魔方阵解答
魔方阵算法分析
魔方阵算法2008-11-22 17:12幻方问题分为奇幻方和偶幻方。
奇幻方和偶幻方方阵的布阵规律不同，而偶幻方又分为是4的倍数（如4，8，12，16，20等）和不是4的倍数（如6，10，14，18等）两种。
现在就幻方的三种情形的布阵规律分别加以介绍。
A方案1、奇幻方N=2*M+1（M=1，2，3，……）的布阵规律a、把1放在N*N方阵中的第一行中间一列，即放在位置为（1，（N+1）/2）；b、后一个数存放的行数比前一个数存放的行数减1，若这个行数为0，则取行数为N；c、后一个数存放的列数比前一个数存放的列数加1，若这个列数为N+1，则取列数为1；d、如果前一个数是N的倍数，则后一个数存放的列数不变，而行数加1。
B方案⑴将1放在第一行中间一列；⑵从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放；每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1（例如上面的三阶魔方阵，5在4的上一行后一列）；⑶如果上一个数的行数为1，则下一个数的行数为n（指最下一行）；例如1在第一行，则2应放在最下一行，列数同样加1；⑷当上一个数的列数为n时，下一个数的列数应为1，行数减去1。
例如2在第3行最后一列，则3应放在第二行第一列；⑸如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第一行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。
例如按上面的规定，4应该放在第1行第2列，但该位置已经被占据，所以4就放在3的下面；2、①偶幻方N=4*（M=1，2，3，……）的布阵规律先将1至N*N由小到大的顺序，从第一行开是依序填入N*N的方阵中，然后将N*N的方阵以4行4列划分为若干个4*4的小方阵，再将所有4*4小方阵的两个对角线上的数字划掉，之后将所有被划掉的数字重新由大到小的进行排列，然后再将这些数字按排列顺序由N*N方阵的第一行开始，放入被划掉的格子中去。
则此时的偶幻方也就布好阵。
2、②偶幻方N=4*（M=1，2，3，……）的布阵规律本法先將數字順序填入方陣之後，再施以兩階段的翻轉，一次縱向、一次橫向，故名雙向翻轉法。
魔方阵
问题3.1、n –魔方阵一、提出问题所谓“n – 魔方阵”是指由1至n 这n 个不同整数构成的魔方阵，其魔方常数为n ( n + 1 ) / 2。
例如，5 – 魔方阵和7 – 魔方阵如图3 – 1所示。
易知，这两个魔方阵的魔方常数分别为15和28。
3215415432432152154354321 ，4321765176543254321762176543654321732176547654321 图3 – 1 5 – 魔方阵和7 – 魔方阵n – 魔方阵的数字排列很有规律，若用人工的方法给出并不困难。
现在要求给出：能让计算机自动输出n （≥ 3）为奇数时形如图3 – 1所示的n – 魔方阵的算法。
二、简单分析n – 魔方阵较我们之后将要讨论的奇、偶数阶魔方阵，要简单许多。
观察后不难发现：1．要填入的n 个数字在阵列的每一行和每一列都要出现且仅出现一次，且各行（列）中的数字顺序相同，这里的顺序是指循环顺序，其中数字1接在数字n 的后面。
2．从阵列的行来看，每一行的第一个数字与它上一行正中间的数字相同。
通过对“n – 魔方阵”的分析，下面几个基本问题必须得到解决：◆ 如何确定阵列第一行各个数字？◆ 在填入其他行的数字时如何保证数字原有的顺序不改变同时每一行的第一个数字正好是其上一行正中间的数字？三、设计准备假设我们要构建的是一个n – 魔方阵，为此定义一个有n 行n 列的二维数组。
1．确定阵列第一行各个数字这里我们处理的方法很简单，即可以利用循环方法顺序地在二维数组第一行中填写1，2，3，…，n 这n 个自然数即可。
2．填入其他行的数字，并保证数字原有的顺序不改变同时每一行的第一个数字正好是其上一行正中间的数字要解决这个问题，需借助一个有n + 1单元的一维数组，并对该数组进行若干次“循环左移”处理。
所谓做一次“循环左移”，即指在一维数组中，将第1个数填入第n + 1个单元，第2个数填入第1个单元，……，第n个数填入第n– 1 个单元，最后再将第n + 1个单元中的数填入第n个单元。
小学数学幻方题练习题
小学数学幻方题练习题幻方是一种神奇的数学图形，它的每个方格都填入不同的数，而且每行、每列及对角线的和都相等。
在小学数学中，学生们常常通过练习解幻方题来提高逻辑思维和数学计算能力。
下面将给出一些小学数学幻方题练习题，请同学们认真思考并试着解答。
第一题：在3×3的格子中填入1~9九个数字，使每行、每列及对角线上的数字和都相等。
解答：根据题目要求，我们需要找到一组数字使得每行、每列及对角线的和都相等。
观察发现，这是一个魔方阵的问题，我们可以尝试使用排列组合的方法来解决。
首先，我们知道每行、每列及对角线的和都是15（1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，45÷3=15）。
所以我们可以从1开始，依次填入格子，直到填满为止。
在填的过程中，我们要保持每行、每列及对角线的和都等于15。
我们先填写第一行的数字，可以从1开始，填入递增的数字。
接下来，我们填写第二行的数字，可以从第一行已经填好的数字中选择未被使用的数字，并且要保持第二行的和等于15。
同样的方法，我们填写第三行的数字。
最终，我们得到以下的幻方：2 7 69 5 14 3 8经过计算，我们可以发现每行、每列及对角线的和都等于15。
第二题：在4×4的格子中填入1~16十六个数字，使每行、每列及对角线的和都相等。
解答：与第一题类似，我们需要找到一组数字使得每行、每列及对角线的和都相等。
我们可以使用相同的方法：先确定每行、每列及对角线的和，然后逐渐填入数字。
根据题目要求，每行、每列及对角线的和都是34（1+2+3+...+16=136，136÷4=34）。
我们可以从1开始，逐个填入格子。
同样，需要保证每行、每列及对角线的和等于34。
填写顺序可以按照行的顺序进行，也可以按照其他规则进行。
经过计算和尝试，我们得到以下的幻方：16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1最后，我们可以验证每行、每列及对角线的和都等于34。
趣味数学题目
游戏学数学：五个王后的游戏五个王后的游戏这是两人玩的游戏。
在棋盘上随意摆几个王后，例如图中有5个王后。
两人轮流移动王后。
移动的方式如下：(1)取走王后。
(2)以下列方式移动王后，步数不限。
①向下移动；②向左移动；③沿对角线向左下方移动。
如果移动后，两个王后位于同一方格，则两者都会被取走。
取走最后一个王后的人赢。
解答与分析这个游戏在有限的移动步数之后一定会结束，因为王后不能倒退，而且每次移动之后活动的空间就更小。
这不是个容易分析的游戏。
这个游戏也可以改成最后取走王后的人输。
一位农夫和他的朋友合买了一桶8加仑装的苹果酒(1加仑=4.5461升)。
他们想平分这些苹果酒，但却只有一个5加仑和一个3加仑的容器。
他们该如何平分？解答与分析将3个容器依其容量简记为8、5、3。
由8倒满5。
由5倒满3，5中还留有2加仑酒。
将3倒入8。
由5倒2加仑酒入3。
由8倒满5。
由5倒入3，直到3满，此时5中还留有4加仑酒。
将3倒入8，这样8中也有4加仑酒。
一座现代化的大都市建有环形的道路网和连接道路的系统，如图所示。
在每一条道路的交叉口，汽油公司都设有一个加油站。
运送汽油的证明请证明油罐车的司机在离开贮油库之后，可以沿路到每一个加油站运送汽油，而不重复经过任何一个加油站再回到贮油库。
一只青蛙在找水喝时不慎落入30尺深的井里。
它为了爬出水井，每天白天奋力往上爬3尺，但是到了晚上却会向下滑落2尺。
几天之后这只青蛙才能爬出这口井？解答青蛙需要28天才能爬出井口。
将8枚硬币排成如图所示的正方形，每边3枚硬币。
试移动4枚硬币，使它变成一个每边有4枚硬币的正方形。
关于硬币的魔术解答与分析把每一边中间的硬币依序放在位于角落的硬币上，这样就可以得到一个正方形，在它的4个顶点上各有两枚叠在一起的硬币，因此每边有4枚硬币。
知道答案就觉得很简单！我们通常都可以从二维的图画中看出所要表现的三维物体，识图与绘图的训练，可以培养我们的空间观念。
