归方程的作用在于由自变量的数值来估计因变量的值。一个回 归方程只能作一种推算或估计。 在回归分析中,因变量是随机的,自变量是可以控制的量。
8.回归分析方法

2.一元线性回归分析法
2.一元线性回归分析法
实际值
Syy
Q U
理论值
一元线性回归分析法
2.一元线性回归分析法
a y bx
x y x y b x x x
i i 2 i i i
2.一元线性回归分析法
2.一元线性回归分析法
相关性检验 X,y之间是否真的有回归模型描述的关系? 回归方程的可信性:回归方差占总方差的比重:
ˆ 4、将 a, b 两个参数值代入 y a bx
5、根据
ˆ 中求出 y
值;
ˆ y 值正负或大小,说明相关程度
6、如有要求;编制相关分析图。
2.一元线性回归分析法
张秀
等 运用布拉德福定律测定检索工具的完整性 情 报科学 2006,24(1):69-73 CNKI期刊数与发表论文数的分布
0.8539
f n2927
查相关系数临界值表 因为 所以回归方程在
R0.01 0.7977
R R0.01
的检验水平下有统计意义。 0.01
即可以认为大豆的蛋白质含量与脂肪含量有线性相关性。
第一节 简单线性回归方法 二、多元线性回归模型
1. 多元线性回归模型
2. 多元线性回归系数的确定
儿子身高与父母身高发现父母的身高可以预测子女的身高两者近乎一条直线当父母越高或越矮时子女的身高会比一般儿童高或矮儿子与父母身高的这种现象拟合出一种线形关系其回归直线方程为33730516x这种趋势及回归方程表明
第八章 回归分析法
1.概述:回归的概念
Francis
Galton:神童,与达尔文 同一个外祖父。 特立独行、知识渊博而又毁誉不一。 人体测量学、实验心理学、生物统计学、地理学、遗 传学…… 优生学:“种族主义者和法西斯蒂的精神领袖和鼻
第8章 回归分析-SPSS操作方法

4
这一回归方程表明父母身高每增加一个单位时,其成年儿子 的身高也平均增加0.516个单位。这个结果表明,虽然高个子父 辈有生高个子儿子的趋势,但父辈身高增加一个单位,儿子身 高仅增加半个单位左右。反之,矮个子父辈的确有生矮个子儿 子的趋势,但父辈身高减少一个单位,儿子身高仅减少半个单 位左右。 平均来说,一群高个子父辈的儿子们在同龄人中平均仅为略 高个子;一群矮个子父辈的儿子们在同龄人中平均仅为略矮个 子,即父辈偏离中心的部分在子代被拉回来一些。 正是因为子代的身高有回到同龄人平均身高的这种趋势,才 使人类的身高在一定时间内相对稳定,没有出现父辈个子高, 其子女更高,父辈个子矮,其子女更矮的两极分化现象。 高尔顿引进了回归这个词来描述父辈身高与子代身高的关系。
6
8.1 回归分析的基本原理
8.1.1 回归线
前一章介绍了相关散点图,可以发现各点不都在一条直 线上。但如果散点的分布有明确的直线趋势,我们就可以 配置一条最能代表散点图上分布趋势的直线,这条最优拟 合线就称为回归线。 常用的拟合这条回归线的原则,就是使各点与该线纵向 距离的平方和最小。
7
8.1
8
8.1.2 回归方程
回归分析的数学模型是:
y f (x1, x2, x3,…, xk )
基本假设:因变量 y 受到我们已知的的 k 个自变
量 x1,x2,x3,…,xk 的影响,同时还受到一些
未知因素或随机因素的影响。
9
每一组实际观察值yi,x1i,x2i,x3i,…,xki
yi f (x1i , x2i , x3i ,…, xki ) i
5
当然,如今的回归分析已远远超过当年高尔顿使用该词 时的涵义,已成为统计学中一个专用的名词。其根本目的, 是要借助于因变量和自变量的分类,在概率统计的意义上, 把变量间的相关关系用精确的数学公式伴以其他手段加以 进一步的定量刻画。 回归分析的应用非常广泛,建立了变量之间关系的数学 模型,实际上就等于确定了自变量与因变量的关系模型, 利用这个数学模型,可以从一个变量的变化来预测或估计 另一个变量的变化。 在实际应用中,根据变量的个数、变量的类型以及变量 之间的相关关系,回归分析有很多种类型。我们主要介绍 比较常用的一元线性回归分析。
第8章 Gallton 身高回归问题

Gallton 身高问题(回归的古典定义)最小二乘法的来历:最早称为回归分析法。
由著名的英国生物学家、统计学家道尔顿(F.Gallton )——达尔文的表弟和其学生K.Pearson 所创。
早年,道尔顿致力于化学和遗传学领域的研究。
他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间的关系时,建立了回归分析法。
现在回归分析法已远非道尔顿的本意,已经成为探索变量之间关系最重要的方法,用以找出变量之间关系的具体表现形式。
后来,回归分析法从其方法的数学原理 —— 误差平方和最小(平方乃二乘)出发,改称为最小二乘法。
父亲们的身高与儿子们的身高之间关系的研究1889年F.Gallton 和朋友K.Pearson 收集了1078个家庭的身高、臂长和腿长的等记录。
企图寻找出儿子们身高与父亲们身高之间关系的具体表现形式。