然而，就像这里所示的一些图画，二维的图画也可以在视觉上创造出不可能的事物。
11阶立方体魔方阵的制作及原理(精)
11 階立方體魔方陣的製作及原理摘要：在這篇報告中，我們將0~1330中每一個正整數，先將每一個數都連續除以11兩次，再把每一個數的餘數以及商，分別取出來，再將每一個數都表示成a×112+b×11+c，其中a、b、c都是0~10的正整數，再將這些數轉化成座標形式(a、b、c)，再利用等差數列的觀念，從原點分別向X軸、Y軸、Z軸增加一定的座標量，希望11 階立方體陣中，每一個平面上它們的橫線、直線、對角線，及立方體的四條對角線，他們的x座標、y座標及z座標0~10均只出現一次，如此一來，將這些座標換算回所對的數，會出現每一個面的直線、橫線、對角線及方體中四條對角線上面的數字總和相等的結果。
研究動機：在上學期學習「數量關係」，曾經提到一種以相同大小增加或減少的數列，老師提到可以用這種觀念來解釋平面上的魔方陣.在「有趣的魔方陣」這本書中，我們又看到了有關於魔方的各種製作方法及各式各樣的變形魔方，其中所介紹的立體方陣引起了我們的興趣，但是我們發現書本所記的立體方陣都只提到2階，3階或者12面體的立體方陣（見圖）的製作及結果，但是這本書的介紹僅限於此，並沒有再提到任何立體方陣的敘述，所以我們就想到了一個問題:”能不能用類似的手法創造一個與正方形魔方類似的立體方陣?”，也就是在它的格子中填入一些數字，使它裡面的每一面橫、直、對角線的總和均相等且立方體內的四條對角線總和也與前述相等，基於這項原因經過多次的實驗及推理觀察，我們將對11階的立方體進行觀察研究。
研究目的：發展一個製作11階立方體魔方的方法，使它能滿足研究動機中的結論，並推測是否還有其他立體方陣存在。
研究方法：根據85年度嘉義中小學科展作品「奇數階的製作及原理」我們以11階的平面魔方陣為例，重新觀察它的製作過程，現在我們的問題是:”將0－120的每一個正整數填入（如圖）11×11的正方形空格中，使它的直、橫、及對角線總和均相等”，面對這個問題，我們先將0－120的每個數都除以11，找出商及餘數，並表示成座標得到詳細結果如下：0÷11＝0 ……0（0，0）1÷11＝0……1（0，1）2÷11＝0……2（0，2）3÷11＝0 ……3（0，3）4÷11＝0……4（0，4）5÷11＝0……5（0，5）6÷11＝0 ……6（0，6）7÷11＝0……7（0，7）8÷11＝0……8（0，8）9÷11＝0 ……9（0，9）10÷11＝0……10（0，10）11÷11＝1……0（1，0）12÷11＝1 ……1（1，1）13÷11＝1……2（1，2）14÷11＝1……3（1，3）15÷11＝1 ……4（1，4）16÷11＝1……5（1，5）17÷11＝1……6（1，6）18÷11＝1 ……7（1，7）19÷11＝1……8（1，8）20÷11＝1……9（1，9）21÷11＝1 ……10（1，10）22÷11＝2……0（2，0）23÷11＝2……1（2，1）24÷11＝2 ……2（2，2）25÷11＝2……3（2，3）26÷11＝2……4（2，4）27÷11＝2 ……5（2，5）28÷11＝2……6（2，6）29÷11＝2……7（2，7）30÷11＝2 ……8（2，8）31÷11＝2……9（2，9）32÷11＝2……10（2，10）33÷11＝3 ……0（3，0）34÷11＝3……1（3，1）35÷11＝3……2（3，2）36÷11＝3 ……3（3，3）37÷11＝3……4（3，4）38÷11＝3……5（3，5）39÷11＝3 ……6（3，6）40÷11＝3……7（3，7）41÷11＝3……3（3，8）42÷11＝3 ……9（3，9）43÷11＝3……10（3，10）44÷11＝4……0（4，0）45÷11＝4 ……1（4，1）46÷11＝4……2（4，2）47÷11＝4……3（4，3）48÷11＝4 ……4（4，4）49÷11＝4……5（4，5）50÷11＝4……6（4，6）51÷11＝4 ……7（4，7）52÷11＝4……8（4，8）53÷11＝4……9（4，9）54÷11＝4 ……10（4，10）55÷11＝5……0（5，0）56÷11＝5……1（5，1）57÷11＝5 ……2（5，2）58÷11＝5……3（5，3）59÷11＝5……4（5，4）60÷11＝5 ……5（5，5）61÷11＝5……6（5，6）62÷11＝5……7（5，7）63÷11＝5 ……8（5，8）64÷11＝5……9（5，9）65÷11＝5……10（5，10）66÷11＝6 ……0（6，0）67÷11＝6……1（6，1）68÷11＝6……2（6，2）69÷11＝6 ……3（6，3）70÷11＝6……4（6，4）71÷11＝6……5（6，5）72÷11＝6 ……6（6，6）73÷11＝6……7（6，7）74÷11＝6……8（6，8）75÷11＝6 ……9（6，9）76÷11＝6……10（6，10）77÷11＝7……0（7，0）78÷11＝7 ……1（7，1）79÷11＝7……2（7，2）80÷11＝7……3（7，3）81÷11＝7 ……4（7，4）82÷11＝7……5（7，5）83÷11＝7……6（7，6）84÷11＝7 ……7（7，7）85÷11＝7……8（7，8）86÷11＝7……9（7，9）87÷11＝7 ……10（7，10）88÷11＝8……0（8，0）89÷11＝8……1（8，1）90÷11＝8 ……2（8，2）91÷11＝8……3（8，3）92÷11＝8……4（8，4）93÷11＝8 ……5（8，5）94÷11＝8……6（8，6）95÷11＝8……7（8，7）96÷11＝8 ……8（8，8）97÷11＝8……9（8，9）98÷11＝8……10（8，10）99÷11＝9 ……0（9，0）100÷11＝9……1（9，1）101÷11＝9……2（9，2）102÷11＝9 ……3（9，3）103÷11＝9……4（9，4）104÷11＝9……5（9，5）105÷11＝9 ……6（9，6）106÷11＝9……7（9，7）107÷11＝9……8（9，8）108÷11＝9 ……9（9，9）109÷11＝9……10（9，10）110÷11＝10……0（10，0）111÷11＝10 ……1（10，1）112÷11＝10……2（10，2）113÷11＝10……3（10，3）114÷11＝10 ……4（10，4）115÷11＝10……5（10，5）116÷11＝10……6（10，6）117÷11＝10 ……7（10，7）118÷11＝10……8（10，8）119÷11＝10……9（10，9）120÷11＝10 ……10（10，10）現在我們想將這些數對填入空格中，而且我們希望能讓我們的橫、直、對角線的x座標及y座標總和均相等，我們所利用的方法如下：從左下角開始填入（0，0）分別向下每跳一格加上(1，1) ，(2，3)我們可先得到如下圖結果：因為（6，9）再加（2，3）得到（8，12），我們將12除以11取其餘數一可得座標（8，1）再將其向填入空格中，其餘的座標填法均如上所述，所以我們將所有座標填入後所得到下圖結果（見圖3）觀察上述結果，因為橫、直、對角線他們的x座標及y座標均從0－10出現一次，所以我們可以推測將座標還原成原先代表的數字能夠得到我們要的結論，還原的結果如下：上述方法的優點是:1.我們將原本相當多且複雜的數轉換成座標後,每一個座標所要考慮的對象都變少了(只要考慮0~10)2.因為從(0,0)向x軸、向y軸增加一定的座標。
魔方阵算法及C语言实现
魔⽅阵算法及C语⾔实现1 魔⽅阵概念是指由1，2，3……n2填充的，每⼀⾏、每⼀列、对⾓线之和均相等的⽅阵，阶数n = 3，4，5…。
魔⽅阵也称为幻⽅阵。
例如三阶魔⽅阵为：魔⽅阵有什么的规律呢？魔⽅阵分为奇幻⽅和偶幻⽅。
⽽偶幻⽅⼜分为是4的倍数（如4，8，12……）和不是4的倍数（如6，10，14……）两种。
下⾯分别进⾏介绍。
2 奇魔⽅的算法2.1 奇魔⽅的规律与算法奇魔⽅（阶数n = 2 * m + 1，m =1，2，3……）规律如下：1. 数字1位于⽅阵中的第⼀⾏中间⼀列；2. 数字a（1 < a ≤ n2）所在⾏数⽐a-1⾏数少1，若a-1的⾏数为1，则a的⾏数为n；3. 数字a（1 < a ≤ n2）所在列数⽐a-1列数⼤1，若a-1的列数为n，则a的列数为1；4. 如果a-1是n的倍数，则a（1 < a ≤ n2）的⾏数⽐a-1⾏数⼤1，列数与a-1相同。