下图是根据1078个家庭的调查所作的散点图。
从图上虽可看出,个子高的父亲确有生出个子高的儿子的倾向,同样,个子低的父亲确有生出个子低的儿子的倾向。
得到的具体规律如下:0184.330.516i i i i i Y X X ββμ=++=+,Y ,X 为父辈平均身高,Y 为子辈平均身高(每个家庭取其一个成年儿子身高数据)。
如此以来,高的伸进了天,低的缩入了地。
他百思不得其解,同时又发现某人种的平均身高是相当稳定的。
最后得到结论:儿子们的身高回复于全体男子的平均身高(即儿子们身高向着平均身高“回归”,以保持种族的稳定),即“回归”——见1889年F.Gallton 的论文《普用回归定律》。
后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律。
结论(1):父X 上升1,子Y 上升0.516。
0.516Y '=,边际概念。
父X 下降1,子Y 下降0.516。
结论(2):高个子父辈的儿子的平均身高低于其父辈的平均身高。
高个子父辈的儿子们虽然仍为高个子,但未超过父辈身高,父辈偏离其平均身高的一部分被其子代拉了回来,即所谓的“回归”说法。
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8.5 F检验
表 8.2 方差来源 回 误 总 归 差 计 平方和
SSR SSE SST
方差分析表 自由度
1
均方
MSR MSE
F
n2 n 1
MSR MSE
—
—
8.6 回归预测
8.6.1 E yi 和 yi 的点估计 预测有两种情形, 第一种情形是用自变量的值来预测因变量的均值 第二种情形是用自变量的值来预测因变量的个别值 两种情形下的点估计值是一样的
8.3估计的回归方程
ˆ Q yi yi
2 i 1 i 1 n n
ˆ ˆ y i 0 1 xi
为最小值。
2
这就是最小平方法的基本思想。
ˆ ˆ 根据微积分的极值原理, 0 与 1 在满足下列方程组时,上式中的距离平
n Q ˆ ˆ ˆ 2 yi 0 1 xi 1 0 方和可以取得最小值,即: 0 i 1 n Q 2 ˆ ˆ yi 0 1 xi xi 0 ˆ i 1 1
n n yi nˆ0 ˆ1 xi i 1 i 1 稍作整理,可得方程组: n n n 2 xy ˆ ˆ xi 1 xi 0 i i i 1 i 1 i 1
8.4 判定系数
所有样本点的残差的平方和是一个最小化的量, 我们把这个最小化的量称 为残差平方和或称误差平方和,记作 SSE ,即:
2
(3) i 服从正态分布,即 i~N 0, (4) i 相互独立。
2
;
8.2 回归模型与回归方程
8.2.2 回归方程
由于 E i 0 ,因此将回模型两边同时取数学期望,立即可得:
E yi 0 1 xi
上式被称作简单线性回归方程,表明 yi 的期望值 E yi 是 x i 的线性函数。其中: 0 为直 线的截距; 1 为直线的斜率。 由于 yi 的取值是在确定的线性函数值 0 1 xi 的上面,再加上一个误差项随机变量 i 来决 定的,因此 yi 也是一个随机变量,其随机性完全由 i 的随机性来决定。 i 的方差为 ,这同时
体上是沿着一条直线,随着另一个变量取值的变化而变化,
则称两者之间具有线性相关关系。
★ 如果是沿着一条曲线,则称两者之间是非线性相关关系, 或称曲线相关关系。
8.1相关系数
★ 在线性相关关系中,如果两个变量变动方向相同,即一个
变量的取值增加,另一个变量的取值也随之增加,或一个
变量的取值减少,另一个变量的取值也随之减少,则称两 个变量之间具有正的线性相关关系。
部家庭,其平均月日用杂货支出在 742.44 元与 1252.83 元之间,
8.6 回归预测
8.6.3 yi 的区间估计
将
2 2 ˆ yi 关 于 yi 的 方 差 记 作 ind , 根 据 方 差 定 义 有 : ind E yi yi 2 , 即 : ˆ
2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ind E 0 1 xi 0 1 xi i E 0 0 1 1 xi i
2 2
一个是运用残差平方和除以其自由度来估计 ,这个估计量称作均方误差,记作 MSE ;
2
另一个是运用回归平方和除以其自由度来估计 ,这个估计量称作均方回归,记作 MSR 。
2
残差平方和的自由度是样本容量减去 1 再减去问题中自变量的个数 p ,即 n p 1 n 2 ;回归平 方和自由度就是问题中自变量的个数 p ,在简单线性回归分析中 p 1 。
★ 如果两个变量的变动方向相反,即一个变量的取值增加,
另一个变量的取值随之减少,或一个变量的取值减少,另
一个变量的取值随之增加,则称两个变量之间具有负的线 性相关关系。
8.1相关系数
(A)正线性相关
(B)负线性相关
(C)完全正线性相关
(D)完全负线性相关
(E)非线性相关
(F)不相关
图 8.2 相关关系的类型
8.4 判定系数