2.2 奇魔⽅算法的C语⾔实现1 #include <stdio.h>2// Author: /3// N为魔⽅阶数4#define N 1156int main()7 {8int a[N][N];9int i;10int col,row;1112 col = (N-1)/2;13 row = 0;1415 a[row][col] = 1;1617for(i = 2; i <= N*N; i++)18 {19if((i-1)%N == 0 )20 {21 row++;22 }23else24 {25// if row = 0, then row = N-1, or row = row - 126 row--;27 row = (row+N)%N;2829// if col = N, then col = 0, or col = col + 130 col ++;31 col %= N;32 }33 a[row][col] = i;34 }35for(row = 0;row<N;row++)36 {37for(col = 0;col < N; col ++)38 {39 printf("%6d",a[row][col]);40 }41 printf("\n");42 }43return0;44 }3 偶魔⽅的算法偶魔⽅的情况⽐较特殊，分为阶数n = 4 * m（m =1，2，3……）的情况和阶数n = 4 * m + 2（m = 1，2，3……）情况两种。
魔方阵问题doc
魔方阵问题：把1到n 2（n 为奇数）个自然数按方阵排列，使得方阵的每行、每列以及沿对角线的几个数之和都等于方阵常量，这个常量是：(21)n(n 2+1)。
例如，1至9可以排成如图所示的方阵，方阵常量是(21)*3*(32+1)=15。
提示：各数在魔方阵中的位置可按下述方法确定：通常1总是在第1行的中间；对于其他自然数来说，目前数的右上方是下一个数的位置，若右上方已经赋值，则下一个数的位置在其下方；如果目前数在第1行，但不在最右侧，则下一个数在最后一行，列数右移一列；如果目前数在第1行的最右侧，则下一个数在目前数的下侧；如果目前数在其他行的最右侧，则下一个自然数在上一行的最左侧。
用二维数组存放魔方阵。
输出魔方阵
４．输出＂魔方阵＂．所谓魔方阵，是指这样的方阵，它的每一行、每一列和对角线之和均相等。
要求：从键盘输入一个n(n>2)，输出由1~n2的自然数构成的魔方阵；如n=3时的魔方阵为：8 1 63 5 74 9 2.for(i=0;i<n;i++)a[j][i]=st++; 从上至下填充方阵,值递增for(j=0;j<n;j++)for(i=0;i<n;i++)if(j%4==i%4||(j%4+i%4)==3) .换成其补数for(i=0;i<n;i++){小方阵按奇数阶算法依次填入A(1…[2k+1]2)、B([2k+1]2+1…2[2k+1]2)、C(…)、D(…4[2k+1]2)；A与D换：A中间格始向右取k格；A最左边的k列(除中行)；C与B互换：从C的中间列开始向左数k-1列。
.for(i=0;i<n;i++)a[j][i]=st++; 从上至下填充方阵,值递增for(j=0;j<n;j++)for(i=0;i<n;i++)if(j%4==i%4||(j%4+i%4)==3) .换成其补数}void MagicSev(int a[M][M],int st,int n) .t=a[k][j];a[k][j]=a[k+m][j]; 与D对应位置交换a[k+m][j]=t;}for(i=0;i<m;i++){ .if(i!=k) 除中间行外for(j=0;j<k;j++){ 取最左边的k列t=a[i][j];a[i][j]=a[i+m][j]; 与D应位置交换a[i+m][j]=t;}}for(i=0;i<m;i++) .与B应位置交换a[i+m][j]=t;}}void OutMagic(int a[M][M],int n) //输出n阶魔方阵！{int i,j;for(i=0;i<n;i++){printf("\n");for(j=0;j<n;j++)printf("%4d",a[i][j]);}}void SumMagic(int a[M][M],int n) //求魔方阵各行/列的和{int i,j;for(i=0;i<n;i++) //各行的和for(j=0;j<n;j++)a[i][n]+=a[i][j];for(i=0;i<n;i++) //各列的和for(j=0;j<n;j++)a[n][i]+=a[j][i];for(i=0;i<n;i++)a[n][n]+=a[i][i]; //主对角线的和}void main(){int n;int a[M][M]={0};printf("魔方阵的阶数n="); //n为大于2的任意整数scanf("%d",&n);switch(n%4){case 1:case 3:MagicOdd(a,0,0,1,n);break; //奇数阶魔方阵case 0:MagicDev(a,1,n);break; //双偶(4k)阶魔方阵case 2:MagicSev(a,1,n);break; //单偶(4k+2)阶魔方阵}SumMagic(a,n); //计算各行/列的和OutMagic(a,n); //输出魔方阵printf("\n\n校验:\n");OutMagic(a,n+1); //输出魔方阵及各行/列的和进行验证}。
趣味数学之幻方小诀窍
趣味数学之幻方小诀窍在趣味数学的探讨中，重要的题材之一是魔方阵。
魔术方阵是由西方的"Magic square"翻译过来的，当然，东方也有不同的别称。
在中国我们称之为幻方，我国古代则有纵横图之称，而日本则称之为魔方阵。
所谓n阶魔方阵，乃是将1到ｎ2个整数排成一个ｎXｎ阶方阵，使得下面2n+2个和相等：（1）每一列中ｎ个数之和，共得ｎ个和；（2）每一行中ｎ个数之和，共得ｎ个和；（3）每一对角在线ｎ个数之和，共得两个和。
此每一个和称为魔数=2)1(2nn。
（一）由计算机测试的结果知道，二阶幻方不存在，当阶数由三阶增至四阶时，幻方个数由8个增至7040个，可见幻方数目增加得十分快速。
(二)(1)奇数阶幻方的建构法，中西方都有不同的成就，最著名的有杨辉法和达拉卢庇法，以下依序说明：杨辉法：以方阵的中间位置之下一格做为出发点，再向右下方依序填入数字。
若右下格已有数字则往下退两格，再继续往下填数字，直到填完为止，若超出格子便跳到方阵的另一头。
达拉卢庇法：以方阵中间一行最上方的一格为出发点，再向右上方依序填入数字，若右上格已有数字则往下退一格，再继续往下填数字，直到填完为止，若超出格子便跳到方阵的另一头。
(2)由杨辉法与达拉卢庇法的推广可以得到两对正交的拉丁方阵(两个方阵之中的符号两两配对后，没有重复的配对，称为正交)，可以推出许多不同的幻方，但仍受制于对角线，若改以正交对角线拉丁方阵构做，应可产生更多种幻方。
（二）由四阶幻方造法推广得到偶数阶幻方的造法，因为偶数阶自然方阵中各行、各列之和成等差关系，由于n是偶数故可得一个左右对称的和（若以上下各数之和来讨论，也可以得到上下对称的结果），且两对角线的和恰等于魔数，所以可以利用行与行、列与列（对称于中心轴）的互换而造出幻方。
在我十来年的数学教育教学中，每当学生接触到幻方时，他们都对幻方近乎着迷，为大千数学世界中的这些毫不起眼的数字而折服。
于是通过我自己的教学不断总结，下面对幻方的小诀窍予以说明。
魔方阵实现方法(全)
a[i][j]=0; /*先令所有元素都为0*/
}
j=(N-1)/2; /*判断j的位置*/
a[0][j]=1; /*将1放在第一行中间一列*/
for(k=2;k<=N*N;k++) /*再从2开始处理*/
{
i=i-1; /*存放的行比前一个数的行数减1*/
j=j+1; /*存放的列比前一个数的列数加1*/
if((i<0)&&(j==N)) /*前一个数是第一行第N列时,把下一个数放在上一个数的下面*/
{
i=i+2;
j=j-1;
}
else
{
if(i<0) /*当行数减到第一行，返回到最后一行*/
i=N-1;
if(j>N-1) /*当列数加到最后一行，返回到第一行*/
j=0;
}
if(a[i][j]==0) /*如果该元素为0,继续执行程序*/
首先，在左上角的方阵中做记号，每行每列，各取一半打上记号。
然后，将其向其余3个方阵中映像。接着，从左上角格子开始,按从左到右,从上到下的次序将1到n*n的值往方阵中填写,但遇到作了标记的格子时跳过。再从右下角格子开始,按从右到左,从下到上的次序将1到n*n的值往方阵中填写,但遇到已填过值的格子时跳过，既可以构成一个魔方阵。
{
swap(&Array[i][j],&Array[n-1-i][n-1-j]);
}
else if(i%2==0&&Array[i][j]%2==1)/*奇行换奇*/
{
swap(&Array[i][j],&Array[n-1-i][n-1-j]);
求魔方阵的十种算法
求魔方阵的十种算法魔方阵，古代又称“纵横图”，是指组成元素为自然数一、2…n的平方的n×n的方阵，其中每一个元素值都不相等，且每行、每列和主、副对角线上各n个元素之和都相等。
如3×3的魔方阵：8 1 63 5 74 9 2魔方阵的排列规律如下：(1)将1放在第一行中间一列；(2)从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放；每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1（例如上面的三阶魔方阵，5在4的上一行后一列）；(3)如果上一个数的行数为1，则下一个数的行数为n(指最下一行);例如1在第一行，则2应放在最下一行，列数同样加1；(4)当上一个数的列数为n时，下一个数的列数应为1，行数减去1。
例如2在第3行最后一列，则3应放在第二行第一列；(5)如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第一行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。
例如按上面的规定，4应该放在第1行第2列，但该位置已经被占据，所以4就放在3的下面；1居上行正中央依次右上切莫忘上出框时往下写右出框时左边放右上有数下边写右上出框也一样一、魔方阵的简介二、三、1.何谓矩阵？矩阵就是由方程组的系数及常数所构成的方阵。
把用在解线性方程组上既方便，又直观。
四、五、2.何谓n阶方阵？若一个矩阵是由n个横列与n个纵行所构成，共有个小方格，则称这个方阵是一个n阶方阵。
六、七、3.何谓魔方阵？4 9 2 3 5 7 8 1 6概念：由n*n个数字所组成的n阶方阵，具有各对角线，各横列与纵行的数字和都相等的性质，称为魔方阵。
而那个相等的和称为魔术数字。
若填入的数字是从1到n*n，称此种魔方阵为n阶正规魔方阵。
八、九、4.最早的魔方阵相传古时为了帮忙治水专家大禹统治天下，由水中浮出两只庞大动物背上各负有一图，只有大禹才可指挥其中之由龙马负出的为河图，出自黄河；另一由理龟负出的洛书出自洛河。
洛书十、十一、 5.最早的四阶魔方阵最先的四阶方阵刻在印度一所庙宇石上，年代大约是十一世纪。
偶数阶魔方阵结构方法[大全]
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0000偶数阶魔方阵构造方法00002009-11-03 10:23:40| 分类：其他|字号大中小订阅00000（1）n = 4k(4的整数倍时)0000(1) 先将整个方阵划分成k*k个4阶方阵，然后在每个4阶方阵的对角线上做记号00000(2) 由左而右、由上而下，遇到没有记号的位置才填数字，但不管是否填入数字，每移动一格数字都要加10000(3) 自右下角开始，由右而左、由下而上，遇到没有数字的位置就填入数字，但每移动一格数字都要加10000例：k=1时构造完如下000016 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 10000（2）n = 4k + 2本法填制魔方阵时，先将整个方阵划成田字型的四个2 k + 1阶的奇数阶小方阵，并以下法做注记：1,右半两个小方阵中大于k+2的列。
2，左半两个小方阵中( k + 1 , k + 1 )的格位。
3，左半两个小方阵中除了( 1 , k + 1 )的格位之外，小于k +1的列。
以奇数阶魔方阵的方法连续填制法依左上、右下、右上、左下的顺序分别填制这四个小方阵。
将上半及下半方阵中有注记的数字对调，魔方阵完成。
00000例：k=1时构造完如下000035 1 6 26 19 243 32 7 21 23 2531 9 2 22 27 208 28 33 17 10 1530 5 34 12 14 164 36 29 13 18 110000幻方阵00000幻方是什么呢？如右图就是一个幻方，即将n*n（n>=3）个数字放入n*n的方格内，使方格的各行、各列及对角线上各数字之各相等。
00000我很早就对此非常感兴趣，也有所收获。
000008 1 600003 5 700004 9 20000本数学模型于1999年9月26日构造。
00000奇阶幻方00000当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。
可以用Merzirac法与louber e法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。
数阵问题专项练习30题有答案ok
数阵问题专项练习30题(有答案)ok数阵问题专项练习30题（有答案）1．如图：5个小三角形的顶点处有6个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等，问这6个质数的积是多少？2．把1～9个数分别填入○中，使每条边上四个数的和相等．3．把1～8这8个数填入图中，使每边上的加、减、乘、除成立．4．把1～9，填入图中，使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等．5．将1～8个数分别填入图中，使每个圆圈上五个数和分别为20，21，22．6．把1～12这十二个数，填入下图中的12个○内，使每条线段上四个数的和相等，两个同心圆上的数的和也相等．7．把1～11这11个数分别填入如下图11个○内，使每条虚线上三个○内数的和相等，一共有几种不同的和？8．将1﹣12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里，使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26．9．把1～10填入图中，使五条边上三个○内的数的和相等．10．下图中有大、小六个正方形，将1～9九个数分别填入圈内，使每个正方形角上的四个数的和都相等．11．将1～11填入下图的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于18．12．将98～106九个数分别填入下图中的空圈内，使每条线上四个数的和都等于402．13．将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入图中的9个圆圈内，使图中每条直线上所填数之和都等于K，问：K 的值是多少？（图中有7条直线）14．将1～10这十个数分别填入下图中的十个○内，使每条线段上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内数的和也相等．15．利用猴子跳楼法，写出1﹣49的数字并且每一行一列对角线上的数字之和相等．16．将，，，，这九个数分别填入图中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等．17．现将12枚棋子，放在图中的20个方格中，每格最多放1枚棋子．要求每行每列所放的棋子数的和都是偶数，应该怎样放，在图上表示出来．18．把2、3、4、5、6、7、8、9、10填下入面的空格里（三行三列的格子），使横行、竖行、斜行上三个数的和都是18．19．有大、中、小三个正方形，组成了8个三角形，现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上．请问：能否使8个三角形顶点上数字之和相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．20．将1至6六个数填入下图所示球体的圈内，使球体的各个大圆上每四个数的和都相等．