0 SSR SST ,因此进一步则有 0 SSR SST 1 。我们
将这个比值称为判定系数,记作 r ,即:
2
SSR r SST
2
判定系数 r 2 可以帮助我们评价估计的回归方程对样本 数据拟合效果的好坏,r 2 越接近于 1,表明估计的回归方程 对样本数据的拟合效果越好;越接于 0 表明拟合效果越差。
y ˆ
i
的值是未知的,因此 y 也是未知的。前面提到过, MSE 是 ˆ
2
i
2
的无偏估计,为
表述方便这里将它记为 s 2 。以 s 2 估计
2
,从而得出 y 的估计量为: ˆ
2
i
xi x 2 2 2 1 s yi s n ˆ n xi x 2 i 1
第8章
回归分析
引例8
表 8.1
家庭序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
40 户家庭“每月日用杂货支出”与“月收入”的样本数据
y x
月支出(元) 1148 489 1208 1065 1015 1125 1206 613 661 606 541 1083 839 1090 1217 555 458 647 592 676
8.1相关系数
★ 8.1.1散点图与相关关系
1400
1200
月 支 出 ( 元 )
1000
800
600
400 4000 5000 6000 7000 月收入(元) 8000 9000 10000
图 8.1 “月支出”与“月收入”样本数据散点图
8.1相关系数
★ 相关关系可以区分为不同的类型。如果一个变量的取值整
2
。可得:
2 ind
2 1 x x 2 1 n i 2 n xi x i 1
2 2 并可得 ind 的估计量 s ind 为:
i 1
家庭,其平均月日用杂货支出的估计区间,则有: yi 997.635 元, t 2 t 0.005 2.763,并有: ˆ
s yi 247.908 ˆ
1 8000 6834 68 . 92.36 40 119364320. 78
2
于是有: 997.635 2.763 92.36 ,即 997 .635 255 .19 。所以,月收入水平为 8000 元的全
ˆ SSE yi yi
i 1 n 2
所有总离差的平方和被称为总离差平方和或称总平方和,记作 SST ,即:
SST yi y
i 1 n 2
所有回归离差的平方和称为回归平方和,记作 SSR ,即:
ˆ SSR yi y
i 1 n 2
SST SSE SSR
ˆ yi E yi s yi ˆ
于是可得 E yi 在显著性水平 下的置信区间为:
ˆ yi t 2 s yi ˆ
8.6 回归预测
例 子 : n 40
n
、
s s 2 61458.189 247.908 、 x 6834.68 、
xi x 2 119364320. 。如果要在 0.01 的显著性水平下,做出月收入为 8000 元的全体 78
8.2 回归模型与回归方程
8.2.1 回归模型
假定自变量 x 与因变量 y 在总体上存在着线性相关关系,我们就可以用下面的等式来模拟 x 与 y 之间的这种线性相关关系:
yi 0 1 xi i
这个等式称为 x 与 y 的简单线性回归模型。 模型中,因变量 y 的第 i 个取值 yi 是以自变量 x 的第 i 个取值 x i 为自变量的线性函数值
2 3、 0 1 xi 再加上一个 i 。其中, i 1、、 、 ; 0 和 1 分别为线性函数的截距和斜率,称
作模型参数。
8.2 回归模型与回归方程
8.2.2 回归方程
为使我们的分析更富于成效,必须对模型中的误差项随机变量 i 的概率分布情况做出如下假 定: (1) i 是期望值为零的随机变量,即 E i 0 ; (2) i 的方差是相等的,即在自变量 x 的不同取值 x i 下,对应的误差项随机变量 i 的方差都是 相同的,可记作 ;
8.5 F检验
可以构造如下统计量以检验 1 0 的假设是否成立。
F
MSR MSE
根据回归模型中关于 i 的正态性假设, 不难推出该统计量应服从分子自由度为 1, 分母自由度为 n 2 的 F 分布。给定一个显著性水平 ,如果 F F ,则拒绝 1 0 的原假设,这表明我们可以在 1 的 把握程度上推断总体中 y 与 x 两个变量之间存在线性相关关系。否则,没有理由拒绝原假设。
y
月收入(元) x 8882 4558 9053 8094 8414 8925 9862 4856 4899 5304 5943 7242 7540 8989 9138 4388 4793 4856 5346 6603
家庭序号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
8.5 F检验
在回归方程 E yi 0 1 xi 中, y 与 x 之间在总体中存在线性相关关系的充要条件是 1 0 。 在回归模型中,我们曾假定在自变量 x 的不同取值 x i 下,对应的误差项随机变量 i 的方差是相同的, 都是 。如果要根据样本数据来估计 ,统计上存在着两个估计量。