21．在右面□里填上1﹣8这8个数字，这8个数字使连线的两个□里的数字不相邻．22．将1至8八个数分别填入圈内，使每个大圆上五个数的和分别为20、21或22，一共各有几组填法？23．将1、4、7、10、13、16、19、22八个数分别填入圈内；如果正方形每条边上的三个数的和都相等，那么四个角上四个数的和最小是多少？24．将1～12填入下图的空格中，使每个圆内的四个数的和都等于25．25．把1﹣﹣7这七个自然数分别填入下圆圈里，使每条线上的三个数的和相等．26．将1～8八个数分别填入下图的圈内，使三个大圆上的四个数的和都相等．这个和最大可以是多少？最小必须是多少？27．10个连续的自然数中第三个的数是9，把这10个数填入图中的10个方格内，每格填一个数，要求图中3个2×2的正方形中4个数之和相等，那么这个和最小值是_________ ．28．把1～16这16个数，填入图中的16个○内，使五个正方形的四个顶点上○内数的和相等．29．如图中有大、中、小三个正方形，组成了八个三角形．现在把1，2，3，4分别填在大正方形的四个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的四个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的四个顶点上．（1）能不能使八个三角形顶点上数字之和都相等？（如果能，请画草图填出；如不能，请说明理由）（2）能不能使八个三角形顶点上数字之和各不相同？（如果能，请画草图填出；如不能，请说明理由）30．10棵树栽5行，每行栽4棵，你能设计出怎样栽吗？（用△代表树画一画．）参考答案：1．分析：根据题意，每个小三角形三个顶点上的数之和相等，这6个质数都是一样的，但是没有6个相同的质数和是20；把中间的单独看作一个与其它5个质数不一样的质数；因为3×5+5=20；也就是20=3+3+3+3+3+5；然后再进一步解答即可．解答：解：根据题意可得：20=3+3+3+3+3+5；所以，可得：这6个质数的积是：3×3×3×3×3×5=1215．2．分析：首先设三个顶点处的三个数分别为a、b、c，在运算中都加了2次，所以1+2++3+4+5+6+7+8+9+a+b+c=45+a+b+c一定是3的倍数，进一步得出a+b+c也是3的倍数，三个数的和可以是6，9，12，15，18，由此进一步分析得出答案：①当a+b+c=6时，每一条边上的和为（45+6）÷3=17，答案如图①．②当a+b+c=9时，每一条边上的和为（45+9）÷3=18，经计算找不出结论．③当a+b+c=12时，每一条边上的和为（45+12）÷3=19，答案如图②．④当a+b+c=15时，每一条边上的和为（45+15）÷3=20，经计算找不出结论．⑤当a+b+c=18时，每一条边上的和为（45+18）÷3=21，答案如图③．解答：解：由以上分析可得，符合的有三种情况，答案如下：3．分析：由于将1、2、3、4、5、6、7、8分别填入图中8个空格内，由于左边的运算既有除法，也有乘法，又因为8和6的约数不止一个，所以可以确定左上角和右下角的数字一个应该是8和6，然后根据图中的运算即可确定其他数字．①从左上角为6开始，6﹣5=1，1+7=8，8=2×4，6÷3=2；②从左上角为8开始，8﹣7=1，1+5=6，6=3×2，8÷4=2．这样，就完成了填图．解答：解：根据分析答案如下图：4．分析：根据题意，先求出每条线段三个数和及四个顶点的和，再根据题意解答．解答：解：根据题意，1～9的和是：1+2+3+…+8+9=45，有两种配对方式，第一种是：（1、9），（2、8），（3、7），（4、6），5；（1、8），（2、7），（3、6），（4、5），9；根据配对，假设中间的数字是5，那么四个顶点的和是：（45﹣5）÷2=20，每条线段三个数和也为20，20﹣5=15，只有7+8=15，9+6=15，只有两组，与题意不符；假设中间的数字是9，那么四个顶点的和是：（45﹣9）÷2=18，每条线段三个数和也为18；根据配对，尝试可以得出答案：5．分析：1+2+3+4+5+6+7+8=36．①20+20﹣36=4，也就是公共部分两个数的和应该是4，所以中间的两个数应填1和3，左右两边三个数的和相等且为20﹣4=16，左面可填2、6、8，右面可填4、5、7；②21+21﹣36=6，也就是公共部分两个数的和应该，6，所以中间的两个数应填2和4或1和5，左右两边三个数的和相等且为21﹣6=15，中间的两个数填2和4时，左面可填1、6、8，右面可填3、5、7，中间的两个数填1和5时，左面可填3、4、8，右面可填2、6、7；③22+22﹣36=8，也就是公共部分两个数的和应该，8，所以中间的两个数应填1和7、2和6或3和5（有三种填法），左右两边三个数的和相等且为22﹣8=14，以中间的两个数填1和7为例，左面可填2、4、8，右面可填3、5、6．解答：解：根据分析，数字填法如下图：6．分析：1+2+3+…+12=78，使每条线段上四个数的和相等为78÷3=26，两个同心圆上的数的和也相等为78÷2=39，1+12+5+8=26，9+4+10+3=26，2+6+7+11=26，1+7+3+8+11+9=39，2+4+5+6+10+12=39，符合题意．解答：解：由分析答案如下：7．分析：假设中间○内填入的数是a，每条虚线上三个○内数的和是k，则有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+4a=5k，66+4a=5k：当a=1时，k=（66+4）÷5=14；当a=2、3、4、5、时，k不是整数，无解；当a=6时，k=（66+24）÷5=18；当a=7、8、9、10时，k不是整数，无解；当a=11时，k=（66+44）÷5=22；即可得解．一共有3种不同的和．解答：解：把1～11这11个数分别填入如下图11个○内，使每条虚线上三个○内数的和相等，一共有3种不同的和.14、18、22，如下图所示：8．数阵问题专项练习30题(有答案)ok分析：此图可看作由两个三角形组成，先看尖向上的三角形，把1、2和10写在顶点上．其中一条边，1+10=11，那么另外两个空的和为26﹣11=15，因为10用过了，所以只能填7和8；另一条边10+2=12，另外两个空的和为26﹣12=14，所以只能是9和5；再看底边，1+2=3，所以另外两个空只能是11+12=23．这样就还剩下尖向下的三角形三个顶点上的数字，先看底边，7+9=16，那么另外两个空为4和6，最后一个顶点就为3．解答：解：答案如图，9．分析：把1～10填入图中，使五条边上三个○内的数的和相等．五条边上三个○内的数的总和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+（a+b+c+d+e）=55+（a+b+c+d+e），a、b、c、d、e是在五条边交点上，重复加两遍的数字，很明显，每条边上的数字和是11+＞11，所以，重复的数字应为大数，探究一下，把1、2、3、4、5放在中间，10放在1 所在边上，（6+7+8+9+10）÷5=40÷5=8，8也在1、10边上，相应其他边为（10、2、7），（7、3、9），（9、4、6，），（6、5、8）每条边上的和为19，如下图：解答：解：如图：10．分析：根据题意，可得1～9九个数的和是：1+2+3+…+8+9=45，根据图，最大的正方形与斜着的正方形再加上中间的圈的数的和是45，根据配对，可知5不能配对，（45﹣5）÷2=20，每个正方形角上的四个数的和是20，再根据题意解答即可．解答：解：根据题意，1～9九个数的和是：1+2+3+…+8+9=45，前后数配对可得，（1、9），（2、8），（3、7），（4、6），5由分析可得，每个正方形角上的四个数的和是：（45﹣5）÷2=20；根据配对，中间一个数字是5，经过尝试，可得如下答案：数阵问题专项练习30题(有答案)ok11．分析：根据题意，设中间的圆圈中的数是A，那么每条线段上三个圆圈内的数相加的和都等于18，也就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+A+A+A+A=18×5，然后再进一步解答即可．解答：解：设中间的圆圈中的数是A；根据题意可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+A+A+A+A=18×5，66+4A=90，4A=24，A=6；那么每条线段剩下的两个数的和是：18﹣6=12；又因为，1+11=12，2+10=12，3+9=12，4+8=12，5+7=12；分别放到每条线段剩下的两个圆圈中；由以上可得：．12．分析：402﹣95﹣97=210，只有104+106=210，可以先确定这两个空，402﹣96﹣104=202，103+99=202；402﹣96﹣106=200，102+98=200；402﹣97﹣99=206，105+101=206；402﹣95﹣102﹣105=100；正好把98、99、100、101、102、103、104、105、106全部填入．解答：解：答案如图，13．分析：根据题干，可以看出有些圆圈处于三条直线上，而另一些圆圈处于两条直线上，还有一个圆圈处于一条直线上，要想利用“重数”的分析法，有很大的困难，通过分析不难看出有一个圆圈的位置特殊，即A圆圈，除去这个圆圈，剩下的8个圆圈正好组成3行，从它出发就能找到答案．数阵问题专项练习30题(有答案)ok解答：解：如下：除去A圆圈的数字，剩下的8个圆圈恰好组成三行，那么每条直线上所填数字之和为：1+2+3+4+5+6+7+8+9﹣A=3K，所以A一定是3的倍数，也就是说A一定是3或6或9，那么K的值可能是14或13或12，如果A=9，那么右下角圈内只能填1或2，此时右下角的数字至少为10，显然不符合题意．如果A=6，那么每条直线上圈内数之和K=13，而在下图中可以得出B=C+6（比较法），因此D+6+B=C+D+12=13，显然这是错误的．所以只要当A=3时可以得出正确答案如下图：所以K=14．答：K的值是14．14．分析：假设中间的数是a，每条线段上四个○内数的和相等为k，则有：1+2+3+…+10+2a=3k，55+2a=3k，当a=1时，k=57÷3=19，1+2+6+10=19，1+7+8+3=19，1+9+4+5=19，每个三角形三个顶点上○内数的和也相等，2+7+9=18，4+6+8=18，5+3+10=18．符合题意．解答：解：15．分析：把1﹣49这49个数字放入一个7×7的矩阵中，使每行、每列及对角线上的七个数字之和相等，即构造一个7阶幻方．对所有奇数阶幻方的构造，都可以采取“连续摆数法”（猴子跳楼），其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方．数阵问题专项练习30题(有答案)ok解答：解：这个幻方如下：16．分析：将，，，，，，九个数分别化为分母是12的分数，得到分子分别为6、4、3、2、8、9、1、5、7，而用这连续9个数组成的幻方是熟知的，如下图：再将图中的每个数除以12就是所求．解答：解：答案如下图：17．分析：每行每列的棋子总数是偶数，那么每行和每列的棋子数可能是2个或者4，一共有4行，那么每行的数量分别是：2、2、4、4；一共有5列，所以一列的数量分别是：2，2，2，2；先确定第一列的两个棋子的位置，然后根据每行和每列的棋子数填入方格中．解答：解：○代表棋子，可以这样填：答案不唯一．18．数阵问题专项练习30题(有答案)ok分析：我们可以利用两种方法解答：（1）幻和法：先根据幻和求出中心数：18÷3=6；剩余的每两个数的和是18﹣6=12；由12=2+10=3+9=4+8=5+6；调整每一对数的位置填入表格即可．（2）罗伯法：①居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样．②在第一行居中的方格内放2，依次向右上方填入3、4、5…；③如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；④如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；⑤如果右上方已有数字和出了对角线，则向下移一格继续填写． 3阶幻方不止这一种填法，只要将2（开始的数）放于四个边格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字另放一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字（详见下图按线放法）．解答：解：根据分析填图如下：19．分析：不能，我们把8个三角形顶点的数字加起来，假设相等是m，则8m=大正方形的数字和+3遍中正方形的数字和+2遍小正方形的顶点数字和，各个正方形的数字和都是1+2+3+4=10，代入，8m=60，60不能被8整除，因此得解．解答：解：假设三角形的顶点数字和相等是m，则有：8m=（1+2+3+4）×（1+3+2），8m=60，60不能被8整除，所以m不存在，假设错误．即不能使8个三角形顶点上数字之和相等．答：不能使8个三角形顶点上数字之和相等．20．分析：根据图，先求出各个大圆上每四个数的和，再根据题意进一步解答即可．解答：解：由图可知，这个球体由三个大圆，把这三个大圆的每四个数加起来，正好是1至6六个数加了两次，那么每个大圆四个数的和是：2×（1+2+3+4+5+6）÷3=14，将1到刘分为，（1、6）（2、5）（3、4）；根据尝试可以得出答案．21．分析：要使□里填上1﹣8这8个数字，这8个数字使连线的两个□里的数字不相邻，中间的两个“□”里必然填入两头的数，可把最中间的填入1，中间下面的填入8，“1”的左右分别填入3、4，“8”的左右分别填入5、6，最上面的填入7，这样就完成了填空．解答：解：根据分析填空如下图：22．分析：设两圈相交部分的两个数分别为a和b，每个圆上五数之和为k．根据题意，可得：1+2+3+…+8+a+b=2k，36+a+b=2k，把k=20、21或22代入，即可求出a+b的值，即可确定a、b的值．解答：解：设两圈相交部分的两个数分别为a和b，每个圆上五数之和为k．根据题意，可得：1+2+3++8+a+b=2k，36+a+b=2k；（1）如果k=20，则a+b=4，4=1+3，一组填法．（2）如果k=21，则a+b=6，6=1+5；6=2+4，两组填法．（3）如果k=22，则a+b=8，8=1+7；8=2+6；8=3+5，三组填法．23．分析：因为1+4+7+10+13+16+19+22=92，设正方形四个角上四个数分别为a、b、c、d．因为a、b、c、d被加了两次，所以可设92+a+b+c+d=4k．a+b+c+d取最小值为1+4+7+10=22，92+22=114，114不是4的倍数，又因为每两个数之间相差3，符合以上条件的最小值为120，则四个数的和就是120﹣92=28．解答：解：根据92+a+b+c+d=4k，a+b+c+d取最小值为1+4+7+10=22，92+22=114，114不是4的倍数，又因为每两个数之间相差3，符合以上条件的最小值为120，则四个数的和就是120﹣92=28，1+7+16+4=28．答案如下：24．分析：假设中间两圆交叉处的数是a、b、c、d，则有1+2+3+…+12+a+b+c+d=25×4，78+a+b+C+d=100，a+b+c+d=22，8+7+2+5=22，9+7+8+1=25，10+7+5+3=25，4+8+2+11=25，6+2+5+12=25；解答：解：答案如图，25．分析：假设中间的数字是a，每条直线上的三个数的和都相等是m，列出等式，凑数，即可得解．解答：解：1+2+3+4+5+6+7+2a=3m，28+2a=3m，m=（28+2a）÷3，a和m都必须是整数，把a从1～7这个代入，m是整数的即为解，a=1，m=10；2+7+1=3+6+1=4+5+1=10；a=4，m=12；4+7+1=2+4+6=3+4+5=12；a=7，m=14；1+6+7=2+5+7=3+4+7=14；如下图所示：26．分析：要使和最小，重复数字尽可能要小．因为：1+2+3+…+8+a+a+b+c=3k（a、b、c为重复的数字，k为大圆上的四个数的和），也就是36+2a+b+c=3k，所以2a+b+c的和应是3的倍数，且尽可能小，只有1+1+3+4=9能被3整除且最小，36+9=3k，k=45÷3=15；同样，要使和最大，则考虑重复数字尽可能大，只有8+8+7+4=27能被3整除且最大，36+27=3k，k=63÷3=21．解答：解：根据分析：这个和最大可以是21；最小必须是15．填法如下图：27．分析：10个连续的自然数中第三个的数是9，说明这10个数是7、8、9、10、11、12、13、14、15、16，假设中间的两个方格的数是a、b，3个2×2的正方形中4个数之和为k，则有：7+8+9+…+16+a+b=3k，115+a+b=3k，38+=k，a+b+1必须是3的倍数，当a+b+1=7+10+1=18，或者a+b+1=8+9+1=18时，k最小=38+6=44．解答：解：答案如图，28．数阵问题专项练习30题(有答案)ok分析：因为1+2+…+16=（1+16）×（16÷2）=136，136÷4=34，所以每个正方形内的数的和为34，然后组出4组和为34的4个数，再从每组选出一个能组成和为34的数填入中间的正方形，又因为1+16=17、2+15=17、3+14=17、4+13=17、5+12=17、6+11=17、7+10=17、8+9=17，所以可以把它们两两相组填入图中，同时注意中间的四个数的和为34即可．解答：解：根据分析答案如下图：29．分析：（1）不能，我们把8个三角形顶点的数字加起来，假设相等是m，则8m=大正方形的数字和+3遍中正方形的数字和+2遍小正方形的顶点数字和，各个正方形的数字和都是1+2+3+4=10，代入可得8m=60，60不能被8整除，因此得解．（2）由于每个三角形顶点上数字之和最小可能是1+1+2=4，最大可能是4+4+3=11，故可能使八个三角形顶点上数字之和各不相同．解答：解：（1）假设三角形的顶点数字和相等是m，则有：8m=（1+2+3+4）×（1+3+2），8m=60，60不能被8整除，所以m不存在，假设错误．即不能使8个三角形顶点上数字之和相等．答：不能使8个三角形顶点上数字之和相等．（2）如图所示：30．分析：10棵树栽5行，每行栽4棵，必然有几棵树会处在多行列中，再从10和5的角度出发，寻求突破．组成五星的线有5条，在5个角上各栽一棵树，交叉点各栽一棵树，就完成了设计．解答：解：如图：。
三阶幻方的规律和方法
三阶幻方的规律和方法
三阶幻方是一种方阵，也又称魔方阵，主要由0-8九个数组成，要求其行、列、对角线相加的和都是15，又称为等式的结果。
三阶幻方的具体建立方法可以有很多，以下就介绍三种比较常见的建立方法：
一、将0-8九个数按图案填到幻方格子中，幻方的中心位置用5来填充。
先从左上角开始，在上行中填入3，8，4。
然后从左上角的第二行开始，在上行中填入6，1，7。
最后要填入的正中间位置是5，这样先把上面的三行填满，下面的三行也就推出了。
一共是九个数，填满就可以形成一个三阶幻方。
二、把一个三阶幻方拆分成九小格，用九个0-8数字重新排列，分四等分，把这九个数字依次从1-9进行排序，形成一个完整的三阶幻方阵。
三、另一种方法就是以空格的方式填写，把上面的三个数字放到每个格子里，再把中间的0放到空格的中间。
根据宫格的大小，一共只能填入八个数，最后一个数就会在格子的旁边。
最后将8个数进行重新排列，便可得到一个三阶幻方。
以上三种方法都可以用来制作三阶幻方，只要掌握了规律，就可以轻松完成。
首先，三阶幻方的规律是，行列对角线相加的和都是15。
其次，三种不同的建立方法可以帮助我们更好地掌握规律，并可以轻松的制作三阶幻方。
然而，解决三阶幻方的规律并不容易，因为其解答是有限的，在解决过程中，需要经过反复的尝试和思考，才能正确的得到答案。
总之，一切取决于你如何思考及如何改变观点，掌握规律，在不断的尝试中，你将会慢慢把三阶幻方解决！。
三阶魔幻方解谜题。精编版
三阶魔幻方解谜题。
精编版三阶魔幻方解谜题背景介绍三阶魔幻方是一种具有挑战性的益智游戏，由一个三阶立方体组成，每个面由九个小块组成。
玩家需要通过移动这些小块，使得每个面都成为同一种颜色。
解谜步骤步骤一：确定中心块的位置首先，需要将魔幻方的中心块还原到初始位置。
由于中心块不能移动，这一步相对简单，只需将中心块拧动至正确的位置即可。
步骤二：还原底面接下来，需要还原底面的全部小块。
可以从任意侧面开始，通过特定的移动顺序将所有底面小块还原为同一种颜色。
步骤三：还原一层一旦底面还原完成，下一步是还原一层。
这一步需要在保持底面的基础上，将四周的小块拧动至正确的位置。
步骤四：还原二层当一层还原完成后，接下来是还原二层。
这一步需要通过移动特定的小块，将所有二层的小块还原至正确位置。
步骤五：还原顶面最后一个步骤是还原顶面的全部小块。
这一步需要仔细观察顶面小块的颜色和位置，并采取特定的移动策略将其还原至正确位置。
解谜技巧以下是解决三阶魔幻方解谜题的一些技巧：- 首先，需要熟悉每个小块的位置和可能的移动方式。
了解每个小块的移动规律将极大地帮助解决谜题。
- 在解谜过程中，可以先专注于解决一面，然后逐步解决其他面。
这种渐进式的解决方法有助于提高效率。
- 通过观察颜色和位置的变化，可以预测下一步的移动策略。
这将避免无效的移动，节省时间和精力。
- 练解决不同的三阶魔幻方谜题，以增强解谜的技巧和思维能力。
请注意，以上步骤和技巧仅供参考，实际解谜过程可能因个人能力和具体情况而有所不同。
祝您解决三阶魔幻方解谜题的愉快！。
魔方还原方法
魔方还原方法魔方，又称魔方阵、魔方立方，是一种由三个或更多个小正方体组成的立方体拼图。
它有着丰富的变形方式，是一种非常受欢迎的益智玩具。
但是，对于初学者来说，魔方的还原过程可能会显得有些复杂和困难。
在本文中，我将向大家介绍一种简单有效的魔方还原方法，希望能够帮助大家更好地解决这个难题。
首先，我们需要了解魔方的结构。
魔方由中心块、边块和角块组成，中心块是魔方的固定位置，不参与旋转，边块有两种颜色，角块有三种颜色。
在还原魔方的过程中，我们需要根据这些特点来确定还原的顺序和方法。
接下来，我们来具体介绍魔方的还原方法。
首先，我们需要找到一个中心块，作为还原的起点。
然后，我们可以按照以下步骤来进行还原：1. 首先，我们需要还原魔方的底面。
我们可以先将一个颜色的中心块放到底面的中心位置，然后将相邻的边块和角块按照颜色组合放到底面上，形成一个完整的底面。
2. 接下来，我们需要还原魔方的第二层。
我们可以先将一个颜色的中心块放到第二层的中心位置，然后将相邻的边块按照颜色组合放到第二层上，形成一个完整的第二层。
3. 紧接着，我们可以还原魔方的顶面。
我们可以先将一个颜色的中心块放到顶面的中心位置，然后将相邻的边块和角块按照颜色组合放到顶面上，形成一个完整的顶面。
4. 最后，我们需要进行最后一步的还原。
在这一步中，我们需要根据魔方的具体情况来进行调整，直到整个魔方被完全还原。
通过以上的步骤，我们可以比较容易地完成魔方的还原。
当然，这只是一种简单有效的还原方法，对于一些高级的魔方还原问题可能需要更复杂的方法。
但是，对于初学者来说，这种方法已经足够帮助他们解决魔方还原的难题。
总之，魔方是一种非常有趣的益智玩具，它的还原过程也是一种很好的智力挑战。
通过本文介绍的简单有效的还原方法，相信大家可以更好地掌握魔方的还原技巧，享受到这项有趣的挑战。
希望大家都能够成功还原自己的魔方，感受到成功的喜悦和成就感。
一个2n(n为奇数)阶魔方阵的简单解法
定是 15; 在直的方向, 仍然是維持每擴增兩
列, 和就增加 5 的情形。 所以, 我們最後所形
成的 Θ′, 是一個橫列方向和等於 15 , 而直
欄方向和等於 5n的矩陣。
接下來, 讓我們討論步驟 (五) 的 Θ′′。
在直欄的方向, 仍然是維持每擴增兩列,
就增加 5的情形, 所以, 直欄方向的和等於
1. 前言
魔方陣 (magic square), 又被稱做是 「幻方」, 在中國古時候的 「洛書」 中, 它則被 稱做是 「縱橫圖」[1]。 魔方陣的條件是:
將 {1, 2, · · · , n2 − 1, n2} 排 列在一個 n × n 維的矩陣中, 讓 每一橫列、 每一縱欄與兩條對角線 的數字和, 都相等。
1234 5678 9 10 11 12 13 14 15 16
1 15 14 4 12 6 7 9 ⇒ 8 10 11 5 13 3 2 16
上面所介紹的兩種解法, 只是眾多解 法中, 被認為最簡單的兩種方法, 它們 的證明過程也是相當的容易, 只要使用類 似梁培基與張航輔 在 「 4k 階全對稱幻方的 一種快速構作方法」[3] 該篇文章的證明方法 即可。
(6) 1213431343 4342421212 1213134343 434242 1212 121313 4343
替代方陣 (3)。
一個 2n ( n 為奇數) 階魔方陣的簡單解法 73
我們再將擴展後的方陣 (5) 與方陣 (6)
重疊相加, 就得到橫、 直、 對角方向的和, 皆
是
100×(100+1) 2
是 Brualdi, R. A. 所寫的 『Introductory Combainatorics』[2]。
50个趣味游戏玩转数学
50个趣味游戏玩转数学（四）31.游戏学数学：纸牌与魔方阵问题有些游戏表面上看似乎不一样，但实际的结构却相同。
下面这两种两人玩的游戏即为一例。
(1)从纸牌中抽出方块A及从2至9这9张牌。
将这9张牌正面朝上放在桌上。
A看成1，玩的人连番取一张牌。
手上3张牌的点数之和最先达到15的人赢。
(2)将以下9个英文单词写在不同的卡片上，再把它们正面朝上放在桌上。
两人连番各抽1张卡片，最先使手上的3张卡片具有一个一起的字母的人赢。
解答与分析这两种游戏的结构相同。
1到9这9张卡片中的3张之和为15的情形和魔方阵中的任一行、列或对角线的数字总和为15的情形一样。
第2个游戏中所选择的9个单词可排成如上所示的3×3阵列。
同一列、行或对角线的3个单词均显现一个一起的字母。
32.游戏学数学：火柴棒的平移问题右图是由12根火柴排列成的六边形轮子，形成6个等边三角形。
此刻请你试着移动其中的4根火柴，将原先的图形变成3个等边三角形。
解答与分析解答如下图。
此题须注意的是题目中并无要求移动后必需形成相同大小的等边三角形。
33.五年级奥数：最短管路长度的设计凤凰城由于常常发生火灾而臭名远扬。
为了洗刷恶名，市议会通过一项提案，决定在以下图中的9个地址设置消防栓。
为了确保能提供充分的水压，决定加设一套管路连接这9个消防栓。
由于埋设管路所需经费庞大，因此市议会决定向外界公布征求管路总长度最短的设计。
受到建筑物的阻碍，管路必需沿着上图中所示的街道铺设。
图中每一条线的长度的单位是m。
你会如何设计？解答与分析管路的最短长度是520 m。
将ABHGIEF连接起来，再接上CI及DI两管路。
34.五年级奥数：数阵问题的巧妙计算以下图为5×5的魔方阵(即每一行、列或对角线上的数字之和为5×13＝65)。
有一个相当有趣的特性，确实是其内部的3×3方阵仍然是一个魔方阵(即每一行、列或对角线上的数字之和为3×13＝39)。
反魔方阵
反魔方阵
什么是反魔方阵
∙一个 n 阶反魔方阵(Compact Square)的条件是：一个 n
阶方阵的每行、每列及两条对角在线的 n 个数字之和都
不相等。
∙和魔方阵的构造法一样，构造反魔方阵的方法也有很多，
以下仅列出两个较具代表性的方法。
马丁‧加德纳构造法
∙马丁‧加德纳(Martin Cardner)提出一种奇阶( n= 3, 5, 7, 9.... )反魔方阵的构造法：
1.由任一个角落( 范例采左上角)开始，将1 填入。
2.任选顺时针或逆时针方向( 范例采顺时针方向)移动，将数
字依序填入空格中。
3.填满的方阵即为反魔方阵。
对于反应较快的魔友来说，一定会马上提问：如果数字不是顺序填入，而是反序填入，是不是反魔方阵呢？答案是：当然！
∙注：马丁‧加德纳构造法并不是在所有的奇数阶都能构造出反魔方阵来，例如在：7、9、15、29、31 等阶，依其法构造出来的方阵并非反魔方阵。
∙对于马丁‧加德纳构造法的变形，将数字反序填入其实并没有太大意义；比较好的结果其实是将数字以跳跃的方式填入，除了3、9、15 阶外，其余的奇数阶都可以造出反魔方阵来！
梁邱构造法
∙梁培基、邱荷生共同提出一种对于任何n≧3 都能成立的反魔方阵的构造法：
1.由左上角开始，由左而右、由上而下，将数字依序填入，
但要保留最右一行不可填数。
2.当左半部填满后，将剩余的数字由上而下依序填入最右一
行中。
3.填满的方阵即为反魔方阵。
参考数据
本网页乃参考下列网页或数据设计而成。
∙梁培基、邱荷生，反幻方定理，数学传播季刊，第16卷第4期。
C语言实现魔方阵算法
C语言实现魔方阵算法C语言实现魔方阵算法魔方阵分为奇幻方和偶幻方，本文特意为大家收集整理了C语言实现魔方阵算法，希望大家喜欢！例如三阶魔方阵为：C语言实现魔方阵算法(幻方阵奇魔方单偶魔方实现)1魔方阵有什么的规律呢？魔方阵分为奇幻方和偶幻方。
而偶幻方又分为是4的倍数（如4，8，12……）和不是4的倍数（如6，10，14……）两种。
下面分别进行介绍。
2 奇魔方的算法2.1 奇魔方的规律与算法奇魔方（阶数n = 2 * m + 1，m =1，2，3……）规律如下：数字1位于方阵中的第一行中间一列；数字a（1 < a ≤ n2）所在行数比a-1行数少1，若a-1的行数为1，则a的行数为n；数字a（1 < a ≤ n2）所在列数比a-1列数大1，若a-1的列数为n，则a的列数为1；如果a-1是n的倍数，则a（1 < a ≤ n2）的行数比a-1行数大1，列数与a-1相同。
2.2 奇魔方算法的'C语言实现复制代码代码如下:#include <stdio.h>// Author: /// N为魔方阶数#define N 11int main(){int a[N][N];int i;int col,row;col = (N-1)/2;row = 0;a[row][col] = 1;for(i = 2; i <= N*N; i++){if((i-1)%N == 0 ){row++;}else{// if row = 0, then row = N-1, or row = row - 1 row--;row = (row+N)%N;// if col = N, then col = 0, or col = col + 1col ++;col %= N;}a[row][col] = i;}for(row = 0;row<N;row++){for(col = 0;col < N; col ++){printf("%6d",a[row][col]);}printf("n");}return 0;}算法2：阶数n = 4 * m（m =1，2，3……）的偶魔方的规律如下：按数字从小到大，即1，2，3……n2顺序对魔方阵从左到右，从上到下进行填充；将魔方阵分成若干个4×4子方阵，将子方阵对角线上的元素取出；将取出的元素按从大到小的顺序依次填充到n×n方阵的空缺处。
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P141 5.求Sn=a+aa+aaa+…+aa ….a 之值，其中a 是一个数字。
如：2+22+222+2222(n=4),n 由键盘输入。
7.求
∑∑∑===++100
150110
1
2
1k k k k k k
P168
7.输出魔方阵，所谓魔方阵是指这样的方阵，它的每一行、每一列和对角线之和均相等。
解：魔方阵中各数的排列规律如下：
1.）将1放在第一行中间的一列。
2.) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规律存放:每一个数存放的行比前一个数的行数减
1，列数加1（如三阶魔方阵，5在4的上一行，后一列）。
3）如果上一数的行数为一，则下一个数的行数为n（指最下一行）。
例如，1在第一行，则2应放在最下一行，列数加1。
4）当上一个数的列数为n时，下一个数的列数应为1，行数减1。
例如，2在第3行最后一列，则3应放在第2行第1列。
5）如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。
例：4应放在第一行第二列，但位置已被1占据，所以4就放在3的下面。
由于6是第一行第三列（即最后一列），故7放在6下面。
N-S图：
10.有一篇文章，共有3行文字，每行80个字符。
要求分别统计出其中英文大写字母、小写
字母、数字、空格，以及其他字符个数。
解:N-S图
程序：
P218
4.编写一个函数，使给定的一个二维数组（3×3）转置（行列互换）
10.写一个函数，输入一行字符，将此字符串中最长的单词输出。
分析：单词是由全字母组成的字符串，程序中设longest函数的作用是找最长单词的位置。
此函数的返回值是该行字符中最长函数单词的起始位置。
Longest N-S图
说明：flag表示单词是否已经开始，flag=0表示未开始，flag=1表示单词开始；len代表当前单词已累计的字母个数；length代表先前单词中最长单词长度；point 代表当前单词起始位置（用下标表示）；place代表最长单词的起始位置。
函数alphabetic的作用是判断当前字符是否是字母，若是则返回1，否则返回0。